Guia 1 Mat-024
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Integrales Dobles.
ZZ
1. Calcular la integral doble cos(x + y) dA, donde Ω es un dominio acotado por las
Ω
rectas x = 0, y = π, y = x.
ZZ
2. Calcular la integral doble x2 y dA, donde Ω está limitado por y = 2x + 1, y = x2 + 1.
Ω
ZZ
3. Calcular la integral doble xy dA, donde Ω está limitado por los ejes de coordenadas
Ω
y por el Astroide x = r cos3 (t), y = r sin3 (t), 0 ≤ t ≤ π/2.
ZZ
4. Calcular la integral doble xy dA, donde Ω es un dominio limitado por la elipse
Ω
x2 y 2
+ 2 = 1, y situado en el primer cuadrante.
a2 b
√
ZZ
5. Calcular la integral doble (xy + 2x2 ) dA, donde Ω está dado por y = x, y = −x,
Ω
x = 0, x = 4.
2y − 1
ZZ
6. Calcular la integral doble dA, donde Ω está limitado por las rectas x = 0,
Ω x+1
y = 0, 2x − y = 4.
ZZ
7. Calcular la integral doble (x2 + y 2 ) dA, donde Ω es la región acotada por la recta
Ω
y = x y la parábola y = x2 .
ZZ
8. Calcular la integral doble (x + 2y) dA, donde Ω es la región limitada por las rectas
Ω
x+1
y= , y = 3, y = 1, x = 7.
2
9. Calcule el valor de las siguientes integrales dobles.
Z 1Z 1
a. |x − y| dxdy.
0 0
Z 1Z 1
b. |y − x2 | dxdy.
0 0
Z π Z 4
c. |x − 2| sin(y) dxdy.
0 1
ZZ
10. Calcular la integral doble (x−y +1) dA, donde Ω es la región limitada por las curvas
√ Ω
y = (x − 1)3 + 1, y = 1 + 3 x − 1.
ZZ
11. Calcular la integral doble (2x − y) dA, sobre la región Ω arriba de y = |x − 1| y
Ω
debajo de y = 4 − |x|.
Z 1Z y Z 2Z 1
12. Evaluar xy 2 (x3 + y 3 )−1/2 dxdy + xy 2 (x3 + y 3 )−1/2 dxdy.
0 y/2 1 y/2
Z Z h i r √
y x y/x
13. Calcular la integral doble e dA, donde Ω es la región plana limitada
x y
Ω
por las rectas x = 1, x = 2, y = x, y = 3x.
18. Hallar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados y los planos x = a,
x2 y 2
y = b y el paraboloide elı́ptico z = + .
2p 2q
19. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies x2 + y 2 = a2 , x2 + z 2 = a2 .
Z 1Z 1
23. Calcular la integral √
ey/x dxdy.
0 y
1. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las lı́neas
y 2 = 4x + 4, y 2 = −2x + 4.
3. Encontrar la masa de la lámina que tiene la forma de la región dentro del semi cı́rculo
r = a cos(θ), 0 ≤ θ ≤ π/2, además encontrar el centro de masa de la lámina cuya medida
de densidad de área en cualquier punto es proporcional a la medida de su distancia al
polo.
6. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la cardioide
r = a(1 + cos(θ)).
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7. Hallar el momento de inercia de un anillo circular de diámetro d y D (d < D)
a) con respecto a su propio centro,
b) con respecto a su diámetro.
9. Determine la masa de una lámina delgada que tiene la forma de la región limitada
por2la
x2 y 2
a
gráfica de la ecuación 2 + 2 = x+y si su densidad en cada punto es ρ(x, y) = x − .
a b 2
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Respuestas. Integrales Dobles.
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