Tarea Los Elementos de La Elipse Matematica Basica Unu 2023
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+ =1
25 16
+ =1
25 9
8. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos 𝑉1 (7; −2) y 𝑉2 (−5; −2) y
pasa por 𝑃 (3; 2).
10. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje focal en el eje Y, pasa por el
punto P (1; 4), y la relación del lado recto a la semi distancia focal es √2.
11. En la ecuación de la elipse 25𝑥 2 + 16𝑦 2 = 400, hallar el perímetro del triángulo
𝐹1 𝐹2 𝑃, siendo 𝐹1 y 𝐹2 los focos y P un punto cualquiera de la elipse, distinto de los
vértices.
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12. En la elipse 3𝑥 2 + 4𝑦 2 = 48, hallar el área del triángulo formado por un lado recto y los
segmentos que unen sus extremos al vértice opuesto de la elipse.
13. La distancia entre directrices de una elipse es 18. Hallar su ecuación si los focos son los
puntos 𝐹1 (1; 5) y 𝐹2 (1; 3).
14. Hallar la longitud del lado recto de la elipse cuyos vértices son 𝑉1 (3; 5) y 𝑉2 (3; −1),
1
donde 𝑒 = .
3
c c
= 1 : grado de desviacion
EXCENTRICIDAD: a a
15. El punto 𝑀(3; −1) es un extremo del eje menor de una elipse cuyos focos están en la
√2
recta 𝑦 + 6 = 0. Hallar la ecuación de la elipse si 𝑒 = .
2
c c
= 1 : grado de desviacion
EXCENTRICIDAD: a a
17. Los focos de una elipse son 𝐹1 (4; −2) y 𝐹2 (−2; −2). Hallar la ecuación de la elipse si
uno de sus vértices está sobre la recta 𝐿: 𝑥 − 𝑦 − 8 = 0.
19. La distancia entre directrices de una elipse es 24. Determinar su ecuación si los focos son
𝐹1 (1; 2) y 𝐹2 (−5; 2).
20. Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyas directrices son las rectas 𝑥 =
1 𝑦 𝑦 = 9 y uno de sus focos es 𝐹(7; 0).
21. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto 𝑃(−4; 3) y cuyos focos son
𝐹1 (−1; 3) y 𝐹2 (−1; −1).
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23. El techo de un pasillo de 20 pies de ancho tiene la forma de una semielipse, y tiene 18
pies de altura en el centro y 12 pies de altura en las paredes laterales. Hallar la altura del
techo a 4 pies de cualquier pared.
25. Hallar la ecuación de la elipse con foco en 𝐹(1; 2), directriz correspondiente 𝐿: 𝑥 − 3 =
0, y que pasa por el punto 𝐴(−5; 4)
26. Determine los elementos de una elipse con ecuación general de:
4x² + 9y² -16x +18y -11 = 0
27. Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es: 9x² + 4y² -36 = 0
28. Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es: 16x² + 25y² - 400= 0
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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determinar los elementos de la elipse:
( x − 2) ( y − 3)
2 2
+ =1
25 16
RESOLUCIÓN
EJE FOCAL 3 C
0
2
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RESOLUCION
PRIMER PASO. Buscado le ecuación canónica de la elipse. Dividiendo entre 400.
16 ( x − 3) 25 ( y − 3)
2 2
400
+ =
400 400 400
( x − 3) ( y − 3)
2 2
= 1 a = 5 b = 4 C = ( 3;3)
+
25 16
SEGUNDO PASO: La distancia del centro de la elipse al foco “c”.
a 2 = b2 + c 2 ( a b) 52 = 42 + c2 c=3
TERCER PASO: Determinar los focos:
h = 3 k = 3 C = ( 3;3) F1 = ( 3 + c ;3) y F2 = (3 − c ;3)
EJE FOCAL F2 F1
3 C
-2 0 3 8
-1
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3. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos 𝑉1 (7; −2) y 𝑉2 (−5; −2) y pasa por
𝑃 (3; 2).
RESOLUCION
PRIMER PASO. Reconociendo, el eje focal es paralelo al eje “x”.
0 1 7
x
-5
F2 F1
C
-2
+ =1 x = 3 y = 2 + =1
36 b2 36 b2
( 2) ( 4)
2 2
+ 2
= 1 b 2 = 18 b = 4, 24
36 b
QUINTO PASO. La distancia del centro de la elipse al foco “c”.
a 2 = b2 + c 2 ( a b ) 62 = 18 + c2 c = 4, 24 ( b = c )
SEXTO PASO: Determinar los focos:
h = 1 k = −2 C = (1; −2) F1 = (1 + c ; −2 ) y F2 = (1 − c ; −2 )
F1 = (1 + 4, 24; −2) = ( 5, 24; −2) y F2 = (1 − 4, 24; −2) = ( −3, 24; −2 )
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V2 F2 C F1 V1 x
-5 -4 4 5
-3
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1
5. Hallar la longitud del lado recto de la elipse cuyos vértices son 𝑉1 (3; 5) y 𝑉2 (3; −1), donde 𝑒 = 3
EXCENTRICIDAD:
c c
= 1
a a
grado de alargamiento de la elipse en uno de los ejes cartesianos.
RESOLUCION
PRIMER PASO. Reconociendo, el eje focal es paralelo al eje “y”.
y eje focal
5 V1
3 F1
2 C
1 F2
0 3 x
-1 V2
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+ =1 h = 3 k = 2 + =1
( )
2
32 8 9 8
25 ( x 2
+ 2 ( x )( 2 ) ) + 16 ( y 2 − 2 ( y )( 3) ) = 156
25 ( x 2
+ 2 ( x )( 2 ) + 22 ) + 16 ( y 2 − 2 ( y )( 3) + 32 ) = 156 + 100 + 144
25 ( x + 2 ) 16 ( y − 3)
2 2
400
25 ( x + 2 ) + 16 ( y − 3) = 400 + =
2 2
+ = 1 h = −2 k = 3 C = ( −2;3)
16 25
SEGUNDO PASO: Semiejes, a = 5 b = 4
El eje focal es paralelo al eje “y”.
El eje focal:
LFOCAL : x = h x = −2
TERCER PASO. La distancia del centro de la elipse al foco es “c”.
a 2 = b2 + c 2 ( a b ) 52 = 42 + c2 c =3
CUARTO PASO: La excentricidad.
c 3
= = = 0,6
a 5
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Eje de simetría y
F1
C 3
F1
x
-2 O
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V1 5
3 F1
-4 C(0;0) 4 x
-3 F2
-5 V2
+ =1 h = 0 k = 0 + =1
(b) (a)
2 2
42 52
( x) ( y)
2 2
+
=1
16 25
SEPTIMO PASO: Determinar los focos:
h = 0 k = 0 C = ( 0;0) F1 = ( h ; k + c ) y F2 = ( h; k − c )
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30
H
40 30 10
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