46 - Trabajo No.1
46 - Trabajo No.1
46 - Trabajo No.1
PRESENTADO POR:
TUTOR:
WILLIAM SALAZAR
GRUPO:
100401_46
INTRODUCCIÓN
Determine las raíces reales de 𝑓(𝒙) = −𝟐𝟔 + 𝟖𝟐, 𝟑𝒙 − 𝟖𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝟓, 𝟒𝒙𝟑 -𝟗𝒙𝟒 + 𝟎, 𝟔𝟓𝒙𝟓
usando el Método de la Regla Falsa aproximar en el intervalo [0.5 , 1] con ξa =
0,1%
Solución
𝑓(𝑥) = −26 + 82,3𝑥 − 88𝑥 2 + 45,4𝑥 3 -9𝑥 4 + 0,65𝑥 5 , [0.5,1]
Lo primero que se debe hacer en este método es evaluar los extremos del
intervalo dado en la función
𝑓(𝑎) = 𝑓(0.5) = 1.7171875
𝑓(𝑏) = 𝑓(1) = 5.35
Luego estos son lo valores iniciales que se utilizaran en la fórmula de iteración
𝑎𝑓(𝑏) − 𝑏𝑓(𝑎)
𝑥𝑖 =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
Para i=1
2−1 3
𝑥1 = 1 + =
2 2
15
𝑓(3/2) =
8
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
3
𝑎 = 1, 𝑏=
2
Para i=2
3/2 − 1 5
𝑥2 = 1 + =
2 4
59
𝑓(5/4) = −
64
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
5 3
𝑎= , 𝑏=
4 2
Para i=3
5 3/2 − 5/4 11
𝑥3 = + =
4 2 8
𝑓(11/8) = 195/512
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
11
𝑎 = 5/4, 𝑏=
8
Para i=4
5 11/8 − 5/4 21
𝑥4 = + =
4 2 16
𝑓(21/16) = −0.293701
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
11
𝑎 = 21/16, 𝑏=
8
Para i=5
21 11/8 − 21/16 43
𝑥5 = + = = 1.34375
16 2 32
𝑓(43/32) = 0.0377
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
43
𝑎 = 21/16, 𝑏=
32
Para i=6
21 43/32 − 21/16 85
𝑥6 = + = = 1.328125
16 2 64
85
𝑓( ) = −0.1295
64
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
43
𝑎 = 85/64, 𝑏=
32
Para i=7 se tiene
85 43/32 − 85/64 171
𝑥7 = + = = 1.3359
64 2 128
171
𝑓( ) = −0.0463
128
687
𝑓( ) = 0.0166
512
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
687
𝑎 = 343/256, 𝑏=
512
Para i=10
343 687/512 − 343/256 1373
𝑥10 = + = = 1.3408
256 2 1024
1373
𝑓( ) = 0.00612
1024
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
1373
𝑎 = 343/256, 𝑏=
1024
Para i=11
5 Determine las raíces reales de 𝑓(𝒙) = −𝟐𝟔 + 𝟖𝟐, 𝟑𝒙 − 𝟖𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝟓, 𝟒𝒙𝟑 -𝟗𝒙𝟒 +
𝟎, 𝟔𝟓𝒙𝟓 usando el Método de la Regla Falsa aproximar en el intervalo [0.5
, 1] con ξa = 0,1%
Solución
𝑓(𝑥) = −26 + 82,3𝑥 − 88𝑥 2 + 45,4𝑥 3 -9𝑥 4 + 0,65𝑥 5 , [0.5,1]
Lo primero que se debe hacer en este método es evaluar los extremos del
intervalo dado en la función
𝑓(𝑎) = 𝑓(0.5) = 1.7171875
𝑓(𝑏) = 𝑓(1) = 5.35
Luego estos son lo valores iniciales que se utilizaran en la fórmula de iteración
𝑎𝑓(𝑏) − 𝑏𝑓(𝑎)
𝑥𝑖 =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
Para i=1
2−1 3
𝑥1 = 1 + =
2 2
15
𝑓(3/2) =
8
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
3
𝑎 = 1, 𝑏=
2
Para i=2
3/2 − 1 5
𝑥2 = 1 + =
2 4
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
59
𝑓(5/4) = −
64
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
5 3
𝑎= , 𝑏=
4 2
Para i=3
5 3/2 − 5/4 11
𝑥3 = + =
4 2 8
𝑓(11/8) = 195/512
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
11
𝑎 = 5/4, 𝑏=
8
Para i=4
5 11/8 − 5/4 21
𝑥4 = + =
4 2 16
𝑓(21/16) = −0.293701
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
11
𝑎 = 21/16, 𝑏=
8
Para i=5
21 11/8 − 21/16 43
𝑥5 = + = = 1.34375
16 2 32
𝑓(43/32) = 0.0377
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
43
𝑎 = 21/16, 𝑏=
32
Para i=6
21 43/32 − 21/16 85
𝑥6 = + = = 1.328125
16 2 64
85
𝑓( ) = −0.1295
64
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
43
𝑎 = 85/64, 𝑏=
32
Para i=7 se tiene
85 43/32 − 85/64 171
𝑥7 = + = = 1.3359
64 2 128
171
𝑓( ) = −0.0463
128
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
687
𝑓( ) = 0.0166
512
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
687
𝑎 = 343/256, 𝑏=
512
Para i=10
343 687/512 − 343/256 1373
𝑥10 = + = = 1.3408
256 2 1024
1373
𝑓( ) = 0.00612
1024
Para que se siga haciendo el proceso se tiene que hacer
1373
𝑎 = 343/256, 𝑏=
1024
Para i=11
𝑥 2 − 5𝑥 − 𝑒 𝑥 = 0
5𝑥 = 𝑥 2 − 𝑒 𝑥
𝑥2 − 𝑒 𝑥
𝑥=
5
𝑥2 − 𝑒 𝑥
𝑔(𝑥) =
5
𝑥0 = 0
0
𝑥 02 − 𝑒 𝑥
= 𝑥1
5
02 −𝑒 0
5 = 𝑥1
5
1
− = 𝑥 1 = −0.2
5
1
𝑥 12 − 𝑒 𝑥
= 𝑥2
5
1 2 1
(− ) − 𝑒 −5
5 = 𝑥2
5
𝑥 2 = −0.155761506156
2
𝑥 22 − 𝑒 𝑥
= 𝑥3
5
(−0.155761506156)2 − 𝑒 −0.155761506156
= 𝑥3
5
𝑥 3 = −0.1663039075
3
𝑥 32 − 𝑒 𝑥
= 𝑥4
5
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
(−0.1663039075)2 − 𝑒 −0.1663039075
= 𝑥4
5
𝑥 4 = −0.163826372
4
𝑥 42 − 𝑒 𝑥
= 𝑥5
5
(−0.163826372)2 − 𝑒 −0.163826372
= 𝑥5
5
𝑥 5 = −0.164410064
Aporte 2: Solucionar.
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑠𝑖 𝑓´(𝑥𝑛 ) ≠ 02𝑥
𝑓´(𝑥𝑛 )
0 = 𝑥 2 − 𝑒 −𝑥 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑒 −𝑥 = 0
Calculamos la derivada
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑒 −𝑥 = 0
𝑓 ′(𝑥) = 2𝑥 − 𝑒 −𝑥
Reemplazando
0.7035 − 0.6971
𝐸𝑟 = ∗ 100
0.7035
𝑬𝒓 = 𝟎. 𝟗𝟏%
𝑥 1 = 2𝜋
𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1.
Aporte 3: Solucionar.
5. Determine las raíces reales de (𝒙) = −𝟐𝟔 + 𝟖𝟐, 𝟑𝒙 − 𝟖𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝟓, 𝟒𝒙𝟑-𝟗𝒙𝟒 + 𝟎,𝟓
usando el Método de la Regla Falsa aproximar en el intervalo [0.5 , 1] con ξa =
0,1%
Formula
𝑓(𝑥𝑓 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑓 )
𝑥𝑚 = 𝑥𝑓 − 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑓 = 0.5 𝑦 𝑥𝑖 = 1
𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑓 )
𝑥𝑓 → 𝑓(𝑥𝑓 ) = −1.7172
𝑥𝑖 → 𝑓(𝑥𝑖 ) = 5.35
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Primera iteración
𝑥𝑓 = 0.5
𝑥𝑖 = 1
𝑓(𝑥𝑓 ) = −1.7172
𝑓(𝑥𝑖 ) = 5.35
−1.7172(1 − 0.5)
𝑥1 = 0.5 − = 0.6215
5.35 − (−1.7172)
Segunda iteración
𝑥𝑓 → 𝑓(𝑥𝑓 ) = 0,77
𝑥𝑖 → 𝑓(𝑥𝑖 ) = 5.35
𝑥𝑓 = 0.5
𝑥𝑖 = 0.6215
𝑓(𝑥𝑓 ) = 0.77
𝑓(𝑥𝑖 ) = 5.35
(0.77)(0.6215 − 0.5)
𝑥𝑚 = 0.5 − = 0.4795
5.35 − (0.77)
Tercera Iteracion
𝑥𝑓 = 0.5
𝑥𝑖 = 0.4795
𝑓(𝑥𝑓 ) = 0.77
𝑓(𝑥𝑖 ) = −2.226
(0.77)(0.4795 − 0.5)
𝑥𝑚 = 0.5 − = 0.4947
−2.226 − (0.77)
Cuarta Iteracion
𝑥𝑓 = 0.5
𝑥𝑖 = 0.4947
𝑓(𝑥𝑓 ) = 0.77
𝑓(𝑥𝑖 ) = −1.8457
(0.77)(0.4947 − 0.5)
𝑥𝑚 = 0.5 − = 0.4984
(−1.8457) − 0.77
Quinta iteración
𝑥𝑓 = 0.5
𝑥𝑖 = 0.4984
𝑓(𝑥𝑓 ) = 0.77
𝑓(𝑥𝑖 ) = −1.755
(0.77)(0,4984 − 0.5)
𝑥𝑚 = 0.5 − = 0.4995
−1.755 − (0.77)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Sexta iteración
𝑥𝑓 = 0.5
𝑥𝑖 = 0.4995
𝑓(𝑥𝑓 ) = 0.77
𝑓(𝑥𝑖 ) = −1.7289
(0.77)(0.4995 − 0.5)
𝑥𝑚 = 0.5 − = 0.4999
−1.7289 − (0.77)
Septima iteración
𝑥𝑓 = 0.5
𝑥𝑖 = 0,4999
𝑓(𝑥𝑓 ) = 0.77
𝑓(𝑥𝑖 ) = −1.7208
(0.77)(0.4999 − 0.5)
𝑥𝑚 = 0.5 − = 0.5000
−1.7208 − (0.77)
Primera iteración
1+2
𝑥𝑟 = = 1.5
2
Hallando 𝑓(𝑥𝑎 )
𝑓(𝑥𝑎 ) = 𝟏𝟑 + 𝟐(𝟏)𝟐 − 𝟔 = −𝟑
𝑓(𝑥𝑏 ) = 𝟐𝟑 + 𝟐(𝟐)𝟐 − 𝟔 = 𝟏𝟎
𝑥𝑎 = 𝑥𝑎 𝑦 𝑥𝑏 = 𝑥1
𝑥𝑎 = 1 𝑦 𝑥𝑏 = 1,5
Hallando 𝒇(𝒙𝟐 )
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 1 + 1,5 2,5
𝑥2 = = = = 1,25
2 2 2
Hallando 𝒇(𝒙𝟑 )
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 1 + 1,25 2,25
𝑥3 = = = = 1,125
2 2 2
Hallando 𝒇(𝒙4 )
Hallando 𝒇(𝒙5 )
1,219+1,25
Formula: 𝑥6 = 2
= 1.2344
Verificar si la condición de encontrar una raíz con una precisión de 10−4 se puede
realizar
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
|𝑥 − 𝑥𝑛 | ≤ < 10−4 → < 10−4
2𝑛 2𝑛
2−1 1 1
< 10−4 → < 10−4 → 1 < 2𝑛 ∗ 10−4 → < 2𝑛
2𝑛 2𝑛 10−4
4
→ log(10000) < log(2𝑛 ) → 4 < 𝑛 log(2) → <𝑛 → 13,2877 … . < 𝑛
log(2)
𝑛∈ℕ 𝑛 = 14
Aquí nos muestra que son necesarias 14 iteraciones para tener una
precisión de 10−4.
Al comparar
3
4
Aproxime con 10-4 de precisión la raíz de la ecuación 𝑥 − 0,8 − 0,2𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 en el
intervalo [0,1/2ϖ] utilizando el método de la secante.
Aporte 3: Solucionar.
Solución
El método de la secante es parecido al de newton rhapson, pero no usa
derivadas, con más razón su uso en Excel es más fácil
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Ejemplo 1
Tres ingenieros miden la distancia recorrida por un carro y apuntaron los
siguientes datos: 37,5 m – 37,8 m y 37,4 m. Se debe calcular la medida más
probable, el error absoluto y relativo que se presentó en la medición.
Error Absoluto 𝐸𝑎
Para este ejemplo existe un conjunto de datos por lo cual se utiliza la semi
diferencia entre el valor mayor y mínimo
𝑋𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑋𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 37,8 − 37,4
𝐸𝑎 = = = 0,2
2 2
Error Absoluto 𝐸𝑟
𝐸𝑎
𝐸𝑟 = =
𝑉
Por lo cual se debe calcular la medida más probable
∑𝑋𝑖 37.5 + 37.8 + 37.4
𝑉= = = 37.566 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 37.6
𝑁 3
𝐸𝑎 0.2
𝐸𝑟 = = = 0.0053
𝑉 37.6
Esto significa que en la medición se cometió un error por exceso de 0.53%
Ejemplo 2
En una empresa de cambio de divisas solicita desarrollar un software que
automáticamente realice un truncamiento y redondeo cuando realizan
intercambio de monedas extranjeras a pesos y que contenga solo dos decimales,
la empresa de desarrollo de software debe tener en cuenta que hay cifras que
son necesario redondearlas o aproximar con la mayor exactitud, se debe utilizar
el método de truncamiento, o redondeo.
Se coloca un ejemplo donde se intercambia una cantidad una divisa obteniendo
como resultado $1896,55910, se deben calcular los errores relativos y absolutos
que se obtienen al truncar y al redondear.
Aplicando truncamiento
𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐴 = 1896,55
Aplicando redondeo tomando como dígitos significativos los primeros dos
decimales
1.897,00
Error absoluto por truncamiento
𝑒𝐴 = 𝑣𝑒𝑥𝑎𝑐 − 𝑣𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥
𝑒𝐴 = 1896,559 − 1896,55
𝑒𝐴 = 0,009
Error relativo por truncamiento
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
𝑒𝐴
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎 = ∗ 100
𝑣𝑒𝑥𝑎𝑐
0,009
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎 = ∗ 100
1896,559
𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎 = 0,04745%
Quinta iteración
[𝑥 2 4 − 𝑒 𝑥4 ] [(−0.163826372)2 − 𝑒 (−0.163826372) ]
= 𝑥₅ ⇔ = 𝑥₅ ⇔ 𝑥₅ ≈ −0.164410064
5 5
De lo anterior se puede concluir que la aproximación buscada es 𝑥₅ ≈
−0.164410064
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
𝑓(𝑥 )
R/ 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑒 (−𝑥) 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 = 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓´(𝑥𝑛 )
𝑛
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 𝑒 (−𝑥)
𝑁𝑢𝑒𝑣𝑎
𝑥0 = 𝑥𝑛 = −2 𝑥 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 0,7034674225
(−2)2 − 𝑒 2
𝑥1 = −2 − [ ] = −2 + 1 = −1
2(−2) + 𝑒 2
(−1)2 − 𝑒 1
𝑥2 = −1 − [ ] = −1 + 2,39221119 = 1,39221119
2(−1) + 𝑒
𝑥3 = 1 − 0,557123661 = 0,9442876339
𝑥𝑁𝑢𝑒𝑣𝑎 − 𝑥𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
∈= [ ] . 100
𝑥𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎
0,7034674225 − 0,9442876339
∈= [ ] . 100 = 34,2333%
0,7034674225
E = error
E = 34,233% aprox.
5. Determine las raíces reales de 𝒇(𝒙) = −𝟐𝟔 + 𝟖𝟐, 𝟑𝒙 − 𝟖𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝟓, 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟒 +
𝟎, 𝟔𝟓𝒙𝟓 usando el Método de la Regla Falsa aproximar en el intervalo [0.5,
1] con ξa = 0,1 %.
Solución
𝐹(𝑋𝑠)(𝑋𝑖 − 𝑋𝑠)
𝑋𝑟 = 𝑋𝑠 −
𝐹(𝑋𝑖) − 𝐹(𝑋𝑠)
Primera Iteración.
(5.35)(0.5 − 1)
𝑋𝑟 = 1 − = 0.62149
(−1.7171875 − 5.35)
Segunda Iteración.
Tercera Iteración.
Xi= 0.5
Xs= 0.62149
(0.77450)(0.5 − 0.6249)
𝑋𝑟 = 0.62149 − = 0.58266
(−1.7171875 − 0.77449)
|0.58266 − 0.62149|
ξrp = ∗ 100 = 6.6642%
0.58266
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Cuarta Iteración.
Xi= 0.5
Xs= 0.58266
(0.0644351)(0.5 − 0.58266)
𝑋𝑟 = 0.58266 − = 0.57967
(−1.7171875 − 0.0644351)
|0.58373 − 0.58266|
ξrp = ∗ 100 = 0.1833%
0.58373
Quinta Iteración.
Xi= 0.5
Xs= 0.57967
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
(0.006664655)(0.5 − 0.57967)
𝑋𝑟 = 0.57967 − = 0.579361
(−1.7171875 − 0.006664655)
|0.579361 − 0.57967|
ξrp = ∗ 100 = 0.05333%
0.579361
Primera Iteración.
𝑋𝑎 = 1
𝑋𝑏 = 2
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 3
𝑋𝑟 = = = 1.5
2 2
Segunda Iteración.
𝑋𝑎 = 1
𝑋𝑏 = 1.5
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 2.5
𝑋𝑟 = = = 1.25
2 2
Tercera Iteración.
𝑋𝑎 = 1
𝑋𝑏 = 1.25
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1 + 1.25
𝑋𝑟 = = = 1.125
2 2
Cuarta Iteración.
𝑋𝑎 = 1.125
𝑋𝑏 = 1.25
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.125 + 1.25
𝑋𝑟 = = = 1.1875
2 2
Quinta Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.25
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.25
𝑋𝑟 = = = 1.21875
2 2
Sexta Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.21875
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.21875
𝑋𝑟 = = = 1.203125
2 2
Séptima Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.203125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.203125
𝑋𝑟 = = = 1.1953125
2 2
Octava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.1953125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.1953125
𝑋𝑟 = = = 1.19140625
2 2
Novena Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.19140625
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.19140625
𝑋𝑟 = = = 1.189453125
2 2
Decima Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.189453125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.189453125
𝑋𝑟 = = = 1.1884765625
2 2
Onceava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.1884765625
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.1884765625
𝑋𝑟 = = = 1.18798828125
2 2
Doceava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
𝑋𝑏 = 1.18798828125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.18798828125
𝑋𝑟 = = = 1.187744140625
2 2
Treceava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.187744140625
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.187744140625
𝑋𝑟 = = = 1.1876220703125
2 2
Catorceava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.1876220703125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.1876220703125
𝑋𝑟 = = = 1.18756103515625
2 2
|1.18756103515625 − 1.1876220703125|
ξrp = ∗ 100 = 0.00513%
1.18756103515625
El porcentaje 0.00513% es superior al sugerido en el ejercicio 10-4 (0.00010), por
tal motivo se procede a realizar otra iteración.
Quinceava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.18756103515625
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.18756103515625
𝑋𝑟 = = = 1.187530517578125
2 2
Dieciseisava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.187530517578125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.187530517578125
𝑋𝑟 = = = 1.1875152587890625
2 2
Diecisieteava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.1875152587890625
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.1875152587890625
𝑋𝑟 = = = 1.18750762939453125
2 2
Dieciochoava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.18750762939453125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.18750762939453125
𝑋𝑟 = = = 1.187503814697265625
2 2
Diecinueveava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.187503814697265625
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.187503814697265625
𝑋𝑟 = = = 1.1875019073486328125
2 2
Veinteava Iteración.
𝑋𝑎 = 1.1875
𝑋𝑏 = 1.1875019073486328125
𝑋𝑎 + 𝑋𝑏 1.1875 + 1.1875019073486328125
𝑋𝑟 = = = 1.18750095367431640625
2 2
Ejemplo No. 1
Pablo tiene un disco duro de 1 TB, por lo tanto considera que la capacidad de
almacenamiento que tiene este es de 1000 GB. Al corroborar esta información en
su computador, se da cuenta que la capacidad medida del disco es de 967 GB.
Error absoluto:
𝐸𝑎 = 𝑉𝑒 − 𝑉𝑎
𝑉𝑒 = 1000𝐺𝐵
𝑉𝑎 = 967 𝐺𝐵… Reemplazamos
𝐸𝑎 = 1000𝐺𝐵 − 967𝐺𝐵
𝑬𝒂 = 𝟑𝟑𝑮𝑩
Error relativo:
𝑉𝑒 − 𝑉𝑎
𝐸𝑟 =
𝑉𝑒
1000𝐺𝐵 − 967𝐺𝐵
𝐸𝑟 =
1000𝐺𝐵
33𝐺𝐵
𝐸𝑟 =
1000𝐺𝐵
𝑬𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟑
𝑉𝑒 − 𝑉𝑎
𝐸𝑟𝑎 = ∗ 100%
𝑉𝑒
1000𝐺𝐵 − 967𝐺𝐵
𝐸𝑟𝑎 = ∗ 100%
1000𝐺𝐵
33𝐺𝐵
𝐸𝑟𝑎 = ∗ 100%
1000𝐺𝐵
𝐸𝑟𝑎 = 0,033 ∗ 100%
𝑬𝒓𝒂 = 𝟑, 𝟑%
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Error de truncamiento:
Teniendo en cuenta que el resultado del error relativo arrojó pocos decimales, se
truncara la cifra a dos decimales, por tanto:
𝐸𝑟 = 0,033
𝐸𝑡 = 𝟎, 𝟎𝟑
Ejemplo No. 2
Camila desea superar el record mundial de atletismo para los 1500 metros,
contemplado en 206 segundos. Gracias a su intenso entrenamiento, Camila logra
una marca de 211 segundos.
Error absoluto:
𝐸𝑎 = 𝑉𝑒 − 𝑉𝑎
𝑉𝑒 = 206 𝑠
𝑉𝑎 = 211 𝑠… Reemplazamos
𝐸𝑎 = 206 𝑠 − 211 𝑠
𝑬𝒂 = −𝟓 𝒔
Error relativo:
𝑉𝑒 − 𝑉𝑎
𝐸𝑟 =
𝑉𝑒
206 𝑠 − 2011 𝑠
𝐸𝑟 =
206 𝑠
𝑬𝒓 = −𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟐𝟕𝟏𝟖𝟒𝟒𝟔𝟔𝟎𝟏𝟗𝟒𝟐
𝑉𝑒 − 𝑉𝑎
𝐸𝑟𝑎 = 𝑉𝑒
∗ 100%
206 𝑠 − 2011 𝑠
𝐸𝑟𝑎 = ∗ 100%
206 𝑠
−5 𝑠
𝐸𝑟𝑎 = ∗ 100
206
𝐸𝑟𝑎 = −0,0242718446601942 ∗ 100%
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
𝑬𝒓𝒂 = 𝟐, 𝟒𝟐𝟕𝟏𝟖𝟒𝟒𝟔𝟔𝟎𝟏𝟗𝟒𝟐%
Error de truncamiento:
Aplicaremos el error de truncamiento teniendo en cuenta el resultado del error
relativo y del error relativo aproximado, por lo tanto se truncara a 4 cifras
decimales:
𝐸𝑟 = −0,0242718446601942
𝑬𝒕 = −𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟐
𝐸𝑟𝑎 = 2,42718446601942%
𝑬𝒓𝒂 = 𝟐, 𝟒𝟐𝟕𝟏%
𝐸𝑟𝑎 = 2,42718446601942%
𝑬𝒓𝒂 = 𝟐, 𝟒𝟐𝟕𝟐%
Solución:
𝑥 2 − 5𝑥 − 𝑒 𝑥 = 0
𝒙𝟐 − 𝒆𝒙
𝒙=
𝟓
𝐼1 : 𝑥 = 0
𝑥 2 − 𝑒 𝑥 02 − 𝑒 0 0 − 1 −1
𝑔(𝑥) = = = = = −𝟎, 𝟐
5 5 5 5
𝐼2 : 𝑥 = −0,2
𝐼3 : 𝑥 = −0,15574
𝐼4 : 𝑥 = −0,16632
𝐼5 : 𝑥 = −0,16382
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
2. http://www.ugr.es/~mpasadas/ftp/Tema2_apuntes.pdf
4. https://www.pybonacci.org/2012/04/18/ecuaciones-no-lineales-metodo-
de-biseccion-y-metodo-de-newton-en-python/