Descargue como PDF, TXT o lea en línea desde Scribd
Descargar como pdf o txt
Está en la página 1de 475
.
ECUACI ONES DI FERENCI AL ES
EN DERI VADAS PARCI ALES "ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES '- CON MTODOS DE VARIABLE COMPLEJA Y DE TRANSFORMACIONES INTEGRALES ' 164878 H. F. WEI NBERGEQ UNIVERSIDAD DE MINNESOTA EDITORIAL HEVEK~I .?, s. A . Uarcclona-Bogoth-l~uenos Aires-Caracas-nl~xico Ttulo de la obra original: PARTI AL DIFFERENTIAL EQUATIONS Edicin original en lengua inglesa publicada por: BLAI SDELL PUBLISHING COMPANY, NUEVA YORK.. , I Versin espaola por: DR. D. FRANCI SCO VLEZ CANTARELL Profesor de la Universidad de Barcelona Revisada por: Catedrtico de laFacultad de Ciencias iie la Universidad de Barcelona DR. D. ENRI QUE LI NS ESCARD Propiedad de: Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona EDITORIAL REVERT& s. A. Rcse~~ados todos los dcrcchos. L a reproduccin total o parcial dc esta obra, por cualquier medio O proccdimicnto, con~prcndidos la rcprografa y el tratamiento inforlnjtico y distribuci611 de ejclnplarcs dc ella lncdiarltc alquiler o prCstamo pblicos, queda rigurosamcntc prohibida, sin la autorizacin cscrita dc los titularcs dcl copyright, bajo las sancioncs cstablccidas por las lcycs. Edicin en cspaiiol O EDITORIAL REVERT, S.A., 1992 Impreso en Espnfia - Printed in Spain ISBN - 84 - 291 -5160-5 Dcpsito Lcgal: B - 33465-1992 hnprcso por GERSA, Industria Gr6fica Tambor dcl Bruc, 6 08970 Sant J oan Dcsp (Barcclona) 164878 Ha llegado a ser corriente en muchas escuelas y universidades desarrollar cursos pre- paratorios referentes a problemas de contorno, series de Fourier, y transformadas integrales. Estos cursos normalmente dan preferencia a las series de Fourier o a las transformadas de Laplace, y tratan entonces como aplicaciones algunos problemas de ecuaciones diferen- ciales en derivadas parciales. AI explicar uno de estos cursos, el autor encontr dos efectos perjudiciales en los es- tudiantes. Los que tenan preferencia por la matemtica se quedaban con la impresin de que la resolucin de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales consistia en ciertas manipulaciones ms bien aburridas con series o integrales, y que no merecen ser objeto de un estudio posterior. Mientras que aquellos estudiante interesados principalmente en aplicaciones tcnicas, tenan la sensacin de que todas las ecuaciones diferenciales en deri- vadas parciales podan tratarse mediante la separacin de variables o transformadas inte- grales. Cuando se presentaban problemas en los cuales no se podan aplicar tales mtodos (y esto ocurre con mucha frecuencia), utilizaban los micos mtodos que conocan, llegando a resultados falsos, o caan en la exasperacin. En consecuencia, quedaban con una fuerte sensacin de haber sido engaados por los matemticos, llegando a desconfiar de todas las tcnicas matemticas. Este libro es un intento de presentar las materias ordinariamente incluidas en tales cursos en un esquema en el que las propiedades generales de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales tales como caractersticas, dominios de dependencia, y principios del mximo puedan verse con claridad. Ha sido pensado como un curso de un ao de ecua- ciones diferenciales en derivadas parciales, incluyendo la teora elemental de variables com- plejas. (Los siete primeros captulos, o los seis primeros y el ltimo forman un curso de un semestre, y los cinco primeros captulos de un trimestre). El libro est dividido en secciones, cada una de las cuales (excepto algunas muy breves) contienen materia para una leccin de cincuenta minutos. El nmero de secciones es su- ficiente para llenar un curso de un ao, por Io que el profesor no tiene necesidad de seleccionar o suprimir materias. Los docentes que no sean especialistas en ecuaciones di- ferenciales en derivadas parciales encontrarn este plan muy conveniente. Un curso basado en este libro puede darse a nivel de un preparatorio avanzado o de un primer curso para graduados. El estudiante no precisa ms preparacin que la propor- cionada en un curso de clculo superior. Un buen curso de clculo elemental siguiendo, por ejemplo, el libro de Apostol, de J ohnson y Kiokemeister, o de Protter y Morrey tam- bin es adecuado. Ms concretamente, basta que el estudiante tenga conocimiento slido de loscon- ceptos siguientes ; definicin del lmite E-S , continuidad y derivada ; derivacin parcia], regla de la cadena, gradiente, divergencia, y teorema de la divergencia (Gauss), conver- V ! VI Prlogo gencia y convergencia uniforme de sucesiones y series; integrales impropias; y propiedades elementales de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias, en especial las de coeficientes constantes. El mismo curso ayuda al estudiante a familiarizarse con esos conceptos utilizndolos en casos prcticos. Este libro presenta muchas de las tcnicas de la matemtica aplicada. Contiene tam- bin muchos de los conceptos de anlisis riguroso que ordinariamente se encuentran en un curso de clculo superior. Estas tcnicas y conceptos son expuestos de tal forma que su necesidad se evidencia y su aplicacin es inmediata. Por ejemplo, el estudio de las se- ries de potencias de variable compleja es motivado por la serie de Fourier solucin de la ecuacin de Laplace en un crculo. Las definiciones rigurosas del lmite y continuidad se manejan en el estudio de los valores de contorno de la integral de Poisson. Muchas escuelas y universidades opinan que los actuales cursos de clculo superior son inadecuados para sus estudiantes de matemticas, de ingeniera y de ciencias fsicas. Mi deseo es que este libro les proporcione la base para un curso ms conveniente a las necesidades de esos alumnos. Quisiera agradecer a aquellos de mis colegas que desde el principio leyeron mis notas y apuntes y a los que me han hecho muchas y valiosas sugerencias. Entre stos cito D. G. Aronson, H. B. J enkins, R. K. J uberg, y W. Littman. Tambin estoy muy agradecido a las resenciones de los seores, G. P. Carrier, G. E. Latta, L. E. Payne, y G. Springer, y en particular a M. H. Protter. por los perfeccionamientos sugeridos. HANS F. WEINBERGER Universidad de Minnesota 1965 ndice analtico T. La ecuacin de ondas unidimensional 1. Un problema fsico y sus modelos matemticos: la cuerda vibrante 2. La ecuacin de ondas unidimensional 3. Discusin de la solucin: caractersticas 4. Reflexin y el problema de contorno libre 5. Ecuacin de ondas no homognea 1 9 18 22 26 11. Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden en dos variables 6. Linealidad y superposicin 31 7. Unicidad para el problema de la cuerda vibrante 38 8. Clasificacin de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 44 9. Clasificacin de los operadores generales de segundo orden 48 111. Algunas propiedades de las ecuaciones elipticas y parablicas 10. Ecuacin de Laplace 53 I 11. Teorema de Green y unicidad para la ecuacin de Laplace 57 , 12. El principio del mximo 60 13. La ecuacin del calor 63 I IV. Separacin de variables y series de Fourier 14. Mtodo de separacin de variables 15. Ortogonalidad y aproximacin por mnimos cuadrados 16. Completitud y ecuacin de Parseval 17. Lema de Riemann-Lebesgue 18. Convergencia de las series trigonomtricas de Fourier 19. Convergencia uniforme, desigualdad de Schwarz y completitud 20. Series en senos o en cosenos 21. Cambio de escala 22. La ecuacin del calor 23. La ecuacin de Laplace en un rectngulo 24. La ecuacin de Laplace en un crculo 25. Extensin de la validez de esas soluciones 26. La ecuacin de ondas amortiguada VI1 69 76 79 83 84 88 94 95 100 102 107 112 120 VI11 ndice analtico V. Problemas no homogneos 27. Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias 125 28. Problemas de contorno y funcin de Green para ecuaciones diferenciales ordinarias 128 29. Problemas no homogneos y transformada finita de Fourier 134 30. Funcin de Green 140 VI. Problemas en mayor nmero de dimensiones y series de Fourier mltiples 31. Series de Fourier mltiples 32. Ecuacin de Laplace en un cubo 33. La ecuacin de Laplace en un cilindro 34. La ecuacin de ondas tridimensional en un cubo 35. La ecuacin de Poisson en un cubo 151 156 159 162 165 VII. Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier 36. Desarrollos en serie de autofunciones para ecuaciones diferenciales ordi- 37. Vibracin de una cuerda variable 38. Algunas propiedades de los autovalores y las autofunciones 39. Ecuaciones con extremos singulares 40. Algunas propiedades de las funciones de Bessel 41. Vibracin de una membrana circular 42. Vibraciones forzadas de una membrana circular: Frecuencias naturales 43. Polinomios de Legendre y funciones de Legendre asociadas 44. Ecuacin de Laplace en la esfera 45. Ecuacin de Poisson y funcin de Green para la esfera narias regulares de segundo orden y resonancia VIII. Funciones analticas de una variable compleja 46. Nmeros complejos 47. Series de potencias complejas y funciones armnicas 48. Funciones analticas 49. Integrales de contorno y Teorema de Cauchy 50. Composicin de funciones analticas 51. Series de Taylor de funciones compuestas 52. Representacin conforme y ecuacin de Laplace 53. La transformacin bilineal 54. Ecuacin de Laplace en dominios no acotados 55. Representaciones conformes especiales 56. La integral de Cauchy y el teorema de Liouville 171 180 183 187 190 193 197 200 206 210 215 22 1 227 233 240 246 251 26 I 269 273 277 fndice analtico I X IX. Clculos de integrales por mtodos de variable compleja 57. Singularidades de funciones analticas 58. Clculo de residuos 59. Serie de Laurent 60. Integrales infinitas 61. Series de residuos 62. Integrales a lo largo de cortes de ramificacin X. La transformada de Fourier 63. La transformada de Fourier 64. Lema de J ordan 65. Desigualdad de Schwarz y desigualdad triangular para integrales infinitas 66. Transformadas de Fourier de funciones de cuadrado integrable: igualdad 67. Teoremas de inversin de Fourier 68. Transformadas seno y coseno 69. Algunas frmulas operativas 70. Producto de convulacin 71. Transformadas de Fourier mltiples: la ecuacin del calor en tres dimen- 72. La ecuacin de ondas tridimensional 73. La transformada de Fourier con argumento complejo de Parseval siones 285 287 294 298 306 310 315 319 322 327 331 338 342 344 348 35 1 356 i XI. La transformada de Laplace 74. La transformada de Laplace 365 75. Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias 370 76. Problemas de valores iniciales para la ecuacin del calor en una dimensin 374 77. Un problema de difraccin 38 1 78. Regla de Stokes y principio de Duhamel 389 XII. Mtodos de aproximacin 79. Soluciones <( exactas )) y aproximadas 395 80. Mtodo de las diferencias finitas para problemas de valores iniciales de contorno 396 81. El mtodo de las diferencias finitas para la ecuacin de Laplace 40 1 82. El mtodo de las aproximaciones sucesivas 405 83. Mtodo de Rayleigh-Ritz 413 Soluciones de los ejercicios fndice alfabtico - 42 1 465 ECUACI ONES DI FERENCI AL ES EN DERI VADAS PARCI ALES C A P ~ T U L O I La ecuacin de ondas unidimensional 1. Un problema fsico y sus modelos matemticos: la cuerda vibrante Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son de gran inters a causa de su conexin con fenmenos del mundo fsico. Comenzaremos examinando esta conexin con un sencillo problema. Una cuerda se mantiene tensa entre dos clavos fijos separados por una distancia l. La posicin de equilibrio de la cuerda es la del segmento de recta que une los clavos. En tal posicin los clavos tiran de la cuerda con una fuerza To. Introducimos un sistema de coordenadas rectangulares (x, y ) de modo que un clavo est en el origen (O, O) y el otro n el eje Ox en ( I , O). Estudiaremos el movimiento de la cuerda 't originado por los desplazamientos iniciales, la velocidad inicial, y el conjunto de fuerzas en la direccin del eje 04'. Sea S la coordenada x de un cierto punto (molcula) cuando la cuerda est en su posi- cin de equilibrio. Supongamos que la cuerda es tan delgada que su seccin es un punto. Entonces el movimiento de la cuerda puede estudiarse dando las coordenadas (x, y ) de cada punto s en cada instante t . Esto es, basta conocer las dos funciones Supongamos que la cuerda es suficientemente flexible para que no se precise esfuerzo ninguno para doblarla. Supongamos tambin que tiene una densidad lineal continua p (S) tal que para cualesquiera s1 y S, que satisfagan O I s1 < S, I I, la masa de la porcin de cuerda para la que s1 < S < S, venga dada por p (S) ds. Esto significa que conside- ramos la cuerda como un continuo, y no como un conjunto de molculas. 1:: 1 2 La ecuacin de ondas unidimensional Nuestro problema lo formulamos como sigue. Para un cierto valor de f, que tomamos como t = O, conocemos el desplazamiento inicial (1.1) Y ( S , O ) =f(s) y la velocidad inicial en la direccin del eje Oy. Tenemos por tanto X(S, O) = S, ax -(S, O ) =o. ar Para t > O existe una fuerza externa F( x, t) por unidad de masa que acta en la direccin del eje Oy sobre la porcin de cuerda que en el instante t est situada en x. Debido a que la cuerda no ofrece resistencia a la flexin, las fuerzas que unas partes ejercen sobre cada una de las otras deben ser tangenciales a la cuerda; esto es, slo tene- mos la tensin T (S, t ) en el punto S en el instante t . (Esto implica la hiptesis adicional de que las molculas actan nicamente sobre las molculas prximas. Dicho de otro modo, prescindimos de las fuerzas de largo alcance). Consideremos ahora una porcin arbitraria s1 I S I s2 de cuerda. Tomando los componentes de las tensiones en la direccin del eje Ox, hallamos que la fuerza total en esa direccin que acta en la citada porcin es Igualando esta fuerza a la masa por la aceleracin, encontramos que 1 . La cuerda vibrante 3 Esta relacin es cierta para todos los valoles de S, y sl. Derivemos ambos miembros res- pecto a S,. Porque es conveniente, reemplazamos el smbolo S, por s. Obtenemos la ecua- cin Anlogamente, si consideramos los componentes de las fuerzas en la direccin del eje Oy, encontramos Supongamos que la cuerda es perfectamente elstica; esto es, que la tensin en cualquier punto S est determinada por el alargamiento local por unidad de longitud de la cuerda con respecto a su posicin de equilibrio: (1.7) T( s , t) =B(e(s, t ) , S). La funcin 5 (e, S) nos describe la propiedad elstica de la cuerda en s. Puesto que la posicin x = S, y = O es de equilibrio, las funciones x (S, t ) = S, y (S, t ) = O deben satisfacer las ecuaciones (1.4) y (1.5) cuando F = O. En virtud de (1.4) vemos que T debe ser constante. Ya que e = O en este caso, deber ser %(O, S) = To. La tensin T puede encontrarse a partir de las funciones x (S, t ) e y (S, t ) mediante (1.6) y (1.7). De este modo (1.4) y (1.5) constituyen un sistema de dos ecuaciones en deri- vadas parciales con dos funciones incgnitas x (S, t ) e y (S, t ) . Disponemos adems de las condiciones iniciales (1. l), (1.2) y (1.3), y de las condiciones de contorno x(0, t ) = o, x ( l , t ) = I , y(0, t ) = y(I , I ) = o. Estas ltimas expresan que los extremos de la cuerda permanecen fijos. La resolucin del problema anterior es extremadamente difcil, de modo que intro- duciremos otras hiptesis para simplificarlo. Consideraremos nicamente <( pequeas )) vibraciones respecto a la posicin de equilibrio. Supongamos que durante el movimiento ax/& + O (esto es, que la cuerda nunca est vertical), de modo que podemos expresar S como funcin de x y Z, y por tanto y como funcin de x y t : Y = v(x, t ) , donde v(x(s, t ) , 1 ) = Y ( S , t ) . 4 Por la regla de la La ecuacin de ondas unidimensional cadena De este modo (1-5) se convierte en .Desarrollando el primer miembro y utilizando (1.4) y (1.6) resulta O Con el fin de eliminar esta dependencia suponemos que la pendiente avjax es pequea, que axjat es pequea, y que axjas - 1 E O de modo que x e s. Con mayor precisin, suponlemos que las cantidades no dimensionales: pueden despreciarse. (La primera de estas hiptesis requiere que la funcin 2. ( e, S) sea continua en e = O, y que sea suficientemente pequeo). Entonces la ecuacin en derivadas parciales (1.10) tiene los ct)eficientes y el segundo miembro que se aproximan a los de ( I .9). Luego pode- mos esperar que la funcin u (x, t ) que satisface (1.10) y las condiciones iniciales y de contorno 1. La cuerda vibrante 5 Si definimos y dividimos los dos miembros de ( l . 10) por - p (x), obtenemos la ecuacin (1.11) El problema de valores iniciales y de contorno (1.12) u(0, t ) = o, u(, t ) = o para la funcin aproximante u se denomina el problema de la cuerda vibrante. A lo largo de la resolucin de este problema se han hecho hiptesis de diversos tipos: ( I ) Hemos definido una cuerda como un continuo unidimensional en el cual la nica interaccin existente entre sus distintas partes es una tensin. Esto, naturalmente, es una idealizacin de una cuerda real. Se denomina un modelo matemtico. Hemos admitido la hiptesis fsica de que una cuerda real se comporta de modo parecido a ese modelo matemtico. (2) Hemos supuesto que bajo las condiciones y fuerzas iniciales dadas las funciones avjax, (I/c)axjat, y ax/& - 1 llegan a ser pequeas. Sta es una hiptesis sobre una so- lucin particular. Puesto que la solucin es v = O, x = s cuando f = g = F = O, podemos esperar que esta hiptesis ser vlida paraf, g y F suficientemente pequeas. Esto puede demostrarse. Pero el que un conjunto de datos sea o no (( suficientemente pequeo N de- pende de la elasticidad del material que constituye la cuerda; esto es, de la funcin % (e, s). Luego, tambin queda involucrada una hiptesis fsica. (3) Hemos supuesto que si u y v satisfacen ecuaciones diferenciales de la forma 6 LA ecuacin de ondas unidirnensionul con los coeficientes correspondientes u prximos D, y con las mismas condiciones iniciales y de contorno, entonces u y Y son (( prximas >>. Esta es una hiptesis puramente mate- mtica. Por otra parte y en forma alternativa, podramos considerar las ecuaciones (1.12) como otro modelo matemtico, y suponer que una cuerda real se rige por esas ecuaciones, por lo menos aproximadamente. El problema (1.12) se deduce a partir del problema fsico mediante varias hiptesis. En consecuencia, no podemos asegurar a partir del hecho de que el problema fsico tenga solucin (esto es, que el movimiento ocurra) que la tenga tambin el problema matemtico ( I . 12). Adems, aun cuando los datos determinan el movimiento fsico en forma univoca, no podemos asegurar que el problema (1.12) tenga tan slo una solucin. No obstante, si (1.12) da una aceptable aproximacin de la realidad fsica, debe tener solucin mica para cada conjunto de funciones f ( x ) , g (x), F (x, t ) pertenecientes a una cierta clase de funciones admisibles desde el punto de vista fsico. En la prctica las funcionesf, g y F no pueden medirse con exactitud sino con cierto margen de error. Si el modelo matemtico ( I . 12) es apto, en la solucin u no deben influir demasiado los pequeos errores que tengan aquellos datos. Sabemos que un sistema de la forma (1.12) consistente en una ecuacin en derivadas parciales unida a ciertos valores iniciales y de contorno est correctamente planteado si satisface las tres siguientes propiedades : (a) Existencia. Para cualesquiera funciones datosf, g, F suficientemente regulares exista una solucin u (x, t ) de (1.12). (b) Unicidad. Existe a lo sumo una funcin u (x, t ) que satisface (1.12). (c) Continuidad. Las distintas soluciones u (x, t ) correspondientes a datos que di- fieren en cantidades pequeas difieren tambin en cantidades pequeas. (La continuidad implicar la unicidad, pero es ms ventajoso demostrar antes la unicidad). La ecuacin en derivadas parciales (1.1 1) constituye un modelo matemtico para diversos problemas fsicos. Ejemplos: (a) Movimiento unidimensional de un slido elstico. Consideremos una barra ciln- drica de material elstico con su eje en la direccin del eje Ox. Tal barra es estirada o com- primida de manera que los planos x = const, se mueven siempre en la direccin del eje Ox. Sea u (x, t ) el desplazamiento en la direccin del eje Ox en el instante t del plano cuya posicin de equilibrio est en x. O 1 La tensin Ten x (esto es la fuerza con la que la parte de la barra situada a la derecha del punto situado originariamente en x tira del resto de la barra y viceversa) depender de la elongacin por unidad de longitud &/ ?x (x, t ) en x. Esta hiptesis equivale a suponer que existen tan s10 fuerzas de corto alcance y que la barra es perfekamente elstica. Admitamos la hiptesis fsica ms fuerte, que T es proporcional a Pu, i x: 1 . La cuerdu vibrante 7 La constante elstica E se llama mdulo de Young. Es una propiedad de la materia de la que est constituida la barra. Si p (x) es la densidad de masa y F (x) es la fuerza por unidad de masa en la direc- cin del eje x, encontramos segn la segunda ley de Newton del movimiento que para cualesquiera x1 e : x2 La derivacin respecto a x, da Dividiendo por p se obtiene ( I . 1 I ) con c2 = E/ p. En cada extremo podemos asignar bien el desplazamiento u o la fuerza T = E (aujax). Observemos que u = ( To/ E) x es una solucin de equilibrio que corresponde a la tensin To en los extremos y ningn conjunto de fuerzas. Esta solucin describe una ten- sin uniforme. Si tenemos una tal tensin, que puede no ser pequea, podemos hallar un movimiento ms general poniendo u = ( T, / E) x + v (x, t). Entonces v, cuyo gradiente se supone pequeo, satisface la misma ecuacin Este hecho es interesante en el caso de un muelle, o banda de goma elstica, en tensin. Todos esos problemas elsticos son matemticamente equivalentes al de la cuerda vibrante. (b) Propagacin de una pequea perturbacin en un gas (onda sonora) El movimiento unidimensional de un gas, cuya viscosidad es inapreciable, se describe mediante (1.13) au ap ap p-+u"+-=o, ax ax at au au ap at ax ax p- + PU- + -= pF, donde u (x, t ) es la velocidad en la direccin x en el tiempo t , p (x, t ) es la densidad de masa, p (x, t ) es la presin, y F (x, t ) es una fuerza dada por unidad de masa. La primera de esas ecuaciones es la conservacin de la masa; la otra es la segunda ley de Newton del movimiento. Podemos aceptar la hiptesis fsica de que la presin p est completamente determi- nada por la densidad: p = p (p), donde la funcin p (p) es derivable con continuidad. Suponemos adems que el movimiento que consideramos u es pequeo, y que, ex- cepto para una perturbacin pequea, p tiene el valor constante po. Con mayor precisin, suponemos que las cantidades no dimensionales: toman valores tan pequeos que pueden despreciarse. 8 La ecuacin de ondas unidimensional Eliminamos en la ecuacin (1.13) los coeficientes que pueden despreciarse. (Que podemos hacerlo es un supuesto matemtico). Llegamos as a las ecuaciones (1.14) Derivamos respecto a x el producto de la primera ecuacin por p' (&,)/Po, y restamos el resultado del producto de la derivada de la segunda ecuacin respecto a t multiplicada por l/po. Esto nos da donde c2 = p' (h). vada respecto a x, obtenemos Si derivamos la primera ecuacin respecto a t y restamos la segunda ecuacin deri- Lo mismo la velocidad que la densidad satisfacen ecuaciones de la forma (1.1 1) con el mismo valor de cL = p' (h). Si el espacio en el que est contenido el gas est limitado por paredes rgidas en x = O y x = I , tenemos las condiciones de contorno u = O en x = O y I. De este modo vemos que el problema de la cuerda vibrante (1.12) sirve tambin como modelo matemtico para la propagacin del sonido. Observacin. La densidad p es la masa por unidad de longitud. Si se nos da el peso por unidad de longitud, debe dividirse por la constante de la gravedad g e 980 cm/seg2 para obtener la masa por unidad de longitud. EJERCICIOS 1. Demostrar que si F = O y Z (e, S) es una funcin creciente de e, la nica posicin de equilibrio de la cuerda descrita por (1.4), (1.5) y (1.8) [esto es, la nica solucin x (S, t ) . y (S, t ) independiente de t ] es x = S, y = O. I NDI CACI ~ N: Integrar (1.4) y (1.5) cuando a2x/ atz =a2y/at2 =O, y resolver respecto dyl dx y CZ(e, S). 2. Hallar la velocidad de equilibrio, densidad, y distribuciones de presin para un gas que satisfaga (1.13) con u (O, t) = O, p (1, t ) = po cuando p = apy y F ~ "g, donde a, y y g son constantes positivas ( y > 1). (esto representa un gas en un tubo vertical bajo la accin de la gravedad.) I NDI CACI ~N: Considerar al principio la primera ecuacin. 3. Sea F( x , t ) =EG (S, t ) , x (S, O) =S, y (S, O) =&/at (S, O) = ay/at (S, O), donde E es un parmetro pequeo. Esto es, tenemos inicialmente una cuerda en reposo, y una fuerza pequea. Representemos por x (S, t , E ) , y (S, t, E ) la solucin de (1.4), (1.5), (1.8) con esas condiciones. Suponiendo que esas fun- ciones y 1, (S, t ) son derivables con continuidad respecto a todas sus variables y que X( S, t .0) s, y (S, t , O) = O, hallar una ecuacin diferencial y unas condiciones iniciales y de contorno para la funcin u(s, t ) = %( S , t , O ) . I N D I C A C ~ ~ N : Derivar (1.5) respecto a E y poner E =O. (Este es otro procedimiento de linealirar una 4. Si F( x , t ) = O, u (x, O) 7 O, p (x, O) -- po + ET (x). u (O, t ) =N (I, I ) = O en ( I . 13) y si la velo- ecuacin no lineal.) 2. LA ecuacin de ondas unidimensional 9 cidad correspondiente u (x, t , C ) y la densidad p(x, f , E ) son derivables con continuidad y siendo u (x, t,O) -0, p(x, t , O) =PO, hallar el problema de valores iniciales y de contorno que se satisface para u1 (x. t ) = au/ac(X, t , o) Y pl (X, t ) = ap/aC(x, t , o). 2. La ecuacin de ondas unidimensional Consideremos el problema " a2u a2U ax2 a*2 c2- = o para O < x < I , t > O, u(x, O) =f ( x) para O 5 x 5 I, %( x , O ) = g ( x ) para O 5 x 5 I , au u(0, t ) = o para t 2 O, u( l , t ) = o para t 2 O, donde c es una constante positiva. La solucin de este problema aproxima el movimiento de una cuerda uniforme sin fuerzas externas. (Para que las condiciones iniciales y de contorno san compatibles, f ( O ) , f(/), g (O) y g (I) deben ser cero). La ecuacin en derivadas parciales se llama la ecuacin de ondas unidimensional. Es una de las pocas ecuaciones dif. en de- rivadas parciales cuya solucin general puede encontrarse en forma explcita. Para con- seguirlo, introducimos las nuevas coordenadas: 5 = x + ct , 77 = x - ct. Por la regla de la cadena De este modo, (2.2) se transforma en Puesto que c #O, debe ser Esta ecuacin se satisface si y slo si = P ( t ) + dr l ) 9 donde p y q son funciones derivables cualesquiera de una variable. En consecuencia, si u es una solucin de la ecuacin de ondas debe ser de la forma I O (2.3) La ecuacin de ondas unidimensional u(x, t) = p(x + ct ) + q(x - c t ) . (Con p (x + et ) significamos el valor de p (6) cuando [ = x + ct ; q (x - ct ) es el valor de q (Y/) cuando 7/ = x - et ). Para que las derivadas parciales segundas que aparecen en (2.2) existan, p y q deben ser funciones derivables dos veces. Se ve fcilmente que cual- quier u de la forma (2.3) satisface (2.2). As pues (2.3) es la solucin general de (2.2). Si consideramos el tiempo t como un parmetro, la transformacin [ = x + et representa una traslacin del sistema de coordenadas hacia la izquierda de magnitud et. Puesto que esta traslacin es proporcional al tiempo, un punto 6 = constante se mueve hacia la izquierda con velocidad c. Esto es, una solucin de la forma t la encontr en 1747. u(x, t ) = p ( x + ct ) representa una onda que se desplaza con velocidad - c sin cambiar de forma. Por ejemplo u(x, t ) =sen(x + ct ) representa una onda sinusoidal que se desplaza con velocidad -c. Anlogamente, u = q( x - et ) representa una onda que se desplaza con velocidad + c sin cambiar de forma. La ecuacin (2.3) nos dice que toda solucin de (2.2) es la suma de una onda que se desplaza hacia la izquierda con velocidad - c y de otra que lo hace hacia la derecha con velocidad + c. La denominacin ecuacin de ondas tiene el origen en ese hecho. Puesto que las dos ondas se desplazan en direcciones opuestas, la forma de u (x, t ) en general cambiar con el tiempo. Para resolver el problema de valores iniciales y de contorno (2.1) debemos encontrar las funciones p y q adecuadas. Primero ponemos t = O en (2.3). Calculamos seguidamente aujat a partir de (2.3) por medio de la regla de la cadena y ponemos t = O. Las condiciones iniciales (2.1) se convierten en P ( X ) + q(x) =fb) para O 5 x 5 I , cp(x) - cq (x) = g(x) para O 5 x 5 1. Derivamos la primera de esas ecuaciones, la multiplicamos por c, y le sumamos la segunda. De este modo encontramos 2cp(x) = cf (x) + g(x). La integracin de este relacin nos da siendo K una constante de integracin. A partir de la primera ecuacin (2.4) con x = q encontramos entonces que Por consiguiente 2. La ecuacin de ondas uni di mensi onal 11 U ( X , t ) = p ( x + ct ) + q ( x - c t ) con tal que O S x + ct I I y O I x - ct I 1. (Obsrvese que K desaparece). As en la regin triangular la solucin u (x, t ) est determinada con unicidad mediante los datos iniciales f (x) y g (x), y es independiente de las condiciones de contorno. Se comprueba con facilidad que la funcin (2.7) satisface la ecuacin de ondas si y slo si f es derivable dos veces y g (x) una vez. Con estas hiptesis, u (x, t ) tambin satisface las condiciones iniciales u (x, O) = f ( x ) y &/at (x, O) = g (x). Para obtener la solucin para intervalos de tiempo ms amplios, utilizamos las con- diciones de contorno en x = O y I, que adoptan la forma (2.8) . , ~> // A, P( Ct ) + 4 - t ) = 0 para t 2 O, > ., p ( l + ct ) + q ( l - c t ) = O para t 2 O. Si ponemos f = - ct, la primera de esas condiciones puede escribirse (2.9) q(5) =- P( - O para 5 5 0. Por otra parte, si tomamos 5 = 1 + ct, la condicin en x = I ser (2.10) p([) = -q(21- 5) para 5 2 1. Tenemos ya la solucin (2.5) para p (6) con O I 6 I 1. Si - I I q I O, podemos obtener q (q) a partir de (2.9) observando que O I - 77 I I y haciendo uso de (2.5) con E = - ? ? : (2.11) q( q) = - 5 ~ - - q ) -%/ g ( x ) &- K para -1s q 5 O. 1 1 -q Tenemos ahora q (q) para - 1 I 17 I l. Por tanto, si 1 I E I 31 podemos poner f = E en (2. IO) para obtener p ( E ) . A partir de (2.6) y de (2.11) Ahora tenemos p ( E) para O I 5 I 31, la igualdad (2.9) con [ = q nos da q (17) para - 31 < q I O. Entonces (2.10) nos da p (6) hasta E = 51. Puede repetirse este proceso hasta conseguir q (v) para cualquier q 5 I y p (t) para todo 6 2 O. De este modo la solu- cin u (x, t ) dada por (2.3) est deterqinada para todos los valores O I x I I , t 2 O. 12 LA ecuacin de ondas unidimensional Obsrvese que siempre que se suman p (t) y q (71) desaparece la constante K. Luego pode- mos poner K = O. Segn (2.5) y (2.6) tenemos Ejemplo. Sea f ( x ) = x (I - x), g (x) =0 para 0 I X I 1. para O I E I 1, O I 11 I 1. De (2.9) con 5 = 7 deducimos para -15 7 5 O. Entonces de (2.10) con f =f Y Para determinar u (x, t ) , debemos encontrar los enteros m y n tales que - m/ .=x - et I - ( m - 1) 1 si c = 1, I = 1, x = t y t = 2, encontramos x +ct = 9/4 as que n = 2, mientras que x - ct =- 7/ 4 y por tanto m = 2. Entonces la solucin u del problema (2.1) con c =I = 1 y las condiciones iniciales u (x, O) = x (1 -x), &/at (x, = O) tiene el valor .) y nl< x + ct 5 (n + 1) /, y luego utilizar las frmulas adecuadas para p (x + ct) y q (x-cr). Por ejemplo, 2. La ecuacin de ondas unidimensional 13 en el punto x = 4 en el instante r = 2. En la discasin anterior encontramos primero p (0 y q ([) para O I [ I I , luego las calculamos para otros valores de 5' mediante las frmulas recurrentes (2.9) y @.lo), y en- tonces se sustituy en la frmula de la solucin (2.3) para hallar u (x, t ) . Damos ahora un mtodo abreviado que se emplea para resolver el presente problema y, como veremos en la seccin 4, para algn otro problema importante. En algunos casos no puede seguirse ese mtodo (ver ejercicio 10). Comparemos (2.6), que es vlida para O I ?/ i I, con la (2.1 I ) , que lo es para - I _< < 71 I O. Los primeros trminos de los segundos miembros pueden hacerse coincidir definiendo (2.13) f(x) = -.T-x) para valores negativos de x. Puesto que la funcinf(x) en las condiciones iniciales est definida nicamente para O I x I 1, podemos definirla arbitrariamente para x <O. Hemos ampliado as la definicin def(x), y la hemos convertido en una funcin impar en torno a x = O. - Si definimos tambin (2.14) ?(x) = -g(-x) para valores negativos de x, tenemos para 7 <O donde hemos hecho el cambio de variable = .i = - 2. Vemos entonces que con las funciones impares definidas por (2-13) y (2.14), la ecuacin (2.6) nos da q (7) para - I I yi I O lo mismo que para O I rI 5 I. Anlogamente, encontramos que si f ( x ) y g (x) las consideramos funciones impares en torno a x = I mediante las frmulas (2.15) f(x) = "f(21- x) g(x) = -g(21- x) Si empleamos primero (2.13) y (2.14) para extender f y g a - I I x I O y aplicamos entonces (2.15), definimosfy g para - I I x I 31. Una nueva aplicacin de (2.13) y (2.14) nos da f ( x) y g (x) para - 31 I x I 3/. Las frmulas (2.15) dan entonces f y g para x I 5/. Prosiguiendo de este modo, definimos f ( x ) y g (x) para todos los valores de x por medio de (2.13), (2.14) y (2.15). 14 La ecuucin de ondas unidimensional Podemos ahora ,determinar p ([) con (2.5) y q 01) con (2.6) para todos los valores de 6 y t i . Para O I 6 I y O I 11 I I coinciden con los resultados anteriores. Adems = 4(5) 3 esto es la (2.9) queda satisfecha. Anlogamente, podemos comprobar (2.10). De este modo p ([) y y (q) determinadas mediante (2.5) y (2.6) conf(x) y g (x) ampliadas como funciones impares en torno a x = O y x = 1 son las mismas que antes. Si el problema (2.1) tiene solucin, encontramos como en (2.7) que debe venir dada por (2.16) Las funciones f(x) y g (x) estn dadas para O I x < I, y se extienden a otros valores por medio de las frmulas (2.13), (2.14) y (2.15). Obsrvese que ya no es necesario determinar p ( E ) y q (q) separadamente para encontrar la solucin u (x, t ) . De (2.13) y (2. I S) se deduce que para todo x f ( x + 21) = "(21 - (x + 21)) = "(-x) =f(x). Anlogamente, g(x + 21) = g(x). Vemos as que las frmulas de extensin (2.13), (2.14) y (2.15) nos conducen a funciones peridicas impares de perodo 21. Inversamente, una funcin que es impar en torno x = O y peridica de perodo 21 es automticamente impar en torno x = 1. Para determinarf(x) y g (x) tan slo necesitamos hallar el entero n tal que n/ I x < < (n + 1) 1. Si n es par, de la periodicidad se deduce que f ( x ) = f ( x - n/ ) y g (x) = = g (x - n2). (Obsrvese que O S x - n/ < I). Si n es impar, usaremos primero (2.13) y luego la periodicidad para hallar f ( x ) = --f((n + 1) 1 - x) y g (x) = - g ((n + I )/ - x). ObsCrvese que la forma funcional def(x) y g (x) puede ser distinta en cada inter- valo n/ I x < (n + 1) /. De (2.6) resulta Ejemplo. Consideremos nuevamente el problema (2.1) con c = I =1, f ( x ) = x (1 - x), g (x) = O. u( x , r) =$( x + r) +f(x - ?)l. I Evidentemente la funcin g (x) =O es impar y peridica. La extensin de f ( x ) peridica e impar viene dada en el intervalo n l l x < (n + 1) I por 2. La ecuacin de ondas unidimensional 15 f(x) = (-l)"(X - n) (n + 1 - x). En particular u - 2 (t. ) " f - - 2[ 1 9 (4) +f" ( 31 =& Aqu n = 2 para f y n = - 2 para f (- 'la). Tenemos todava que comprobar que (2.16) da efectivamente una solucin de nues- tro problema. Ya antes hemos comprobado que satisface las condiciones iniciales, con tal que g (x) sea continua y f(x) derivable con continuidad. Poniendo x = O, tenemos a partir de (2.13) y (2.14) u(0, t ) = p ) + f ( - ct ) ] 3. - g(X)dX = o. 1 1 2c "Ct Del mismo modo u (1, t ) = O en virtud de (2.15). Todava tenemos que comprobar que u es dos veces derivable con continuidad y que satisface la ecuacindeondas. Fcilmente se ve que esto es cierto si la funcinf(x) exten- dida es continua y dos veces derivable con continuidad y g (x) extendida es continua y .derivable con continuidad. Poniendo x = O en (2.13), vemos que si la funcinf(x) extendida ha de ser continua en x = O se ha de tener f ( 0 ) = O. Del mismo modo debe ser f (1) = g( O) = g (I) = O. Para que f(x) extendida sea continua y dos veces derivable con continuidad y g (x) extendida sea continua y derivable con continuidad es necesario y suficiente a) que esas condiciones sean vlidas para O < x < I, b) que f y g sean continuas para O I x I I, c) que las derivadas laterales x>o l o mismo que f-i (!),Y2 U), 81 (O) y g'- (1) existan, Y que(d) f(0) =f(l) = g(0) = g ( l ) =f+" (O) =f-" (I ) =o. En estas condiciones, hemos demostrado que el problema (2.1) tiene solucin nica dada por (2.16). Podemos observar que un pequeo cambio en las funciones iniciales f ( x ) y g (x) produce un pequeo cambio en la solucin u (x, t ). Por consiguiente la solu- cin depende en forma continua de los datos iniciales. A menudo es de inters fsico considerar un caso lmite de la frmula (2.16), aquel en que f ( x ) es continua pero no necesariamente derivable con continuidad, o que g (x) es nicamente continua a trozos. La funcin u (x, r ) satisface an u (x, O) = f ( x ) , u (O, t)=o, y u (I , 1) = O. Puede rejjresentarse como el lmite de una sucesin uniformemente conver- gente u,' (x, t ) de funciones que satisfacen la ecuacin de ondas y un (x, O) =f. (x), au,?!dt (x, O) = g, (x), donde f. y g,, son derivables con continuidad, f. converge unifor- memente hacia y 16 La ecuucin de ondas unidimensional uniformemente. La funcin ZI (x, 1) se llama entonces solucin generalizada del problenla (2.1). Ejemplo. Sea para O 5 x 5 -I 1 2 I - x para 51 5 x 5 I , Estas condiciones iniciales corresponden a tirar de la cuerda en e l punto x =+I y soltarla sbita- mente en el instante t O. Es una idealizacin (limite) de un problema en el que una fuerza por unidad de longitud se aplica en un pequeo intervalo que contenga x =+1. f(x) = r" 1 g(x) = o. A partir de (2.16) encontramos que u(x, t ) =$-(x + ct ) +f(x - c t ) ] , 1 dondef(x) es la funcin inicial extendida como funcin impar de perodo 21. Si para una x dada definimos el entero n mediante tenemos f ( x ) = (-l)"(x - nf). La solucin u (x, t ) puede describirse estableciendo que es una funcin continua lineal a trozos con puntos angulosos slo en las rectas x + cr =(n ++) 1 y x - CI = - (n - 3) I n = O, I , 2, . . , , tal que u (O, t ) = u (I , t ) = o y u (+1, n//c) =(- I)"+ l . 't 2. La ecuacin de ondas unidimensional Para un t fijo tal que O < t < 1/2c la cuerda presenta el srguiente aspecto: 17 Los puntos de discontinuidad de la derivada se desplazan en direcciones opuestas con velocidad c. En el instante 1/2c encuentran los extremos y entonces regresan, con el signo de u invertido. (Obsdrvese que para t = 1/2c, u =O). En el instante t = l/c las discontinuidades se reunen en el centro. EJERCICIOS 1. Si f ( x ) esta definida para O 5 x 5 1 por f(x) = ex senrx y para otros valores mediante la extensin f(-x) = -f(x) t f (2 - x) = - m ) , hallar ( 4 f(14). 2. Demostrar que si g (x) satisface (2.14) y (2.15), se verifica que para cualquier x. (Esto significa que los lmites de integracin en la integral (2.16) pueden cambiarse aumentndolos en un mltiplo cualquiera de 21.) 3. Una cuerda de longitud I = 1 est fijada inicialmente en la porcin u = sennx, y se suelta en el instante t = O. Hallar su movimiento subsiguiente. 4. a) Hallar u (+, 31.J cuando I = I , c = 1, f ( x ) =O, g (x) = x (1 - x). 5. a) Demostrar que la solucin (2.16) es una funci6n peridica impar de la variable x de perodo 21. b) Hallar u (3/4, 2) cuando I = c =1, f ( x ) =x (1 -x), g (x) =x2 (1 -x). b) Demostrar que la solucin (2.16) es peridica de perodo 2//c en la variable t ; esto es, que u x, t + - = u(x, t ) . ( 3 6. Demostrar que la solucin (2.16) satisface - x, t + - =-u(x, r). f 7. Hallar la solucin generalizada correspondiente a los datos iniciales 18 La ecuacin de ondas unidimensional f(x) = o, < O para O 5 x < -1 I 4 g(x) = . 1 para 415 x 5 -1 1 3 O para 41 < x 5 1. 4 3 Esbozar el diagrama x-t , y dibujar la forma de la cuerda para t =4, t = +, y t =1. 8. Deducir la solucin del problema de valores iniciales y de contorno " ?e= O para a < x < b, t > O, a~ ax2 u(x, O ) =f(x) para a 5 x 5 6, %(x, O) = g(x) para a 5 x 5 b, au u ( a , t ) = o, u( b, t ) =o. 9. Deducir la solucin del problema de valores iniciales y de contorno Este problema se presenta cuando no se aplica ninguna fuerza vertical en el punto x = O. 10. Obtener la solucin del problema u(x, x) =f(x) para O 5 x 5 1, x) = 0 au para O 5 x 5 1, u ( 0, t ) = o, u(], t ) =o cuando c2 < 1. (Este problema se presenta cuando la posicin y la velocidad en varios puntos de la cuerda no son medidas simultneamente, sino por un observador que se desplaza con velocidad 1 .) 11. Una barra de un material elstico uniforme de longitud +est colocada a lo largo del eje x con su extremo izquierdo situado en x = O. En el instante t =O una barra idntica golpea el extremo derecho de la primera barra con velocidad v, y el extremo derecho de la segunda barra queda despus situado en x =1. Si el mdulo de Young y la densidad de las barras son tales que c =1, y si el desplazamiento u es una solucin generalizada de laecuacin deondas, hallar u (x, t ) para t > O. Esbozar el diagrama x - t. 3. Discusin de la solucin: caracteristicas Examinemos ahora la solucicin (2.16) con mayor precisin. Consideremos un punto fijo O .: f < 1. Para un instante i tal que 3. Discusin de la sohcidn: cuructersticas 19 la solucin en este punto depende tan slo de los datos inicialesen el intervalo X -ci < x <X + ci. Esto es, un cambio en los datos iniciales a una distancia de X mayor que ci no influir en u (X, i). Fsicamente esto significa que una perturbacin en la curva inicial se propaga a una velocidad no superior a c. De la frmula (2.16) resulta evidente que u (X, i) se modifica nicamente si f(x) se modifica en X - ci o en X + ci. Esto significa que el efecto de un desplazamiento inicial se propaga justamente a la velocidad c. Por otra parte u (X, i) queda afectada por un cambio de g en cualquier punto del intervalo 3 - ci < x < .f + ci. As el efecto de un cambio en la velocidad inicial se propaga a todas las velocidades hasta el valor C. El intervalo [.f - ci, X + ci] es el interceptado en la recta inicial por las dos rectas x - ct = const. y x + ct = const. que pasan por (f, i). Estas rectas representan la pro- pagacin con la mxima velocidad c en las direcciones de x positiva y negativa. Se llaman caracteristicas de la ecuacin de onda (2.2). Por cada punto (X, i) del plano (x, t ) pasa un par de caractersticas. El intervalo [X - ci, X + ri] en la recta inicial se denomina el dominio de dependencia del punto (a, i). Para aclarar el concepto de propagacin consideremos algunos casos particulares de problemas de valores iniciales. Primero consideramos el problema en el que g (x) =~ O, y f(x) : = O excepto en un pequeo entorno de un cierto punto x, sobre la recta inicial, donde f ( x ) es positiva Si consideramos ilnicamente valores de t lo suficientemente pequeos para que t a , C t < - 1 - x, c vemos a partir de (2.16) que para cada t fijo, u (x, t ) = O excepto en entornos pequeos de x = x, + ct y x = x. - ct. Estos puntos estn situados sobre las dos caractersticas x - ct = X, y x + rt = x, que pasan por el punto inicial (x,, O). Entonces para valores pequeos de t el conjunto en el que u (x, t ) es positiva se concentra en las dos caracters- ticas que pasan por x,. Ego es, la perturbacin se propaga a lo largo de esas caractersticas. Suponemos por conveniencia que x, < I. Para t = xo/c la caracterstica de la iz- quierda encontrara la frontera x = O. Consideremos un punto x < x,. Para hallar u (x, t ) 20 La ecuacin de ondas unidimensional para un tiempo f < xj c debemos extender f como funcin impar de x. Esta funcin es cero para - I < x < O excepto en el entorno de x = - xo. Por tanto, la hallamos hasta un valor de t aproximadamente igual a (xo + x)/c, u (x, r ) = +[f(x + et) + f ( x - c t ) ] = O. I . . * X 1-x, 1 21 - x0 No obstante, en las proximidades de t = (xo + x),c el trmino + f ( x - et ) = - +f ( ct - x) dar un valor negativo para u. Esto significa que tenemos una pulsacin negativa a lo largo de la caracterstica x - ct = -- xo. Esta caracterstica alcanza la frontera x = O en t = xo/c, esto es, en el mismo instante que la caracterstica izquierda pasa por xo. Podemos decir que la Caracterstica izquierda se refleja en la frontera x = O y origina la caracters- tica derecha. Despus de esta reflexin la pulsacin +f ( x) se propaga en forma de una pulsacin negativa. De manera anloga la caracterstica derecha se refleja en la frontera x = 1 y da la caracterstica izquierda invirtindose el signo de la pulsacin. La nueva caracterstica izquierda se refleja nuevamente al alcanzar la frontera x = O, y otra vez se invierte el signo de la pulsacin, recuperando su signo original, y as sucesivamente. 3. Discusin de la solucin: caractersticas 21 .Vemos, entonces, que la influencia de un desplazamiento de x, queda restringida a las caractersticas que pasan por x, y sus reflexiones. Consideremos ahora el problema en el quef(x) = O, y g (x) = O excepto en un pe- queo entorno de x,, y lo g (x) dx = 2c. La solucin (2.16) nos muestra que u (x, f) es constante excepto en pequeos entornos de las caractersticas que pasan por x, y sus reflexiones. Resulta fcil ver que esta constante es 1 - 1 dentro de los paralelogramos formados por las caractersticas, y cero en los tringulos. l As pues un cambio de la velocidad inicial en x, afecta nicamente los puntos inte- riores de los paralelogramos. Un cambio en el desplazamiento inicial de x, afecta tan slo las fronteras de esos paralelogramos. Por consiguiente cualquier perturbacin en (x,, O) influencia la solucin u (x, t ) nicamente en los paralelogramos y en sus fronteras. Este conjunto se llama dominio de influencia del punto (x,,, O). Para observar otra propiedad de las caractersticas, supongamos que una solucin generalizada u es continua, pero que tiene una discontinuidad en su derivada direccional au 1 au ax c at en la direccin de una caracterstica x - ct = const. en un cierto punto ( 2, f ) , Ya que segn (2.16) - +- - ==f ' ( x+ct ) +; g( x+ct ) , au 1 au 1 ax c at se deduce que la expresinf' (x) + (l/c) g (x) debe ser continua en x = R + cf. Entonces resulta que la derivada direccional WEINBERGER - 2 " 22 La ecuucin de ondas unidimensional pues, una discontinuidad en una derivada en la direccin de una caracterstica derecha se propaga a lo largo de una caracterstica izquierda. Anlogamente una discontinuidad en una derivada en la direccin de una caracterstica izquierda se propaga a lo largo de una caracterstica derecha. Esas discontinuidades se reflejan cuando las caractersticas se reflejan. Una discontinuidad de f' (x) + (I lc) g (x) en x, produce una discontinuidad en las derivadas de u sobre la caracterstica x + ct = x, y sus reflexiones para todo valor de t . La discontinuidad puede ser anulada por otra discontinuidad en un cierto valor de t , pero siempre volver a reaparecer. Resultados parecidos son tambin vlidos para las derivadas de orden superior. Su- pongamos, por ejemplo, quef(x) = g (x) = O para x < xo, y que se presenta una discon- tinuidad de salto en la k-sima derivada def' (x) o de g (x) en x,. Entonces la (( cumbre N de la onda, es decir, el punto donde u cesa de ser cero, en virtud, de una sbita aparicin de un valor no nulo para alguna derivada, se desplaza exactamente con velocidad c, y una derivada de orden k + 1 de u tiene una discontinuidad de salto cuya magnitud permanece constante. EJERCICIOS 1. Demostrar que si au/ ax tiene una discontinuidad en el punto ( X, j), esa discontinuidad se propaga 2. Demostrar que una discontinuidad de azu/ax2 tambin se propaga por lo menos a lo largo de una 3. Supongamos que por lo menos a lo largo de una caracterstica que pasa por (x. r ) . caracterstica que pasa por (X, 7). *+l* ax c at tiene una discontinuidad de salto de magnitud uno al otro lado de una caracterstica x + ct = x. (esto es, en tanto que u y &/ ax - IC &/at son continuas a lo largo de esa caracterstica. a) Hallar las magnitudes de las discontinuidades de &/ ax y au/ at al otro lado de esa caracterstica. b) Hallar las magnitudes de las discontinuidades de &/ ax y aula? al otro lado de la caracterstica obtenida de una original por reflexin en la frontera x =O donde u = O. 4. Reflexin y el problema de contorno libre Fcilmente se comprueba que para toda funcin "(x) que sea dos veces derivable con continuidad y toda funcin g (x) derivable con continuidad para - 03 < x < 03 la frmula (2.16) da una solucin u (x, t ) de la ecuacin de onda (2.2) que satisface las con- diciones iniciales u (x, O) ="(X), au/at (x, O) = g (x) para todo x. As u (x, r ) es la solu- cin del problema de valores iniciales para una cuerda de longitud infinita. Una vez hemos resuelto este problema y demostrada la unicidad de la solucin, podemos resolver el pro- blema de valores iniciales y de contorno (2.1) directamente del siguiente modo. Observemos primero que la ecuacin de onda no cambia de forma si se efecta el cambio de variables x' = -x. Esto es, la ecuacin simplemente se convierte en 4. Reflexin y el problema de contorno libre 23 De ello se deduce que si u (x, t ) es una solucin de la ecuacin de ondas, tambin lo es entonces u (- x, t). Supongamos ahora que tenemos una solucin u (x, t ) del problema de valores iniciales para la ecuacin de ondas con datos iniciales impares: u(x, O) =+-x, O), au -(x, O ) = --(-x, O ) . au at at Entonces - u (- x, t ) es solucin del mismo problema. Ya que la solucin es mica, debe ser u (x, t ) = -u (-x, t ) . Esto es, la solucin es asimismo impar. En forma parecida se demuestra que si los datos iniciales son impares en torno a x = 1 [esto es, f ( x ) = "f(21- x), g (x) = - g (21 - x)], lo mismo ocurre con la solu- cin u (x, t ) . Si los datos iniciales son impares en torno x = O y x = I simultneamente, lo mismo le ocurre a la solucin u (x, t). En particular, entonces, u( 0, t ) = -u(O, t ) =o, Y u(f, t ) = -u(l , t ) = O. De este modo la solucin del problema de valores iniciales para una cuerda de longitud infinita con datos que son impares en torno x = O y x = 1 da una solucin del problema de valores iniciales de contorno (2.1). (Obsrvese que para un valor particular cualquiera (x, t ) , no debe ser necesariamente infinita, sino tan slo lo suficientemente larga para contener el intervalo [x - ct, x + ct]). Este razonamiento nos conduce nuevamente a las frmulas de extensin (2.13), (2.14) y (2.15). La anterior reduccin de un problema de valores iniciales y de contorno a otro de valores iniciales se emplea en una amplia clase de ecuaciones en derivadas parciales. Por ejemplo, podemos aplicarlo a la ecuacin cuando c depende de x y posiblemente tambin de t. Tenemos tan slo que extender c como funcin par de x y de perodo 21. (Naturalmente, es todava necesario establecer la unicidad de la solucin del problema de valores iniciales y del de valores iniciales y de contorno. Esto se har ms adelante). La misma idea tambin puede utilizarse para resolver otro tipo de problemas de 24 La ecuacin de ondas unidimensional valores de contorno. En la resolucin del problema de la cuerda hemos supuesto que se aplica en los extremos una fuerza vertical suficiente para evitar que la cuerda se mueva verticalmente. Este supuesto conduce a las condiciones u (O, I) = O y u (l, t ) = O. Como alternativa podramos decir que no aplicamos fuerza alguna en la direccin del eje y en el punto x = O. (No obstante debemos suministrar la tensin To en la direccin del eje x). Ya que el componente y de la fuerza en el extremo de la cuerda es T (aylas), la ausen- cia de fuerza vertical significa que ay/& = O 6, en nuestro modelo aproximado %(O, t ) = o. dU Esta condicin se llama condicin libre de contorno como contraste a la condicin u = O, que se denomina condicin fija de contorno. La condicin au/ax tambin corresponde a la ausencia de fuerza en el extremo en el problema elstico. Consideremos ahora un problema de valores iniciales para una cuerda larga con datos iniciales f(x) y g (x) que sean funciones pares: Si u (x, t ) es la solucin de este problema, u (- x, r ) tambin es solucin, y por tanto u(-x, t ) =u(x, t ) . Esto es, u (x, t ) es par en x. Se deduce que *(O, t ) =o. ax De este modo hallamos una solucin de un problema de valores de contorno con una condicin de contorno libre en x = O extendiendo las funciones f (x) y g (x) dadas para O < x < 1 como funciones pares. Si tenemos u = O en x = I, tenemos que extender f y g como funciones impares en torno x = l. de modo que f(x) = -A21 - x), g ( x ) = "g(21- x ) . Estas condiciones, unidas a la paridad, definen f y g para todo x. Si el extremo x = I tambin es libre, extendemos f y g mediante las relaciones f ( x > =A21 - x ) 3 g ( x ) = g ( 21- x ) . En uno u otro caso, debemos simplemente sustituir las funciones extendidasfy g en (2.16) para obtener la solucin. El dominio de influencia de un punto (xo, O) de la recta inicial para cada uno de esos 4. Reflexin y el problema de contorno libre 25 problemas esta en y encima de las dos caractersticas que pasan por (x,,, o). El dominio de dependencia de (2, i) est en y debajo de las dos caractersticas descendentes que pasan por (3, i). Ejemplo. Si hallar u (%, 2). Segn (2.16) tenemos dondef(x) y g (x) son las extensiones pares de las funciones iniciales en torno x = O y x =1. l bas estn claramente definidas por f ( x ) = 1, g(x) = lsens.rrxI. entonces EJERCICIOS 1. Hallar la u (x, t ) correspondiente a los valores iniciales f ( x ) = sen x, g (x) = O, cuando u (O, t ) = O. 2. Hallar la u (x, t ) correspondiente a &/ax ( 42, t ) = o, c = 1. 3. Hallar el dominio de influencia de un punto (x,,, O) cuando au / ax ( o , t ) = O, ~ ( 1 , t ) =O. 4. Resolver el Ejercicio 11 de la Seccin 2 cuando el extremo derecho x = 1 de la segunda barra 5. Demostrar que si f ( x ) es par en torno x = O y x = I, es peridica en x de perodo 21. 6. Demostrar que si &/ ax = O en x =O y x =I la solucin u satisface las relaciones de recurrencia se mantiene libre de fuerzas externas. 26 La ecuacin de ondas unidimensional = u(x, t ) +- g( X) &. c o 'II 7. Demostrar que si &/ax =O en x =O y u = O en x : I, u es peridica en t de periodo 4//c. 8. S i f ( x ) = x2(1 - x ) ' , g(x) = 1, au/ ax(O, t ) =a u / a x ( l , t ) = O, c =O, hallar U (n/4, '/J . 9. si f ( x ) =(1 -x)3, g ( x ) (1 -x)' , au / ax (O, t ) =u (1, f ) =O, c =1, hallar u (3/ ,, 3). 10. Esbozar el diagrama x - t de la solucin del problema en el que u (o, t ) =&/ 2x (I, t ) =o, f(x) +o, y g (x) = O excepto en un pequeo entorno de x = x,, siendo 1f.g ( x ) dx =2c. 5 Ecuacin de ondas no homognea En la seccin 2 resolvimos el problema (2.1) en el que no se aplican fuerzas externas a la cuerda. Consideremos ahora el problema de valores iniciales puro " azu azu aP ax2 +-= F( x , t ) para t > O, que contiene el trmino de fuerza F (x, t ) , pero no condiciones de contorno. Efectuemos nuevamente el cambio de variables 6 = x + ct , q = x - cr. La ecuacin diferencial se convierte entonces en lntegrando con respecto a 5, tenemos Integremos esta ecuacin desde un valor arbitrario de 71 a para encontrar En la primera integral observamos que 5. Ecuacin de ondas no homognea 27 En la segunda integral hacemos 4 [ = 2 + CT, r) = x - ct. - El dominio de integracin 7 I I I 5 se transforma en O El determinante jacobiano (a$/&) (&$ai) - (@j ar) (a$ax) de la transformacin de ( E, q) en (2, f) es 2c. Por tanto Haciendo estas sustituciones y transponiendo, encontramos Recordemos que E = x + et y q = x - et. Utilizando los valores iniciales u (x, O) = f ( x ) , auj at (x, O) = g (x) obtenemos la frmula solucin Esta expresin se reduce a la (2.16) cuando F = O. Nos da una solucin del problema (5.1), con tal que f sea dos veces derivable con continuidad, g sea derivable con continui- dad, y F y aF{ax sean continuas. La frmula (5.2) se conoce con el nombre de soluci6n de d Alembert de la ecuacin de ondas no homognea. Observemos que u (x, t ) depende tan solo de los datos en los puntos (2, f) dentro y sobre el contorno del tringulo caracterstico - x( I c ( t - f). ste es, entonces, el dominio de dependencia de (x, t ) . Este hecho significa nuevamente que las perturbaciones se propagan con velocidad no superior a c. Podemos imaginar el dominio de dependencia como el a pasado N relativo al punto (x, t ) . De manera parecida, podemos hablar del dominio de influencia de un punto ( f , i) 28 La ecuacin de ondas unidimensional como del conjunto de puntos del espacio-tiempo que queda afectado por un cambio de F en (2, i). Se ve fcilmente que este dominio es el conjunto situado en y por encima de las dos caractersticas que parten de (2, i) hacia arriba en la direccin t positiva. Es el G futuro )> relativo a (2, i). Si deseamos resolver el problema de valores iniciales de contorno (5.3) utilizamos los mtodos de la seccin precedente. Esto es, extendemos las funciones F (x, t ) , f ( x ) y g (x) como funciones impares en torno x = O y x = t . Entonces la solucin (5.2) es ella misma una funcin impar en torno x = O y x = I , y por tanto satisface las con- diciones de contorno. Ejemplo. Hallar u (a, 1) cuando F (x. t ) =f sen2 nx, u (O, t ) - u ( I , f) =O. u(x, O) =-(x, O) = o, c = I = 1. au at La solucin (5.2) nos da Para calcular esta integral debemos determinar la funcin extendida F( x , t ) . Encontramos F( x , t ) = & t sen2 r x, donde el signo + sirve para O I x I 1 mientras que el signo - para - 1 I x I O y 1 2 x I 2. La integracin respecto a t la escindimos en subintervalos, en cada uno de los cuales los lmites de las integrales con respecto a x permanecen interiores a uno de los intervalos - 1 x I O, O < x 1, o 1 < x < 2. Entonces tenemos + f l4 f sen2 ?rXdidi. Algunas partes de las integrales se simplifican de manera que se llega al resultado . . . " 3 +-. 1 -64 8?p 5. Ecuacin de ondas no homognea 29 La anterior simplificacin es consecuencia de que I ; (x, t ) se extendi como funcin impar en torno a ambas fronteras. En una frontera libre en la que &/ax = O, F debe extenderse como una funcin par, en cuyo caso no hay cancelacin. EJERCICIOS 1. Hallar el valor en x =f, t = 3/ 2 de la solucin del problema de valores iniciales (5.1) cuando 2. si f ( x ) = g (x) = O, F( x ) = ex. hallar u 3/ 2). 3. Hallar la solucin de 4. si " 4&= xz para O < x < 1, t > O, at* ax2 u( x , O) =o para O 5 x 5 1, au u(0, t ) =o, au %(x, O) = O para O 5 x 5 1, t ) =o, hallar u (1/4, ".,). 5. Si hallar u ($, 2) , f . .. 30 La ecuacin de ondas unidimensional 6. Demostrar que si la funcin fuerza F de (5.3) es slo funcin de x, la solucin u es peridica en t de perodo 211~. Esto es, u x, t +- = u(x, t ) . ( 3 BIBLIOGRAFA PARA EL CAPTULO 1 H. BATEMAN, Partial Differential Equations of Mathematical Phwics, Dover, 1944, capitulo I . R. COURANT AND D. HILBERT, Methods of Mathematical fhj,sics. Vol. 2. Interscience, 1962, captulo V. I . G. PETROVSKY, Lectures on Partial Differential Equations, Interscience, 1954, capitulo I I . A. C. WEBSTER, Partial Diflerential Equations of Mathenlatical PhJsics, Dover, 1955, captulos I , I l l , 1V. C A P T U L O I 1 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden en dos variables 6. Linealidad y superposicin El smbolo a2u a2u 3- " at2 axz implica un conjunto de operaciones (derivacin, multiplicacin, y sustraccin) que hace corresponder a cualquier funcin u (x, t ) suficientemente derivable una nueva funcin de x y t . Tal correspondencia o transformacin de una funcin en otra se llama operador. Puesto que el proceso bsico es la derivacin parcial, decimos que un operador tal como el que asigna a cada u la funcin " ;; 4 es un operador de derivacin parcial. Por brevedad, representamos tal operador por L, y la funcin que asigna a una cierta funcin u por L [ u] . El anterior operador L tiene una propiedad muy especial. Observemos que si u (x, t ) y v (x, t ) son funciones cualesquiera dos veces derivables, lo mismo ocurre con una com- binacin lineal de las mismas au (x, t ) + B v (x, t ) , siendo a y /? constantes cualesquiera. As, queda definida L [ ou + @VI . Segn las reglas de la derivacin parcial L[au + pv] = d [ u ] + PL[V]. Un operador que tiene esas propiedades se llama operador lineal. No todos los operadores son lineales. Por ejemplo, el operador L tal que no lo es. En realidad, muchos problemas fsicos implican operadores no lineales. Las hiptesis de simplificacin hechas en la seccin 1, fueron dirigidas precisamente a sus- tituir un operador no lineal por otro lineal. Esto es tpico, en el sentido de que es posible aproximar las soluciones de muchos problemas sustituyendo operadores no lineales por otros lineales. Nos referimos tan slo a tales casos. Una ecuacin que iguala f. [ u] , donde L es un operador lineal de derivacin parcial, a una funcin dada F: L[ u] = F 31 32 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden se llama ecuacin diferencial linea1 en derivadas parciales. La ecuacin de ondas es un ejem- plo de tales ecuaciones en la que F = O. Una ecuacin lineal con F : = O se llama ecuacin homognea. Como hemos visto, la funcin incgnita u (x, t ) en general no queda determinada slo por la ecuacin diferencial. Tenemos tambin que asignar condiciones iniciales y o,de contorno. La correspondencia, que asocia a una funcin u (x, t ) sus valores iniciales u (x, O) tambin es un operador lineal, que podemos designarlo por L, [ u] : L, [ u] = u (x, O). Anlogamente, Mu1 = $' 0) au es un operador lineal, como lo son LJuI = ~( 0 , t ) , L4[u] = U(/, t ) . El problema de valores iniciales de contorno ( 5. 3) puede as escribirse en la forma L[Ul = F( x , l), L* [u1 =f(x), LP[UI = A x ) 9 L3[ul = o, L4[u] = o. Esto es un sistema lineal de ecuaciones. Un sistema que consta de una ecuacin lineal en derivadas parciales y de un conjunto de condiciones lineales subsidiarias lo llamamos un problema lineal. nicamente trataremos tales problemas. Demostramos algunas de las simplificaciones que se presentan al resolver problemas en que slo aparecen implicados operadores lineales. -Consideremos un problema lineal (6.1) en el que la primera ecuacin es una de la forma L[u] = F, L1 [ u ] = fl , Ldul =f2, Lrrul =f r , . . . ecuacin diferencial lineal en derivadas parciales mientras que las otras son condiciones iniciales o condiciones de contorno. rencial Supongamos que podemos encontrar una solucin particular v de la ecuacin dife- L[ v ] = F que no satisface necesariamente cualquiera de las otras condiciones. Podemos entonces definir la nueva variable independiente. En virtud de la linealidad de L obtenemos la ecuacin w = u - v . L[w] = L[ u] - L[ v ] = o. Esto es, w satisface una ecuacin diferencial homognea. 6. Linealidad y superposicin 33 Hemos demostrado as que cualquier solucin u de la ecuacin L [u] = F puede escribirse como suma de una solucin particular cualquiera v de dicha ecuacin y de una solucin w de la correspondiente ecuacin homogenea: u = v + w. Cualquier solucin de una ecuacin diferencial ordinaria lineal homognea de orden n es una combinacin lineal de n soluciones de esa ecuacin linealmente independientes. Esto ya no es vlido en el caso de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Este hecho explica en gran parte la gran dificultad de resolucin de las ecuaciones lineales en derivadas parciales. Si tenemos una solucin particular Y de L [Y] = F, podemos reducir el problema (6.1) a un nuevo problema del mismo tipo, pero con F = O. Poniendo w = u - v, tenemos en virtud de la linealidad L[ w] =o , L,Cwl =A - LICVI, Lkl-wl =fk - Lk[Y]. . . . Ejemplo. Consideremos el problema "" a2u aP T$- sen m para O < x < I , t > O, u(x, O) =o para O 5 x 5 1, $(x, O) =o para O 5 x 5 1, u(0, t ) = o, u ( 1, t ) = o. Una solucin particular de la ecuacin diferencial es v = - sen rrx. 1 d Si ponemos w = u - v , encontramos que w satisface W( X , O) = - 2 sen rrx, 1 $X' O) = o, aw w(0, t ) = o, w(1, t ) =o. Resolviendo mediante (2.16), tenemos \ -5 ! .x , I : . " I .. ,, . _ & ,<, ., , r .' i "/ I , > , /, .. : i 34 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden u(x, t ) = v ( x, t ) + w( x, t ) 1 2,rrz 1 = -[2 sen rrx - sen ~ ( x + t ) - sen P ( X - t ) ] - .+sen mx( 1 - COS r r t ) " sin efectuar la integracin que exige la frmula (5.2). En forma parecida, podemos reemplazar (6.1) por un problema similar en el que alguna de las funciones f l , . . . , fk son cero restando de u una funcin que satisface alguna de las condiciones de contorno. Ejemplo. En la seccin 5 resolvimos el problema de valores iniciales de contorno (5.3) para una cuerda con extremos fijos. Exigimos que u = O en x =O y en x =1. Deseamos ahora mover los extremos de la cuerda en la direccin y de una manera determinada. Esto es, damos u(x, O) =f(x) para O 5 x 5 1, %(x, O) = g(x) para O 5 x 5 I , au 40, t ) =h(r), u(/ , t ) = f ( f ) , donde f3 (I) y f4 ( t ) son funciones asignadas. Una funcin que satisface las dos ltimas condiciones es - 1 v = T[ Xf . ( t ) + (1 - xlh(t)l. Poniendo G =u - ij encontramos que W debe satisfacer Esta es de la forma (5.3) y podemos usar por tanto la solucin (5.2). Ser entonces: N (x, t);V (x, t ) + (x. r ) . La linealidad del problema (6.1) puede utilizarse tambin para desdoblarlo en sub- problemas ms sencillos. Supongamos que u" es la solucin de L[uol = F, Ll [ UOI = o, Lk [ UO] = o. . . . que u1 resuelve 6. Linealidad y superposicin L[UlI =o, Ll[UlI =fl, LZ[UlI = o, Lr[u11 = o, . . . 35 con anlogas condiciones para u2, u3,. . . , u k . Cada una de las funciones uo, . . . , uk requiere tan slo una parte de los datos F, f,, . . . , fk. Por la linealidad encontramos que la funcin satisface (6.1). As pues, u se obtiene como suma de trminos cada uno de los cuales re- presenta el efecto de una parte de los datos. La frmula resolvente (5.2) representa una tal descomposicin referida a los efectos de la posicin inicial, la velocidad inicial, y la fuerza. Cada uno de los subproblemas puede a su vez descomponerse. Supongamos que te- nemos un conjunto de funciones Y,, v2,. . . , que satisfacen todas el mismo conjunto de ecuaciones homogneas, sea L[Vc')] =o, Lz [ Y(*)] = o, Lk [ v(*)] = o, i = 1 , 2 , . . 1 . . . . Entonces si f, puede representarse como una combinacin lineal finita de las funciones L, [ v ( l ) ] , L, [$!)I,. . ., esto es, si es la solucin del problema (6.2). Este hecho se denomina el principio de superposicin. Con frecuencia puede incluso aplicarse sif, es el lmite de una sucesin de tales combinaciones lineales. En particular, podra ser una serie En este caso la funcin satisfar (6.2), con tal que los operadores f., L,, . . . , Lk puedan aplicarse a la serie trmino 36 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden a trmino. Ya que los operadores L, L,, . . ., L, son operadores de derivacin parcial, este ser el caso si todas las series obtenidas aplicando cada una de las derivadas, que aparecen en esos operadores, a cada trmino de (6.3), convergen uniformemente *. Ejemplo. Las funciones v(i) =sen i m cos i?rt satisfacen - " aZv(i) aZv(i) at2 ax2 = O * @)(x, O) = o, di ) ( x, O) = senirx, at v("(0, t ) = v("(1, t ) = o. Luego el problema m u( x, O ) = 3 i-* senirx, ,=1 au %(X, O ) = o, u( 0, t ) = u(1, t ) =o queda resuelto por m u(x, t ) = I; iP4 s eni m COS irc. *=I Una ltima simplificacin que se presenta en los problemas lineales pero no en los Supongamos que u y U son ambas soluciones del problema (6.1). Entonces por la li- no lineales acontece en la formulacin de los teoremas de unicidad y continuidad. nealidad la funcin v = u - U satisface el sistema homogneo L[ v l =o, Ll[VI = o, &[ VI = o. f . . (*) La serie es uniformemente convergente en el intervalo a I x I h si para cualquier E <O existe un entero N ( e ) nde- pendiente de x tal que .en todo el intervalo siempre que n y m sean mabores que N ( e ) 6. Linealidad y superposicin 37 El sistema (6.4) tiene la solucin trivial v = O. Si sta es la nica, entonces u - U debe ser idnticamente nula. Esto es, el problema (6.1) tiene a lo sumo una solucin. (Tambin podra carecer de solucin). Supongamos, por otra parte, que existe una solucin v de (6.4) que no es idntica- mente nula. Entonces si (6.1) tiene una solucin u, la funcin u + av, donde a es cualquier constante, tambin es solucin. Esto es, (6.1) no puede tener exactamente una solucin. Puede no tener ninguna, o infinitas. De este modo el problema de la unicidad para (6.1) se reduce al de la unicidad para el problema (6.4). La ltima es independiente de los datos F,f,, . . .,f. que aparecen en (6.1). Anlogamente la cuestin de la continuidad del problema es: Sea u una solucin de (6.1) y U una solucin del problema parecido L[U] =F, Ll[UI =fi, L k [ U] =x. . . . Es cierto que si ( F- F) , (Jl -&), . . . , (fk -fk) son pequeas, la diferencia u - U es tambin pequea? Si tenemos v =u- - u, G=F", g1 =fi - 3, ... gk =h. -5, vemos que Y satisface el problema L [ v ] = G , Llrvl = g1, ... L k [ V ] = g k . Nuestra cuestin es ahora: Les cierto que la solucin Y de (6.5) es pequea si los datos G, g,, . . . , g k son pequeos? Esta cuestin es un caso particular del original con u = = F = f, = . . . ==fi = O. Precisamos tratar este caso especial tan slo para problemas lineales. EJERCICIOS 1. si a% a2u at2 axZ au O para O < x < 1, t > O, u(x, O ) = O para O 5 x 5 1, %(x, O ) = O para O 5 x 5 1, u(0, t ) = sen2 t , u( 1, t ) =o, "" . 38 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden "" a2u azu - o at% J X ~ u(x, O ) =o para O 5 x 5 1, %(x, O ) = O para O 5 x 5 1, au u(0, t ) = o, au para O < x < 1, t > O, - ax( 1, t) = Pet , hallar u (+, 2). 3 . Demostrar que si f ( O ) =f(/) =- g (O) = g (I) = O, la funcin Y = f (x) 4- rg (x) satisface todas las condiciones iniciales y de contorno del problema (5.3). Demostrar que si la solucin del problema para w = u - Y se obtiene mediante (5.2), la funcin u = w + v coincide con la solucin dada por (5. 2) del problema original. 4. Decir cuales de los siguientes operadores son lineales 5. Demostrar que el problema tiene por lo menos una solucin. 7. Unicidad para el problema de la cuerda vibrante Consideremos el problema lineal de valores iniciales y de contorno dZU " a2u at2 ax2 c2(x)- = F( x , t ) para O < x < 1, t > O, para O 5 x 5 I , para O 5 x 5 I , 7. Unicidaa para el problema de la cuerda vibrante c"x) = To/p(x) 39 con una funcin densidad (posiblemente) variable positiva p (X). realizado al cabo del tiempo t es Ya que F es la fuerza externa por unidad de masa, la cantidad de trabajo que ha sido Para escribir una ley de conservacin de energa, multiplicamos la primera ecuacin por pau/ at , y observamos que La ecuacin diferencial se convierte entonces en Integramos esta ecuacin respecto a x entre O y I , y con respecto a t de O a un cierto valor i > O. Esto nos da Las dos primeras integrales representan la diferencia en energa (cintica ms potencial) en los instantes 7 y O. El segundo par de integrales representan el trabajo realizado por los componentes y de las fuerzas de tensin en los extremos. El segundo miembro es el tra- bajo realizado por la fuerza F. Si u1 y u2 son soluciones de dos problemas de la forma (7.1) cuyos datos F, fl, ,f2, f, y f, coinciden para t < 7, la diferencia Y = u1 - u2 satisface el mismo problema, pero con F = f = g =f, =.f4 = O para O < x < 1 y O < t < i. Entonces claro que tambin avj at = O en x =: O Y X = I, Y &/ax = O en t = O. La expresin de la energa (7. 3) se reduce a (7.4) [p[g(x, f)]'+ To[ $( x, T)]')dx = O, que establece que si la cuerda no tiene energa en el tiempo O y si no es ejecutado en la cuerda trabajo alguno, la energa permanece nula. Supongamos que p (x) > O, To > O. Entonces el integrando nunca puede ser negativo. Supongamos que sea positivo en un cierto intervalo (x,, xi). La integral sobre ese intervalo e\ entonces positiva. Las integrales entre O y x, y entre .r2 y I 1 1 0 pucden ser negativas. Por 40 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden consiguiente la integral entre O y I es positiva, en contradiccin con (7.4). Este razona- miento demuestra que el integrando en (7.4) no puede ser positivo sobre ningn intervalo. Si suponemos que el integrando es continuo, debe ser en realidad idnticamente nulo. Porque si fuera positivo en un punto, lo sera tambin en un entorno de ese punto. Hemos demostrado que si todos los datos son cero para t < i, entonces &/at (x, i) = O. Podemos aplicar el mismo razonamiento para todo t , < f. Entonces av %(x, t l ) = O para O < rI 5 i, O < x < 1. Ya que v (x, O) = O, se deduce que v ( x, t ) = uI (x, t ) - u2(x, t ) = O para t 5 i. Hemos demostrado que la solucin u (x, i) de (7.1) est determinada con unicidad por los datos para O < t I f. En particular, hemos demostrado que el dominio de dependencia de un punto ( 2, i) est contenido en el rectngulo O x < I, O 5 t < f. En el caso de la ecuacin de onda ( c = const.) vemos que el dominio de dependen- cia era slo la parte de ese rectngulo que est situada en y debajo las caractersticas que pasan por (X, i). Esto equivale a una velocidad de propagacin finita c, y podemos esperar un resultado parecido cuando c vara con x. Consideremos un pentgono curvilneo P limitado por t = O, x = O, x = I, y dos curvas C, y C, definidas por las ecuaciones t = Q, (x) y t = Qz (x), respectivamente, con Integremos la ecuacin (7.2) sobre P. Integremos el primer trmino del primer miem- bro respecto a t y luego respecto a x, y el segundo trmino en orden inverso. Reempla- cemos u por la diferencia v de dos soluciones cuyos datos coinciden en P, de modo que F = f = g =f, =f, = O en P. Obtenemos la ecuacin 7. Unicidad para el problema de la cuerda vibrante 41 Como t viene dada como funcin de x enC, y.enC,, esta ecuacin puede escribirse as (7.5) Obtuvimos la unicidad a partir de (7.4) viendo que el integrando no puede ser ne- gativo. Esto es evidentemente cierto en (7.5) cuando dtldx = O; esto es, cuando C, y C, son partes de una curva t = f. Preguntamos ahora para qu otros valores de dt/dx debe ser no negativo. Completando los cuadrados, vemos que el integrando se puede escribir as (Recordemos que c2 = T,/p). Claramente esta expresin es no negativa si el factor ( I /c ~) - (df/dx)2 es no negatlvo. Esto es, si sobre C, y C, simultneamente. Puesto que deseamos encontrar el dominio de dependencia menor posible, hacemos que las curvas C, y C, sean lo ms pendientes posible. Por tanto hacemos dt 1 -=- dx ~ ( x ) en C1, dx--c(x) dt- en c2. 164878 Entonces la ecuacin (7.5) se transforma en Llegamos nuevamente a la conclusin de que los integrandos deben ser idnticamente nulos. En particular en (f, i) tenemos av av -+$--"~, " av av at ax at ax c= o, y por tanto 'av - av ax at "" - o. Las curvas que satisfacen 42 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden se llaman caractersticas de la ecuacin diferencial (7.1). Las curvas C, y C, son las carac- tersticas que pasan por ( 2, i). Sus ecuaciones pueden escribirse en la forma (7.7) Hemos demostrado que si los datos del problema (7.1) se anulan en el pentgono P limitado por las lneas de contorno e iniciales y las caractersticas que pasan por (2, i), entonces avjat = O en (2, i). De (7.7) resulta evidente que para t < i el pentgono P correspondiente a ( 2, t ) es interior al correspondiente a ( 2, i). Luego con el mismo razonamiento avj at ( 2, t ) = O para todo O I t I f. Puesto que v (2, O) = O, concluimos que v ( 2, i) = u1 (,v, i) - up (n, i) = o. Hemos demostrado : TEOREMA DE UNICIDAD. El valor u (2, i) de la solucin de (7.1) est determinado con unicidad por la parte de los datos que estn en el pentgono P limitado por las lneas de contorno iniciales y las caractersticas (7.7) que pasan por ( 2, i). Por definicin, P es el dominio de dependencia de ( 2, i). Ejemplo. Hallar el dominio de dependencia del punto (t, 3) con respecto al problema " a% at 2 (4 - x 2 ) s = F(x, t ) para O < x < 1, t > O, u(x, O) =-(x, O) = o au at u(0, t ) = u(1, r) = o. a% para O 5 x 5 1, Las caractersticas vienen dadas por As que el donlinio de dependencm es el pentagono O 5 t 5 3 - sen-" + s e r - 1 1 4 2x para O 5 x 5 1 2' O S t S 3 + sen-'2- sen"3x para 2 5 X 5 1. 1 1 1 Notemos que una de las caractersticas o las dos que pasan por (,?, i) pueden encon- trar la recta inicial antes de encontrar la frontera. En estos casos el pentgono degenera en un cuadrilatero o un tringulo. Si P es un tringulo, tenemos un problema de valores iniciales puro. El dominio de influencia de un punto (xlr t,) es simplemente el conjunto de todos los 7. Unicidad para el problema de la cuerda vibrante 43 Dominio L 1 X puntos (2, f) cuyos dominios de dependencia contienen (xlr t l ) . Se ve fcilmente que es la parte de la banda O < x < I situada en y encima de las dos caractersticas que pasan por (xl, tl) y dirigidas hacia arriba. De las ecuaciones (7.6) resulta claro que las caractersticas representan la propagacin con velocidad c (x), que puede variar de un punto a otro. Son las generalizaciones directas de las rectas x + ct = const. y x - ct = const. para el caso de ser constante c. Podemos otra vez demostrar que las discontinuidades de las derivadas de u (x, t ) se propagan a lo largo de las caractersticas. Las integrales de contorno en (7.3), que de otro modo apareceran tambin en (7.5), se anulan debido a que v y por tanto &/at = O en los contornos. Tambin se anularn si &/ax = O. Por tanto el teorema de unicidad tambin es vlido para condiciones de contorno libre en uno o en los dos extremos. EJERCICIOS 1. Hallar las caractersticas que pasan por el punto ( O, 1 ) para 2. Hallar el dominio de dependencia del punto ( 4 8 , 2) relativo al problema 3. Hallar el donlinio de dependencia del punto ( t , 3) relativo al problema 44 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden a% " (1 + xZ)2s= a2u F(x, t ) para O < x < 1, t > O, u(x, O) =o para O 5 x 5 1, au %(X' 0) = 0 para O 5 x 5 1, u(0, t ) = o, j - ( l , t ) = o. au 4. Hallar el dominio de influencia del punto (+, O) relativo al problema a2u -_ at2 (1 +x2)2--=0 azu ax2 para O < x < 1, r > O, u(x, 0) = f ( x ) para O 5 x 5 1, au %(X, 0) = d x ) para O 5 x 5 1, u( 0, t ) = u(1, t ) =o. 5. Demostrar que si A (x, t ) y C ( x, t ) son funciones positivas derivables con continuidad y si A es no decreciente en t y C no creciente en t , el problema de valores iniciales de frontera $(A$) - = F( x , t ) para O < x < 1, t > O, u(x, 0) =Ax) para O 5 x 5 1, au =(x, 0) = Ax) para O 5 x 5 1, u(0, t ) = u(1, t ) =o tiene a lo sumo una solucin. Mostrar el modo de construir el dominio de dependencia de un punto (x. t ) . I NDI CACI ~N: Multiplicar la ecuacin diferencial por &/at, integrar y emplear la integracin por partes para eliminar las derivadas segundas de u. 6. Demostrar que el dominio de dependencia de un punto (x. t ) relativo al problema " cz(x)--= a% ~( x , para O < x < I , t > O, $X' 0) = 0 para O 5 x 5 1, a t 2 ax2 au u(x, O) = o para O 5 x 5 1, u(0, t ) = o, au %( l , t ) + u(1, t ) =O est limitado por las caractersticas C, y C, que satisfacen (7.7). 8. Clasificacin de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes La ecuacin de ondas se resolvi introduciendo nuevas coordenadas t y t i con las que se redujo a la sencilla ecuacin cuya solucin general se encontr fcilmente siendo sta p ( E ) + q (I ,). Consideremos ahora la ecuacin diferencial mhs general 8. Clasificacin de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 45 donde A , B y C son constantes dadas. Intentamos encontrar una tranSfOrmaCin lineal de coordenadas &=cwc+#3t, q = yx + 8t, de modo que el operador L [u] de (8.1) se convierta en un tnltiplo de %/a@~~. Segn la regla de la cadena Si esta expresin es de la forma deseada, es preciso que Abz + Ba#3 + Cd = O, A8' + By8 + CyZ = O. Si A = C = O, la transformacin trivial E = x, ' 1 = t nos da L en la forma deseada. Suponemos ahora que A o C no sean cero. Sea A #O. Entonces a #O y y #O, y podemos dividir la primera ecuacin por a2 y la segunda por y". De este modo obtenemos dos ecuaciones cuadrticas idnticas para las razones /?,la y sl y. Resolviendo, encontramos Con objeto de que la transformacin de coordinadas (8.2) sea no singular, las razones y S / y deben ser distintas. Luego, debemos tomar el signo ms en una solucin y el signo menos en la otra. Adems, debemos suponer que la cantidad B2 - 4AC es positiva. Si fuera cero, las dos razones coincidiran, en tanto que si fuera negativa, ninguna de ellas sera real. De modo que podemos transformar L [u] en un mltiplo de ii2u/al~, si y slo si B2 - 4AC > O. Siempre que esto se cumpla, se dice que L es hiperblico. La transformacin en este caso viene dada por 6 = AX + [-B + V B Z - 4AC] t , 7) = AX + [-B - d B 2 - 4AC] t , y el operador queda transformado as 46 Ecuaciones diferenciales lineales en derivados parciales de segundo orden (El caso A = O puede tratarse del mismo modo, con ( = r , 71 = x - C/ B 1). La solucin general de L [ u] = O es nuevamente = P ( t ) + d ? ) . Los problemas de valores iniciales y de contorno para la ecuacin (8.1) pueden resolverse en forma parecida a como se hizo con la ecuacin de onda. Las rectas ( = const. y = const. son las caractersticas de L. Definen nuevamente dominios de dependencia y dominios de influencia, y las discontinuidades se propagan a lo largo de ellas. En realidad, un operador hiperblico L es simplemente el operador de onda en un sistema de coordenadas mvil con velocidad - B/2A. (Ver ejercicio 2). Si B2 - 4AC = O, se dice que L es parablico. En este caso existe slo un valor de B/a que anula el coeficiente de 8 u / a [ 2 en (8.3). ste es Ya que B/2A = 2C/B, resulta tambin nulo el coeficiente de a2u/a&bl. As, la trans- formacin transforma L [u] en e= 2Ax- Bt , v = t Sta es la forma corriente para un operador parablico. La eleccin de 11 es totalmente arbitraria. Podramos elegir cualquiera yx + 6t en tanto que 6 / y #B/2A. Si A = O, podemos elegir 11 = x, E = t para obtener L [u] = = Ca2u/&r. La solucin general de L [ u] = O es ahora Esta solucin puede interpretarse como una onda de forma fija que se mueve con velocidad B/2A, junto con otra onda que crece linealmente con el tiempo y se mueve con la misma velocidad. Un operador parablico tiene slo una familia de caractersti- cas ( = const. Las discontinuidades de las derivadas se propagan a lo largo de esas carac- tersticas. Finalmente, si B2- 4AC < O, el operador L se llama elptico. En este caso ninguna eleccin de p;cf o 2, y hace nulos los coeficientes de 9' u;ai t2 o 72u/6~;2 en (8.3). Sin embar- go, la transformacin 8. Clasificacin de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 47 hace (8.9) 2Ax- Bt , '= d 4 AC - B2 q = t (Puesto 4AC > B2, A #O). Una forma corriente para una ecuacin diferencial elptica L [u] = O es Sta es la llamada ecuacin de Laplace. No tiene en absoluto caractersticas. Las derivadas parciales de una solucin de esta ecuacin no presentan discontinuidades. Observacin. La ecuacin cuadrtica Ax 2 + Bx t + Ct 2 = Cx + At + A representa una hiprbola, una parbola o una elipse segn que B2 - 4AC sea positivo, cero o negativo respectivamente. Esto explica los nombres de las tres clases de operadores de derivacin parcial. Resumimos la clasificacin del operador (8.1): Hiperblico Parablico Elptico Signo de B2 - 4AC + O Familias de caractersticas 2 1 O Forma corriente - azu - a2u a2u a2u - ata77 -+7 aq2 ayz as EJERCICIOS I . Clasificar los operadores siguientes y encontrar sus caractersticas (si hay alguna) que pasan por el punto (O, I ) . (a) -+-+- a% a2u a% at2 axat a 2 (b) "4-+4- a% azu a2u at2 axat ax2 (c) " 44" " " . a% azu a% at2 axat ax2 2. Demostrar que si el operador L [ u] de (8.1) es hiperblico y A #O, la transformacin a coorde- nadas mviles x' = x - -t, B 2A 1' = t convierte f. en un mltiplo del operador de onda. (Esto es, el operador de onda es Otra forma corriente para un operador hiperblico.) 3. Utilizando el resultado del Ejercicio 2, hallar la solucin del problenla de valores iniciales 48 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden En particular, hallar el dominio de dependencia de un punto (-2, i). no pueden ser dados independientemente en el Ejercicio 3. 4. Demostrar que si A O, la recta t O es una caracterstica, los valores iniciales 14 (x, O) y &</at (x, O) 9. Clasificacin de los operadores generales de segundo orden Consideremos el operador lineal de derivacin parcial L[ u] A ( x , 1) - + B( x , 1)- + C ( X , t ) - + D ( x , 1) - a2u a2u a2u au at2 axat ax2 at (9.1) + E( x , 1) - + F( x , t ) u. au ax Este operador L se llama hiperblico, parablico o elptico en un punto (x,,, to) segn que B2 (x,,. to) - 4A (x,,, to) C (x", t u) sea positivo, nulo o negativo respectivamente. Se llama hiperblico, parablico o elptico en un dominio, si tiene tal propiedad en cada punto del dominio. Por medio de una de las transformaciones lineales de la seccin precedente podemos reducir los trmino de segundo orden de L a una forma ordinaria en cualquier punto par- ticular (x,,, to). Demostraremos ahora que los trminos de segundo orden pueden reducirse a una forma corriente en todo un dominio por medio de una transformacin de coorde- nadas ms general (no lineal). Introducimos nuevas coordenadas (6, 7,) que son funciones de x y t derivables dos veces con continuidad: l = l (x, t), = 7 (x, t ) . Segn la regla de la cadena encontramos + [ L[ 5] - + [L[q] - Fq]* + Fu. a t a7) Si L es hiperblico, los coeficientes de azu'ac2 y a2u/3t pueden anularse poniendo (suponiendo A #O) a6 an - - at -B + d B 2 - 4 A C _ = at -B - ~ B Z - ~ A C -= g 24 3 2A ax ax Entonces las curvas E -2 const. son soluciones de (9.3) 9. Clasificacin de los operadores generales de segundo orden dr - B - VB2 - 4AC, " dt 2'4 49 mientras que las curvas = const. satisfacen (9.4) dr B + d B 2 - 4AC. -= dt 2'4 En ambos casos dxldt satisface A - -"++=o. (32 2 (Obsrvese el signo menos que afecta B) . Las velocidades de propagacin dxjdt en cual- quier punto (x, t ) son las mismas que si los coeficientes fueran constantes. [Ver (8.41. Las ecuaciones diferenciales ordinarias (9.3) y (9.4) dan dos familias de curvas, que son las Caractersticas de L. Los valores de E y pueden asignarse arbitrariamente a lo largo de la recta inicial t = O. Ellos se propagan entonces a lo largo de dos familias de caractersticas. Dicho de otro modo, si obtenemos una familia de soluciones de un solo parmetro x = f ( t ; a) de (9.3) que satisfagan las condiciones inicialesf(0; a) = a, podemos, en prin- cipio, despejar a en funcin de x y t . Esto es, podemos encontrar la interseccin con el eje x de la curva solucin que pasa por un punto dado ( x, t ) . Entonces 6 puede elegirse de modo que sea cualquier funcin montona de a (x, t ) . Anlogamente, si x = g ( t ; b) es la solucin de (9.4) con g (O, 6) = b, podemos despejar b ( x, t ) y elegir 71 que sea cual- quier funcin montona de 6. Ejemplo. Consideremos Las ecuaciones de las caractersticas son "- d x - 5 +2 x 2 - 3 dt 2 +i Para E = const., tenemos dx " I + x 2 - d t O Para 7 = const., tenemos x = tan[ t + tan-' u ] As pues podemos tomar . $ = tan- ' x - t ( = tan-' u ) , 50 Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales de segundo orden Entonces Debemos, naturalmente, considerar x como funcin de E y 7, dada por x = tan'/:$ ($x -!- E - 7) -cot1/:' can + 6 - 7). Hemos demostrado que si 6 y 71 son coordenadas caractersticas esto es, si 6 = const. y = const. son caracterstica$, la nica derivada segunda que aparece en L [u] es a2u/a&,. A partir de esto se deduch ? i s propiedades de las caractersticas que se obtuvieron para la ecuacin de onda. Esto es, las discontinuidades se propagan a lo largo de las caracte- rsticas, y los dominios de dependencia e influencia quedan determinados por las carac- tersticas. (Ver seccin 82). En este caso puede darse para el problema de valores iniciales una demostracin de la unicidad muy parecida a la de la seccin 7. Si L es parablico, las dos ecuaciones caractersticas (9.3) y (9.4) son las mismas, de modo que existe una sola familia de caractersticas. Si la coordenada 6 se elige de manera que sea constante a lo largo de las caractersticas (esto es, las soluciones de dxjdt = B/2A), los coeficientes de a2u/at2 y a2u/a& se anulan, con lo que la nica derivada segunda que aparece en L es a2u/&?. (Obsrvese que es totalmente arbitraria). El dominio de depen- dencia est situado en y a un lado de la caracterstica que pasa por el punto. Por ltimo, si L es elptico, se puede anular el coeficiente de a2u/a@?, en (9.2) eli- giendo 97 arbitrariamente y haciendo 4 const. a lo largo de las soluciones de Las otras dos derivadas segundas de u tendrn entonces coeficientes con el mismo signo de A. Puesto que una ecuacin elptica no tiene caractersticas, las soluciones de L [ u] = O no tiene discontinuidades cuando L es elptico. El dominio de dependencia de un punto es todo el dominio en el que se da la ecuacin. EJERCICIOS 1. Hallar donde son hiperblicos, parablicos y elpticos los siguientes operadores 2. Hallar las caractersticas de azu a2u at2 ax2 d2U a% a% au au a t 2 axat ax2 at ax (a) -- t- (b) - + 2ex- + eZz- + cos x- + sen x- + X'U (c) ( C OS ~ X - sen2x)- + 2 cosx- + - + u. a% a2u a% a t 2 axat ax2 4 , que pasan por el punto (O, 1). Y 9. Clasificacin de los operadores generales de segundo orden 3. Hallar las coordenadas caractersticas t', 11 para 51 tales que E (x, O) = 9 (x, O) =x. segundas de (9.2) son mltiplos de 4. Demostrar que si L es hiperblico, [ y 71 pueden elegirse de modo que los trminos en derivadas BIBLIOGRAFA PARA EL CAPTULO I I R. V. CHURCHILL, Fourier Series and Boundary Value Problems, McCraw-Hill, 1963, captulo 10. R. COURANT AND D. HILBERT, Methods of Mathematical Physics, Vol. 2, Interscience, 1962, capitulo 111. 1. G. PETROVSKY, Lectures on Partial Dfferential Equations, Interscience, 1954, captulo I . H. SAGAN, Boundary and Eigenvalue Problems in Mathernatical Physics, Wiley, 1962, captulo I I . CAP f T UL O 111 Algunas propiedades de las ecuaciones el@ticas y parabdicas 10. Ecuacin de Laplace En la seccin 2 dedujimos un modelo matemtico de aproximacin para una cuerda vibrante. Puede aplicarse el mismo mtodo al problema bidimensional anlogo al de la cuerda, que es el de una membrana. Se define una membrana como un continuo elstico de dos dimensiones tal que las nicas fuerzas de interaccin entre sus partes son tan- gentes al mismo. La masa por unidad de rea es una funcin continua p (x, JJ). El contorno de la mem- brana est sujeto a un marco o bastidor rgido consistente en una curva cerrada C situada en el plano xy. La membrana tiene una posicin de equilibrio en la cual est situada en el plano xy y el bastidor ejerce una fuerza de tensin constante To por unidad de longi- tud en la direccin de la normal a C en el plano xy. Los desplazamientos y velocidades iniciales en la direccin del eje z estn dados para t = O, y a partir de este instante se aplica una fuerza F (x, y, t ) por unidad de masa en la direccin del eje z. Hacemos hiptesis parecidas a las que se hicieron en la deduccin de la ecuacin de la cuerda vibrante en la seccin 1 (desplazamientos y velocidades pequeas en las direc- ciones de los ejes x e y). Entonces el movimiento queda descrito aproximadamente por z = 4 x 9 Y , t ) , en donde u es una solucin de con adecuadas condiciones iniciales y de contorno. Aqu c2 = T, / p( x, y). Consideremos ahora la forma de equilibrio de la membrana. Esto es, damos una fuerza F (x, y ) independiente de t , y establecemos un desplazamiento vertical fijo u = f ( x, y) sobre el contorno C. Deseamos hallar una funcin u (x, y ) independiente de t tal que sobre C, en donde D es el dominio interior a C. (Por conveniencia, hemos tomado c = 1). nica- mente es preciso que f est definida sobre la curva C. Al decir una curva cerrada C significamos un conjunto de puntos expresado en fun- cin de un solo parmetro t mediante ecuaciones de la forma 53 WEINBERGER - 3 -. .. .. - 54 con Algunas propiedudes de lus ecuuciones elipticas y pumhtilicus x = x ( T ) , y = Y ( T ) para ro 5 7 5 T I siendo las funciones x ( T) e y ( 7) continuas. Suponemos que la curva no \e corta a s misma: esto es, que para 70 2 7 -r: 7 , nunca corresponden dos valores distintos de 7 para el mismo punto (x, y). Si x e y son funciones de t derivables con continuidad siendo , Y 2 f y'2 > O y x' (to) y' (tl) - x' (zl) y' (to) = O, decimos que C es derivable con continuidad. Si son continuas y esas condiciones se cumplen salvo en un nmero finito de valores de 7 , se dice que C es derivable con continuidad a trozos. Por ejemplo, el cuadrado [T para O 5 T 5 1 ( O para O 5 T 5 1 X(7) = i i 1 para 1 5 r 5 2 7 - 1 para 1 5 . 7 1 2 3 - T para 2 5 r 5 3 para 2 5 r 5 3 O para 3 5 T 5 4 4 -- r para 3 5 T 5 4 Y ( T ) = * es derivable con continuidad a trozos, ya que x (T) e y ( 7) tienen derivadas continuas excepto en los vrtices t = O, 1, 2. 3. Una curva cerrada C separa el plano xy dos regiones una exterior y otra interior. El interior D es un conjunto acotado. ste no incluye la curva C. Si C es derivable con continuidad a trozos, D es un conjunto abierto. Esto es, para cada punto (x, y) de D. existe un E > O tal que todo punto que diste de (x, y) menos de E pertenece tambin a D. Un tal conjunto D se llama dominio *. La ecuacin diferencial en derivadas parciales (10.1) se llama ecuacin de Poisson. En el caso F = O, se denomina ecuacin de Laplace. El operador '1, '' definido por es el operador de Laplace en dos dimensiones. plo, si u es un potencial electrosttico, el campo elctrico E viene dado por Muchbs problemas de Fsica matemtica conducen a la ecuacin de Poisson. Por ejem- E = -grad u. Con esto significamos que el componente de E en una direccin cualquiera viene dado por la derivada direccional de u en esa direccin cambiada de signo. En particular, E, = (carga por unidad de rea) es F/2n, encontramos que - " au/ ax , Ey = - au/ay. Si la constante dielctrica es uno y la densidad de carga Si tenemos un dominio bidimensional D (esto es, un cilindro de longitud infinita cuya seccin recta es D) limitado por un conductor conectado a tierra que coincide con C, tenernos las condiciones de contorno u = O sobre C. (S) En realidad cualquier conjunto conexo se llama dominio. Nos limitarnos aqu a dominios acotados sim- tendemos un dominio sin agujeros plemente conexos con contornos derivables con continuidad a trozos. Por dominio simplemente conexo en- 10. Ecuucihn de k pl uc e 55 Por otra parte, C puede componerse de varios conductores con diversos potenciales, en cuyo caso u ser una funcin dada f sobre C. Un problema ligeramente distinto es el referente a la conduccin de electricidad sobre una lmina conductora que recubre el dominio D. Si E es el campo elctrico e I el vector corriente, la ley de conservacin de cargas establece que a a ax ay div I = "I, + -I, = O La ley de Ohm dice que I = uE, donde o es la conductividad (constante). Adems, E =-grad u, siendo u la funcin potencial. Reuniendo esas ecuaciones, tenemos Vz u= O en D. Sobre el contorno C podemos otra vez precisar el potencial u. Tambin podemos aislar parte del contorno de modo que no pase corriente por ella. Esto significa que la derivada direccional au/an de u en la direccin perpendicular a la frontera debe ser nula. En funcin de x (t) e y (t) que definen C, esa condicin puede ponerse Por el mismo mtodo pueden formularse otros problemas de equilibrio de flujo. Si u es una temperatura de equilibrio, y si suponemos que el flujo de calor viene dado por el gradiente de u, la ley de conservacin de la energa da v2u = o. Nuevamente podemos precisar u sobre algunas partes del contorno y decir que aujan = O (esto es, no st: presenta flujo de calor) en las otras partes. De manera anloga se trata el estudio del movimiento permanente irrotacional en dos dimensiones de un fluido incompresible y no viscoso. Todos los ejemplos anteriores excepto el de la membrana se formulan con mayor propiedad en tres dimensiones (x, y , 2) . La curva cerrada se sustituye por una superficie cerrada C cuyo interior es un dominio tridimensional D. La ecuacin de Poissones (10.2) Tambin aqu se ha de dar u o +!an sobre C. Es evidente que todos esos problemas son lineales. A diferencia de la ecuacin de ondas la de Laplace ordinariamente trata estados de equilibrio. En consecuencia, no debemos pensar en problemas de cualquier clase de pro- pagacin. Los problemas naturales son ahora problemas de valores de contorno, donde los datos se dan sobre una curva o una superficie cerradas. Esto es caracterstico de las ecuaciones diferenciales elpticas. 56 Algunas propiedades de las ecuaciones elpticas y parabdicas Si intentamos aplicar la demostracin de la unicidad de la seccin 7 al problema de valores iniciales de contorno (10.3) u( x, O) = f(x) para O 5 x 5 1, au " ( X , O) = o ay u( 0, Y) = o, u(1, Y ) =o , para O 5 x 5 I , vemos que el integrando en la integral resultante no es no negativa, de manera que la demostracin falla. Esta dificultad sugiere que el problema ya no est propuesto correc- tamente. En realidad, se puede efectivamente demostrar que este problema tiene a lo sumo una solucin. Sin embargo, la continuidad con respecto a los datos falla, como es fcil demostrar con el siguiente ejemplo debido a Hadamard. La funcin Un ( X, y ) = e-ficosh (4n + I ) r y sen (4n + l )rx, en la que n es cualquier entero positivo satisface el problema (10.3) con f = e - m sen (4n + 1) nx. Eligiendo n suficientemente grande podemos hacer no slo f sino un n- mero cualquiera de sus derivadas tan pequefias como queramos. Por otra parte, un(+, y ) = e-*cosh (4n + 1)n-y puede hacerse arbitrariamente grande para cualquier y > O fijo eligiendo n suficientemente grande. Esto prueba que el problema (10.3) no es continuo respecto a sus datos iniciales y por tanto no est propuesto correctamente. Este hecho tiene consecuencias prcticas. Por ejemplo, segn el teorema de unicidad antes mencionado, la temperatura de equilibrio en un rectngulo O < x < 1, O < y < A est determinada por la distribucin de temperatura sobre la parte y = O del contorno, si esta parte se mantiene aislada. Sin embargo, debido a la falta de continuidad, es impo- sible calcular la temperatura en un punto interior a partir de medidas sujetas a error de la temperatura slo sobre esa parte del contorno. Para cualquiera de esas mediciones, por muy precisas que sean, no podremos distinguir entre los valores de contorno de dos distribuciones que difieran en un si n es suficientemente grande. Como hemos visto, esas distribuciones de temperatura difieren en una cantidad tan grande como se quiera en el punto interior (4, y), de modo que carece igualmente de sentido discutir con aproximacin la temperatura en dicho punto *. El operador de Laplace tridimensional (10.2) es el prototipo de operador elptico de segundo orden en tres dimensiones. Definamos el operador adicional, tal como la temperatura mxima. Ver L. E. PAYNE, (( Bounds in the Cauchy problem for the Laplace (a) El problema puede hacerse razonable desde el punto de vista del clculo mediante una donnac i n equation )>, Archive for Rational Mechanics and Analvsis, 5 (1960), pgs. 35-45. 11. Teorema de Green y unicidad para la ecuucicin de Laplace S7 donde A, B, C, D, E, F, G, H, J y K pueden depender de x, y y z, como elptico en un punto (xo, y,, 2,) si existe una transformacin lineal de paso a las nuevas coordenadas ( E, 9, [) tal que en stas sea en el punto ( E, , va, c0) correspondiente al (xo, yo, z,). Decimos que L es elptico en un do- minio D si es elptico en todo punto de D. Con mayor generalidad, un operador L en n dimensiones (x1, x2,. . . , x,) se llama elptico si en cada punto puede reducirse a la forma con c #O mediante una transformacin lineal de coordenadas. denomina funcin armnica. Una solucin de la ecuacin de Laplace (en cualquier nmero de dimensiones) se EJERCICIOS 1. Demostrar que el operador no es elptico. 2. Demostrar que el operador es elptico si y slo si el operador bidimensional es elptico, y AD >. O. 3. Hallar la ecuacin que se satisface para el potencial u (x, y, z)en un conducto tridimensional si E = - grad u, I = uE, div I = O, y la conductividad U (x, y, z) es positiva. Demostrar que esa ecuacin es elptica. 11. Teorema de Green y unicidad para la ecuacin de Laplace La unicidad de la solucin del problema (10.1) puede demostrarse otra vez mediante condiciones referentes a la energa. Comencemos con la identidad O, en notacin vectorial (11.1) u div (grad u ) = div (u grad u ) - lgrad ul " . (Esta identidad puede comprobarse efectuando las derivaciones indicadas). 58 Al g u m propiedades de las ecuaciones elipticas y parablicas Apliquemos ahora el teorema de la divergencia, que establece que para todo campo vectorial derivable con continuidad en un dominio D interior a una curva C derivable con continuidad a trozos y continuo en D + C, 1 1 div v dxdy 1' 1' (2 + $) dxdy = f v n ds, D D c siendo n el vector unitario exterior normal a C y S la longitud del arco C. Si C est definida por x = x (t) y = y (t), tenemos dr = v,dy - v,dr. Con el integrando en esta forma el teorema de la divergencia resulta formalmente inte- grando av,/ax respecto a x y luego respecto a y, y avy/ay respecto a y y luego respecto a x. El teorema de l a divergencia con el segundo miembro en la forma $ [ v d y - vydx] se llama con frecuencia teorema de Stokes. Integremos ahora ambos miembros de la identidad (1 l . 1) sobre D y apliquemos el teorema de la divergencia. Segn la definicin de gradiente gradu- n=- , au an la derivada direccional de u en la direccin normal exterior. (En realidad, puesto que u est definida solamente en D y sobre C, esa derivada direccional es una derivada lateral). Obtenemos (11.2) para cualquier funcin u que tenga derivadas parciales segundas continuas en D y deri- vadas parciales .primeras continuas en D + C. La identidad (11.2) se llama teorema de Green. Si u es una solucin del problema (l O,l ), el teorema de Green nos da I 1 Fudxdy = - f - ds + J grad uI2 drdy. D C f 1' 1 El pnmer miembro puede ser interpretado como el trabajo realizado por la fuerza F al llevar lentamente la membrana hacia su posicin de equilibrio. Los dos trminos del segundo miembro representan el trabajo realizado por fuerzas sobre el contorno y la energa potencial acumulada en la membrana, respectivamente. Pueden darse interpre- taciones parecidas en las dems aplicaciones. Para demostrar que el problema (10.1) tiene a lo sumo una solucin, aplicamos la identidad anterior a la diferencia v = u1 - u2 entre dos soluciones del problema (10.1). La funcin v satisface las mismas ecuaciones, pero con F = f = O. Entonces (11.3) 11. Teorema de Green y unicidad para la ecuacin de Laplace 59 D D Esto es, no se ha acumulado energa. Ya que el integrando en (1 1.3) es no negativo, con- cluimos como antes que debe ser idnticamente nulo. De esto resulta que v es constante. Puesto que Y = O sobre C, v = u1 - u, = O, lo que demuestra la unicidad. Si, como en el caso de flujo de calor, desdoblamos el contorno C en uno o ms com- ponentes, C, en el que se .da u y la parte restante C, donde es &/an = O, el problema de la unicidad adopta la forma (11.4) V2 v = O en D, V = O sobre C1, avlan = O sobre Cz. En este caso vavjan = O en la totalidad de C y, por tanto, hallamos (1 1.3). Llegamos otra vez a la conclusin de que v es constante. Esta constante debe ser cero, a menos que no haya la parte C1 en la que se da u. En este caso, esto es, cuando slo se da aupn sobre C, las dos soluciones pueden diferir en una constante cualquiera. EJERCICIOS 1. Demostrar que el problema tridimensional u = f sobre C, siendo C una superficie cerrada y D su interior, tiene a lo sumo una solucin. problema . 2. Demostrar que si C es una curva cerrada derivable con continuidad a trozos que limita D, el Vz u=- F( x, y ) en U, u = f sobre CI, au an + au = o sobre CP, - donde C, es una parte de C y C, la parte restante, y a es una constante positiva, tiene a lo sumo una solucin. (Este problema corresponde a sujetar un soporte elstico con elasticidad constante a la parte C, del contorno de la membrana.) 3. Demostrar que el problema = O para x2 + y2 < 1 u = x2 para x2 + y z = 1 tiene a lo sumo una solucin. INDICACI~N: Usar el teorema de la divergencia para deducir una identidad de energa. 4. Demostrar que el problema tiene a lo sumo una solucin. 60 Algunas propiedades de las ecuaciones elpticas y parablicas 5. Demostrar que si el operador es elptico; entonces el problema L[ u] =- F en D u =f sobre C tiene a lo sumo una solucin. resultante es no negativo (si A -y O) aplicando la transformacin (8.8) en un punto cualquiera. 12. El principio del mximo I NDI CACI ~N: Aplicar el teorema de la divergencia a uL [u], y demostrar que el integrando de la integral Hemos demostrado la unicidad de las soluciones de la ecuacin de Poisson utilizando la ley de conservacin de la energa. Demostraremos ahora una propiedad de las solu- ciones de dicha ecuacin y de muchas otras de tipo elptico, que nos da no slo la uni- cidad sino tambin la continuidad respecto a los datos. Esta propiedad es especialmente til en la aproximacin de la solucin. Sea u una solucin de (12.1) V2u =- F( x , y ) en D, y supongamos que F < O en D. Sea u continua en D + C. En estas condiciones dicha funcin u alcanza su mximo M en algn punto de D + C. Supongamos que ello ocurra en el punto (xo, y,,) de D. Mediante clculos sencillos sabemos que Esto significa que 0% I O en (xo, y,,), lo cual contradice el hecho de ser F < O. Por con- siguiente el mximo de u debe presentarse sobre C. As pues si u satisface (12.1) con F < O en D y si u < M sobre C, encontramos que u I M en D. Esto significa sencillamente que una fuerza dirigida hacia abajo en todo punto de la membrana no puede producir un abultamiento de la misma hacia arriba. Deseamos ahora extender esta conclusin al caso F 2 O, de modo que en particular, se aplicar a la solucin de la ecuacin de Laplace. Supongamos, entonces, que F S O en (12.1), y que u S M soore C. Observemos que la funcin x2 + y2 tiene las dos propiedades x2 + Y2 T O y 0 (x2 + y2) = 4 > O. Entonces para todo E > O la funcin v = u + (X2 + y2) satisface 12. El principio del mximo U2v= "( F - 4 ~) en D. 61 Ya que F I O y E > O, F- 4~< O. Segn las consideraciones anteriores Y debe alcan- zar su mximo sobre el contorno. De modo que v ( x, y ) 5 max [u + ( x2 + y' ) ] c 5 M i- ER', siendo R el radio de un circulo que contiene D. (Suponemos que D es acotado). Puesto que u < v por definicin, u(x, y ) 5 M + eR2 para todo E > O. Haciendo que E +O, encontramos que u ( x , y ) 5 M en D. Esto es, si u es una solucin de ( 1 2.1) con F .=O, el valor de u en D no puede superar su mximo sobre C. ste es el llamado principio del mximo. Tal principio establece que si no se aplica ninguna fuerza hacia arriba, una membrana no puede abultarse hacia arriba. Si u es una solucin de la ecuacin de Laplace vzu = o, podemos aplicar este principio a u y a - u. Encontramos que si In I u I M sobre C, la misma desigualdad es vlida en D. En particular, si u = O sobre C, entonces u = O en D. ste es el teorema de unicidad para el problema (10.1). Encontramos tambin la continuidad con respecto a los datos para el problema U2u=-F en D, u =f sobre C. Para y por consiguiente u + 2 max IF1 (x' + y 2 ) 5 maxf+ -Rz max IFI. D C 4 D 1 1 Se deduce que u 5 maxf+-Rz max lFI. 1 C 4 0 Aplicando a - - u las mismas consideraciones, encontramos que l u( x , y)I 5 rnax I f 1 + -R2 max IF/ . 1 C 4 0 62 Algunas propiedades de las ecuaciones elpticas y parublicas Esta desigualdad establece que si los datos f' y F son uniformemente pequeos, lo mismo puede decirse de la solucin. Un razonamiento ms riguroso debido a E. Hopf demuestra que si u es una solucin no constante de (12.1) con F I C O, entonces en los puntos de C donde u alcanza su mximo, la derivada normal exterior &,!an es positiva y no nula. En particular, a menos que u sea una constante no puede alcanzar su mximo en una parte del contorno donde el valor aujdn = O est asignado. Esto nos permite demostrar la unicidad y la continuidad para el problema en el que hi an = O sobre una parte C, del contorno. Ver R. Courant y D. Hil- bert, Methods of Mathematical Physics, vol. 2, Intersciencie, 1962, p.362. EJERCICIOS 1. Demostrar que si @U - dx2 +A(x)-= du O para O < x < 1, dx I I alcanza su mximo en el intervalo O -: x L: I bien en A- ~ O o en x 1. 2. Demostrar que si II es una solucin de V u + D( x , y ) ~ + E( x , y)- = -F(x, y) en D au au ay con F < O, entonces I I no puede alcanzar su mximo en algn punto de D 3. Demostrar que si u es una solucin de L[ u] = V2u + D( x , y)% + E( x, y)- = O en D, au aU ay donde D y F son uniformemente acotadas y u es continua en D 1 C. y si u I M sobre C,entonces u< M en D. INDICACI~N: Demostrar que para un U suficientemente grande la funcin elJ x satisface L[eaz] > O. 4. Demostrar que si tiene coeficientes continuos y es elptico en D f C, entonces toda solucin u de L[ uJ =o, que es continua en D +C debe alcanzar su mximo sobre C. I NDI CACI ~N: Ntese la forma ordinaria para una ecuacin elptica. Demostrar entonces que L[e"']>O para a suficientemente grande. (Supngase que A 1 ' . O. ) 5. Demostrar que una solucin u (x, y, z ) de satisface un principio del mximo. 6. Demostrar que si es elptico y L [ u] =O, u satisface un principio del ntximo. INDICACION: Utilizar la definicin dada en la Seccin 10. 13. La ecuacin del calor 63 7. Demostrar que si - $+A(x)-++(x)u=O, du dr c o n E ( x ) ~ O p a r a O < x < l , y s i u ( O ) I O , u ( l ) l O , e n t o n c e s u ( x ) l O p a r a O i x l I . I NDI CACI ~N: Demostrar que u no puede tener un mximo positivo. 8. Demostrar que si u es continua en D 4- C y entonces u< O en D. I NDI CACI ~N: Demostrar que u no puede tener un mximo positivo en D. 9. Demostrar que si es elptico y si > A (x, y ) > O y G (x, J ') I O, entonceq cualquier solucin de L [u] = O en D que sea continua en D f C y no positiva sobre C es tambin ns positiva en D. I NDI CACI ~ N: Demostrar primero que si L [v] > O, Y no puede tener un mximo positivo en D; observar en- tonces que para U suficientemente grande, L [e"'] > O. 13. La ecuacin del calor Consideremos la temperatura u (x, y , z, 1) en un bloque de un cierto material que determina un dominio tridimensional D limitado por una superficie cerrada C. El material tiene la propiedad de que en el punto (x, y , z ) la temperatura u es alcanzada acumulando la energa E (x, y , t , u) por unidad de volumen en forma de movimiento molecular alea- torio. Tiene adems la propiedad de que si u es no constante, la energa calorfica fluye en la direccin de - grad u (esto es, del calor al fro) con magnitud K (x, y , z, u) lgrad u[ . (Hemos supuesto aqu que el material es isotropo). La cantidad K (x, y , z, u) se llama conductividad trmica del material. Escribamos la ley de conservacin de la energa. Sea C, una superficie cerrada cual- quiera con el interior Do situado dentro de D. El cociente diferencial de variacin de ener- ga en Do debe ser igual al flujo de energa dentro de l. Esto es, DO c o siendo n el vector unitario normal exterior y dS el elemento de rea sobre C,. vectorial v derivable con continuidad El teorema de la divergencia (teorema de Gauss) afirma que para cualquier campo DO co Apliquemos este teorema al segundo miembro de (13.1), y supongamos que podemos intercambiar la derivacin y la integracin en el primer miembro. Esto nos da 64 Algunas propiedades de las ecuaciones elpticas y parublicas (13.2) / / / [g - div ( K grad u ) dxdydz = O 1 DO para cualquier Do interior a D. Supongamos que el integrando sea continuo. Si existe en D un punto (xo, y,, z,) en el que el integrando es positivo, lo mismo ocurre en una esfera suficientementk pequea de centro en (x,, y,, 2,) . Tomando esa esfera como Do hacemos el integrando positivo, con lo que se contradice (1 3.2). Por tanto el integrando nunca puede ser positivo, o, por el mismo razonamiento, negativo. En consecuencia debe se cero. Esto es, La cantidad aE/au es el calor especfico. k = K/(aE/au), la ecuacin se convierte en Si para simplificar hacemos las hiptesis de que aE/au y K son constantes, y ponemos ( 13. 3) " au at kU2u = O. sta se llama la ecuacin del calor. Desde el punto de vista fsico podemos pensar en asignar la temperatura inicial u (x, y, z, O), y la temperatura sobre el contorno C como funcin del tiempo. O alterna- tivamente, podemos aislar una parte del contorno de modo que 3ujan = grad u. n = O en ella, y asignar u en el resto del contorno en un instante tal como t = O. En ambos casos se trata de un problema de valores iniciales y de contorno. El mismo problema se presenta tambin en un'proceso de difusin, en el que u re- presenta la concentracin. Una concentracin es un concepto de equilibrio, y por tanto obtenemos la ecuacin (1 3.3) tan slo si el sistema est en todo momento esencialmente en equilibrio. Esto es, el cociente diferencial de variacin de u ha de ser pequeo en relacin con el perodo total de tiempo del movimiento aleatorio que produce el equilibrio. La temperatura es tambin un concepto de equilibrio, de modo que otra vez (13.3) es cierta nicamente si la temperatura cambia con suficiente lentitud. Podemos esperar que, en el perodo de tiempo que se considera, los cambios que experimenta u se propagan con velocidad infinita. Si consideramos un problema en el que u es independiente de z e y, la ecuacin del calor se reduce a (13. 4) De acuerdo con nuestra clasificacin esta ecuacin es parablica. Tiene la nica familia de caractersticas I = const., que corresponde a la propagacin con velocidad infinita. En realidad, la ecuacin (13.3) es parablica, y sus caractersticas son los hiperplanos I = const. Con mayor generalidad, un operador L de segundo orden con n variables (x1,. . . , x,) se llama parablico si para cada punto podemos introducir nuevas coordena- das (em &, . ."&$ de manesa que la parte de L con derivadas segundas se reduzca, en el punto considerado, a 13. La ecuacin del calor 65 El hecho de que la superficie inicial t = O es caracterstica se refleja en que nicamente u y no &/at puede fijarse en t = O. En realidad, los valores iniciales de au/at pueden calcu- larse a partir de los de u mediante la ecuacin diferencial. Consideremos el problema de unicidad siguiente: Si para algn f > O " au at kVZu = O para ( x, y, z ) en D para O < t < 7, u=o sobre C para O 5 t 5 t , u(x, Y , 2, O ) = 0 en D, demostrar que u = O para t f. (Aqu D es un dominio tridimensional limitado por la superficie cerrada C). Podemos demostrar esta propiedad por uno cualquiera de los mtodos seguidos para la ecuacin de Laplace. Multiplicamos primero la ecuacin diferencial por u e integramos con respecto a x, y y z sobre D, manteniendo fija t . Utilizando la forma tridimensional del teorema de Green (I 1.2), tenemos D = I I / u2 dxdydz - k / 1 u s + k 1 / / lgrad uI2 dxdydz. dt 2 D C D Utilizamos el hecho de que u = O sobre C, y suponemos que k > O. Entonces encontra- mos que I / uZ(x, y , Z , t)dxdydz 5 O. dt D Ya que esta integral se anula en t = O, obtenemos $(x, y , z, t)dxdydz = O para O < t 5 7. D El integrando es no negativo, y llegamos a la conclusin razonando como antes que u ;== O. La misma demostracin sirve incluso si u = O sobre una parte C, del contorno, mientras que &,/an = O, o &/an + c:u = O, en el resto del contorno (u 2 O). Consideremos a continuacin el principio del mximo. Supongamos primero que una funcin Y satisface " kD2v < O para(x, y , z ) en D O < t <t, at 66 Al gunu.~ propiedudes de Ius rccraciones elpticus y purah(jlicas y que es continua en D + C para O 1 t .~: i. Si v alcanza su miximo en un punto de D para algn O < t <: i, debe ser H v : i t = O, b2v,'iix2 1 O, i 2 v l ? y 2 O, t,%;?z2 1- O en ese punto. Esto nos lleva a una contradiccin, supuesto que k . O. Si el miximo se presenta en D para t = i, la primera condicin queda reemplazada por Zlv,'?f O, y llegamos an a una contradiccin. As pues, el mximo de v debe producirse bien en D para t = O o sobre C para O 5: t -: i. Esto significa que si Y -' M en t =- O y sobre C para O 5' I I i entonces v :I M en D para O :: t .<i. Consideremos ahora una solucin u de la ecuacin del calor " au at kU2u = O en D con u < M, para t = O en D y sobre C para O <: t ::i. Sea v =u + ( x 2 +y 2 +z 2 ) (>O), y supongamos que C est situada en una esfera de radio R. Entonces " dV at kU2v = - 6 k ~ < O, y por tanto u ( x , y, z, t ) 5 v ( x , y , z , t ) 5 M + eR2 para cualquier E > O. Haciendo que E + O, encontramos que u 5 M enD para O 5 t 57. Puede aplicarse el mismo resultado a (- u) para demostrar que lo mismo el m- ximo que el mnimo de u en el cilindro 1 (x, y. z ) en (D + C), O t :: i } estn situados en su fondo o en sus paredes laterales. Esto es, el material que constituye D no puede llegar a ser ms caliente o ms fro de lo que indica la temperatura que inicialmente se registr o que se aplic a las paredes. Este hecho nos da no solamente la unicidad sino tambin la continuidad respecto a los datos para el problema 13. LA ecuacin del calor 67 demuestra, el problema, por lo menos cuando D es un cubo unidad, no est propuesto correctamente para k <O. A pesar de que un y un nmero cualquiera de sus derivadas en t = O son tan pequeas como se quiera, con tal de que n sea suficientemente grande, y sin embargo un (+, 4, +, t ) + 00 como n + para todo t > O. El mismo ejemplo con > O y t < O demuestra que no podemos determinar la tem- peratura en un tiempo anterior, a partir de las determinaciones, sujetas a error, en el ins- tante en t = O. EJERCICIOS 1. Demostrar que el principio del mximo es vlido para soluciones de la ecuacin unidimensional del calor Y " k a = O para O < X < I , t > O. " ,&=O para O <X < 1 ,,(O, t ) = o, at J X ~ 2. Demostrar que si at ax2 au el mximo de u para O -r: x < I y O T f L i debe presentarse en f O o en x =/, I NDI CACI ~N: Utilizar la reflexin como en la Seccin 4. 3. Demostrar que es parablico si y slo si 8% A- + 2B" + c- J 2u J 2u ax2 axay ay2 es elptico. Demostrar que si L es parablico y A O, una solucin de L [u] =O para O -. f i y (x, J ,) en D debe alcanzar su mximo para t =O o en el contorno C de D. 4. Demostrar que una solucin de la ecuacin no lineal C A P T U L O I Y Separacih de variables de Fourier y series 14. Mtodo de separacin de variables Hasta ahora nos hemos ocupado de las cuestiones de unicidad y de continuidad que pueden tratarse para una clase relativamente amplia de problemas. Volvamos ahora al asunto de la construccin de una solucin. A tal fin debemos limitar nuestro alcance considerablemente. Puesto que estamos tratando problemas lineales, podemos siempre utilizar la super- posicin. Podemos entonces pues esperar que se puedan obtener tantas soluciones de la ecuacin diferencial homognea, de manera que cualquier otra solucin pueda represen- tarse como una combinacin lineal de aqullas. Consideremos primero la ecuacin de Laplace (14.1) Busquemos un tipo de solucin muy particular; a saber, un producto de una funcin de x por una funcin de y : v = X ( x ) Y ( y ) . Sustituyamos esta funcin v en la ecuacin diferencial, y dividamos por v. Esto da X' Y ""-0, X Y o bien (14.2) El primer miembro de esta ecuacin depende slo de x. El segundo miembro es in- dependiente de x. Decimos que la ecuacin de Laplace (en coordenadas rectangulares) es separable. Si tomamos la derivada parcial respecto a x en ambos miembros de la ecuacin se- parada, encontramos que -[-I = o. d X " dx X (Ya que X " / X depende slo de x, la derivada parcial es una derivada total). Se deduce que donde 7. es una constante. Entonces segn (14.2) 69 70 Separacin de variables y series de Fourier Vf " 'y - A. As u X (x) Y ( y) es una solucin de la ecuacin de Laplace si y slo si X e Y satisfacen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias (14.3) para un cierto valor de la constante L. Obtenemos soluciones particulares de la ecuacin (14.1) resolviendo las dos ecuacio- nes (14.3). Para cada valor de 1 cada una de las ecuaciones de segundo orden (14.3) tiene dos soluciones linealmente independientes. Sus productos forman cuatro familias de soluciones de (14.1) que dependen de un solo parmetro. stas vienen dadas por x " + A X = O Y"-AY=O e**v cos <X, ezcu sen< para A > O, 1, x, y, xy para A = O, ez-l cos C y , e?\l=Xx s e n 6 y para A < O. Para muchos dominios D es un problema muy difcil hallar combinaciones lineales en esas familias uniparamtricas de soluciones que satisfagan los valores de contorno indicados a la derecha. Limitemos por el momento nuestra atencin al cuadrado D: O < x < 1, O < y < 1. Demos la ecuacin (14.1) en D y asignemos v sobre el contorno. Esto puede hacerse poniendo v ( x , 0) =f i ( x) , 41, Y ) =h( y) , v ( x , 1) =h ( x ) , v( 0, Y ) =h(Y)r donde fl, fi. f, y f, son funciones dadas. como suma de la solucin de Puesto que estamos tratando un problema lineal, la solucin podra encontrarse (14.4) -+-=o, a% a2u ax2 ay2 U(& 0, = f l ( x ) , u(1, Y ) =o, u( x, 1) =o, u(0, Y ) =o, y otros tres problemas de valores de contorno, en cada uno de los cuales u = O excepto sobre un lado. Basta por tanto resolver problemas de este tipo. Ya que deseamos que para x =- O y x : 1 sea u 1 O, consideraremos tan slo aque- llas soluciones de la primera ecuacin (14.3) que satisfacen tambin esas condiciones. Debe ser (14.5) X ' +X X =O, X ( 0 ) = X (l ) = o. Este problema homogneo tiene siempre la solucin trivial X 7 - O, pero sta no nos interesa. Estudiaremos casos en los que sa no es la nica solucin; esto es, en los que la unicidad no se cumple para el problema (14.5). 14. Mt t do de separucicin de vuriuhles 71 Si 1 < O, la condicin X (O) = O nos dice que X (x) debe ser un mltiplo de senh 1- Ax. Puesto que senh m nunca es cero, la condicin X (1) = O demuestra que este mltiplo debe ser cero. Para 1 = O, X debe ser un mltiplo de x, y la condicin' X (1) = O nos da X O. Para 3, > O, X es un mltiplo de sen ]/x Entonces Xno precisa ser idnticamente nulo si y slo si sen di = O, esto es, si (14.6) A = n2d, donde n = 1, 2, . . . . Hemos encontrado un conjunto infinito de valores discretos de J. para los que el pro- blema (14.5) tiene una solucin no trivial. Esos valores (14.6) se llaman autovalores del problema, y las funciones (14.7) X,(x) =sen nrx, n = 1, 2, . . son las correspondientes autofunciones. Habiendo encontrado una sucesin de valores de A, podemos considerar las corres- pondientes funciones Y ( y) . Segn (14.3) y la condicin homognea u = O en y = 1, bus- camos soluciones de Y" - n2rrZY = O, Y ( 1) = o. Fcilmente se ve que esas son mltiples de senh n,?c (1 - y) . Hemos construido las soluciones particulares un(x, y ) = sennrx senh nrr( 1 - y ) , que satisfacen todas las condiciones homogneas del problema (14.4). Lo mismo es cierto para cualquier combinacin lineal finita. Intentamos representar la solucin u de (14.4) como una serie de funciones U, , : a u ( x , y ) = S cn sen nrrx senh nrr( 1 - y ) . n=l Necesitamos determinar los coeficientes cn de manera que u (x, O) =f, (x), siendo f, ( x) una funcin dada. Debemos comprobar entonces si la convergencia de la serie es lo bas- tante buena para asegurar que se satisfacen la ecuacin diferencial y las condiciones ho- mogneas de contorno. Pongamos y = O en cada trmino de la serie para obtener la condicibn m fi (x) = Z cn sen h nrr sen nrrx. I Si ponemos 4, = cn sen h nr nuestro problema consiste en determinar h,, h,, . , . de modo que para una funcin dada .f, ( x) r fi (x) = Z 6, sen n r x . I 72 Separacin de variables y series de Fourier El desarrollo de una funcin arbitraria en serie de autofunciones se llama serie de Fourier. El caso particular en el que las autofunciones son todas senos se llama serie de Fourier en senos. Consideraremos tales desarrollos (esto es, la determinacin de los coeficientes y la cuestin de convergencia) en las secciones que siguen. Otros problemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales conducen a series de Fourier en senos. Consideremos el problema de valores iniciales y de contorno para la ecuacin de ondas u ( x , O) =f(x) para O 5 x 5 I , au $' 0) = 0 para O 5 x 5 I , u(0, t ) = o, u( / , t ) =o. Busquemos soluciones de la ecuacin diferencial de la forma v = X ( x ) T( t ) . Susti- tuyendo esta v en la ecuacin diferencial, dividiendo por Y, y transponiendo, encontramos La ecuacin de ondas es separable. Por el razonamiento usado antes, encontramos que ambos miembros de la ecuacin deben ser iguales a la misma constante A. Las condi- ciones homogneas iniciales y de contorno dan c 2 r + Ax = o, X ( 0 ) = X ( I ) = o, Trr + AT = O, "O) = o. Encontremos ahora los autovalores n2rr2c2 A=- l 2 y las autofunciones X, = sen (nzx,'l). Utilizando esos valores de A, tenemos nrrc 1 de modo que buscamos una solucin de la forma T , = c O s - t 3c nrrx nrrc u ( x , t ) = I: b, sen-" cos - t . 1 1 1 Poniendo t = O, vemos que tenemos que determinar las constantes b,, b,, . . . de modo que m f ( x) = I: b, sen-. nrrx 1 1 Esto es, de nuevo buscamos la serie de Fourier en senos para f (.x' Para el problema de la conduccin del calor 14. Mtodo de separacio'n de variables para O < x < 1, t > O para O 5 x 5 1, 73 obtenemos la ecuacin de variables separadas T' X" - = k y , T de modo que kX" + AX = O, X( 0 ) = X ( 1) = o, T' + AT = O. Tenemos ahora los autovalores A = n Wk con las autofunciones sen nnx. Las soluciones particulares son U n = e-nzwzkt sen nnx, y buscamos una solucin de la forma m u(x, t ) = C 6, e-n2w2kt sen nrx. 1 Poniendo t = O, encontramos que otra vez tenemos que determinar b,, b,, . . . de modo que f(x) = Z bn sennmx. m 1 En todos esos casos no slo tenemos que encontrar los coeficientes b,, sino justificar la solucin u (x, t). Esto es, debemos demostrar que la suma u (x, t ) de la serie satisface las ecuaciones diferenciales y todas las condiciones iniciales y de contorno. El hecho de que las autofunciones son todas sen nnx es debido a las condiciones de contorno u = O. Si, por ejemplo, ponemos &/ax = O en x = O y x = I en cualquiera de nuestros tres problemas, el problema de autovalores para X ( x ) se convierte en uno de la forma X" +=O, X' ( 0 ) =X ( 1 ) = o. Encontramos ahora los autovalores A = nzrr2, n = O, 1, . . . Obsrvese que se ha aadido el valor n = O. Las autofunciones correspondientes son X , = COS nxx. Nuestro desarrollo es entonces una serie de Fourier en cosenos Si la serie m f(x) = Z bn sen nnx 14 Separacin de variables y series de Fourier se considera para todos los valores de x comprendidos en O S x I 1, resulta una funcin impar y peridica de perodo 2. En correspondencia, la solucin u (x, 1) es impar y peri- dica de perodo 2 en x. As pues, nuestro desarrollo en serie de senos corresponde al arti- ficio mencionado en la seccin 4 al resolver problemas con u = O en x = O y x = 1 exten- diendo los valores iniciales, y por tanto tambin la solucin, como funciones impares peridicas. La serie en cosenos en el caso au9x = O en O y 1 conduce a funciones pares peri- dicas. Si tenemos u = O en x = O y 8u;a.x en x = 1, el problema de autovalores toma la forma x + A X = O . X ( 0 ) =o, Xl(1) = o. Tiene los autovalores i = (n + $)2z2, n = O, 1,. . . con las correspondientes autofunciones X,, = sen (n + 4) zx. El desarrollo de f ( x ) en una sene de esas funciones nos da auto- mticamente una extensin a una funcin que es impar en las proximidades de x = O y par en las de x = 1. El mtodo de separacin de variables no queda circunscrito a ecuaciones con coefi- cientes constantes. Por ejemplo, la ecuacin azu azu a t 2 ?((x)- = o ax2
se separa en c2(x)x + Ax = o, T + AT = O. Si tenemos las condiciones de contorno u = O en x = O y x = 1, obtenemos el problema de autovalores cZ( x) X + kx = o, X ( 0 ) = X ( 1 ) = o. Este problema no puede resolverse en forma completa salvo para ciertas funciones espe- ciales c (x). En general, podemos aproximar los autovalores y las autofunciones, y hallar series de Fourier para funciones arbitrarias. (Ver captulo VII). El que el mtodo de separacin de variables pueda o no aplicarse a un problema par- ticular depende no slo de la ecuacin diferencial sino de la forma del contorno y de la de las condiciones de contorno. Son necesarias tres cosas para aplicar el mtodo a un problema con dos variables x e y : a) El operador diferencial L debe ser separable. Esto es, debe existir una funcin +(x, y) tal que la expresin sea una suma de una funcin slo de x y de una funcin slo de y. 14. Mtodo de separacin de variables 75 b) Todas las condiciones iniciales y de contorno se deben dar sobre las rectas x = = const. e y = const. *. c) Los operadores lineales que definen las condiciones de contorno en x = const. no deben contener derivadas parciales de u respecto a y, y sus coeficientes deben ser inde- pendientes de y . Aqullos en y = const. no deben contener derivadas parciales de u res- pecto a x, y sus coeficientes deben ser independientes de x. Cualquiera de esas condiciones fcilmente deja de cumplirse. As el operador no cumple a). Si y el dominio D no es un rectngulo con lados paralelos a los ejes x e y, no se cumple b). Finalmente, si tenemos ecuaciones de Laplace en un cuadrado pero la condicin de con- torno en x = O, deja de cumplirse c). Tambin, si u = O sobre una parte de la recta x = O y &/ax = O sobre otra parte, no se cumple c). En la prctica se presentan tales condiciones. Vemos, entonces, que el mtodo de separacin de variables puede tan slo aplicarse a una clase especial de problemas. No obstante, esta clase contiene muchos problemas de inters fsico, de modo que el estudio de los problemas de desarrollo originados por el mtodo est plenamente justificado. EJERCICIOS I . Reducir a dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una de ellas con un problema de autovalores, la otra con una condicin inicial, y hallar las soluciones particulares: (a) --"-u=O para O < x < 1, t > O , a2u a2u at2 axz au -&' 0) = o, u( 0, t ) = u ( l , 1 ) =o. a2u au a2u at2 at ax2 (b) - +2 - - 4 - +u =O para O < x < I , r>0, u(x, O) = o, au z(0, t ) = u( 1, t ) = o. (c) -+-+--u=O para a < x < b , O < y < l , a2u a2u au ax2 ay2 ay 76 Separacin de variables y series de Fourier au a2u (d) - - t2- - u = O para O < x < 1, t > O, u(0, t ) = o, u(1, t ) =o. (e)----2%=0 para 1<x<2, t>0, au a2u au at ax2 u(1, t ) =o, 3 2 , t ) = o. a2u a2u (f) - x 2 ~ = O para 1 < x < 2, t > O, u(x, O) =o, u(1, t ) =o, u(2, t ) = o. I NDI CACI ~N: 2'" = ei n 1062. (g) 2- - - e=~ a2u x2 para 1 < x < 2, t > O, ( t + 112 axz u(x, O) = o, u(1, t ) =o, u(2, t ) = o. 2. Demostrar que si en la ecuacin de Laplace, se introducen las coordenadas polares r = w O = tan-' Y X resulta una ecuacin de variables separables. Plantear y resolver el problema de autovalores para 6) (O), teniendo en cuenta que u debe ser peridica en O de perodo 2.7. 3. Demostrar que la ecuacin tiene soluciones de la forma X (x) Y (y) y encontrarlas aplicando dos veces el metodo de separacin de variables. Esto es, hallar una ecuacin para Y / Y, tomar la derivada parcial respecto a x, y observar que la ecuacin que resulta es de variables separables. 15. Ortogonalidad y aproximacin por mnimos cuadrados Consideremos el problema de aproximar una funcin dada f ( x ) en un intervalo [a, b], mediante una suma SN(X) de la forma C cn&(x) donde +l(x), dz (x), . . . , +N (x) son ciertas funciones fijadas de la variable x. La palabra (( aproximar )) puede tener varios significados. Normalmente, lo que hacemos es elegir los coeficientes crL de manera que el valor de SN (x) sea prximo al def(x) para cada valor de x del intervalo [a, 61. En este caso se habla de aproximacin puntual. N N I Si tenemos una sucesin &, . . ., si SN (x) = C c ~ + ~ , y si I lim sN(x) =f(x), N" decimos que la serie C cn& (x) converge puntualmente haciaf(x) (esto es, en cada punto x). co I 15. Or t ogmal i dad y aproxi maci n por mnimos cuadrados 77 Si para cada E > O existe un N, independiente de x tal que I f ( x ) - SN (x) I < E para todo x en [a, 61, siempre que N 2 N, , decimos que la serie C Cn$n (x) converge uniformemente hacia f (x). o que SN (x) aproxima f(x) uniformemente. La convergencia puntual se necesita usualmente para calcular el valor de una solu- cin obtenida por el mtodo de la separacin de variables. No obstante, es mucho ms fcil encontrar los coeficientes cn de manera que s.^(x) aproxime af (x) segn el mtodo de mnimos cuadrados o, ms brevemente, en media. Con esto expresamos que para una cierta funcin masa positiva dada p (x), la integral m I tiende a cero cuando N + m. El que el valor de esta integral sea pequeo no implica que sN (x) se aproxime a f ( x ) para todo x. El significado es que sN (x) aproxime a f(x) salvo en un conjunto de intervalos cuya longitud total es pequeiia. Si decimos que la sucesin SN ( x ) converge en media haciaf(x). La integral anterior se llama desviacin media cuadrtica de SN (x) respecto f(x). Consideraremos el problema de aproximarf(x) en el sentido de los mnimos cuadra- dos para una clase restringida de funciones $n (x). Decimos que dos funciones 4 (x) y y (x) son ortogonales en el intervalo (u, b) con respecto a la funcin masa positiva p (x) si 1; W) l J l ( X) P( X) d X = 0. I;, l *xdx = o. Por ejemplo, las funciones 4 (x) E 1 y y (x) = x son ortogonales en el intervalo (- I , 1 ) con respecto a p ( x ) = 1 ya que Si no se especifica la funcin p (x), se sobreentiende que p [x) 1. Tan slo consideraremos funciones (x), (x), . . . que sean ortogonales mutua- mente respect0 a una funcin masa positiva determinada p ( X) . Esto es, siempre que m #n. Como veremos en la seccin 36, las funciones que se presentan con la separacin de variables tienen esa propiedad. Debido a las relaciones de ortogonalidad (15.1) hallamos elevando al cuadrado e in- tegrando que 78 Separacin de variables y series de Fourier (15.2) Si completamos los cuadrados, el segundo miembro se convierte en nicamente hay coeficientes cn en la primera suma. Puesto que sta es una suma de cuadrados, ser evidentemente mnima haciendo todos sus trminos cero; esto es, eligiendo (15.3) Por consiguiente, esta eleccin de los coeficientes cn minimiza el primer miembro de (1 5.2). Hemos demostrado que los coeficientes (15.3) dan la aproximacin ptima para f ( x ) en el sentido de los mnimos cuadrados. Esos coeficientes son independientes de N. Este hecho es una consecuencia de la ortogonalidad de los +n (x). Los coeficientes cn dados por (15.3) se llaman coeficientes de Fourier de f ( x ) respecto a las funciones ortogonales $n (x). La serie C c ~ ~ + ~ (x) se llama serie de Fourier de f ( x ) . Ya que esta serie puede ser o no convergente, no podemos escribir f(x) = C c,+. (x). Utilizamos la notacin 00 I m f(x) - 2 cn&(x) tan slo para indicar que cn son los coeficientes de Fourier definidos mediante (15.3). Ms adelante investigaremos la convergencia de tal serie. Ejemplo. Hallar la mejor aproximacin en media para f ( x ) G x* con una combinacin lineal de las Tenemos dos funciones ortogonales =: 1, +2 = x en el intervalo - 1 S x I 1. 16. Completitud y ecuacin de Parseval 79 Luego la funcin s., ( x) es la mejor aproximacin de xB en el sentido de los minimos cuadrados en el intervalo - 1 < x < 1 entre todos los polinomios de primer grado. Observemos que la frmula (15.3) para los coeficientes de Fourier puede deducirse directamente si la serie C cnqL (x) converge uniformemente hacia f ( x ) . En tal caso pode- mos multiplicar la serie por & (x) p (x) e integrar trmino a trmino entre a y 6. Debido a la ortogonalidad, todas las integrales son cero excepto cuando n = m. Por lo tanto 00 de lo que resulta (15.3). EJERCICIOS 1. Demostrar que las funciones sen x, sen 2x, sen 3x,, . . son ortogonales en el intervalo (O, z) con 2. Hallar la serie de Fourier para f(x) E x en el intervalo O I x 7d mediante las funciones 3. Hallar la serie de Fourier en funcin de +n = sen nx de la funcin escahada respecto a p (x) = 1. +, , (x) = sen nx. para O 5 x 5 -T, 1 para -r < x 5 T. 2 1 2 f(x) = p 1 4. Hallar la mejor aproximacin de la forma a + bx en el sentido de los minimos cuadrados en el intervalo - 1 I x I 1 para la funcin f ( x ) = ez. 5. Demostrar que las funciones 1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x,. . . son ortogonales en el intervalo (-n, n) con respecto a p = l . 6. Definimos los polinomios pa (x), pl (x), p2 (x),. . . exigiendo que p n sea un polinomio de grado n con el coeficiente de xn igual a uno, y que p,,, pl, pu, . . . sean ortogonales en el intervalo (O, 1) con respecto a p (x) E 1. Hallar pa (x). p1 (x), Y pP (x). 7. Hallar el polinomio de segundo grado que mejor aproxime sen x en el intervalo (O, 1) en el sentido de los mnimos cuadrados con p (x) 1. INDICACI~N: Utilizar los resultados del Ejercicio 6. 8. Definimos los polinomios To (x), T, (x), T2 (x),. . . por medio de las propiedades siguientes: a) son ortogonales con respecto a la funcin masa p 3 (1 - x2)-l/ ~ en el intervalo - 1 < x < I ; b) T,, es de grado n; c) T, (1) = 1. Demostrar que estas condiciones determinan T,, y comprobar que las funciones T, ( x) = cos (n cos-' x) satisfacen las condiciones. (Los T, se llaman polinomios de Tchebysheff.) 16. Completitud y ecuacin de Parseval Sustituyendo los coeficientes de Fourier (15.3) en (15.2), vemos que Puesto que el primer miembro es no negativo, tenemos 80 Separacin de variables y series de Fourier (16.2) para todo valor de N. Sta es la desigualdad de Bessel. La suma del primer miembro es no decreciente en N y acotada superiormente por /fp dx. Por consiguiente, converge si I f 2pdx es finita. Podemos admitir que f ( x ) o p ( x) sean discontinuas o aun infinitas en algunos puntos con tal que esa integral (definida posiblemente como una integral impropia) sea finita. El lmite de la suma cuando N --f 00 se designa, como es usual por La desigualdad de Bessel se convierte ahora en La convergencia de la serie significa, en particular, que sus trminos tienden a cero. Por tanto, si f ( x ) tiene la propiedad de que j f 2 p d x es finita, entonces N Si la sucesin C cn& converge en media hacia f, el primer miembro de (16.1) tiende 1 a cero cuando N + 00. Por consiguiente Sta es la llamada ecuacin de Parseval. Es vlida si y slo si Si este lmite es cero para toda funcinfpara la que I:J2pdx es finita, el conjunto de fun- ciones ( &, . . . ] se dice que es completo. Observemos que si el conjunto { dl, $2,. . . I es completo, si f es continua y 1:f 2pdx es finita, y si 16. Cornpletitud y ecuacin de Purseval 81 para todo n, entonces f = O. Pues en este caso cn = O para todo n, y (16.5) dal l f pdx = O, lo que implica f = O. De esta propiedad resulta que dos funciones continuas que tienen los mismos coeficientes de Fourier con respecto a un conjunto completo de funciones deben ser iguales. Pues su diferencia tiene los coeficientes de Fourier nulos. Dicho de otro modo, cualquier funcin continuaf(x) para la cual s:fzpdx es finita, queda determinada mediante la sucesin numerable de sus coeficientes de Fourier con respecto a un con- junto completo de funciones. Tambin puede demostrarse que, recprocamente, si el conjunto de funciones ( dl, d2, . . . } tiene la propiedad de que f- O es la nica funcin cuyos coeficientes de Fourier son todos nulos, entonces { dl, d2, . . . ] es completo. Consideremos ahora dos funciones cualesquiera f ( x ) y f *( x) tales que s: ppdx y Ir f*dx sean finitas. Observemos que [ P + n P h 1; +n2ph cn* = a Sumando estas igualdades, encontramos que los coeficientes de Fourier def(x) + f* ( X ) son cn + c * ~ . Supongamos ahora que el conjunto dl, d2, . . . . es completo. Entonces segn la ecua- cin de Parseval Restamos las dos primeras ecuaciones de la tercera. Puesto que la serie contiene tan ~ slo trminos positivos, converge absolutamente, y podemos restar trmino a trmino. Simplificando por 2, tenemos 82 Separacin de vuriubles y series de Fourier (16.6) sta es una forma ms general de la ecuacin de Parseval. Se reduce a (16.5) cuando .f(x) --f *(x). Si tenemos en cuenta la definicin de c a * , la frmula (16.6) se convierte en (16.7) /:f(xlf*(x)P(x)dx= Cn 1: +n(x).~(X)P(X)dx, El segundo miembro es lo que se obtendra multiplicando la serie de Fourier X c,,C,, (x) de f(x) por f* (x) p (x) e integrando trmino a trmino. La ecuacin de Parseval ( I 6.7) asegura que si bien la serie puede no ser uniformemente convergente o. incluso, puede no ser convergente para ciertos valores de x, esa integracin trmino a trmino nos lleva a un resultado correcto. Consideremos un caso particular de (16.7). Sea z cdalquier nmero del intervalo [a, b]. Seap (x) tal que cc I sea finita. Consideramos para x 5 z , Es evidente entonces que Il,f*2pdx es tambin finita. La ecuacin (16.7) se transforma en As la integral indefinida de f ( x ) puede obtenerse como una serie convergente para cada z mediante la integracin trmino a trmino de su serie de Fourier. EJERCICIOS 1. Hallar la serie de Fourier correspondiente a f ( x ) ~ 1 en el intervalo O r ; I < .T en funcin dc = sen nx. Integrando esta serie, hallar una serie convergente para l a funcin R 2 .Y cn csc inter- valo, suponiendo que el conjunto {sen nx} es completo. 2. Suponiendo que el conjunto {sen nx} es completo, hallar m Z L 1 (2k- 1)* aplicando la ecuacin de Parseval a la serie de Fourier correspondiente a f ( s ) = 1. Confrontar el resultado con el obtenido calculando el valor de la serie obtenida en el Ejercicio I en x =x. 3. Demostrar que I NDI CACI ~ N: Utilizar (16.4). 17. Lema de Riemann-Lebesgue 17. Lema de Riemann-Lebesgue 83 Hemos demostrado en (16.4) que si f ( x ) es una funcin cualquiera para la que I: f 2pdx es finita y [ + n ) es un conjunto ortogonal de funciones con respecto a una funcin masa positiva p, entonces Vamos a considerar brevemente este resultado. Lema de Riemann-Lebesgue Si 4,, (x)/Jp es uniformemente acotada: a y si f ( x ) es tal que la integral (que puede ser impropia) es finita, entonces (17.3) Demostracin. Definamos la funcin Segn la definicin de integral impropia lim 1 : If(x) -fA (x) lpdx = O. A+= Por tanto, dado un E :>O, podemos hallar un A tal que 84 Separacidn de variables y series de Fourier (17.4) para todo n. Adems, puesto que 1 f. I K A, tenemos 1 IfAI2PdX 5 A / IfAlPdX 5 A / Iflpdx, que es finita. Por consiguiente encontramos segn (17.1) que paransuficientemente grande Combinando esto con (17.4), tenemos / f+nPdx I J J - G ZI para n suficientemente grande. ste es el significado de (17.3). EJERCICIOS Demostrar que cuando n+ 00, j G.xG sen nxdx tiende a cero para a : . - 1, tiene lmite finito para u=- 1, yti endea +00para- 2<(1i - l . 18. Convergencia de las series trigonomtricas de Fourier Las funciones 1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . son ortogonales en el intervalo - x con respecto a p = l . Si no se indican explcitamente otras funciones $, cuando se hable de una serie de Fourier se entender un desarrollo en serie con dichas funciones trigonomtricas. Observemos que 12dx = 2rr, cos2 nxdx = sen2 nxdx = T , n = 1, 2, . . . . L En consecuencia, si definimos los coeficientes (18.1) f ( t ) cosntdt, n = 0 , 1, 2, . . . bn = $ I_,f(t) senntdt, n = 1, 2, . . . la serie de Fourier def(x) es 18. Convergencia de las series trigonomtricas de Fourier 85 f(x) - -uo + al cos x + bl senx + az cos 2x + bz sen2x + . . . 1 2 = -uo + X (u, cos nx + b, sen m). 1 " 2 1 Estudiaremos la convergencia de esta serie de Fourier. Segn (18.1) tenemos la suma parcial (18.2) SN(X) = -uo + X ( a , cos m + b, sen m) l N 2 1 1 N = - I" f ( t ) [i + X (cos m cos nt + sen m sennt) -?r N = 1. I" f ( t ) { i + Z cos n(x - t ) rr -71 Para calcular la suma, observemos que {++ i cos ny senzy - - sen+y + [sen ( n + +)y - sen (n - + ) y ] ] ] I -;{ Por tanto (18.3) Y (18.4) - +Zcosny= l N sen(N ++)y 2 1 2seni y ' Si hacemos t = t - x, esta frmula se convierte en Las funciones cos nx y sen nx, y por tanto S N (x), son peridicas de perodo 2n. Esto hace que se pueda extenderf(x) fuera de intervalo [- n, n] como una funcin peri- dica poniendo f (x+ 2rrn) =f(x) para n = O, I?I 1, & 2, . . . . Entonces el integrando en la integral que da SN (x) es peridico, y la integral se calcula sobre un perodo. Por tanto (18.5) WEINBERGER - 4 86 Separacin de variables y series de Fourier Integrando (18.3) desde - n a n se obtiene Multiplicando esta igualdad por -f (x) y restndola de (18.5), encontramos que 1 P (18.6) El conjunto de funciones sen ( N + 4) z, donde N = O, 1, 2, . . . , es ortogonal y satis- face las condiciones del lema de Riemann-Lebesgue. Por consiguiente si f ( x + 7) - Ax) I _: 1 sen4.r l dr es finita, el segundo miembro de (18.6) se aproxima a cero. Esto es SN (x) + f(x). Puesto que Itisen +ti est acotado, podemos sustituir la condicin anterior por Esta frmula se conoce con el nombre de criterio de Dini. En cada punto donde dicho criterio es vlido la serie de Fourier converge haciaf(x). Si f ( t ) es absolutamente integrable, esto es, si I f ( t ) 1 dt es finita, esta condicin se satisface con seguridad con tal que f ( t ) sea derivable en x. Tambin se satisface si f verifica la condicin de continuidad de Holder en x; esto es, si existen dos constantes M y o positivas tales que R Y ) -fb) I 5 M Y - XI para todo - n I y I n. Hemos demostrado que si f(x) es absolutamente integrable, su serie de Fourier con- verge haciaf(x) en aquellos puntos en los quefcumple la condicin de Holder o es derivable. (Puede converger hacia f (x) en algunos puntos y no en otros). La serie de Fourier puede ser divergente en los puntos dondef(x) es continua, con tal que (18.7) no se cumpla. [Ver E. C. Tichmarsh, The Theory of Functions, Oxford, 1939, pgina 4 1 61. Si la funcin f es discontinua en x, pero tiene los limites f ( x + O) y f (x - O) a la derecha y a la izquierda, respectivamente, se puede proceder del siguiente modo. Tnte- grando (18.3) desde - n a O y de O a n obtenemos Multiplicaremos la primera de estas igualdades por -f(x - O) y la segunda por 1 P y las restaremos de (18.5). Tenemos entonces 18. Convergencia de las series trigonomtricas de Fourier 87 De este modo obtenemos la generalizacin del criterio de Dini: Si entonces lim sN(x) = $f(x + O) +f ( ~ - O) ] . 1 N+m Esto es, la serie de Fourier converge hacia el promedio de los lmites a la izquierda y a la derecha. La condicin (18.8) implica que la convergencia hacia el lmite debe ser suficientemente rpida. Si f es absolutamente integrable, una condicin suficiente es que f tenga deri- vada uniformemente acotada en un intervalo (x - E , x + e) excepto en x. Una condicin suficiente ms dbil es que lf(x + T ) -f(x + O) 1 5 M T ~ , r ( x - T) - f ( x - O) I 5 MT" para valores de M y a positivos, y para todo O < t < E. EJERCICIOS 1. Hallar la serie de Fourier para f(x) = ex para --?r < x < m. 2. Hallar la serie de Fourier para f(x) = XZ para --S < x < T. 3. Hallar la serie de Fourier para f(x) =x para -m < x < m. 4. Hallar la suma de la serie de Fourier correspondiente a f(x) = es para -m < x < v en x =z. 5. Hallar la serie de Fourier para f(x) =sen3x para -m < x < m, 6. Demostrar que si f ' ( x ) , ampliada como funcin peridica, es derivable dos veces con continuidad, SU serie de Fourier converge uniformemente. INDICACI~N: Aplicar la integracin por partes a las fr- mulas (18.1). 88 Separacin de variables y series de Fourier 19. Convergencia uniforme, desigualdad de Schwarz, y completitud En la seccin anterior hemos demostrado que la serie de Fourier de f(x) converge hacia f (x) en cada punto x en el quef satisfaga la condicin de Dini (18.7). No obstante, no hemos encontrado un mtodo de estimacin del error cometido al reemplazar f(x) por una determinada suma parcial SN (x). No hemos determinado cundo la convergencia es uniforme. Esto es, cuando, dado un E > O, puede elegirse un N de modo que I f(x) - SN (x) 1 < E para todo x. ste es el tipo de aproximacin ms til si deseamos reemplazar la funcinf(x) por su suma par- cial de Fourier S N (x) en un clculo. Si f(x) tiene una discontinuidad de salto en un punto ;yo, no puede ser aproximada uniformemente con las funciones continuas sN (x). Si tomamos un E menor que la mitad del salto, SN (xo) no puede ser simultneamente interior a los intervalos [,f(xo-O) 6, f(xo - O) + E ] y [ f ( xo + O) - E , f ( x o + O) + E ] . De este modo demostramos que el lmite uniforme de la sucesin SN (x) de funciones continuas debe ser una funcin con- tinua. Puesto que SN (- n) = S N (n), el lmite uniforme f(x) debe ser no tan slo una funcin continua sino que tambin debe tener la propiedad de que f (- n) =f ( n) . Estas condiciones son necesarias pero no suficientes para asegurar que la serie de Fourier converge uniformemente hacia f(x). Vamos a considerar ahora una condicin suficiente. Sea f ( x ) una funcin continua peridica de perodo 2n. Sea f (x) su derivada con- tinua excepto acaso en un nmero finito de puntos, en los que puede no estar definida. La funcin f (x) no debe ser necesariamente acotada, pero exigimos que L f t 2 d x , defi- nida posiblemente como una integral impropia, sea finita. Adems, exigimos que la fr- mula sea vlida para todo x. Sea la serie de Fourier def(x) (19.1) f(x) - =p + (a, COS nx + b, sen m) . Consideremos la serie de Fourier de ,f (x). Integrando por partes, encontramos 1 ya que f(- n) = f ( n) . Tambin f (x) sen nxdx = -f(x) sen nx ] I v - /IT f(x) cos nxdx = na,. 1 .r p .r As pues m (19.2) f (x) - Z (nb, cos nx - nu,, sennx) . 1 19. Convergencia uniforme, desigualdad de Schwarz y completitud 89 Esto es precisamente lo que habramos obtenido derivando trmino a trmino la La desigualdad de Bessel (16.3) nos muestra que serie de Fourier def(x). (19.3) En particular, la serie del primer miembro converge. Demostraremos ahora que la serie de Fourier para ,f(x) converge uniformemente. A tal fin demostraremos primero una desigualdad que se conoce con el nombre de desi- gualdad de Schwarz. Sean c y d nmeros reales cualesquiera, y a cualquier nmero positivo. Se verifica entonces lcdl = - a22 + d 2 - (alcl - $4) ] 2 [ a2 1 1 2 N X cn2 #o, M+I y sea La desigualdad (19.4) se convierte entonces en (19.5) Si N M+ 1 X cn2 = o, todas las cn son cero y esa desigualdad es an cierta. La (19.5) es la desigualdad de Schwarz para sumas finitas. Si manejamos series, la (19.5) demuestra que si C cn2 y C dn2 convergen, lo mismo le ocurre a C c,&. El segundo miembro puede hacerse menor que cualquier E > O dado eligiendo M y N suficientemente grandes. Haciendo que N + 00 y tomando M = O, obtenemos 90 Sepurucicin de vuriubles y series de Fourier sta es la desigualdad de Schwarz para series. Consideremos ahora una diferencia de sumas parciales de la serie de Fourier paraf(x) Y sr ( x) - sZI(x) = C (un cos nx + bn sennx). Consideremos sta como una suma de productos de elementos correspondientes de dos sucesiones, una de ellas M+I ( M + I ) u M + ~ , ( M + l)bnf+l, ( M + 2 ) ~ " + 2 , . . . , NUN, Nbti la otra c os ( M+ I )x sen(M+ 1)x . . . senNx . M+ l ' M +1 ' ' N Entonces la desigualdad de Schwarz y (19.3) dan la desigualdad (19.7) m Puesto que C l / n2 converge, pendiente de x tal que para N 1 para cualquier E > O un N, inde- E . Esto significa que la serie de Fourier de f ( x ) converge uniformemente. Tenemos que demostrar an que su lmite es f ( x) . Segn los resultados de la seccin anterior esto es cierto sif(x) cumple la condicin de continuidad de Holder. Si aplicamos la desigualdad lcdl 5 - a2c2 + " d 2 2 I { a2 l l a dos funciones cualesquieraf(x) y g (x), tenemos I f ( x ) g ( x ) I 5 + f W 1 + >w]. 1 Integramos ambos miembros de esta desigualdad en un cierto intervalo x1 < x <x,, manteniendo (L fijo. Encontramos 19. Convergencia uniforme, desigualdad de Schwarz y coinpletitud 91 para obtener (19.8) Si J\Lf%ix -=O, entonces J fgdx = O, y la desigualdad es an vlida. cualesquiera para las que las integrales del segundo miembro sean finitas. ' Xi S I S 1 La (19.8) es la desigualdad de Schwarz para integrales. Es vlida para dos funciones Volvamos ahora a nuestra funcin peridicaf(x) con 1" f"dx finita. Reemplacemos f ( x ) porf' (x) y g (x) por 1 en (19.8) para obtener "TT con tal que /x2 - xll < 272. As puesf(x) cumple la condicin de Holder con exponente (! = 4. En consecuencia su serie de Fourier converge hacia f ( x) . Hemos demostrado as que si f ( x ) es continua para - 7c K x i n, f(- n) =f ( n ) y 1" f ' B dx es finita, la serie de Fourier de f (x) converge uniformemente hacia f (x) -7I Ejemplo. La serie de Fourier _" 77 4 5 cos (2k - 1)x 2 77 K=, (2k - 112 de f ( x ) =I x 1 converge uniformemente. En este caso ~ ( x ) = [-; para 0 < x < 7 7 , para - < x < O, que es discontinua. L f ' W x es finita. Obsrvese que <ui'dx no existe en x =O. L a convergencia uniformemente implica la convergencia en media. Si N se elige lo bastante grande para que If(x) - S N (x)] < para todo x, entonces En particular, s i f ( x ) es continua e S" ,f'2dx es finita, la serie de Fourier def(x) converge hacia f ( x ) en media. Demostraremos ahora que la serie de Fourier converge hacia f ( x ) en media siempre que 1" f 2 d x es finita, de suerte que el conjunto I , cos x , sen x, cos 2x.. . . es completo. "rl - n 92 Separacin de variables y series de Fourier Si (x) es una funcin cualquiera tal que solamente 1 f 2dx es finita, para cualquier E > O dado podemos encontrar una funcin ,E (x) continua y derivable con continuidad a trozos tal que f ;' (x) sea acotada, y - m "I: Por ejemplo, si f ( x) es continua salvo en un nmero finito de puntos, podemos encontrar una funcin igual a x excepto en intervalos suficientemente pequeos que contengan los puntos de discontinuidad, en los que se puede considerar lineal. Ya que Z' dx es finita, (x) es aproximada en media por sus sumas parciales de Fourier :S ( x) . Por tanto existe un N, tal que "x Recordando que S.V ( x) da la mejor aproximacin en media paraf(x) en funcin de sen nx y cos n x con n < N , tenemos < E para N > N,. Esto significa que S.\ (x) converge hacia f ( x ) en media para cualquier f ( x ) con 1" f 2dx finita. Hemos demostrado as que el conjunto 1 I , cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . ) es com- pleto en el intervalo -x i x :: x. En particular tenemos la ecuacin de Parsekal ( I 6.6). Esto es, si -Ir f(x) - yao + C [ u, COS nx + b, sen nx] ! 1 " 1 1 -m f *( x) - Tat)* + C[a,,* COS nx + b,* sennx], entonces Ejemplo. Si tomamos 19. Convergencia mnijornze, desiguuldud de Schwarz y conzpletitud 93 tenemos La ecuacion de Parseval da la identidad Si fes continua siendof(- x) =f (n) e j f %f x finita, podemos aplicar la ec. de Par- seval a f ' para obtener Entonces para cualquier M Aplicando la ec. de Parseval af(x) = x, tenemos Si hacemos N + w en la primera desigualdad (19.7) obtenemos una cota para el error cometido al aproximarf(x) por su suma parcial de Fourier sdl (x): Ejemplo. Sea f ( x ) = I x I . Entonces f "Wx :=27, y Tomando M =2, tenemos (obsrvese que u2 =h, =O) El mximo error se produce en A- =O y Y = & z, y es igual a O,3O. Poniendo M = O y N = 00 en (19.7) obtenemos una cota de la desviacin en cual- quier punto de f ( x ) respecto a su valor medio (19.11) Esta desigualdad no se puede mejorar. Esto es, la igualdad es realmente alcanzada en un punto cualquiera x, cuando f ( x ) es la funcin 94 Separacin de vuriubles y series de Fourier f(x) = (Tr - 1x0- xl)2 -;?P. EJERCICIOS 1. Hallar la serie de Fourier para f ( x ) == x4. Hallar una cota del error cometido al sustituir x* por 2. Hallar la serie de Fourier para senh x. Probar que esta serie no converge uniformemente para 3. Hallar un numero N tal que la suma parcial SA. (x) de la serie de Fourier def(x) = 1 x 1 aproxime 4. Demostrar que si p (x) I-: O para -x I x I z, los tres primeros trminos de la serie. - XI x r 17. f (x) con un error a lo mas de 0,l. para dos funciones cualesquierafyf* tales que el segundo miembro sea finito. de /'(x) y sg (x). 5. Demostrar que la serie de Fourier de /'(x) =x no converge uniformemente. Comparar la grfica 20. Series en senos o en cosenos Como vimos en la seccin 14, el-mtodo de separacin de variables nos conduce con frecuencia a desarrollos en serie de senos o en series de cosenos. Deduciremos ahora unos teoremas de convergencia para tales series a partir de los de las series de Fourier. Se deduce de la definicin (18.1) de los coeficientes de Fourier que si f(x) es impar, esto es, si f ( - x) = -fb) 7 entonces u, = O para todos los valores de n. En tal caso la serie de Fourier paraf(x) se reduce a una serie de senos: m f(x) - C 6, sennx. 1 Adems, (20.1) Si nos dan una funcin f(x) nicamente en el intervalo O <x I z, podemos desa- rrollarla en una serie de senos. Las funciones sen x, sen 2x, . . . son ortogonales en ese intervalo como fcilmente puede verse. Los b, dados por (20.1) representan los coefi- cientes de Fourier para f ( x ) expresados en funcin de esas funciones. Extendemos la funcinf(x) al intervalo [- 'z, x] definindola como una funcin impar. Entonces la serie X b, sen nx es la serie de Fourier de la funcin ampliada. Si f l dx es finito, el resul- tad0 de la seccin 18 demuestra que la serie de senos converge en x = x, hacia f(xu) si fes continua y derivable en xu. Segn la seccin 19 la ecuacin de Parseval es vlida. Resulta pues que las funciones sen nx forman un sistema completo en el intervalo (O, 'z) m I I: 1 21. Cambio de escala 95 Adems, si f ( x ) extendida como una funcin peridica impar es continua e 1"ff2dx es finita, l a seccin anterior demuestra que su serie de senos converge uniformemente hacia f ( x) . Este ser el caso en el que f ( x ) es continua, I" f ' 2dx es finita y f ( 0) =f ( n ) = O. Del mismo modo, extendiendof(x) como una funcin par encontramos que el con- junto de funciones ortogonales {1, cos .Y, cos 2x, . . . ] es completo en el intervalo O s x i z. Si f ( x ) es continua e /: f'2dx es finita, encontramos que la serie de cosenos - 0 -a0 + c a, cos nx 1 " 2 1 con (20.2) a, = rf(x) cos nxdx n o converge uniformemente hacia f ( x) . Con la dbil hiptesis de que Sf I f 1 dx es finita, la serie de cosenos converge haciaf(xo) en los puntos x. en los quef(x) es continua y deri- vable. EJERCICIOS I . Hallar la serie de senos y la de cosenos de f ( x ) = X para O 5 x 5 T. 2. Hallar la serie de senos y la de cosenos de f(x) = X ( T - x ) para 0 x 5 T. 3. Demostrar que el conjunto {sen fs, sen 3/ lx. sen . . . }es conpleto en el intervalo (0, n). 4. Utilizando la frmula de Parseval, expresar fif'"dx en funcin de los coeficientes de la scrie de [NrxcAclth: Tomar x =2t y extender f ( 2 t ) convenientemente al intervalo - n I" r .. n. Fourier de senos (20.1). 21. Cambio de escala Hemos demostrado que el conjunto de funciones (cos nx, sen nx] es ortogonal y com- pleto en el intervalo - TC I x < n. Supongamos una funcin f ( x) dada en un intervalo a l x r b . Introducimos la nueva variable (21.1) 96 Separacin de variables y series de Fourier (21. 2) La funcinf(x) da origen a la funcin (21. 3) sobre el intervalo - z I X I z en el nuevo sistema coordenado. b-U- 1 x=- x+T(u+~). 2rr b- U- 1 F ( i ) = f ( ~ x + $a + b ) ) Esta funcin tiene la serie de Fourier (21. 4) F( x ) - ~ U O i x (an COS + bn sennx), en la que 1 " 1 (21. 5) La serie de Fourier converge en media hacia F (X) si 1 F( R)2dX es es finita, y uniforme- mente si F (2) es continua, F (- n) = F (n) e f li F'VX es finita. "x "x Volviendo a la variable x por medio de (21.1), encontramos el desarrollo en el que 2 Un = - b - u Jb" f(') ' Os" 2an (x -+(u + b))dx, b- a bn= - 2 r f ( x ) s enG ( x 2 m - ?(a 1 + b))dx. (21. 7) b- a a (Las funciones cos ~ 2nn (x-+. t b) y sen -__ x - + (u + b) son ortogonales b--a 1 b-u i en el intervalo a < x I b). Encontramos inmediatamente que la serie de Fourier converge en media hacia f(x) si S:f(x)~x es finita, y que converge uniformemente si f(x) es continua, f(b) =f ( u>, e s:frzdx < 00. Los teoremas de convergencia de la seccin 18 son siempre vlidos. Del mismo modo, encontramos que f(x) puede desarrollarse en una serie de senos: m f(x) - 2 bn sen-(x - a) , 1 b - a rrn en la que 21. Cambio de escala o en una serie de cosenos 97 1 " f(x) - -ao + Z a, cos -(x - a) , m 2 1 b - a donde Todos los teoremas de convergencia son an vlidos. Las transformaciones lineales de la forma (21.1) pueden usarse para normalizar las constantes en varios problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Consideremos, por ejemplo, el problema de la cuerda vibrante (21.8) " a% a% at* ax2 - c'-- F( x , t ) para a < x < b, t > O, u ( x , 0) =Ax) para a 5 X 5 b , au at -(x, O) = g(x) para a 5 x 5 b, u ( 4 t ) =A(t ), u(b, 1 ) =h(f) en un intervalo a I x I b, con una constante c. Introducimos las nuevas variables - x - a x=- b - U' - c t = - t. b - a Esto es, medimos la nueva coordenada x desde x = a y tomamos la longitud de la cuerda b - a como unidad de longitud. Tomamos la cantidad (b - a)/c como la unidad de tiempo. Si entonces definimos a + ( b - a)?, - - C " - F(x, t ) 3 lb*F a + ( b - a) ; , - ' i ), CZ T(2) =f(a + ( b - U) ; ) , b- a g(X) -g(a C + ( b - a) X) , b - U- b - a- el problema se transforma en el siguiente 98 (21.9) Separacin de variables y series de Fourier - - u( 0, i ) = M ) , u(1, i) =Jr4(i). En cuanto a la resolucin del problema (21.8) es pues suficiente resolverlo en el intervalo corriente O I x I 1 con c = 1. Si tomramos la unidad de longitud (b - a) / n y la de tiempo ( b - a)/nc, obtendramos el intervalo O I x I n, y c = 1. El proceso anterior de cambio de escala es til para obtener informacin experimental a partir de escalas modelo. Si deseamos determinar el movimiento axial de una barra de cierta longitud 1 con mdulo de Young E y densidad lineal p bajo una fuerza axial dada F (x, f), necesitamos tan slo aplicar la fuerza en 2 en el tiempo i a un modelo experimental de longitud I' con mdulo de Young E' y densidad p'. Entonces los dos problemas se reducen al mismo problema tipo (21.9). Si la expresin del movimiento del modelo es ii ( 2, f), el movimiento de la barra ser Consideraciones de este tipo se llaman frecuentemente anlisis dimensional. Otros problemas pueden tratarse en forma parecida. La ecuacin del calor en un intervalo de longitud I puede reducirse a considerarla en el intervalo O < i < n con k = 1 introduciendo la nueva unidad de longitud lln y la nueva de tiempo 12/n2k, No siempre es posible normalizar todas las constantes de un problema, Consideremos. por ejemplo, la ecuacin de Laplace en el rectngulo a < x < b, c < y < d. Si tomamos - Tr(x- a) b - a ' X = obtenemos la ecuacin de Laplace aZ a2 ay2 p + - = O 21. Cambio de escala Y9 en el rectngulo O < 2 < n, O < j < n ( d- c)/(b - a). Hemos elegido la unidad de longitud ( b - a) / n. El nuevo problema contiene an la constante ( d- r)/(b - a). Si eli- minamos esta constante eligiendo una unidad de longitud distinta ( d - c) ]n en la direc- cin del eje Oy, esto es, - ? r ( x - a) - T ( Y - c ) X = b - a ' y = d- c el dominio se transforma en un cuadrado, pero la nueva ecuacin diferencial es ( e l 2 -"==o, a2 ;Y$ b - a ai 2 de modo que la constante ( d - c)/(b - a) aparece an en el problema. La dificultad puede ser reducida estableciendo que (d - c)l(b - a) es independiente de la dimensin (es decir, es una razn de dos longitudes), y por tanto es invariante en un cambio de escala. EJERCICIOS 1. Reducir el problema (5.3) a la forma tipo (21.91, resolverlo por medio dc (5.2). y dcmostrar quc la 2. Si el valor en (O, 0)de la solucin de solucin coincide con la solucin (5.2) de (5.3). u = O para x=*, y=*1 resulta ser u(0, O) = a, hallar el valor en (2, 3) de la solucin de - +- =( ~- 2) ~+( y- 3) ~ para O < x < 4 , 1<y <5, a2v a2v ax2 ay2 v=O para x-2=&2, 6 y- 3322. 3. Una barra de longitud I est inicialmente a la temperatura 7 ; ) . En el tiempo cero sus extremos se ponen a la temperatura T, , y se encuentra que la temperatura en su centro en el tiempo r se expresa por f ( t ) . Si una barra del mismo material esto es, con la nisma k ) de longitud l est inicialmente a la tempe- ratura r,, y sus extremos se ponen a T, en el tiempo t 7 o, hallar la temperatura en SLI centro como fun- cin del tiempo. I NDI CACI ~ N: Obsrvese que cualquier constante es una solucin de la ecuacin del calor. 4. Se sabe que se invierten dos horas en cocer un asado de cinco libras, que inicialmente est6 a 40", en un horno a 350" hasta que un termmetro situado en su centro indica que la coccin se haconsegui- do. ;Cunto se tardar en cocer un asado de diez libras de la misma forma y en las mismas condiciones? [Se supone que la temperarura se rige por la ecuacin del calor (l3.3)]. 5. Demostrar que la ecuacin diferencial donde a y c son constantes puede reducirse a otra ecuacin anloga con o .=c =1. 6. Expresar J:f2 en funcin de los coeficientes de Fourier (21.7). (Esto es, escribir la ecuacin de Par- seval para un intervalo cualquiera). 1 00 Separacin de variables y series de Fourier 22. La ecuacin del calor Apliquemos la separacin de variables al problema de valores iniciales y de contorno para la ecuaciIt del calor (22.1) " au a2U at ax2 k- = O para O < x < rr, t > O, u(0, t ) = o, u( m, t ) = o, u ( x , 0) =f ( x) . Esto es, queremos expresar u (x, t ) en una serie de la forma (22.2) m u(x, t ) = I: b,e-nzkt sen m. 1 Haciendo t = O en esta serie, encontramos que la condicin inicial se transforma en (22.3) Por consiguiente los b, son los coeficientes de Fourier (22.4) de la serie de senos correspondiente af(x). Se ve fcilmente que cada trmino de la serie (22.2) satisface la ecuacin del calor. Por tanto, si la serie (22.2) converge y puede derivarse trmino a trmino, u satisfar esa ecuacin. Observemos primero que si definimos los coeficientes b, estn uniformemente acotados. Es decir, lb,( I c. Por lo tanto la serie (22.2) tiene cada uno de sus trminos acotado en valor absoluto por el correspondiente trmino de 2 ce-n2kf m 1 Esta serie converge para todo t > O, y uniformemente en x y t para 1 2 to con cual- quier constante positiva to. Por tanto lo mismo ocurre con la serie de u (x, t ) . La serie 2 (- n2k) bne--n2kl sen nx obtenida derivando la serie de u trmino a trmino respecto a t es superada por la serie 2 ckn2cnz kt que tambin converge uniformemente en t para t ;:to con cualquier to > O. Por consiguiente &/at existe para todo t > O y puede obtenerse derivando trmino a trmino. Anlogamente, las series de aujax y a2u/ax2 son mayoradas por 2 cn2C"kf y por tanto convergen uniformemente en x para todo t > O. Asi que 22. La ecuacin del calor k- = bne-nPk' sen m(-n2k + n2k) = O. a2u at ax2 " 101 Esto significa que la funcin u (x, t ) definida por (22.2) satisface la ecuacin del calor para t > O, O I x I n. Adems, puesto que la serie converge uniformente en x para t > O, u (x, t) es continua en x = O y x = n. Luego satisface las condiciones de contorno u (O, t) = u (n, t ) = O en el sentido de que lim u( x, t) = lim u (x, t ) = O. x-o X-77 Tenemos que ver aun si u (x, t) es continua en t = O, de modo que satisfaga la con- dicin inicial u( x, O) = f(x) en el sentido de que lim u (x, t) ="(X). A tal fin suponga- t -o es finita. Entonces la serie de Fourier en senos def(x) converge haciaf(x) uniformemente. Sea N sN(x, t) = Z b,e-nZkt sen m 1 la suma parcial ensima de la serie (22.2). Para todo E > O existe un N, independiente de x tal que If(x) - sN(x, 0)l 5 TE cuando N 2 N, . 1 I S N( X , O ) - sM(x, O) 1 < E cuando N 2 N, y M 2 N, . La funcin SN (x, t ) - SM (x, t ) es una solucin de la ecuacin del calor, y es cero para x = O y x = n. Por consiguiente segn el principio del mximo para la ecuacin del calor JSN(X, t) - sM(x, t ) I 5 E cuando N 5 N, y M 2 N, para todo O < x I n, t z O. Luego la sucesin SN (x, t) converge uniformemente para O I x 5 n, t 2 O. Ya que cada SN (x, t ) es continua, la funcin lmite u (x, t ) , es continua para O I x I n, t 2 O. En consecuencia, u satisface las condiciones de contorno ini- ciales (22.1). Siguiendo el razonamiento anterior, podemos 'demostrar que u (x, t ) tiene derivadas parciales continuas de cualquier orden respecto a x y a t para t > O, aunque la funcin de valores iniciales f ( x ) pueda no tener derivadas ms all de la primera. Esto muestra que el proceso del flujo de calor descrito por la ecuacin del calor es un proceso sin brus- quedades. Para otras condiciones de contorno se obtienen resultados parecidos. Por ejemplo, el problema Luego " au a2u at ax2 k- =Q para O < x < T , r>0, u ( 0, t) = o, 102 Separacin de variables y series de Fourier conf'(x) derivable con continuidad yf(0) = O se resuelve por medio de donde Observemos que en las soluciones (22.2) y (22.5) la variable t tan slo se presenta en el producto kt . Esto es debido sencillamente al hecho de que el cambio de escala i = k t sustituye k por 1 a lo largo de todo el problema. EJERCICIOS 1. Resolver el problema au " para O < x < m, t > O, at ax2 u(0, t ) = u(%-, t ) = o, u(x, O) = sen3x. 2. Resolver " au k&= o para O < X < T , t > O, at ax2 u(0, t ) =u ( %- , t ) =o, u(x, O ) = x(%- - x ) . 3. Resolver " au at ax2 au "( O, t ) = o, ax au para O < x < m, t > O, j$", t ) = o, u(x, O ) = senx. 4. Resolver " au at axz para a < X < b, t > O, u ( a, t ) = o, u( b, t ) = O , U( X, O) = (X- u ) ( ~ - x ) 5. Resolver por separacin de variables "- a~ a% at ax2 + au = O para O < X < T , f > O, u(0, r ) =ax(%-, t ) = o, au u(x, O) = x(%- - x). 23. La ecuacin de Laplace en un rectngulo Resolveremos ahora el problema de contorno para la ecuacin de Laplace 23. La ecuacin de Laplace en un rectngulo 103 (23.1) -+-=O para O < X < P , O<y <A , a2U a2u a 2 ay2 U ( X , 0) =f(x). ~ ( 0 , y ) = u ( P , - Y ) = U ( X , A) = O, Buscamos una solucindel tipo que se obtiene con la separacin de variables; esto es, m (23.2) u(~, y)=Zcnsennx senhn(A - y). Si formalmente hacemos y = O y utilizamos la condicin inicial en y = O, encontramos que los cn han de ser elegidos de modo que 1 Ponemos pues donde f(x) = Z Cn sen nx senh nA. m 1 Cn = - bn senh nA' fkT ~ es el n-tsimo coeficiente de Fourier de los trminos en seno del desarrollo def(x). Enton- c es (23.2) se transforma en (23.3) Nuevamente encontramos que si c = If(x) Idrjentonces lb,,] 5 c. Observemos que Por consiguiente la serie para u (x, y) es mayorada por la serie e--ng multiplicada por una constante. Esta converge para y > O, y uniformemente en x e y para y 2 y, con cualquier y, positivo. Por tanto u (x, y) es continua en x e y para y > O. En particular, toma en el contorno el valor cero para x = O, x = n, e y = A con continuidad. Las series correspondientes a auj ax, au/ay, a2u/ax2 y a2u/ay2 son mayoradals por 2 a2e-nu multiplicada por una constante y por consiguiente convergen uniformemente para y 2 y, con cualquier y,, > O. En consecuencia esas derivadas de u existen y pueden 104 Separacin de variables y series de Fourier obtenerse por derivacin trmino a trmino. Puesto que cada trmino de la serie satisface la ecuacin de Laplace, lo mismo le ocurre a u (x, y). Vamos a demostrar ahora que u (x, y) tambin es continua en y = O y que u (x, O) = = f ( x ) . Para ello supondremos que f ( x ) sea continua, f ( 0 ) =f ( n) = O, y que S f2dX sea finita. Entonces la serie Fourier en senos converge uniformemente haciaf(x). Definamos ahora Con lo que SN (x, O) converge uniformemente haciaf(x). En consecuencia para cualquier E > 0 podemos encontrar un N, independientemente de x tal que Isy(x, O ) - sN(x, 0)l < E para M, N 2 N, . Evidentemente S M (x, y) - SN (x, y ) = 0 para x = O, x = z e y = O, y sw (x, y ) - SN (x, y ) es una solucin de la ecuacin de Laplace. Segn el principio del mximo para la ecuacin de Laplace (23.4) Is&, y ) - - s N( x, Y ) I < E para M, N 2 N, en todo el rectngulo O I x I z, O I y I A. De donde la sucesin SN (x, y), y por tanto la serie para u (x, y), converge uniformemente para O I x I z, O I y I A. Ya que cada uno de sus trminos es una funcin continua, la funcin lmite u (x, y ) es continua. Po- niendo y = O, encontramos m u(x, O ) = C b, sen nx =f ( x) . 1 Ejemplo. Resolver (23. 5) %+%=O para ~ < x < a , o < y < m , ax2 ay2 u(0, y ) = u ( a , y ) = u(x, a) = o, u (x, O) = sen2 x. Tenemos b, = 5 1 sen2 x sen nxdx = ( 1 - cos 2x) sen nxdx io ~ para n = 2. Luego u(x, t ) = - - 8 8 a k=, (4k2 - 1) (2k - 3) s enh( 2k- 1) ~ senh (2k - 1) (a - Y ) sen (2k - 1)x. Esta serie converge claramente de manera uniforme para O 5 x < iz, O I y I T. 23. La ecuacin de Laplace en un rectngulo 1 o5 Segn el principio del mximo Podemos acotar el segundo miembro como en (19.10) mediante la desigualdad de Schwarz y la ecuacin de Parseval. Encontramos la cota uniforme de error Esta nos da una estimacin del modo con que la suma parcial SN (x, y) aproxima la solu cin u (x, y) . Por ejemplo, si aproximamos la solucin del problema anterior (23.5) con S, (x, y ) , encontramos que 1( 1 - e- "- &] 64 64 112 { F- d 1 --"" 4 9 16 = 0,24. La misma cota puede aplicarse a la solucin (22.2) del problema (22.1) de la conduc- cin del calor. De hecho todas nuestras demostraciones de convergencia se pueden exten- der para obtener cotas de error. En muchas aplicaciones en que las soluciones estn dadas en forma de series tales cotas del error son indispensables. El solo hecho de que una serie converja hacia la solucin no significa que una determinada suma parcial sea una buena aproximacin de la solucin. El problema de contorno ms general -+"=o para O < x < T, O < y < A, PU a2u ax2 ay2 u(x, 0) = f i ( x ) , u(w, Y ) = &( y ) , u(x, A ) =&(x), u(0, Y ) =&( Y) puede tratarse resolviendo cuatro problemas en cada uno de los cuales todas excepto una de las cuatro funciones f;. se reemplaza por cero, y se suman las cuatro soluciones. Cada uno de esos cuatro problemas se trata como el que acabamos de resolver. Por tanto obtenemos una solucin continua si todas l as5 son derivables con continuidad y se anulan en O y E. La ltima condicin, de que u debe anularse en los vrtices, es ms bien artificial. La suprimiremos, as como alguna de las condiciones de variabilidad suaves impuestas a las funciones6, en la seccin 25. EJERCICIOS 1. Resolver 106 2. Resolver Separacin de variables y series de Fourier u(x, 0) =f(x). u(0, y ) = u(B, y ) = u(x, A ) = O , a2u a2u ay2 u(0, Y ) = d Y ) , U(P, y ) = u(x, O ) = u(x, A ) = o. s + - = O para O < x < a , O < y < A , 3. Resolver a% a2u s+g=O para O < x < a , O < y < m , U(P, y ) = u(x, P ) = u(0, y ) =o, u(x, O ) = x2(P -x). Hallar una cota del error cometido al aproximar u mediante la suma parcial sz. 4. Resolver - a2u azu ax 2+- =0 para O < X < P , O < y < l , u(x, O ) = u(x, 1) = sen3x, u(0, y) = senry, u(%-, y ) =o. ay2 5. Resolver Demostrar que la solucin obtenida satisface todas las condiciones del problema, y hallar una cota del error I u (x, Y ) - sp (x. Y ) 1 . 6. Resolver - + ~ = 0 para O < x < l , O < y < l , a2u a2u ax2 ay u(x, O) = ( I - XY, u(x, 1) =o , au %( O, Y) = o, u(1, y ) =o. Hallar una cota del error 1 u (x, y) - sq (x, y ) . 7. Resolver el problema - + - = O para O < X < P , O < Y < P , a% a% ax2 ay2 - u(x, O) = x2, - + - = O para O < X < P , O < Y < P , a% a% ax2 ay2 - u(x, O) = x2, 24. La ecuacin de Laplace en un crculo v( x, y ) = u(x, y ) - [a + bx + cy + dxyl Sean cero en los cuatro vrtices, y hallar v mediante la separacin de variables 8. Resolver 107 - +- =O para O<x<.?r, O < y < A , a2u azu ax2 ay2 u(0, y ) = u(x, A ) = o, 9. Resolver - + - + - = O para O<x <. ? r , O < y < a , a2u azu au ax2 ay2 ax u(x, O) = u(x, m) = o, u( 0, y ) =o. U( T, y)\= sen y . 10. Resolver "$--=o para O < x+y < 1, o<x- y < 1, ax2 ay2 u(x, -x) =o, u(x, 1 -x) = o, u(x, x - 1) = o, u(x, x) =x ( l - 2x ) . INDICACI~N: Introducir nuevas coordenadas. 24. La ecuacin de Laplace en un crculo Consideremos una solucin u de la ecuacin de Laplace en el crculo unidad x' + y' < 1 con valores dados en el contorno x2 + y2 = 1. Es natural introducir coordenadas polares r = I x2 + y2 y O = tan-l (y/x). La ecuacin de Laplace en estas nuevas coordenadas es ~~ (24.1) "+"+"-"o a% 1 au 1 a2u a$ r ar P a @ - . Buscamos una solucin u ( r, O) de esta ecuacin para r < 1 que sea continua para r I 1 y satisfaga (24.2) ~( 1 , e ) =.m). La funcin f (O) es una funcin dada derivable con continuidad y peridica de periodo 2n. La solucin u ( r, O) debe ser tambin peridica de perodo 2n en la O. Apliquemos el mtodo de separacin de variables a (24.1) buscando soluciones de la forma R ( u) 0 (O). Sustituyendo, tenemos p + . - z - - = A PR" rR ' @" R R 0 ' donde 1 es una constante.-La ecuacin de autovalores para @ en (24.3) 0" + Ae= o. Nos interesan funciones peridicas de perodo 2x. Consideremos (24.3) en el intervalo (-x, x), e impongamos las condiciones de contorno 108 Separacin de variables y series de Fourier e(-) - e(7T) =o, e'(-) - e'(.rr) =o. [Se deduce entonces de (24.3) que 0" (- n) - 8" (n) = e"' (- n) - 8"' (n) = . . . = O]. Se ve fcilmente que (24.3) tiene soluciones de perodo 272 si y slo si A = n2, n = O, 1,2, . . . En correspondencia a esos autovalores n2 tenemos las autofunciones cos nO y sen no. Existen dos autofunciones correspondientes a cada autovalor excepto 1 = O. Los auto- valores 1 = n2, n = 1, 2,. . ., se llaman autovalores dobles. Volvamos de nuevo a la ecuacin para R ( r ) . Tenemos (24.4) PR" + rR' - n2R = O. Para n = O sta tiene la solucin general a + b log r. Para n = 1, 2,. . . , la solucin gene- ral es ar" + bin. La ecuacin ha de verificarse en el intervalo O < r < I . En lugar de una condicin de contorno en r = O imponemos simplemente la condicin de que R sea finita all. [Obsrvese que r = O es un punto singular de la ecuacin (24.4)]. Partimos de las soluciones r R cos nB y rn sen ne. Intentamos resolver el problema (24.1), (24,2) me- diante una serie u ( r , O ) = ?ao + Z (a,rn cos nO + b,rn senno). 1 " 1 Poniendo r = 1, vemos que los coeficientes an y bn se eligen de modo que f(0) = ?ao + Z (a, cos nO + b, senno). 1 " 1 Por tanto an y b, son los coeficientes de Fourier (24.5) b, = I" f(+) senn+d+. -H Examinemos la funcin (24.6) u ( r , O) = -a0 + Z vn ( a, cos nO + b, sen ne). 1 - - 2 1 Si c = l/ n j If($) I dB, de donde ] an] I c, lbn] I c, encontramos para u y sus derivadas parciales primeras y segundas que son mayoradas por la serie I; 2 cn2rn-2. Esta serie con- verge uniformemente para r S ro para cualquier ro< 1. Resulta de ello que u es dos veces derivable con continuidad para r > 1, y sus derivadas pueden obtenerse derivando su serie trmino a trmino. Entonces -7t m = Z rn(a, COS nO + b, senno) [n(n - 1) + n - n2] = O, de modo que u ( r, O) es armnica. (Esto es, satisface la ecuacin de Laplace). 1 24. La ecuacin de Laplace en un crculo 109 Supongamos ahora que f (O) es una funcin continua peridica y que( -n x f %O es finita. Definiendo 1 '" 2 1 sN(r, e) = -ao + H rn(a, cos ne + b, senno), encontramos que SN (1, O) converge uniformemente hacia f ( O) . Entonces para cualquier E > O existe un N, independiente de 6' 'tal que IsN(l, e) -sSy(l, e)I < E para M, N > N, . Puesto que SN (r, O) - S M ( r , 6') satisface la ecuacin de Laplace para r < 1, del principio del mximo resulta que I sN ( r, O) - sfif ( r , O) I < E para r I l . As pues la serie para u ( r , 6') converge uniformemente para r I 1. Luego u (r, O) es continua para r I 1. Ya que u (1, O) = f (O), la condicin de contorno es alcanzada con continuidad, y u es la solucin de nuestro problema. Ejemplo. Resolver Encontramos Por tanto u( r , e) = - + -i COS 28. 1 1 2 2 La anterior demostracin de la convergencia nos conduce a una cota uniforme de La solucin (24.6) puede ponerse en forma de una integral sustituyendo las defini- error para I u - S N 1. ciones (24.5) de los coeficientes de Fourier. La suma parcial S N ( r, O) viene dada por Para cualquier r < 1 esta serie converge uniformemente, de modo que podemos pasar al lmite bajo el signo integral cuando N + m. Encontramos (24.7) Para valorar la serie calculamos 1 I O Separacin de variables y series de Fourier m [ P+ 1 - 2rcoseI Z rncosne 1 m = 8 {[rn+2 + I"] cos no - rn+l[cos ( n + 1)e + cos ( n - l)O]} 1 oc m m m = C COS ne + Z rn COS ne - Z rn cos nO - 8 rn+2 cos no = r cos 0 - P. 1 1 2 O Entonces [rz+1-2rcos8] Y (24.8) - + X rn cosnO= l W 1 - rz 2 1 2[r2+ 1 - 2r cos e]' Sustituyendo 8 por 8 - 4 y reemplazando en (24.7), encontramos que si J If6 I dO es finita, la serie solucin (24.6) puede representarse como la integral (24.9) para r < 1. sta se llama frmula integral de Poisson. calcular los coeficientes de Fourier def(8) y sumar luego la serie (24.6). Con frecuencia es ms conveniente (y de mayor precisin) usar esta frmula que El problema de contorno en un crculo de radio R (24.10) puede reducirse a otro en el crculo unidad (24.1), (24.2) mediante el cambio de escala r = r/R. Inmediatamente encontramos la serie solucin (24.11) u( r , e) = 2a0 + f; (i) [ an cos n6 + b, sen n e] , donde a, y b, son los coeficientes de Fourier def(0). Esta serie puede tambin escribirse en la forma (24.9) como l w n (24.12) f ( 4M rZ. + R2 - 2rR cos ( 6 - 4) u(r, e) =- para r < R. Sta es la forma general de la frmula integral de Poisson. Estas frmulas representan tambin una solucin continua cuando definimos u (R, O) =f ( O) sif(0) es continua y peridica e Jf' zdde es finita. (La integral no est en general definida para r = R). 24. La ecuacin de Laplace en un crculo Si ponemos r = O en (24.11) o en (24.12), encontramos que 111 Estoes, el valor u en el centro de cualquier crculo en cuyo interior es armnica, es igual al promedio de sus valores en el contorno. Este se llama el teorema del valor medio. Mientras r < R, la frmula (24.9) puede derivarse cualquier nmero de veces respecto a r y a 0 o respecto a x e y. Por tanto u es indefinidamente derivable para r < R. Si u (x, y ) es una solucin de la ecuacin de Laplace en cualquier dominio D, podemos rodear cual- quier punto (xo, y,) del dominio con un crculo (x - xo)2 + ( y - yo)2 I R2 situado en D. Entonces u es ciertamente derivable con continuidad en el crculo. Luego puede represen- tarse por la frmula de Poisson dentro del crculo, y en el interior de ste es indefinidamente derivable. En particular, lo es en el centro (xo. yo). Hemos demostrado que cualquier solucin de la ecuacin de Laplace en un dominio D es indefinidamente derivable en l. Es analtica. Esto es, u es igual a su serie de Taylor en'torno a (xo, yo) en cualquier crculo de centro en (xo, yo) y situado en D. La serie (24.11) es la serie de Taylor para u en torno x = y = O. (Ver el ejercicio 3). EJERCICIOS l . Resolver u( 1, e) = sen3 e. 2. Resolver - + - = O para xz + y" < 4, azu a2u axp a? u = para 2 +y" = 4. Encontrar una cota para I u (r, 0) - S, (r, 19) 1. 3. Demostrar por induccin que las funciones r n cos nI9 y r" sen ne son polinomios en x e y de grado n. (Se llaman polinomios armnicos). Partiendo de este hecho, demostrar que (24.11) es la serie de Taylor para u (x, y ) en tomo x = y = O. 4. si v2u = o para x2+y2 < 1, u = y log (5 + 4x) para x2 + y2 = 1, hallar u en x = y = O por medio de la frmula de Poisson. 5. Resolver el problema en un semicrculo 6. Resolver el problema en un cuadrante 112 l. si Separacin de variables y series de Fourier V2u = o para x 2 +y y 2 < 1, u = xye"*+U4 + 2 para x2 + y' = 1, hallar u (O, O ) mediante el teorema del valor medio 8. Resolver V2u = O para r < 1, cuando ,rzT f(0) (IO = O y u satisface la normalizacin I I (O, O) == O. Demostrar que no existe solucihn si L f ( 0 ) dl #o. 9. Resolver V2u = O para r < 1, au -( 1, 0) = sen3 8 ar con la normalizacion u ( O, O) = O. 10. Resolver por medio de la separacin de variables V2u = O para 1 < r < R, u( l , 8) = O , WR, e) =m. (sta es la ecuacin de Laplace en un anillo). 25. Extensin de la validez de esas soluciones Se ha demostrado en la seccin anterior que la serie (24. I I ) da una solucin continua del problema de contorno (24.10), con tal que f ( O ) sea continua e f ' V O sea finita. La serie tambin satisface la ecuacin de Laplace con la hiptesis mucho ms dbil de que "x sea finita. Demostremos ahora que la solucin (24.11) alcanza sus valores de contorno en todos los puntos en los que . f ( O) es continua en el sentido de que el lmite de u (r, O) es f ( O, ) cuando (r, O) + ( R, O,). Empecemos suponiendo nicamente que I I f(0) I dO es finita. Entonces la serie (24.1 I ) converge para r < R. (La serie de Fourier para f ( 0 ) puede no ser convergente). Para I' < R podemos escribir u ( r , O) en la forma equivalente de la integral de Poisson (24.12). La solucin del problema (24.10) con f(0) Y: I es u (r, O) =- 1. Por tanto (24.12) nos da (25.1) 1 1 = "(RZ - P ) d4 2?r 1 : . rs! + R2 - 2rR cos ( O - 4)' 25. Extensin de la validez de esas soluciones 113 Para una funcin f(O) dada y un ngulo O. dado, restamos de la (24.12) la (25.1) multi- plicada por f(0,) y se obtiene Definamos JI = + - 60. Entonces ya que el integrando es peridico de perodo 232. existe un 6 > O tal que Supongamos ahora que f ( 0 ) es continua en O = Bo. Entonces para cualquier E > O (25. 2) If(0) -f(eo)I <= cuando l e - eo! < 6. Consideremos un ngulo 0 tal que y desdoblemos la integral como sigue (25. 3) El integrando en (25.1) es positivo. Por tanto segn (25.2) < ""(R2 - 9) 1 1 dJI 2 27T . / : m P + R2 - 2rR cos ( O - eo - 9) En las otras dos integrales de (25.3) el denominador est acotado inferiormente por r2 + R2 - 2rR cos l/zS, debido a que I O -Oo I < 1/ 2S en tanto que I y I 2 6. Por con- siguiente la suma de esas integrales est acotada por 114 Separacin de variables y series de Fourier Esta expresin tiende evidentemente a cero cuando r .+R. Existe entonces un 7 > O tal que la expresin anterior es menor que l I2E para r > R - 7. Hemos demostrado que lu(r, 0) -f(eo) I < E para (O - eo[ < -S, r > R - v. 1 2 Esto significa por definicin que ( 1. @) - +( R. 8.) lim u( r , O) =f(0,). Hemos supuesto nicamente que 1-z I f / dO es finita y que f ( 0 ) es continua en OO. En particular, si f (e) es continua, la solucin u (r, O) definida para r < R por la serie (24.11) o por la integral de Poisson (24.12), y para r = R por u (R, e) = f ( 0 ) es continua para r _< R. A menos que f (O) sea cero, la integral de Poisson (24.12) no est definida, ni siquiera como integral impropia, para r = R. La serie (24.11) puede o no ser convergente 'para ir = R, y desde luego la convergencia no es uniforme necesariamente. Cuandof(0) es tan slo continua a trozos (esto es, continua excepto un nmero fi- ,nit0 de discontinuidades) la funcin u (r, O) definida por (24.1 1) o (24.12) es una solucin de la ecuacin de Laplace que alcanza el valor de. contorno f(O) con continuidad salvo en las discontinuidades. Adems, de (24.12) y (25.1) resulta claramente minf(0) 5 u( r, O) 5 maxf(0) en todo el crculo. El problema con valores de contorno continuos a trozos es importante desde el punto de vista fsico como caso lmite. Puede preguntarse si la solucin u est determinada por sus valores de contorno salvo en un nmero finito de puntos, y si el problema as definido est propuesto correctamente. Una extensin o generalizacin del principio del mximo (el teorema de Phragmn- Lindelof) establece que si u ( x, y ) es armnica en un dominio D y continua en D junto con el contorno C excepto en un nmero finito de puntos de C, y si u est uniformemente acotada en D + C, entonces u est acotada superiormente por el extremo superior e inferiormente por el extremo inferior de sus valores en los puntos de continuidad situados en C. [La des- igualdad anterior es un caso particular de este teorema]. El ejercicio 5 es una demostra- cin del teorema. Puede verse tambin una demostracin en M. H. Protter y H. F. Wein- berger, Maximum Principles in Differential Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New J ersey, 1966, captulo 11. La aplicacin del teorema de Phragmn-Lindelof a diferencias de soluciones da la unicidad y la continuidad para los problemas de valores de contorno con datos continuos a trozos. Obsrvese que la funcin no acotada u( r , 0) = RZ - P R2 t- 9 - 2Rr cos 0 es armnica para r < R y tiende a cero en el contorno r = R excepto en 8 = O. Esto prueba que es esencial una hiptesis de acotacin en el teorema de Phragmtn-Lindelof. 25. Extensin de la validez de esas soluciones 115 Puede sin embargo reemplazarse por la dbil hiptesis de que u no tienda a infinito muy rpidamente en las proximidades de los puntos excepcionales. Supongamos ahora que ,f (O) tenga una discontinuidad de salto en O,. Esto es, que existan los lmites f ( Oo - O) y f ( O, + O), pero que no sean iguales. Observemos que la funcin acotada $( r , O) = cot-' 2rR sen 8 RZ $- 9 - 2Rr cos 8' es armnica para r < R, y sus valores de contorno son continuos en O,. De ello resulta que esta funcin es continua en ( R, O,), de modo que u tiene la misma discontinuidad que Sta es una discontinuidad de abanico. Es decir, u es aproximadamente f(O, - O) ms un mltiplo constante del ngulo 4 formado por el rayo que va de ( R, O,) a ( r , O), con la tangente al crculo. En particular, - "m, + 0) "f@, - 011y ( r, - 0,). lim u ( r , e,) = ,[f( eo + O) + f( eo - O ) 1. 1 I-R En la deduccin anterior utilizamos la frmula integral de Poisson (24.12) para com- probar el hecho de que la solucin (24.11) obtenida por el mtodo de separacin de varia- bles es vlida para una clase de valores de contorno ms amplia de la que puede esperarse a partir de los teoremas de convergencia de Fourier. Las soluciones de las secciones 22 y 23 tienen la misma propiedad, e indicaremos como comprobar este hecho. Consideremos primero la serie solucin (22.2) del problema de la ecuacin del calor (22.1). Empleando la definicin de los coeficientes de Fourier, encontramos que u(x, t ) =- z r f ( t ) e - n z k t sennesennxdt. 2 " m 1 o Para t > O intercambiamos el sumatorio con la integracin, lo que es posible ya que la serie resultante es uniformemente convergente en 6. Entonces (25.4) 116 Separacin de variables y series de Fourier La frmula (25.4) da la solucin del problema de la ecuacin (22.1) en forma de una inte- gral. Es una frmula anloga a la de la integral de Poisson. Ya que disponemos de la serie de Fourier en senos de K , con facilidad vemos que Jb K ( t , x, t ) sen t d t = e-kt senx. Por lo que para O < x, < z (25.5) El principio del mximo para la ecuacin del calor implica que u (x, t ) 2 O siempre que f ( x ) 2 O para todo x. Queremos demostrar que K 2 O. Supongamos que para un par (x, t ) fijo K (6, x, t ) fuera negativa para algn valor 6 = 6,. Ya que K es la suma de una serie uniformemente convergente de funciones continuas, es continua. Por consi- guiente, existira un intervalo 6, - 6 < 6 < to + 6, donde K (6, x, t ) sera negativa. Po- dramos entonces elegir una funcin inicial derivable con continuidad f(6) que fuera idnticamente cero fuera de ese intervalo y positiva dentro. Segn (25.4) u ( x, t ) sera negativa, en contradiccin con el principio del mximo. Hemos demostrado que K( 5 , x, t ) 2 o. Si consideramos los valores iniciales particulares I nx n(1 -x) para x 2 T - - 3 1 n el principio del mximo demuestra que Pasando al lmite cuando n + 00, encontramos que uniformemente en x y t . Entonces la funcin Supongamos ahora que f ( x ) es acotada para O I: x I: z, y continua en x = x,. es continua en (, x y t en 6 = x = x,,, t = O. Para cualquier E > O existe 8 > O tal que (25.7) lg(5, x, t ) I <SE siempre que 1(-xol < S, Ix-xoI < S, 1 y O < t < S . 25. Extensin de la val i dez de esas soluciones 117 Tomemos 6 lo bastante pequeo de modo que O < x, - b y x, + 6 < n, y desdoblamos la integral (25.5): Tenemos que demostrar que esta expresin puede hacerse arbitrariamente pequea to- mando ( x , t ) prximo a (x,,, O). Ya que K 2 O, tenemos segn (25.6) y (25.7) (25.9) cuando I x - x, I < 6, t < 6. Puesto que f (x) es acotada, g (E, x, t ) es uniformemente acotada para t < 6, I x - x, I < 6. Esto es, I g (E, x, t ) I < e para un cierto valor constante e. Consideremos ahora la funcin u6 (x, t ) que es solucin del problema de valores iniciales (22.1) con los valores iniciales 1 2 para I X - x01 < -6 m para -S < / x - xOl < S , 1 2 para [ x - xol 2 6. Esta funcin es continua, f s (O) =fa (n) = o, e j: fs'2dx es finita. Luego, u6 ( x , t ) es con- tinua en t = O y u6 (x, O) = 1 para I x -xo [ < +S. Existe, por tanto, un 11 > O tal que 11 - US(X, t ) I < - siempre que Ix - x01 < -6 y O < t< 7. E 1 2c 2 Ya que K 2 O y fa I I tenemos en virtud de (25.6) r- ' Kd t + Kd t 5 1 - /Eo-.5 Kd5 r o i . 5 5 1 - K( x, t l f s ( Z) dt = 1 - us(x, t ) < - para Ix - xol < -6, O < t < 7. E 1 2c 2 Entonces Esta desigualdad, junto con las (25.9) y (25.8), demuestran,que 118 Separacin de variables y series de Fourier l u( x , t ) -f(xo)I < E para Ix - x01 < -6, O < t < 7). 1 2 Hemos demostrado que si f(x) es acotada para O < x < n y f(x) es continua en x = xo, la solucin u (x, t ) definida para t > O por (22.2), y para t = O por u (x, O) =f(x) es continua en x,. En particular, si f ( x ) es continua, pero no satisface f(0) =. f (n) = O, la serie (22.2) da una solucin de la ecuacin del calor acotada y que satisface (X. t)+(xo. o) (La serie no converge necesariamente para t = O). Puesto que si f (O) #O f (n) i: O esta solucin no es continua en (O, O) y (O, x), los teoremas de unicidad de la seccin 13 no se pueden aplicar. No obstante, el mtodo de demostracin de la unicidad puede extenderse para demostrar que u (x, t ) es la nica solucin acotada para la cual lim u (x, t ) = f(x) uniformemente en todo subintervalo cerrado de (O, x). y a la derecha), podemos demostrar que lirn u ( x , r ) =f(xo) para O < x. < T . t+n Sif(x) tiene una discontinuidad de salto en x. (esto es, lmites distintos a la izquierda lim u(xO, t ) = -[f(xo + O ) +f(xo - O ) ] . 1 r-rn 2 Sif(x) tiene un nmero finito de discontinuidades de salto podemos demostrar que u (x, t ) es la nica solucin acotada de la ecuacin del calor que alcanza uniformemente los valores iniciales f(x) en cada intervalo cerrado en el que f ( x) es continua. Consideraciones andogas se aplican a la solucin (23.3) de la ecuacin de Laplace en el rectngulo. Podemos volver a escribir esa solucin en la forma siguiente en donde ahora Podemos an demostrar por el principio del mximo que K 2 O, y que asimismo disponemos de la serie de Fourier en senos de K, y por Lanto Considerando los valores de contorno 25. Extensicin de lu wlidez de esus soluciones I19 para (x - xoJ < -6 1 2 para Ix-xoI > 6, vemos que para cualesquiera x. y d tales que O < x. - 6, x. + h < ,z y cualquier E :>O existe un > O tal que Podemos demostrar entonces del mismo modo que para la solucin de la ecuacin del calor que si f ( x ) es acotada, la solucin (23.3) de la ecuacin de Laplace para y > O extendida por la funcin u (x, O) = f ( x ) es continua en los puntos de continuidad de f ( x ) . En particular no es preciso suponer que f ( 0 ) =f ( n ) = O. Si f(x) tiene una discontinuidad de salto en x", tenemos lim u(xo, y ) = - [ f ( xo + O ) +f(xo - O)]. Y-0 2 1 Con mayor generalidad, podemos demostrar que la funcin armnica 1 u(x, t ) - $(xo + O) +xo - O)] tan-' - Y x - x0 tiene por lmite f ( x , + O) cuando (x, y ) + (xo, O). Lindelof. La unicidad de la solucin u tambin se demuestra a partir del teorema de Phragmn- EJERCICIOS l . Resolver el problcnla a2u+lau+La"u=O para r < 1 , a f r dr 13 de2 u(1, 6) = para O < 6 < T, para n < B < 27r. En particular, hallar u (O, O). 2. Resolver el problema *-*=O para ~ < x < ? r , t > ~ , at a 2 u(0, t ) = U(T, r) = O, u(x, O) =x . 3. Resolver cI problema "" a 2 u - ~ para O < x < 1, t > O , %(O, t ) = o, at axl au ~( 1 , r) = O , u ( x , O) = x. 120 Separacin de variables y series de Fourier Demostrar la validez de la solucin. INDICACI~N: Usar la extensin por simetra, y cambiar la escala. 4. Resolver el problema a2u a% ax2 ay u(x, 1) = u( 0, y ) = u(1, y ) =o, u(x, O ) = 1. - + - = O para O< x < 1, O < y < 1, En particular, hallar u 8, f) utilizando la simetra. 5. (Teorema de Phragmn-Lindelof). Sea el punto (xo, yo) perteneciente a la frontera C de un dominio D contenido en un circulo de radio R con centro en (x,,, yo). Sea u una funcin armnica (esto es, 0% = O) en D, y continua en D + C excepto acaso en (xo yo). Sea u I M en C excepto acaso en (xo, yo). Dernos- trar que si cuando (x, y)+ (xo, yo), entonces u I M en D. INDICACI~N: Escribir obtener una ecuacin diferencial que sea satisfecha por 4, y demostrar que 4 satisface un principio del 6. Sea f ( 8 ) continua Y peridica de perodo 2n. Demostrar que para cualquier E > O existe una corn- mximo. N binacibn lineal finita E [c, cos n8 + d, sen ne] tal que O If(e) - $ [c, cos ne + d,, sennO] I < E para todo 8. INLXCACI~N: Demostrar que existe un r e tal que donde u ( r , O) est definida por (24.6). Demostrar entonces que u (r e, 8) puede aproximarse en menos de +e mediante una suma parcial de su serie. 26. La ecuacin de ondas amortiguada Consideremos el problema de valores iniciales (26.1) -+2a---+" O para O<X<I T, t > 0 , a2u au a2u aP at ax2 para O 5 x 5 rr, u( 0, t ) =o, U ( T , r) = o, donde CI y c son constantes positivas. La solucin de este problema da el movimiento aproximado de una cuerda cuando se tiene en cuenta la resistencia del aire. La ecuacin diferencial se llama ecuacin de ondas amortiguada. El mCtodo de separacin de variables da soluciones producto de la forma 26. La ecuacin de ondas amort i guada T. ( t ) sennx, n = 1, 2, . . . donde Tn ( t ) satisface T, + 2aTn + n2c2Tn = O para t > 0, T, ( O) = O. Poniendo T, (O) = 1, encontramos que (26.2) - T, ( t ) = {e-Of[l + at] U C para n =-, u sen-t] n2c2 - a2 a para n > -a C La solucin formal viene dada por (26.3) donde (26.4) 121 Queda por comprobar que sta es una solucin. Supongamos primero que f ( x ) es continua, f ( o> =f ( n) = O, e 1: . r ~ x es finita. Entonces por la ecuacin de Parseval 2 n2bn2 converge hacia 1 Y2d x . m 1 Para cualquier intervalo finito de tiempo O I t I t o, T n ( t ) es uniformemente acotada en n. Esto es, I T, ( t ) I I A. De la desigualdad de Schwarz resulta que Las dos series del segundo miembro convergen. Por consiguiente la serie (26.3) de u (x, t ) converge uniformemente para O I t I to para cualquier to. Entonces u ( x , t ) es continua para O I x I x, t 2. O y satisface u ( x , O) = f ( x ) y u (O, t ) = u (n, t ) = O. Para derivar las series trmino a trmino tenemos que hacer ms hiptesis acerca f (x). Si suponemos que f (x) es derivable con continuidad dos veces, que f ( 0 ) = f ( n) = f N (O) = f (n) = O, y que I: f 2 d ~ es finita, la ecuacin de Parseval demuestra que 2 n6bn2 es finita. Se deduce entonces de la desigualdad de Schwarz que las series para las derivadas parciales primeras y segundas de u convergen uniformemente. La serie de u puede por tanto derivarse trmino a trmino, de modo que la ecuacin di- ferencial y la condicin &/% ( x , O) = O se cumplen. con continuidad dos veces e J j""%/.x es finita, (26.3) da la solucin de (26. I ) . Comparando con el resultado para n ~ O obtenido en la seccin 2, podemos presumir que la continui- dad de,/" es realmente necesaria para dar una funcin derivable dos veces con continuidad. Demostraremos ahora cmo puede eliminarse la condicin relativa a,/"'. Si hacemos o ~ O en (26.2), T,, ( t ) se convierte en cos nct. Luego la solucin (26.3) para la ecuacin de ondas ordinaria se transforma en m u ( x , t ) = C h,, cos nct sennx 1 1 2 1 2 = - C b,[senn(x + ct ) + senn(x - c t ) ] = -[f(x + ct ) +f(x - c t ) ] . Esto est de acuerdo con la solucin de d'Alembert (2.16). Cuando n es muy grande, encontramos que T, ( t ) = e-U' cos nct . Con ms precisin, para cualquier intervalo O <t 5: t,, existe una constante B tal que IT, - e- u L cos nctl 5 B/ n, d l d r [ ~ , - e-"' cos nct ] I 5 B, d2 (26.5) T , - e-"' cos nct] I 5 Bn para todo n. Escribamos (26.3) en la forma ?) m u ( x , I) = 2 b,,e-at cos nt sennx + C bn[ Tn( t ) - e-at cos nt] sennx 1 1 O m (26.6) u(x, t ) = -e-"'[f(x + c t ) +f(x - c t ) ] + 2 b,[T, - c a t cos nt ] sennx. Aqu hemos extendido f ( x ) como una serie de senos, esto es, como una funcin impar en torno O y X . 1 2 1 Supongamos ahora que y ( ~ ) y y' (x) son continuas, f ( 0 ) - f ( n ) = O, y que i, f "%/ x sea finita. De la estimacin (26.5) unida a la convergencia de X n 4 h 2 y a la desigualdad de Schwarz resulta que la serie del segundo miembro y las series obtenidas tomando sus derivadas parciales primeras y segundas convergen uniformemente. Por lo tanto, la serie puede derivarse trmino a trmino, y representa una funcin derivable dos veces con continuidad. Resulta que si y(x) (extendida) es derivable dos veces con continuidad, lo mismo vale para u (x, t ) . Es fcil demostrar comprobando con la serie resultante que u satisface el problema (26. I ) . 26. La ecuacin de ondas amortiguada 123 Si las derivadas segundas de f ( x ) son nicamente continuas a trozos, una discon- tinuidad en una derivada segunda de f en x. motiva discontinuidades en las derivadas segundas de u en (x, + ct, t ) y (x, - ct, t ) . Dicho de otro modo, las discontinuidades en las derivadas segundas (y lo mismo para las de rdenes superiores) se propagan a .lo largo de las caractersticas x 5 ct = constante y sus reflexiones, lo mismo que en al ecuacin de onda ordinaria. Es decir, las caractersticas no sirven solamente para limitar el dominio de dependencia. (Esto es vlido segh un teorema de unicidad semejante al de la seccin 7, si bien no es del todo claro a partir de la serie (26.3)). Las caractersticas son tambin portadoras de las discontinuidades. Esta propiedad de las caractersticas es vlida para todas las ecuaciones hiperblicas. La serie (26.6) converge uniformemente para O I t I to si f ( x > es nicamente de cuadrado integrable (esto es, f2dx finita). Cuandof(x) no es derivable dos veces, podemos considerar (26.6) como solucin generalizada del problema. calcular la solucin y especialmente sus derivadas. La serie (26.6) converge ms rpidamente que la (26.3), y es por tanto ms til para EJERCICIOS 1. Demostrar que cuando r+ 00 la solucin u (x, t ) de (26.1) tiende a O. 2. Resolver (26.1) cuando f ( x ) = sen2 x. 3. Resolver por separacin de variables (Esta ecuacin diferencial se presenta en la transmisin de impulsos elctricos en un largo cable con una distribucin de capacitancia, inductancia, y resistencia. Es la llamada ecuacin de los telegmfistas. 4. Resolver por separacin de variables -+-=o para O < x < m-,t > O, at2 at ax2 %( X , O) =o. au 5. Resolver por separacin de variables - + 2 a - - P = O para O<x<m- , t > O a% au a t a12 at axs. u(0, t ) = U(P, t ) =O, u(x, O) = o, au x(x, 0) = d x ) . 124 Separacin de variables y series de Fourier Demostrar que se obtiene una solucin si g (O) = g (n) = O y g (x) es continua y derivable con continuidad. BIBLIOGRAFfA PARA EL CAP~TULO IV P. W. BERG AND J. L. MCGREGOR, Elementary Partial Differential Equations, Holden-Day, San Fran- H. S. CARSLAW AND J. C. JAEGER, Conduction of Heat in Solids, Oxford, 1959. R. V. CHURCHILL, Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, New York, 1963, cap- H. F. Dxv~s, Fourier Series and Orthogonal Functions, Allyn and Bacon, Boston, 1963, captulos 2, 3, 5, 6. E. KREYSZIG, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, New York, 1962, captulos 8, 9. 1. G. PETROVSKY, Lectures on Partial Differential Equations, New York, 1954. H. SAGAN, Boundary and Eigenvalue Problems in Mathematical Physics, Wiley, New York, 1961, capitulo 1V. G. P. TOLSTOV, Fourier Series. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New J ersey, 1962. A. G. WEBSTER, Partial Dierential Equations of Mathematical Physics, Dover, New York, 1955, capi- cisco, 1964, captulo 4, 6. tulos 3, 4, 5, 7. tulo IV. C A P ~ T U L O v Problemas no homogneos 27. Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias El mtodo de separacin de variable reduce problemas en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales a otros en ecuaciones diferenciales ordinarias. Estudiaremos algunas de las propiedades de la ecuacin diferencial de segundo orden. a( x ) u + b(x)u + c(x)u = F( x ) en un intervalo a < x </?. Supongamos que a (x) es una funcin positiva derivable con continuidad en ese intervalo, y que b y c son continuas. Si multiplicamos la ecuacin por la funcin (*) y definimos la ecuacin diferencial se convierte en (27.1) - p- + qu =f(x). d x d r d ( > Consideraremos la ecuacin diferencial en esta forma, llamada forma auto-adjunta. La funcin p (x) es asimismo derivable con continuidad y positiva, y .q (x) y f ( x ) son con- tinuas para a < x < /?. La ecuacin diferencial homognea de segundo orden (27.2) p- + q v = o d x d x d ( > (*) Si bien a (x) es positiva para x >a, puede tender a cero cuando x+n. Entonces I ez:d[ puede no con- en la definicin de p . verger. Si no converge, reemplazamos el lmite inferior de integracin por algn valor comprendido entre u y p 125 126 Problemas no homogneos tiene exactamente dos soluciones linealmente independientes v1 (x) y v2 (x); cualquier solucin de (27.2) puede escribirse en la forma v ( x ) = C l V I ( X ) + CZVZ( X) , donde c1 y c2 son constantes. Las funciones v1 (x) y v2 ( x) son dos veces derivables con continuidad para a <x <B. Consideremos ahora la funcin (Suponemos que v1 y v2 permanecen acotadas cuando [+ a, de modo que esas integrales convergen. Si no ocurre as sustituimos el lmite inferior a por un nmero mayor). Derivando w, tenemos Entonces Adems, si vl y v2 permanecen acotadas cuando x -+ a, w( a ) = wl(a) =o. Dividiendo por la constante K, hallamos que la funcin donde hemos definido 27. Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias 127 (27.4) es la solucin del problema de valores iniciales (27.5) u(a) = u ( a ) = o. Ya que el denominador en la expresin (27.4) para R (x, 5) es constante, la funcin R ( x, 5) satisface la ecuacin diferencial homognea (27.2) como funcin de x o de 6. Efectivamente es R (x, E ) = - R ( E , x) . Para un valor fijo de 6, R (x, t) queda completamente caracterizada como la solucin del problema homogkneo de valores iniciales + q ( x ) R = O para x > 6, Rl x=c = O, ! ! ! y =-. 1 dr x=< P ( 0 La funcin R (x, 6) describe la influencia de una perturbacin (impulso) concentrada en 5 sobre el valor de u en x. Algunas veces se la llama funcin de influencia o funcin de Green unilateral. Ejemplo. Consideremos el problema u + u =f(x) para x > O, u(0) = u(0) =o. Para un valor fijo de E la funcidn de influencia R (x, E ) satisface d2R - + R = O para x > 6. G! ? RI,=c = O, dR As pues y la solucin es Si establecemos previamente que los valores de u (c) y u (a) sean distintos de cero, tenemos que sumar una solucin conveniente clvl + c2v2 de (27.2) a la expresin (27.3). (Suponemos que v1 (x), v1) (x), v, (x) y v, (x) tienen lmites cuando x 4 n + O). Ejemplo. Consideremos el problema u + u =f(x) para x > O, u ( 0) = 1, u(0) =- l . 128 Debe ser Problemas no homogneos U(X) = y(() sen(x - t ) d( + ctsenx + ct cosx, u ( 0) = cp = 1, u ' ( 0) = c1=- l . Ll = As pues u(x) = f(() sen(x - S) dt - senx + COS x. l o" El valor de u en el punto x depende nicamente de f ( 6 ) para 6 < x. Podemos decir que el dominio de dependencia respecto a un punto x,, consiste en los puntos situados a su izquierda. Este comportamiento es muy parecido al de las ecuaciones hiperblicas. EJERCICIOS l . Resolver 2. Resolver u" - u =f(x) para X > O, 11 ( O) = u ' ( 0) = o. [(X + I)%']' - u =f(x) para x > O, u ( 0) =o, u ' ( 0) = 1. 3. Resolver U" + u' - 2u = e" vara x > O, u ( 0) = 1, u ' ( 0) =o hallando la funcin de influencia e integrando. 4. Resolver xzu" + xu' + u = l ogx u( 1) = o, u'(1) = 1. INDICACI~N: x f i = cos (log x ) & i sen (log x). 5. Resolver (l +X 2)~'* u'+u=x u ( 0 ) = o reduciendo la ecuacin a la forma para x > 1, para x > O, 28. Problemas de contorno y funcin de Green para ecuaciones diferenciales ordinarias Con frecuencia las constantes c1 y c2 incorporadas a la solucin particular (27.3) de (27.1) no se determinan a partir de dos condiciones iniciales en un extremo CI del intervalo (a, p), sino mediante una condicin en cada extremo. En este caso se habla de un problema de contorno de dos puntos. 28. Problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias 129 Consideremos el ms sencillo problema de este tipo: (28.1) u(a) = u ( P) = o. (Porque es ms conveniente en las aplicaciones hemos escrito en el segundo miembro -f(x) en lugar de f (x)). Poniendo la solucin general en la forma u(x) =- ju= R( x, Z)f(S)dS + ClYl(X) + c2v2(x), ClVl(P) + czvz(P) = 1- R(P, Slf(S)&. obtenemos las dos ecuaciones c1v1(a) + czvz(a) = o, (Hemos supuesto aqu que v1 y v2 tienen lmite cuando x -+ a y x -+,6). terminante de sus coeficientes no sea cero; esto es, con tal que Estas dos ecuaciones determinan un solo par de constantes c1 y c2, con tal que el de- D = vl(a)Vz(p) - vz(cr)vl(p) #o. Supongmoslo as por el momento. Entonces La solucin puede escribirse as Recordemos que el denominador en la definicin (27.4) de R es una constante K. Tras algunos clculos encontramos que para x 5 5. Entonces la solucin del problema de contorno de dos puntos (28.1) puede escribirse en la forma La funcin C (x, <) se llama funcin de Green del problema (28.1). Es simtrica. Esto es, G (x. 5) = G (5, x ) . Para determinar la funcin de Green, observemos que para cada ( satisface el si- guiente problema de contorno (28.4) Con Glr=S+o indicamos el lmite de C (x, [) cuando x+[ por la derecha; con G/ I=S-O el lmite por la izquierda. Las condiciones c y d establecen que C (x, [) es con- tinua en x = :, mientras que dG/dx tiene all una discontinuidad de salto. Si interpretamos u como un desplazamiento y f'como una fuerza por unidad de lon- gitud, la frmula solucin (28.3) demuestra que C ( x , :") es el desplazamiento en x debido a una fuerza de magnitud unidad concentrada en <. La relacin de simetra G (x, () = = G ( i , x) a veces se llama ley de reciprocidad. Ejemplo. Consideremos el problema u" = --(x) para O < x < I , u(0) = u(1) = o. En virtud de (a) y (b) de (28.4) ser (Ya que f se mantiene fijo en el problema (28.4), las constantes a, y a, pueden depender de ). La condicin de simetra C (x, E) = G (f, x) exige que a, ( E ) = A (1 - E ) , a2 (6) = A, donde A es una constante inde- pendiente de f. Entonces la condicin de continuidad (c) se satisface automticamente. La condicin de salto (d) da A( ( "1) " A ( 1 - 0 =-1, 28. Problemas de contorno para ecuaciones drferencinles orclinnrias 131 O A = I . Por consiguiente, La solucin es Si f ( x ) 1, encontranlos u(x) = 2( 1 - x)x + -x( 1 - x) 1 1 2 = y ( I - x ) . De la definicin (28.2) de G (x. i t) resulta que la funcin aC/a:(.u. a) satisface mientras que Luego el problema de contorno ( p u ) + qu = -f para (Y < x < /3, (28.5) u(..) = a, u ( P) = b tiene la solucin Una vez conocida la funcin de Green, el problema general (28.5) puede resolverse expl- citamente. Hemos supuesto que el determinante D = VI (a) v:! (P) - ti (a) (P) no es cero. Si D = O, las ecuaciones c, v, ( a) + C:!12(cr) = o, CI V1 iP) + Cl Vl (PI = o 132 Problemas no homogneos tienen una solucin adems de la c1 = c2 = O La funcin correspondiente v (x) = = clvl (x) + czv2 (x) satisface entonces (pv) + qv = O para a < x < P, .(a) = v(P) = o. Si u es una solucin del problema (28.5), asimismo lo es u + cv para cualquier cons- Si, adems, multiplicamos la ecuacin diferencial (28.5) por v e integramos entre (Y tante c. Esto es, (28.5) no puede tener solucin nica. y ,!I, encontramos - Ip v(x)f(x)dx = 1-O v(x) [ (pu) + qul dx = [VPU - v q + Ip u[ (pv ) + qvldx =I J (a)v (a)a -P(P)V(P)b. Si (28.5) tiene una solucin, la funcin dadaf(x) y las constantes dadas a y h deben satisfacer la relacin p(a)v (a)a -p(P)v((P)b = - laP v(xlf(x)dx. De otro modo puede no haber solucin del problema. As pues si D = O, el problema (28.5) puede no tener solucin o tener muchas soluciones. Este fenmeno est ligado a la presencia de un autovalor, lo que estudiaremos ms adelante. Los problemas de contorno de dos puntos con condiciones de contorno ms generales pueden tratarse de la misma forma. Consideremos el problema (pu) + qu = +(x) para a < x < p, (28.6) -pd((Y) + ffI u(a) = a, pLu(p) + f f . U(P) = 6. La funcin de Green G (x, E ) se deduce como antes, con tal que la condicin D f [-/L~v~ ((Y ) + Ulvl(a)][p2v2(P) + v%vB(P)I - [-p1v2(a) + f f l v2(a)l [p2vI (p) + ff2Vl(.P)I f 0 sea satisfecha. La funcin de Green G (x, () es la solucin del problema + q(x)G =O para x #.$, Se satisface la relacin de simetra G (x, () = G ( 5, x). Esas condiciones son muy parecidas a las de (28.4), excepto en la sustitucin de las apropiadas condiciones homogkneas de contorno. 28. Problemas de contorno para ecuaciones dlferenciales ordinarias El problema (28.6) tiene solucin nica dada por 133 1 1 iic con tal que ,u1 y ,uz no sean cero. Si p1 = O, reemplazamos - G (x, a), por -~ (x, a). Si p2 = O, reemplazamos - G (x, B) por - - aGja5 (x, 0). (Puesto que D #O no puede ser ,u1 = u1 = O ,uz = uz = O). Nuevamente encontramos que si D = O el problema (28.6) o no tendr solucin o tendr muchas. As pues el problema (28.6) est propuesto correctamente si y slo si D #O. En este caso, su solucin viene dada por (28.8) por medio de la funcin de Green. rU1 u1 a t 1 1 P2 0 2 Ejemplo. Consideremos el problema u"= +(x) para O < x < 1, u ( 0) =o, u'(1) + uzu( l ) = 1. La solucin de este problema representa el desplazamiento transversal de una cuerda sometida a ten- sin fija en x = O y conectada a un muelle con elasticidad constante u, en x =I . Se aplica una fuerza transversal 1 en x =1, y otra fuerza transversal f ( x ) por unida de longitud a lo largo de la cuerda. De las condiciones (a) y (b) de (28.7) obtenemos Por la simetra donde A es una constante independiente de E . Por la condicin (d) O Luego 1 + u z ( 1 -[ ))x 1 + u 2 para X 5 [, Y Observemos que en un problema de contorno de dos puntos, el valor de I I en .t de- 134 Problemas no homogneos pende de los valores de f ( x ) en todo el intervalo f ! < x </l. Estos problemas se com- portan en forma parecida a los problemas de contorno para ecuaciones en derivadas par- ciales elpticas. Observacin. Si una solucin particular de un problema puede encontrarse a simple vista, es, naturalmente, innecesario recurrir a la funcin de Green. Por ejemplo, en el problema u - u = 2x para O < x < I , u(0) = o, u(1) =o la funcin - 2x es evidentemente una solucin particular de la ecuacin diferencial. L a solucin general es entonces u = -2x + aex + be-. Ajustando las constantes N y b para que satisfagan las condiciones de contorno, encontra- mos 1. Resolver 2. Resolver u=- 2x+- eX- e- x . 2( e + 1 ) 2e( e - 1) e 2+ 1 e2 + 1 EJERCICIOS u - u = -f( x) para O < x < 1 , u(0) = u\ l ) =o. u - u = -f( x) para O < x < 1, u(0) = u(1) =o. 3. Resolver u - u = es para O < x < 1, u(0) = 1, u( 1) = o. 4. Resolver ( ( I + x ) % ) - u =f(x) para O < x < 1, u(0) = u(1) = o. para O < x < r r , t > O, 29. Problemas no homogneos y transformada finita de Fourier 135 au a2u - at ax2 u( 0, t ) = u ( n , t ) = o, "" F(x, t ) para O < x < n, t > O, (29.1) u(x, O ) =o. desarrollando la solucin en serie de Fourier mediante el mismo conjunto de funciones. Este problema se presenta al estudiar la temperatura de una plancha cuando el calor es producido en (x, t ) a una razn de F (x, t ) por unidad de longitud y de tiempo. Para resolver el anterior problema no homogneo, desarrollamos la solucin (si existe) en una serie de Fourier en senos para cada t fijo: (29.2) m u(x, t ) - Z bn(t) sennx 1 El conjunto de coeficientes de los senos que es una funcin del entero n y de t , determina u (x, t ) con unicidad. Se llama la trans- formada finita seno de u (x, t ) . Si a2u/i3x2 es continua, su transformada finita seno viene dada por debido a que u (O, t ) = u (n, t ) = O. La derivacin de u dos veces respecto a x corres- ponde a la simple operacin de multiplicar por - ns su transformada finita seno. Si au!at es continua, podemos invertir la integracin y la derivacin para demostrar que El tomar siguiente a la (29.3) donde (29.4) La condicin (29.5) inicial u (x, O) = O significa que bn(0) = O. Considerar transformadas seno ha reducido el problema (29.1) para una ecuacin en derivadas parciales al problema (29.3), (29.5) para una ecuacin diferencial ordinaria. Resolviendo sta por un mtodo parecido al de la seccin 27, ejercicio 5, tenemos b, ( t ) = e-n2(L-r)Bn(T)dT. 136 Problemas no homogneos Si el problema (29.1) tiene una solucin u con &/at y a2u/at2 continuas, tendremos la serie de Fourier en senos Segn la desigualdad de Schwarz (19.8) relativa a las integrales encontramos que = -( 1 - e-2nPt) 16' Br2dT 1 2n2 5 - l b Bn2dT. 1 2nZ Entonces segn la desigualdad de Schwarz para sumas y la ecuacin de Parseval Hemos demostrado que si para algn to > O, 1 : j: F2dxdt converge, la serie 2 b, ( t ) sen nx converge uniformemente para O I x I n, O I t I to. Bajo estas condiciones (29.6) u(x, t ) = e-nZ(f-r)Bn(7)dT sennx es continua, y se anula para t = O, x = O y x = n. Imponiendo convenientes hiptesis a F (x, t ) ( F y aF/ax continuas, F (O, t ) = F (n, t ) O, 1. [a2F/ax2I2 dx uniformemente acotada), podemos verificar que la serie (29.6) puede derivarse trmino a trmino, de modo que u es una solucin. Para obtener condiciones menos restrictivas para F, usamos la definicin (29.4) de R, e intercambiamos formalmente la integracin y la sumacin. Esto da rt m Aqui K(x, 4, r) = - I: c n Z t sennx sennt 2 " I r 1 es la funcin introducida en (25.4) para resolver el problema de valores iniciales (22.1). En lugar de justificar el intercambio de la integracin y la sumacin, necesitamos tan slo demostrar que (29.7) da una solucin del problema (29.1) con &/at y a2u/at 2 continuas. Hemos demostrado pues que cualquiera de tales soluciones puede escribirse 29. Problemas no homogneos y transformada finita de Fourier 137 en forma de serie (29.6). Esta justificacin puede llevarse a cabo si F y aF/ax son con- tinuas. Si en lugar de las condiciones iniciales homogneas u (x, O) = O tenemos u (x, O) = f ( x ) en (29.1), no tenemos que hacer otra cosa que reemplazar (29.5) por Entonces Y La sene adicional es justamente la solucin (22.2) del problema de valores iniciales ho- mogneo (22.1). Sin embargo, nuestra deduccin nos lleva a la conclusin de que si (22.1) tiene una solucin con aulaf y a2u/at2 continuas, sta debe venir dada por (22.2). Anlogamente pueden tratarse otros problemas no homogneos. Consideremos, por ejemplo, el problema (29.8) - + - - + - - - + ( r , e) para r < R, a2u 1 au 1 a2u a+ r ar +a#- U(R, e) = o. esta es la ecuacin de Poisson en un crculo de radio R. La separacin de variables en la correspondiente ecuacin homognea nos conduce a soluciones de la forma r" cos nOy rn sen ne. Desarrollamos por tanto la solucin u (r, O), si existe, en una sene trigonomtrica de Fourier m u ( r , 6) - -ao(r) + 8 [ an( r ) cos ne + bn(r) senno], 1 2 donde El conjunto de funciones (a, ( r) , b, ( r) ) se llama transformada finita de Fourier de u. Con ella queda determinada u de manera nica. Ya que u es peridica de periodo 2n, la integracin por partes demuestra que la transformada finita de Fourier de a2u/ d02 es {-- n2a, ( r ) , - n2b, ( r ) ) . Por tanto tomando la transformada finita de Fourier en ambos miembros de la ecuacin diferencial (29.8) resulta 138 Problemas no homogneos 1 n2 r rz ?l- b; +- bn' - - b - - Bn( r ) , donde es la transformada finita de Fourier de F. La condicin de contorno da an( R) = bn(R) = O. En el punto singular r = O exigimos que a, ( r ) y bn ( r ) permanezcan acotados. La transformada finita de Fourier ha convertido el problema de contorno (29.8) en un conjunto de problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias. Para resolver esas ecuaciones por el mtodo de la seccin 28 las escribimos en la forma Construyendo las funciones de Green correspondientes a esos problemas con la condicin de que a n y b, permanezcan acotados en r = O, encontramos que La solucin, si existe, tiene esta transformada finita de Fourier. Segn la desigualdad de Schwarz encontramos que para n 2 2. Se dedude que si 1," 1" F( r, O)z rdrdO es finita, la serie de Fourier -7t 29. Problemas no homogneos y transformada finita de Fourier 139 (29.10) u( r , e) = t ao( r) + [ an( r) cos ne + b, (r) senno] converge uniformemente. Por consiguiente u es continua y satisface la condicin de contorno u ( R, O) = O. El hecho de que u satisface la ecuacin de Poisson puede verificarse bajo condiciones adecuadas impuestas a F derivando la serie trmino a trmino. Sin embargo, la existencia de una solucin se demostrar bajo condiciones ms dbiles en la prxima seccin. En- tonces la solucin debe ser representable en la forma (29.10). Si en lugar de la condicin u ( R, O) = O imponemos u ( R, O) = f ( O) , y F = O, nueva- mente obtenemos la frmula de separacin de variables (24.1 l ), junto con el hecho de que esta solucin es correcta si efectivamente existe. Entonces las transformadas finitas de Fourier son sencillamente los coeficientes de Fourier. Siempre que un problema homogneo puede resolverse por separacin de varia- bles en la forma de una serie de Fourier c,T, ( t ) X , (x), la transformada finita de Fourier reduce la ecuacin diferencial en derivadas parciales B un sistema infinito de ecuaciones diferenciales ordinarias. Esas ecuaciones pueden resolverse por los mtodos de la seccin 27 28. l. Resolver 2. Resolver 3. Resolver 4. Resolver 5. Resolver EJERCICIOS V2 u =y ( l - y ) s e n 3 x para O < x < r , O < y < l , u(x, O) = u( x, 1) = u(0, y) = U(P, y) = o. v2u = -2 para XZ + y2 < R2, u = O para x2 + y2 = R2. $ 2- ~ ( x , t ) para O < x < r , t > O, u(x, O) = o, au u(0, t ) = (T, t ) = o. ax TU = - F( x, y) para O < x < r , O < y < A, u(x, O) = o, u(x, A ) =o, u(0, Y) =o, u(m, y) =o. 140 Problemas no homogneos 6. Resolver V2u =+( x, y) para O < x < 1, O < y < 1, u( x, O) = u( x, 1) = u ( 1, y) = o, au s(0, Y) - 40, Y) =o. 7. Resolver a2u 1 au 1 azu a 9 r ar 9 aeZ au - + - - + - - = - F ( r , O) para r < R, %( R, e) = 0 con la normalizacin u (O, O) = O, con tal que j t j r FrdrdO = O. Demostrar que el problema no tiene solucin si esta integral no es cero. 8. Resolver - + - t - P - = t x ( 1 - ~ ) para O < x < I , t > O , a2u au azu at2 at an2 au u(0, t ) = o, -& t ) =o, u( x, O) = sen-rx, 1 2 au -(x, O) = o at cuando I u I < 742. 9. Resolver a2u a2u a 2 ay2 - + - = senx - sen3 x para O < x < Tr, O < y < 2, 1 u(0, Y) =o, E(+, Y) = o, -(x, O) = o, au ay ay *(X, 2) =o. 30. Funcin de Green Si sustituimos a, ( r ) y b, ( r ) de (29.9) en la solucin (29.10) del problema (29.8), ob- tenemos 30. Funcin de Green 141 Recordemos la definicin de los coeficientes de Fourier A, y B,, e intercambiemos for- malmente la suma con la integracin. Esto nos lleva a la frmula donde O (30.2) G(r,8;p,$)=~og,+2,- [(r)' - (~)' ]($Ycosn(B- +)} R " 1 I n R para p < r. Para p > r, debemos tan slo intercambiar p y r, de modo que (30.3) W , 0; P, 4) = ~( p , 4; r, 0). Evidentemente la serie converge uniformemente en 9 para p < r. Efectivamente, para O < z < l Utilizando la identidad (24.8) tenemos (30.4) 2, -zn c os ncy = " 1 I R d( = -- 2 log[l+22-2zcosa]. Por tanto podemos escribir G en la forma O Esta frmula fue obtenida para p < r. El intercambio de p y r nos lleva a la misma fr- mula para p > t. Definimos G mediante (30.5) para p = r. Hemos deducido la solucin formal (30.1) del problema de la ecuacin de Poisson I42 Problemus no homogneos (29.Q donde G viene dada por (30.5). No es indispensable justificar los intercambios de integracin y suma efectuados. Basta verificar que (30.1) resuelvz el problema. Ya que he- mos demostrado que cualquier solucin u puede representarse en forma de serie (29.10), sta ser otra forma para la misma solucin. Es fcil comprobar por derivacin que como funcin de ( r , O), G (r, O ; p, $) tiene der,- vadas segundas continuas y satisface la ecuacin de Laplace excepto en el punto (p, $). Por consiguiente, si F se anula en un entorno de un cierto punto (ro, O,), encontramos fcilmente que V' u = O en (y,, O,). Esto demuestra que V2u ( yo, O,) slo depende de los valores de F en un entorno de ( y o, O,) tan pequeo como se quiera. Puesto que I iC,li.r 1 y 1 X / % I tienen integrales (impropias) finitas, a pesar de sus singularidades, podemos derivar bajo el signo integral para escribir (30.6) con tal que F (p, $) sea acotada en las proximidades de (r, O). Las derivadas segundas I a2G/ar2 1 y 1 a2G/802 I no tienen integrales finitas. Por tanto no podemos derivar (30.6) directamente. En lugar de ello, utilizamos el siguiente arti- ficio. Si F = 1, su desarrollo de Fourier consiste en el nico trmino 1. El paso de la serie (29.10) a la integral (30.1) no nos causa perturbacin en este caso. Por lo tanto Derivando, encontramos (30.7) Multiplicando cada una de esas igualdades por F ( r , O) y restando de la correspondiente igualdad (30.6) obtenemos S1F es derivable con continuidad, [ F (p, $) - F (r, O)]; [r2 fp' - 2rp cos (O - $)]"% est acotada. (Obsrvese que la expresin [rZ + p2 - 2rp cos (O - 5b) ] 112 es la distancia entre los puntos ( r , O) y (p, 4)). Resulta de esto que las integrales obtenidas por derivacin de (30.8) bajo el signo integral convergen uniformemente. Podemos pues efectuar esas derivaciones bajo el signo integral y encontramos 30. Funcin de Green 143 Entonces 1 au 1 a2u e + - - + - - = - F( r , O) - -r -(r, O) 1 aF a$ r ar P a@ 2 ar = - F( r , O) en virtud de (30.7) y del hecho de que G satisface la ecuacin de Laplace. Hemos demostrado que si F es derivable con continuidad para r < R, u satisface = - F. Para demostrar que u satisface las condiciones de contorno, supongamos que F es uniformemente acotada: 1 F 1 < M. Entonces ~ u t r , e)I 5 I G( r , e; p, +)lpdpd+ = "(R2 1 - P). 4 (Hemos usado el hecho de ser G positiva). Esta desigualdad permite ver inmediatamente que lim u( r , O) = O. ( r , O) + ( R, 4 ) Por tanto, si F ( r , O) es acotada y derivable con continuidad en el crculo r < X, u es la solucin del problema de contorno (29.8). Ya que la funcin - 2rp cos (O - 4) $ 2 1 es una solucin de la ecuacin de Laplace en todo el crculo, concluimos de la demostra- cin anterior que para cualquier dominio acotado D la funcin v ( r , O) = - log [P + p2 - 2rp cos (O - + ) ] F ( p , +)pdpd+ " 4T I! D es una solucin particular de la ecuacin de Poisson v 2 u = - F( r , O) en D, con tal que 144 Problemas no homogneos F sea derivable con continuidad. Tambin podemos poner la misma integral en coor- denadas rectangulares: k Y ) = 11log [ ( x - + ( Y - rl)ZIF(t, rl)dtdrl, 4rr D donde S ( r cos 0, r sen O) = v ( r , O), $ (Y cos O, r sen O) = F ( y , O). Para cualquier dominio D con contorno C la solucin del problema no homogneo (30.9) Uz u =- F en D, u =o sobre C puede ponerse en la forma La funcian G (x, y ; 5, 7,) se denomina funcin de Green del'problema. Fsicamente repre- senta el potencial en (x, y) debido a una carga situada en el punto ( i t , I ?), o el desplazamiento en (x, y ) de una membrana debido a una fuerza aplicada en el punto ( 5, q). Hemos demostrado que la funcin de Green para el problema (29.8) siendo D un crculo es (en coordenadas polares) G ( r , 8; p, 4) = - log [ r ' + pz - 2rp cos (e - 4) ] -1 4lr (Naturalmente podra expresarse tambin en coordenadas rectangulares). (30.9) tiene la forma (30.11) G(x, Y ; -5, V ) =G log [ ( X - -5)'+ (Y - + Y(X, Y ; 5, 731, en donde, para cada ([, q) de D, y es la solucin del problema de contorno En general, la funcin de Green en coordenadas rectangulares para el problema -1 a27 a2y ax2 ay2 "+"=o en D, (30.12) 1 y = log [(x - [ ) 2 + ( y - q)'] para ( x , y ) sobre C. 4rr Resulta entonces de nuestras consideraciones previas que la funcin (30.10) satisface C'u = - Fen D. La condicin de contorno u = O sobre C resulta del hecho de que G = O sobre C. Puede demostrarse que la funcin de Green es simtrica en el sentido de que G (x, Y ; E , V ) = G ( i t , 7; x, 1.1. Si hemos considerado un dominio para el que el problema es de variables separables. podemos encontrar la funcin de Green para resolver el problema (30.9) por medio de 30. Funcin de Green 145 la transformacin finita de Fourier e intercambiar formalmente la integracin con l a sumacin. Esto fue lo que se hizo en la deduccin de (30.5). Tambin puede obtenerse el mismo resultado resolviendo el problema no homogneo (30.12) mediante la separacin de variables. y ( r , 8; p, 4) = - logR -% ; ( ~ ) ~ ( g T [ c o s ne cos n+ + senne senn$] 1 1 - 1 r 2rr -_ 27r 1+%-2$COS(O-+$)] De este modo encontramos nuevamente (30.5). La introduccin de la funcin de Green reduce el problema no homogneo (30.9) a una familia con dos parmetros (30.12) de problemas homogneos. (Obsrvese que ([, Y,) va variando sobre O). Tambin podemos reducir el problema (30.9) a un problema homogneo introduciendo una solucin particular v de V2u = - F, por ejemplo, v(x, Y ) = 11log [(x - O Z + (Y - q)3F(Z, T) &h, 47c D y poniendo w=u- v. Entonces w satisface el problema homogneo 02w = O en D w = -v sobre C. Despus de encontrar w, podemos calcular u = v + w. Ejemplo. Consideremos el problema (30.13) en un cuadrado de lado n. V2u = -1 para O < X < 7r, O < y < rr, u=o para x= O, x= rr, y = O, y = rr Definamos 146 1 2 v = - x ( a - x) , de modo que ry2v = - 1. Pongamos VI ' ~ I I ~ v. Entonces V'w = O para O < x < ~r, O < y < ~r, w(x, O ) = w(x, Tr) =--x(%" x). w(0, y ) = U'(7r, y ) = o. 1 2 Resolviendo mediante separacin de variables, encontramos sen ( X - 1)x cosh ( 2 k - I )(y -7) ( X - cosh (2k - 1); T w = -4 ; Tr k=, - de modo que 1 x sen(2k- 1)x cosh (2k - 1) y - E u ( x , y ) =-x(l - x) -- 2 2 i 2). 7r '==I (2k - cosh (2k - l )E 2 Demostramos ahora ccimo se calcula la funcin de Green para el rectringulo. A tal fi n resolvemos primero el problema (30.13) T u = "F para O < x < T, O < y < A , u = O para x=O, X =T , y = O , y = A . Utilizando las transformadas seno reducimos el problema (30.13) a L a soluci6n h,, es donde hemos definido 30. Funcin de Gr een 147 I ; "2senhn(A-y) senhnqsenhnxsenhnt an sen h nA m 2 sen h ny sen h n(A - q ) sen h nx senh n5 an sen h wl para q 5 Y , G(x, Y ; 5, v ) = para q 2 y. nicamente mediante funciones elpticas, pueden expresarse estas series en forma finita. No obstante, observemos que la serie puede escribirse as G = - - p-nl V-Vl + -7 e- n( 2A+l y- q1) + e - n ( ZA- i v - - q l l - e - n( PA- y - q) - e- n( y+q) 271 I n 1 - e- 2nA I X {cos n(x - 5) - cos n(x + 6)). Podemos calcular la parte de la serie procedente del trmino e-nly-nl mediante (30.4). Entonces G(x, y; 5, q) = -- log [l + e-21v-nl - 2e-ly"J cos (x - 5)] 1 4a +z m e- n ( 2A+l y - q l ) + e - n( 2A- l y - nl ) - e- n( 2A- g- n) - e- n( v+n) sen nx sen ne. La serie de esta frmula converge uniformemente en x e y para cualquier (6, ?I ) fijo en D, como todas sus derivadas. Desarrollando la expresin del primer logaritmo en una serie de potencias de (x - 6) e ( y - I ?), vemos que G es, realmente, de la forma (30.1 l), siendo y la solucin de (30.12). Luego G es la funcin de Green para el problema (30.13). Tal como hemos reducido el problema no homogneo al homogneo, podemos actuar en direccin opuesta para resolver el problema de contorno 1 na( 1 - e-2nA) (30.14) P u = O en D, u = f sobre C con la funcin de Green. Elijamos un punto cualquiera (xo, yo) en ,D. Sea q (x, y) una funcin cualquiera deri- vable dos veces con continuidad en D tal que q =f en C, y q = O cerca de ( xo, yo) . Sea w = u - q. Entonces w satisface V2w =-V2q en D, w=o sobre C. Por lo tanto, w(xo, Yo ) = // ~( x o, Yo; t , q)V2q(t, q ) d ~d r l . D Puesto que q = O en las proximidades del punto (xo, yo) de G, podemos aplicar el teorema de la divergencia a la identidad div [G grad q - q grad G] = GV2q - qV2G = GV2q 148 Problemas no homogneos para encontrar que D c Sobre C, G = O y q =f. Por tanto w(xn, Yo) =- f s ( xo, Yo; 5, q ~ t , q) ds . c Pero q (xo, = O, de modo que M' (xo, yo) = u (x", yo). Puesto que (xo, yo) era un punto cualquiera de D, encontramos que la solucin u (x, 1%) de (30.14) puede representarse por la frmula (30.15) u(x, Y ) =- f %(x, Y ; 5, qlf(5, c Aqu aG/an es la derivada direccional de G en la direccin de la perpendicular a C hacia el exterior de D y tomada con respecto a las variables (6, q). Ejemplo. Para el crculo r < R, G viene dada por (30.5). Entonces aG/an es exactamente 2P aG 1 2R -2rcos (e-+) +- 1 R - - 2r cos ( 0 - 4) -(r, O; R, +) = -- a0 4~R2 + rZ - 2rR cos (O - 6) 4?r R2 + 9 - 2rR COS (8 - 4) 1 - " R2 - P - 2aR R2 + P - 2rR cos (8 - 4). De este modo, (30.15) se reduce a la frmula integral de Poisson (24.12). ObservacMn. La denominacin funcin de Green se usa con frecuencia en sentido amplio para designar una funcin G (x, y ; 6, 17) con la propiedad de que la solucin de un cierto problema que implica una ecuacin diferencial elptica (o parablica) con se- gundo miembro - F( x, y ) (o F( x, y) ) y con valores (a veces iniciales) de contorno nulos, tenga la solucin Entonces G se llama la funcin de Green del problema en cuestin. K (x,(, t - t) es la funcin de Green para el problema (29.1). nmero de dimensiones. Por ejemplo, la solucin dada por la frmula (29.7) demuestra que la funcin La denominacin funcin de Green se generaliza tambin a problemas con mayor EJERCICIOS 1. Hallar la funcin de Green para el semicrculo O < r < R , O < O < r r en forma simplificada 30. Funcin de Green 2. Hallar la funcin de Green para el anillo l < r < R en forma de serie. 3. Hallar la funci6n de Green para el sector O < r < R , O<B<a/ 3 en forma simplificada. 4. Hallar la funcin de Green para el dominio 1 < r < R, O < B < n en forma de una serie 5. Hallar la funcin de Green para el problema 149 V2u = -F para r < R, au - + u = O para r = R ar en forma de una serie. BI BL I OGRAF~A PARA EL CAPTULO V P. W. BERG AND J. L. MCGREGOR, E1en1entar.v Partial Difjevenriol Eyrtations, Holden-Day, San Fran- C. BIRKHOFF AND C.-C. ROTA, Ordinary Differential Eqrrations, Ginn, Boston, 1962. R. COURANT AND D. HILBERT, Methods sf Mathen~arical Physics, Vol. I . Interscience, New York, 1958. P. GARABEDI AN, Partial Differential Equations Wiley, New York, 1964, captulo l. K. S. MILLER, Linear Differential Equations i n the Real Domain, Norton, New York, 1963, captulos 3, 6. H. SAGAN, Boundary and Eigenvalue Problems i n Marhenlatical Ph.v.~ics, Wiley, New York, 1961, captulo I X. cisco, 1964, captulo 5. WEINBERGER - 6 - CAP TULO V I Problemas en mayor nmero de dirnen siones y series de Fourier mltiples 31. Series de Fourier mltiples Hemos demostrado que una funcin f ( x ) peridica de perodo 2n y para la cual ]rfzdx es finita tiene una serie de Fourier 1 " 2 1 f ( x ) - -ao + B [a, cos m + bn senmJ que converge en media hacia f ( x) . Si, adems, f(x) es derivable con continuidad, su serie de Fourier converge uniformemente. Consideremos ahora una funcibf (x, y) de dos variables derivable con continuidad, peridica de perodo 2n en ambas variables f ( x + 277, Y) =f(x, Y + 277) = f ( x , Y). Para cada valor de y fijo podemos desarrollarf(x, y ) en una serie de Fourier unifor- memente convergente 1 m J (x, y) = ~ U O ( Y ) + f; [an(y) COS nx + bn(y) sena]. Los coeficientes son derivables con continuidad respecto a y. Por tanto, pueden desarrollarse en series de Fourier uniformemente convergentes 1 1 m an(y) = z a no + Z (anm COS my + bnm senmy), b,(y) = ZCno + Z (Cnm COS my + dnm senmy), m I donde 151 152 Problemas en mayor nmero de dimensiones y series de Fourier mltiples (31. 1) anm = I" I" f(~, y ) COS IZT COS mydxdy, 71.2 -71 -71 bnm = ;;;z f(x, y ) COS nx sen mydxdy, I = - f(x, y ) sen nx cos mydxdy, d nm - -- ?r2 [ : m /IT.f(x, y ) sennx senmydxdy. 1 Sustituyendo las series para los coeficientes en la sene correspondiente a f (x, y), tenemos . m (31.2) + 3 Z [am COS nx + cno sen nx] 1 ~~ n=l + Z Z [anm COS IW: COS my + bnm COS KC sen my m s n=1 m=l + Cnm sennx COS my + dnm sennx sen ny] . La ecuacin de Parseval (19.9) nos da I-: m IT f ( ~, y ) ' d ~ =~ a o ( y ) ' + [an(yI2 + b n ' ( ~ ) I . La sene del segundo miembro converge uniformemente respecto a y. Luego podemos integrar respecto a y trmino a trmino: Aplicamos ahora la ecuacin de Parseval a las funciones un b) y bn b): m 7r an(y)2dy yano' + 7~ Z ( anm' + brim') m=l Con lo cual (31. 3) Sta es la ecuacin de Parseval para series de Fourier dobles. Ha sido deducida en la hiptesis de quef(x, y) es derivable con continuidad. Sin embargo, si suponemos tan slo que f es tal que 1 A 1 f'dxdy es finita, f puede aproximarse en media con funciones deri- - A "x 3 1. Series de Fourier mltiples I S3 vables con continuidad. Con lo que resulta que la ecuacin de Parseval es vlida para tales funciones. Observemos que las funciones cos nx, cos my, cos nx sen my, sen nx cos nlp, sen nx sen my son ortogonales en el sentido de que cos nx cos my cos kx cos lydxdy = O salvo para = k, m = I, cos nx cos my cos kx senlydxdy = O, y as sucesivamente. Por tanto encontramos como en la deduccin de (1 6. I ) , que + - Z [ullo cos nx + ello sennx] 1 2 ,=I N M + Z C [unm cos nx cos my + brim COS IWI senmy n=I m=I + crin, sen nx COS my + d n m sen IZX sen my])pxdy Segn la ecuacin de Parseval el segundo miembro tiende a cero cuando N y M + w. Luego, la serie de Fourier converge en media haciaf(x, y ) cuando N y M + 00. Hemos demostrado que si f ( x , y ) es derivable con continuidad, la serie (31.2) con- verge puntualmente. No obstante, esta convergencia no es como en una serie doble sino como en una serie iterada. Esto es, tenemos una suma de trminos de la forma m x [&m COS nx COS my + b n m COS nx senmy m= I + Cnm sen nx COS my + d n m sen nx sen my], cada una de las cuales es ya la suma de una serie. Tenemos pues que hacer M -+ w y entonces N + 00 en las sumas parciales. En la prctica lo mico que se hace es calcular un nmero finito de trmino. Por con- siguiente, necesitamos conocer la convergencia de la serie (31.2) como serie doble hacia f ( x , y) , de modo que las sumas parciales para valores grandes de M y N den una buena aproximacin de f(x, y ) . Calculando los coeficientes de Fourier de af/ax a partir de (31.1) e integrando por partes, encontramos que . . 154 Prohletnas en mayor nmero de dimensiones y series de 1.olrrier rnltiples + X C [-nuni,, sennx cos my - sen nx sen my m a n:1 nl =l + ncnlrr cos nx cos my + nd,jm cos nx senmy]. Esto es, la serie de Fourier mltiple puede derivarse trmino a trmino. segundas sean tales que Supongamos ahora quefy sus derivadas parciales primeras sean continuas, y que las sea finita. Entonces segn la ecuacin de Parseval (31.4) I" -77 I" -77 [($' + 2(%)8 + ($$,)']dxdy + n2 Z 2 (mZ + nz) 2 (anm2 + bnm2 + cnmZ + d, l m2) . m 3 3 m=1 ),=I Puesto que sta es una serie de trmino positivos, puede sumarse en cualquier orden. Por ejemplo, podemos ordenar los trminos en orden creciente de m? + no. Consideremos la suma parcial (31.5) + C C ( m2+n z) - z Mz N Z m=iW,+l n=I 31. Series de Fogrier mltiples 155 El primer factor es ]a diferencia de dos sumas parciales multiplicada por el producto de n-2 por la serie (convergente) de la ecuacin de Parseval (31.4). Tal factor tiende hacia cero cuando MI, M,, N, y N, + 00 independientemente. El segundo factor es tambin la diferencia de dos sumas parciales multiplicada por la serie doble convergente - 8 -+- S -+ 8 8 ( m2+n2) - 2. 1 - 1 1 - 1 2 m=l m4 2 m=l n4 n=1 n = ~ Tambin este factor tiende hacia cero cuando M,, M., N, y N, -+ 00. Por consiguiente, SMZNZ - ,SMlN1 tiende a cero. Se deduce que la suma parclal SMN (x, y ) converge como una serie doble cuando M --f 00, N -> 00. Segn (31.2) converge hacia f (x, y). Como el segundo miembro de (31.5) es independiente de x e y, la convergencia es uniforme. Hemos demostrado que si f (x, y ) es continua y derivable con continuidad y si los cuadrados de sus derivadas parciales segundas tienen integrales finitas, entonces la serie de Fourier doble converge absoluta y uniformemente hacia f (x, y) como una serie doble. La desigualdad (31.5) puede usarse otra vez para acotar el error cometido al aproxi- mar f(x, y ) mediante su serie de Fourier. Observemos aue Poniendo M2 y N2 = 00 en (31 S) y utilizando (31.4) tenemos l M l N 2 m=l n= 1 m=1 n=l 9 1 - - 8 m4 ( uOm2 + bo,') - 5 8 n4( unoz + cmz) M N - Z 8 (mz + nZ) ' ( anmz + bnm2 + Cnm2 + d n m . Esta cota puede usarse para apreciar la proximidad de la suma parcial SAIN (x, y ) af(x, y) . La cota anloga (19.10) en una dimensin utiliza una derivada primera deA mientras que (31.6) contiene derivadas segundas. Una cota semejante a la (31.6) y que contenga derivadas primeras no puede encontrarse debido a que la serie doble 22 (m2 + n2)-1 diverge. Si f (x, y ) es una funcin impar de x e y , todos los coeficientes de Fourier excep- to los dl,, son nulos. La serie resultante es una serie doble en senos. Del mismo modo si f' es par en x e impar en y, slo los b,, son no nulos. Si f est definida slo para O < x < n, O <y < n, puede ampliarse como funcin impar o como funcin par de cada una de las variables. As pues puede expresarse como una serie doble de senos, de co- senos, de senos y cosenos o de cosenos y senos. Los resultados anteriores pueden extenderse fcilmente a un nmero mayor de di- mensiones. Podemos considerar series de Fourier triples, series cudruples en senos, etc. 1. Hallar la serie de Fourier doble para f ( x , y ) = x2y2 para "T < x < T , "T < y < T. 2. Hallar la serie doble en senos para f ( x , y ) = 2 y 2 para O < x < T , O < y < T. 3. Hallar la serie doble en senos para f ( x , y ) = (1 - y2) senx para O < x < T , O < y < n. 4. Hallar la serie doble en sen nx cos my de f ( x , Y ) = y para O < x < T , O < y < T. 32. Ecuacin de Laplace en un cubo Consideremos el problema (32.1) pu=-+-+.-=o para O < x < r, O < y < n-, O < z m, ax2 ay2 a,? u = O para x =O, x = r , y = O , y = r , y z = r , u ( x , Y , 0) = A x , Y ) . Tal problema se presenta en electrosttica cuando u es el potencial cuyo valor g est dado en la cara z = O, mientras las otras caras son perfectos conductores que se mantienen a potencial cero. Tambin se puede interpretar u como una distribucin de temperatura de equilibrio cuando las caras se mantienen a las temperaturas O y g respectivamente. El principio del mximo es vlido para la ecuacin de Laplace en tres dimensiones lo mismo que lo es en dos. De esto resulta que un problema de contorno en tres dimensio- nes para ba ecuacin de Laplace tiene a lo ms una solucin, y que tal solucin vara con- tinuamente con los valores de contorno. Vamos a encontrar la solucin de (32.1). Apliquemos el mtodo de separacin de variables. Consideremos una funcin pro- ducto v = X (x) Y ( y) 2 (z) que resuelva la ecuacin de Laplace. Sustituyamos en la ecuacin, dividamos por v y transpongamos un trmino. El resultado es X" Y z" - + - = ". X Y z Puesto que el primer miembro es independiente de z y el segundo slo depende de z, ambos deben ser constantes: Asimismo se obtiene con el mismo razonamiento tenemos que 32, Ecuacin de Laplace en un cubo X" - czx = o, Y"- (C, - C2)Y = o, Z" + c1z = o. 157 Las condiciones de contorno homogneas dan X( 0 ) = X ( n ) = o, Y( 0) = Y( n ) = o, Z(n) =o. El problema para X es un problema de autovalor del tipo considerado en la seccin 14. Debe ser C, = - n2, donde n es un entero positivo, con la autofuncin correspondiente X = sennx. Del problema para Y encontramos que C, - C, = - m2, donde m es otro entero, e Y = senmy. Entonces C, = - m2 - n2, de modo que Z es un mltiplo de senh -(TI - z). Busquemos una solucin de la forma u = C C anm senh m ( n - z) sen nx senmy. m m 1 1 Poniendo z = O, obtenemos formalmente Por consiguiente hacemos anm senh VSFG?r=dnm e - : 2 1 J1" g(x, y) sennx senmydxdy. Entonces Tenemos que comprobar que esta expresin da una solucin del problema (31.1). Si J: jll g I dxdy es finita, los dnm son uniformemente acotados. Entonces la serie (32.2) y todas sus derivadas convergen absoluta y uniformemente para zo I z I n, O I x I n, O S y S n para cualquier constante zo > O. Se deduce que u (x, y , z) es derivable inde- finidamente para z > O y satisface la ecuacin de Laplace. Es nula en todas las caras del cubo excepto en la z = O. En cuanto a la seguridad de que u satisface la condicin de contorno en z = O su- pongamos que g, extendida como una funcin peridica impar de x e y, es continua y derivable con continuidad, y que - ~. 158 Problenlus en mayor nmero de dimensiones y series de Fourier nzltiples es finita. Entonces la serie de Fourier para g (x, y) converge uniformemente. Puesto que las sumas parciales de las series (32.2) se anulan en las otras caras del cubo, se deduce del principio del mximo para la ecuacin de Laplace que la serie para u converge uniforme- mente para z : O. Por tanto, u es continua en z = O y u (x, y, O) 1 g (x, ),). Como en la seccin 25, podemos extender este resultado para probar que si g es acotada, la funcin definida para z > O por (31.2) tiene el lmite g (S" , J ',,) en cada punto (x" , y,,, O) en donde g (x, y) es continua. EJERCICIOS 1. Resolver el problema Vz u=O para O < x < a , O<y<. rr, O < z < a , u=O para x = O , x = a , y=O, y = a , y Z = T . u(x, y, O ) = senx sen3y. 2. Resolver el problema Vz u=O para O < x < x , O < y < a , O <z <l , u=O para x = O , X = T , y z = 1, * =O para y =o, y = a , ay u(x, y, O) =x . 3. Resolver el problema V zu- u=o para O<x<. rr, O < y < - r O < Z < ~ , 1 2 ' u = O para x = O , y = O , z =1, * =O para x = a , ax * =O para y=- a, ay 2 1 au -(x, y, O) = 2x - a. ai: 4. Resolver el problema de la conduccin del calor en un cuadrado :>$ = O para o < x < . r r , o < y < . r r , [ >O, u=O para x = O , X = T , y = O, y = a , u( x , Y , 0) = m Y). 5. Resolver el problema de la membrana rectangular vibrante azu azu azu - o atz axz ay2 para O < x < a , O < y < A , t >O, u=O para x =O, X = T , y = O , y=A , au u( x , Y, 0) = m Y)> X(X, Y , 0) = dx , Y). 6. Resolver el problema de la conduccin del calor en un cubo con las caras aisladas: 33. Ecuacin de Laplace en un cilindro 159 *=o para x = O, rr, ax & = O ay & = O para z = O, rr, az para y = O, rr, u(x, Y, z, 0 ) = m Y7 2) . 7. Resolver el problema 6 cuando f ( x , y, z) = x y z. 8. Un cubo de lado j z inicialmente a temperatura constante TI se sumerje en el tiempo O en un bao a temperatura constante T2. Si la ecuacin de conduccion del calor es hallar la distribucin de temperatura en un tiempo cualquiera t 3> O 33. La ecuacin de Laplace en un cilindro Consideremos la ecuacin de Laplace en coordenadas cilndricas a2u 1 au 1 a% a2u a? r ar P ao2 az2 - +--+--+-=O para O < r < R, , O < z < T , (33.1) u( r , O, O) = u( r , O , T ) = O , ~ ( R I , O, Z) =g ( O, 2 ) . Con la separacin de variables obtenemos R"+; R' 1 R Multiplicando por r2 y transponiendo nos da Tenemos z + c1z = o, Z( 0) = Z(7r) = o, lo que nuevamente da C, = o,, n = 1, 2,. . ., Z , = sennz. Seguidamente, e+c20=0 con la condicin de que 8 sea peridica de perodo 2n. Esto exige @(O) = 8(27r) ,e' (0)- = e'(27r). Entonces C, = m2, m = O, 1, 2, . . . con las autofunciones correspondientes eo = 1, 0 , = sen mO, cos m0. ( m = I , 2, . . . son autovalores dobles). 160 Problemas en mayor nmero de dimensiones y series de Fourier mltiples Finalmente, obtenemos la ecuacin diferencial (33.2) RRI11)) + -Rr,lll' - (S + n2)Rm,, = O. 1 r Esta ecuacin es singular en Y = O. En lugar de una condicin de contorno imponemos la condicin de que R permanezca finita en r = O. La solucin que es uno en r = R, es entonces es la funcin de Bessel con argumento imaginario: (33.3) que converge para todo valor de y. (Ver G. N. Watson, The Theor), of' Bessel Functions). Escribamos la solucin u en la forma (33.4) donde Para ver cuando converge esta serie tomemos Entonces S,, satisface el problema (33.5) S m n ( 0 ) = O, Smn(R1) = 1 para m t 1. El coeficiente de S, , , L es negativo. Si S,,,,, ( r ) fuera siempre mayor que uno para O < r < R, , tendra un mximo positivo para algn r en el intervalo. Para este valor de r , Smn > O, Smn' = O, y S,,,," I O, lo que contradice (33.5). Se deduce de esto que S,,,, ( y ) 1. Entonces Rmn(r) 5 (k) +m e - h ( Rl - r ) para O 5 r 5 RI , m 2 1. Resulta evidente de las series (33.3) para I,,,, que Rmn > o. 33. Ecuacin de Laplace en un cilindro 161 Para m = O, observemos que 2'1 ! = 21 (21 - 2) (2/ - 4). . .2, y que por tanto (21) ! 5 (2'1!)2 < (21 + 1) ! . Vemos entonces a partir de (33.3) que senh r r - < Zo(r) 5 cosh r. Por consiguiente, La serie simple c. m nR, cosh nr senh nR1 y la serie doble convergen ambas uniformemente para r I ro, donde ro es una constante cualquiera menor que R,. Por tanto, si J 'j I g (6, z) I dOdz es finita de modo que los amn y los bmn estn aco- tados, la serie (33.4) converge uniformemente para r I ro cualquiera que sea ro < R,. Del mismo modo, podemos demostrar que la serie obtenida por derivacin de (33.4) cualquier nmero de veces converge an uniformemente para r I ro con cualquier ro < R,. Resulta de esto que la funcin u es indefinidamente derivable con respecto a todas sus variables para r < R, O I z I x y satisface la ecuacin de Laplace y las condiciones de contorno en z = O y z = n. Para demostrar que se satisface la condicin de contorno en r = R, supondremos primero que g es derivable con continuidad, y que es finita. Entonces la serie de Fourier para g converge uniformemente. Puesto que las sumas parciales de la serie (33.4) son armnicas, sus diferencias cumplen el principio del mximo. Luego la serie de Fourier (33.4) para u converge asimismo uniformemente, y u es continua para r I R, y es igual a g para r = R,. Como en la seccin 25 podemos demostrar que u alcanza realmente sus valores de contorno en todos los puntos en los que g es continua siempre que g sea una funcin acotada. EJERCICIOS l . Resolver V u = O para r < 1, O < z < ?r, 162 Problemas en mayor nmero de dimensiones y series de Fouri er ml ti pl es u ( r , e, O) = u( r , e, T ) = O , U ( I , e, Z) =Z(T - z ) Co s z e . 2. Resolver VU = O para r < 1, O < z < T, - ( r , e, T) = O, 8U U ( T , e, o) = o, ~( 1 , e, 2) = z COS^^. az 3. Resolver V2 u =0 para r<l , O <z <l , ~ ( l , e, z ) + u ( l , 8, z ) =sen2Tzsen2e. u( r , 8, O) = u ( r , 8, 1) = O , au 4. Resolver vzu = o en el semicilindro r < l , O < O < T . O < Z < T , cuando u( r , 8, O) = u ( r , e, T) = O, u ( r , O, z ) = u( r , T , z ) = O, ~( 1 , e, Z) = z ( ~ - z ) . Su solucin representa la propagacin de ondas sonoras, debidas a una perturbacin inicial en una habitacin cbica. La ecuacin diferencial, que se denomina la ecuacin de ondas tridimensional, es hiperblica. Podemos aplicar la misma demostracin de unicidad que en una dimensin. Multiplicando la ecuacin por au/at observamos que Integremos esta identidad en un dominio limitado por las caras del cubo, el Plano inicial t = O, y una superficie tridimensional S que pasa por un punto dado (xo, y,, z0, to). Aplicando el teorema de la divergencia y utilizando las condiciones (34.1), encontramos que si f = g = O, 34. La ecuacin de ondas tridemcnsional en un cubo 163 En esta expresin ( nI , nu, n,. nt ) son los componentes del vector normal a S y dirigido hacia arriba (Suponemos que nt .>O sobre S) . Completando cuadrados, podemos escribir el integrando de la anterior integral como sigue 1 2nt [*ni at - cz(E)]' c'nz) /grad uI2, donde hemos definido = -nx + -nu + -nz, au au au an ax ay az Y n2 = nx2 + nu2 + nZ2. Este integrando es no negativo si (34.3) n? - c2 ( ns2 + nu2 + nz2) 2 O. Si utilizamos una superficie S con esa propiedad, llegamos a la conclusin, partiendo de (34.2), de que el integrando se anula. Para obtener la superficie S de mayor pendiente con la propiedad (34.3) que pase por el punto dado (xo, yo, zo, to), ponemos (34.4) nt2 - c2 ( nS2 + ny2 + nZ2) = O 164 Problemas en mayor nmero de dimensiones y series de Fourier mltiples excepto en dicho punto (x,, y,, z,, to). Entonces S es el cono circular recto con pendiente I/ c ( 34. 5) t = t o - -V(x - xoy + (y - yo12+ ( z - zo)*. 1 C Se denomina el cono caracterstico que pasa por el punto (x,, y,, z, , to). Su seccin por el plano t = constante es la esfera de radio c (to - t ) con centro en (x,, y,, z,). Para este cono la integral (34.2) es S = o. Como el integrando es una suma de funciones continuas no negativas, cada trmino debe anularse en todos los puntos de S. Ya que nt 2 - c2n2 = O y nt 2 + n2 = 1, del hecho de que el primer cuadrado se anula, encontramos que sobre S. En el vrtice (x,, y,, zo, to) de S la parte espacial (nz, n,, n,) del vector normal puede tener todas las direcciones. Se dcduce que &/ax = &/ay = iiujaz = au/at = O en (x,, y,, z,, to). Repitamos este razonamiento en cada punto (x,, y,, z,, to) con t 2 to para demostrar que &/at = O. Ya que u (x,, y,, zo, O) = O encontramos que u (xo, y,, Hemos demostrado que la solucin en (x,, y,, z, , to) de la ecuacin est determinada con unicidad mediante los datos situados por debajo y en el cono caracterstico que pasa por (x,, y,, z,, to). Este cono corresponde a la propagacin con velocidad mxima c en cualquier direccin. (Este teorema de unicidad es vlido para cualquier problema de valo- res iniciales y de contorno o de valores iniciales puros para la ecuacin de ondas). Cualquier superficie cuya normal satisface (34.4) se llama superficie caracterstica. Puede demostrarse que las discontinuidades de las soluciones de la ecuacin de onda se desplazan a lo largo de las superficies caractersticas. z, , to) = o. Con la separacin de variables encontramos la solucin formal de (34.1) (34.6) + dtmn sen"' + + n2 ct ) sen lx sen my sen nz, V12+m2 + n2 c donde dl,, = 2 [ [ f ( x , y, z ) sen lx sen my sen nzdxdydz, dLmn = -$ 1 J: g(x, y, z) sen Ix senmy sen nzdxdydz. (34.7) Para obtener la convergencia uniforme de la serie para u y de sus derivadas primeras y segundas debemos suponer que f (ampliada como funcin impar) y sus derivadas par- ciales hasta las de tercer orden son continuas, mientras que los cuadrados de sus derivadas parciales cuartas tienen integrales finitas. Asimismo g y sus derivadas hasta las de segundo 35. La ecuacin de Poisson en un cubo I65 orden deben ser continuas, y los cuadrados de sus derivadas terceras deben tener integrales finitas. Si bien esta condicin es quiz demasiado fuerte, es sabido que una dis- continuidad en la tercera derivada de f puede producir una discontinuidad en la segunda derivada de u. Las discontinuidades se propagan a lo largo de las superficies caracteris- ticas. stas pueden degenerar, produciendo una prdida de derivadas (generacin de focos). (Ver R. Courant y D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. 2, Interscience, New York, 1962, p. 673). Segn nuestro teorema de unicidad u (x, y , z, t ) depende Gnicamente de los datos situados dentro y sobre la esfera de radio ct y centro en (x, y, z) . No obstante, esto no es en modo alguno evidente a partir de la forma (34.6) de la solucin. La frmula (34.6) expresa la solucin como una suma de movimientos armnicos simples, en cada uno de los cuales u es un producto de una funcin sinusoidal de t por una funcin de x, y, z solamente. Estos movimientos se llaman modos normales del problema. SUS frecuencias V 12 -+m2 + n2c/2n se llaman las frecuencias caractersticas. ~ ___ EJERCICIOS 1. Resolver %(X' Y, z, O ) = o. au 2. Resolver %- ( $ +$ +$ ) =O para o < ~ < A , o < ~ < B , o < ~ < c , u = O para x = O, A, y = O, B -= O para Z=O, C, az au u(x, Y, z, O ) =o, Z(X, y , z , O ) = sen? sen? sen'? 3. Demostrar que el valor en (xa, yo, zo, to) de una solucin u de la ecuacin de ondas amortiguada esta determinada univocamente por la parte de los datos situados por debajo y en el cono caracterstico (34.5). 4. Resolver 35. L a ecuacin de Poisson en un cubo Consideremos el problema 166 Problemas en mayor nmero de dimensiones y series de Fourier mltiples para O< x < r r , O< y < r r , O< z < r r , Podramos proceder como en la seccin 29 para desarrollar u y F en serie doble de senos de x e y (esto es, tomar la transformada finita seno) y obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias en z. En lugar de esto, desarrollamos u y F en serie triple de senos: u ( x , y , z ) = ZZZ dlmn sen lx sen my sennz, F ( x , y , z ) = ZZZ Dlrnn senlx sen my sennz. Introduciendo esas series en la ecuacin diferencial (35.1) y suponiendo que u es derivable dos veces con continuidad, vemos que As pues (35.2) Esta serie y sus derivadas parciales primeras y segundas convergen absoluta y uniforme- mente, con tal que la serie para F lo sea. Esto ocurre si F ampliada como una funcin impar es derivable con continuidad, y si los cuadrados de sus derivadas segundas tienen integrales finitas. En este caso, u es la solucin de (35.1). Segn la ecuacin de Parseval podemos escribir la solucin (35.2) en la forma (35.3) u(x, Y , z ) = l l G ( x , Y , z ; 5, v, OF([, v, OdSdvdS, con tal que G sea una funcin tal que 8 sen lx sen my sennz sen15 sen m7 sen n[. ;F' ZZZ 1 2 + m2+ n2 Para hallar esta funcin pongamos r = d(5 - x ) ~ + (7 - y ) ~ + ( 6 - z ) ' , y elijamos una constante a que dependa del punto fijo (x, y, z) de modo que la esfera r I a sea interior a nuestro cubo. Definamos la funcin Entonces y ( r ) - - tiene derivadas parciales segundas continuas, acotadas las terceras, 1 r y de cuadrado integrable las cuartas. 35. La ecuacin de Poisson en un cubo 167 Desarrollemos y (r) en una serie triple de senos. Haciendo el cambio de variable ['=[-x, q' =q- y, t;'=t;-z, pongamos = 111I,!J ( d['2 + q l2 + J f2) sen 1 (6' + x) sen m (q' + y) sen n (5' + z ) d( 'dq'dt;' &++~'<d = JjJ +[seny' cos ~x + cos 14' sen~x] [senmy' cos my + cos mq' sen my] [sen nt;' cos nz + COS ni ' sen nz] d['dq'dt;' = senk senmy sennz +cos 15' cos mq' cos nt;'d['dq'd['. 111 (Puesto que y es par en E', v' y ( I , las integrales de y sen E' , y sen q' y y sen (' son cero). Consideremos la transformacin COS 16' COS mq' cos n4' = "[cos (16' + mq' + nt ; ' ) + cos (15' + mq' - nt ; ' ) 1 4 +cos ( l [ ' - mq' + nt ; ' ) + cos (15' - mq' - n t ; ' ) ] . Ya que y es par en f', 7' y [', encontramos que la integral del producto de y por cada uno de esos cosenos da el mismo resultado. Entonces S'%p+p<a' Introduzcamos ahora las coordenadas esfricas (r, O, 4) con origen en (x, y , z ) y el eje polar en la direccin del vector de componentes (I, m, n) . Entonces y por tanto :Almn = [ p +(r) cos ( d l 2 + m2 + n2 cos 0)r2 senOdrded4. Integremos primero respecto a 4 y luego respecto a 0 Haciendo uso de la definicin de y, encontramos 168 Problemas en mayor nmero de dimensiones y series de Fourier mltiples Al mn = 32 [l - 60(2 + cos aVi 2+ m2 + n2) + ( I 2 + m2 + n2) a4(12+ m2 + n2) 2 As pues 1 60(2 + COS d l 2 + m2 + n2) a4(12+ m2 + n2)3 180 senad12+ m2 + n2 + a 5 ( ~ + m2 + n 2 ) 7 / 2 sen lx sen my sen nz sen 15senmq sen n5. Comparando con (35.4), vemos que 3 sen aV/lz+ m2 + n2 + a5(12+ m2 + n 2 ) 7 / 2 1 sen lx sen my sen nz sen 16senmq sen n5. La serie del segundo miembro y sus derivadas parciales primeras y segundas conver- gen uniformemente. Esto significa que G - ll(4nr) es derivable dos veces con continui- dad, y que G se anula en las caras del cubo. Puede comprobarse por derivacin directa que v(:) = O para r #O, V [ $ ( r ) ] =; %(n,!~) para r z O. 1 d2 1 De esto se deduce que la Laplaciana de la serie es la serie de - I v2y. Luego, V2G = O. La funcin G nuevamente se denomina funcin de Green. Para un dominio general D la funcin de Green G est caracterizada por las propiedades 4n (a) V G =O en D, (b) G = O en el contorno donde y es una solucin regular de la ecuacin de Laplace. Tal funcin de Green existe para cualquier dominio acotado suficientemente regular. No obstante, en la prctica puede no encontrarse explcitamente. Como en dos dimensiones, G es simtrica: G( x, Y , z; l, 7, 5 ) = G( 5, v, 5 ; x, Y , z). Fsicamente, G es el potencial en (x, y, z) debido a una carga en el punto ( E , '7, () interior a una caja cbica cuyas caras se mantienen a potencial cero. La funcin y en la condicin (c) es la solucin del problema de coritorno 35. La ecuacin de Poisson en un cubo V2y = o en D, 1 Y = en el contorno 4TVb - + (y - 7))2 + ( z - 5) 169 Es indefinidamente derivable en D. Luego lo mismo es vlido para G excepto en (x, y, z) . Utilizando la forma (35.5) de la funcin de Green podemos demostrar que la funcin (35.3) satisface la ecuacin de Poisson (35.1) si F es continua y derivable con continuidad. Bajo estas hiptesis resulta de la desigualdad de Schwarz y de la ecuacin de Parseval que la serie (35.2) converge uniformemente, de modo que u tambin satisface las con- diciones de contorno del problema (35.1). EJERCICIOS 1. Resolver (35.1) cuando F( x, y , z) = ex. 2. Resolver (35.1) cuando F(x, y , z) = sen2x. 3. Hallar la funcin de Green para el paraleleppedo O < x < A, O < y < B, O < z < C. 4. Resolver T u = --F(x, y , z ) para O < x < T , O < y < T , O < z < T , u=O para x=O, T, y = O , T, z =o, % = O para z = T. az Comprobar que la frmula que se obtenga da una solucin. ecuacin diferencial ordinaria en z. 5. Resolver el problema (35.1) tomando la transformada seno de u respecto a x e y para obtener una BIBLIOGRAF~A PARA EL CAPITULO VI P. W. BERG AND J. L. MCGREGOR, Elementary Partial Differential Equations, Holden-Day, San Fran- R. COURANT AND D. HILBERT, Methods of Mathematical Physics, Vol. 2, Interscience, New York, 1962, I . C. PETROVSKY, Lectures on Partial Differential Equations, Interscience, New York, 1954. A. G. WEBSTER, Partial Dierential Equations of Mathematical Physics, Dover, New York, 1955. cisco, 1964, captulo 10. captulos IV, VI. CAP T UL O VI I Teora de Sturrn-Liouville y desarrollos generales de Fourier 36; Desarrollos en serie de autofunciones para ecuaciones diferenciales ordinarias regulares de segundo orden Las funciones trigonomtricas se presentaron en la separacin de variables como las autofunciones de problemas de contorno para ecuaciones de segundo orden u + Xu= O. La separacin de variables conduce con frecuencia a otros problemas de autovalores. Como hemos visto en la seccin 27, podemos poner cualquier ecuacin diferencial de segundo orden cuyo coeficiente del mayor orden sea positivo en la forma autoadjunta (27.1) por medio de una simple multiplicacin de la ecuacin. Consideremos ahora la ecuacin diferencial (36.1) en la que p y q son continuas, y p es derivable con continuidad. Supongamos que p y p son positivas y que q es no negativa para O I x I 1. Adems de la ecuacin diferencial homognea se nos dan las condiciones de con- torno homogneas (36.2) u(0) = u(1) = o. Los valores de 1 para los que el problema (36.1), (36.2) tiene una solucin no trivial (esto es, una solucin distinta de la u = O) se llaman los autovalores. Las soluciones corres- pondientes son las autofunciones. Una solucin de (36.1) est univocamente determinada exigiendo (O) = O, ii (O)= 1. Los autovalores son aquellos valores de 1 para los que zi(1) = O. La autofuncin es en- tonces cualquier mltiplo constante de 1. La autofuncin correspondiente a un autovalor A est determinada a menos de una constante multiplicativa. Sean 1 y ,u dos autovalores distintos con las correspondientes autofunciones u y v. Entonces ( p u f ) - qu + Xpu = O, (pv) - qv + ppv = o. De la primera ecuacin multiplicada por v restemos la segunda multiplicada por u, e inte- gremos entre O y 1. Jb [ v( pu ) - u(pv) + (X - p)puv]dx = O. 171 172 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Puesto que v (pu) - u (pv) = (vpu - upv), y u y v se anulan en los dos extremos del intervalo de integracin, la integracin de los dos primeros trminos da cero. Nos que- damos con (A - p) I puvdx = O. Y como 3, y ,uson distintas, concluimos que (36.3) l o puvdr = o. Esto es, las autofunciones correspondientes a los distintos autovalores son ortogonales res- pecto a la funcin masa p . Esto sugiere que se puede desarrollar cualquier funcin f ( x ) para la cual 1: pf2dx sea finita en serie de Fourier de autofunciones. Demostraremos que esto es realmente lo que ocurre. Esto es, las autofunciones del problema (36.1), (36.2) no solamente son orto- gonales, sino tambin forman un sistema completo. Demostremos primero que todos los autovalores son positivos. Sea I un autovalor. Multipliquemos (36.1) por la correspondiente autofuncin u e integremos entre O y 1. Aplicando el mtodo de integracin por partes, tenemos O = 1 u [ ( pul ) - qu + Xpuldx =puu 1: + Jb [-puf - quz + Apu2]dx. Puesto que u = O en O y 1, encontramos que (36.4) Jb [pul2 + qu2]dx 1 pudx A = Como quiera que p y p son positivos, q es no negativa, y u no es constante (de otro modo sera nula) concluimos que A > O. Esto es, todos los autovalores son positivos. En particu- lar, I = O no es un autovalor. De acuerdo con la seccin 28 el problema (36.5) ( PW ) - qw + Apw=F( X) , w( 0) = w(1) = o tiene solucin nica si y slo si el problema (36.1) (36.2) no tiene ms solucin que u = O. Esto es, los autovalores son exactamente aquellos valores de 1 para los que la funcin de Green de (36.5) no existe. Ya que 1 = O no es un autovalor, existe una funcin de Green G ( x, () para el pro- blema (36.6) ( pw ) - qw = --F, w( 0) = w( 1) = o. Es decir, la solucin de este problema es 36. Ecuaciones diferenciales ordinarias regulares de segundo orden 173 Si en (36.1) transponemos el termino iipu, encontramos que una autofuncin u sa- tisface un problema de la forma (36.6) con F = Apu. La autofuncin u debe satisfacer por tanto la ecuacin integral Recprocamente, si u satisface (36.7), es una autofuncin y 3, es un autovalor. Podemos imaginar (36.7) como la frmula de los coeficientes de Fourier en el desa- rrollo de G (x, f), para un x fijo, expresado con las autofunciones. Sean A,, . ... , 21 los autovalores, y u,, . . . , ul las autofunciones correspondientes. Segn la desigualdad de Bessel (16.2) En virtud de (36.7) esta desigualdad se transforma en Multipliquemos ambos miembros por p (x) e integremos entre O y 1. Se tiene entonces Ya que G (x, 5) es continua en x y 5, el segundo miembro es con seguridad finito. Y como ill, . . ., eran autovalores cualesquiera del problema (36.1), (36.2), resulta que si existe una infinidad de autovalores, la serie C - debe ser convergente. En particular, I r -+w cuando k -+m. Por razn de conveniencia, ordenamos los autovalores en orden creciente: m 1 1 1,s h l < h z < X S < . - " + m . (Puede pensarse, naturalmente, que exista nicamente un nmero finito de autovalores, pero veremos pronto que ste no es el caso). Sea 4 (x) una funcin derivable dos veces con continuidad que se anula en O y 1. Escribamos su desarrollo de Fourier con las autofunciones ul, u2, . . . donde 174 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier P4undx pun2dx Cn = I: Desarrollemos ~ [(&')' - q$] en serie de Fourier. Integrando por partes encon- 1 P 1 [ ( ~ 4 ' ) ' - &]undx = I: +[(Pun')' - qunIdX, tramos =- An 1 P+UndXr de modo que -[ ( ~ 4 ' ) ' - 441 - -Z Ancnun. 1 P Supongamos por el momento que las ut, forman un sistema completo. Entonces segn la ecuacin del Parseval Como que las l., se ordenaron en orden creciente, esas ecuaciones implican que ocurriendo la igualdad si y slo si c2 = c3 = . . . = O; esto es, si y slo si 4 = clul. Invirtamos ahora el proceso y tratemos de minimizar la razn (36. 8) construida con funciones 4 (x) continuas y derivables con continuidad a trozos tales que 4( 0) =4(1) =o. Si las autofunciones forman un sistema completo, el mnimo de (36.8) debe ser 1,. La razn (36.8) se denomina cociente de Rayleigh. Es ciertamente no negativa. Por tanto tiene un extremo inferior ,u. Supongamos que este valor es efectivamente alcanzado por una cierta funcin admisible y. Entonces si 4 es cualquier otra funcin admisible y t una constante cualquiera, deber ser I,' b($ + T4 ) ' 2 4($ 74)'Ih [ [P$" + q@2]dX 2 = p. 36. Ecuaciones diferenciales ordinarias regulares de segundo orden 175 ~1 primer miembro es una funcin de t derivable con continuidad (en realidad, es la razn de dos polinomios cuadrticos), que alcanza su mnimo en t = o. Por consiguiente S u derivada con respecto a t debe anularse en t = o: 2 [ W 4 + &4) dx 2 l o P W ~ X ( N 2 + &)dx - = o, l P W X (lo P W ) 2 O (36.9) bJ14 + S44 - PPllr4ldX = 0. Si y es derivable dos veces con continuidad, integremos por partes a fin de obtener -l o 4 [ ( P 9 ) q ~ + P P ~ l d X= o . Puesto que esto es vlido para toda funcin admisible 4, la expresin entre corchetes debe ser cero. Pues si fuera positiva (o negativa) en un intervalo x - E _< Y 5 .Y(, + E, y eligieramos 4 positiva para x, - E < x < x + E y nula para los demk valores de x , encontraramos que la integral no podra ser cero. As pues, y satisface ( N ) - S$ + PPlcI = 0, $ ( O) = $(l ) = o. Esto es, ,u es un autovalor, y y es la autofuncin correspondiente. (36.8), debe ser el menor de los autovalores. para la cual la razn (36.8) alcanza su extremo inferior, entonces Si ponemos 4 = u,, en (36.8) obtenemos el valor ?.,$. Puesto que / / es el mnimo de Hemos demostrado que si existe una funcin Y J derivable dos veces con continuidad [ [ P4 * + q421dx l o PPdX (36.10) hi = min 6( Ol =mcl , =o Adems, la funcin y minimizante es un mltiplo de la primera autofuncin ul. La demostracin de la existencia de una y minimizante es algo ms dificil. Tan ~610 aseguramos aqu que una tal y) existe, y remitimos al lector interesado a la obra de R. Cou- rant y D. Hilbert, Merhods of Marhematical Physics, vol. I, Interscience, New York, 1953 pgina 122, donde se establece su existencia basndose en la ecuacin integral (36.7). Intentemos minimizar la razn (36.8) entre funciones 4 continuas y derivables a tro- zos con continuidad que sean ortogonales a ul. Esto es, p4uldx = O. Segn el mtodo anterior podemos demostrar que el mnimo es igual a 1, y es alcanzado 176 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier cuando 4 es un mltiple de u2. Siguiendo este cammo, podemos definir todos 10s auto- valores y todas las autofunciones en forma recurrente: (36.11) donde el mnimo se toma sobre funciones #J continuas y derivables con continuidad a trozos que satisfagan las condiciones de ortogonalidad y las de contorno. La minimi- zante 4 es un mltiplo de m. Para cualquier k existe un polinomio $ de grado k + 1 cuyos k + 2 coeficientes sa- tisfacen las k + l ecuaciones lineales homogneas $ (O) = $ (I ) = J^p4uldx =. . . = = jp$uk-ldx = O. Por tanto la recurrencia (36.1 1) no termina nunca. Esto es, el nmero de autovalores es infinito. Las caracterizaciones (36.10) y (36.1 1) de los autovalores como mnimo del cociente de Rayleigh se denominan principios del mnimo para los autovalores. Sea f(x) cualquier funcin continua y derivable con continuidad a trozos conf(0) = = f(1) = O. Desarrollmosla en serie de Fourier m f - C CnUnr 1 donde 16 Pfunh Cn = 1 PU& Observemos que segn la definicin de cn para i = I , 2, . . . , k - 1. Por consiguiente en virtud de (36.11) (36.12) = [ [ (pf2 + qf 2)dx - 2 C cn [ (pfu,, + qfun)dx k-1 kk Integrando por partes encontramos que Asimismo, l o' (PUn'Um' + qunUm)dX = An 1 punurnh = [ 1 pun2 para m = n para m #n. Entonces (36.12) se transforma en Como quiera que hemos demostrado antes que AI , + 00 cuando k + 00, el segundo miem- bro tiende a cero cuando k + w. Esto significa que la serie de Fourier 2 cnua ( x) converge en media hacia f (x). m 1 Cualquier f ( x ) para la que pf2dx es finita puede aproximarse en media con una funcin f ( x ) derivable con continuidad que, a su vez, puede aproximarse en media con su serie de Fourier. De ah que las autofunciones del problema (36.1), (36.2) forman un sistema completo. Esto es, cualquier f para la que pj 2dx es finita,es el lmite en media de su serie de Fourier. En particular, la ecuacin de Parseval S,' f,' es vlida. Sif es derivable dos veces con continuidad y f ( 0 ) =f (l ) = O, ya hemos visto que Entonces segn la ecuacin de Parseval I 78 Teora de Sturrn-Liouville y desarrollos generales de Fourier es vlida para cualesquiera funciones f ( x ) continuas tales que J^: pf Zdx es finita. ste es otro tipo de ecuacin de Parseval. Aplicando esta ecuacin a f + g y a f - g y restando, encontramos que si m f - I: CnUn, m g - C d n u n , 1 entonces (36.13) Ancndn pun2dx [ (Pfg + qfg)dx. Para x e y fijos, pongamos ahoraf(5) = G (x, t), g (6) = G ( y , 5). Segn (36.7) Cn = - 1 un( x) , An 1 pun2d5 d =- 1 u n ( Y ) . An 1 p u n 2 d 5 Entonces (36.13) se transforma en segn las propiedades (28.4) de la funcin de Green. Tenemos as el desarrollo conver- gente (36.14) Para x = y obtenemos 36. Ecuaciones diferenciales ordinarias regulares de segundo orden 179 Consideremos ahora el desarrollo de Fourier 2 cnun (x) de una funcin continua f(x) conf(0) =f (l ) = O y tal que (pf'* + gf 2) dx es finita. Segn la desigualdad de Schwarz tenemos Puesto que G (x, x) es uniformemente acotada, y 2 I L C , ~ ~ [ ~ u , ~ ? d x converge segn (36.13). el segundo miembro tiende uniformemente hacia cero en x cuando M, N + a. 1 - 0 Hemos demostrado que si f(0) =f (l ) = O e (~f'~+ qf') dx es finita, la serie de Fourier 2 cnun (x) converge uniformemente hacia f ( x) . x e y. Por consiguiente 1 1 F 1 dx es finita y En particular, el desarrollo (36.14) de G (x, y ) converge absoluta y uniformente en el problema (pw')' - qw = +(x) w( 0) = w( 1) = o tiene la solucin y la serie converge absoluta y uniformemente. Esto es, un conocimiento de los autovalores y de las autofunciones proporciona una serie convergente solucin para la ecuacin no homognea. Si tenemos el problema de autovalores (36.1) en un intervalo rt < x < B con las condiciones de contorno u (o) = u (B) = O, todos los resultados que hemos obtenido per- manecen invariables cuando las integrales entre O y 1 se reemplazan por integrales entre (! y p. Esto puede verse con un simple cambio de escala. En la prctica se pueden presentar otras condiciones de contorno. Si tenemos el pro- blema de autovalores ( pu' ) ' - qu + Apu = O, K(0) = o, P ( l ) U ' ( 1) + U K ( 1) = o, U 2 o, encontramos que 10s autovalores estn definidos por los principios de mnimo ( ~ 4 ' ~ + q4')d.x + a4(1)* Ak = min I PBurdx =O f" nrh2Av &y'.ld" =o J o t-i, 180 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier donde las funciones q3 (x) admisibles son tambin continuas y derivables con continuidad a trozos y se anulan en x = O, pero no es preciso que satisfagan alguna condicin en S = I . La completitud de las autofunciones y la convergencia uniforme de la serie de Fou- rier paraf(x) tal que pf Vx sea finita yf(0) se anule (pero no f ( I ) ) se deduce como antes. EJERCICIOS 1. Hallar los autovalores y las autofunciones del problema ((1 +x) *u ) +hu=O para O < x < 1, u(0) = u ( ] ) =o. I N D ~ ~ ~ ~ ~ ~ : ( 1 + X) i a = &a l o dl f d = c o s ( u l o g ( 1 + x ) ) + i s e n ( u l o g ( l + x ) ) . 2. Hallar los autovalores y las autofunciones del problema u + hu = O, u(0) =o, u ( 1) + u(1) = o. Esto es, obtener las autofunciones en funcin de 1. y hallar una ecuacin que tenga por solucin j.. Demos- trar que esta ecuacin tiene infinidad de soluciones. 3. Hallar los autovalores y las autofunciones del problema. u + hu = O, u ( 1) - u(0) = o, u (1) - u ( 0) = o. 37. Vibracin de una cuerda variable Consideremos el problema (37.1) 1 a% a2u - o (1 + x ) ~ at z axz para O < x < 1, t > O, 0) =f(x), -(x, O ) = o, au at u ( 0, t ) = o, ~( 1 , t) =O. Su solucin aproxima el movimiento de una cuerda cuya densidad lineal es proporcional a (1 + x)- (VeT seccin I ). La separacin de variables (u = X (x) T ( t ) ) da las dos ecuaciones (37.2) x+- (1 A Y (37.3) T + AT = O. Para X ( x ) obtenemos las condciones de contorno X( 0 ) = X(1) = o. 37. Vibracin de' una cuerda variable 181 As pues tenemos un problema de autovalores del tipo tratado en la seccin anterior. Para encontrar los autovalores, observemos que (37.2) tiene soluciones de la forma (1 + x)=, donde U ( U - 1 ) +X=O. Esto es, Para satisfacer X( 0 ) = O, elijamos x = ( 1 + x)i(I+*A) - ( 1 + La condicin X (1) = O se convierte entonces en 2 ; ( l + Gi i ) - 2 ; ( l - G ) - - O, O 2"Zz = 1 Si l. < 1/4 de modo que I/ 1 - 41 es real, esta ecuacin no tiene solucin. Si d = 1/4. nuestras dos soluciones no son ya independientes. En realidad, para 2. = 1/4 dos soluciones independientes son ( I + x)l I2 y (1 + log (1 + x). La ltima satisface la condicin en x = O, pero no se anula en x = 1. Luego l. = no es un autovalor. Paral > 1/4, la raz cuadrada es imaginaria. Podemos an obtener dos soluciones po- niendo +i sen(dA- - ql og(l +x) 1 Las partes reales y las imaginarias dan dos soluciones independientes de (37.2); esto es, ( 1 + x)1/2 cos (a log (1 + x ) ) y ( 1 + x ) l / 2 s e n ( a l o g ( 1 + x ) Para hacer X ( 0 ) = O pongamos X( x ) = ( 1 + x ) 1/ 2 sen La condicin X (1) = O da Con lo que, ]/A - 1/4 log 2 debe ser un mltiplo entero de TC : V A - log 2 = njz, o X, = ~ ( l og2) 2 +T' n = 1 , 2, 3 . . . . nzm2 1 182 Teora de Sturrn-Liouville y desarrollos generales de Fourier sos son. entonces. l os autovalores. L.as correspondientes autofunciones son x, = ( 1 + x)ll2 sen ( n r "1) Segn los resultados de la seccin anterior esas autofunciones forman un sistema completo. Tenemos la serie de Fourier m f ( ~) - C C n X n (X), donde f(x) ( 1 + ~ ) - 3 / ~ sen n r ( 'Oglyg: "')d.. (Obsrvese que p (x) = ( I x)"). La serie de Fourier converge absoluta y uniformemente sif(0) =f ( l ) :=O e J 1 f'2d.y es finita. Teniendo la ecuacin (37.3) con T (O) = I , T' (O) = O la solucin con 1. i.t, el problema 37.1) tiene la solucin formal Esta serie converge uniformemente, y por tanto satisface las condiciones iniciales y de contorno, cuando la serie para,f(x) converge uniformemente. No obstante, para asegurar derivadas continuas y que se satisfaga la ecuacin diferencial, necesitamos suponer que la serie para f " converge uniformemente. Esto es. debemos suponer que ,f y sus dos pri- meras derivadas son continuas, quef(0) = f ( l ) ~ 0, f " (O) -,f" ( I ) :- O, y que 1 ",f "' %ix es finita. '1 EJERCICIOS 1. Resolver (37.1) cuando f ( x ) : 11 t- x x (1 -x). 2. Resolver el problema 3. Resolver el problema de la conduccin del calor 38. Algunas propiedades de los autovalores y las autofunciones 183 u(0, t ) =o, u(1, t ) =o, u(x, 0) =&l. 4. Resolver el problema '( 1 au ) =O para o < x < l , r > ~ , ( 1 + ~ ) 3 at2 ax I + x a x u(0, t ) = u(1, t ) =o, u(x, O ) =,m), -(x, O ) = o. at dU 38. Algunas propiedades de los autovalores y las autofunciones Sea u1 la autofuncin correspondiente al menor autovalor i, del problema (36.1) en un intervalo u < x < p con u (u) = u (@) = O. Entonces (" ( P U ~ ' ~ + qu12)dx J '~pu12dx a Puesto que u, es continua y derivable con continuidad, su valor absoluto 1 u 1 (x) 1 es fun- cin continua y por lo menos derivable con continuidad a trozos. Adems, ya que u;? = 1 u$ y I u1 ) I 2 = la funcin 1 u, I minimiza el cociente de Rayleigh. Por tanto debe ser un mltiplo constante de ul . Esto significa que o 1 u1 I = u, de modo que u, ;._ O, o bien I u1 I = - u1 de modo que u, S O. En uno u otro caso, hemos demostrado que la auto- funcin u, no cambia de signo. Si u, fuera nula en un punto interior y, tendramos u, ( y) = ul' ( y) = O. Se deducira de la unicidad de la solucin del problema de valores iniciales que u, = O. Hemos demostrado que la primera autofuncin u l (x) no se anula para U <x <p. Ya que todas las dems autofunciones son ortogonales a u,, deben cambiar de signo. Por tanto si rr y f i son ceros consecutivos de cualquier solucin de la ecuacin diferencial (36.1), i debe ser el menor autovalor para el intervalo ( a , p) . Compararemos ahora el menor autovalor i., del problema (38.1) en el intervalo ((5, p) con el menor autovalor & de un segundo problema (38.2) (p(x)')' - j + A@ = O para !i < x < p, (pu' )' - qu + hpu = O para a < x < /3, u( a) = u @) = o " u( a) = (P) = o en el subintervalo (a, B>. (Esto es, a I < S p). que Las funciones p , q y p satisfacen las mismas hiptesis que p , q y p. Adems supongamos " - (38.3) 184 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Sea Il el menor autovalor y la correspondiente autofuncin del citado segundo pro- blema. En el principio del mnimo la6 ( P V + q+2)h l P WX Al = min 9 +(a)=+@)=0 tomemos como prueba la funcin i% para (Y < x 5 G, +(x) = ul(x) para Cy 5 x 5 p, para 73 5 X 5 p. - Esta funcin es claramente continua y derivable con continuidad a trozos. Utilizando (38.3), encontramos que la' ( ~ 4 ' ~ + q@)dx ~ ( ~ ' l z + ql2)dx - [ P V h f PUI 2h 5 = Al . Por tanto segn el principio del mnimo Al 5 x,. Adems, 4 (x) no puede ser la autofuncin que haga mnima esta razn a menos-que los dos problemas sean idnticos. Luego, a no ser que se presente tal circunstancia - Al > Al. Hemos demostrado que reduciendo el intervalo (u, p), aumentando p (x) o q (x), o dis- minuyendo p (x), aumenta el menor autovalor del problema (38.1). Sea ahora u cualquier solucin de la ecuacin diferencial (38.4) ( puf ) ' - qu + Apu = O, y v cualquier solucin de (38.5) ( pv' ) ' - qv + xpv = o. Sean a y p dos ceros consecutivos de u (x). Entonces 1 es el menor autovalor para el problema (38.1). Sean a, dos ceros consecutivos de v (x) en el intervalo a 2 x I p. Entonces I es el menor autovalor para el subintervalo (a, B), y se deduce que x > I a me- nos que = a, p = p y v sea un mltiplo de u. Hemos demostrado as el siguiente teorema: TEOREMA DE SEPARACIN. Si u y v son soluciones de (38.4) y (38.5), respectivamente, con 1 2 l., y si u y p son ceros consecutivos de v, debe existir por lo menos un cero de u (x) en el intervalo abierto a < x < B a menos que x = 3, y Y es un mltiplo de u. Si aplicamos este teorema al problema de autovalores (38.1), encontramos que como jlk.kl > A,, debe tener por lo menos un cero ms que uk. Esto es, uk debe tener por lo menos k - 1 ceros para a < x <p. Demostraremos ahora que uk posee exactamente k - I ceros. 38. Algunas propiedades de los autovalores y las autofunciones 185 Supongamos que u k tiene como ceros a = xo, X I , xz, . . . , XL-1, X [ = p. Entonces cada una de las funciones u(m)(x) = [ : ( x) para xm-l 5 x 5 xm, para los dems valores de x es continua y derivable con continuidad a trozos. Por lo tanto lo mismo ocurre con 1 4 (x) = c CmU(m) (x). 1 Elijamos las I constantes cl, . . . , cL de modo que satisfagan las I - 1 condiciones (Con esto conseguimos 1 - 1 ecuaciones lineales con 1 incgnitas, y que por tanto tienen solucin no trivial, es decir distinta de la solucin nula). Observemos que para nz f n, dm) (x) u@) (x) O. Ya que u k (xm) = O, 1 \aP (p4rz + q 4 2 k ) = P cm2 ( P Uk r 2 + q u k 2 ) h =m m= 1 As segn el principio del mnimo (36.1 1) tenemos Al I Ak . Por tanto, 1 I k. Dicho de otro modo, Uk tambin tiene por lo menos k - 1 ceros para a < x <p. Hemos demostrado el teorema siguiente : TEOREMA DE OSCILACI6N. La k-sima autofuncin Uk del problema (38.1) tiene exac- tamente k - 1 ceros en el intervalo a < x < B. Ejemplo. En el problema u"+Au=O para O < x < l , u(0) =u( l ) =o tenemos 186 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Volvemos a la comparacin de los dos problemas (38.1) y (38.2) cuando se cumplen las desigualdades (38.3). Supongamos que x < 1.k. Entonces si y son dos ceros consecutivos de uk (x), 2.k es el menor autovalor para la primera ecuacin en el intervalo (al, /I1). Puesto que hemos demostrado que el menor autovalor para la segunda ecuacin en un subintervalo de (cl r pl), debe ser mayor, no puede anularse dos veces en (clr pl). As que, existe por lo menos un cero de uk entre todo par de ceros de u k . Puesto que ii se anula en k + 1 puntos (incluidos los extremos 1, ,8), uk debe anularse por 10 menos k veces para u < x < p 10 que est en contradiccin con el teorema de oscilacin. Por lo tanto, z>2.k. Hemos demostrado el siguiente: TEOREMA DE MONOTONA. Reduciendo el intervalo (U, p), aumentando p o 9, o dis- minuyendo p aumentan todos los autovalores del problema (38.1). Ejemplo. El problema u - au + Au = O, u(ff) = u@) =o, en donde a es constante, tiene los autovalores que crecee claramente con a y decrecen con @ - a). 3 Los autovalores del problema ( 38. 6) ( pv ) - qv + ppv = O para CY < x < P, v(CY) = o, P ( P ) V ( P ) + = 0 pueden caracterizarse por el principio del mnimo ( ~ 4 + q4 )dX + b 4( P) (38.7) p k = min I P$ Yl d r =o mea, =o 1 P42dx I p4vi.,dx ==o o El teorema de oscilacin para este problema se demuestra exactamente como antes. La k-sima autofuncin tiene k - I ceros en el intervalo c1 .<.Y < p . Podemos demostrar un teorema de monotona parecido al dado antes. para este problema. Puede tambin demostrarse que los autovalores aumentan con h. Si v (x) es una solucin de la ecuacin diferencial (38.6) con v ( a) = O, y si i l - , L p < AL. donde 1.l es el Msimo autovalor de (38.1), entonces segn los teoremas de oscilacin y de separacin v (x) debe tener exactamente I - 1 ceros para a -<x < p . Por consiguiente, segn el teorema de oscilacin hk-1 pk hk. Esto es, los autovalores del problema (38.6) separan los del problema (38. 1) y viceversa. Este es el llamado teorema de separacin para autovalores. 39. Ecuaciones con extremos singulares Ejemplo. Los autovalores de v"+ pv = O para O < x < 1, v(0) =o, v' ( 1) =o 187 son stos separan evidentemente los autovalores Arc = k2n2. EJERCICIOS 1. Hallar las cotas superior e inferior para el k-simo autovalor I.k del problema ( ( 1 + x 2 ) u ' ) ' + x u + h ( l + x 2 ) u = 0 para O < x < 1, u(0) = u(1) =o, por comparacin con dos- problemas con coeficientes constantes. 2. Hallar una cota inferior para el menor autovalor del problema ( ( 1 +X2 ) u ' ) ' +h ( 1 +x 2 ) u =O para O < x < 1, u(0) = o, u'( 1) = o. comparndolo con un problema con coeficientes constantes. 3. Demostrar que si lrc es el k-simo autovalor de u" - q ( x ) u + hu = O para O < x < 1, u(0) = u(1) =o, donde q es una funcin acotada, entonces 39. Ecuaciones con extremos singulares AI demostrar la completitud de las autofunciones de (36.1) supusimos que las funcio- nes p. q y p eran continuas en el intervalo cerrado O I x I I , y que p y q eran positivas en l. En muchos casos de inters fsico esas condiciones se satisfacen en el intervalo abierto O < x < I , pero no en uno o en ambos extremos. Las funciones p y p pueden tender a cero o a infinito, y q puede llegar a ser infinito, supongamos en x = O. Estudiaremos primero el caso de la ecuacin de Bessel (39.1) ( xu' ) ' - "u + hxu =o, m2 X en la que m es una constante no negativa. Nos referimos al intervalo O < x < 1, de mod9 que p y p se hagan cero y q infinito en el extremo izquierdo. Por el mtodo de las series de potencias, encontramos que para m #O la ecuacin (39.1) tiene dos soluciones linealmente independientes que se comportan como xm y X-m en las proximidades de x = O (ver seccin 40). La solucin que se comporta como xm se individualiza exigiendo que u permanezca acotada. Si m = O, las soluciones se compor- i tan como 1 y log x, respectivamente. Las individualizamos con una condicibn de acotacin. 188 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier En lugar de una condicin de contorno en x = O, entonces, se exige que u permanezca acotada, y que xu' --f O. En x = 1 ponemos (39.2) u( 1) = o. Examinemos ahora la demostracin de la completitud de la seccin 36. Utilizbamos all las dos propiedades siguientes: (a) Para cualesquiera funciones v y u continuas y derivables con continuidad a tro- zos que satisfagan las condiciones de contorno del problema, la frmula de integracin por partes (39.3) J v ( x) [ (pw') ' - qwl dx = - [pv'w' + qvwldx J es vlida. Esto es cierto debido a que los tkrminos pvw' 1; se anulan. En el problema presente exigimos v (1) = O de modo'que el lmite superior sea cero. Por otra parte, exigimos que Y permanezca acotada, mientras que pw' = xw' -+O cuando x +. O. Luego el lmite inferior es cero, y la frmula es cierta. (b) La integral doble es finita. Esto era cierto porque G (x, 6) era continua en x y 6 para O x, 6 I 1. Poniendo 1 = O en (39.1) vemos que la ecuacin tiene las dos soluciones xm y cuando m > O. La funcin de Green sujeta a las condiciones, G acotada, XC' + O en x = O y u (1) = O es As pues, Multiplicando por p ( x) = x e integrando, vemos que es finita. Para m = O tenemos 39. Ecuaciones con extremos singulares {log! para 4 5 x , log2 para 4 2 x , G( x , 4) = 189 y llegamos a la misma conclusin. De la finitud de G2p ( 5) p (x) dtdx y de la desigualdad de Bessel resulta que 1.c -+00 cuando k -+00. De esto, a su vez, resulta la completitud de las autofunciones y la ecua- cin de Parseval. Puesto que es vlida la frmula de integracin (39.3), obtenemos otra vez la segunda ecuacin de Parseval (36.13). De esto resulta el desarrollo (36.14) de la funcin de Green. Nuevamente podemos demostrar la convergencia puntual de la serie de Fourier de una funcinf(x) para la que/pfzdx eS(p,ft2+qf2) dx sean finitas por medio de la desigual- dad (36.15). La convergencia es uniforme cuando m > O. Para m = O, G (x, x) no es aco- tada, sino que tiende a infinito cuando x -+O. Luego la convergencia es uniforme en todo intervalo E 5 x < 1 con E > O, pero no en todo el intervalo O < x 5 1. Sin embargo, la serie de Fourier dividida por y - ) = v m x converge uniformemente hacia Podemos obtener los mismos resultados en el caso en que la condicin de contorno en 1 se reemplace por u (1) + bu ( 1) = O, o cuando el extremo 1 se reemplace por cual- quier , 9 > O. Con mayor generalidad, podemos considerar cualquier problema para una ecuacin de la forma f ( X ) / W (puf) - qu + hpu O, donde p es positiva y derivable con continuidad, q continua y no negativa, y p continua y positiva en el intervalo abierto O < x < 1. En los extremos se dan las condiciones de contorno o de acotacin. Estas condiciones deben ser tales que (39.3) sea vlida y que /p+dx sea finita cuando v y w las satisfagan. Entonces si el problema (pw) qw =- F con esas condiciones en los extremos tiene una funcin de Green tal que G( x , ~ ) * P ( x ) P ( ~ ) & ~ x es finita, las autofunciones forman un sistema completo, y las propiedades de los desa- rrollos segn las autofunciones demostrados en la seccin 36 son vlidos. En general, podemos decir que si /p fdx e 1 [pf + q f z ] dx son finitas, el producto de 1 /1/G7u,;;r por la serie de Fourier de ,f converge uniformemente hacia f ( x ) / r ml Observemos que G (x, 6) es independiente de p (x). Asimismo se observa que la fini- tud de J J GLppdtdx es suficiente pero no necesaria para la completitud. No obstante, si esta condicin no se respeta, pueden no existir autofunciones. 190 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Ejemplo. Consideremos el problema ( x zu ) + Au = O para O < x < 1, u ( 1) = o, u acotada La funcin de Green es Puesto que p(x) = 1, J J G2p(x)p([)&dx = m. Las soluciones de la ecuacin diferencial que se anulan en x = 1 son x-Ii2 sen ($/ TI log x). Estas fun- ciones no estn acotadas, e Jpuzddx no es finita. Luego este problema no posee autofunciones. EJERCICIOS l . Demostrar que las autofunciones del problema ( x au ) + Axau = 0 para O < x < 1, u(1) =o, u y u acotadas son completas cuando a > 1. 2. Demostrar que las autofunciones de [ ( 1 - x 2 ) u ] + A u = O para O < x < l , u y u acotadas u(0) = o, son completas. 3. Demostrar que las autofunciones del problema ( x u ) - - u + ~ u = O para O < x < 1, u(1) + u ( l ) =o, mz X u y u acotadas son completas. 40. Algunas propiedades de las funciones de Bessel Hemos demostrado en la seccin precedente que las autofunciones del problema (40.1 ) r n2 ( x u ) --u + Axu = O para O < x < 1, X (40.2) u(1) =o, u acotada xu -+O, cuandox +O formaban un sistema completo. Si ponemos t = x lz la (40.1) se transforma en (40.3) Esta es precisamente (40.1) con 7. = I . Se denomina ecuacin de Bessel de orden 171. 40. Algunas propiedades de las funciones de Bessel 191 Obtenemos la solucin regular en t = O por el mtodo de las series de potencias (m todo de Frobenius). Esto es, buscamos una soluci6n de la forma 30 u(t) = P C antn, a0 f O. n=o Derivando trmino a trmino, sustituyendo en (40.3), y reuniendo las potencias semejantes en t , encontramos m ra-l {(az - mz))ao + [ ( a + 1)2 - m2]al t + 2 ( [ ( a + n) - m ] ~ n + an-dt n = O. n=z Puesto que una serie de potencias es idnticamente nula si todos sus coeficientes son cero, encontramos u = + m, a, = O, y la frmula de recurrencia para los restantes coeficientes. Eligiendo n = m y a, = 2-m/m!, obtenemos la solucin (40.4) que es acota& en t = O. Esta solucin se llama funcin de Bessel de primera especie de orden m. J,,, (1) se comporta como t rn cuando t+ O. Del criterio del cociente se deduce que la serie converge para todos los valores de t . Si multiplicamos la serie por t-, derivamos trmino a trmino. y multiplicamos por t m, obtenemos la frmula de recurrencia (40.5) - [ t r r nJ , ( t ) ] =-r-mJ,+l(r). Si multiplicamos por t j j 1 , derivamos, y dividimos por t I 1, encontramos (40.6) d dr d dt CfJ jil(t)] = PJ ntr,(t). Recordando que la transformacin t x x vnos conduce de (40.1) a (40.3). vemos Los autovaldres del problema (40.1), (40.2) son las races de.la ecuacin que la solucin de (41.1) que es acotada en .Y = O es J;,( (p..). Ji,l(vi) = o. Muchos de los ceros positivos , j l ( m) ,j2(nL. . . . de J,,, ( t ) estn tabulados (ver J ahnke y Emde, pgs. 165-168). Los autovalores %k() vienen dados por (40.7) he(,) = b k . m) ] 2 . Deduciremos algunas desigualdades para esos autovalores. La nica funcin que depende de m en (40.1) es q (x) = nP/x, que es creciente respecto a m . Resulta de ello que ~. ki r es creciente respecto a m. 192 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Puesto que la derivada de r mJ1, , debe anularse entre dos ceros de esa funcin, resulta de (40.5) y (40.6) que los ceros de J,,, y J,,i+l se separan unos a otros. En virtud de (40.7) lo mismo se puede afirmar de los autovalores (40.8) &(m) < Ak(m+l ) < &.+l(m). (Esto es tambin una consecuencia del teorema de separacin para los autovalores y de (40.6)). Si introducimos la nueva variable dependiente w( x ) = U ( X ) G , el problema de autovalores se transforma en el siguiente (40.9) w" - ( m2 - :)x-' w + Xw = O, w( 0 ) = w(1) = o. Los autovalores son todava crecientes respecto a m segn el teorema de monotona. Para m = +obtenemos un problema cuyos autovalores son n2k2. As encontramos hk(0) < r2k2, X,(') > V2kZ Segn el teorema de separacin (40.8) &'O' < r'k' < Xk+l'O'. Dando la vuelta a este resultado, vemos que r2(k - 1)2 < A,(' ) < r2k2. Utilizando nuevamente (40.8), encontramos que cuando m es entero r2(k - 1)' < < d( k + m) ' . As, para m fijo y k grande, se comporta como n2k2. Si ponemos t = xvx en (40.9) la ecuacin se transforma en (40.10) g - (d - ;)t-% + w = o. Para valores grandes de t el trmino en r2 es pequeo. Luego, podemos admitir que para t grande la funcin w se comporta como a sen t + b cos t . Volviendo atrs con esta trans- formacin, podemos admitir que la autofuncin J , ( l m x ) , que se anula para x = 1, se comportar, para valores grandes de k, como Esta forma asinttica puede realmente justificarse. Naturalmente, tan slo es til para lm grande. Esto es, x debe mantenerse alejada de cero para cualquier valor de 1. Al desarrollar funciones en serie de Fourier necesitamos conocer 41. Vibracin de una membrana circular 193 Utilizando (40.5) y (40.6), podemos verificar que Luego, EJERClClOS 1/2 1. Si Jl / P( r ) = (2) sent, findJs/2(t). 2. Demostrar que J,'(r) = ?[Jn-](t) - J n + l ( r ) l . 1 3. Hallar el desarrollo de 1 - x2 en el intervalo O < x < 1 en funcin de las autofunciones J " ( ) m ) de (xu')'+ h u = O para O < x < 1: u y u' acotadas u( l ) =o, INDICACIN:U~~I~ZXI la integracibn por partes y (40.6). 4. Hallar el desarrollo de xm + mediante las autofunciones J m ( v 5 F x ) . INDICACI~N: Utilizar la integracin por partes y (40.6). 41. Vibracicin de una membrana circular Consideremos el problema (41.1) 194 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Su solucin representa el pequeo movimiento transversal de una membrana circular tensa y con su contorno fijo. Por ejemplo, puede ser el movimiento del parche de un tambor. Con la separacin de variables, encontramos soluciones de la forma R ( r) cos m0 COS c fi y R ( r) sen m0 cos c ] / At , donde m = O, 1, 2, . . . , y R es una solucin del problema de autovalores - (41.2) ( r R' ) ' - "R + ArR = O, m2 r R ( 1) = O, R y R' acotadas En la seccin anterior ya hemos examinado ese problema. Sus autofunciones son J , (y- donde los autovalores h c ( f l t ) estrin determinados por la ecuacin J,,, (m)) = o. Escribamos la serie donde Tenemos que verificar que la serie converge ciertamente hacia una solucin. Supon- gamos primero quefes derivable dos veces con continuidad, y que f ( l , O) = O. La inte- gracin por partes muestra que Con el razonamiento de la seccin 31 vemos que puesto que las funciones sen d . cos m0 forman un sistema completo para - x S O 2 x y para cada m fijo las funciones J , (]/m) forman un sistema completo para O :<r cc I , las funciones J,,, cos ~ H O y J , (VI.&+) sen m~ forman un sistema completo en el circulo -- ,z < O I x, r I I . Tenemos as la ecuacin de Parseval - (41.4) 41. Vibracin de U M membrana circular I 95 En particular, las series del primer miembro convergen. las series (41.3) de u. Encontramos Apliquemos ahora la desigualdad de Schwarz a un conjunto finito de trminos de El smbolo 2' indica que la suma slo afecta a un conjunto finito de valores k y m. Ya que las series (41.4) convergen, podemos hacer el primer factor del segundo miem- bro tan pequeo como queramos exigiendo que no figuren todos los trminos con IC <~' K y m 5 M para K y M suficientemente grandes. Por tanto si el segundo factor del segundo miembro es acotado, la serie (41.3) para u converge uniformemente como una serie doble. Para examinar este segundo factor, consideremos primero la serie de trminos posi- tivos cuando m 2 I , y cuando m = O. Es la funcin de Green para el problema m2 r ( M' ) ' - - w=-F(r) para O < r < 1, 196 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier w(1) =o, w y w' acotadas Para la autofuncin J , (1/ Idn1)r) tenemos la identidad ~ JO de modo que Entonces segn la ecuacin de Parseval Mediante clculos (ver seccin 39) encontramos que para m 2 2, mientras que [ Gl ( r , p)'pdp = -3P( 1 - I") + -9 log-, 1 1 1 4 r Y As pues -P log-. 1 1 2 r 42. Vibraciones forzadas de una membrana circular EJERCICIOS 1. Hallar la solucin de (41.1) cuando (a) f ( r , e) = (1 - r2) 3 (b) f ( r , e ) = ~ ~ ( - ) r ) cos e. 197 2. Hallar una serie solucin del problema u( 1, e, t ) =o, u( r , e, O ) = O, au z ( r , @,O) =&, 0). 3. Hallar una serie solucin del problema & - [a% 1 au 1 a2u a%] a? r ar P a@ a 2 at2 P- +- - +- - +- = O para r < l , O < z < L , t > 0 , u( 1, 8, z , t ) = 0, u( r , 8, O, t ) = O, au -(r, e, L, t ) = O, az u( r, 8, z , 0) =f ( r , 0, z ) , au z ( r , O, z , O) =O. Este problema representa el movimiento acstico de un cilindro (por ejemplo, un tubo de 6rgano) fijo por un extremo y libre por el otro. 4. Resolver el problema de la conduccin del calor en un cilindro circular infinito 5. Resolver el problema de conduccin del calor en un cilindro finito t > o, < z < L , t > 0 , -(r, 0, O, t ) = O, au az u( r , O, L, t ) = O, u( r , 8, z , 0 ) =f ( r , 0. z ) . 6. Resolver el problema de la conduccin del calor en el cilindro infinito is]-0 is]-^ 1 au 1 a2u - para r < 1, t > ~ , d r ( ~ , e,o) =o, au u( r , 0, 0 ) =f ( r , 8) . 42. Vibraciones forzadas de una membrana circular: Frecuencias naturales y resonancia La serie (41.3) representa la solucin del problema de valores iniciales (41.1) como suma de vibraciones sensibles con forma fija. Esos movimientos senoidales, descritos por 198 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier J m ( a r ) cosm8 cos ( c m t ) y J m ( m r ) senm8 COS ( c m t ) se llaman modos normales del sistema. Las frecuencias caractersticas o naturales de vibra- cin son c vk(3/2n. Se determinan con los autovalores de los problemas (41.2). Las formas de modos normales se determinan con las correspondientes autofunciones. Si en lugar de la posicin inicial se nos da la velocidad inicial, las funciones cos ( ] / c &( ~I %) se reemplazan por sen ( ~ 1 / 3 , k ( ~ ~ ) t ) , de modo que tenemos las mismas frecuen- cias, pero diferente fase. Ya hemos encontrado los modos normales sen nx cos nct para la vibracin de una cuerda y sen lx sen my sen nz cos c1/12 + m2 + n2t para la vibracin de un cubo. En cada caso tenemos una sucesin de frecuencias naturales (nc/2n o c V I z + m2 + n2,i2n) que dependen de los autovalores de un cierto problema. La forma depende de las correspon- dientes autofunciones. ~~ _ _ ~ ~ ~~~ Consideremos ahora el problema no homogneo 1 (42.1) u(1, 8, t , = o, u(r, 8, O) = O, "(Y, 8, O) = o. au at La solucin de este problema representa el movimiento de una membrana impulsada por una fuerza senoidal arbitrariamente distribuida. Desarrollemos F en serie doble de Jm (vm) cos m8 y J, ( Ij;lk(m)r) sen rnH: ~" Para un d fijo desarrollemos tambin u para obtener su transformada finita de Fourier: u(r, O, r ) - i: ck O( t ) J O( mr ) +S2 ( c km( f ) cosmO+dkm( t ) senmO) J m( mr ) . m m 1 1 (42.2) ckm ( r ) " + c2Ak(m)ckm ( t ) = C k m COS @t . (Hemos supuesto que u es derivable con continuidad dos veces respecto a t ) . Nuestras condiciones iniciales dan Ck, (O) = Ckm' (O) = o. Este problema de valores iniciales tiene la solucin con tal que ( o #l/&(mk. Un resultado parecido es vlido para d k m (t). As tenemos la solucin formal . 42. Vibraciones forzadas de una membrana circular Vemos que si o/ es distinto de todos los nmeros u es una funcin de Y y O multi- plicada por cos cot ms una suma de modos normales. Si i k ( 1 + 2 - coz es pequeo, esto es, si w/2z es prximo a una frecuencia natural, el coeficiente del modo normal correspondiente ser grande a menos que c k n , sea cero. Una fuerza impulsora senoidal con frecuencia 42z tiende a excitar modos normales cuyas frecuencias naturales son prximas a c0/27c. De hecho, ya que - encontramos que para OJ p&('% tenemos una amplia oscilacin de frecuencia (u + I / pc) / 4n modulada por la frecuencia de pulsacin ( w c - 0)/47~. Este fe- nmeno se conoce con el n o e e de resonancia. En el caso limite c o = ]~&(l r1)c, encontramos ck, ( t ) = -t C k m senof, 2 0 dkm( t ) = -t sen wt . Dkm 2w A menos que ck = Dk n t = O, esos coeficientes, y por tanto tambin la solucin, no estn acotados cuando t m. El fenmeno de resonancia ocurre para cualquier problema de valores de contorno e iniciales correspondiente a una ecuacin de ondas no homognea en un dominio acotado con un trmino de impulsin senoidal. Las frecuencias de resonancia estn, en general, determinadas por los autovalores de un problema que incluya un operador de derivacin parcial elptico. EJERCICIOS 1. Resolver el problema 2. Resolver el problema 200 Teoria de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier u(0, y, 1 ) = u(x, r, I ) = o, au au ay u(x, y, O ) =-(x, y , O) = o. au at -&l, y, t ) = "(X, o, t ) =,o, t > o, 3. Resolver %- a2u =ec c o s t para o <x<r , t > ~ , at2 axz u(0, t ) = U ( T , t ) =o, au u(x, O ) = X ( X ' O) = o. 4. Resolver "" 2 : > - s e n a ms t para ~<x <p , t > o , u(0, t ) = u ( r , t ) = o, au u(x, O ) =%(x. O) = o. 5. Resolver " au - o az para z = O, r, au u(x, Y , z, O ) = x ( x , y , z, O ) = o. 43. Polinomios de Legendre y funciones de Legendre asociadas Si introducimos coordenadas esfricas r , 0, +tales que x = r sen0 COS + , y = r sen0 sen+, z = r cos 6, la ecuacin de Laplace se transforma en (43.1) Con la separacin de variables, encontramos que la ecuacin (43.1) tiene soluciones de la forma R ( r ) 0 (O) @ (+), con tal que Multiplicando por r2sen'0 y transponiendo el ltimo trmino, vemos que @"/@ debe ser constante. Puesto que @ debe ser peridica de perodo 2n, tenemos @ = cos m#~ o sen m $ , donde 111 = O, 1, . . . Entonces 43. Polinomios de Legende y funciones asociadas 20 I Multiplicando por r2 y transponiendo el primer trmino, tenemos las dos ecuaciones (43.2) Y (43.3) (sen08')' - -0 + A sen88 = O, m2 sen 0 en donde 1 es constante. La ecuacin (43.3) para8 (O) es singular en sus dos extremos 61 = O y 0 = z. En lugar de condiciones de contorno imponemos la condicin de que 8 y 8' permanezcan acota- das ea ambos extremos. Esto nos proporciona un problema de autovalores con dos puntos extremos singulares Introduzcamos la nueva variable y sea Entonces (43.3) se convierte en (43.4) d [ ( l - f 2 ) $ ] - m P + A P = 0 dt m2 para -1 < t < 1. Tenemos aun un problema de autovalores con dos extremos singulares. Busquemos valo- res de 1. para los cuales existe una solucin P de (43.4) tal que P y (1 - t2)1'z P' permanez- can acotadas en t = - 1 y t = 1. Si m + O, la ecuacin (43.4) con i. = O tiene, como fcilmente se ve, las dos soluciones (1 + t)o1/2 (1 - t)-N" y (1 - t)m/2 (1 + f)-mbz. Su funcin de Green es Entonces G ( t , t) < 1/(2m), de modo que I-: 1 "1 G2dtdt es finita con seguridad. Por con- siguiente las autofunciones forman un sistema completo para m #O. Adems, ya que C ( t , t ) est uniformemente acotada, los desarrollos en autofunciones convergen unifor- memente para funcionesf(r) tales que sea finita. Si nz = O y ponemos 1. = O en (43.4), encontramos la solucin P 7: 1 que es deriva- 202 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier ble con continuidad para - 1 i t i 1. Luego A = O es un autovalor. En la demostracin de que todos los autovalores son positivos dada en la seccin 36 supusimos que las con- diciones de contorno excluan la autofuncin u = constante. Esto no es lo que aqu ocurre, pero la demostracin no obstante pone de manifiesto que todos los autovalores son no negativos. De ah que I = - 1 no es un autovalor. Existe una funcin de Green GO ( t , t) para el problema [ ( l - t z ) w' ] ' - w=- F para - 1 < I < 1 , w y w' acotadas No podemos expresar Go en forma finita. Sin embargo, como brevemente veremos, las soluciones de la ecuacin diferencial homognea [(l - t f ) u' ] ' - u = o tienen solamente singularidades logartmicas en los extremos. De ello resulta que 1sG,2dtdt es finita. Procediendo como en la seccin 36, vemos que GO( t , t) tiene la se- rie de Fourier Go(t, 7) m Uk(t) uk(7) ' (hk + 1) 1' Uk2d; -1 y que las autofunciones forman un sistema completo. Si S' [ ( I - t 2 ) f ) Z +f 2] dx es finita, la serie de Fourier dividida por ]m con- Examinemos ahora las autofunciones de (43.4). Consideremos el caso m = o. Tenemos verge uniformemente hacia f ( t ) / VG ( t , t ) . -1 - ~~ (43.5) A[ (1 - P)z] dP +. AP = O. dt Busquemos una solucin en el entorno de t = 1 en forma de serie de potencias de ( t - 1): P = ( t - 1 ) " z &( I - 1 ) k . n-O Sustituyendo en (433, obtenemos una serie de potencias que es idnticamente nula: m - C o 2 d ( f - 1 p - 1 " I: { 2 ( k + ~ + 1 ) 2 ~ ~ + ~ + [ - A + ( k + ~ + l ) ( k + ~ ) ] ~ ~ } ( t - l ) ~ + " = O . k=O Si co es distinto de cero, debe ser u = O. El hecho de ser sta una raz doble indica que existe una segunda solucin que se comporta como log (1 - t ) en t = I . Puesto que estamos buscando una solucin acotada, descartamos la segunda solucin. Poniendo el coeficiente de ( t - igual a cero, obtenemos la frmula de recurrencia 43. Polinomios de Legende y funciones asociadas 203 As pues Ck = [k(k- l )- h][(k- l )(k- 2)- A]- . . [2-~h][--h]("1)kCco. 2k(k!)2 Con el criterio del coclente encontramos que Z ck(r - l ) k converge para 1 t - 1 1 < 2. Adems, lo mismo es cierto para cualquier derivada de esta serie. Por otra parte, para k + 1 > 3, tenemos Luego la funcin en general tender a + 00 cuanto t +- - 1. La nica excepcin se pre- senta si los coeficientes de la serie son, a partir de uno de ellos, todos nulos sin excepcin. Esto es, si para algn valor de n, nc, #O pero c,t-!-l = c71+2 = clr+S :=. . . =O. Debido a la frmula de recurrencia, esto es cierto si y slo si h =n ( n +l ) , n=O, 1.. . .. Obtenemos as una funcin que es acotada para - 1 < t S 1 si y slo si 2 = 12 ( n + 1) para algn entero no negativo n. sos son, entonces, los autovalores. Poniendo c0 = 1, obtenemos la ;Iutofuncin P,, (:>correspondiente al autovalor i , , ==n (n + I ) : Y,, ( t ) es un polinomio de grado n en t . Se denomina polinomio de Legendre. Los primeros de esos polinomios son P2( t ) = -t* - - 3 1 2 2' P s ( f ) = -t3 --t 5 3 2 2 ' Puesto que P, (t) es exactamente de grado n (esto es, OI L #O), cualquier polinomio de grado k puede expresarse como combinacin lineal de PtL ( t ) con n = O, 1, . . . , k. Esto puede demostrarse por induccin, ya que 11, = (1,'rk) Pk ( t ) ms un polinomio de grado k - 1. Ya que los P,, son ortogonales, cada P, debe, por tanto, ser ortogonal a todas las potencias de t salvo a la n-sima: Esas n - 1 condiciones lineales, junto con el hecho de que malizacin Pa (1) = 1 determinan P, con unicidad. A partir de esta caracterizacin podemos comprobar , n - 1. P,, (t) es de grado n y la nor- la identidad 204 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Se l e llama frmula de Rodrigues. De esta frmula resulta evidente que P,, ( t ) es par en t (esto es, contiene tan slo po- tencias pares de t ) si n es par, e impares si n es impar. Resulta del teorema de oscilacin que P,, ( t ) tiene n ceros reales, todos en el intervalo - 1 < t < 1. Consideraremos ahora la ecuacin (43.4) con un m natural. Para ello derivaremos primero la ecuacin (43.5) m veces respecto a t. Esto da ( 1 - t2)P[m+zl - 2 ( m + I)tPlm+ll + [A - m( m + l ) ] P[ ml = O. Introduzcamos ahora la nueva variable dependiente Qct) = ( 1 - t 2 ) m/ 2 P [ ml ( t ) . La anterior ecuacin se convierte en As, cualquier solucin P ( t ) de (43.5) nos conduce a una solucin (1 - t 2) rJI/ z P( J I ~) 0 t de (43.4), a menos que P sea un polinomio de grado menor que m. Supongamos que 3, no es de la forma n (n + 1). Entonces la ecuacin (43.5) tiene una solucin P ( t ) regular en t = 1, pero con comportamiento semejante a log (1 + 1) en - l . La correspondiente funcin Q ( t ) , entonces, se comporta como (1 + f ) - JJ1/ 2 en t ==- 1 y es regular en 1. La segunda solucin Q (- t ) es singular en 1 . Es evidente que ninguna combinacin lineal de esas dos soluciones linealmente independientes puede ser regular a la vez en - I y en 1 . Luego i no es un autovalor de (43.4) para ningn m. De este modo hemos demostrado que todos los autovalores de este problema son de la forma n (11 4- I ), siendo n entero no negativo. Si n 2 m, la funcin (I - t')R1:' ( drJ1/ dP) P, ( t ) y el producto de su derivada por (1- t 2) l i 2 estn acotadas. Luego, 2 = n (n + 1) es un autovalor. Puesto que P,, es un polinomio de grado n, (d"',idt"') P, = O para n < m, y no obtenemos autofuncin. Segn el teorema de monotona el mnimo autovalor debe crecer al crecer m. Por tanto, los autovalores son precisamente n (n + 1) con n = m, m + 1, . . . Las autofunciones (43.7) - (1 - t2)"'7dtm+"(t2 - 1)" 1 &+" " 2"n! se llaman funciones asociadas de Legendre. P,,JJJ corresponde al autovalor n (n + 1 ) y n r m Pnm ( t ) es un polinomio si y slo si m es par. No obstante, observemos que PI1'fi (cos 0) es un polinomio homogtneo de grado n en sen O y cos O. Poniendo 2 = n (n + 1) en la ecuacin (43.2) para R (u), obtenemos las dos solu- ciones r J i y , Tan slo la primera est acotada en r = O. El mtodo de separacin de variables da as las funciones armnicas (esto es. solu- ciones de la ecuacin de Laplace) 43. Polinomios de Legende y funciones asociadas 205 PP,,~(COS e) cos m$, rnPnm (cos O) sen m$, que son regulares en todo el espacio ( r, O, 4). Observemos que Pnm (cos 0) es el producto de senme por un polinomio de grado n - m en cos e que es par o impar segn que n - m sea. par o impar. Ya que r cos 0 = z, resulta que el producto de rn--m por este polinomio es un polinomio en r2 y z, y por tanto en x, y y z. Por definicin, r sen O = pxz + y2. De modo que rIl1 senn10 cos m+ y rnl senm 0 sen m+ son los polinomios en x e y soluciones de la ecuacin de Laplace obtenidas en la seccin 24 por separacin de variables en la ecuacin de Laplace bi-dimensional en coordenadas polares. Vemos entonces que las funciones rJ1PnrJL (cos O) cos m+ y r"P,"' (cos O) sen m+ son polinomios homogneos de grado n en x, y y z. Los hay de grado n - m en z. Tales polinomios se llaman armnicos esfricos. ~~~ En los desarrollos de Fourier resulta til conocer las integrales de (Pnnt )2. De la frmula de Rodrigues y de n integraciones por partes resulta que =- ( 2n) ! ( 1 - t2)"df 1 ' ' 22nn!2 -1 2 2n + 1 =-. Anlogamente, (43.9) 1 Pnm(COS 0)' sen Ode = Prim( t ) W 2 ( n + m) ! . 2n+ 1 ( n - m) ! =- Hemos designado el coeficiente de 1" en P, ( t ) por cn, y hemos utilizado (43.6) y (43.8). EJERCICIOS 1. Expresar los siguientes armnicos esfricos como polinomios en x, y y I : (a) rP, (cos e) (b) rPll(cos e) cos 4 (c) 13P32(cos e) sen24. 206 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier 2. Hallar P3( t ) utilizando los supuestos siguientes: que es de grado 3, que es ortogonal a 1, r y t2, 3. Hallar la mejor aproximacin, por mnimos cuadrados, de cosnt en el intervalo (- 1, I ) en fun- 4. Demostrar que la introduccin de coordenadas elpticas t , 7 tales que y que P, ( t ) = 1. cin de un polinomio de grado dos. I NDI CACI ~N: Expresar el resultado en funcin de Po, P, y P,. x = a cosh 5 cos r) y=asenhtsenr, hacen el problema separable. Escribir el problema de autovalores asociado con las funciones separadas X ( ) e Y (7). 44. Ecuacin de Laplace en la esfera Consideremos el problema de valores de contorno (44.1) en una esfera de radio R. de Fourier: Para resolverlo por separacin de variables desarrollemosf(0, 4) en una serie doble n e) + Z ( anm COS m+ + b,,, senm4)Pnm(cOs O) , m = 1 I donde bnm= (2n + 1 ) ( n - m ) ! f( e, 4) Prim (cos e) sen m4 sen Oded4. [Hemos utilizado (43.9)]. La solucin formal del problema es entonces (44.2) ~ ( r , e,+) En lugar de intentar la justificacin de (44.2) directamente, deduciremos y justifi- caremos la correspondiente fhmul a integral. Segn la ecuacin de Parseval podemos escribir (44.2) como sigue 44. Ecuacin de Laplace en la esfera 207 (44.3) donde (44.4) con tal que esta serie converja en media. Para un n fijo la funcin (44.5) tiene la propiedad de que [ K, ( B, 4; 8, +) rl ~l m( cos 8) ( a cos m+ + b sen m$) senedBd6 rnPnm(cos O) ( a cos m4 + b sen m+) para 1 = n ={o para 1 #n. (Esta relacin resulta de la ortogonalidad de las funciones (Prim (cos O) sen m$, Prim (cos O) La ecuacin de Laplace da $1 (1 - 1) relaciones lineales entre los Q (I + 1 ) (I + 2) coeficientes de un polinomio homogneo de grado I. Por consiguiente, existen 21 + 1 polinomios armnicos de grado 1 linealmente independientes. Esto significa que cual- quier polinomio homogneo de grado I que es solucin de la ecuacin de Laplace puede escribirse como una combinacin lineal de 10s 21+1 armnicos esfricos rlPI (cos O) cosrn4 y Y~P~ (cos O) sen m+. El ncleo K n (O, 4; g, 6) tiene la propiedad de reproducir todos los polinomios armnicos homogneos de grado n, y reduce los de otros grados a cero. Puesto que la rotacin de los ejes coordenados transforma un polinomio armnico homogneo de grado I en otro semejante en las nuevas variables, el ncleo K n debe ser invariante frente a tal rotacin. Esto es, si las nuevas coordenadas polares son r, O, d, tenemos K, (O, 4; e, 4) = K, (O, $; O, 4). En particular, podemos girar nuestras coordenadas de modo que el nuevo eje z pase por (r, O, 4); esto es, de modo que O = O. Por definicin P, (1) = 1. Por otra parte Pnm ( t ) con m 2 1 tiene un factor (1 - t2)mz, de manera que Pnm (1) = O, para m 2 1. Por lo tanto K, (O, 4; e, $) = (2n + 1) Pn ( COS 8)/4zd, y cos m$}, y (43.9)).
(44.6) donde e es el ngulo que forman las direcciones (O, 4) y (0, 6): cos 8 = cos e cos 8 + sen e sen8 cos (+- 3). Sustituyendo la identidad (44.6) en (44.4), encontramos 208 Teora de Sturm-Liuuville y desarrollos generales de Fourier K( r , 8, 4; R , 8,$) = - X (2n + 1) 1 " 477 o (44. 7) Para calcular la serie, consideremos un caso especial de la solucin (44.2). Ya hemos observado que la expresin [ ( x - x o ) 2 + ( y - y0l 2 + ( z - zo)21-1/2 es una solucin de la ecuacin de Laplace excepto en (x,, y,, z,). En particular, si pone- mos x, = y, = O y zo = p > R, tenemos una solucin de la ecuacin de Laplace en la esfera r 5 R. En coordenadas polares viene dada por (F + p2 - 2rp cos @)-1' 2. Esta funcin, y por tanto tambin sus valores en el contorno r = R, son independientes de $. Obtenemos as la serie solucin Para calcular los coeficientes &o, ponemos 8 = O en el primer miembro. Obtenemos que es vlida para r <p. Recordando que P, (1) = 1 y comparando coeficientes, encon- tramos que Tenemos as la identidad vlida para r <p. (Esta identidad puede usarse para engendrar los armnicos esfricos rnPn (cos O) desarrollando el primer miembro en una serie de Taylor en r ) . Puesto que resulta de (44.7) y (44.8) que As, la solucin dada por la frmula (44.2) es equivalente a la integral 44. Ecuacin de Laplace en la esfera 209 donde cos 8' =cos Ocos B+s enOs enBcos ( +- $) , de modo que ir2 + R2 - rR cos g)1/ 2 es la distancia desde el punto (r, 8, 4) al ( R, e, 4). Sta es la frmula integral de Poisson en tres dimensiones. Es fcil comprobar sustituyendo en la ecuacin diferencial (44.1) que R2 - P (r2 + R2 - 2rR cos 8')3/ 2 satisface la ecuacin de Laplace para r < R. Adems sus derivadas primeras y segundas respecto a r, 8 y + son continuas en 8 y 6 mientras r < R. Resulta que sif(6, ,$) es cual- quier funcin absolutamente integrable, (44.9) da una solucin de la ecuacin de Laplace. Con el razonamiento empleado en la seccin 25 podemos demostrar que si f es ab- solutamente integrable, la funcin u (r, O, +) definida por (44.9) para r < R y por f(8, +) para r = R es continua en todos los puntos del contorno en los que f (8, +) es continua. Por tanto la funcin u definida para r < R bien por la integral (44.9) o la serie equivalente (44.2), es la solucin del problema de contorno sif(0, 4) es continua. Poniendo r = O en (44.2) (44.9) encontramos que el valor de u en el centro de una esfera es el valor medio de u ( R, 8, +) sobre la superficie de la esfera. Tenemos as un teo- rema del valor medio para funciones armnicas tridimensionales. EJERCICIOS 1. Hallar la soluci6n de la ecuacin de Laplace (44.1) para r < 1 tal que u = 2 +yz para r = 1. 2. Hallar la solucin de la ecuacin de Laplace (44.1) para r < 1, para la cual u = $ para r = 1. 3. Hallar la solucin de la ecuacin de Laplace (44.1) para r < 1, para la cual u = e" para r = 1. 4. Resolver el problema de conduccin del calor en la esfera au at - - V2u=0 para r < 1, t > O , - 0 para r = 1, au a r -- u( r , e, +, O) =f ( rr 8, 4). INDICACI~N: Separar variables, y poner R ( r ) = r-l/zS (r). 5. Resolver el problema de vibracin en la esfera " V Z ~ = O para r < I , t > O, at2 ~ ( r , e, +, 0) =AT, e,4), au - ( r, e, +, o) = o. at u = O para r = 1, (ver la indicacih en el problema 4). 2iii Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier 6. Resolver v2u = o para r < 1 , - = g ( 0, +) para r= 1, au ar donde JI" g ( e , + ) seneded+ = O. Sea U =O en r =O. Qu ocurre si esta integral no es nula? 45. Ecuacin de Poisson y funcin de Green para la esfera Consideremos el problema (45.1) a2!!+"+" 2 au 1 (senos) + l 2 - arz r ar r2 sen e ae F( r , 8, +) para r < R , U( R, e, 4) = o. Desarrollemos u y F en serie de Fourier en P,"' (cos O) cos m 4 y PC* (cos O) sen m+. Esto es, tomemos su transformada finita de Fourier: (45.2) Tomando la transformada finita de Fourier de la ecuacin diferencial e integrando por partes llegamos al sistema I I 2 n( n + I ) anm + -an,' - r r2 2 r r2 anm = " A n , , unm( R) = O, anm acotada b,," + -brim' - n ( n + = "B,,, b, , ( R) = O, b,, acotada Estos problemas tienen las soluciones (45.3) unm( r) =I " Gn( r , 7)Anm(F)72dF, bnm( r ) = 1 Gn( r , F)Bnrn(F)FdE donde 45. Ecuacin de Poisson y funcin de Green para la esfera 21 1 Si el problema (45.1) tiene solucin, sta es (45.4) u = {kanoPn(cos O ) + ( anm cos m+ + b,, sen m+) Pnm(cos O) , donde los anm y b, , vienen dados por (45.3). La serie converge uniformemente si n=O m=l I F2r2 sen OdrdOd4 es finita. En lugar de averiguar la convergencia de la serie derivada, sustituimos las definicio- nes de A, , ( r) y B,, ( r ) en (45.3), e intercambiamos formalmente la integracin y la suma en (45.4). Este proceso da la solucin formal (45.5) u( r , O, 4) =I " I" 1" G( r , 0, 4; 7, 3, $) F( ?, 8, $)Y2 senWdEJd$, donde para < r (45.6) -n o o con K, (O, 4; e, $) definida por (44.5). As pues de (44.6) (45.7) G( r , O, 4; r, O, 4) =- - " 4rR n=O donde (45.8) cos8' =cosOcosB+senOsenBcos(+-$). Para > r, debemos tan slo intercambiar r y 7 en esta frmula. r por y p por r. Luego r por rr/ R y p por R. Obtenemos la frmula Para calcular la serie (45.7) utilizaremos la identidad (44.8). Reemplacemos primero G( r , O, 4; F, 8, $) = - {13 + P - 2rF COS^'}-^/^ 1 4rr (45.9) - + + - - 2 - " rr cos 3t]-liZ 4rr R2 Sta es, entonces, la funcin de Green para i < r. La cual ya simtrica en r y r, de modo que la misma frmula es vlida para F > r, e incluso para = r. Observemos que G = O para r = R. Para comprobar que G es, realmente, una funcin de Green, utilicemos la definicin (45.8) de cos $. Introduciendo coordenadas rectangulares, (x, y , z) y ( 2, j , T) , encontramos que cos e' = x%' + y j + zZ. As que (45.10) 1 4T G =" ( ( X - X)2 + (y - y)2 + (2 - 2)2}-1/2 212 Teora de Sturm-Liouville y desarrollos generales de Fourier Es fcil comprobar que G es armnica excepto cuando (x, y , z) coincide con ( 2, u, I). El primer trmino .representa una carga puntual en (2, j , 2). El segundo es una (( carga imagen N en el punto exterior a la esfera. Con razonamiento anlogo al de la seccin 30 vemos que si F es deri- vable con continuidad, la integral (45.5) y por tanto tambin la serie (45.4) da una solu- cin del problema (45.1). Igual que en dos dimensiones, encontramos que la solucin del problema de valores de contorno V u = Q para r < R, u = f para r = R puede escribirse mediante la funcin de Green del siguiente modo Sta es la frmula integral de Poisson (44.9). EJERCICIOS 1. Resolver (45.1) cuando F =1. 2. Resolver (45.1) cuando F = .x2 +y2. 3. Demostrar que si F es independiente de 4 (esto es, axialmente simtrica), lo mismo le ocurre a u. 4. Resolver V2u = -F para r < 1, "+u=O au para r = l . ar 5. Resolver 6. Resolver V2u = -F para r > R, u = O para r = R , U -+O cuando r "f 00 haciendo R2 -+w en el Ejercicio 5. BIBLIOGRAF~A PARA EL CAPfTULO VI1 H. BATEMAN, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Dover, 1944, captulos VI, VII. R. V. CHURCHILL, Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, 1963, captulos 8, 9. E. A. CODDINGTON AND N. LEVINSON, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955, capitulos 7, 8, 9. 45: Ecuacin de Poisson y funcin de Green para la esfera 213 R. COURANT AND D. HILBERT, Methods ofMathematica1 Physics, Vol. I , Interscience, 1953, captulos 111, H. F. DAVIS, Fourier Serifs and Orthogonal Functions, Allyn and Bacon, 1963, captulo 4. E. JAHNKE AND F. EMDE, Tables of Functions, Dover, 1945. K. S. MILLER, Linear Differential Equations in the Real Domain, Norton, 1963, captulos I , 9. H . SAGAN, Boundarv and Eigenvalue Problenu in Mathematical Physics, Wiley, 1961, captulos V, VI, VII. G. N. WATSON, A. Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge, 1944. A. G. WEBSTER, Partial Differential Equations of Mathenratical Physics, Dover, 1955, captulos V11, VIII. v, VI , VII. . E. T. WHITTAKER AND C. N. WATSON, Modern Analysis, Cambridge, 1950. WEINBERGER - 8 - - C A P ~ T U L O VI I I Funciones analticas de una variable compleja 46. Nmeros complejos Consideremos nmeros de la forma x + i y, donde x e y son nmeros reales e i es el smbolo usual para representar j/x Consideramos i como un smbolo, de modo que el nmero complejo z = x + iy es simplemente un par ordenado de nmeros reales. El nmero x es la parte real de z: x = Re(z); el nmero y es la parte imaginaria de z: y ==Im(z). Hay que hacer notar que la parte imaginaria es tambin un nmero real. Es justamente el coeficiente del smbolo i. Igual que imaginamos el nmero real x como un punto sobre una recta, podemos pensar que un nmero complejo es un punto en un plano. Tomemos simplemente x e y como coordenadas rectangulares de z = x + iy. Esta representacin de los nmeros complejos se llama diagrama de Argand. Ejemplo. 't 3 ""_ 12+3i t I I I I - 3+i I I I t""-""" I i I 1 -2i Convenimos en omitir x o y si son cero. Esto es, x es lo mismo que x + Oi e iy es lo Decimos que dos nmeros complejos son iguales si y slo si ambos componentes mismo que O + iy. Ponemos O para el nmero complejo O + iQ. reales e imaginarios coinciden: 215 216 Funciones analticas de una variable compleja x + i y = a + i b significa x = a, y = b . As pues una ecuacin compleja equivale a dos ecuaciones reales. Tambin podemos asociar al nmero complejo z = x + iy el vector que va desde el origen al punto (x, y ) en el diagrama de Argand. ste es el vector de componentes x e y. Definimos la suma de dos nmeros complejos z1 = x1 + iyl y z2 = x, + iy2 como el nmero complejo cuyo vector asociado es la suma de los vectores asociados a z1 y a z2. Entonces (46.1) z1 + zz = xI + xz + i ( y l + y z ) . Dicho de otro modo, sumamos separadamente las partes reales y las partes imaginarias. Para definir el producto , exigimos la validez de las reglas usuales de la adicin y de la multiplicacin, y que i2 = - 1. Entonces ( x l + i yl ) (x2 + iy,) = ~1x2 + iylxz + ixlyz + ~ ~ Y I Y Z , O (46.2) ( x~+i y~) ( w+i y~) =x~x~- y~y~+i ( x~y~+y~x~) . Sta es nuestra definicin de multiplicacin. El producto (x1 + iyl) (x2 + iy,) es aquel nmero complejo cuya parte real es xlx2 - yly, y cuya parte imaginaria es xly2 + ylx2 Es fcil comprobar que esta definicin hace la multiplicacin conmutativa (esto es,. z1z2 = z2z1), y asociativa (esto es, z1(z2z3) = (z1z2) z3). Lo mismo ocurre con la adicin: z1 + z2 = z2 + zl, z1 + (z, + z3) = (zl + 2,) + ~ 3 . Adems podemos comprobar la ley distributiva ZI (ZZ + 23) = Zltz + 2123. De acuerdo con nuestras definiciones x + i y = ( x + i O) + ( O + i l ) ( y + i O ) , de modo que x + iy es la suma de un nmero real x y otro nmero real y multiplicado por i. Definimos la sustraccin as z1 - zz = z1 + (-1 )z2 = x1 - xz + i ( y l - Y Z ) . Entonces z = z1 - z2 es la (nica) solucin de 2 + 22 = 21. Anlogamente, queremos definir el cociente z = zl/z2 como la nica solucin de 22z=21. Escribiendo z, = x, + iyl z2 = x, + iy, z = x + iy, encontramos la ecuacin x2x - y2y + i(y2x + xzy) = x1 + iy1. 217 Este es un sistema de dos ecuaciones lineales con las dos incgnitas x e y. Tiene la solucin nica X = XlXZ + Yl Y2, x22 + yz 2 y1xz - Xl YZ, y = x22 +y22 a menos que x,2 + y: = O. Puesto que x, e y2 son reales, esto slo puede ocurrir cuando x2 = y2 = O, esto es, cuando z2 = O. Cuando z2 #O, la ecuacin (46.3) tiene la solucin nica z, que llamamos zl/ zz: (46.4) 21 - ( Xl X2 + Yl Y2) + i ( Y l X2 - Xl Y, ) * 22 XZ2 + y 2 Encontramos as que los nmeros complejos permiten todas las operaciones alg- Si ponemos z1 = 1 (=1 + io) en (46.4), encontramos bricas. Podemos operar igual que con los nmeros reales. - = -. 1 x2 - iyz 22 x22 + yz2 Podemos escribir entonces
21 1 22 22 - 21 El nmero 9 = x - iy se llama el complejo conjugado de z = x + iy. En el diagrama de Argand es el punto simtrico de z respecto del eje x. Y4 Encontramos que u= ( x + i y ) ( x - y ) = x z + f que es un nmero real no negativo. 218 Funciones analticas de una variable compleja Si introducimos coordenadas polares ( r , O) en el diagrama de Argand, tenemos x = r cos 8, y = r sen 0, de modo (46.5) z = r(cos 0 + i seno). Esta es la representacin polar de z El radio vector r es la longitud del vector que -7 representa: r = m . Se llama valor absoluto de z y se expresa por I z 1 : IZI = vYTjF Entonces (46.6) Por tanto El ngulo O en la representacin polar se denomina argumento de z y se representa por arg (z). Es el ngulo formado por el vector asociado a z y el eje x positivo. Natural- mente arg (z) queda determinado salvo un mltiplo aditivo de 2n. Podemos ahora escribir (46.5) como sigue (46.7) z = 1zJ [cos (arg (2)) + i sen (arg (z))]. Ya que - z = r(cos 0 - i seno) = r(cos (- 0) + i sen(-@)), encontramos que [ z I = 1 z 1, y arg (2) = - arg ( 2) . De las definiciones fcilmente se obtiene que (Zl + za) =z1 f . 2, (z1& = 2122, c i ) = z. La representacin polar es til en la multiplicacin. Si z1 = rI(cos el + i senO1), z2 = r2(cos ea + i sen$), tenemos 46. Nmeros complejos zl zz = rlrz (cos el cos 8, - sen e, sene,) + irlrz (cos el sen Oz + sen cos 0,) = rlr2[cos (e, + 0,) + i sen (O, + &)l . 219 As pues los valores absolutos se multiplican (46.8) IZlZZI = lz1Ilz21, mientras que los argumentos se suman: (46.9) arg (zlzz) = arg (zl ) + arg (22). Tambin resulta claro Insistamos en que los argumentos quedan definidos salvo mltiplos de 2n. Por ejem- plo, si elegimos O I arg (zl) < 2n y O I arg (zz) < 232, puede muy bien ocurrir que arg (zl ) + arg (z,) > 2n. Entonces la frmula (46.9) no es cierta si tomamos aquel valor de arg (zlzz) que est comprendido entre O y 2n. normalmente se escribira )x. No obstante, para hacer vlida (46.9), debemos escribirla )n + 2n=5/,n. Ejemplo. Si zl =- 1, z2 = - i, arg (zJ =n, arg (z2) =3/2n. Ahora (- 1) (- i) = i, cuyo argumento Consideremos ahora el valor absoluto de una suma de dos nmeros complejos. Po- niendo z1 = rl (cos 8, + i sen e,), z2 = rz (cos 8, + i sen O,), encontramos que I21 + ZZlZ = (Zl + zz) czl +a = ZlTl + ZZl + z& + ZZZ = rI2 + rIr2[cos (e, - e,) + i sen (e, - e,)] = rI2 + 2rlrz cos (e, - e,) + rZ2. + rlr2[cos (e, - e,) + i sen (e, - e,)] + r22 Hemos utilizado el hecho de que el coseno es par y el seno impar. Puesto que -1 5 COS (e, - e,) I 1, encontramos que (rl - r d 2 5 Jzl + z2I2 5 (rl + r2)?-. Luego (46.10) lZll - lzzl 5 Iz1+ zz I 5 (Zll f 1221. La segunda desigualdad se conoce como la desigualdad triangular. Si construimos el vector sumando geomtricamente, esa desigualdad establece que cualquier lado de un tringulo 220 Funciones analticas de una variable compleju es menor que la suma de los otros dos. Dicho brevemente, la menor distancia entre dos puntos de un segmento de recta. La primera desigualdad (46.10) es la misma desigualdad antes citada relativa al lado zI (1 z, I I I z, + z, I + I z2 1) con el trmino I z2 I transpuesto. Las frmulas de multiplicacin (46.8) y (46'.9) nos proporcionan una va fcil para conseguir las potencias de un nmero complejo. Si escribimos z en su forma polar z = r(cos e + i sene), tenemos z2 = P(cos 28 + i sen 20) , z3 = COS 36 + i sen 38) , zn = rn (cos no + i sen ne ) . Tambin podemos extraer races. Busquemos las soluciones w de (46.11) Wn = Z. Si z=r(cose+i senO), w=p(cos++i sen$), debe ser pn = rr COS n+ = COS e, sen n+ = sen 8. Una solucin de este conjunto de ecuaciones viene dada por p = rlin (raz real n-sima de un nmero positivo), (b = O / . . Esto es, No obstante, n(b slo queda determinado salvo un mltiplo de 23c mediante su seno y CO- seno. Podemos escribir igualmente 47. Series de potencias complejas y funciones armnicas 22 1 n+ = e -k 2~k, donde k puede ser cualquier entero positivo o negativo o O. Esto equivale a que arg z queda determinado salvo un mltiplo de 272. De este modo nuestra ecuacin se satisface si $I = (6 + 2nk)/n, donde k = O, f 1, f 2, . . . . Entonces (46.12) Aumentando k en n el argumento de w aumenta en 272 y por tanto no se afecta el valor de w. De ah que obtenemos todas las soluciones posibles de (46.11) tomando k = O, 1, . . ., n - 1 en (46.12). Hemos demostrado que un nmero complejo z #O tiene n races n-simas distintas. Un caso bien conocido es aquel en que n = 2. En este caso siempre tenemos \/z de modo que existen dos races distintas. Ejemplo. Hallar todas las races cbicas de 1: Puesto que 1 1 I = 1, arg (1) = O, encontramos w = cos- + i s en 3 k = O, 1, 2. 2nk 3 2ak De manera que w = 1, - 1/2+1/2rG -1/2- l/J/3i. - EJERCICIOS 1. Hallar todas las soluciones de 2. Hallar todas las soluciones de 3. Hallar todas las soluciones de 4. Demostrar que en la segunda desigualdad (46.10) vale el signo igual si y slo si los vectores z, y z, 5. Hallar + = - l . z2 = i. (z - 1)3 = - I. tienen la misma direccin. Cundo es vlido el signo igual en la primera desigualdad? (a) ( 3 + i ) + ( 7 - 2 i ) (b) ( 2+i ) ( 6+3i ) (c) (-1 - i) (5 + i) 3+i ( 4 7--i 6. Hallar (1 + i)12. 7. Comprobar que z1 (z2 + ZJ = zlzz + zlz3 para cualesquiera nmeros complejos zl, z, y z,. 8. Comprobar que zl (z2 z3) = (zl z2) z3 para cualesquiera nmeros complejos z,, z, y z3. 47. Series de potencias complejas y funciones armnicas Hemos visto que si z = r(cos e + i sene), 222 Funciones analticas de una variable compleja entonces zn = P(cos n8 + i senno). Poniendo x = r cos 8, y = r sen O de modo que z = x iy, tenemos la identidad ( ~+i y ) ~=r ~c os n8+i r " s e nn8. As pues r" cos n6' y r" sen nO pueden obtenerse como polinomios homogneos de grado n en x e y desarrollando (x + iy)" mediante el teorema del binomio, y separando las partes real e imaginaria. Por ejemplo, (x + i ~ ) ~ = x3 + 3iYy - 3xy2 - i y3, y por tanto 9 cos 38 = 9.- 3 g 2 , r3 sen38 = 3x2y - y3. Las funciones Y" cos nO y Y" sen nO son las soluciones de la ecuacin de Laplace bi- dimensional que obtuvimos en la seccin 24 por separacin de variables. Hemos demos- trado en la seccin 24 que si u (Y, O) es una funcin armnica (esto es, una solucin de la ecuacin de Laplace) en el crculo r S p. puede representarse en funcin de sus valores de contorno u (p, O) por medio de la serie (a, cos n8 + b, sen&). Si definimos los nmeros complejos encontramos que (ir ( a, cos n8 + b n sen ne) = Re [ Ca (:),I para n = 1,2, . . . (El smbolo Re representa la parte real). Examinemos la serie compleja. Con objeto de asignar significado a una tal serie, debemos definir primero el limite de una sucesin w n de nmeros complejos. Decimos que n + n hm w n = w si 41. Series de potencias complejas y funciones armnicas 223 n- 0 lim Iw - wnl = O. Este lmite ya est definido puesto que I w - w n I es una sucesin de nmeros reales. Separemos w y w n en partes reales e imaginarias: w = u + iv, wn = un + iv, . Ya que IW - wnl = d ( u - u n ) 2 + ( v - Vn ) 2 , mos que I w -- w n I tiende a cero si y slo si u - U, y v - vn tienden a cero. De modo 4ue " +m lim wn = w si y slo si ,I -+ ffi lim un = u y lim v q = v . n-+- Sabemos que una sucesin de nmeros reales U, tiene lmite si y slo si satisface el criterio de Cauchy. Esto es, si para cualquier e > O existe un entero N, tal que !urn - Un1 < E cuando m 2 n 2 Nt. Anlogamente v n converge si y slo si IVm - vnl < cuando m 2 n 2 Nt, con tal que elijamos N, suficientemente grande. Si se satisfacen esas dos desigualdades 1Wm- Wnl < f i e . As pues, si W, converge,l wn - w n I puede ser tan pequeo como se quiera eligiendo m y n suficientemente grandes. Recprocamente, si IWm - Wnl < E cuando m 2 n 2 Ne , lo mismo les ocurre a los nmeros I urn - un I y I v m - vn 1, y por tanto las sucesiones un y V , convergen. Vemos, entonces, que el criterio de Cauchy es vlido para las sucesiones complejas: La sucesin wn converge si y slo si para cualquier E' > O existe un nmero natural Ne tal que IWm- Wnl < E cuando m 2 n 2 N, . Definamos ahora si este lmite existe. Para ver si esto ocurre, aplicamos el criterio de Cauchy. Puesto que u (p, O) es acotada, sus coeficientes de Fourier a, y 6, son acotados. Luego 224 Funciones analticas de una variable compleja los nmeros cn = a, - ibn estn acotados: I c,, I I c. En virtud de la desigualdad trian- gular Eligiendo I z 1 < p y teniendo en cuenta que 2 1-1 converge, vemos que el criterio de Cau- m 2 " m o 1P I chy se satisface. Luego para I z 1 < p . Sus partes real e imaginaria con- vergen separadamente, y u( r , 6) = Re [i?] para I z 1 <p. De modo que, si u es armnica en un cierto crculo de centro en el origen, puede representarse como la parte real de una serie de potencias de z convergente dentro de ese crculo. Supongamos que u (x, y ) es armnica en el crculo (x - x$ + (y - yo)2 5 pz. Podemos hacer entonces un cambio de variables x' = x - xo, y' = y -yo para trasla- dar el centro (xo, yo) al origen. Poniendo zo = x. + iy,, encontramos u(x, y) = Re Z "(2 - z0)" . [:a: ] As que u es la parte real de una serie de potencias en z - zo convergente. Estudiemos ahora algunas propiedades de las series de potencias. Supongamos que la serie 2 d n ( z - z ~ ) ~ converge en el punto zI. Segn el criterio de Cauchy vemos que 1 d, (z - zo>" 1 debe tender a cero. En particular, I d, I 1 z1 - zo I n est acotado por un cierto nmero K independiente de n. Sea I z - zo I I a I z1 - zo I con O <a < 1. Entonces por la desigualdad triangular m O KQNl < - * 1" a Para cualquier E > O existe un N, independiente de z tal que para N, 2 Nl 2 N, el se- gundo miembro es menor que E . De ah que la serie converge absolutamente y uniforme- mente para 1 z - zo I I a I z, - zo 1. Puesto que a es un nmero cualquiera menor que 1, la serie converge absolutamente en todo el crculo 1 z - zo I < I z1 - zo,I. De la afirmacin anterior se deduce que si la serie diverge en un punto z, , debe ser divergente para todo z tal que I z - z0 I > I z, - zo 1 . Porque si fuese convergente en z, 47. Series de potencias complejas y funciones armnicas 225 lo sera tambin en zp. Por consiguiente existe un radio R (que puede ser cero o infinito) tal que la serie converge absolutamente para I z - zo 1 < R y diverge para I z - zo I > R. Este R se llama radio de Convergencia de la serie. La serie converge uniformemente en cual- quier crculo ms pequeo I z - zo I < nR con a < l . Puede ser o no convergente en los puntos de la circunferencia I z - zo I = R. Ejemplos. a) La serie zn converge para I z I < 1 pero diverge para I z I 2 1. M O M 2" b) La serie - converge en z = - 1 pero diverge en z = 1. 1 " m z" c) La serie C - converge para I z I I 1, y diverge para 1 z 1 > 1. Una serie de potencias 1 d n (z - z0)" define una funcin compleja de variable com- pleja z, que expresamos con la notacinf(z), en su crculo de convergencia I z - zo I < R. Ya que cada trmino de la serie es una funcin continua, y.la serie converge uniforme- mente para Iz - zoI I aR con cualquier a < 1 , encontramos quef(z) es continua para I z-zoI <R. 1 na M O Separemosf(z) en sus partes real e imaginaria f(z) = Y ) + w - 7 Y ) , y definamos si esas derivadas existen. Derivemos la serie trmino a trmino respecto a x. Puesto que a a ax ax -Zn - - - (x + = nz-l, obtenemos m Z nd,,(z - ~0)"". Tenemos que demostrar que las partes real e imaginaria de esta serie convergen unifor- memente, de modo que la derivacin trmino a trmino es admisible. Para demostrar la convergencia uniforme, elijamos cualquier nmero positivo a < 1, y sea z1= zo + aR. Entonces la serie def(z) converge en z = zl. Luego I d,, I I z1- zo I R I K para un cierto K. Para cualquier z tal que I z - zo 1 I a2R = u I z1 - zo I encontramos 1 Puesto que 1 naR converge para 1 a I < 1, esta serie converge uniformemente para I z - zo I I a2R con tal que O < a < 1. Luego, lo mismo es vlido para sus partes real e imaginaria. As pues la derivacin trmino a trmino da afjax para I z - zo 1 I u2R y O < a < 1. Obtenemos pues, 3f/3x para I z - zo I < R. Hemos demostrado que af/ax existe en todo el interior del crculo de convergencia de la serie. Anlogamente se demuestra que existe 226 Funciones analticas de una variable compleja y que puede obtenerse por derivacin trmino a trmino. Por tanto, Luego, Esta ecuacin compleja es equivalente al par de ecuaciones reales (47.1) Estas se llaman las ecuaciones de Cauchy Riemann. Las partes real e imaginaria de una serie de potencias deben satisfacerlas. Ya que ~f/ax = au/ax + iav/Zx y sL/+= &/ay + iav/+ se representan por series de potencias, podrn ser nuevamente derivadas. Prosiguiendo as encontramos que u y v son derivables indefinidamente para I z - Zo I < R. Derivando la primera ecuacin (47.1) respecto a x y la segunda respect0 a J ', encon- tramos La parte real de una serie de potencias debe ser armnica. Puesto que v (x, 13) es la parte real de - if(z), tambin es armnica. Hemos demostrado que u (x, y ) es armnica en un crculo de centro en el punto (x", y,) si y slo si puede representarse como la parte real de una serie de potencias de (z - z, ) convergente en dicho crculo. (Aqu z = x + iy, z, = x, + iy,). L a funcin v tal que u + i v es una serie de potencias se denomina la funcin armnica conjugada de u. Puede determinarse a menos de una funcin arbitraria de x integrando la primera ecuacin de Cauchy-Riemann (47.1) respecto a y . Esta funcin arbitraria puede determinarse a menos de una constante mediante la segunda ecuacin. As pues v queda determinada por u salvo una constante aditiva. Por tanto f ( z ) queda determinada salvo una constante imaginaria por el hecho de que u = Re [ f ( z ) ] . Luego Entonces Luego As pues, Entonces 48. Funciones analticas v = - p + 1 2 +(x). v = -(y2 - 2 ) + c. 1 2 227 EJERCICIOS 1. Hallar la funcin armnica conjugada de A. 2. Hallar la funcin armnica conjugada de (x2 + y 2) 2 ex2-yz cos 2xy. 3. Demostrar que el radio de convergencia R de la serie d, ( z - zO), viene dado por la frmula R = lim i nf Idnl-l/n. Por lmite inferior entendemos el mayor valor de R tal que para cualquier > O existe un N (E) tal que I dn I-l/n > R - E siempre que n > N (E). n-t- 4. Demostrar que si lim I d, l / l d,+, I existe, es igual a R. (Este es el cri t eri o del cociente). 5. Hallar el radio de convergencia de n - m 48. Funciones analticas Sea la serie de potencias 228 Funciones analticas de una variable compleja que converge para I z - zo 1 < R. Entonces u( x, y ) = Re [f(z] es armnica all. Si z1 es un punto cualquiera en el crculo de convergencia, el crculo menor I z - z1 I < R - - 1 z1 - zo 1 est contenido en I z - zo I < R. Por tanto, u (x, y ) es armnica en el crculo I z - z1 I < R - 1 z1 - zo I . Luego u (x, y ) puede representarse como la parte real de una serie de potencias de (z - zl ) en este crculo. Ya que la funcin conjugada v est determinada a menos de una constante por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, encontramos que f(z) = 1 d, (z - z0)'l difiere tan slo en una constante imaginaria de la serie de potencias de (z - zl). Por tanto f (z) puede representarse en el crculo 1 z - z1 I < R - 1 z1 - zo 1 como una serie de potencias de z - zl: oc. f(z) = Z dn"'(z - ~1)". O Una funcin complejaf(z) = u (x, y) + iv (x, y> de la variable compleja z se llama analtica en un dominio D si en todo crculo I z- z1 1 < p situado en D puede represen- tarse por una serie de potencias de z - z1 (*). Hemos demostrado que una funcin m f ( ~) = Z dn (Z - ZO)" O definida por una serie de potencias es analtica en el crculo de convergencia 1 z - zo I < R de la serie. Sif(z) es analtica, sus partes real e imaginaria satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann (47.1). Para la funcin analtica f(z) = Z dn(Z - ZO)" el valor comn de af/ax y de - iaflay viene dado por 2 nd, (z - z,Jn-l. Esta serie puede obtenerse aplicando la regla de derivacin formal d &(Z - Definimos la derivada defrespecto a la variable compleja z como el valor comn de af /ax y - iaflay : f'(z) _= "(z) = Z nd,(z - zo),-l. df - dz f' ( z ) es una funcin analtica en el mismo dominio. Se puede demostrar que (ver ejercicio 8). Ya que af/az = af/ax, las reglas usuales de derivacin subsisten. Esto es, (*) A veces se usa la palabra holomorfa en lugar de analtica 48. Funciones analticas 229 -v+ 8) =f' + g', d dz " Cf g) =f ' g +fg', d dz Tambin podemos definir las derivadas de orden superior de una funcin analtica. Si m f(z) = Z dn(z - ZO) " para (Z - Z O ~ < R, O tenemos 30 f ['l (~) = Z dnn(n - 1) * * * ( n - k + 1) (Z - ZO)"-' n = k para cualquier entero positivo k. Todas esas series tienen el mismo radio de convergencia. En particular, tenemos
Los coeficientes d k estn as definidos con unicidad por f (z). La serie de potencias de f puede escribirse La serie de potencias de (z - zo) para f ( z ) es su serie de Taylor en torno al punto z = z,,. Ya que f' ( z) = (&/ax) - i (aulay), podemos escribir Por consiguiente, podemos expresar todos los trminos de la serie de Taylor de f(z), salvo el primero, en funcin de las derivadas de u tan slo. De manera que,f(z) est de- terminada a menos de una constante imaginaria por u y todas sus derivadas parciales en el punto (xo, y,,). De otro modo, puesto que f ( z ) est determinada a partir de sus valores a lo largo de cualquier segmento y = cons- tante. En particular, si tenemos una funcin real + (x) de una variable real x que coincide con su serie de Taylor en torno a x,, en un cierto intervalo que contenga el punto xo: 48 Funciones analticas Segn nuestra detinicidn ei8 = cos 8 + i seno, de modo que la forma polar de z puede escribirse 23 I z = rei@. Ya que f ' ( z ) = tjflf/ax, las relaciones diferenciales entre funciones analticas que s on vlidas para z real tambin lo son para z compleja. Ejemplo. Sabemos que (d/dx) (e") =e7. Se deduce que (did?) ( P ) =P. Sea R el radio de convergencia de la serie de Taylor de ,f'(:) en torno ;(,. Si 1 z1 ---zo I c: < R, la serie deTaylor def(z) en torno z1 converge ciertamente para j:-z11 <; R---j:,-qI. Sin embargo, puede haber un radio de convergencia mayor R,. Entonces tenemos definida la funcin analticaf(z) en la reunin de los dos crculos j z- zo 1 < X y j z- zl ! - ~ X,. Hemos extendido f (z) como funcin analtica en un dominio mayor. Este proceso se co- noce como prolongacin analtica. Ejemplo. Si resolvemos el problema de valores iniciales ( l + x ) - + u = O para x 1 0 , du dx u(0) = 1 00 mediante series de potencias, obtenemos N (x) ~ ~ 2; (-- x)'?. Tenemos la extensin analtica de esta f unci h I J a f(z) = x (-2)". n=o Se ve fcilmente que su radio de convergencia cs 1. De este modo f ( z ) estii definida para 1 z 1 -: 1, y en particular u(x)quedaconocida para O -; x .: 1. Sumando las series correspondientes a /(&), /'O), . . . , encontramos la serie de Taylor f(Z) =x- - - Z" . " 2 2 o 3 [ 3( :)I" Su radio de convergencia es {. De este modo hemos prolongado f ( z ) al circulo 1 z - 5 1 6: +que es ex- terior al crculo original / z 1 . 1. En particular, tenemos ahora la solucin N (x) = f ( x ) para O <x *: 2. Mediante una succsin de crculos podemos cubrir cualquier punto del plano z distinto del z =~ 1 . Queda as definidaf(z) como una funcin analtica para z #1. De hecho, f ( z ) - ]/(I -t 2). En particular u (x) =l / ( I + x) para todo x 2 O. Sea R el radio de convergencia de la serie de Taylor de una funcin,f'(:) en torno ;L z = z,,. Entonces f ( z ) es analtica para I 2 --- zo 1 R. Supongamos que es posible pro- longar analticamente f(:) a un crculo ms amplio 1 z ~~- ; , ) I <' p con p :- R. Entonces u = Ref(:) es armnica para ~ z - zlb I < p . Luego es poqible escribir I I como la parte real de una serie de potencias de ( z -- z,,) para 1 z - 2" 1 =<p. Esta seric de potencias queda determinada por u salvo una constante imaginaria. Por consiguiente excepto para does la serie de Taylor deJ'(z). As pues la serie de Taylor de,/ (z) converge para 1 : I p, lo que contradice la definicin de su radio de convergencia R. Hemos demostrado que f ( z ) no puede prolongarse analiticamente ;I un circulo de centro io y mayor que el 1 z - zl, 1 < R. Resulta de ello que en alguna parte de l acircun- ferencia I z - z,, j r ~R existe un punto en el que ninguna prolongacin de f.(.) es analtica. Un tal punto es una singularidad def(z). El radio de convergencia R de l a serie de Tayl or de,/ (:I en torno a :,, es igual a l a dis- tancia de :,I a la singularidad de f ( z ) ms prxima. 232 Funciones analiticas de una variable compleja Ejemplo. La serie de Taylor ; (-l)"x2" n=O de la funcibn real 1/(1 + x2) converge para I x I < 1 pero diverge para x = 1, aun cuando 1/(1 +x2) es indefinidamente derivable para todo valor de x. La explicacin radica en la extensi6n de la funcin f(z) = 1/(1 + z2). Esta funcin es singular en z = i. Luego su serie de Taylor X (- 1)" zZn en tomo z = O tiene radio de convergencia 1 i - O 1 = 1. cc n=O Si R = 00, la funcinf(z) es analtica para todo z. Una tal funcin se llama entera. EJERCICIOS 1. Hallar las funciones analticas sen z y cos z que tienen la propiedad de que se reducen a sen x y 2. Determinar si son o no analticas las siguientes funciones cos x para z = O. Demostrar que sen2 z + cos2 z = 1. ( 4 f ( z ) = Z (b) f(z) = 2'- (c) f(z) = ze2. INDICACI~N: Utiiizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann (47.1). 3. Demostrar que 4. Demostrar que si f(z) es analitica, lim f(z + Az) --f(~) - m Az -f'(z). S. Demostrar que si lim f(z + Az) -f(~) -0 Az existe, deben cumplirse las ecuaciones de Cauchy-Riemann. INDICACI~N: Tomar A z real, y luego imaginario puro. (ver secci6n SO, Teorema 1) hallar el radio de convergencia de las series correspondientes a 6. Suponiendo que un cociente de polinomios es analtico excepto cuando el denominador se anula 7. Demostrar que la serie de Taylor de 1/(1 -I) en torno z = O es m "=O z 2". Deducir de ello la serie de Taylor para ]/(a-z)en torno z,, #a. Hallar el radio de convergencia de esta serie. INDICACI~N: ObdNese que -=- 1 1 1 . u - z a--o1 z-zo u - zo 49. Integrales de contorno y teorema de Cauchy 233 8. Escribir las funciones armnicas siguientes como partes reales de series de potencias de z = x + ir: (a) e" cosy (b) cosh x sen y (c) eZ2- ~* cos 2xy. INDICACI~N: Hallar la funcin armcinica conjugada, y considerar la serie de potencias cuando y = O. 49. Integrales de contorno J ' t corema de Cauchy Un conjunto de puntos D se llama conexo si dos puntos cualesquiera z1 y z, de D pueden ser unidos por una curva regular a trozos situada enteramente en D. Se llama abierto si a todo punto I,, de D corresponde un disco I z - zo I < p con centro en zo cuyos puntos pertenecen todos a D. El radio p puede depender tan slo de zo. Un conjunto CO- nexo abierto se llama dominio. < f (1 - 1 z,, I) tambin satisfacen I z 1 < 1. As pues 1 z I < 1 es un dominio. z = (1 + fp) zo satisface I z - z,, ~ <p. pero no I z I I 1. De modo que 1 z I 4 1 no es un dominio. puntos de la recta Re [z] = O. Por consiguiente no es conexo, y por tanto no es un dominio. Ejemplos. El conjunto 1 z 1 < 1 es abierto. Pues si I z,, 1 < 1, todos los puntos del disco 1 z - z,, I < El conjunto I z I I 1 no es abierto. Pues si I z,, I = 1, entonces para cualquier p > O el punto El conjunto I zz - 1 I < 1 es abierto. Sin embargo, contiene los puntos z = - 1 y z = I pero ?o los Sean u (x, y) y v( x, y) funciones continuas en un dominio D. Sea T una curva regu- lar a trozos situada en D y definida en la forma paramtrica x = x ( t ) , y = y ( t ) , to 5 t 5 t l , donde x ( t ) e y ( t ) son funciones del parmetro t continuas y derivables con continuidad a trozos. Definamos la integral compleja de lnea o curvilnea (49.1) Esta integral da un nmero complejo para cualquier funcin compleja (u + i v) y cualquier camino T. Su valor es independiente de la representacin paramtrica de T. Porque si introducimos un nuevo parmetro t = t ( t ) , todo queda reducido a reemplazar (dxldt) dt por 234 Funciones analticas de una variable compleja La integral curvilnea es lineal en el sentido de que si fl ( z) = u1 (x, 1, ) -+i v, (x, J .). 1, ( z ) :=u, (x, y ) ' iv, (x, J .), entonces cualesquiera que sean las constantes complejas y (L;z k, ( 4 + a&)dz = a1 I, f i dz + CY? hdz . En particular. si ponemos encontramos que Observemos que en donde .S es la longitud del arco de curva 1'. Tenemos as la desigualdad para integrales complejas de lnea. El segundo miembro es una integral real. Observemos finalmente que si invertimos el sentido de integracin a lo largo de r, se intercambian los lmites de integracicin t,, y I , en (49.1). Por tanto queda multiplicada la integral por (-- 1). Un camino C se llama contorno cerrado simple s i los puntos inicial y final de C coin- ciden, pero no coinciden ningn otro par de puntos de C. Esto es, c' no se corta a s mismo. Tomemos la longitud de arco S a lo largo de C como parmetro. Entonces &311& ( 1 1 11 ,,) so11 l os componentes de un vector unitario normal dirigido hacia la derecha de la curva en el sentido en el que ella es recorrida. Si consideramos un recorrido contrario 49. Integrales de contorno y teorema de Ccluchy 235 al de las agujas del reloj, dicho vector est dirigido hacia el exterior. La integra! J c 11!11;1 a lo largo de un tal contorno cerrado simple C en la direccitin contraria a !as aguj'ls 3cl reloj es Apliquemos el teorema de la divergencia y encontramos que donde D, es la regin interior a C. nes de Cauchy-Riemann Supongamos ahora que u y v son derivables con continuidad y satisf'acetl las c'cllacil,- au- av ay ax - " - en un dominio D que contiene C y Dl. Entonces el segundo miembro es celo. fIcn1oh demostrado: TEOREMA 1. Teorema de Cauchy. Si u (,x, y) y v ( x , 1.) son derivables con continuidad en un dominio D y satisfacen en l las ecuaciones de Cauchy-Riemann (49.3), para t odo contorno cerrado simple C situado en D cuyo interior pertenece tambin a D se verifica (49.4) Un dominio D es simplemente conexo si el interior de toda curva cerrada C' situada en D pertenece tambin a D. Si no es as D se llama mltiplemente conexo. Ejemplos. El anillo f < 1 z 1 -: 1 es mltiplemente conexo. Pues la curva 1 z I 2 est situada en este anillo, pero la regin z I t de su interior no. Igualmente el disco perforado O .'. I z 1 S-: I es multi- plemente conexo, pero j z [ < I es simplemente conexo. Supongamos ahora que Des simplemente conexo, y que i - i v satiddce lab ecuaciones de Cauchy-Riemann en D. Sea I' una curva regular a trozos situada en D quc une los dos puntos z, , y :: r: x =x ( t ) , y = y ( t ) para to c: t < t , , x ( t d + i y( t o) = zo, x ( t 1) + i Y( t l ) = z . Demostraremos que la integral depende de z y zo, pero no del camino I' que los une. Si I" es otro camino en D que une zo a z , sea C el camino cerrado obtenido yendo de z,, a z por I' y regresando por /". 236 Funciones analticas de una variable compleja 2 0 El contorno cerrado C puede cortarse a s mismo una o ms veces. Puede, sin em- bargo, descomponerse en un cierto nmero de contornos cerrados simples C,, C,, . . . , C k de modo que la integral alrededor de C es la suma de las integrales alrededor de C,. C,, . . ., ck. Puesto que por el teorema de Cauchy cada una de esas integrales es cero, encontramos que y por tanto (*) Si mantenemos fijo zo, podemos por tanto definir la funcin de z F ( z ) = U(x, y) + iV(X, y) = (u + i v ) dz , 6 donde la integral se calcula a lo largo de cualquier camino I' situado en D que une zo a z. Si elegimos el camino r de modo que su parte final est6 en la direccin del eje x, encon- tramos que Si elegimos la ltima parte del camino en la direccin del eje y , encontramos De modo que (49.5) 49. Integrales de contorno y teorema de Cauchy 237 Como que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (49.3), encontramos que a2u a2u -+-=o. ax2 ay2 Luego U debe ser la parte real de una funcin analtica. Puesto que U y V satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ( 4 9 3 , concluimos que F( z ) = u + iv es analtica. Hemos demostrado el teorema siguiente. TEOREMA 2. Si f (z) = u + iv es analtica en un dominio simplemente conexo D, en- tonces es tambin analtica, y F' (z) = f ( z ) . Obsrvese la semejanza del Teorema 2 con el teorema fundamental del cilculo. Notemos que la ecuacin F' (z) = f(z) define F ( 2) salvo una constante. Pues si tenemos una segunda funcin G (z) tal que G' (z) = f(z), las series de potencias de F y de G coinciden excepto en el trmino constante. Adems, hemos visto que la serie de potencias de una funcin analtica puede deri- varse trmino a trmino. Se deduce que si m f ( z ) = Z dn(Z - Z O ) ~ , su integral debe tener un desarrollo en serie de potencias de la forma F( z ) = a + 5 n + l ( z - zo m dn Esto es, la serie de potencias puede tambin integrarse trmino a trmino. Al deducir que F (z) es analtica supusimos tan slo que u y v eran derivables con continuidad y que satisfacan las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Entonces bajo estas condiciones F( z) , y por tanto tambin F' (z) = u + iv, es analtica. De la definicin de analticidad se deduce que u + iv es analtica en un dominio multiplemente conexo D si es analtica en todo subdominio de D simplemente conexo. Por tanto tenemos el siguiente criterio de analiticidad : TEOREMA 3. La funcinf(z) u (x, y) + i v (x, y ) es analtica en un dominio D si y slo si u y vwn derivables con continuidad y satisfacen en 61 las ecuaciones de Cauchy-Riemann (49.3). Nota: La hiptesis de que u y v sean derivables con continuidad es esencial. Las partes real e imaginaria de la funcin f ( 2) = con f ( 0 ) = O tienen derivadas parciales y b' 8 I-rrt~-iories ut~ulticus de unu variable conlpleja c,.,t;\fi1~4cn l a $ ecuaciones ti e Cauchy-Riemann en todas partes, No obstante, f ( z ) no es ilntinua. y por tanto no analtica, en z O. Lnc rcuaciones de Cauchy-Riemann (49.5) para U + iV fueron deducidas a partir (1- las hip6tesis de que u y v eran continuas y que (49.4) era vlida para todo C en D. \.YTKS entonces a partir del Teorema 3 que F( z ) = U 4- iV es analtica. Luego F' (z) = Si I) es multiplemente conexo, necesitamos tan s61o demostrar que u -i- iv es anali- ::, '1 en sus subdominios simplemente conexos. Hemos demostrado el siguiente teorema .-rlproco al del Cauchy: J-POREMA 4. Teorema de hforera. Sean LI (x, J.) y v (x, 1.) continuas en un dominio D. Si : 11 -; . i v tambin lo es. ( u + i v) dz =o para todo contorno ccrrado simple C contenido en D y cuyo interior pertenece a D, entonces \ I ! ( . Y. J .) iv (.Y. J .) es analtica en D. Si I I es armnica, l a funcicin aw1Xica. Vemoc entonces seghn el Teorema 2 que en un dominio simplemente conexo D caste una funcin analtica f'(z) tal que I%= lo que rcsulta que N = Ref(z). i KOREhlA 5. I.!na funci6n II ( x . J .) es armnica en un dominio simplemente conexo D si v d o si es l a parte real de una funcin analtica. Si U es multiplernente conexo. no podernos mantener la conclusin de que :< independiente del camino. Sin embargo, es an vlida en cualquier subdominio de D -,r,~iplemente conexo. En general, entonces, obtenemos funciones F( z ) cada una de las cuales cs analtica en un subdominio simplemente conexo, y que son prolongaciones de ;.;ida una de las otras. Podemos considerar esta coleccin de prolongaciones como una - ~ ~ ~ a funcin Fir) multiforme, es decir, a cada z le corresponden varios valores de F( z ) . Ejemplo. I a funcin 49. Integrales de contorno y teorema de Cauchy 239 es analtica en el dominio I z I > O. Este dominio es multiplemente conexo, puesto que el circulo [ z 1 =1 est contenido en D pero no lo est su punto interior z = O. Para hallar la integral indefinida de f, partimos de z = 1. Entonces donde tomamos como T un camino que partiendo de 5 = 1 va radialmente hacia 6 = 1 z 1 , y luego a lo largo del crculo 1 <1 = I z [ desde arg 5 = O hasta arg = arg z. Tenemos = log IzI + i arg z. De manera que F( z ) = logz = log IzI + i argz. Puesto que argz queda determinado salvo un mltiplo constante de 271, esta funcin no tiene un u l u ~ nico. En realidad, su valor depende de las veces que el camino r de 1 a z gira alrededor del origen. Si efectuamos un corte desde z = O a infinito para evitar cualquier giro, F( z ) es analtica en el resto del plano z. Si admitimos funciones multiformes, podemos decir que u es armnica en cualquier dominio D si y slo si es la parte real de una funcin analtica en D. Ejemplo. u = log (x2 + 3) es armnica para z #O. si u = Ref(z), encontramos que Luego u = Re (2 l ogz), y 2 log z es multiforme. Este hecho significa tan slo que la funcin conjugada Y = 2 arg z es multiforme aun cuando u es de valor nico. EJERCICIOS 1. Determinar si son o no analticas las funciones siguientes ( 4 e? (b) e2 (c) eez (d) x3 sen xy + iy3 cos xy. 2. Hallar las integrales indefinidas de ( 4 f(z) = 2 1 (b) f(z) = ez (c) f(z) = sen z. 3. Calcular 240 Funciones analticas de una variable compleja a) cuando r el segmento de recta que une U a 1 + i b) cuando F es la cpebrada formada por el segmento de eje x entre x = O y x = I , y el segmento 4. Calcular der ectax=l entr ey=Oey=l . a) cuando C es la circunferencia 1 z I = 1 b) cuando C es el borde de la regin cuadrada I x I < 1, I y I < 1 c) cuando C es la circunferencia I z + 2 1 = 1. Los contornos son recorridos en sentido contrario al de las agujas del reloj. 5. Demostrar que si u es arm6nica en un conjunto doblemente conexo D (esto es, un dominio que tiene un agujero) y si zo es un punto del agujero, existen una funcin f ( z ) analtica en D y una constante rea1 a tales que u = Re M z ) + a log ( z - zo)l. INDICACI~N: Demostrar que la integral desde un punto cualquiera z alrededor del agujero regresando a z de - - i - es independiente de z. Cul sera el resultado para un dominio con dos agujeros? aU aU ax ay 50. Composicin de funciones analticas Hemos demostrado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann (49.3) caracterizan las funciones analticas f = u + iv. Vamos ahora a dar varios procedimientos para engendrar funciones analticas a par- tir de funciones analticas. Si f, = u1 + iv, y f2 = u2 + iv, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es evidentemente que lo mismo ocurre con cualquier combinacin lineal a,fl ( 4 + aJz ( 4. Por derivacin podemos comprobar el hecho de que el producto f, (z) fi (z) tambin es analtico. Pues fdz = u1uz - Vl V2 + i ( Ul V , + UZVI ) . Ya que u1 + iv, y u2 + iv, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ( UI U, - VI VZ) - -(u1vz + UZV1) = -u2 + u1- - *lVz -VI a a a au2 avz ax ay ax ax , ax ax av + -v2 - U] + -v1 - up- = o, au2 av, aul ax ax ax ax y anlogamente a -(u,u, - VI V2 ) + ( Ul V2 + &VI ) = o. a ay ax Luego, f, ( z ) f z (z) es analtico. Tambin podemos comprobar que si f ( z ) = u + iv es analtica, lo mismo le ocurre a 1 u- i v siempre que f (z) + O. De modo que el cociente de dos funciones analticas es una funcin analtica dondequiera que el denominador no sea cero. -=- f(z) u2 + v2 Resumimos estos resultados en el teorema siguiente. 50. Composicin de funciones analticas 24 1 TEOREMA 1. Si f, (z) y f, (z) son funciones analticas en un dominio D, entonces a1 Y %* a) uJ, (z) + c+-& ( 2) es analtica en D cualquiera que sean las constantes (complejas) b) f, (z)fi (2) e$ analtica en D. c) fi (z)F, (z) es analtica en D excepto donde f, (z) = O. Ejemplos. Puesto que sabemos que los polinomios son analticos, inmediatamente podemos concluir que un cociente de polinomios es analtico excepto donde el denominador se anula. Por ejemplo, Z Z +Z +l ( z - l ) ( z - 3 ) es analtica excepto en z = 1 y z = 3. es analtica en el mismo dominio excepto en z = 1, donde log z = O. donden=O, &l , * 2 ,.... Nota: Puesto que las funciones analticas son las soluciones de las ecuaciones de Cauchy- Riemann, no es sorprendente que combinaciones lineales de funciones analticas sean analticas. El resultado notable es que los productos y cocientes de funciones analticas sean analticos. Supongamos ahora que f, (z) = u1 (x, y) + iv, (x, y) sea analtica en un dominio D, y que fz (6) = u, ( E , yi) + iv, ( E , yi) sea funcin analtica de 6 = E + iq en un dominio D* constituido por todos los puntos de la forma 6 =fi (z) con z en D. Consideremos la funcin compuesta Si definimos log z = log I z I + i arg z en el dominio cortado - n < arg z < n, entoncesf(z) = l/log z Tambin segun el Teorema 1 la funci6n f(z) = (z2 + l)/(eg- 1) es analtica excepto en z = h i , F( z ) =fi[.fl(z)l = UZ[Ul(X, Y), Vl(X, Y 11 + iVZ[Ul(X, Y), Vl(X, Y)] = U( x, y) + iV(x, y). Segn la regla de la cadena a - - auz au, au, av, avz au, avz av, ax ay at ax aq ax at ay a7 ay au, au, auz ay, + 2 ""-+"=o av, av, (2 aq)ay (2 at)ay 9 av, aul - ag(ax $)+%(Z+$) _" " ya que u1 + i v, y uz + iv, satisfacen ambas las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Anloga- mente encontramos -+-=o. au av ay ax Luego F (z) es analtica en D. Hemos demostrado: TEOREMA 2. Una funcin analtica de una funcin analtica es analtica. Ejemplos. Ya que 8 es analtica y iz son analticas, erir es analtica. Las combinaciones lineales (50.1) cos z = -(eiZ + e+) Y (50.2) 1 2 1 . sen z = - (et2 - e-= 2i ' 1 242 Funciones uruditicus de unu vuriable compleja >on analitcas. Pdra y =O, esas frmulas dan las definlciones usuales de cos x y sen x. Luego sus series de Taylor en torno z =O >on Tambin podemos extender las otras funciones trigonomtricas. Por ejemplo, definamos tan z = --, sen z cos z que e5 aualtica excepto cuando cos z = O. El coseno se anula cuando o 'I'ornando valores absolutos, vemos que debe ser cero. As que cos z :=O nicamente cuando z es real, e igual a (n +l/,)n,donde rr =O, 1, - 2, . . .. Luego tan z es analtica excepto en esos puntos. Definimos tambin las funciones hiperblicas (50.3) senh z. = - ( ez e .z), 1 2 Ddinamos ahora la funcin potencial zu para cualquier constante compleja a me- diante (50.4) zu E lug z La funci3n log z es analtica para z #O, pero es multiforme a menos que restrinjamos z a uil dominio simplemente conexo D que no contenga z = O. Esta restriccicin puede ha- cerse mediante un corte. Por ejemplo, si convenimos que ~ ~- 7t <' arg z -: z en la frmula log z =log 1 I" 1 -i i arg z , cortamos por el eje real negativo. Si es O < arg z < 2z, cor- tamos a lo largo del eje real positivo. Naturalmente son posibles otros cortes. La funcin z" es pues en general analtica en el plano cuando se hace un corte desde z -- U a z -=:X>. Si u es un entero, observemos que = I . Por tanto zn tiene los mismos lmitcs al tender z hacia el corte por un lado o por el otro. La funcin puede hacerse con- tinua admitiendo como valores de 3'' en el corte los citados lmites. Entonces segn el teorema de Morera resulta que z" es realmente analtica a travs del corte. Ejemplo. f(z) : z.2 $lag lzl+i am%) lz12@ am z, '[olL~G;mu5 ~- IT . . S arg z .: n de modo que exista un corte a lo largo del eje real negativo. Observemos que cuando z - x < O por encima o por debajo, f ( z ) + x2. Definamos f ( z ) = x2 cuando 2 =- X <- O. Si consideramos $, f ( z) dz a lo largo de un contorno C que atraviese el corte, podemos es- c:rib1r e: , donde C, es la parte superlor de C cerrada por un segmento del eje x orientado hacia la derecha. C, es la parte inferior de C, cerrada por el mismo segmento del eje x recorrido hacia la izquierda. Como f ( z ) es analtica por encima y por debajo del corte, y por consiguiente Segn el teorema de Morera resulta que f(z) es analtica en todo el plano. Anlogamente si a = - n, entero negativo, encontramos que f(z) = Z-n = e- R log es analtica en todo el plano excepto en z = O. Finalmente, si a = I/n, tenemos Zl/n = e1ln log z I z I 1/n&aw (zln). Esto coincide con la definicin de la raz n-sima de la seccirin 46. Existen n valores posi- bles de zlin que dependen de la eleccin del argumento. Una funcin analtica f ( z ) x u (x, y ) - t i v (E, y ) consta de dos funciones reales I: y v de dos variables x e y. Podemos considerarla como una transformaci6n de las coor- denadas (x, y ) pn las coordenadas curvilneas ( u, v): u = u(x, Y ) , v = v(x, y ) ~ Si definimos la variable compleja w = u -t iv, la transformacin se puede escribir w =f(z). Supongamos que en un cierto dominio D esta transformacin de coordenadas es propia en el sentido de que ninglin par (u, v) corresponde a dos puntos distintos (xl, J ,) 244 Funciones analticas de una variable compleja y (xz, y2). Esto es, suponemos que f(zJ # f ( z & con tal que z1 #z,. Entonces x e y estn determinados por (u, v). Podemos escribir x = x (u, v), y = y (u, v), o z = g ( w ) = x(u, v) + iy(u, v). sta es la transformacin inversa. La funcin inversa g (w) se define mediante la relacin ?(f(Z)) = z , que es vlida para todo z en D. Esta ecuacin compleja es equivalente a las dos ecuaciones reales x[u(x, Y), 4x9 Y)] =x, Y[U(X, Y), v(x, Y 11 =Y - Si las funciones x (u, v) e y (u, v) son derivables con continuidad, podemos derivar cada una de esas ecuaciones con respecto a x y a y mediante la regla de la cadena a axiau y axj av mediante las ex- con tal que el denominador no sea cero. Anlogamente el segundo par de ecuaciones da av 2= ax au av av au9 au ""- ax ay ax ay au " - Si el denominador no es cero. 50. Composicin de funciones analticas 245 Puesto que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, encontramos que ax/ & = ay/av, ax/ av = - ay/au. Por consiguiente, si el denominador no es cero, g (w) = = x (u, v) + iy (u, v) es una funcin analtica de w = u + iv. Asimismo por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, As pues el denominador se anula si y slo si f' (z) = O. Ese denominador es el determi- nante jacobiano de la transformacin. El hecho de que las funciones x (u, v) e y (u, v) son derivables con continuidad si ese determinante no es nulo se encuentra tambin en el teorema de la funcin implicita (vase cualquier libro de clculo superior). Observemos que Hemos demostrado TEOREMA 3. Si f (z) es analtica y f' (z) #O en D, y si f (zl) #f(zz) para z1 #z,, la fun- cin inversa g (w) es tambin analtica y g' ( w) =f%, donde w =f(z). Observacin: El teorema de la funcin implcita establece tambin que si f' (zo) #O, existe un crculo I z - zo I < p en el cual se satisface la condicin f(zl) # f ( z , ) para z1 #z, . De modo que la funcin inversa g (w) est definida y es analtica en un cierto entorno de f(zo). Sin embargo, el que en un dominio D seaf' (z) #O no evita quef('z) tenga el mismo valor en dos puntos distintos z1 y zz. Cuando esto ocurre, obtenemos una funcin inversa g (w) analtica de valores mltiples. Ejemplo. f ( z ) = eE es analtica para todo z, y f' (z) = eE #O. No obstante, dos puntos z, y z, que Definamos la funcin inversa g (w) = log w mediante log (e.) = z. difieran en un mltiplo hi dan el mismo valor a f ( z ) . Cualquier w #O podemos escribirlo en forma polar = l wl e i ar gw = el ogl wl +i amw. Poniendo z = log 1 w I + i arg w, encontramos log w = log (eI OgI wl+i mu)) = log J wI + i arg w. Esto est de acuerdo con nuestras definiciones previas de log w que se encuentran por integracin al ini- ciar el estudio de las series de potencias. Observemos otra vez que esta funcin es multiforme,delmodo que obtenemos una funcin analiticadeun solo valor restringiendo el dominio D de modo que no contenga ningn par de puntos z1 y z, que difieran en un mltiplo de hi. EJERCICIOS 1. Demostrar que f ( z ) = (za - 1)'Ia puede definirse de modo que s ea analtica en cualquier dominio 2. Demostrar que una solucin z = g ( w) de simplemente conexo dado, que no contenga los puntos z = 1 y z = -1. WEINBERGER - 9 I 246 Funciones analticas de una variable compleja z3+z2+z=w es analtica en cualquier dominio simplemente conexo que no contenga los puntos w = - (- 7 & 4i p). 3. Demostrar que la funcin f(Z) = (z2 - 1)1/2 definida por f (z) = etbs ( z - 1) +log ( z +1)1 con -?r < arg(z - 1) < ?r, -R < arg(z + 1)< ?r puede extenderse como funcin analtica a toda la regin exterior al segmento rectilneo - 1 < x < 1, y = O. 4. Hallar Re ( 2". 5. Hallar el dominio de analiticidad de cot z. 6. Hallar las partes real e imaginaria de zL. 7. Hallar todas las soluciones de la ecuacin sen z = 2. INDICACI~N: Obtener una ecuacin cuadrtica en ei2. 8. Hallar todas las soluciones de la ecuacin sen z + cos z = 1. 9. Expresar la funcin inversa w = sen-l z por medio de un logaritmo. 1 27 51. Series de Taylor de funciones compuestas Hemos demostrado en la seccin anterior que sumas, productos, y cocientes de fun- ciones analticas son analticas, y que funciones analticas y funciones inversas de funcio- nes analticas son analticas. Demostraremos ahora cmo se calculan las series de Taylor de las funciones compuestas por medio de las de las funciones originales. Sean m fi (z) = C an(Z - ZO) ~, m &(z) = Z bn(z - ~ o ) ~ las series de Taylor defi (z) yfi (z). Supongamos que ambas convergen para I z - zo I < R. Es claro que m atfr(z) + azfi(z) = C (&Ian + a z b n ) (Z - ya que las series convergen absolutamente. Consideremos ahora g(z) =f1(z)&(z). que posee una serie de Taylor m g ( z ) = C Cn( Z - Z O ) ~ , donde 1 n. Cn = +nl ( zO) . La regla del producto para la derivacin da n! Cn = - l : fi'ml(Zo~fi["-ml(Zo) n ! m=O m! ( n - m) ! 51. Series de Taylor de funciones compuestas 247 De este modo el coeficiente n-simo en la serie de Taylor de f, (z)fi (z) es simplemente la suma de todos aquellos productos de a k y bk cuyos Subindices suman n. Por ejemplo, ~o = aobo, c1 = aobl + albo, cz = aobz + ah1 + azbo. Observemos que cn depende tan slo de los ak y bh con k I n. Por tanto si deseamos calcular la suma parcial 2 cn ( z - z,,)", basta multiplicar los dos polinomios 2 Un ( z - zo)" N N N n=o O Y 2 6, ( Z - z0)n, y quedarse con los trminos que tengan potencias de ( z - zo) con expo- O nente N a lo sumo. Ejemplo. Hallar la serie de Taylor de la funcin 8 log (1 + z) en las proximidades de z = O, hasta los tbrminos en 9 . Tenemos ez=l +z+B +- +. . - 3 f 23 3! l og( l +z) =z- - +- - - ~* ~ P 2 3 2 3 cuando -n < arg (1 + z) < n. Multiplicando las dos series considerando hasta los terminosde segundo grado, tenemos (l+,+g)(z-g)=~+T-a. 2 2 4 Resulta entonces r l o g( l +z ) =z +~+. . * - P La funci6n es analtica excepto en el corte y = O, x - 1. Por tanto, la singularidad en las proximida- des de z = O est6 en z = - 1. Resulta que la serie converge para I z I < 1. Consideremos ahora el cociente Por definicin ~ I ( z ) =h ( t ) h ( z ) . Segn (51.1) obtenemos el conjunto de ecuaciones lineales (51.2) con las incognitas dm. Las primeras de esas ecuaciones son 248 Funciones analticas de una variable compleja bod0 = a@, bodl + bldo = al , bod2 + bl dl + bedo = a2. Puesto que deseamos que f, (z)& (z) sea analtica en zo, debemos suponer que bo = f, (zo) + o. Podemos entonces resolver la primera ecuacin en do: la segunda en dl: a - bldo - boal - blao dl = bo - bo2 ' y as sucesivamente. La ecuacin n-sima da dn-l en funcin de ar y bk con k n - 1. Podemos as hallar la serie de Taylor de f,& limitada a los trminos en (z- z,>" reemplazando las series de Taylor correspondientes af, yfi por los polinomios N N C an(Z - zo)" y C bn( z - ~0) " . El problema se reduce a la divisin de dos polinomios de grado N. El cociente queda es- crito en potencias ascendentes de z - zo, y los trminos hasta (z- zo).v proporcionan el resultado deseado. Ejemplo. Hallar la serie de Taylor de tg z = sen zjcos z' en z = O, limitada a los trminos en z3, Tenemos senz=z- - +. . . , 27 3 ! cos = 1 - - + - - . . . . z2 24 2! 4! Dividamos las series limitadas a z3: Z - 6 23 Z2 3 6 p=z+- +- +. 23 25 . . . 1 - 7 L Luego tanz=z+- +. . . . P 3 Ya que tg z es analtica excepto cuando cos z = O, esta serie converge para I z I < In. Consideremos ahora una funcin analtica de una funcin analtica. Tenemos F( z ) =f i ( f i ( z ) ) = ue(u1(x, y), Vl ( Xi y)) + iVZ(Ul(X, y ) , V I ( X , y ) ) . Mediante la regla de la cadena calculemos la derivada 51. Series de Taylor de funciones compuestas El empleo de las ecuaciones de Cauchy-Riemann relativas a fi (6) da 249 6 (51.2) Esta identidad es la regla de la cadena para funciones analticas. d [fiCfi(z))l =h cfi (z)l fi (z). dz Supongamos ahora que disponemos de la serie de Taylor m fl(z) = 2 an(z - zo) en torno a z = to, y m f i ( 6 ) C bn(6 - ~( zo) 1 en torno a ( =f ( z o) . Deseamos desarrollar F(z) =f, cf, (z)) en torno a z = zo: sc F(z) = Z Cn(t - ~ 0 ) ~ . O Segn las reglas de la cadena y del producto llegndose a frmulas similares para las derivadas de rdenes superiores. Vemos que clr depende nicamente de ak y bk con k I n. De este modo podemos otra vez calcular la serie de Taylor de F (z) hasta (z - z J N reemplazando f, (z) y f, (<) por los ( N + 1) pri- meros trminos de sus respectivas series de Taylor, y sustituyendo una en otra. Ejemplo. Calcular la serie de Taylor de ecos2 en torno B = O, hasta los trminos en 23. Tenemos f i ( z ) =cos,?= 1 --+ . 1 Z2 2 Sustituyendo, encontramos As pues, limitando el desarrollo hasta los trminos en 23, 2 Puesto que el y cos z son ambas funciones enteras, esta serie converger para todo z. 250 Funciones analticas de una variable compleja Consideremos finalmente la funcin inversa g (w) de una funcin dada f ( z ) . La funcin inversa est definida por (51.3) g [ f ( z ) l = z. Partimos de la serie de Taylor m f(z) = x an( z - z o ) n . Degeamos desarrollar g (w) en torno a u' =f (zo) mediante la serie de Taylor m g ( w) = z bn(w -f(zo))". Por definicin bo = gCf ( t o) ) = ZO. Segn la regla de la cadena en el campo complejo (51.2) g' W z o ) If' ( zo) = 1, 6 (Tenemos que suponer a, = f' (zo) #O). Aplicando nuevamente la regla de la cadena, tenemos g"cf(z0) ) f ' ( z o) 2 + g' Cf(Z0) V ( Z 0 ) = o, 6 b2ulz + blan = O. De modo que, Siguiendo de este modo, podemos encontrar cada coeficiente b, en funcin de a,, al , . . . , a,?. Para hallar N x bn(w -f(Zo))", tan slo es necesario sustituir el polinomio N 2 a,(z - z0)" correspondiente a w en el po.inomio N Z bn(w - ~ ( z o ) ) ~ , 52. Representacin conforme y ecuacin de Laplace 25 1 y elegir bo, b,, . . . , bay de modo que el polinomio resultante en z - z,, coincida con z hasta los trminos en ( z - Ejemplo. Hallar eb desarrollo de Taylor para sen-l w en torno w = O, hasta los trminos en w3. Desarrollando sen z en torno z = O, tenemos Seleccionamos la rama de senp1 w para la que sen" O = O. SenZ = -e+. . . . 3! Poniendo sen-l w = bo + blw + b z k + b3w3 + . . . 9 basta sustituir para encontrar Para conseguir que este desarrollo coincida con z debemos tomar bo = O, bl = 1, bz = O, b:, = 6' 1 De modo que, limitando el desarrollo hasta los trminos en w3, w3 6 sen-' w = w +- + . * . . La funcin sen" w es analtica en tanto que (d/dz) sen z =cos z #O. Por tanto la serie anterior con- verge para I w ! < 1 y diverge para I w 1 > 1. EJERCICIOS 1. Hallar la serie de Taylor hasta los trminos en z3 para 1/(1 - z) (2 - z) en torno z = O. 2. Hallar la serie de Taylor hasta los trminos z4 para sen2 z en torno z = O. 3. Hallar la serie de Taylor hasta los trminos en (z- 1)2 para ez* en torno z = 1. 4. Hallar la serie de Taylor hasta los trminos en (z - 1)3 para ez/(z - 2) en torno z = 1. 5. Hallar la serie de Taylor hasta los trminos en 23 para sen z/(l + ez) en torno z = O. 6. Hallar la serie de Taylor hasta los trminos en w3 para cos+ w en torno w = O cuando cos" O = 42. 7. Hallar la serie de Taylor hasta los trminos en w3 para la rama de la solucin z = g (w) de z3 + zz - - z = w para la que g (O) = O. Hallar el radio de convergencia de la serie correspondiente a g (w). 52. Representacin conforme y ecuacin de Laplace Sea u (x, y ) una funcin armnica. Deseamos introducir las nuevas coordenadas 5, mediante la transformacin de modo que siempre que u (x, q) sea funcin armnica de x e y , la funcin transformada sea funcin armnica de 5 y q. 252, Funciones analiticas de una variable compleja Segn la regla de la cadena encontramos El segundo miembro debe anularse siempre que En un punto particular, las derivadas aul ax, aulay, a2ul ax2, y a2ulaxay pueden tener valo- res cualesquiera. Por tanto, debe ocurrir que (52.1) Resolviendo las dos primeras ecuaciones respecto a axla6 y ax/@, encontramos que (52.2) Si elegimos el signo + en la primera ecuacin y el signo - en la segunda, tenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que establecen que z = x + iy es analtica en 5 = E + + ir. Si invertimos los signos, nuevamente hallamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero con la y reemplazada por - y. En cualquiera de los casos, las dos ltimas ecuaciones de (52.1) son consecuencias de (52.2). Hemos demostrado: La transformacin z =At;) convierte todas las funciones armnicas de x e y en funciones armnicas de 6 y 17 si y slo si f(5) o fx) es funcin analtica de 5 = 5 + hi . Puesto que el cambio de y en - y no es muy interesante, consideraremos tan slo las transformaciones z =f((), siendo f(<) analtica en 5. Si deseamos adems la pro- piedad de que toda funcin armnica U (6, 7) proceda de una funcin armnica u (x, y) mediante nuestra transformacin z =f((), entonces f(5) debe poseer funcin inversa analtica g (z). Necesitamos suponer entonces que f' (z) f O, y quef(53 #f ( C 2 ) siempre we #L . Hemos considerado z = f (0 como una transformacin de coordenadas. Podemos considerar (6, q) y ( x, y) como coordenadas cartesianas. Entonces z =f(<) asocia un " _-I 52. Representacin conforme y ecuacin de Laplace 253 punto z = x + iy del plano z a otro punto [ = t + iq del plano [. El proceso de aso- ciar puntos de ,una hoja de papel a puntos de la superficie terrestre se llama aplicacin o representacin. Por este motivo la asociacin de puntos z =f([) se llama representa- cin del plano [ en el plano z. Estudiaremos una tal representacin mediante una funcin analtica. Consideremos dos curvas en -el plano [, r,: 5 = a ( t ) y r,: 5 = b (t ), siendo a y b funciones derivables complejas de la variable real t . Supongamos que TI y rz se corten en el punto co = a (t o) = b (to). El ngulo que forman la curva r, y la direccin E es arg [a ( t ) ] . El que forman r, y la direccin E es arg [b ( t ) ] . Luego el ngulo que forman r, y rz en su interseccin en To es e = arg [ ar ( t o ) l - arg [ b ( t o) l = arg [ ar (t 0)bl (t o)] . Seaf([) una funcin analtica. Por la repr-entacin z = f (5) las curvas r, y I, se trans- forman en las curvas : z = f ( a (t )) y r,: z = f ( b ( t ) ) . EI ngulo que forman estas al cortarse en el punto zo = f ( C o ) es = e, con tal que f (c,) #O. De modo que una representacin z = f (5) siendo f ([) analtica y f ([) #O, conserva los ngulos. Por este motivo una tal aplicacin se denomina re- presentacin conforme. En particular, puesto que las curvas de nivel x (t, q) = constante e y (f, q) = cons- tante en el plano [ se transforman en las rectas ortogonales x = constante y = constante, aqullas se cortan bajo ngulos rectos. Asimismo las imgenes en el plano z de las rectas [ = constante y q = constante son ortogonales. Ya hemos demostrado que funciones armnicas se transforman en funciones arm- nicas mediante una representacin conforme. Supongamos ahora que tenemos una representacin conforme z =Y([) que trans- forma un dominio D* del plano [ en un dominio D del plano z, y la frontera C* de D* en la frontera C de D. Esto es, si [ est en D*, f ( [ ) est en D, y todo punto de D es de la forma f (5) perteneciendo [ a D* ; para C y C* vale una correspondencia anloga. Supongamos adems que la aplicacin z =y([) sea uno a uno. Es decir, ningn punto de D es imagen de ms de un punto de D*: f ([J #f ( Q cuando #c2. Sea D* un dominio tal que el problema de encontrar una funcin armnica U( E, 7) en D* con valores dados sobre C* pueda resolverse explcitamente. Por ejemplo, D* puede ser un crculo o un rectngulo. Queremos resolver el problema con la funcin u (x, y) dada sobre C. Consideremos 254 Funciones analticas de una variable compleja U(57 7) = u[x(5, T), Y ( [ , 7)1, f(5) = 4 5 3 77) + iY (5, 7 ) donde es la representacin conforme. Entonces - + - = O en D. a2u a2U ag" all2 Cuando (5, q) est sobre C* el punto (x (5, I , ) , y ( l , 7,)) est en C, y por tanto U est pre- viamente dada sobre C*. Por hiptesis, podemos resolver respecto a U (l , 7) . Segn el Teorema 3 de la seccin 50 existe una funcin inversa analtica g (z) tal que f[g(z)l = z . Hacemos uso aqu del hecho de que y(() es no slo analtica, sino que tambin f' (5) #O y que la aplicacin es uno a uno. Entonces u(x, Y ) = U[ t ( x , Y ) , T b, Y 117 donde d z ) =,$(x, Y ) + i i 7(x, Y ) . Hemos encontrado la solucin u mediante la representacin conforme z = f (5) y la repre- sentacin inversa [ = g (z), que es tambin conforme. Ejemplo. La representacin conforme z = e( transforma el rectngulo O < 6 <u, O i 7 < n en el seck . la corona circular D: 1 < IzI < en, O<argz<.rr. 't Nos proponemos resolver - a*u ax 2+ay z=0 8% en D, con u fijada sobre C. 52. Representacin conforme y ecuacin de Laplace Definiendo U([, q) = u(eP cosq, et senq), encontramos un problema en el rectiingulo para el que es posible la separacin de variables. Observemos que 5 = log IZI, r) = argz. 255 As que, [ y r) son en realidad coordenadas polares. El hecho de que D sea aplicado en un rectngulo indica que en las coordenadas (5, v), la separacin de variables se aplica tanto a las condiciones de contorno como a la ecuacin diferencial. [Como la funcin transformada U obtenida por una representacin con- forme verifica la ecuacin de Laplace, la ecuacin diferencial admite siempre la separacin de variables en las coordenadas ( E, $1. La funcin de Green para el crculo I 5 I < 1 se estudi en la seccin 30. Empleando la notacin compleja puede escribirse en la forma = I l o g ~ ~ - ~ l ) + - l o g l l - ~ l l . 1 27r 27r Sea 5 = g (z) una representacin conforme uno a uno de un dominio simplemente conexo D del plano z en el crculo I 5 I < 1. Consideremos la funcin (52.3) G(x, y; XI , YI ) =-2;; log Ig(Z) - g(Z1) I + 1% I1 - g(Z)g(Zl) I ) donde z = X + iy, z1 = x1 + iyl. Desarrollando g (z) en serie de Taylor, tenemos - 1 1 La ltima serie tiene el mismo radio de convergencia que la correspondiente a g (z). Luego representa una funcin analtica. As pues la funcin [ g (z) - g (z,)]/[z - zl ], definida como g' (z,) para z = z,, es analtica en D. Adems, puesto que g es una aplicacin uno a uno, 1g(z) - g (z31/[z - zl l #0 en D. Podemos pues escribir 1 G(x, y ; XI, yl) =-T;; log I Z - ZlI 1 47r =" log [(x - X d 2 + ( Y - Yd 2 1 + y . La funcin y es la parte real de una funcin analtica. (Observemos que I g (z,) I < 1, I g (z) I < 1, de modo que ninguno de los argumentos de los logaritmos se anula.) Luego v 2 y = o. Si z est sobre la frontera C, I g (z) I = 1, y por tanto 256 Funciones analticas de una variable compleja (Hemos utilizado el hecho de que ( l / ei e)= e-i e = 3. )Por consiguiente G = O cuando (x, y) est sobre C. As pues V2y=0 en D. y = - log [(x - xo)2 + (y - yo)z] sobre C. 1 497 Segn la definicin, la funcin G definida por (52.3) es la funcin de Green para D. De manera que si conocemos una representacin conforme uno a uno [ = g ( z) de D sobre el crculo unidad, podemos encontrar fcilmente la funcin de Green para D. Podemos por tanto resolver problemas de contorno para ecuaciones de Laplace o de Poisson. Observacin: La representacin z =y([) debe ser conforme (esto es, y([) analtica, f' ([) #O) en D*, pero no sobre C*. Debe ser continua en D* + C*. Ejemplo. Consideremos la representacin z = ( 5 + y su inversa 5 = p / 2 - 1, donde e l e gi mos - - n<ar gz <- n. Ent onc e s f ' ( ~) =2( ~+1) #Opar a~5~<1, pe r of ' ( - l ) =0. El crculo I 5 I < 1 se transforma en el dominio D: 1 ~ ~ / ~ - 11' < 1. En coordenadas polares D se deine por r + 1 - 2rll' cos? < 1, 1 r < 4 c os 2p4 1 O D: r < 2 ( 1 + c o s O) . D es la regin interior de una cardioide. Observemos que la frontera presenta un punto cuspidal en z = O que corresponde a 5 = - 1, en el que f' = O. Hallamos la funcin de Green En coordenadas polares. esa frmula se convierte en 52. Representacin conforme y ecuacin de Laplace 257 Gsta es, entonces, la funcin de Green para la cardioide. La solucibn del problema de contorno (52.4) viene dada, de acuerdo con (30.15), por u(r, e) = -r $( r , e; rl , ely(el)dsl. Los componentes del vector normal unitario a la cardioide r - 2 (1 .+cos O) = O en las direcciones r y O son Entonces -= aG ----[(I 1 +c os el)-+-- aG sen B1 aG an 2 COSp3 1 arl rl 8th 1 r, =2(1+ cos^,) Tambikn De este modo la solucin del problema de contorno (52.4) es 258 Funciones analticas de una variable compleja Observemos que la representacin conforme [ = zliz - 1 es equivalente a la intro- duccin de las nuevas coordenadas fi sen 20 1 Y = arg 4 = sen-' con las que tanto la ecuacin diferencial como las condiciones de conto-mo son separables. Cualquier representacin conforme en el crculo unidad es equivalente a una tal trans- formacin de coordenadas. Observacin: Sif' (5) #O en D* pero existen puntos distintos y c2 tales quef([,) =f( t,), la funcin inversa g ( z ) es multiforme. Fcilmente se ve que esto ocurre tan slo si la ima- gen D es multiplemente conexa, de manera que el valor de g ( z) puede cambiar cuando z va variando alrededor de un agujero. Por consiguiente si D es simplemente conexo, cual- quier representacin conforme que transforme D* en D es uno a uno. (Es fcil demostrar que D* tambin debe ser entonces simplemente conexo). Una condicin de contorno de la forma &jan = h puede tambin ser transformada por una representacin conforme. Si la curva C en el plano z se escribe z = z ( t ) , tenemos la identidad (Obsrvese que Mediante la representacin conforme 5' = g ( z) , C se transforma en la curva C* : [ = g ( z ( t ) ) . Segn la regla de la cadena encontramos que si U (6, 7 ) = u [x (6, v), Y (55 4 1 9 52. Representacin conforme y ecuacin de Laplace 259 Entonces la derivada normal de U sobre C* viene expresada en funcin de la derivada nor- mal de u en el punto correspondiente de C por "" =". a,sI- 121;t Ig'l an 1 au Si &jan est dada, podemos encontrar avian. En particular, la condicin aupn = O se transforma en la W / a n = O. Ejemplo. Consideremos el problema La solucin de este problema describe el equilibrio del flujo de calor a travs de una viga curvada cuyos bordes estb aislados, y cuyos extremos estn sometidos a dos temperaturas distintas. La representacin ( = l o g z = l o g r + i B conduce este problema al problema sobre el rectngulo Este nuevo problema tiene evidentemente la solucin U( t , 7)) = d m . Volviendo a las coordenadas originales, tenemos la solucin u( r , O ) = O h . Nota: Si una representacin conforme z =f(<) de D* en D es continua en D* y su contorno C*, transforma este ltimo en el contorno C de D. Ordinariamente el mtodo 260 Funciones analticas de una variable compleja ms sencillo para hallar la imagen D de D* a travs de la aplicacin z =f([) consiste en determinar su contorno C como imagen de C*. Sin embargo es entonces necesario hallar la imagen de un punto interior de D* para ver.en qu lado de C est el dominio D. Ejemplo. Hallar la imagen del rectngulo O < 5 < 1, O < 7 < n mediante la representacin z = e-c. E1 contorno consta de segmentos de las rectas 5 = O, 5 = 1, 11 = O, 7 =n. htos se transforman en z = e-ig, esto es, IzJ = 1, -T < arg z O, z = e-l-ig, esto es, )zI = -, -T < arg z < O, z = e+, esto es, Irn z = O, lle < Re z < 1, I z = e-6-d ,esto es, Imz = O, -1 < Re z < -lb. El contorno C esta representado en la figura. Observemos que el punto = & + &ni se transforma en el z - ie"/a que es interior a ese contorno. As pues la imagen es el sector de anillo interi0r.a C. EJERCICIOS 1. Resolver el problema Vzu = 0 para 1 < r < e, O < e < T, u ( l , e) = U(@, e) =o, u( r , O) = 1, u( r , T) = O. 2. Resolver el problema W u = O para 1 < r e p , O < 6 < ~ , au e) =o, -(ea, e) = sen O, ar au u( r, O) = O, U ( f , a) =o. 3. Hallar la imagen D del circulo unidad I 5 I < 1 mediante la representacibn z = (5 + 2)', y la fun- cin de Green relativa a D. Escribir una frmula integral para la solucibn de un problema de contorno en D correspondiente a la ecuacin de Laplace. 4. Hallar la imagen del rectngulo - 4 2 < 6 < 4 2 , O < r) < 1 mediante la representacibn z = = sen 5. INDICACI~N: Emplkse la identidad sen2 5 + cos f = 1. 53. La transformacin bilineal 26 1 5. Hallar la imagen del rectngulo " n i 4 < E < 4 4 , - 1 < 7 < 1 mediante la representacin z = = sen 5. INDICACI~N: Utilcense las identidades sen2 E + cosz 5 = 1, ch2q - shzq = l . 6. Demostrar que si f ( C ) es analtica y f' (to) = O pero f" (to) #O, la representacin z = f([) duplica el ngulo de interseccin de las curvas quesecortan en Co. Qu ocurre sif'(co)=f" (co) =. . . =f(L")(&, )=O pero f l k ] (to) #O? INDICACI~N: Puesto que (d/dt) [f[a(/)]J/(d/dr) [f(b(r))] se anula en to, el lmite de su argumento cuando t + to tiene que encontrarse tomando sus derivadas respecto a t hasta encontrar un valor no nulo en to. 7. Si G (x, y ; x,, y,) es la funcin de Green para un dominio simplemente conexo D con singularidad en (x,, yl), mostrar como se puede construir la representacin conforme t = g ( 2) de D en I t I < 1 con g (z,) = O. Supngase que grad G #O. INDICACI~N: Escribir la funcin de correccin y como la parte real de una funcin analtica. 8. Si C = g (z) representa conformemente un dominio doblemente conexo D en un anillo 1 < 1 5 1 < R, y si G*([ , 7 ; E,, 7,) es la funcin de Green para el anillo, hallar la funcin de Green G (x, y ; x,, y,) de D. Demostrar que es la funcin de Green. 9. Si la representacin conforme uno a uno C = g (z) transforma el dominio D en I 5 I < 1, hallar la funcin K (x, y ; x,, y ] ) tal que una funcin armnica con valores dados sobre el contorno C de D venga dada por u(x, Y ) =Ic K( x , Y ; x17 YI ) U( XI , Y d &. INDICACI~N: Utilizar (30.15) y (52.3). Observese que - aG/an = 1 grad GI . 53. La transformacin bilineal Hemos visto en la seccin anterior que la representacin conforme nos permite resol- ver problemas de contorno por la ecuacin de Laplace sobre cualquier dominio que pueda representarse conformemente sobre uno de los dominios usuales. Observemos primero que la transformacin lineal (53.1) (=az+b transforma el segmento de recta S que une los dos puntos z1 y z2 en el S' que une 51 = az1+b Y 52 = az2 + 6. La pendiente de S es arg (z2 - zJ. La de S' es arg ( 52 - 51) = arga(z2 - z d = arg a + arg (22 - zl) . Aparece sumada la constante arg a. Dicho de otro modo, la transformacin hace girar todo segmento rectilneo S un ngulo de amplitud arg a. La longitud de S' es 152--511=lal I zz- zl l , de modo que S se dilata (o contrae) multiplicando por el factor constante I a I . Todo segmento de recta gira el mismo ngulo y se dilata multiplicado por el mismo factor. Luego todo tringulo se transforma en un tringulo semejante. Con mayor gene- 262 Funciones analticas de una variable compleja ralidad, toda figura geomtrica se transforma en una figura semejante. Esto es, crculos en crculos, cuadrados en cuadrados, etc. Si 1 a I = 1, no hay modificacin de longitudes, y por tanto las figuras se transforman en figuras congruentes. La transformacin (53.2) (=- 1 z se denomina inversin. Es evidentemente conforme excepto en z = O. Es til el convenio de incorporar al plano < un punto adicional llamado punto del infinito, y considerarlo como la imagen de z = O en la inversin (53.2). El plano <con ese punto se llama plano I: ampliado. Una inversin establece una relacin uno a uno entre el crculo unidad 1 z 1 I 1 y la regin exterior 1 [ 1 z I del crculo unidad en el plano [ ampliado. De este modo, el plano 5 ampliado consta de dos partes en correspondencia uno a uno separadas por la circunferencia 1 [ 1 = 1. Podemos imaginar el plano 5 ampliado como una esfera, la mitad inferior que corresponda a I 5 I > 1, la superior a 1 <1 < 1, y el ecuador a 1 ( 1 = 1. Si hacemos que la imagen del punto del infinito del plano z sea <= O, la inversin nos proporciona una transformacin uno a uno del plano z ampliado en el plano 5 am- pliado. Sea p un nmero complejo cualquiera y a y , 4 dos nmeros reales, siendo a@ < 1 p 1 2 . Si a #O, la ecuacin representa una circunferencia de radio y centro enp,la. Mediante transformaciones oportunas podemos poner la anterior ecuacin en la forma (53.3) c r ~ z ~ ~ - p z - p p t +p =o . Observemos que multiplicando a, ,9 y p por el mismo nmero real no se altera la circun- ferencia (53.3). En particular si a = O (53.3) representa una recta. Hablaremos de rectas y circun- ferencias como circunferencias generalizadas. Una recta es una circunferencia generalizada que pasa por el punto del infinito. Por la inversin ( = l/z la circunferencia generalizada (53.3) se transforma en (53.4) PI V - P5 - 5s + cy = o, que es una circunferencia generalizada en el plano c. Es una recta cuando B = O de modo que (53.3) pasa por z = O. Pasa por 5 = O cuando a = O o sea cuando (53.3) es una recta. Vemos, entonces, que la inversin transforma circunferencias generalizadas en cir- cunferencias generalizadas. En particular, transforma rectas que pasan por 2 = O (esto 53. LA transformacin bilineal 263 es, a = /3 = O) en rectas que pasan por 5 = O y circunferencias con centro en z = 0 (esto es, p = O) en circunferencias con centro en 5 = O. Sea z1 un punto cualquiera del plano z. Se dice que el punto zz es el inverso de z1 respecto a una circunferencia si ambos puntos estn alineados con el centro de dicha cir- 'I cunferencia, y el producto de las distancias de z1 y z2 al centro es igual al cuadrado del radio. Si la circunferencia es la representada por (53.3), el inverso z, debe satisfacer las dos ecuaciones reales Y arg(zl - 5) = arg(z2 - !)- Estas dos ecuaciones son equivalentes a la ecuacin compleja Multiplicando por u, vemos que z1 y z2 son puntos inversos respecto a la circunferencia (53.3) si y slo si (53.5) ffZIZ2 -321 - pzz + p = o. Si z, es inverso de zl , z1 es inverso de z, como puede verse tomando la compleja conjugada de esa ecuacin. Decimos que z1 y z, son puntos inversos respecto a la circunferencia (53.3) si satisfacen la ecuacin (53.5). Apliquemos ahora la inversin (' = l /z, y sean 5, = l / zl , c2 = l/z,. Entonces (53.5) se convierte en pi,& - p51 - 5 f z + ff = o. Vemos que cl y c2 son inversos respecto a la circunferencia imagen (53.4). inversos respecto a la circunferencia imagen. La inversin transforma puntos inversos respecto a cualquier circunferencia cn puntos 264 Funciones analticas de una variable compleja Observemos que si z1 = O, entonces z2 = ,!?/p. Luego, formalmente encontramos que el inverso de = 00 es Cz = F/Ll, que es el centro de la circunferencia (53.4). El centro de una circunferencia y el punto del infinito pueden considerarse como puntos inversos. Si a = O con lo que (53.3) es una recta, la relacin (53.5) que liga puntos inversos es -Fz1-pZ2 +p=o. Restando esta relacin de la (53.3) haciendo a = O, tenemos de modo que [ z - Z l l = ( z - zzl. Con lo que vemos que z, y z2 equidistan de todos los puntos de la recta (53.3). Esto es, son imgenes especulares respecto a esta recta. Sta es pues la definicin apropiada de puntos inversos respecto a una recta. Es evidente que la transformacin lineal [ = az + b transforma circunferencias ge- neralizadas en circunferencias generalizadas y puntos inversos en puntos inversos. Si combinamos transformaciones lineales con inversiones, esas propiedades se conservan. La aplicacin (53.6) (=- az + b cz + d se denomina transformacin bilineal (lineal fraccionaria o de Moebius). Si c = O, es pre- cisamente una transformacin lineal. Si c $1 O, tenemos ad a b - - [=-+-. c c z +d Con lo que la transformacin bilineal puede obtenerse tomando la transformacin lineal C 61 = cz + d, luego la inversin 53. La transformacin bilineal 265 y a continuacin una segunda transformacin lineal Vemos con la ltima transformacin que todo el plano z se transforma en un punto nico si bc - ad = O. Supondremos siempre que (53. 7) ad - bc #O. Hemos encontrado que la transformacin bilineal (53.6) es una representacin conforme uno a uno del plano z ampliado sobre el plano 5 ampliado que transforma circunferencias generalizadas en circunferencias generalizadas y puntos inversos en puntos inversos. La composicin de dos transformaciones bilineales nos da otra transformacin bili- neal. Pues si az + b tenemos - - (aa + b c) z + (ab + b d) . (ca + d c) z + ( c b + d d) Si los coeficientes de la primera aplicacin se representan por la matriz y los de la segunda por la matriz de los coeficientes de la aplicacin compuesta es la matriz producto de aquellas (:; :x: 5;). Puesto que el determinante de una matriz producto es el producto de los determinantes, la condicin (53.7) se conserva en la composicin de las dos aplicaciones. Si deseamos resolver (53.6) respecto a z en funcin de C, necesitamos una transfor- macin cuya composicin con (53.6) nos d la aplicacin idntica z = z. As que su matriz es la inversa 266 Funciones analticas de una variable compleja L(d -:). a d - bc -c Multiplicando todos los coeficientes por una misma constante la transformacin no varia. Luego podemos prescindir del factor fraccionario, y escribir dl - b -c( + a z = -. Se comprueba fcilmente que sta es la ecuacin (53.6) resuelta respecto a z. Puesto que la transformacin (53.6) tan slo depende de la razn de los coeficientes a, b, c y d, queda determinada mediante tres parmetros complejos. Podemos contar por tanto con la posibilidad de asignar su valor en tres puntos. Esto es, podemos asignar las imgenes el, 5, y c3 de tres puntos distintos cualesquiera z, , z, y z, . Una tal transformacin puede obtenerse resolviendo la ecuacin (53.8) (5 - 51) (52 - 53)= ( z - Zl) (zz - 5 ) (5-52)(51-53) (z-zz)(z1-z323) respecto a en funcin de z. Fcilmente se ve que este procedimiento nos da una trans- formacin bilineal que satisface (53.7) con tal que los puntos el, (, y (, as como los z, , z, y z3 sean distintos. Puede demostrarse adems que la aplicacin as obtenida es la nica transformacin bilineal que transforma z, , z, y z, en el, 5, y e,, respectivamente. Puesto que tres puntos determinan una circunferencia generalizada, puede encontrarse una transformacin bilineal que transforme una circunferencia arbitraria del plano z en una circunferencia dada del plano 5 eligiendo tres puntos zl, z, y z3 en la primera cir- cunferencia y haciendo que sus imgenes sean los puntos e,, c2 y c3 de la segunda. Ejemplo. Hallar una transformaci6n bilineal que transforme la circunferencia I z I = 1 en la recta Imt = O. Elijamos los tres puntos z, = 1, z, = i, z, = - 1 sobre 1 z ( = 1, y hagamos que sus idgenes sean = 1, t2 = O, tS = - 1 sobre Im5 = O. Entonces (53.8) ser Resolviendo respecto a t resulta -1z + 1 En general no estamos interesados en aplicar curvas en curvas, sino dominios en do- minios. Exponemos ahora un fcil mtodo para transformar dominios limitados por cir- cunferencias en otros dominios del mismo tipo. Una aplicacin conforme conserva los ngulos formados por curvas. En particular, una transformacin bilineal conserva el ngulo formado por la curva contorno y un radio perpendicular situado en el dominio. Los tres puntos zl, z,, z, sobre la curva contorno C original define un sentido sobre la misma. Es decir vamos de z1 a z, de modo que pasamos por z, . Supongamos que al reco- rrer C en el citado sentido, D queda a la izquierda. Con ello, el radio contenido en D forma un ngulo igual a Jpz con.la curva contorno C orientada. Transformemos C en C*. Los puntos imagen 12, l3 definirn un sentido sobre C*, y D* quedar a la izquierda. 53. La transformacin bilineal 267 En el ejemplo anterior hemos aplicado los puntos z1 = 1, z2 = i , z3 = - 1 de I z I = 1. &os definen sobre la circunferencia un sentido contrario al de las agujas del reloj, y el disco I z I < 1 queda a la izquierda de C. Los puntos imagen C1 = 1, c, = O, c3 = - 1 sobre Im 5 = O defi,nen un sentido de derecha a izquierda sobre esta recta. El dominio de la izquierda es el semiplano inferior. Luego la transformacin [=- z - i -iz + 1 transforma I z I < 1 en Im 6 <O. Si deseamos transformar I z I < 1 en Im 5 > O, podemos elegir los mismos z,, z, , z, , pero Cl = - 1, [, = O, 5' 3 - - 1 . - Una circunferencia tambin queda determinada por uno de sus puntos y un par de puntos inversos respecto a ella. Podemos as elegir z, y z2 como puntos inversos res- pecto a la circunferencia en el plano z y c1 y c2 como inversos respecto a la circunferencia en el plano c. Esto nos proporciona a menudo directamente la transformacin sin resolver la ecuacin (53.8). Ejemplo. Hallar una transformacin bilineal que transforme el disco I z 1 < 1 en el semiplano Im5 > O. Tomemos los puntos z1 = O, z2 = 03 como inversos respecto a la circunferencia I z I = 1, y el punto z, = 1 sobre ella. Transformemos z1 y z2 en los puntos fl = i, 5, = - i inversos respecto a la recta Im t = O, y el punto z, en el C3 = 03, sobre la recta. Obskrvese que zl esta en D y tl en DI. Puesto que z = 1 se trans- forma t = -, el denominador de la transforwcibn bilineal debe ser z - 1. Y como z = O se transforma en t = i, debe ser 6 = id = - i . Puesto que z = 00 se transforma en 5 = - 1, tendremos a = - ic = - i. Luego la transformacin es {=-. -iz - i 2- 1 Esta transformacin es di'stinta de la obtenida en el ejemplo anteprecedente. Llega- mos a la conclusin de que la transformacin no est determinada con unicidad por las dos circunferencias. Para investigar esta no unicidad, construimos la transformacin bilineal ms general de I z I = 1 en Im 5 = O. Los puntos inversos z1 = O y z, = 00 deben transformarse en un par de puntos in- versos C1 = a, & = . Un cierto punto z, = ei@ sobre I z I = 1 debe transformarse en = -. Vemos as que la transformacin debe ser de la forma La eleccin del nmero complejo a y del nmero real 8 es arbitraria. Si queremos que el disco I z I < 1 se transforme en el semiplano superior Im [ > O, debemos hacer que el punto z = O interior a I z I < 1 se transforme en un punto para el que Im [ > O. Puesto que a es la imagen de z = O, bastar exigir que Im a > O. Como aplicacin damos una deduccin sencilla de la frmula de Poisson. Queremos resolver un problema de contorno V2u = O para 9 +y" < R2 con u asignada sobre l a circunferencia I z 1 , = x2 + y2 = R2. 268 Funciones analticas de una variable compleja Sea z1 el punto en el cual queremos hallar u. Apliquemos el crculo 1 z 1 < R en el crculo unidad I 5' I < 1 de modo que la imagen de z1 sea 5' = O. Entonces el punto inverso z2 = R2/g, se transforma en el 5 = 00. La imagen de z3 = R sea C3 = 1. Estas condiciones determinan la aplicacin - " Z - Z l R ( %- R ) . 1- R' R- 21 La funcin U( 4 ) = U [ Z ( O l es armnica. Luego segn el teorema del valor medio Puesto que. I Fl - R 1 = 1 z1 - R 1, encontramos que En coordenadas polares z = Rejo, zl =pib, I dz I = Rd6. Entonces O Sta es la frmula integral de Poisson (24.12). EJERCICIOS 1. Hallar la imagen de la circunferencia I z - 1 I = 1 mediante la inversibn 1 2. Hallar la imagen de la recta x + y = 1 mediante la transformaci6n z + 1 5 =z-" 3. Hallar la imagen de la regin O < y < x - 1 mediante la inversin Representar los dominios en los planos z y C. 54. Ecuacin de Laplace en dominios no acotados 269 4. Hallar la imagen del dominio 4 - (y + < xe < 4 - ( y - mediante la transformaci6n 5. Hallar una transformaci6n bilineal que transforme el semiplano x + y > O en el circulo I 5 - 1 I < 1 6. Hallar una transformacin bilineal que transforme el circulo 12-21 < 1 en el semiplano I mc < O 7. Hallar la transformacin bilineal ms general que transforme el crculo unidad I z I < 1 en el 8. Hallar una transformacin bilineal que transforme el circulo 1 z + 2 [ < 2 en 1 5 I < 1 y el punto t = (z - 3i)/(z + 3i). Representar los dominios en los planos z y 4. crculo unidad 1 4 I < 1. z =" 1 enc=0. 54. Ecuacin de Laplace en dominios no acotados Es a menudo de inters fsico considerar la ecuacin de Laplace en dominio que se extiende al infinito. Por ejemplo, podemos considerar el flujo de potencial bidimensional a travs de un objeto finito en un depsito tan grande que pueda considerarse infinito. En este caso el punto del infinito forma parte del dominio D. TambiCn podemos considerar el flujo en un canal largo. En este caso, podemos.ima- ginar que los bordes del canal se prolongan al infinito. El punto del infinito, entonces, pertenece al contorno de D. En uno u otro caso, si zo es un punto que no est ni en D ni en su contorno, la apli- cacin bilineal (=- az+ b Z"Z0 transforma zo en el infinito, y por tanto transforma D en un dominio acotado D*. El pro- blema de contorno relativo a la ecuacin de Laplace en D se reduce a un problema de contorno en un dominio acotado D*, que entonces puede ser resuelto. La solucin es nica si le exigimos que permanezca acotada en el punto 5 = a que corresponde a z = 00. Si z = a es un punto interior de D (esto es, si D contiene la regin exterior de una cierta 270 Funciones analticas de una variable compleja circunferencia), el punto imagen 5 = a ser interior a D*. Luego la solucin U es con- tinua en tal punto. Resulta que la solucin u en el plano z tiene lmite cuando \ z I -+a, el cual est determinado univocamente por sus valores de contorno. Ejemplo. Consideremos el problema de contorno para la regin exterior de una circunferencia -+-=o a2u a% ax2 a y para 2 +y2 > 1, u=x+ 1 para 2 +y= 1, 1u 1 acotada La inversin <=- 1 z transforma este problema en este otro - a2u I a2u-o a p a92 para 22 + q2 < 1, U = t + l para p+q2=1, donde V( t , 9 ) = u [ x ( t , 9 ) . Y([, 1111. Este nuevo problema tiene la soluci6n nica U = E + 1. Por tanto I(=- xB:y+1. x&+ Esta funcibn resuelve evidentemente el problema original. La funcin u = x + 1 es tambi b arm6nica, y satisface las condiciones de contorno, pero no es acotada. La solucin u =- es la nica solucin acotada de nuestro problema. Tiene lmite 1 cuando x + y-+ 00. si z = 00 es un punto frontera de D, su imagen 5 = a ser un punto frontera de D*. LOS valores de contorno sern continuos en este punto nicamente si los valores de con- torno dados tienen el mismo lmite sobre todas las partes del contorno que tienden a infinito. En este caso u tendr el mismo lmite cuando 1 z 1 -+a en D. De lo contrario, U no tendr dicho lmite, pero satisfar no obstante un principio del mximo. Ejemplos. Consideremos el problema de contorno para el semiplano -+-=O para y >O, 2- 1 X2+1 a2u a% a 2 ay u(x, O) = u acotada La transformacin bilineal p - z +i transforma este problema en este otro 54. Ecuacin.de Laplace en dominios no acotados 27 1 Luego U = E , o Observemos que u (x, O) tiene limite 1 cuando x tiende a + M 0 a - M. En correspondencia, la ~ 0 1 ~ - Por otra parte, el problema cin u (x, y) tiene limite 1 cuando x2 + y2 + M. para y > O, para x 2 O tiene la solucin Aqu u (x, O) tiene los limites O en + M y n en - M. La solucin tiene limite distinto tan-' y/x a lo largo de cada recta radial y / x = const. En tres dimensiones, existen muy pocas representaciones conformes. No obstante, podemos comprobar que si la funcin U (5, 7, [) es una solucin de entonces la funcin Y , z) x - x0 - z - zo - u (x-xo)z+ (y-yo)*+ (z-zo)2' (x" Xo)' + ( ; - ; ) ' + (z-zo)" ( x - x o ) ~+~y - Yo ~* + (z-zo)2 - - V(x-xo)' + (y-yo)'+ (z-zo)2 es una solucin de -+-+-=o. a2u a2u a% ax2 ay2 a? De modo que la inversin x - x0 = ( x - xo)2 + ( y - yo12 + ( z - Z0)Z' Y - Yo 7, = (x - Xol 2 + ( y - y o) 2 + ( 2 - Z O Y ' z - zo = (x - + ( y - y,)' + ( z - zoIZ reduce un problema de contorno relativo a la ecuacin de Laplace en un dominio D a un problema anlogo en otro dominio D*. Si el punto (x" , yo, zo) no est ni en D ni en su contorno, entonces D* est acotado. Si U es una solucin acotada, li debe tender a cero as como l / I'x2 + y2 + z2 tiende a infinito. La solucin u ser nica si esta condicin se aade a las de contorno. Es. en 212 Funciones analticas de una variable compleja efecto, suficiente para la unicidad exigir que u tienda a cero cuando x2 + y2 + z2+ 00. Si el contorno se extiende al infinito, los productos de vx2 -+y2 + z2 por los valores de contorno de u deben estar acotados, de modo que los valores de contorno para U perma- necen acotados. Ejemplo. La esfera conductora x2 + y2 + z2 = 1 se eleva al potencial electrostatico uno con relacin a la tierra. Si consideramos la tierra muy lejos, podemos aproximar la funcin potencial mediante la solu- cin del problema a2u+a2u, a2u - o a 2 ayz a2 para X2+yZ+z2> 1, u=l Dara X2+y2+z2=1, Introduciendo la inversin 4=xl+y2+z2' X obtenemos el problema Su solucin es U( 5, 7, t) = 1. Por tanto la funcin potencial u es 1 Y , z) = vX2 + y2 + ?' La funcin u 1 satisface las dos primeras condiciones de nuestro problema pero no tiende a cero en el infinito. EJERCICIOS l . Resolver -+-=O para X2+y2>1, u = x para X2+y2=1, u acotada a2u a2u ax2 ay2 2. Resolver u(x, O) = - xl+1' X U acotada mediante una representacin en el circulo unidad. 3. Resolver 55. Representaciones conformes especiales u(x, O) = - x+ 1 xz u acotada utilizando la ?epresentacin 5 = zz seguida de una transformacin bilineal. 4. Resolver 273 -+-+-=O para xl +y2+zz> 1, a2u azu azu axz a? a f u=x para x2+yZ+z2= 1, u + O cuando x2 + y2 + z2 + m. 5. Resolver - +y+- =o azu a% a2u axz ay az2 para x2 + y2 + zz > 1, u =f(x, y , 2) para x2 + y2 + zz = 1, u+m cuando x2 + y2 + z2 + m mediante la inversin y la f6rmula integral de Poisson (44.9). 6. Resolver -+-+--O para z>O, a2u a2u a2u a 2 ay az2 - INDICACION: Invertir con centro en (O, O, - 1). 55. Representaciones conformes especiales Exponemos aqu algunas representaciones conformes que se utilizan con frecuencia y sus efectos sobre ciertos dominios. En el libro de H. Kober, Dictionary of Conformal Representations, Dover, 1957, se puede ver una amplia coleccin de tales representaciones. La funcin exponencial ez da una representacin (55.1) 5 = e z . Puesto que drldz = eZ# O, dicha representacin es conforme. Es uno a uno en cualquier dominio que no contenga dos puntos que difieran en un mltiplo de 27ci. Puesto que 151= ez, las rectas verticales x = constante se transforman en circunferencias con centro en el origen y radio ex. Como que 5 = Y , las rectas horizontales y = constante se transforman en rectas radiales arg 5 = constante. Si y aumenta en 257manteniendo x fija, volvemos al mismo punto en el plano c. La repre- sentacin (55.1) transforma la banda semi infinita - 00 < x < O, O < y < x en el semi- crculo / 5 I < 1, I m [ > O, y la banda infinita - 00 < x < w, O < y < ?c en el semi- plano I m ( > O. La representacin 274 - Funciones analticas de una variable compleja ( 55. 2) 4 = cosh z = -( eL + e-.) = cosh x cos y + i senh x sen y tiene la propiedad de que d[/ dz = O para z = nni, donde n = O, & 1, 6 2, . . . . ES con- forme tan slo en dominios que no contengan estos puntos. Es peridica de perido 2n respecto a y. Adems ch (- z ) = ch z. Luego la representacin es uno a uno sobre un dominio que no contenga dos puntos z1 y z, para los cuales z1 - z2 = 2nni con n = 1, 2, . . . , o z1 + z, = 2nzi, con n = O, 1, 2, . . . . 1 2 Observemos que As cada recta x = constante se transforma en una elipse con eje mayor ch x en la direc- cin 6 y eje menor 1 sh x [ en la direccin Y). Anlogamente, 5" v2 - "" cosz y senZ y 1. Por consiguiente la imagen de la recta y = constante es una hiprbola que corta el eje 5' en & cos y y cuyas asintotas son las rectas 5' = $: (tan y ) 7 . 1 1 k. y =constante si X > o, ch X y sh x son positivos, Por lo tanto ( est en el mismo cuadrante que eiu. Cuando y varia de O a 2n, t sigue una elipse que parte de ch x y regresa al misma punto. si O < y < ?p, COS y y sen y son positivos. Luego ( > O, mientras que VI tiene el mismo signo que X. Al variar X de - 00 a M, 5 sigue la rama derecha de una hiprbola en sentido ascendente. Para y = O la hiprbola degenera en un segmento de recta 7 = O, 5' 2 1 recubierto dos veces: una para - 00 <x 5 O y otra para O < x < a. Para y = n/2 la hiprbola 55. Representaciones conformes especiales 275 se convierte en el eje 11, y para y = ?G obtenemos el segmento 11 = O, 6 5 - 1 recubierto dos veces. Para x = O la elipse degenera en el segmento 11 = 0,- 1 I E I 1 tambin doble. As, la representacin (55.2) transforma la semibanda O < x < M, O < y < ?G en el semiplano q > O. (Obsrvese que un semiplano siempre se puede transformar en un crculo mediante una transformacin bilineal). Asimismo transforma el rectngulo O < x < xo, O <y < 7~ en la mitad superior de la regin interior de la elipse AL + = cosh2 x. senh2 xa 1, y el rectngulo O < x < xo, O <y < ni2 en la regin correspondiente al cuadrante su- perior derecho de esa elipse. Hemos visto que la representacin [ = ez transforma la semibanda - 00 < x < O, 0 < y < n en el semicrculo I [ I < 1, I m [ > o. Si la componemos con la transformacin bilineal z = ni - w, encontramos que 5 = eni-w = e-w transforma la banda O < u < a, O < v < n, donde w = u + i v, en el mismo semicrculo. Por otra parte, hemos visto que la representacin 2 = cosh w transforma la misma banda O <u < 00, O < v < n en el semiplano superior Im z <O. Si componemos la inversa de la primera transformacin con la segunda, obtenemos (55.3) z = -; ( 5 + i). Esta representacin transforma, entonces, el semicrculo I 5 I < 1, Im 5 > O en el semi- plano superior Im z > O. La representacin (55.3) es conforme en cualquier dominio que no contenga [ = O, o 5 = 1. Es uno a uno si el dominio no contiene un par de puntos inversos y 115;. Transforma la circunferencia unidad I ( I = 1 en el segmento de recta y = O, O I x I 1 contado dos veces. Efectivamente para 5 = eQ, z = - cos O. La regin interior del crculo unidad1 5 I < 1 es transformada en el exterior del segmento y = O, O I x I 1. El pro- blema de potencial para este dominio en el plano z resulta til en la aproximacin del flujo de potencial alrededor de un perfil de ala delgado, o un potencial electrosttico alrededor de un conductor delgado. El exterior de 1 C 1 > 1 se aplica tambin en el exterior del corte y = O, O I x I 1: Consideremos ahora una circunferencia de radio R < 1 en el plano 5. El contorno 5 = ReJ se transforma en As que 4x2 + 4y2 2 = 1. ($4- R) ($ - R ) 276 Funciones analticas de una variable compleja La regin interior 1 5' I < R se transforma en la exterior de esa elipse. La razn de los ejes de la elipse es (1 - R2)/(1 + R2), que puede hacerse igual a cualquier nmero comprendido entre cero y uno mediante una eleccin adecuada de R. Si resolvemos (55.3) con respecto a [, obtenemos la representacin inversa (55.4) 6 = -2 + (22 - 1) 1/ 2. Como poda esperarse de las consideraciones precedentes, esta funcin es bivalente es decir a dos valores, y tenemos que hacer una separacin de ramas. Hagamos primero un corte a lo largo del segmento y = O, - 1 I x I 1. La eleccin de la raz cuadrada para la que ( = -x + ] / x2 - 1 si z = x > 1 nos conduce a una representacin del exterior de ese corte en j 5' j > 1. La eleccin de 5 = - x - px para z = x > 1 nos lleva a una representacin en 1 [ 1 > 1. Tambin podemos tomar los dos cortes y = O, - 00 < x I - 1 e y = O, 1 I x < a, y definir (55.4) como funcin uniforme especificando que 5 = - x + i v G 2 para z = x, - 1 < x < 1. El problema fsico correspondiente es el de una pared plana con una hendidura. La aplicacin (55.4) aplica el dominio en el semiplano Im ( > O. Puede comprobarse esto examinando la imagen del contorno Im ( = O mediante la representacin inversa (55.3). Observemos que con la composicin de transformaciones bilineales con [ = ch z, podemos obtener las representaciones 6 = senh z = "i cos1 5 = cos z = cosh iz, Y 6 = sen2 = -cosh ( z + +) , (2 + ;). Como ltimo ejemplo consideremos la representacin (55.5) 5 = z", donde a es una constante real positiva. La representacin est definida por las ecuaciones I51 = M a , ar gi =aar gz . De manera que rectas radiales se transforman en rectas radiales y arcos de circunferencia con el centro en el origen en arcos de circunferencia tambin con centro en el origen. El ngulo formado por rectas radiales queda multiplicado por a. La representacin (55.5) es conforme para z #O. No obstante, salvo en el caso en que a sea entero, es una funcin multivalente, de modo que se han de separar las ramas. Si a > 1, varios puntos del plano z pueden transformarse en el mismo punto (, de modo que el dominio del plano z debe restringirse para convertir en uno a uno la representacin. Las propiedades ms importantes de la representacin (55.5) son que transforma el ngulo O < arg z < n/ a en el semiplano Im [ > O y el sector O < arg z < zl a, O < 1 z I < 1 en el semicrculo 1 5 I < 1, Im 5 > O. Ya hemos demostrado que la representacin (55.3) transforma el semicrculo en un semiplano, de manera que la composicin de esas dos 56. La integral de Cauchy y el teorema de Liouville 277 representaciones permite pasar de un sector circular cualquiera a un semiplano. Despus este dominio puede ser transformado en un crculo mediante una transformacin bilineal. La representacin particular con O < arg z < 27c transforma el exterior de la semirecta y = O, x 2 O en el semiplano Im [ > O. El dominio en el plano z es interesante al estudiar el potencial electrosttico cerca del borde de un conductor plano, o el flujo de potencial a travs de una pared plana semi-infinita. La representacin 5 = z@ tambin transforma el crculo 1 z 1 < 1 con un corte a lo largo del eje real positivo en un semicrculo. Es importante distinguir un crculo con un corte de un crculo sin l. Por ejemplo, en electrosttica el crculo con un corte representa UIP Wnductor cilndrico con un conductor extraplano insertado. EJERCICIOS 1. Hallar la imagen del disco I z I < 1 mediante la aplicacin cuando O < arg (z - 1) < 2 n , n < arg (z + 1) < n. 2. Hallar la imagen de la semibanda O < x < n/2, y > O en la representacin 5 = sen3 z. 3. Hallar la imagen del tritingulo recttingulo - x < y < x, O < x < 1 en la representacin 5 = 2. 4. Hallar la imagen del recthngulo O < x < n/4, - 1 < y < 1 en la representaci6n 5 = sen z. 5. Hallar una representacin conforme que transforme el semicrculo I z I < 1, Im z > O en el crculo 6. Utilizando los resultados del Ejercicio 5, resolver el problema. I 5 I < 1 de modo que - 1, i y 1 permanezcan fijos. a2u+l*+la2u=o a? r ar ? a82 para r < 1, u(l ,e)=sen8/(1+senO) para O < ~ < P , ~ ( 1 , e) = O para ?r < e < 27r. au INDIcACI~N: Obsrvese que la condicin i?U/i?y = O en y =O sobre un semicrculo puede satisfacerse am- pliando U como funcin par a travs de esa recta. 7. Demostrar que la imagen del semiplano I mt > O mediante la representacin es un cuadrado. El camino de integracin est& situado en Im w 2 O, y los argumentos de w, w - 1, y w + 1 se toman entre O yn. (&te es un caso particular de la apIicaci6n de Schwar~-ChristoffeI).1~~1c~c16~: Considrese el argumento de dC/dz cuando z est6 sobre el contorno Im z = O. 8. Mediante el resultado del ejercicio anterior, hallar una representach conforme del disco unidad I z I < l e n e l c u a d r a d o O< Re t < l , O< I m~ < l . 56. L a integral de Cauchy y el teorema de Liouville Se demostr en la seccin 49 que sif(z) es analtica en el interior y sobre un contorno cerrado simple C, entonces f c f ( z ) dz = O. 278 Funciones analticas de una variable compleja Supongamos ahora quef(z) sea analtica en el dominio comprendido entre dos contornos cerrados simples C y C' , siendo C' interior a C, y tambin sobre C y C'. No obstante, no es indispensable quef(z) sea analtica en el interior de C'. Esto es, el dominio en el que es analtica puede ser miltiplemente conexo. Cortemos el dominio D comprendido entre C y C' en dos dominios simplemente conexos Dl y D, mediante los segmentos de recta T I Y r2. Sea C, el contorno de Dl. Entonces Anlogamente si C, es el contorno de D, Si los dos contornos citados son recorridos en sentido contrario al de las agujas del reloj, encontramos que la integral sobre C, consta de las integrales de lnea siguientes: de iz- quierda a derecha a lo largo de TI, en el sentido de las agujas del reloj sobre la parte su- perior de C', de izquierda a derecha a lo largo de r,, y en sentido contrario al de las agu- jas del reloj a lo largo de la parte superior de C. Del mismo modo, la integral sobre C, consta de las integrales: de sentido contrario a las agujas del reloj a lo largo de la parte inferior de C, de derecha a izquierda sobre r,, en el sentido de las agujas del reloj. En la parte inferior de C', y de derecha a izquierda sobre r,. Sumando esas dos integrales, los sumandos relativos a T, y r2 se cancelan, y nos quedan slo la integral sobre C' en el sen- tido de las agujas del reloj y en el sentido contrario al de las agujas del reloj sobre C. Te- nemos as (56.1) en donde ambas integrales se calculan en sentido contrario al de las agujas del reloj. Dicho de otro modo, el valor de una integral de contorno no cambia si el contorno C se sustituye por un segundo contorno C' de manera que f' (z) sea analtica en el dominio limitado por C y C'. Esto nos permite simplificar el clculo de ciertas inte.grales de contorno. 56. La integral de Cauchy y el teorema de Liouville 279 Ejemplo. Hallar de a2 cos2 0 + b2 sen2 e Observemos que s i C es la elipse entonces cuya parte imaginaria es l a integral que deseamos calcular multiplicada por ab. Sea C' la circunferencia x = p cose, y = p sene, donde p es menor que a y 6. Entonces 4;r, +Z = e + i p sen e sen0 + i p COS 0 de = id8 = 27ri. Puesto que l/z es analtica excepto en z = O, tenemos Igualando partes reales e imaginarias obtenemos a2 cos2 e + bZ sen2 8 = O' sen 0 cos ed0 de 27r a2 cos2 e + b2 sen-2 e - ab - _. El ltimo es el resultado que deseamos. Supongamos ahora que f ( z ) es analtica en el interior de un contorno cerrado sim- ple C. Si zo es un punto cualquiera interior a C, la funcin es analtica dentro y sobre C, excepto en zo. Puesto que f ( z ) es analtica, su serie de Taylor converge uniformemente en cualquier disco I z - zo I I p situado en el interior de C. Sea C' una circunferencia I z - zo I = p interior a C. Entonces sobre C' 280 Funciones analticas de una\ variable compleja Esta serie converge aun uniformemente sobre I z - zo I = p. Por tanto la podemos integrar trmino a trmino. Puesto que (z - z ~ ) ~ - ~ con n 2 1 es analtica, su integral a lo largo de C' es cero. nicamente el primer trmino contribuye al valor de la integral, y encontramos que Siempre utilizaremos el convenio de que la integral a lo largo de un contorno cerrado Introduzcamos el ngulo O como parmetro sobre la circunferencia, de modo que simple se calcular en el sentido contrario al de las agujas del reloj. z = zo + peie, Zntonces = 2rri. As que $ f o d z = 27rif(zO). C' z - zo Luego tambin $ f o d z = 2rrif(z0). cz - z o Hemos demostrado : TEOREMA. (Integral de Cauchy). Si zo es un punto interior o un contorno cerrado C tal que f(z) es analtica dentro y sobre C, entonces (56. 2) Una consecuencia de este teorema es que I f(z) I no puede alcanzar su mximo en un dominio D en el quef(z) sea analtica a menos quef(z) sea constante. Para probar esta afirmacin demostramos primero que si I f(z) I es constante, f(z) es constante. Si 1 f(z) I es constante 56. La integral Luego segn las ecuaciones de de Cauchy y el teorema de Liouville Cauchy-Riemann 28 1 u--+V"=o v" u- =o. au av ax ax au av ax ax ste es un sistema de dos ecuaciones lineales homogneas con los incgnitas &/ax y aulay. En cada punto o bien el determinante - (uz + v2) = O en cuyo casof(z) = O; o aujax = avjax = O, y entonces segn las ecuaciones de Cauchy-Riemann &/?y = = ?viay = O. Puesto que f(z) y f' (z) son continuas, ambas posibilidades implican que f ( z ) es constante. Supongamos ahora que If(z) I alcanza su mximo en D y no es idnticamente cons- tante. Entonces debe existir un punto zo en D donde I f ( z ) I alcance su valor mximo, y una circunferencia I z - z,, I = p en D cuyo interior 1 z - z,, I < pest en D, y en donde exista un punto z1 = z,, + pe'o, siendo j f(zl) 1 < I f(z, 1 . Puesto que 1 f(z) 1 es conti- nua, I f(zo + pe"J I < I f(z,,) I para un intervalo a < 6 < b completo que contenga el. Ahora ser Ya que por hiptesis I f(z) I I I f ( z, , ) I en D y I f(z0 + pe'o 1 < I f ( z o) I para a < 6' < b, encontramos que Esto es una contradiccin, de manera que nuestra hiptesis no es vlida. Esto es, o I f ( z ) 1 no alcanza su valor mximo en D, o 1 f(z) I , y tambin por tanto f (z), es contante. Esto se conoce como el principio del mximo para funciones analticas. Si f ( z ) es analtica en un dominio D y continua en el conjunto que forman D y su contorno C, y si I f(z) I 5 M sobre C, entonces debe ser If(z) I < M en D a menos que f(z) sea constante. Si u es armnica en un dominio simplemente conexo D, existe una funcin analtica f (z) tal que u = Ref( z ) . Entonces eu = J &(z)(. El principio del mximo para funciones analticas implica ahora que si u, y tambin por tanto e", alcanzan su mximo en D, u debe ser constante. Si D es mltiplemente conexo, llegamos a la misma conclusin observando que una funcin armnica no constante no 282 Funciones analticas de una variable compleja puede alcanzar su mximo en cualquier subdominio de D simplemente conexo. De este modo salvo si u es constante, es estrictamente menor en D que el mximo de sus valores de contorno. Esto se llama el principio fuerte del mximo para funciones armnicas. Con- siderando - u en lugar de u, obtenemos un principio fuerte del mnimo anlogo. Supongamos ahora que C es un contorno cerrado simple en un dominio D en el que f ( z ) es analtica. Sea zo interior a C. Entonces en las proximidades de zo Si p es lo suficientemente pequeo de modo que C': I z - zo I = p y su interior estn dentro de C, la serie converge uniformemente en C'. Integrando trmino a trmino, en- contramos que Llegamos con ello a que $c, ( z $zo)2 = J6'" eiedO = O, mientras que Por tanto segn (56.1) $ a d z = 27rif' ( Z O) c ( z - zo> cuandof(z) es analtica dentro y sobre C. Del mismomodo podemos demostrar que para cualquier derivada es vlida la expresin (56.3) Obsrvese que (56.3) es el resultado de derivar (56.2) bajo el signo integral. ese crculo : Si f ( z ) es analtica para I z - zo I I p, debe ser tambin uniformemente acotada en f ( z ) I 2s M. Si tomamos como C la circunferencia I z - zo I = p en (56.3), encontramos que (56.4) 5 L. ! M 56. La integral de Cauchy y el teorema de Liouville 28 3 5 x "(CYp)" " M N+1 pn MCYNf ' 1-CY - --. Encontramos as una cota, en la que slo intervienen M y a, para el error cometido al aproximar f(z) mediante una suma parcial de su serie de Taylor. Observemos que si f(z) es analtika en un dominio D,,si I f(z) [ < M en D, y si la distancia de zo al contorno es R, la desigualdad (56.4) es vlida para todo p < R, y por tanto tambi6n para p = R. La anterior cota de error es entonces vlida con el valor a = I z - z, ]/R. Supongamos ahora quef(z) es entera (esto es, R = m), y quef(z) est uniformemente acotada para todo z: f(z) I M. Entonces (56.4) es vlida para cualquier zo y cualquier p . Tomando n = 1 y haciendo que p -+ 00 encontramos que f' (zo) = O para todo zo. As hemos demostrado: TEOREMA DE LIOUVILLE. Si f(z) es entera y I f(z) I est uniformemente acotada para todo z, la funcin f ( z ) es una constante. Dicho de. otro modo, el valor absoluto de una funcin entera no constante debe tender a infinito al tomar z los valores de una cierta sucesin de puntos. Puesto que e*/ @) son tambin enteras, podemos ,aplicar el teorema de Liouville a le'flz)l = etRe(f(z)). As que si f ( z ) no es constante, la parte real def(z) debe tender a + y a - 00 al seguir ciertas sucesiones de puntos. Por consiguiente, una funcin armnica no constante definida para todo par de va- lores de x e y debe tender a + 00 y - m para ciertas sucesiones de puntos. EJERCICIOS 1. Calcular mediante el teorema de la integral de Cauchy Separando las partes reales e imaginarias, calcular dos integrales reales. 2. Calcular en donde C es el rectirngulo limitado por x = O, x = 3, y = - 1, e y = 1. Utilizar este resultado para calcular dos integrales reales. 3. Calcular 4. Calcular 284 Funciones analticas de una variable compleja 5. Calcular 6. Demostrar que si f (z) es entera y si para un cierto entero k , m M, f (z) es un polino- mo de grado a lo sumo igual a k. I NDI CACI ~N: Utilizar (56.4). distancia desde (xo, yo) al contorno de D, entonces 1 + IZI 7. Aplicando (56.4) a ef ( z ) demostrar que si vzu = O y m < u < M en un dominio D, y si R es la 8. Obtener la serie de Taylor para (1 + z) 113 en torno a z = O hasta los trminos en 23, y acotar le 9. (Teorema fundamental del lgebra). Demostrar que cualquier polinomio error cometido en esta aproximacin cuando I z I I .). p (z) = a@ + al zn--l + . . . + a, de grado n 2 1 ( ao #O) tiene por lo menos un cero. I NDI CACI ~N: Aplicar el teorema de Liouville a f (z) = 1/ P (2). BIBLIOGRAFA PARA EL CAP~TULO VI11 L. AHLFORS, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1953. R. V. CHuncHILL, Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, 1960. E. HILLE, Analytic Function Theory, Vol. 1, Ginn, 1959. E. KREYSZIG, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 1962, captulos 10- 13. Z. NEHARI, Introduction to Complex Analysis, Allyn y Bacon, 1961. L. L. PENNISI, EIemenfs of Complex Variables, Holt, Rhinehart, y Winston, 1963: E. C. PHILLIPS, Functions of a Complex Variable with Applications, Oliver y Boyd, 1949. E. T. WHITTAKER AND G. N. WATSON, A Course of Modern Analysis, Cambridge, 1952. CAP T UL O IX * Clculos de integrales por mtodos de oaria ble comp lqa 57. Singularidades de funciones analticas Si zo es un punto de acumulacin de puntos z en los quef(z) es analtica, perof(z) no es analtica en zo, entonces se dice que este punto zo es una singularidad def(z). Para que sea analtica en zo, f(z) debe estar definida en un entorno 1 z - zo I < p de zo e igual a su desarrollo en serie de Taylor en l. Si f ( z ) no est definida en ningn entorno de zo pero puede hacerse analtica en dicho punto definindola tan slo en algunos puntos adicionales, decimos que zo es una singularidad evitable. Ejemplo. El cociente est definido y es funcin analtica para todo valor de z excepto en z = 1. Si definimosf(1) = 2, tenemos f(z) = z + 1, que es analtica para todo valor de z. Luego la singularidad en z = 1 es evitable. Ejemplo. Sea f ( z ) = ( ~" 2 ) ~. La funcin z':~ es multivalente, a menos que efectuemos una separacin de ramas. Si tomamos "x < arg z < x, la funcin z1"2 no est definida en el eje real negativo. f ( z ) = z2 excepto en el eje real negativo. Si definimos f(- a) = a2 para a 2 O, tenemos f ( z ) = z2, que es analtica para cualquier valor de z. De modo que (2':~)~ tiene singularidades evitables en todo el eje Im z = O, RezL O. Si zo es una singularidad de f(z), pero f'(z) es analtica para O < 1 z - zo I < p y un cierto p> O, zo se denomina una singularidad aislada de f(z). Ejemplos. l / z tiene una singularidad aislada en z = O. Por otra parte, si tomamos -x < arg z < x, $/ a no est definida a lo largo del eje real negativo. Luego su singularidad en z = O no es aislada. Consideremos una funcinf(z) definida en un dominio D como cociente de dos fun- ciones analticas: no siendo h (z) idnticamente nula. Entoncesf(z) es analtica en D excepto en 10s puntos en los que h (z) = O. Supongamos que h (zo) = O. Ya hemos demostrado que una funcin analtica h (z) est determinada por los valores de h y de todas sus derivadas en un punto zo. Ya que h (z) no es idnticamente nula, por lo menos una de sus derivadas en zo debe ser distinta de cero. Sea la primera derivada no nula h@), de modo que h(Z0) = h'(z0) = . . . = h[""l(zo) =o, h'"l(Z0) #o. 285 286 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja Se dice entonces que h (2) tiene un cero de orden k en z,. Su serie de Taylor puede escri- birse As que donde es analtica en un cierto crculo con centro en z, y situado en D. Adems, Puesto que 17 (z) es continua, existe un nmero postivo p tal que Y/ (z) #O para 1 z - zo I < p . Luego h (z) #O, para O < I z - zo I < p . Hemos demostrado que los ceros de una funcin analtica son aislados (*). Resulta que es analtica para O < I z- zo I <p. Esto es, las singularidades de un cociente de funciones analticas son aisladas (*). Adems, tenemos El segundo miembro es analtico para z = zo. Luego (z - z,)~~(z) posee una singularidad evitable en z = z,. Definicin : f(z) tiene un polo de orden k 2 1 en z = z, si (z - z , ) ~ ~ ( z ) tiene una singularidad evitable en z,, en tanto que (z - ~,)~-l f(z) tiene una singularidad aislada no evitable en z,. Hemos demostrado que todas las singularidades de un cociente de dos funciones ana- lticas son polos (*). Si h (z) tiene un cero de orden k en z,, f(z) tiene all un polo a lo sumo de orden k. No obstante, su orden puede ser menor si g (z,) = O. En efecto, si g (z) tiene un cero de orden m en z, , podemos escribir g ( z ) = ( z - zo)my ( z ) 1 donde y (z) es analtica en D y y (zo) f O. Entonces (e) Estas afirmaciones se aplican tan slo al dominio comn de analiticidad de g y h, y pueden no cumplirse sobre su contorno, en donde g y h pueden tener singularidades de cualquier tipo. 58. Clculo de residuos 287 De manera que, si k > m, f ( z ) tiene un polo de orden k - m en zo. Si k I m, f(z) tiene una singularidad evitable en z,,. Si k < m y definimos f ( z O) = O, f(z) es analtica y posee un cero de orden m - k en zo. Ejemplos. z / ( z - 1)2 tiene un polo de orden dos (polo doble) en z = 1. sen z/(l -cos z ) tiene polos de orden uno (polos simples) en z = 2nn, n = O, & 1, i 2, . . . No todas las singularidades aisladas son polos. Una singularidad aislada que no sea un polo o una singularidad evitable se llama singularidad esencial. i 2, & 3, . . . de manera que z = O es un punto de acumulacin de esos ceros. Si existiera un k tal que zk sen (l/z) tuviera una singularidad evitable, entonces g ( z ) = zk+l sen (I/ z) con g (O) =O sera analitica para todo valor de z. No obstante su cero en z =O no sera aislado, lo cual est en contradiccin con lo demostrado antes. Luego zh. sen (l/z) tiene una singularidad no evitable en z = O para todo valor de k. Esto es, sen (l/z) tiene una singularidad esencial para z = O. Ejemplo. sen (Ijz) es evidentemente analtica para z #O. Posee ceros en z = 1 j(nn) n = * 1, EJERCICIOS 1. Hallar el orden del cero de (a) sen z en Z =T (b) 1 + COS z en z = T (c) sen z - z en z = O. 2. Hallar el orden del polo de (a) secz en z =-m (b) (c) 1 2 en z =O en z = O. sen z eLZ - 1 3. Demostrar que si f(z) tiene un polo en zo. lim if(z) I = + m. 2-20 4. Demostrar que si f ( z ) tiene un polo en z,,. I NDI CACI ~N: Considrese g ( z ) =l/f(z), y utilizar el teorema de Morera. I NDI CACI ~N: Utilizar el resultado del Ejercicio 3. y g (z) un cero de orden m 2 k en el mismo punto, entonces 5. Demostrar que tiene una singularidad esencial en z = O. 6. Demostrar la regla de I'H6pital para funciones analticas: si h ( z ) posee un cero de orden k en z, 58. Clculo de residuos En la seccin 56 demostramos que si f ( z ) es analtica sobre y entre dos contornos cerrados simples C y C', entonces 288 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja Supongamos ahora que f ( z ) sea analtica en un dominio D excepto en una singula- ridad aislada situada en el punto z1 de D. Entonces si C y C' son contornos cerrados sim- ples cualesquiera en D tales que z1sea interior a ambos, tenemos Puesto que C' puede tomarse tan prximo a z1 como queramos, el valor depende tan slo del comportamiento def(z) en un entorno de z1 arbitrariamente pequeo. Demostraremos cuan fcilmente se calcula esa integral cuando la singularidad es un polo. Supongamos primero quef(z) tenga un polo simple en zl. Por definicin, la funcin d ( z ) = ( z - Z l l f ( Z ) tiene una singularidad evitable en zl. Definamos +( z l ) = lim ( z - z l ) f ( z ) . Entonces +(z) es analtica en el interior de y sobre C. Luego segn la integral de Cauchy (56.2) 2-28 Encontramos as que si f ( ~) tiene un polo simple en zl, (58.1) f Cf ( z ) d z = 27ri lim [ ( z - z l ) f ( z ) l . 2-2, Recordemos que las integrales de contorno se calculan siempre en el sentido contra- rio al de las agujas del reloj. Ejemplo. Sea f ( z ) =l/sen z, y sea C la circunferencia I z I = f . . Entonces f ( z ) es analitica dentro y sobre C excepto en z = O, en donde tiene un polo simple. Puesto que lim L= I , z+o senz tenemos 58. Clculo de residuos 1 1 1 1 4 cos 0 sen y cos 0 cosh -rr sen 0 + sen0 cos 3 cos 0 senh y sen 0 ' se19(k cos O), + senh2 ($r sene) 2 dB = 4 289 Y sen0 sen -71 cos B cosh -n sen 0 - cos 0 cos -rr cos 0 senh -7r sen B 1 1 1 1 2 2 2 ) sen2 ( ! $r cos + senh2 (;rr !en@) ) dB = O. La segunda es evidente puesto que el integrando es impar para 0 = z. No obstante, el valor de la primera integral sera ms difcil de obtener por otro procedimiento. Sif(z) tiene un polo de orden k en z, , definimos +( z ) = (z - zl)'Y(z) para z Z ZI, +(zl) = lim (z - zdkf(z). e z , Entonces, 4 (z) es analtica en D. Segn (56.3) tenemos Esto es, $c f(z)dz = 27ri +[k"](Zl) (k- l ) ! ' O Ejemplo. Sea f(z) = I/sen2 z, C: I z I = +X. Entonces Con la serie de Taylor, encontramos que 2 (z sen z - z2 COS Z) = sen3 z f3 A Z 5 +. . . Luego el lmite es O. Por consiguiente, En general, el valor 1 27ri 290 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja donde C es un contorno cerrado cualquiera tal quef(z) es analtica dentro y sobre I ex- cepto en el punto z1 interior a C se llama residuo de f ( z) en zl. Para I se emplea la nota- cin !&, [f]. Hemos demostrado que si f ( z ) tiene un polo de orden k en zl, (58.3) No existe una frmula como la anterior para el residuo en una singularidad esencial. Si f(z) es el cociente de dos funciones analticas y si h (z) tiene un cero simple en zl, tenemos Entonces y por tanto en virtud de (58.1) O (58.4) As pues, el residuo def(z) en un cero slmple de 12 ( z) es precisamente g (zl),/h' (zl), Ejemplo. Si f ( z ) = l/sen 2, %,[fl = ___ = 1. 1 cos o En un polo de orden k, el residuo (58.3) es el coeficiente de ( z - z~)'~" en el desa- rrollo de Taylor de 9 (z) = (z - zl)"f(z). Si f(z) = g (z)/h (z), y h ( z ) = (2 - z , ) ~ ?/ (z). esa serie de Taylor puede encontrarse dividiendo la serie de Taylor correspondiente ag (z) por la de 71 (z). El coeficiente de (z - ZJ"~ en esa serie es el residuo, aun cuando g (zl ) llegue a ser cero. Recordemos que para hallar ese coeficiente, tan slo es necesario utilizar los trminos de las series de Taylor de g (z) y ?I ( z ) hasta la potencia ( z - zl)lc-l. Ejemplo. Hallar el residuo en z = O de f ( z ) = ez/(l - cos 2). Tenemos el =l +z +$+. . . 1- cos z =- - Entonces h (z) = 1 - cos z =z2rl (2). en donde Z2 2! 7(z) =--"$ 1 z2 2! 4! El residuo es el coeficiente de z en la serie de Taylor de ez/q (z). 58. Clculo de residuos 29 1 L! Con lo que El mismo mtodo dara tambin el residuo de sen z/(l - cos z) en z = O, aunque tal funcin tenga un polo simple en dicho punto. Supongamos ahora quef(z) es analtica dentro y sobre el contorno C salvo en los puntos singulares aislados zl, z, , . . ., zn. Dividamos el interior de C en n regiones limi- tadas por los contornos cerrados simples C,, C,, . . ., C,, de modo que el punto z, sea interior a C,, z, sea interior a C,, etc. Segn la definicin de residuo, $cLf ( z) dz, = 27ri!RtzL[fl, I = 1, . . . , n , en donde las integrales se toman todas en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Fcilmente se ve en el dibujo que cada lnea de corte TI., es recorrida una vez en un sentido y otra en el otro. Por consiguiente, las integrales a lo largo de tales lneas se reducen, y Hemos demostrado el teorema siguiente : TEOREMA. (Teorema del residuo). S i f ( z ) es analtica dentro y sobre C excepto en los puntos zl, z2, . . . , z,, interiores a C, entonces La importancia de este teorema radica en que sif(z) tiene nicamente polos, el pro- ceso de integracin puede reemplazarse por el paso al lmite (58.3). o, en el caso de un cociente con un polo simple en el denominador, por (58.4) 292 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja Ejemplo. = h i . Poniendo este resultado en forma real, tenemos Separando partes reales y partes imaginarias se obtienen los dos resultados siguientes El segundo resultado es obvio puesto que se integra una funci6n impar de 0 a lo largo de la circunferencia. Sin embargo, la primera integral seria de clculo ms complicado por otro procedimiento. Podemos siempre calcular la integral entre O y 272 (o de - 72 a n) de un cociente de polinomios en sen 0 y cos 0 poniendo z = cos 0 + i sen0 y considerando la integral como una integral de lnea a lo largo de la circunferencia I z I = 1. Entonces cos 0 = k(z + :), Haciendo las sustituciones indicadas, tenemos El polinomio denominador tiene ceros simples en z = - c J Z z , +z. Los dos primeros son interiores al contorno I z I = 1, los dos ltimos son exteriores. Utilizando (58.4) y el teorema del residuo (58.5), encontramos 58. Clculo de residuos 293 As que En virtud de la simetra del integrando podemos escribir O igualmente EJERCICIOS l . Calcular 3. Calcular 4. Calcular utilizando la rama "n < Im (log Z) < n. 5. Calcular donde bT a > O. 7. Calcular cos 0 dH I 1, 3 + cos 0 donde A es el numero dc ceros de / (-1 interiores a C, contando k veces l ob ceros de ordcn k. L; d~,j ! L,,j (-~O~: Hallar el residuo de un cero de orden h los CCI -OS de ordcn k se cuentan h veces cada uno. ur, Contorno C y si 1 I . Utilizando el resultado del E.jercicio 10, demostrar que un pulinomio de grado n. tiene n ceros si 12. Utilirando el resultado del Ejercicio 10, demostrar que si ./ (z) y g (z) son analticas dentro y sobre sr;bre C, f y 9 tienen el mismo numero de ceros dentro de C. (ste e$ el teorema de Rouch). I ~ P I C A C I ~ N : l>emostrar y utilizar la identidad sobre C. Obsirvese que si h ( z ) es analtica sobre C, 6 h (zj dz ==O. c 59. Serie de Laurent L a serie de Taylor es l a serle en potencias no negativas de : - zU que representa una funcin analtica en un crculo de centro en zo. Si f(z) esti definida y es analtica en l a regin exterior de un crculo i c z,, ,; R , y si la funcin obtenida con la inversicin tiene ~ ~ n a singularidad evitable en --- O. decimos que f ( z ) es analtica en el infinito. En este caso g (J (con g (O) ~ lim ,r: (;)) es snalticd para ~ ,I < 1 R, y tiene como serie de Taylor [O I g(i) = c 0,5, 0 donde 59. Serie de Laurent donde 295 El contorno C es tal que la circunferencia I z - zo I = R est en su interior. La serie con- verge en el dominio exterior I z - zo I > R. De este modo, una funcin que es analtica en el infinito puede representarse con una serie en potencias no positivas de z - zo. Intentamos ahora la representacin de una fun- cin analtica f ( z ) en un cierto dominio D por una serie que incluya potencias positivas y negativas de z - zo: (59.1) Una tal serie se denomina serie de Laurent. Como antes, encontramos que si la serie converge en un punto z,, converge para todo z tal que I z - zo 1 < 1 z1 - zo 1 . Esto es, si la primera serie converge, converge dentro de un crculo I z - zo 1 < R, y diverge fuera de l. Del mismo modo, la segunda serie converge en la regin exterior de una circunferencia; esto es, para I z - zo I > R,. Si R, 2 R,, el segundo miembro de (59.1) no est definida en ningn dominio. Su- pongamos pues que R, < R,. Entonces el segundo miembro de (59.1) converge para (59.2) Rz < (Z-ZO( < RI , y uniformemente en cualquier subconjunto cerrado de ese dominio. Del teorema de Mo- rera resulta quef(z) es analtica en el anillo definido por las desigualdades (59.2). ( R, puede ser cero, y R, infinito). Para calcular el coeficiente ak multipliquemos (59.1) por ( z - zo)-k--' e integremos a lo largo de la circunferencia 1 z - zo 1 = R con R, < R < R,. Puesto que la serie con- verge uniformemente sobre ese contorno, podemos integrar trmino a trmino. Sea I un entero cualquiera (positivo, cero o negativo). Entonces = iR2+l [cos ( I + l ) O+ isen (I + l)O]dO para I =-1 para los dems valores de I Por tanto (59.3) Anlogamente, si multiplicamos f ( z ) por (z - zo)k-l e integramos, encontramos que (59.4) 1 bk = fc (z - zo)k-lf(z)dz. El contorno C puede ser la circunferencia I z - zo I = R o, segn el teorema de Cauchy 296 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja cualquier otro contorno cerrado simple contenido en R, < I z - zo I < R, que envuelva I z - z0 I = R,. La frmula correspondiente a ak tiene la misma forma que en el caso de la serie de Taylor. Sin embargo, los coeficientes sern en general diferentes a partir de r f [ k] ( z o) a menos quef(z) sea analtica en el interior del contorno C. En tal caso todos los bk son cero, y la serie de Laurent se reduce a la de Taylor. Si f ( z ) es analtica para R, < I z - zo I < R,, la funcin f ( z o + reie) es peridica respecto a 8 e indefinidamente derivable para cualquier valor de r comprendido entre R, y R,. Por tanto admite el desarrollo en serie de Fourier convergente k! f(z) =f(zo + rete) (59.5) x [cos n+ cos ne + sen n+ sen nO]d4 Hemos puesto aqu 5 = zo + ref e, z = zo + re y C es la circunferencia I 5 - zo I = r. Esta serie de Fourier es una reordenacin de la serie de Laurent (59.1) con los coe- ficientes definidos por (59.3) y (59.4). Para justificar esta reordenacin, observemos que como f(5) es analtica, para C puede tomarse cualquier circunferencia I z - zo I =p en el anillo R, < I z - zo I < R,. Si al calcular ak tomamos como C la circunferencia I z - zo I = p1 con R, <pl < R,, encontramos que donde MI es el mximo de 1 f[ sobre I z - zo 1 = pI , Anlogamente l bkl 5 Mzp2, donde 1 f ( z ) I 5 M, sobre ] z - zo I = p,. De este modo la serie 2 a% (z - zo>" converge absolutamente para I z - zo I <pl. 2 b, (z - z0)+ converge absolutamente para I z - - z0 1 > p, . Dado un z tal que R, < I z - zo I < R,, podemos elegir pI y p, -de modo que R, < p , < I z - zo 1 <pl < R,. Entonces las dos series (59.1) convergen absolutamente, y pueden por tanto reordenarse y conseguir as la serie de Fourier (59.5). Hemos demostrado que f ( z ) es igual a su serie de Laurent en cualquier anillo R, < < I z - zo I < R,, en el que sea analtica. Las singularidades de f ( z ) determinan varios dominios anulares, en cada uno de los cuales f ( z ) tiene un desarrollo de Laurent distinto. 59. Serie de Laurent 297 Ejemplo. Sea f (z) =m zo = 1. L as singularidades en z = O, 1, - 1 dividen el plano z en los anillos O < I z - 1 [ < 1,l < I z - 1 1 t 2 , y I z - 1 I > 2. Para I z - 1 I < 1, tenemos, utilizando el teorema del residuo l)-*z-tdz 1 As que Esto no es otra cosa que el producto de (z- 1)-l por la serie de Taylor de z-l (z + l)-I. Entonces Para 1 < I z - 1 1 < 2, debemos incluir el polo situado en z = O dentro del contorno de integracibn. Esta serie puede obtenerse tambin multiplicando (z - l)-l por la serie obtenida al desarrollar l/z en potencias de (z- l)+ y l /(z + 1) en potencias de z- 1: _ _ ~=- . _ _ _ - 1- 1 1 1 1 1 " + " . 1 . . z z- 1+1 z- 1 l +- 1 -x[ z-1 (z-1)2 1 z- 1 -=1 l =L " =; [ , ++ (Y)?. . .l. z +l 2+z - - 1 21 ; z - 1 2 298 ckdo de integrales por mtodos de variable compleju Finalmente para 1 I- 1 1 >- 2, incluimos el polo z =- 1. Entonces as = (-1)"2-"--2 - ("2)" = 0 (-2)-l= O para k = I b k = (-2)'-' para k > 1, La ausencia de los ak significa quef(z) es analtica y tiene lmite cero en el infinito. El hecho de que b, = =h2 =O significa que I f ( z ) I es de orden 1 z 1-3 en el infinito. Observacin. La en donde los an son para todo n, positivo, Obsrvese que si serie de Laurent (59.1) puede tambin ponerse en l a forma m f(z) = c an(z - zo)tL, n="a EJERCICIOS l . Hallar la serie de Laurent para l/(z' - 1) en torno a z = O que converja para I z 1 > 1. 2. Hallar la serie de Laurent para I/ (. - 1) ( z - 2) en torno a z = O que converja para z = I 1. i. 3. Hallar la serie de Laurent para z ~ / ( z - 1) ( z - 2) en torno a z =O que converja para z =3. Pre- 4. Hallar la serie de Laurent para tang z en torno a z : O que converja en z =x, hasta los trminos 5. Hallar la serie de Laurent para eZ/ 23 en torno a z =O. Precisar su dominio de convergencia. 6. Demostrar que si f ( z ) tiene un polo de orden k en z,, tiene un desarrollo de Laurent en torno a z, 7. Demostrar que si, en una serie de Laurent en torno a z,,, br #O pero b, = O para n > k, entonces Precisar el dominio de convergencia de esa serie. cisar su dominio de convergencia. en 2 y z-~. Precisar su dominio de convergencia. que converge para O < 1 z - z, 1 < R1, con br #O y b, =O para n > k. R, = O, y f(z) tiene un polo de orden k en z,. 60. Integrales infinitas El clculo de residuos es un instrumento muy til para calcular integrales de la forma donde f'(z) es una funcin analtica para I m z 2 O o para Im z I O salvo para algunos Supongamos que f ( z ) es analtica en el semiplano superior Tmz :-: O salvo en los n polos. 60. Integrales infinitas 299 polos zl, z, , . . ., zn con Im (9) > O. Sea R un nmero real suficientemente grande para que [ z1 1 < R, I z2 I < R, . . ., I zn I < R. Consideremos el contorno C ~ C formado por el segmento de recta - R 5 x I R y la mitad superior r B de la circunferencia [ z [ = R. I Segn el teorema del residuo Transponiendo, tenemos / '!f(x)dx= 277i{rrt,,[fl+ . + W~,,WI I - J f ( z ) d z . rR Nos interesa el lmite del primer miembro cuando R -+00. Puesto que los residuos son independientes de R, ese lmite existir si y slo si la integral sobre T,z tiene limite. Una condicin suficiente es que esta integral tiende hacia cero cuando R + m. Tenemos la cota 5 7rR max If(z) I . rR Por consiguiente, si f(z) tiene la propiedad de que R max I f(z) I tiende a cero cuando R + 00, encontramos que Ir, f(z) dz tiende a cero. Obtenemos entonces el teorema ge- neralizado del residuo lirn /IR f(x) dx = 27ri {w,, [A + . + w,,[~J }. rR R+- Hemos comenzado por plantearnos la integral 1- m f ( x ) dx. Una integral infinita de este tipo se define corrientemente como el resultado de dos pasos al lmite independientes: 00 f(x)dx = lim [f(x)h + lim I :Mf(x)~x. L-= M " 300 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja Si estos lmites existen, entonces Puede ocurrir que / _ , f ( x ) dx tenga lmite, y que en cambio no lo tengan ni [ , f ( x ) dx R L ni /" f(x) dx. Por ejemplo, si f(x) = x, -M para todo R, y por tanto tiene lmite O. Por otra parte, l o" xdx = 5L2, 1 que diverge cuando L -+ m, e xdx = - I 12M2, que diverge cuando M --f m. Con lo que el lmite lim j:R f(x)dx R" es una generalizacin adecuada de la integral infinita usual Esto es, (a) coincide con (b) siempre que (b) est definida, pero (a) tambin se define para otras funciones. Denominamos a la generalizacin (a) valor principal de Cauchy: (60.1) PV / : m f(x)dx = R+- lim j : Rf ( x) dx. Hemos demostrado la siguiente generalizacin del teorema del residuo: TEOREMA 1. Seaf(z) una funcin analtica para Im z 2 O excepto en los puntos z1 . . . , z,, con partes imaginarias positivas. Si f'(z) tiende a cero de modo que (60.2) lim [ R max If(z) I] = O, entonces 60. Integrales infinitas 30 I Ejemplo. Seaf(z) = l / (l + zz). Esta funcin satisface evidentemente (60.2). Tiene polos simples en z = & i . Solamente z = i tiene parte imaginaria positiva. Segn (58.4) tenemos As que Se ve fkilmente que existe en el sentido ordinario. Luego Puesto que l/(l + x 3 es par, de modo que (Este razonamiento nos permite siempre reemplazar una integral entre O e 00 de una funcin par por la mitad de su integral entre - 00 e 00). Si f ( z ) es analtica excepto en un nmero finito de singularidades aisladas en el semi- plano inferior, podemos proceder como antes, pero con el contorno CR formado por el segmento Im z = O, - R < Re (2) I R y la mitad inferior P R de la circunferencia I z I = R. Si recorremos CR en el sentido de las agujas del reloj, recorremos el eje real de derecha a izquierda, de manera que obtenemos Encontramos como antes: TEOREMA 2. Si f ( z ) es analitica para Im z 5 O excepto en los puntos z,, . . ., zn con partes imaginarias negativas, y si (60.4) Entonces Ejemplo. Observemos que f(z) = 1/(1 + 9) satisface (60.4) as como (60.2). La nica singularidad de f ( z ) con parte imaginaria negativa est en - i . 1 r=-i 2i 302 C h b de integrales por mtodos de variable compleja As que que est de acuerdo con el resultado obtenido antes. Para cualquierf(2) que satisfaga (60.2) y (60.4) podemos obtener pv I _ l f l X ) d X mediante (60.3) o (60.5). Resulta que para una tal funcin la suma de todos los residuos es cero. La funcin f ( x ) en general puede ser compleja. Sin embargo, ordinariamente nos interesa calcular una integral infinita de una funcin real. Si tenemos que calcular la inte- gral real. 1_1 u ( x ) d x , podemos encontrar a menudo una funcin analtica f ( z ) tal que f ( x ) = u (x) para z real. Esto se hizo, por ejemplo, en el caso de la integral Sea S(.) = l/(l + z2), que es igual a l/(l + x2) cuando z es real. Basta, no obstante, encontrarf(z) de modo que 4x1 = Re [ f ( x ) I . Para este caso, PV / : m u (x) dx = Re {PV /yw f( x) dx]. Si la integral del segundo miembro se calcula mediante el teorema del residuo, podemos hallar la integral deseada tomando su parte real. Ejemplo. Calcular J.= x2 + 2x + 2h . cos x Si ponemoq cos z f(z) = ZZ + 22 + 2 = 2( 22 + 22 + 2)' ,iz + ,-iz encontramos que para I m z :I O 60. l f(Z) de modo que (60.2) se satisface. Luego I ntegrales infinitas Entonces 303 En general, las integrales de la forma /-: g ( x ) cos axdx o g ( x ) sen resultan ms sencillas escribindolas como las partes real e imaginaria de g( x ) ei as dx . Si g (z) tiene un polo simple en el eje real, es aun posible resolver el problema susti- tuyendo la parte del eje real cuya distancia al polo sea E por una semicircunferencia de radio E y hacer que E + O. Ejemplo. Calcular Escribamos Por el teorema del residuo donde C es el contorno que consta de la semicircunferencia r R de radio R, el segmento de eje x - R 5 I x 5 - E , la semicircunferencia r, de radio E , y el segmento E I x I R del eje x . Con esto 304 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja Cuando R+ co la integral sobre rR tiende a O. Sobre r,, tenemos que tiende a " n i cuando e+ O. (Obsrvese que esto es precisamente la mitad de la integral a lo largo de una circunferencia que rodea el polo. Esta regla es siempre correcta para un polo simple). Encontramos, entonces Definamos el primer miembro como el valor principal de Cauchy. Como integral impropia ordinaria diverge en O, si bien converge en & 00. As hemos encontrado Tomando las partes real e imaginaria, encontramos Ya que la segunda integral converge como integral impropia, tenemos el resultado deseado 60. Integrales infinitas Entonces 305 O Observemos que cuando R+ 00, y que cuando R+ m. Haciendo que R+ 00 encontramos entonces que 1 : - = /Iu e-xz&. La integral del segundo miembro tiene el valor 1;. Tomando partes reales, encontramos que EJERCICIOS 306 Clculo de integrales por rnrvdos de variable compleja 12. Demostrar que 61. Serie infinita de residuos En la seccin anterior hemos encontrado una como una suma de residuos en un nilmero finito frmula para de singularidades. Cabe preguntarse si este resultado podria extenderse a ciertos casos en que f ( z ) tenga un nmero infinito de singularidades. Naturalmente, la suma finita debe reemplazarse entonces por una serie. Investigaremos ahora esta generalizacin. Seaf(z) analtica en el semiplano superior In1 z O excepto en una sucesin de puntos zl, z2, z3, . . . con Im zk > O. Ordenemos esos puntos de modo que 1 zlj 2 1 z2 1 21z3 1 I . . . , y supongamos que 1 zk I --f 00 cuando k + m. Sea R,, R,, . . . una sucesin de radios distintos de todos los valores [ zI 1, [ z2 1, . . . y tales que Rl+ m cuando I -+ 00. Sea Cl el contorno formado por el [-- Rl, Rl] del eje real y la mitad superior I' K, de l a circun- ferencia 1 z 1 = Rl. Sea kl un entero tal que 1 1 < Rl < 1 zki l 1 . Entonces en virtud del teorema del residuo O Si (61.1) encontramos como antes No obstante, ahora la suma depende de 1. Si queremos estar seguros de la convergencia de la integral, tenemos que saber si la suma converge. Supongamos por tanto que converge. Entonces encontramos que lim / Ri I f ( x) dx = 27ri R, , [ f l . /-m k=1 Puesto que hemos pasado al lmite siguiendo l a sucesin Rl en lugar de hacerlo para 61. Serie injinircr de residuos 307 todo valor de R, el primer miembro es una generalizacin del valor principal de Cauchy. Si existe ste, el lmite del primer miembro coincide con l. Con esto hemos demostrado: TEOREMA 1. Si f ( z ) es analtica para I m 1 O salvo en una sucesin zl, z2 . . . , con I rn ZI( > 0, I Zk I + 00, si 2 R, [f] converge, y si existe una sucesi6n de radios R, + 71 para la que (67.1) es cierta, entonces 00 I (61.2) Ejemplo. Sea f(z) = 1/[ (1 + 2 ) cosh z]. Esta funcin tiene polos en el semiplano superior en los puntos z ---- i, ~~~ i, ni, ni, . . ., Sea n 2 2 5 Observemos que Ri 2 13, I = I , 2, 3, . . . . J cosh 21' = cos2y +- senh'x. Para 1-- 71 5 y 5 1~ i mientras que para y < I - - 7~ y / z/ = 171 i de modo que sen hZ x > - As que sobre 1 2' cosz y + senhZ x 2 1 2' Entonces y por tanto se satisface (61.1). Tenemos Entonces La integral del primer miembro puede calcularse sumando la serie del segundo. El teorema anlogo para el serniplano inferior es inmediato. 308 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja TEOREMA 2. Si f ( z ) es analtica para Im z S O salvo en z,, z2, . . . con I m Zk <O, 1 z k 1 + 00, si existe una sucesin RI 3 00 tal que (61.3) y si %k [fl I ;=1 converge, entonces (61.4) Si para la misma sucesin RI son ciertas (61.1) y (61.3), podemos eliminar la integral para encontrar que la suma de todos los residuos es cero. As pues, si f ( z ) es analtica para todo z excepto en la sucesin de puntos zl, z,, z, , . . . con I z k I + m, y si existe una sucesin RI --f M tal que (61.5) lim RI max If(z) I = O, /+m [zI=Rt entonces Este hecho puede utilizarse para calcular sumas de series. La demostracin puede desa- rrollarse igualmente cuando algunos de los Zk son reales. Ejemplo. Calcular 1, a > O. n2 + a2 Observemos que la funcin tiene polos en z = L- ia y en z = n, n = O, 5 1, 5 2, . . . Encontramos que 1 Wia[f] = - cot via = -- coth v a , 1 2ia 2a %2- i a[ f ] = -- cot ( ai a) = -- coth va, 1 1 2ia 2a 9W-l = p ( n 2 + a2) . 1 Pongamos 1 R1=1+3 l =l , 2, . . . y supongamos que todos esos radios son todos distintos de 1 a 1. (Si no es as, omitimos uno). Observemos 61. Serie infinitas de residuos 309 de modo que Con I O que para I z I = R ~ , K I m I 5 m, de manera que (61.5) se satisface. Luego n="ll x " n2 + a2 - 2 coth Ta. " 1 7 r Por simetra podemos escribir este resultado en la forma " 1 $T x-- n=l n2 + a2 - coth - 2' 1 2a Al calcular la serie hemos hecho uso de la propiedad de que la funcin x cot zz tiene polos con residuo uno en todos los valores enteros de z. Podemos sumar series al- ternadas observando que x cot nz tiene polos en los valores enteros n con residuos (- 1)". EJERCICIOS l . Calcular dx L m (2+cosx)(l +xz) mediante desarrollo en serie 2. Calcular desarrollando en serie. 3. Calcular mediante integrales de contorno de - 1 z- 1 1+n4 cot T Z ~. (1 +Y) VEl NRt RGER - 11 I 4. Calcular 5. Calcular " 1 para O < a < 1 considerando una integral de 62. Integrales a lo largo de cortes de ramificacin Consideremos la funcin z1/2 f(z) = m O < argz < 2a, que tiene un corte de ramificacin a lo largo del eje real positivo. Segn el teorema del residuo (62.1) donde C es un contorno que slo contiene los polos def(z). Tomaremos el contorno C formado por la circunferencia CR: z = Rei*, O < e < 2a, el segmento de recta r-: a g z = 2a, R > IZI > E, 62. lntegrules u lo largo de cortes de ramificacin la circunferencia C,: z = eia, 2~ > 8 > O, y por el segmento de recta 1 311 r,: xgz = o, E < 121 < R. Definamos f ( z ) sobre r+ como el lmite de f ( rei o) cuando 0 + O, y sobre r- como el lmite cuando 0 -+ 27c. Entonces sobre r+ f ( z) = x1I2/ (1 + x2), mientras que sobre T- f ( z ) = - x1'2 / (I + x2). Teniendo en cuenta (62.1), tenemos Observemos ahora que (62. 2) R max If(z)I + O cuando R + k l =R E max If(z) I + O cuando E + O. (%I=( Las integrales a lo largo de r+ y r- se suman en lugar de anularse una con otra. Ello es debido a la discontinuidad de f ( z ) en el corte de ramificacin. Haciendo que E + O y R + encontramos que Obtenemos as el resultado. Otras integrales a lo largo de cortes de ramificacin pueden calcularse en forma pa- Si es finito el corte de ramificacin a lo largo del cualf(z) es discontinua, podemos recida, con tal que se satisfagan condiciones anlogas a las (62.2). calcular una integral finita mediante la integracin sobre un contorno. Ejemplo. Consideremos la funcin Tomamos el corte de ramificacin del modo siguiente o < arg(z- 1) < 277 o < arg ( z -t 1) < 2Tr. Este corte se extiende a lo largo del eje x desde z = - 1 hacia la derecha. Sin embargo, fcilmente se ve quef(z) es continua a travs de la parte del corte a la derecha de z = 1. Luego'por el teorema de Morera, sus singularidades son all evitables. De este modo el corte de ramificacin es el segmento y = O, - 1 2 I; x < 1. El contorno C es el representado en la figura. Consta de la circunferencia CR: I z I = R, O < < arg z < 2n, el segmento 312 Clculo de integrales por mtodos de variable compleja T-: R > X > 1 + E , y = O, arg (Z - 1) = arg (Z + 1 ) = 2 ~ , Y I C, la semicircunferencia inferior cc: Iz - 11= , r-: I - E 2 x 2 -1 + y = o, arg ( z - 1 ) = arg (z + 1) = 27r, c,: Iz + 11= e, el segmento la circunferencia el segmento r,: -1 + E 5 x 5 1 - E, y =O, arg ( z - 1) = T , arg (z + 1) = O , la mitad superior de ce, y el segmento - r,: l + e < n < R, y = O, a r g ( z - l ) = a r g ( z + 1 ) = 0 . En virtud del teorema del residuo 4;Lf(z)dz = 2 7 r i ~ ~ [ f l = --. 27ri v3 " Puesto quef(z) tiene los mismos valores sobre r+ y r-, las integrales sobre esos segmentos se anulan una con otra. Adems, R max If(z) I + O cuando R "f m, E my If(z) I + O cuando E "f o, E m-= If(z)I + O cuando E -+ O. CR cc Si hacemos que R- t w y E + O, nos quedamos tan slo con las integrales sobre r+ y r-. Sobre r+ 62. Integrales a lo largo de cortes de ramificacin 313 al propio tiempo que sobre F- -1 = (x + 2 ) i " Puesto que la integral sobre I'+ se calcula hacia la derecha y la correspondiente a r- hacia la izquierda, tales integrales se suman. La anterior igualdad se convierte en dx 2mi - ",
dx / : I (x + 2) " fi m - -. Hemos calculado as una integral finita en la que aparece una raz cuadrada El mismo mtodo puede seguirse para calcular integrales-que contengan otras fun- ciones de valores mltiples. EJERCICIOS l . Calcular 2. Calcular dx (1 + 2)VFs donde - 1 < a < 1, b > O, a #O. 3. Calcular 4. Calcular I""- O 1 +y' donde -1 < a < 2, a #O 1. 5. Calcular lo m a 3 2 + x + l considerando la integral de log con O < arg z < ~ J C sobre un contorno conveniente. Z Z + Z + l BIBLIOGRAFfA PARA EL CAPTULO IX R. V. CHURCHILL, Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, 1960, captulo 7. L. L. PENNISI, Elements of Complex.Variables, Holt, Rhinehart y Winston, 1963, captulo 7. E. C. PHILLIPS, Functions of a Complex Variable with Applications, Oliver y Boyd, 1949. CAP f T UL O X La transformada de Fourier 63. La transformada de Fourier Una funcin peridica f(x) en el intervalo - n < x < n puede desarrollarse en serie de Fourier 1 " f(x) - ZUO + E ( a n COS + bn sennx), n=1 en la que Puesto que cos m = -(efw + e- f m) , sen nx = - +ef nl - e-*=), 1 2 2i podemos escribir la serie de Fourier en la forma . f ( ~ ) - I: Cae-in+, m n=-m en donde - ( an + ibn) para I Z 2 O ?("-m - ib-,,) para I Z 5 O. Entonces (Obsrvese que si f ( x ) es real, , c - ~ =E.). Las series de Fourier se presentan en la separacin de variables. Su propiedad m& importante es que si f ( x ) , ampliada como funcin peridica de perodo 2n, es dos veces derivable con continuidad, entonces 315 316 La transformada de Fourier "' ( X) - 2 (-n2)cne-inx. Esto es, la derivacin dos veces def(x) corresponde a la multiplicacin de sus coeficientes de Fourier cn por - n2. Esto nos permite reducir ecuaciones en derivadas parciales a ecuaciones diferenciales ordinarias por medio de la transformada de Fourier. En realidad, vemos que si,f(x) es continua y derivable con continuidad a trozos para - n 2 x I n, y si f(- n) =f ( n) , entonces " - incn. As pues la derivacin de una funcin peridica corresponde a la multiplicacin de cada coeficiente de Fourier cn por - i n: m f ' ( x ) - Z (- incne-ins). Usando esta propiedad podemos reducir varias ecuaciones en derivadas parciales cuyos coeficientes son independientes de x a ecuaciones diferenciales ordinarias. --m Ejemplo. Consideremos el problema m u(x, t ) - I: cn(t)einz. -m Si &/ax y au@t son continuas, tenemos Luego la funcin c, ( t ) debe satisfacer cn' + ( i n - l)c, = O. Si m f(x) - Z C, dnr, -m la condicin inicia es cn(0) = Cn . La solucin de este problema de valores iniciales es c,( t ) = Cne-(*n-lN. Tenemos as la solucin formal m u(x, t ) - L C,e-i@+"ef. -m 63. La transformada de Fourier 317 Recordando la definicin de C,, encontramos que u(x, t ) = eff(x + t ) , donde f ( x ) esta ampliada como funcin peridica de perodo 2x: f ( x + 2n) = f ( x ) . mente la solucin del problema. Si f ( x ) , como funcin ampliada, es continua y derivable con continuidad, u = elf(x + f) es evidente- Si queremos representar una funcin f(x) en un intervalo - L I x I L por una serie de Fourier, introduciremos simplemente la nueva variable x' = x, Entonces L donde Restableciendo la variable x, tenemos donde (-,(L, SzE - f(x)einwslLdx. 2L -L LOS coeficientes c , ( ~) definen la funcin f(x) con unicidad en el intervalo (-L, L). Tienen la propiedad de que de modo que si f(L) =f(- L), la derivacin de f corresponde a la multiplicacin de c,(L) por - inn/L. Supongamos ahora quef(x) est definida para - 00 < x < 00. Podemos determinar f ( x ) en cualquier subintervalo (- L, L) en funcin de los coeficientes crL(I,). Intentaremos determinar f ( x ) en el intervalo completo (- 00, 00) pasando al lmite cuando L + 00 Supongamos quef(x) sea absolutamente integrable; esto es, que la integral converja. Entonces que tiende a cero cuando L -+ 00. As pues, el lmite de cada coeficiente cl L(L) es cero. Consideremos, en cambio, el lmite de ~ L c , ( ~ ) . Si fijamos n, n/ L --f O, y por tanto 118 La transformada de Fourier Este lmite es una constante, y no puede por tanto determinarf(x). Observemos que cuando L + 03 el conjunto de nmeros de la forma nn/L con n = O, 4: 1, & 2, . . . se hace ms y ms denso en la recta real. Esto da lugar a que reemplacemos la cantidad nn/L por una variable continua w, y mantengamos fijo w cuando L+ 03. Obtenemos la funcin lmite f(w) = Iim ~ L C ~ & ) , L - tW
En lugar de una funcin c ~ ( ~ ) definida para valores enteros n, tenemos ahora la funcin ?(o) para todos los valores de w. Si la integral (63.1) converge, se llama transformada de Fourier def(x). A veces se representa con la notacin 8 [fl. La integral ciertamente converge si J lf(x) I dx con- verge. La transformada de Fourier tiene las mismas propiedades bsicas que los coeficientes de Fourier. La primera de ellas es la de que la derivacin def(x) corresponde a la mul- tiplicacin de f ( w) por - iw. Jm f ( x ) eioX dx converge para cada valor de w, y que -m A Supongamos que f ( x ) es continua y derivable con continuidad a trozos, que _o0 lim f(x) = O. x-?= Integrando por partes, encontramos Haciendo que L, y L, tiendan a infinito, vemos que el segundo miembro tiene el lmite - i$(w). Luego f(x) tiene la transformada de Fourier - iwf(cu): (63.2) 8 [f] = -jw 8 [f] . La segunda propiedad importante es el hecho de que j (w) determinaf(x) con uni- cidad. Demostraremos esta propiedad en la seccin 67 mostrando cmo calcular f ( x ) a partir de T(w). - par de (o, y la imaginaria es una funcin impar de w. A Observemos que si f(x) es real, f(- w) = f(w). Esto es, la parte real es una funcin 64. Lema de Jordan EJERCICIOS 319 1. Hallar la transformada de Fourier de (a) e - 1 4 . (b) l/xe -t 1. INDICACI~N: Utilizar el teorema de la integral de Cauchy. (c) e-a*'. INDICACI~N: Usar el teorema de la integral de Cauchy para cambiar la integral de Fourier desde Im z = 0 a la recta paralela Im z = w/2a. f(x) = O para x < O. e-"' para x > O O para x <-A lo (e) f(x) = 1 para "A < x < A para x > A . 2. Hallar la solucin del problema de la conduccin del calor en una placa infinita "" arc a% - o at ax2 para t > O, u(x, O) = e-** por medio de la transformada de Fourier. INDICACI~N: La transformada de Fourier de eax' es - (ver Ejercicio 1 c). v: 64. Lema de Jordan Puesto que la transformada de Fourier se define como la integral infinita I-". f ( x) ei oxdx, investigaremos el clculo de tales integrales por medio de la integracin de contorno. Supongamos que existe una funcin f(z) analtica para Im z 2 O excepto para los polos zl, z2, . . ., Zn (Im zi > O) tal que "(2) coincide con f(x) en el eje real. Para w z O e I m z 2 O, observamos que I efoz I < 1. Luego si lo mismo puede afirmarse de f(z) eioz para w 2 O. Por consiguiente segn el Teorema 1 de la seccin 60 encontramos la expresin P V ~ f(x)ebx&= 2ni ~ ~ , ~ f ( z ) e i u z ] + - * + ~ z n ~ ( z ) e i ~ z ~ ] -m t para la transformada de Fourier cuando w 2 O. Recordemos que este resultado se obtiene aplicando el teorema de la integral de Cau- chy a una semicircunferencia de radio R y haciendo R -+00. La hiptesis de que R max 1 f(z) 1 -+ O se emplea slo para demostrar que 320 La transformada de Fourier cuando R + 00. Aqu I ' R es la mitad superior de la circunferencia I z I = R. Despus de esto Sobre r R z = Reit', O I O I E. As que I dz 1 = RdO, y I eiwz I = I eiwRR(cos B+i sen 81 - - e - oR sen 9 I Entonces lrR IeiozIIdZI = R Jb" e-oRscngdO = 2R e-wRsen 9de. Observemos ahora que es una funcin no creciente de 13 para O I 0 -<n/ 2. Por consiguiente - 2 -. sen0 2 e r r Entonces si o > O, < -. lr w De este modo Por lo tanto, la integral sobre rR tiende a cero solamente Si max I f ( z ) I tiende a cero cuando R + 00. Esto se conoce con el nombre de Lema de Jordan I ' R Hemos demostrado el siguiente: 64. Lema de Jordan 321 TEOREMA 1. Si f ( z ) es analtica para I m z 2 O salvo en los puntos zl, z2, . . ., Zn con partes imaginarias positivas, si lim max If(z)I =O, R-m [ ] I l = R Im 120 1 y si 01 > O, entonces (64.5) y si w < O, entonces (64. 6) De la acotacin (64.2) se deduce que si (64.3) es cierta, / f ( x ) eiozdx converge hacia f ( x ) eio* dx uniformemente en w para cualquier conjunto w 2 w,>O. Puesto que / f ( x ) eimz dx es continua respecto a w, encontramos que el lmite tambin es continuo en w. As pues, en las condiciones del Teorema 1, ~(co)=PV!-_f(x) eiozdxes funcin con- tinua de co para w > O. Anlogamente, en las condiciones del Teorema 2 es continua para w <O. En general, existir una discontinuidad en w = O. Si f(z) satisface (64.1), ?(m) ser continua a la derecha de w = O. Sif(z) satisface las condiciones anlogas (60.4) para Im ( 2) I O, f(w) ser continua a la izquierda. R "R R "R ~~ 00 A Ejemplo. Sea Entonces f ( z ) = z/(l + zz), satisface a (64.3) y a (64.5) pero no a (64.1) ni a (60.4). Segn el Teorema 1 tenemos Es claro que 322 La transfornmda de Fourier f ( 0 ) = o. Observemos que f ( w) es discontinua en w = O. Ejemplo. Sea Ahora f ( z ) =l / ( l +z'), que satisface (64.1) y (60.4). Tenemos Y As que que es continua para todo w. 5. Calcular PV L m senxAx ei mxdx. INDICACI~N: Ver problema 4. 65. Desigualdad de Schwarz y desigualdad triangular para integrales infinitas Hemos demostrado en la seccin 19 que si f ( x ) y g (x) son funciones reales e n un intervalo finito cI -<x < b, es vlida la desigualdad de Schwarz 65. Desigualdad de Schwarz para integrales infinitas 323 (65.1) Sif(x) y g (x) son funciones complejas, esta desigualdad es tambin cierta, puesto que y I f(x) I y I g (x) I son funciones reales. Extenderemos ahora la desigualdad de Schwarz a las integrales infinitas. Una funcinf(x) se llama absolutamente integrable si la integral impropia tiene un valor finito. Se deduce inmediatamente que la integral impropia f ( x ) dx tambin converge. m M Se dice que la funcin f ( x ) es de cuadrado integrable si tiene un valor finito. Observamos ante todo que si f ( x ) y g (x) son de cuadrado integrable, el producto f ( x ) g (x) es absolutamente integrable. Por definicin existe para todo E > O un A, tal que con tal que b > a 2 A, o a < b < - A, . Se deduce al aplicar (65.1) a I f ( x ) I y I g (x) 1 que existe. Se deduce que existe. Tomando esos lmites en (65.1), encontramos la desigualdad de Schwarz para inte- grales infinitas: (65.2) 324 La transformada de Fourier Poniendo g (x) 1 1 en (65.1), encontramos que en un intervalo finito una funcin f ( x ) de cuadrado integrable tambin es absolutamente integrable. Pues Esta afirmacin no es ya cierta en un intervalo infinito. En efecto, existen funciones de cuadrado integrable que no son absolutamente integrables debido a que no tienden a cero con suficiente rapidez. Por otra parte, una funcin absolutamente integrable no es necesariamente de cuadrado integrable. Ejemplos f ( x ) =(1 + x2)"';2 es de cuadrado integrable, pero no absolutamente integrable para - w < x < 00; f ( x ) * 1 x 1"Iz (1 + x2)-l es absolutamente integrable, pero no de cuadrado integrable en cualquier intervalo que contenga x = O. Consecuencia inmediata de la desigualdad de Schwarz es que
Sta se conoce como la desigualdad triangular. Es de especial importancia en el estudio de la convergencia en media. Decimos que la sucesin de funciones de cuadrado integrablef, (x) converge en media hacia la funcin de cuadrado integrable f ( x ) si (65.4) (El que f ( x ) "f. (x) es tambin de cuadrado integrable se deduce de la desigualdad triangular). De la desigualdad triangular vemos que Y Combinndolas, tenemos Luego, si la sucesin f. (x) converge en media hacia f ( x ) , 325 (65.5) Observemos tambin que ya que fn - fm =f. - f +f-fm, Luego, si la sucesinf, (x) converge en media hacia una funcinf(x), satisface el criterio de Cauchy (65.6) El siguiente teorema relaciona la cowergencia uniforme con la convergencia en media cuando es vlido el criterio de Cauchy. TEOREMA 1. Si la sucesin de funciones de cuadrado integrable f. (x) converge unifor- memente hacia una funcin f(x) en todo intervalo finito a I x I b, y si satisface el criterio de Cauchy (65.6) entonces f ( x ) es tambin de cuadrado integrable, y fn (x) converge en media hacia f(x). Demostracin. Segn la desigualdad triangular tenemos para cualquier intervalo finito a I x I b En virtud del criterio de Cauchy (65.6) podemos lograr que el segundo trmino del segundo miembro sea menor que cualquier e > O eligiendo n > m > N,. Haciendo que n + 00 y teniendo en cuenta que f. (x) + f(x) uniformemente para a I x I b, obtenemos la desigualdad para m > N, . Puesto que N, es independiente de a y b, podemos hacer que a --f - 00 y b + 00 encontrando que Por definicin f. (x) +f(x) en media. La desigualdad (65.7) con la triangular implican que f(x) es de cuadrado integrable. Nota: El criterio de Cauchy es esencial en este teorema. Una sucesin puede ser uniformemente convergente sin ser convergente en media. (Esto no puede ocurrir en un intervalo finito). Ejemplo. La sucesin f n ( x ) n- 1/ 2e - Wn* 326 La transformada de Fourier es uniformemente convergente hacia f ( x ) = O. Sin embargo, 1;- ~f(x) - f n ( x ) 1 2 d ~ = n-le-2s*/n*& = m, de modo que f, (x) no converge hacia O en media. El criterio de Cauchy es suficiente para la convergencia en media. ste es el contenido del teorema de Riesz-Fischer, que afirmamos sin demostracin. Para ver una demostra- cin puede consultarse E. C. Titchmarsh, The Theory sf Functions, Oxford (1939), p- ginas 368-388. TEOREMA 2. (Teorema de Riesz-Fischer). A toda sucesin de funciones de cuadrado integrable f. (x) que satisface el criterio de Cauchy (65.6) corresponde una funcin*de cuadrado integrable f ( x ) tal que f. (x) converge en media hacia f ( x) . Definimos una funci6n n (x) como funcin nula si es idnticamente cero salvo en un conjunto de puntos tan pequeo que /Im I n ( x ) I2dx = O. Puede demostrarse que esta condicin equivale a que r n( x) dx = O para todo x,,. (Ver ejercicio 8). Ejemplo. La funcin O para los dems valores de x es una funcin nula Si la sucesin f,. (x) converge en media hacia f ( x) , con la desigualdad triangular encontramos que = lim If(x) - f m( x) I 2 d x = o. As que la sucesin f. (x) tambin converge en media hacia f ( x ) + n (x). ciones distintas ,f(x) y g (x). Entonces segn la desigualdad triangular m 1 : & Supongamos, por otra parte que la sucesin,f, (x) converge en media hacia dos fun- Haciendo que m --f 00, vemos que f ( x ) - g (x) es una funcin nula. f ( x ) pucde scr de tal modo dlscontinua que el concepto de integral de R~ernann no se pueda apl~car. (*) El teorema de Riesz-fisher exige la introduccin de la integral de Lebesgue, porque la funcin limite 66. Transformadas de Fourier de funciones de cuadrado integrable 327 As que, el lmite .en media de una sucesin de funciones est determinado a menos de una funcin nula. EJERCICIOS 1. Demostrar que si p (x) es una funcin masa real no negativa, entonces 2. Demostrar la forma siguiente de la desigualdad- triangular 3. Demostrar que la sucesin de funcionesf, (x) = n'ie-n(z) converge en media haciaf(x)=O. j,Cuiil 4. Demostrar que si la sucesin fn (x) converge en media hacia f(xj y g, (x) converge en media hacia 5. Demostrar que si f, (x)+f(x) en media, entonces J?f, (x) d x - t kf( x) dx uniformemente en x, 6. Demostrar que si f, (x)+f(x) en media y g (x) es de cuadrado integrable, entonces es el lmite de fn (O)? g (x), la sucesin fn (x) + g, (x) converge en media hacia f ( x ) + g (x). en cualquier intervalo finito - L 5 x,, I L. 7. Demostrar que si { u,} y { bn) son sucesiones cualesquiera de nmeros tales que {I a, 12 + 1 b, l a} converge, existe una funcinf(x) de cuadrado integrable en el intervalo "n < x < x cuya serie de Fourier es +ao + x {u, COS nx + b, sen nx}. INDICACI~N: Considrese la sucesin fN (x) definida por +u, + 2 m N {un COS nx + b, sen nx) para I x I < n y O para I x I > x , y utilizar el teorema de Riesz-Fischer. I m 1 n = l 8. Demostrar que una funcin n (x) de cuadrado integrable es una funcin nula si y slo si II;" n(x)dx = O para todo x,,. INDICACI~N: Emplear la desigualdad de Schwarz. Desarrollar luego n (x) en serie de Fourier en cualquier intervalo finito - M < x < M, y hacer uso de la igualdad de Parseval (16.5). 66. Transformadas de Fourier de funciones de cuadrado integrable: igualdad de Parseval Estudiaremos ahora la clase de las funciones f ( x ) de cuadrado integrable. Una fun- cinf(x) es de cuadrado integrable si I .f(x) l2 dx es finita. Demostraremos que si f ( x) es al mismo tiempo absolutamente integrable y de cuadrado integrable, su trans- formada de Fourier es de cuadrado integrable. Ampliaremos entonces la definicin de transformada de Fourier de manera que toda funcin de cuadrado integrable admita transformada de Fourier de cuadrado integrable. Sea f [x) una funcin de cuadrado integrable. Para cualquier entero M > O definamos m Para un M fijo desarrollemos f ( x ) en serie de Fourier en el intervalo - M < x I M. Escribamos la serie en la forma compleja 328 donde La transformada de Fourier m f (x) - Z c,e-inxx/M -m donde (Para Mo, + nJc = O obtenemos el valor lmite 1). Aplicando la igualdad de Parseval (16.6) a la integral (66.1), encontramos que a + C {anan* + b,b,*} 1 1 (66. 2) [ = M 2COCO* + {( c, +c-,) (cn* + c n * ) - ( c, - C n ) (C,* - c-.*)}] m = 2M Z cric-,* -a sen ( Ma - n r ) = 2M Z c,, -m Mw-nrr . Asimismo segn la igualdad de Parseval (66. 3) Y Aplicando la desigualdad de Schwarz para series a (66.2) vemos por tanto que que tiende a cero cuando N + m, uniformemente en w. Esto es, la serie de (66.2) converge uniformemente. Mediante la integracin de contorno encontramos que 66. Transformadas de Fourier de funciones de cuadrado integrable 329 m sen ( Ma - m ) sen ( Ma - h ) = O para I #n Mw - IT para I = n. /. As pues (66.2) representa la funcinfM (O) mediante una serie uniformemente convergente de funciones ortogonales en el intervalo - 00 < O < 00. Consideremos la sucesin de sumas parciales En virtud de la ortogonalidad tenemos para 1 > m > O Puesto que 2 I cn I2 converge, el segundo miembro tiende hacia cero cuando 1 y m "t 00. Por consiguiente la sucesin CQ (O) satisface el criterio de Cauchy. Ya hemos demostrado que ut (w) "t f~ (O) uniformemente. Luego segn el Teorema 1 de la seccin anterior u1 (m) "f & ( O) en media. Entonces segn (65.5) m - m A 1 : - If~(w> I'd0 = lim / : m Iull'dw I" P = 4rM Z 1 ~ ~ 1 ' . -m Utilicemos la relacin (66.3) para obtener A A Para cualesquiera M2 > M, > O podemos escribir la diferencia fMz (O) -fMl (O) en la forma donde hemos mesto Con lo que segn (66.4) Puesto quef(x) es &e cuadrado integrable, el segundo miembro tiende hacia cero cuando 330 La transformada de Fourier MI y M, tienden a infinito. Esto es, la sucesin?+, (I.) satisface el criterio de Cauchy para la convergencia en media. Sif(x) es absolutamente integrable as como de cuadrado integrable, la integral que define su transformada de Fourier ?(o) converge uniformemente. Esto es, (I.) + Y(I.) uniformemente. Luego segn el Teorema 1 de la seccin anterior (I.) + ?(I.) en media. Si f ( x ) no es absolutamente integrable, la integral que define su transformada de Fourier puede no ser convergente. Definimos entonces la transformada de Fourier j ( w) de f(x) como el lmite en media de la sucesin ?M (m) : f( w ) = lim en media/: f ( x ) eiosdx. M" La existencia de este lmite queda asegurada por el teorema de Riesz-Fischer. En muchos casos en los quef(x) no es absolutamente integrable la transformada de Fourier puede calcularse como un valor principal de Cauchy de la integral de Fourier. (Ver ejercicio 2). Haciendo que M + 00 en (66.4) y con el auxilio de (65.5), encontramos que (66.6) / : m If(4 I2dw = 2%- 1: - I f b ) t2dx. fista es la igualdad de Parseval. Claramente se ve que es anloga a la igualdad de Parseval para series de Fourier. La igualdad de Parseval demuestra quef(x) determina?(@) a menos de una funcin nula, y quef(w) determina af(x) a menos de una funcin nula. Es evidente que dos fun- ciones que difieran slo en una funcin nula tienen la misma transformada de Fourier. A Ejemplo. Las funciones O cuando 1x1 > 1 Y { O cuando x < -1 O cuando x 2 1 g ( x ) = 1 cuando -1 5 x < 1 tienen ambas la misma transformada de Fourier e t w z h = LEE. o Si f(x) y g (x) son dos funciones cualesquiera (que pueden ser de valores complejos) de cuadrado integrable, de la desigualdad triangular resulta quef(x) d~g (x) yf(x) k ig (x) son tambin de cuadrado integrable. La igualdad de Parseval (66.6) demuestra que 67. Teoremas de inversin de Fourier 33 1 Multiplicando la primera de estas identidades por 1/4, la segunda por - 114, la tercera por i/4, y la cuarta por - i/4, sumando las igualdades que resultan, encontramos despus de efectuar las operaciones y reducciones a que haya lugar (66.7) Sta es la forma general de la ecuacin de Parseval. Es vlida para cualesquiera funciones f ( x ) y g (x) de cuadrado integrable, reales o complejas, y se reduce a la (66.6) cuando g =f. EJERCICIOS 1. Hallar la transformada de Fourier de f ( x ) = x/ (x2 + 1). INDICACI~N: Emplear la integracin de contorno para encontrar fAt (w), hallar el lmite, en el sentido ordinario, defM (w), y demostrar que Cste es tambin su lmite en media. h 2. Demostrar que si f ( x ) es de cuadrado integrable y si el valor principal de Cauchy jE f(x) ei uxdx converge uniformemente hacia una funcin g (w) para a 4 o 4 b, entonces f ( w) - g (o) es una funcibn nula para a l w I b. ,W h h h 3. Hallar la transformada de Fourier de sen xjx. 4. Calcular/:m e dx por medio de la igualdad de Parseval (66.6). 5. Calcular dw por medio de (66.6). INDICACI~N : eiox rix = ___- "1 X2 e iuzo i o 6. Calcular sen sen do por medio de (66.7). W2 INDICACI~N: fe eioxdx = ___ 2 sen aw w 67. Teoremas de inversin de Fourier Frecuentemente un problema que incluya una ecuacin en derivadas parciales refe- rentes a una funcin u puede reducirse a un problema que conduzca a una ecuacin dife- rencial ordinaria para la transformada de Fourier li de u. Es entonces posible emplear los mtodos ms sencillos de ecuaciones diferenciales ordinarias para obtener l i . En con- secuencia tenemos que determinar la solucin u a partir de su transformada de Fourier. Este ltimo proceso es el de hallar la transformada inversa de Fourier. Sea ?(u) la transformada de Fourier de una funcin de cuadrado integrable f ( x) . Fijado un x,, > O cualquiera, definamos la funcin (67.1) g(x) = 1 para O 5 x x. c para para x < o x > xu. 332 La transformada de Fourier Entonces eioxo - 1 g(o) = ~. io Segn la igualdad de Parseval (66.7) encontramos que (67.2) 277 f( x) dx = / : m f( 0) e-iwxo - do. -io Para x, < O definamos (67.3) Encontramos entonces que (67.2) es tambin vlida para x, < O. Para x, = O, (67.2) se reduce a la identidad O = O. Por el teorema fundamental del clculo deducimos de (67.2) que (67.4) en cada punto x, en el que f es continua. ste es un teorema de inversin. No obstante, no es adecuado para el clculo. Para deducir una frmula ms favorable pongamos ](y) = I f(o)eiwgdo -m A que es la transformada de f ( w) . Fcilmente se encuentra que la transformada de Fourier de la funcin g (w) = (eiWzo- l ) / h es 2ng (-y), donde g ( x) est definida por (67.1) si x, > O y por (67.3) si x, < O. La igualdad de Parseval (66.7) aplicada af^(w) y g^(w) y a sus transformadas de Fou- rier da 277/:zo](y) dy = 277 / : m f( o) e-iwso - do. io Entonces segn (67.2) &)dy = 27r r f ( x ) d x para todo x,,. Haciendo el cambio de variable x = - y , encontramos que J 6 [&x) - 2Tf(X)]dX = o A A para todo x,. Segn el ejercicio 8 de la seccin 65 f(- x) - 2nf ( x) es una funcin nula. Puesto que no debemos tener en consideracin tales funciones al considerar transformadas de Fourier, podemos decir que 67. Teoremas de inversin de Fourier 333
(67.5) Hemos demostrado : TEOREMA DE INVERSION 1. Si f ( x ) es de cuadrado integrable, la transformada de Fourier de su transformada de Fourier es 27cf(- x): (67.6) f(x) = -r I f( w) e-*@rdx. 27T -m Esta integral impropia en general converge haciaf (x) solamente en media. No obstante, si f(w) es absolutamente integrable, converge uniformemente como una integral impropia ordinaria. En muchas aplicaciones la frmula integral de inversin (67.6) puede calcularse como un valor principal de Cauchy. El teorema de inversin 1 aplicado a j(w) demuestra que toda funcin de cuadrado integrablef^(w) es la transformada de Fourier de una cierta funcin de cuadrado integrable f ( x ) dada por (67.6). Para el clculo es til saber cuando puede obtenerse la transformada inversa (67.6) como un valor principal de Cauchy. Adems, queremos extender la frmula de inversin a funcionesf (x) absolutamente integrables pero no necesariamente de cuadrado integrable. Si f(x) es de cuadrado integrable, apliquemos la igualdad de Parseval (66.7) con la funcin h sen L ( x - xo) ?(x) = 7 T( x - x o ) cuya transformada de Fourier es Obtenemos la igualdad (67.7) Si f ( x) es absolutamente integrable pero no necesariamente integrable, su integral de Fourier converge uniformemente, y podemos deducir (67.7) multiplicando ambos miembros de la igualdad de definicin j . ~o ) = I:mf ( x ) e h r h por eioXa, integrando respecto a w entre - L y L, y cambiando el orden de integracin. As pues (67.7) es vlida si f ( x) es de cuadrado integrable o absolutamente integrable. Para deducir la frmula de inversin necesitamos el lema siguiente, que es una ex- tensin del lema de Riemann-Lebesgue de la seccin 17. 334 La transformada de Fouri er LEMA (Riemann-Lebesgue). Si I f(x) I dx converge, entonces -m limf((w) = lim f ( x ) e*ozdx = O. e* . I" -m Demostracin. Ya que la integral de Fourier converge uniformemente y ei mX es continua, f ( w) es uniformemente continua en w. Sif(x) es adems de cuadrado integrable, S" I ?I2 u converge. Esto, unido a la continuidad uniforme de f: implica que ?(m) -+ O cuando w --f i 03. Si f no es de cuadrado integrable, consideremos la sucesin de funciones (( trun- cadas ' h -m La funcin f n es de cuadrado integrable, ya que h Luego, su transformada de Fourier f. (w) tiende a cero cuando I w 1 -+00. De la definicin de integral impropia se deduce que /Im I f . - f n l h + O cuando n + =J . Si elegimos un n lo bastante grande para que encontramos que Elijamos ahora I w I suficiente grande para que I (m) I < 3 6 . Entonces 1 ?(m) I < Volvamos ahora a (67.7). Supongamos ahora que f(x) sea continua en x,, y defina- < +E + +E = E para I w I suficientemente grande. Esto demuestra el lema. mos las dos funciones (67.8) Y (67.9) 67. Teoremas de inversin de Fourier 335 Pongamos y = x - x, y z = L (x - x,). Entonces + 2f(xo) I" =z,. -L z Sif(x) es o absolutamente integrable o de cuadrado integrable, h, (x) es absolutamente integrable, y por tanto la primera integral del segundo miembro tiende a cero cuando L -+00 segn el lema de Riemann-Lebesgue. Si f(x) vara con suficiente regularidad (por ejemplo, derivable o continua en el sen- tido de Holder) en x = x,, h, ser absolutamente integrable. Entonces la segunda integral tiende tambi6n a cero cuando L -+00. Finalmente, se encuentra fcilmente mediante integrales de contorno que la ltima integral tiende a 7c cuando L -+ a. As, la integral del primer miembro tiene por lmite bf (XrJ). Haciendo uso de (67.7), tenemos el teorema: TEOREMA DE INVERSION 2. Si f (x) es absolutamente integrable o de cuadrado inte- grable, y si f ( x ) vara con suficiente regularidad en x, para que la funcin h, (x) definida por (67.9) sea absolutamente integrable, entonces Si f(x) tiene una discontinuidad de salto que si la funcin I O en x,, encontramos de un modo parecido para xo - 1 5 x < x0 es absolutamente integrable, entonces (67.11) +t~xo + O) +f(xo - O) 1 = 1 Ern f(w> e-iuodw. Observemos que las condiciones anteriores para las frmulas de inversin son las mismas que en el caso de las series de Fourier. Como ya antes hemos mencionado, la transformada de Fourier f(w) determina f(w) a menos de una funcin nula. Sin embargo, en la resolucin de ecuaciones diferenciales 1 2 T L - r -L 336 La transformada de Fourier generalmente manejamos funciones derivables con continuidad, que estn completamente determinadas por (67.10). Ejemplo. Resolver el problema de la conducci6n del calor en una placa infinita (67.12) u ( x , 0 ) = f ( x ) 9 u ( x , t ) acotada Fiicilmente se ve que es vlido el principio del miiximo I u (x, t ) I I max I f ( x ) I. (Ver Ejercicio 7). Se deduce que el problema tiene a lo sumo una soluci6nn, y que Bsta depende de f ( x ) con continuidad. Supongamos que f ( x ) sea absolutamente integrable. Hagamos las hip6tesis de que u, aul at , y %/axa sean continuas en x y t, y absolutamente integrable en x , uniformemente en t . Entonces u y au/at , tienden a cero cuando x+ 00. Si nuestras hipbtesis son viilidas, u tiene una transformada de Fourier a( o, t ) = u ( x , t )ei m&, 1 : - Y 8 [ a d a t ] = aal at , 8 [ azul ax" ] = +a. Tomando las transformadas de Fourier respecto a x en (67.12), obtenemos el problema de valores iniciales -+ 0% =O, aa at a(o, O) =&) a(o, t ) =j-co)e-@f. cuya solucibn es Entonces Gsta es la f6rmula soluci6n. Observemos que la transformada de Fourier de una funcin absolutamente integra- ble no tiene necesariamente que ser absolutamente integrable. Por esta razn la frmula de inversin (67.10) es un valor principal de Cauchy. Ejemplo. La transformada de Fourier de la funci6n absolutamente integrable es 2 seno, o que no es absolutamente integrable. Puesto que la integral de Fourier de una funcin absolutamente integrable converge uniformemente en w, f ( w) debe ser una funcin continua de LO, aun cuando f ( x ) sea dis- continua. Adems, segn el lema de Riemann-Lebesme f ( w) --f O cuando w + & m. Vemos pues que una funcin g (m) es la transformada de Fourier de una funcin " (x) h h 67. Teoremas de inversin de Fourier 337 de cuadrado integrable si y slo si g es de cuadrado integrable. No existe una caracteriza- cin tan sencilla de la transformada de Fourier de una funcin absolutamente integrable. El clculo de una transformada de Fourier o de su inversa, lo mismo que el clculo de cualquier integral, puede a menudo efectuarse con la ayuda de una tabla de integrales. Debido a las mltiples aplicaciones de las transformadas de Fourier existen tablas espe- ciales, que tratan tan slo de integrales de la forma1 f ( x ) eiw*dx. Por simple sustitucin de x por w y de w por - x, se pueden tambin encontrar transformadas inversas con la misma tabla. El uso de las transformadas de Fourier es anlogo al de los logaritmos. Un problema que se resuelve por multiplicacin o divisin puede reducirse a otro que implica simples procesos de adicin o sustraccin tomando logaritmos y al clculo luego de un antilogaritmo. Del mismo modo, un problema que depende de las derivadas con respecto a x puede reducirse a un sencillo problema que slo contiene multiplicaciones de polinomios en w tomando transformadas de Fourier y a hallar luego una transformada inversa. Sin embargo, mientras que la tabulacin de los logaritmos de todos los nmeros con cierta aproximacin es posible,no lo es en cambio la de las transformadas de Fourier de todas las funciones. Por tanto la frmula integral de inversin (67.10) para un determinado problema con frecuencia debe calcularse por mtodos especiales tales como integrales de contorno o incluso integracin numrica. 00 -m EJERCICIOS 1. Hallar la transformada inversa por medio de (67.10) para (a) 7 sen aw (b) 1 - cos aw. w (c) e-&. ( 4 & 2. Comprobar (67.10) cuando 3. Resolver 4. Resolver s + - p = O a% azu para - m<x<m, O<y <l , u(x, O) = e-*l rl , u(x, 1) = o, u(x, y) + O uniformemente en y , cuando x + *. "_= O para --m < x < m, t > O, at ax2 u(x, O) = e-z', U(X, t ) acotada 338 5. Resolver La transformada de Fourier 6. Probar que si se verifica "" au a2u at axz - F(x, t ) para -m < x < m, t > O, u(x, t ) acotada u(x, O ) = o, "_= O para * < x < m, t > O , at ax2 u(x, 0) =f ( x) , U ( X , t ) + O uniformemente en t , cuando X + -Cm, l 4 X , r ) I 5 m= I f(x) 1 INDICACI~N: Aplicar el principio del mximo de la seccin 13 a la banda -L 5 x 5 L, f 2 O, y hagamos que L "* 00. 7 . Haciendo el cambio de variables dependientes er */ [ 4( t , - 01 u(x, 1) = v(x, f)- G' demostrar que existe a lo sumo una solucin del problema u(x, 0) =f ( x) que satisface u(x, t ) e- X2/ 41~ + O uniformemente en t , cuando x + ho, y que esta solucin depende con continuidad def(x). Demostrar en particular que si f y u estn acotadas, I u1 I maxI f[. INDICACI~N: Deducir un principio del mximo para v. Luego hacer que to+ 00. 8. Resolver -(x, O) = o, au- ay u(x, 1) = e-"', U( X , y) + 0 uniformemente en y, cuando x + *m. 9. Resolver - azU + a z ~ = e- s1 ax2 ay2 para --m < x < -m, O <y < 1, u(x, O) = o, u(x, 1) = o, ~( x , y) -+ O uniformemente en y, cuando x + *m. 68. Transformadas seno y coseno Sif(x) es una funcin impar, o sea (68.1) f(-x) = 9 68. Transformadas seno y coseno vemos por simetra que j-;- f(x) cos wxdx = o. Luego, la transformada de Fourier se reduce a 339 f ( o> = i /:@f(x) sen ox& = 2i f(x) senwxdx. l Si f(x) est definida para O < x < m, su transformada seno ser (68.2) 5 ~ f l = f(x) senox&. Si extendemos f ( x ) a - 00 < x < 00 como funcin impar por medio de (68.1), tenemos f ( w ) = ~iB,[f]. Luego, el teorema de inversin se convierte en f(x) = 2;; !z e-'u~~5,[fl do. 1 L La transformada seno es evidentemente una funcin impar de w. Luego la integral del segundo miembro ser 4 I , sen wx& [f] dw. As que el teorema de inversin es L (68.3)
para una funcin f ( x ) definida para O < x < 00. (Obsrvese que tan slo necesitamos conocer & [,f] para O < w < 00, y que el valor principal de Cauchy se reemplaza por una integral impropia ordinaria). Anlogamente, podemos definir la transformada coseno para una funcin f definida para O <x < OO. tenemos Si extendemosf'(x) a - 00 < x < 00 como una funcin par (esto es,f(- x) = f(x)), .?(o) = 2 S,[fI. La funcin 5, [f] es par en w. Luego el teorema de inversin toma la forma 340 La transformada de Fourier (68.6) f(x) =; 1 cos wx8i,[f]du,
(68. 7) para una funcin f(x) definida para O < x < m. Si f(x) es de cuadrado integrable, las integrales entre cero e infinito utilizadas en la definicin de las transformadas seno y coseno como integrales impropias pueden no ser convergentes. Se definen entonces como lmites en media de integrales entre O y M. Con ello las funciones SS If] y Bc [f] son de cuadrado integrable, las frmulas de inversin (68.4) y (68.7) son vlidas, y las igualdades de Parseval tambin. condiciones de contorno nicamente en x = O. Sin embargo, se observa que Las transformadas seno y coseno son tiles frecuentemente al tratar problemas con ~,[f '] = rff(x) sen ox& =f (x) sen ux 1: -0 l f cos CJ Xd r = - w5 c [ f l , con tal quef(x) -+O o cuando x -+00. Con lo que vemos que la derivacin intercambia las transformadas seno y coseno. Por consiguiente, las transformadas seno, lo mismo que las series de senos, se usan en problemas que dependen tan slo de derivadas de orden par. Despus de dos integraciones por partes, encontramos que (68. 8) con tal quef(x) y f' (x) -+O cuando x -+m. As pues, la transformada seno es particular- mente til cuando se daf(O), en tanto que la transformada coseno lo es cuando se conoce f' (0). Ejemplo. Resolver el problema de conduccin del calor en una placa semi-infinita "_= O para O < x < a, t > O, at ax2 u(0, t ) = o, 0) =f ( x) , u(x, t ) acotada Supongamos que f e s absolutamente integrable, y que U, au/ar, &/ax, y a2u/axz son continuas y abso- lutamente integrables en x para cada valor fijo de f. Tomando transformadas seno con respecto a X , y PO- niendo U( w, t ) = lul. encontramos - + wz u = o, au at U( w, O) = 8 s[ f l . 68. Transformadas seno y coseno 34 1 Y u(x, t ) =- D , [ f ] ( o ) e - ~ ~ ~ senwxdo. T o 'I" Esta solucin coincide con la del problema (67.12) de conduccin del calor en una placa infinita que se encontr en la seccin 67, con tal que extendamos f ( x ) a - 00 <x < 00 como funcin impar. L a solucin correspondiente u ( x , t ) del problema (67.12) es tambin impar en torno x = O y por tanto u(0, t ) = O. EJERCICIOS 1. Hallar las transformadas seno de (a) e-" (b) xe-=. 2. Hallar las transformadas coseno de 1 a) y b). 3. Resolver el problema con temperatura variable en el extremo en una barra semi-infinita "" 'u :>-O para O <x < m, I > O, at 40: t ) = dt ) , u(x, O) =o, u(x, t ) acotada 4. Resolver la ecuacin de Laplace en una semibanda -+--O para O < x < m, O<y<:, a2u a2u a. ? ay2 - u(0, Y) = o, u(x, 1) =o, u(x, O) =f(x). u + O uniformemente en y, cuando x + m, 5. Resolver &+&=o para O < X <m, O < y < 1, u ( 0, Y ) = Y ( 1 -Y)? u(x, O) = o, u(x, 1 ) = o. u + O uniformemente en y, cuando x +a, 6. Calcular las transformadas seno y coseno de x - ~ , O <a <1 en funcin de la funcibn gamma r (1 - a ) 1: e-Py-"dy mediante una integral a lo largo de un contorno como el de la figura. WEINBERGER - 12 .__ll_ 342 l. Resolver La transformada de Fourier Ju ~ ( 0 , r ) =f(t), u(x, O) = o, u(x, t ) acotada para u en forma de integral simple que incluye f(r). INDICACI~N: 8. Resolver "- Ju J 2u J x2 +- tu = O para x > O, t O, u(x, t ) -+0 uniformemente en t , cuando S x -+m. 69. Algunas frmulas operativas Ya hemos demostrado en la seccin 63 que si f ( x ) es absolutamente integrable, tiende hacia cero cuando x + 5 00, y tienen derivada f' (x), entonces (69.1) En particular, esta frmula es vlida sif(x) y f' (x) son ambas absolutamente integrables. Puesto que la inversa de la transformacin de Fourier es a su vez una transiormacion de Fourier, podemos esperar que sirva la frmula anloga en direccin opuesta. Esto es, que la derivada de la transformada de Fourier def(x) sea la transformada de Fourier de i xf ( x) : (69.2) S[i xf (x)] = S[f]. d Esta frmula tan slo establece que la transformacin de Fourier puede derivarse bajo el signo integral. Es ciertamente correcta si la integral resultante converge uniforme- mente en w. As pues, si xf(x) es absolutamente integrable, g [f] es derivable con continui- dad y la frmula operativa (69.2) es vlida. Consideremos ahora la funcin g(x) -=f ( ax - b) obtenida reemplazando la-variable x por ax - b, donde a y b son constantes reales. ste es un cambio lineal de variable. Si f ( x) es absolutamente integrable, tambin lo es g (x), y 69. Algunas frmulas operativas 343 Poniendo 5 = ax - b, tenemos para a > O Si a < O, los lmites de integracin se invierten, lo que introduce un signo menos. Hemos obtenido as la frmula de cambio lineal (69.3) Si, en particular, a = 1 vemos que la traslacin hacia la derecha de. amplitud b co- rresponde a la multiplicacin de la transformada de Fourier por e"-. Si b = O, vemos que la multiplicacin de x por una constante a corresponde a la divisin de Q por a y a la divi- sin de la transformada de Fourier por 1 a I . Aplicando la frmula a f^ en lugar de hacerlo a f y teniendo en cuenta que 0. [S.] = = kf(- x), encontramos formalmente (69.4) %[eicxf(x)] =f((w + c ) . Que esta frmula es vlida para cualquier f ( x ) absolutamente integrable resulta evidente del hecho de que S[ e icx f l = I" e*(a+c)sf(x)dx. "m Puesto que la transformada de Fourier es lineal, de (69.4) resulta que B[cos cxf(x)] = 3 B[e'csf(x)] + 2 S[e-icxf(x>] 1 1 (69.5) Y (69.6) = $f((w + c) +f((w - c ) ] , 1 Las reglas anteriores nos permiten calcular nuevas transformadas de Fourier o trans- formadas inversas a partir de una sin nueva integracin. Asimismo tales reglas amplan considerablemente la utilidad de una tabla de transformadas de Fourier, pues cada entrada en las mismas nos conduce a muchas otras transformadas. Ejemplo. La transformada de Fourier de la funcin es f ( o) = __. - 2 seno o La frmula de cambio (69.3) demuestra que la transformada de la funcin 344 La transformada de Fourier para x < c g(x) = 1 para c 5 x 5 d 6 para x > d es La transformada de Fourier de una onda de sinusoide para x 5 O h( x) = senx para O 5 x 5 T i: uara x r es segn (69.6) EJERCICIOS 1. Si 5 [e-*'] = fie-^'/^, hallar la transformada de Fourier de e-a(x-b)' . 2. Hallar la transformada de Fourier de c"* sen cx. 3. Hallar la solucin (en forma de una integral) de la ecuacin en diferenciales y diferencias u(x + 1, t ) - 2u(x, t ) + u(x - 1, t ) = x(x, t ) , au u(x, O) =f(x) 7 para la que Jrm I u I dx es finita. INDICACI~N: Emplear la frmulzj de cambio (69.3). 4. Hallar la solucin (en forma de una integral) de la ecuacin diferencial ordinaria xu(" + ut - xu = o para la que 1 u I dx es finita. I NI ~CACI ~N: Utilizar (69.1) y (69.2). NOTA: La solucin es una funcin de Bessel con argumento imagi- natio K,, (1 x 1). 70. Producto de convolucin Seanf(x) y g (x) dos funciones cualesquiera absolutamente integrables y de cuadrado integrable. Entonces sus transformadas de Fourierf(w) y g (w) son de cuadrado integrable. Segn la frmula del cambio (69.3) vemos que para un x. fijo la funcin eimr$(-. m) es la transformada de Fourier def(xo - x). Esas funciones son tambin de cuadrado inte- grable. Por consiguiente segn la igualdad de Parseval (66.7) A A 70. Producto de convolucin 345 Es fcil ver que si ponemos h ( x ) = m, entonces = i(-w). As la igualdad de Parseval puede escribirse (70.1) J eimx+w)h(-w)dw = f(xo - x)h(x)dx. La funcin de x. que aparece en el segundo miembro de esta igualdad es el llamado pro- ducto de convolucin de las funciones f y h. Se representa por f *h: 21r I:: (70.2) El producto de convolucin tiene muchas de las propiedades de un producto ordina- rio. Es lineal enf y h: ( a h + bf)*h = Uh*h + bf *h, f* (ah1 + bhn) = Uf*hl + bf*h2, y es conmutativo f *h = h*f La ltima identidad puede demostrarse haciendo el cambio de variables y = xo- x en (70.2). Tambin es asociativo f* ( g*h) = ( p g ) *h. De la desigualdad de Schwarz se deduce que la integral de definicin (70.2) converge uniformemente, y que la funcinf*h est acotada: Puesto que f y g son absolutamente integrables como tambin de cuadrado integra- ble. encontramos que para cualquier intervalo finito ( A, B) 346 La trunsformada de Fourier As que podemos hacer que B + 00, A + - 00 para encontrar que f *h es absolutamente integrable, y (70.3) La frmula (70.1) establece que la funcin absolutamente integrable f * h es igual al producto de 2n por la transformada de Fourier de la funcin absolutamente integrable Por lo tanto segn el teorema de inversin 2, el productof^(w) h^(w) es la transformada ?(- w ) h^(- w) . de Fourier de f *h. Hemos demostrado: TEOREMA DE CONVOLUCIN. Si , f ( x) y h (x) son absolutamente integrables y de cuadrado integrable, y si F(w) y (w) son sus transformadas de Fourier, entonces el producto Y(w) h^( o) es la transformada de Fourier del producto de convolucin f *h. Ejemplo. Volvamos a considerar el problema del flujo de calor au a2U - o at ax2 u(x, 0) =f ( x) , "" para +C < x < m, t > O, u(x, t ) acotada Tomando transformadas de Fourier, obtenemos el problema aa - + w2i = o, at G(w, O) =A wl , cuya solucin es =fe-*'[. Si escribimos la frmula de inversin ,. y si f es absolutamente integrable con lo que f (u) ser acotada, la integral podr derivarse bajo el signo un nmero cualquiera de veces para t > O. En particular, vemos que u satisface la ecuacin del calor. Sin embargo, no resulta sencillo demostrar que u satisface las condiciones iniciales, puesto que la integral puede no converger uniformemente en las proximidades de t = O. La transformada de Fourier de es ahora e-w' t , que es absolutamente integrable, de cuadrado integrable, y acotada para t > O. Luego, (70.4) con tal que f ( x ) sea absolutamente integrable y de cuadrado integrable. El hecho de que u (x, t ) tienda a f(xJ cuando (x, t)+ (xo, O) en puntos x. en los que f ( x ) sea continua se deduce de que para I ; ,O. 70. Producto de convolucin 347 En general, es ms fcil calcular la integral de convolucin (70.4) que hallar la trans- formada de Fourier j (oj ) y la transformada inversa de Adems, puede demostrarse que la solucin (70.4) satisface la ecuacin diferencial y la condicin inicial con hiptesis mucho ms dbiles que la de que f ( x ) e",lxl sea continua y acotada para un cierto a > O. Ni siquiera es preciso quef(x) tenga transformada de Fourier. En particular, la temperatura no debe necesariamente tender al mismo valor cuando x + w que cuando x -+- 00. Con mucha frecuencia ocurre que una frmula hallada formalmente con la transfor- mada de Fourier da una solucin en hiptesis ms dbiles que las necesarias para jus- tificar la deduccin de la misma frmula solucin. La integral (70.4) expresa la solucin como una suma de los efectos def(y) en varios puntos. El ncleo de calor Ge- ( X- u) */ 4t 1 representa la temperatura en el punto x en el instante 1 debida a una mancha caliente )) concentrada en y en el tiempo cero. Esta temperatura depende tan slo de la diferencia x - J ', debido a que el medio es homogneo; esto es, que los coeficientes en la ecuacin del calor no dependen de x. ste es el hecho que nos permite emplear la transformada de Fourier y escribir la solucin como un producto de convolucin. EJERCICIOS 1. Hallar la transformada inversa de Fourier de &yw) = ~ ( 0 2 + 1)2' 1 utilizando el teorema de convolucin. INDICACI~N: 8[ e-i zl ] = 2/(02 + 1). 2. Hallar la transformada de Fourier de A en funcin de g(w). 3. Resolver como una integral en la que interviene f ( x ) . 4. Resolver - - 2 " tu = O para -m < x < a, t > O, at 348 La trunsformudu de Fourier uix, O ) =f ( x) , u(x, t ) acotada 5. Demostrar que si f ( x ) y h (x) se anulan para I x 1 > M, el teorema de convolucin puede obtenerse invirtiendo el orden de integracin y con un cambio de variables. 71. Transformadas de Fourier mltiples: la ecuacin del calor en tres dimensiones Consideremos el problema de valores iniciales (71.1) += =o for t > O, ur x , Y 3 2, 0) = f ( x , Y , z ) , u(x, y , z , t ) acotada Su solucin nos da la distribucin de la temperatura en un medio tridimensional de exten- sitin infinita cuya temperatura inicial en el punto (.Y. J *. z ) es,f(s. y, z). Supongamos que el problema (71 . I ) tenga una solucin II tal que u, i u/ i )t , &/ / 3x2, i31 '?J .' y i 2uu i.?sean continuas y absolutamente integrables respecto a x , y uniformemente en y, z y f . Tornando transformadas de Fourier respecto a .Y en (71.1) obtenemos el pro- blema Este procedimiento reduce en una unidad el nmero de las variables cuyas derivadas aparecen, pero deja aun una ecuacin diferencial en derivadas parciales. Podernos eliminar la derivada parcial respecto a y tornando transformadas de Fourier respecto a .I S, y luego la derivada parcial respecto a z tomando transformadas de Fourier respecto a 1. Hemos llegado al procedimiento siguiente : Pongamos c&J,, We, W3, t ) = !Im !ImIr, ei(Uls+w2y+wlz)u(x, y , z , t ) dxdydz , (7 I .2) ~ ( o , , w2, W3) = 12 11%ei (wl s+wzy+w: i z) f (x, Y , Z)dXdYdZ. Multipliquemos la igualdad (7 1 .l) por e' ( wl r -L '"2). w3z) , e integremos respecto a x , y, 7. Suponiendo que las derivadas parciales de u que aparecen en la ecuacin son absolu- tamente integrables, que u, y aulax, au:iy y iiulaz tienden a cero con rapidez suficiente en el infinito, podemos demostrar que y as succzivamente. En consecuencia 6' debe satisfacer 71. Transformadas de Fourier mltiples 349 - + (o1, + 0 2 2 + w32) U = O para t > O, ai ! at U ( W , 0 2 , ~ 3 , O) = F( w1, ~ 2 , 03). &e es un problema de valores iniciales para una ecuacin diferencial ordinaria, y tiene la solucin (71.3) O(wl , up, 03, t ) = ~ ( o ~ , w2, 03)e-(wlZ+wZZ+W~Z)t. Tenemos que regresar a la funcin o a partir de u . Si definimos las transformadas intermedias &(ol, y , z , t ) = eiwlru(xy, Y , z, t ) h , &(o1, w2, 2, t ) = eiwz%(wl, Y , z , t ) &, . L m vemos que C? es la transformada de Fourier de a, respecto a la variable z. Anloga- mente, si definimos eiwl%x, Y , 2, t ) h , ei Wz ! f 1( w, Y, z , t ) &, h entonces @ es la transformada de Fourier de f, respecto a z. La funcin e-(":+"~" O: ) ' es la transformada de Fourier respecto a la variable z de e-(wl z+wzzx me-zz/4t Si mantenemos fijas col, w2 y t y aplicamos el teorema de convolucin a (71.3), encontramos que Calculemos las transformadas inversas de Fourier de ambos miembros de esta igual- dad respecto a la variable w2. El primer miembro es la transformada de Fourier de 2i ,((+ y , z, t ) respecto a y . El segundo miembro es una integral respecto a [ de la transformada de Fourier de una convolucin en la variable y . Intercambiando la integral en [ con la transformada inversa de Fourier, encontramos que Tomemos ahora la transformada inversa de Fourier respecto a col. Mediante el mismo razonamiento, encontramos despus de cambiar el orden de integracin que 350 La transformada de Fourier Sta es, entonces, la solucin formal del problema de valores iniciales (7 1.1) para la ecua- cin del calor. En lugar de justificar las diversas etapas de su deduccin, solamente tene- mos que verificar que la frmula (71.4) resuelve realmente el problema. Esto se hace del mismo modo que en el caso unidimensional de la seccin 70. La frmula (71.4) resuelve la ecuacin del calor con las condiciones iniciales estable- cidas solamente si f ( x, y , z)e-"- A es continua y acotada para un cierto u > O. La transformada de Fourier F (wl, w2, w3) no tiene que ser definida necesariamente. La solucin (71.4) fue descubierta por Laplace. En el proceso de deduccin de (71.4) hemos demostrado implcitamente el teorema de convolucin (71.5) A% w2, 03)g(w1, 0 2 , 0 3 ) para transformadas mltiples de Fourier Tambin hemos observado las frmulas operativas (71.7) 1 : - 1 : - /ym$(x, y , ~ ) e ~ ( ~ l ~ + ~ ~ Y + ~ ~ ~ ) d x d y d z = - i w f ( w , 0 2 , w), y as sucesivamente. le ocurre a f(wl, w2, w3), y la igualdad de Parseval (71.8) Podemos tambin demostrar que si f ( x , y , z) es de cuadrado integrable, lo mismo h es vlida. de la Seccin 67 que los teoremas de inversin Si f es absolutamente integrable, puede demostrarse con mtodos parecidos a 10s Y 72. La ecuacin de ondas tridimensional 351 son vlidos en los puntos (x, y , z) en los que f tiene derivadas parciales continuas hasta las de tercer orden. Obsrvese que aqu tenemos dos nociones distintas del valor principal de Cauchy. Debido a la frmula operativa (71.7) la transformada mltiple de Fourier es til en la resolucin de varios problemas que se traducen en ecuaciones diferenciales en deri- vadas parciales en las que los coeficientes son independientes de x, y y z. Los coeficientes pueden depender de t . EJERCICIOS 1. Resolver el problema de flujo de calor en dos dimensiones $ - [ $ +$ ] =O para t > o , 4x9 Y ? 0 ) =Ax, Y ) , u(x, y , t ) acotada 2. Resolver el problema de flujo de calor con produccin de calor u(x, y , z , t ) acotada 3. Resolver el problema - + - + - - = - F( x , y , ~ ) para O < z < 1, a2u azu a% ax2 ay2 a 2 u(x, Y, 0) = u(x, Y, 1) =o, U( X , y , z ) + 0 uniformemente en z cuando 2 + y2 + m. 72. La ecuacin de ondas tridimensional Consideremos el problema de valores iniciales correspondiente a la ecuacin de ondas tridimensional " d2U ~2 [T; -+-+- ; ; $1 =O para t > ~ , a t 2 (72.1) Pongamos 352 La transformada de Fourier f ( W1 , 0 2 , 03) = / : m !Im f ( x, y , z) ei ( w~x t w2~+o~z) dx dy dz. Entonces con las hiptesis corrientes (f absolutamente integrable, u y sus derivadas par- ciales primeras y segundas absolutamente integrables en x, y , z para cada valor de t ) encontramos que Este problema tiene la solucin Podemos entonces escribir la solucin formal del problema (72.1) del modo siguiente La funcin e i p [ c e y - 3 - 7 ] es una solucin de la ecuacin de ondas del tipo obtenido por separacin de variables. Para t fija es constante sobre los planos perpendiculares al vector unidad ("'. 2, Oi). En el espacio-tiempo es constante sobre cada hiperplano P P P w caracterstico ct ~ -- A x ~ -2 y ~~~ z = constante. Un tal hiperplano representa un w w3 P P P plano perpendicular al vector unidad (", %, ") que se mueve con velocidad c en la P P P direccin de este vector normal. As pues la funcin e i p [ c f - ~ - 7 ~ 3 ] representa una onda plana propagada con velocidad c. Para (x, y , z) fijo, vara sinusoidalmente en el tiempo con frecuencia pc/2n. La funcin e - i ~[ c r +> '$9 +%%I es una onda plana de frecuencia pc/2z que se desplaza con velocidad c en la direccin ( ~~ : , - ~ T, - - "3>. Con lo que la solucin (72.4) P 72. La ecuacin de ondas tridimensional 353 representa u como una superposicin de ondas planas en varias direcciones y con va- rias frecuencias. En tanto que esta forma de la solucin es til en la interpretacin del movimiento, no lo es en cambio para el clculo. Del teorema de unicidad de la seccin 34 se deduce que la solucin en (x, y, z, t ) depende tan slo de Los valores de f ( E , 7 , 5) en la esfera (6- x)2 + (r - y)2 + (5 - z ) ~ I c2t2. No obstante f depende de f para todos los valores de las variables. La frmula (72.4) oculta el hecho de que la solucin del problema (72.1) tiene dominios finitos de dependencia. Para obtener una frmula ms favorable sustituiremos la definicin de f en la fr- mula (72.3). Entonces (72. 5) A A Y , z , t ) Intercambiemos el orden de integracin en esta integral mltiple. Introduzcamos coordenadas esfricas (p, y, t) en el espacio (ml, w, , w3) con el polo norte y = O en la direccin del vector ( E - x, 7 y, - z), y pongamos r = V( x - t )2 + ( y - + ( z - 6). Entonces la integral en (m1, w, , w3), que calculamos primero, se convierte en 111 ei[o,(C-l)+or(s-u)+o~-*~,se~~w12 + W2 + w32Cfdu 1 d v a 1 2 + w22 + W32C W,LcwITto24L = l o [ - F ] sen pcf pdp &rp cos J rr C J =O = !!!! sen rp sen pctdp. rc O Para la integracin respecto a 6, 7 y 5 introduzcamos las coordenadas esfkricas (r, O, 4) en el espacio (6, 7, 5) con su origen en (x, y, z), de modo que t- x=rsenOcos+ 7 - y = r sene sen+ <- z=rccosO. Con esto (72.5) se convierte en (despus de cambiar el orden de integracin) {I senpr senpctdp r sen ed+dOdr I 356 La transformada de Fourier $x. Y, z, O) = o. au 4. Resolver el problema de valores iniciales para la ecuaci h de ondas amortiguadas considerando que la funcin Y (x, y, z, t ) = u (x, y, t ) eaZ lo satisface, 5. Resolver el problema en el paraleleppedo = O para o < ~ < A , o < ~ < B , o <~<c , u=O para x =O, x=A, y = O , y = B , z=O, z=C, por medio de (72.6) y una adecuada extensin de f. Establecer condiciones en las que es vAlida la solucibn. 6. Si hallar u (O, O, O, t ) . l . Si hallar u (x, y, z, t ) . 73. La transformada de Fourier con argumento complejo Seaf(x) una funcin y S un nmero real tal que esy(x) es absolutamente integrable. Entonces ~[e-ssf(x)] = I _a. e(* o-s)zf(x)k. El segundo miembro se parece a una transformada de Fourier ordinaria def, con w reem- plazada por la variable compleja 5 = w + is. Para un tal nmero S y todo nmero real w, definimos la transformada de Fourier con argumento complejo 73. La transformada de Fourier con argumento complejo 357 Si existen dos nmeros reales s1 < S, tales que e- s+f ( x) y e41xf(x) son absolutamente integrables, encontramos que para s1 I s I S, / : m lcSzf(x) I d x 5 cSzzl f ( x) I d x + e- s +l f ( x) Idx, de modo que cSf(x) es absolutamente integrable. Luego f^(w + is) est definida para - 00 < w < 00 y s1 I s I S,. Adems la integral de Fourier converge uniformemente en w y s en esa banda. Por consiguiente, si C es cualquier contorno cerrado simple en la banda s1 < Im [ < S,, encontramos que ! : m l = f ( x ) eirxd(dx = o, -m puesto que eztx es una funcin analtica de 5. Entonces en virtud del teorema de Morera, !(<) es una funcin analtica de 5 para s1 < Im << s2. Ejemplo. Si f(x) = e elz, a > O, podemos tomar cualesquiera S, y S, tales que - a < s1 < S, < a . ,. Luego f ( 5 ) es analtica para - a < Im 5 < a. En efecto, Con lo que que es realmente analtica para - a < Im 5 < a. Con frecuencia sucede, como en este ejemplo, que existe una evidente prolongacin analtica del Y(<) que es una funcin analtica en un conjunto ms amplio. La integral de inversin puede entonces modificarse y a veces ser calculada explcitamente aplicando la integracin de contorno y el teorema de residuos. ,. Ejemplo. Seat([)= l/(a2+[2).en donde a es una constante real positiva. Si ec Szf ( x ) es absolutamente integrable para -a < S < a, el teorema de inversin da O f(x) = - lim 1 e-i(o+is)s 27r L- - L 2 + (o + is)* do. 358 La transformada de Fourier Supongamos primero que x > O, y consideremos el contorno C compuesto de la recta I mt = S, - L. < Re 5 < L y la parte de la circunferencia I [ l2 = L2 + s2 para la que Im 5 < s. Segn el teorema de Cauchy encontramos que para L2 + s2 > az donde K t a es el residuo en el polo 5 = - ia. (Recordemos que S < a, de manera que el polo en ia es ex- terior al contorno). Encontramos que w-i, = -, e-ax -2i u Sobre la parte circular del contorno tenemos Im 5 < S, y por tanto que tiende hacia cero cuando L A 00. Por consiguiente Con lo que f ( x ) = 2a para x > O. e-as Si x < O, el integrando tiende a infinito sobre la parte inferior de la circunferencia. Luego, tenemos que cerrar el contorno con la parte superior Im [ > S de la circunferencia.' As encontramos que f ( x ) = para x < O. eat Con lo cual Cuando damos una funcin analtica y([), tambin tenemos que especificar para qu valores de Im [ es una transformada de Fourier. Recorridos distintos de Im [ pueden ori- ginar transformadas inversas distintas. Ejemplo. Sea nuevamente?([)= 1 / ( a2 + [ 2),a>0, pero especifiquemos que epSxf (x) es absolutamente integrable para S > a. Encontramos donde,,ahora S > a. la recta I mt = s. Luego si x > O, Utilicemos los mismos contornos que antes. Sin embargo, los dos polos estn ahora por debajo de = - senh ax. -1 Por otra parte, no hay polos para Im ( > S, de modo que si x < O, f ( x ) = O. As pues f ( x ) = [-4 senh ax para x > O para x 5 O. 1 73. La transformada de Fourier con argumento complejo 359 Es fcil comprobar que las reglas operativas de la seccin 69 son vlidas para valores complejos de c. Por ejemplo, si e+"f(x) es absolutamente integrable y continua, y si e"7 (x) es absolutamente integrable, en virtud de (69.1) tenemos La derivacin y la transposicin nos da esto es, (73.2) Del mismo modo hallamos que para [ complejo encontramos con tal que xf(x) e';' sea absolutamente integrable. Tambin tenemos la regla de cambio lineal (73.4) para valores reales de las constantes a y b. No obstante, debemos tener en cuenta que si ?([) es analtica en el recorrido s1 < Im 5 <S,, I f(ax - b)] tambin lo es para [/a en el mismo recorrido. Encontramos que (73.5) 8 [ e ~ ( x ) I =Ats + Y ) , donde y es ahora cualquier constante compleja. Finalmente, la frmula de convolucin (73.6) SEf*gl =f(Oi(O es vlida cuando e":f(x) y eiCz g ( x ) son absolutamente integrables y de cuadrado integra- ble. Obsrvese que formalmente es [e-sz:f(x)] * [ePSg (x)] = e-sz[f*g]. Podemos aplicar esas reglas al resolver ecuaciones diferenciales ordinarias o en deri- vadas parciales. Ejemplo. Consideremos la ecuacin diferencial (73.7) x~+" " u=o . d2u du dr dx Tomando transformadas de Fourier y aplicando las reglas operativas (73.2) y (73.3), obtenemos 6 -i-(-eii) - igii + i-ii = O, d d 4 4 (1 + 5")n' + @ = o. 360 La trunsforrnada de Fourier 'lesolviendo esta ecuacin diferencial ordinaria, resulta C(5) = c(r" + 1)-1/2, siendo c cualquier constante compleja. Esta funcin es, naturalmente, multivalente y tenemos que elegir una rama particular. Escribamos (73.8) c(5) = ,-It2 + l)-~iz~-i(arg(C+i)+arg(b-i)l/Z. Im: =O. Obtenemos esta rama imponiendo que Si queremos que u (x) sea absolutamente integrable, debemos elegir la rama que sea analtica para (73.9) De este modo (:)es analtica excepto en los segmentos de recta Re 5 = O, Im 5 2 1 y Re 5 = O, Im C I - 1, que son los cortes de separacin de las ramas de la funcin. Por conveniencia ponemos c = n. Consideremos la integral de inversin Si x > O, seguiremos el contorno C dibujado, dentro del cual li (5') es analtica. Obseryemos en primer lugar que 73. La transformada de Fourier con argumento complejo 36 1 Si hacemos que e+ O, esta integral tiende a cero. identidad anterior tienden a cero cuando L+ 00 si x > O. Por tanto para x > O Segn el lema de J ordan encontramos que las integrales segunda y ltima del primer miembro de la FE li ( O) e-ia"do = 1 : : li (is - O) @"ids + ,/:: li (is + O) @"ids. En virtud de (73.8) y (73.9) li(is - O) = ~ m -ir li(is + O) = ~ irr Con lo que para x > O Puesto que li (w) es de cuadrado integrable, esta frmula da efectivamente el producto de 2n por la trans- formada inversa de Fourier. En cuanto a la aplicacin del lema de J ordan en el clculo de la transformada inversa de Fourier para x < O utilizaremos un contorno en el semiplano supetior. Obtenemos la misma frmula pero con x sustituida por - x. Tenemos as la solucin Esta solucin de la ecuacin (73.7) est evidentemente acotada y tiende a cero cuando1 x1 + m. Es una funcin de Bessel con argumento imaginario, y corrientemente se representa por & (1 x 1). Si ponemos S = cosh 4, obtenemos la frmula (73.10) Puesto que ri (o + is) es de cuadrado integrable en w para - 1 < S < 1, encontramos que ecs2K0 (1 x 1) es de cuadrado integrable para - 1 < S < 1. Sin embargo, KO ( I x I ) no es acotada, sino que tiende a in- finito en forma semejante a log l/l x I cuando I x I + O. En particular, u (x) no es continua y su derivada no es absolutamente integrable ni de cuadrado integrable. As que, las hiptesis que se utilizaron en la deduccin de (73.2) no se satisfacen. No obstante, una vez hemos obtenido la frmula (73.10), podemos comprobar que Ko( x) satisface la ecuacin diferencial para x > O. Claramente se ve que las integrales obtenidas derivando (73.10) con- vergen uniformemente en cualquier intervalo cerrado que excluya x = O. Luego para x > O xK{ + KO' - xKo = (x cosh2 qi - cosh qi - x)e-" coshbd+ l = $(-senh+e-"COshb)d+ = o. La frmula de inversin de Fourier de la que partimos tambin proporciona una frmula para KO (1 x I): dw Si ponemos w = senh +, encontramos 362 La transformada de Fourier Esta integral slo converge condicionalmente, y l o hace muy lentamente. Con lo que la frmula (73.10). es ms adecuada para el clculo de KO (1 x I ) . Una solucin de (73.7) completamente distinta resulta si modificamos el corte de separacin de ramas para zi (5). Definamos ahora zi (5) mediante (73.8), pero con (73.11) y c = i . Entonces zi (5) es analtica excepto en el segmento Re 5 = O, - 1 I Im 5 I 1. Sea zi la transformada de Fourier de la solucin correspondiente a Im 5 > 1, en donde fi es analtica. La solucin viene ahora dada por la frmula de inversin e-i(o+is)tfi(Lo + i s)dw donde S > 1. Nuevamente zi (w + is) es de cuadrado integrable, de modo que dar real- mente u (x). Si x < O, consideramos la integral de contorno a lo largo del contorno de un semicrculo situado en el semiplano superior. Segn el lema de J ordan la integral SA -L+is -- i L + is ) W .. "i a lo largo del arco tiende a cero. Puesto que zi es analtica en el interior del contorno encontramos que u (x) = O para x <O. Si x > O. debemos tomar un semicrculo con el arco vuelto hacia abajo para conse- 73. La transformada de Fourier con argumento complejo 363 guir que la integral sobre ste tienda a cero. Con ello el corte de separacin de ramas es interior a C, y el lema de J ordan da lim ~ ( o + is)e-f(o+t)xdo = a( i s - 0)Pxids + a( i s + 0)e"ids. L- w L-' Con la eleccin de argumentos que hemos hecho $(is - O) = - --I Luego encontramos que para x > O Si ponemos S = cos 4, sta se convierte en Esta solucin de la ecuacin de Bessel se designa por I, (x). Puesto que cos (n - 9) = - - -cos 4, podemos tambin escribir Io (x) en la forma l o( x) = $ [ cosh (x cos C#J)&. Esta solucin se caracteriza por la propiedad de que permanece acotada en x = O. No obstante, se comporta como ~-l'~eZ cuando x + 00, de manera que e-% es integrable nicamente para S > 1. En correspondencia zi (0 es analtica tan slo para Im [ > l. La funcin u (x) obtenida es discontinua en x = O ya que u = O para x < O en tanto que u (O +) = 1. Por consiguiente las hiptesis utilizadas al deducir la ecuacin en zi no se satisfacen. No obstante, podemos comprobar directamente que I, (x) satisface la ecuacin (73.7) para x > O. 364 La transformada de Fourier EJERCICIOS 1. Hallar la transformada inversa de Fourier f ( x) de I/(c3+ 1)tal que c S ? f ( x) sea de cuadrado inte- grable (a)paraO < Im 5 < 2 ~ 5 (b)para-ZV3 1 < Im5 < O (c)para Im 5 > 2V3. 1 1 2. Hallar dos soluciones en forma de integrales de 1 2 XU + -u - xu = o. 3. Hallar en forma de integral una solucin de la ecuacin de Bessel xu + u + XU = o. A 4. Demostrar que si e-slzf ( x) y c-SIX f (x) son acotadas, f (:I) es analtica para s1 -. I m Z ~ . st. 5. Demostrar que si ePIrf ( x) y e-Wf ( x) son de cuadrado integrable, f (z) es analtica para s1 I. A < Im 5 < S,. I NDI CACI ~N: Emplear la desigualdad de Schwarz. BIBLIOGRAFA PARA EL CAPTULO X P. W. BERG AND J. L. MCGREGOK, E1emet~tar.v Partial Differrrrtial Equations, Holden-Day, 1964, capitulo 9. R. COURANT AND D. HI LBERT, Methods of Mathematical PIrj,sies, v. 2 Interscience. 1962. captulos V. VI . 1. N. SNEDDON, Fourier Transforms, McGraw-Hill, 1951. A. G. WEBSTER, Partial Differential Equatiolrs of Mathermricul Phj.sic.7, Dover, 1955. TABLAS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER G. A. CAMPBELL AND R. M. FOSTER, Fourier Ititegral,s for Practical Applicatiotls, Van Nostrand, 194s. F. OBERHETTINGER, Tabellen zur Fourier Ttansformation, Springer, 1957. C A P T U L O XI La transformada de Laplace 74. La transformada de Laplace Consideremos una funcin f ( x ) que se anula para valores negativos de x: f ( x ) = O para x <O. Si e-'Lrf(x) es absolutamente integrable, lo mismo le ocurre a eP"f(x) para S 2 sl. Se deduce que la transformada de Fourier ,f(() de una tal funcin (si existe) es analtica en un semiplano Tm( > sl. Una funcin analtica est determinada con unicidad por sus valores sobre cualquier segmento de recta. En particular, f (T) est determinada por sus valores en una porcin S > s1 del eje imaginario ( = is. P. ,-. La transformada de Laplace la definimos del modo siguiente S? [fl ( S) = 5 Cfl (is) 9
(74.1) S[f] = cszf ( x) dx. Integrando por partes encontramos que Lrn e-sxf' ( x) dx = e-szf(x) ]S + s e-szf(x)dx = S 2 [fl -f(O) * con tal que e-szf(x) sea absolutamente integrable y continua para x > O, y tiende a cero cuando x + 00. Tenemos as la frmula operativa (74.2) Q[f' I = sC[f I -f(O). Sif(0) ==O de modo que la funcinf(x), definida como nula para x < O, es continua en x = O, esta frmula es un caso especial de la frmula operativa (73.2) con ( = jS. Las dems frmulas operativas de la seccin 73 tambin se pueden aplicar aqu. Vemos as que 2 [ xf ( x) 1 = -& 53 [fl d (74.3) 366 La transformada de Laplace 2[ ecsf ( x) 1 ( S) = 2 [ f ( x ) 1 ( S - c ) . AI aplicar la segunda frmula en (74.3) debemos tener en cuenta que, por definicin, f ( x ) = O para x < O. Por ejemplo, ya que lis es la transformada de Laplace de la funcin O cuando x < O [ 1 cuando x 2 O. H( x ) = sta es la que se llama funcin de Heaviside. Por la frmula de cambio vemos que es la transformada de Laplace de H( x - b) O cuando x < b [ 1 cuando x 2 b. Si f ( x ) y g (x) se anulan para x < O, su convolucin ser (74.4) El teorema de convolucin Nf*gl = 52 [ f l Q [gl se deduce del de la transformada de Fourier. Ejemplo. Puesto que la transformada de Laplace de la funcin de Heaviside H( x ) es l/s, tenemos a [ p ( Y ) d Y ] = C[[f*HI =, Wl . 1 Para conseguir la inversin de la transformada de Laplace (es decir regresar a f ( x ) a partir de I! [f]) introducimos la extensin analtica F ( a ) = I e-uxf(x)dx en la que u = S + ir]. Si e"x'f(x) es absolutamente integrable, F( o) es analtica para Re u > sl. Para u = S (real) F ( s ) = 52 cfl ( S) . A L - ) = F( "e3. Es evidente que El teorema de inversin 2 para la transformada de Fourier, que aparece en la pgina 335, demuestra que L+is f(x) = - * lim I F(-iJe-icxd( 2~ L-W - L+i s cuando S > s1 y el camino de integracin es una recta horizontal. 74. La transformada de Laplace 367 Hagamos el cambio de variable u = - i [ , que es un giro de 90"en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen. La integral de inversin sigue ahora una recta ver- tical en sentido descendente. Introduciendo un signo menos invertimos la direccin de integracin. Con ello donde S s1 de modo que F(a) es analtica para Re u 2 sl, y el camino es vertical. Esta frmula es el llamado teorema de inversin de Mellin. Es vlido siempre que e-sz""fx) satisfaga las condiciones del teorema de inversin 2 de la seccin 67. La funcin f ( x ) cuya transformada de Laplace es F ( S) se llama transformada inversa de Laplace de F (S), y se representa por 2-l [f]. Sea F (u) analtica excepto para un conjunto finito o infinito numerable de polos c1, u, . . . con Re u( < sl. Si F( u) -+O uniformemente en una sucesin de semicircunferen- cias I u - s1 I = RK, Re u I s1 donde R k + 00 cuando k -+ m, encontramos en virtud del teorema del residuo y del lema de J ordan que (74.6) f ( x ) = Z %,,[F(a)euzlI con tal que la serie del segundo miembro converja. Ejemplo. Hallar la transformada inversa de Laplace 2-1[ 1 /(S - 1)2]. Es claro que F(u) = 1 /(u - 1)2. Su nica singularidad es un polo doble en u = 1, y I = m + O cuando ]u - 21 + m. Por consiguiente, Esto es, Si e-'+f(x) es absolutamente integrable, con lo que I F( u) I es acotada. La transformacin bilineal U= (S1 - 1)w + S, + 1 w + 1 representa el crculo unidad I w I 5 1 sobre el semiplano Re u 2 sl. Las partes real e imaginaria de F + ' 1 + son funciones armnicas acotadas en ese crculo. Segn el lema de Riemann-Lebesgue F (sl + in) -+ O cuando w+l 368 La trunsfornmdu de Lupluce --f + 00. Luego los valores de contorno de F i (S1 - 1) )I' -; s 1 + 1 1.1' + 1 sobre I i .~ 1 tienden a cero cuando M' + -l . De la frmula integral de Poisson (24.8) se deduce como en la seccin 25 que F 2 w -+l . Con ello hemos demostrado: tica para Re u > S], y ('" - + '1 es continua y tiende a cero cuando IC 7 1 Si e-"If'(x) es absolutamente integrable, su transformada de Laplace F((J ) e5 anal- lim F ( c ) = O c7-e para Re u 2 sl. Limitmonos ahora a los valores reales de o, y pongamos u = s. Para S ;,s 1 y por tanto si S > O Observando que la funcin te-' alcanza su nxiximo en t = 1 y poniendo t : $SS. encon- tramos que -sxe-sx/ 2 1 5 e- l 2 de modo que El segundo miembro es la transformada de Laplace de 4e-1 1 f(2~.) 1, y e- 2*~y 4 L>-' 1 f (2.1.) 1 es absolutamente integrable. Luego el segundo miembro tiende a cero cuando .Y+ O. y tambin lim sF ' ( S) = O. S" Supongamos ahora que f ( x ) es continua a l aderecha de Y ~ O, y que .f'(x) tienda a f ( 0) tan rpidamente que para un cierto s2 la funcidn X sea absolutamente integrable en el intervalo O < x -, ( X I . Entonces l a I'uncih [ f (.Y) -f(O)],'x posee una transformada de Laplace C; (.S). En virtud de l aprimel-a f i i rmul a (74.3) 369
lim s i ! [ f ] =f(O). Esto es, la transformada de Laplace 2 [f] se comporta como f'(O)/s para valores grandes de s. Utilizando esta propiedad podemos hallar f ( 0 ) a partir de 2 [f] sin integracin. En forma parecida, podemos demostrar que si F( s) es la transformada de Laplace de una funcin cualquiera f(x) con la propiedad de que f ( x ) e"1" sea absolutamente integrable para algn valor de sl, entonces para cada entero no negativo k lim s k F [ k l ( s ) = O . *m De este hecho se deduce que sif(x) es derivable k veces a la derecha de x = O y sif[&](x) tiende a fLk1(0) tan rpidamente que es absolutamente integrable en el intervalo O < x < 00 para un cierto S,, entonces (74.7) Esta frmula afirma que para valores grandes de S la transformada de Laplace F( s) se comporta como la serie obtenida integrando trmino a trmino la serie de Taylor de f ( x ) . (Obsrvese que 2 [ xnl n!] = s"-l>. No obstante, ni la serie de Taylor de f ( x ) ni la correspondiente serie de potencias para F (S) convergen necesariamente. De hecho, ni siquiera es necesario que f ( x ) sea derivable excepto en x = O. Ejemplo. Sea O para x < O es para O 5 x 5 1 O para x > 1. Entonces La serie de Laurent del primer trmino en potencias de lis, corresponde a la de Taylor en torno a .x = O para f ( x ) . El factor e-# hace tender a cero cualquier potencia de S del segundo trmino. La prolongacin analtica 370 La trunsforrnudu de Lupluce tiene una singularidad esencial en u =00, y por tanto no puede ser desarrollada en potencias hnicamente positivas de l/u. Como en el caso de la transformada de Fourier, existen tablas especiales de funciones y sus transformadas de Laplace. (Vase la bibliografa al final de este captulo). EJERCICIOS 1. Hallar las transformadas de Laplace de (a) senx (b) x3 (c) (x + bI2 (d) x"' , a > O (Por definicin, T ( a ) = ya- ' e- Ydy) . I" 2. Si para x > O, f ( x ) es peridica de perodo a: f ( x +a) =f ( x) , escribir la transformada de La- place como una integral entre O y a. I NDI CA C~N: Poner la transformada de Laplace como una suma de integrales e intercambiar la adicin con la integracin. 3. Hallar la transformada inversa de Laplace de 4. Hallar una frmula para 2 [f"'] en funcin de i! [f] cuando f ( x ) es derivable con continuidad tres 5. Demostrar que si F( o) es analitica en el infinito de modo que F(u) = b ~ - " para /u1 R , veces para x 2 O. z 1 entonces INDICACI~N: Utilizar el lema de J ordan para calcular la inversin integrando en una sucesin de contornos que contienen la circunferencia I o I = R. 6. Si hallar f (0) y f'(0). 75. Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias Antes de aplicar la transformada de Laplace a la resolucin de ecuaciones en derivadas parciales, indicaremos su gran utilidad en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias. Si aplicamos la frmula operativa (74.2) dos veces obtenemos (75.1) 2[f"I = sIs23[fl -f(O)} -f'(O) = s"[f] - S f ( 0 ) -f'(O). En esta frmula aparecen los valores def y f '-en cero, en contraste con las frmulas 75. Problems puru ecuuciones diferenciales ordinarias 37 1 (68.8) para las transformadas seno y coseno en las que slo aparece uno de esos valores. Por otra parte, las frmulas para las transformadas seno y coseno se aplican nicamente sif(x) y f' (x) tienden a cero cuando x --f 00. La frmula (75.1) para la transformada de Laplace es vlida si solamente e- sxf ( x) y @'f' (x) tienden a cero cuando x -> para valores suficientemente grandes de s. Vemos, entonces, que por lo que se refiere al uso de la transformada de Laplace en la resolucin de una ecuacin diferencial de segundo orden necesitamos datos iniciales completos en x = O, pero en cambio casi ninguno en x = 00. Por tanto la transformada de Laplace es especialmente til para resolver problemas de valores iniciales. Las trans- formadas seno y coseno son ms bien tiles para resolver problemas de contorno en el intervalo O <x < a. Consideremos, por ejemplo, el problema de valores iniciales u"(x) + 2u'(x) + 2u(x) =f ( x) para x > O, u'(0) = o. (75.2) u(0) = o, Pongamos U( S) = 2[u3, F( s ) = 2 [ f l . Tomando transformadas de Laplace y utilizando (74.2) y (75.1), obtenemos la ecua- cin algbrica (s2+2s+2)U=F. De aqu resulta Hemos obtenido la transformada de Laplace de la solucin en forma de un producto. Segn el teorema de convolucin donde 2 [ y ] = 1/(s2 + 2s + 2). Obsrvese que el polinomio del denominador puede ob- tenerse sustituyendo cada derivada del primer miembro de (75.2) por la correspondiente potencia de s. Por esta razn, la variable D (smbolo de la derivada) se utiliza a veces en lugar de s. Puede obtenerse con facilidad la funcin y con el teorema de inversin. !![ y] tiene polos simples en - 1 i. Luego segn (74.6) &l+)X e""L) S *(X) =7+7- - sen x. La funcin y satisface la ecuacin diferencial homognea *" + 2*' + 2* = o y las condiciones iniciales 372 La transformada de Laplace $ ( O) = 0 $ ' ( O) = 1. As la solucin (75.3) coincide con la deducida en la seccin 27, con R (x, y ) = y (x -y). La transformada de Laplace da simplemente una va sistemtica para hallar la funcin influencia. Por consiguiente la transformada de Laplace da una solucin para un problema de valores iniciales con condiciones iniciales no nulas. Ejemplo. Consideremos el problema u" + 2u' + 2u = O para x > O, u(0) = 1, u'(0) = 2. ! i ! [ U' ] = su - 1 2 [ U' ' ] = s2u - S - 2. s ~ u - s - 2 + 2 ( s u - l ) + 2 u = o , Pongamos U( s ) =O [ u] . En virtud de (74.2) y (75.1) Tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de la ecuacin, obtenemos
(S2 + 2s + 2) u = S + 4. Entonces U = s + 4 S2 + 2s + 2' Tomando la transformada inversa por medio de (74.6), encontramos la solucin u(x) = (3 + i)e"l+"" ( 3 - i)e"-"' 2i + . -2i = e-'[3 senx + cos x] . La aplicacin de la transformada de Laplace nos da as un sencillo mtodo para calcular esa combinacin lineal de las dos soluciones e-= sen x y e-= cos x de la ecuacin diferencial homognea que satisfacen las condiciones iniciales dadas. La transformada de Laplace se aplica con frecuencia a ecuaciones diferenciales ordi- narias con coeficientes constantes, que tambin se pueden resolver por otros mtodos. No obstante, tambin se aplican con xito a ciertas ecuaciones diferenciales con coeficien- tes que son polinomios en x. Ejemplo. Para resolver (75.4) u" + xu' + u = O para X > O, u(O) = 1, u ' ( 0) = o, pongamos U( s ) = 2ru1. Entonces 9 [ u ' ] = su - 1 2 [ u" ] = szu - s. 75. Problemas para ecuaciones diferenciales ordinarias 373 En virtud de la primera frmula operativa (74.3), %[xu'] =---[su - 11 =- sU' ( s) - U( s ) . d ds Con lo que la transformada de Laplace de la ecuacin diferencia1 es - s u ' + s ~ u - s = o ,
U"sU=-l . Multiplicando esta ecuacin por e-azir, tenemos (e-"'/2u) = "e-s'/e. Luego U( s ) = @'/2[r e-u2c2dcr + c ] , siendo c una constante de integracin. Puesto que U debe tender a cero cuando S+ m, concluimos que c =O. As pues En lugar de aplicar la frmula de inversin, obtenemos u (x) mediante un artificio especial. Definamos la nueva variable x =u - s. La integral se transforma en U( s ) = e-85e-xP/2dx. lo' Con lo que U( s ) es la transformada de Laplace de y por tanto u(x) = e-s*/z es la solucin del problema (75.4). EJERCICIOS 1. Resolver u" + u' + u = senx para x > O, u(0) =o, u'(0) = 1. 2. Resolver 3. Resolver 4. Resolver u" + 2u' + u = e- = para x > O, u(0) = u'(0) = o. d" + u" + u' = xe" para x > O, u(0) = u'(0) = u"(0) = o. u'" + 2u" + u' =f(x) para x > O, u(0) = u'(0) = u" (0) = o. WEINBERGER ~ 13 374 La transformada de Laplace 5. Resolver u - u - u 0 para x > O, u(0) = 1, u(0) = -1. 6. Resolver XU + u + xu = O para x > O, u(0) = 1, u ( 0 ) = o para hallar la transformada de Laplace de la ecuacin de Bessel J o (x). 7. Resolver x% +xu + (x - 1)u = O para x > O, u ( 0) = o, u(0) =i para hallar la transformada de Laplace de la funcin de Bessel J, (x). INDICACI~N: Utilizar (74.7). 76. Problemas de valores iniciales para la ecuacin del calor en una dimensin Consideremos el problema de la conduccin del calor en una barra infinita - O para -a< x < 00, t > O, at ax2 (76.1) 0) =f(x) 9 u(x, t ) acotada Este problema se resolvi en la seccin 70 por medio de la transformada de Fourier con respecto a x. Deduciremos ahora la solucin mediante la transformada de Laplace respecto a t . Sea Entonces 1 at dt = s U( x, S) - u( x, O ) e-fs- au = su - f ( x) . au a2u Supongamos que ~ y ~ sean acotadas y continuas, de manera que podemos de- ax ax2 rivar bajo el signo integral para obtener Tomando la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial (76.1) con respecto a t obtenemos (76.2) 76. Problemas para la ecuacin del calor en una dimensin su - f ( x) - - = o. a2 u ax2 375 Para cada valor de S fijo esta es una ecuacin diferencial ordinaria en U (x, S) consi- derada como funcin de x. En lugar de condiciones de contorno imponemos la condicin de que U permanezca acotada para todo x. La solucin de este problema viene dada por como puede verse resolviendo (76.2) mediante la transformada de Fourier. 1 Para hallar u (x, t ) necesitamos la transformada inversa de Laplace de --e -KIX-YI. Esta funcin tiene como es natural una extensin como funcin analtica de la variable compleja u : fi g (a) = (+-+e-+' k~/ . Esta funcin es multivalente, y tenemos que elegir una de sus ramas, precisamente tomamos la rama de ol'z que es positiva en el eje real positivo y que presenta un corte a lo largo del eje real negativo: - n < arg u < z. De este modo g (u) es analtica para Re u > O. La frmula de inversin de Mellin da (76.4) Apliquemos el teorema de Cauchy a la integral de e"g (u) sobre el contorno que se muestra en la figura. Puesto que g (u) es analtica dentro del mismo, qt 376 La transformada de Lapluce + 1 euf g( u) du + 1 : ; euf g(u)da + l-L e" l g( u) du = O. S- i L ul=f ar g u =- v Hagamos que E + O. Ya que lc-sl=/, esta integral tiende a cero. Hagamos que L --f 00. Sobre la rama hemos elegido, Reo1/? >O, de modo que I g (a) I < 1 a I-l/z. Luego I g (u) 1 I ( L - S) - I ;~ sobre la semicircunferencia I o - S I = L, Re a 5 s. Por lo tanto segn el lema de J ordan las integrales sobre ese contorno tienden hacia cero. Las dos integrales sobre el eje real negativo pueden unirse. Poniendo o = - U? , tenemos g(u) = -e-"1z-yJ para arg u = n- 1 . 1P g( u) = -el *l r-vl para arg u = "n 1 . - ' CL Encontramos as lim I eofg(u)du = - S+iL L+rn S-iL (-2CLdp) = f I e-pZf cos p(x - y)dp. Luego segn la frmula de inversin (76.4) (76.5) Por medio de la integracin de contorno hemos reemplazado la integral de inversin de convergencia lenta (76.4) por la integral (76.5) de convergencia rpida. En el caso pre- sente podemos simplificar el clculo todava ms. Recordando que la transformada de Fourier de caS2es w e - 3 1 4 a , vemos que 2 e-wzf cos p ( x - y) dp = e-*'' cos p ( x - y)dp L E - I I m = m e - ( 1 - ~ ) 2 / 4 f . - e-wzt+i rr/s-y/dp Sustituyendo esta identidad en (76.5), vemos que (76.6) Regresemos a la frmula (76.3) para la transformada de Laplace de la solucin de (76.1). Si podemos intercambiar la integracin que se presenta en la frmula con la transformada inversa de Laplace, encontramos la frmula solucin 76. Problemas para la ecuacin del calor en una dimensin 377 Esta frmula est de acuerdo con la solucin (70.4) obtenida por medio de la trans- formada de Fourier. Mejor que justificar el intercambio de la integracin y los pasos anteriores, podemos comprobar como en la seccin 70 que esta frmula da ciertamente una solucin del problema (76.1) para una clase muy amplia de funciones iniciales f ( x ) . Para alguna f la solucin puede ni siquiera tener transformada de Laplace, de manera que la deduccin de la frmula (76.7) por medio de la transformada de Laplace, lo mismo que con la transformada de Fourier, debe considerarse como puramente formal. El problema anterior puede resolverse con igual facilidad mediante la transformada de Fourier que con la de Laplace. Consideremos ahora un problema que resulta ms sencillo con la transformada de Laplace. Sea el problema u(x, t ) acotada Su solucin describe la conduccin del calor en una barrasemi-infinita cuando el calor en el extremo se va eliminando de manera proporcional a la temperatura en dicho ex- tremo. Esta condicin de contorno viene a ser la prdida de calor, convectiva o conductiva, o de tipo radiante. Poniendo U( x, S) = e-%(x, t ) dt , l o" encontramos como antes que U satisface la ecuacin diferencial ordinaria SU(& S) -f(x) - - = o azu a 2 para cada valor fijo de s. En x = O tenemos la condicin de contorno -(O, S) - U( 0, S) =o, au ax en tanto que en x = 00 necesitamos que U permanezca acotada. La funcin de Green adecuada a este problema es Luego 378 La primera integral formada inversa es La transformada de Laplace es la misma que la de (76.3), con f ( x ) = O para x < O. Su trans- Esta funcin satisface la ecuacin del calor y las condiciones iniciales establecidas, pero no la condicin de contorno. La segunda parte de U (x, S) en (76.9) da la correccin nece- saria para satisfacer la condicin de contorno. Observemos que el trmino corrector con- tiene x + y en lugar de x - y . La solucin del problema (76.8) no es una convolucin en x, como pudo suponerse, puesto que el problema queda cambiado cuando x se reem- plaza por x + a. (La coordenada del contorno es alterada). Por una integracin de contorno del tipo utilizado en la deduccin de (76.5) encon- tramos que ( p cos px + sen p x ) ( p cos I.LY + senpy)dp. La aplicacin de la misma integracin de contorno a (76.9) nos da la solucin formal Esta expresin es muy parecida a una solucin obtenida mediante una transformada integral. La transformacin no es respecto a senpx o a cospx, sino respecto a la com- binacin lineal (u cos px + senpx), que satisface la condicin de contorno en x = O para cada valor de p. Para cada p la funcin e-"zt (p cos px + sen px) es una solucin de la ecuacin diferencial y de las condiciones de contorno. Para una f(x) que sea dos veces derivable con continuidad y que tienda a cero junto con su primera derivada en el infinito, podemos demostrar que la integral de (76.1 1) converge uniformemente en t para t 2 O. Luego si, como demostraremos, u (x, O) = f ( x ) , tenemos la f6rmula Esta identidad es una frmula de inversin para tal transformada. Para comprobar que la funcin (76.11) satisface la ecuacin del calor necesitamos tan slo poder derivar bajo el signo integral. Esto es ciertamente posible para t > O su- puesto que f ( x ) sea slo absolutamente integrable, ya que ambas integrales convergen uniformemente para t z Io para cualquier to > O. Anlogamente, u satisface la condicin de contorno aujax (O, t ) - u (O, t ) = O para t > O. Para probar que u satisface la condicin inicial, invertimos el orden de integracin. Esto es posible para t > O debido a la convergencia uniforme de las integrales, supuesto que f ( x ) sea absolutamente integrable. Obtenemos la frmula 76. Problemas para la ecuacin del calor en una dimensin donde 379 Las dos primeras integrales del segundo miembro son transformadas de Fourier cuyos valores conocemos. Simplificamos la integral aplicando el teorema de Cauchy y siguiendo el camino de integracin desde el eje real a la recta paralela Im ,LA = (x + y) / 2t . Introdu- ciendo la nueva variable v = ]/?[,U - i (x + y)/ 2t ], obtenemos la frmula r ./i>e-. _ - I La ltima integral converge uniformemente en x y t . Por consiguiente para x + y > O el segundo trmino tiende a cero cuando t --f O. As que para x > O = f W en los puntos x en los que f es continua, como hemos comprobado en la seccin 70. Ni siquiera es necesario suponer que f (x) sea absolutamente integrable. Es suficiente que f ( x ) e sea absolntamente integrable para a > O. La funcin K( x , y, t ) representa la solucin del problema (76.8) en (x, t ) cuando la temperatura inicial es cero excepto para un (( punto caliente H (funcin 6) en y. Una vez que K (x, y, 1) ha sido calculada, la solucin para cualquier otra funcin inicial f (x) puede calcularse a partir de la integral simple (76.13) mejor que integrando (76.9) y tomando la transformada de Laplace. Para hallar K (x, y, t ) explcitamente, necesitamos integrar la ltima parte. Esta integracin podra hacerse numricamente. Sin embargo, la integral puede reducirse a otra ya tabulada. Consideremos la funcin en donde hemos puesto U = &A. Entonces , = - j/: + F( a ) . 380 La transformada de Laplace Resolviendo esta ecuacin diferencial con la condicin F( 0 ) = /Im- - dA A'+ 1 "=' encontramos = rre" - 2 V%ea I:" e-q'dr, = r r ea erfc (GI. La funcin complementaria de error est tabulada. (Vase E. J ahnke and F. Emde, Tables of Functions, Dover 1945, p. 24 y bibliografa en p. 40). Luego de (76.14) resulta que La solucin se obtiene con (76.13). A partir de esta solucin podemos calcular cualquier propiedad fsica que se necesite. Por ejemplo, de la frmula (76.14) vemos que lim K( x , y, t ) = O 1 + - uniformemente en x e y. Luego si f(x) es absolutamente integrable, 1 + - lim u(x, t ) = O uniformemente en x. Un estudio ms minucioso de K muestra que el producto t3I2K ( x, y, I) est uniformemente acotado. Luego u (x, t ) tiende a cero como lo hace t-3)2/2cuando t - t 00. Observacin. El clculo aqu expuesto resulta algo complicado debido a que hemos deducido la frmula para K (x, y , t ) a partir de su transformada de Laplace. Podramos haber buscado esta transformada inversa de Laplace en una tabla. En nuestro estudio hemos elegido la deduccin porque es necesaria en problemas ms difciles. 77. Un problema de difraccin EJERCICIOS 38 1 1. Resolver el problema "" - O para x > O, t > O, at ax2 u ( x , 0) = f ( x ) , u(0, t ) = o u ( x , t ) acotada mediante la transformada de Laplace. 2. Resolver el problema (76.8) observando que la funcin v ( x , t ) = - - u au ax satisface "" av a2v - at ax2 '7 v ( x , O) =f ( x ) - f ( x ) , v ( 0 , t ) = o. 3. Resolver el problema "" au at u b , O) =f ( x ) , u(0, t ) = u ( l , t ) =o, 2- 0 para o < ~ < I , t > 0 , mediante la transformada de Laplace. Obtener la transformada inversa de Laplace. a) por medio de la serie " 1 2 e - ~ e - 2 n G, senh V - 7l=O que converge uniformemente para Reo L s1 > O, junto con (76.6). Demostrar que esta solucin coincide con la obtenida ampliandof(x) como una funcin peridica impar, y aplicando la frmula (76.7). (ObsCrvese que no se necesita ningn corte de separacin de ramas). Demostrar que la solucin obtenida de este modo coincide con la que se obtuvo por separacin de variables. b) obteniendo una serie de residuos, utilizando el lema de J ordan. 4. Resolver el problema " 4&=0 para O < x < 1, t > O, at ax2 u ( x , O ) = x . ax(O, 1 ) -3u(O, t ) = I , au u(1, t ) =o por medio de la transformada de Laplace. 77. Un problema de difraccin En un problema de valores iniciales en ms de una dimensin la transformada de Laplace elimina la variable tiempo pero queda todava una ecuacin en deri\,adns par- 382 La transformada de Laplace ciales en las variables espaciales. Para resolver este nuevo problema, puede ser til el empleo de las series de Fourier y de las transformadas de Fourier, de manera que los diversos mtodos se utilizan en forma combinada. Como ejemplo consideremos el siguiente problema de valores iniciales y de contorno para el problema de la ecuacin de ondas en dos dimensiones y en coordenadas polares. a% a2u 1 au 1 a2u = at2 a? r ar F a@ O para r > O, O < 8 < 27r, t > O, au au ae ( r , O, t ) = - ( r, 27r, t ) = O, ae u( r , 8, O ) = O, au - ( r, at &O) = f ( r , 0). - (77.1) Este problema se refiere al movimiento de ondas sonoras en presencia de una pared rgidasemi-infinita en 0 = O. Supongamos que todo es indepepdiente de la coordenada z. Tomemos primero la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial (77.1) res- pecto a t para obtener el problema de contorno elptico (77.2) donde (77.3) U acotada En lugar de condiciones de contorno imponemos condiciones de regularidad a U en el punto singular r = O y r = 00. Aplicando la separacin de variables a la ecuacin diferencial homognea [esto es, la ecuacin (77.2) con f = O] y las condiciones de contorno en 8 = O y f3= 2n se obtienen soluciones de la forma J,,,, (irs) cos +no, n = O, 1, 2, . . . . En consecuencia, desarrollamos U y f en series de cosenos (77.4) donde (77.5) m U - ZAo ( r , 1 S) + X An(r, S) cosZn0 f- ao( r ) + X a, (r) cos-ne, 1 n=l 1 m 1 n= 1 2 un(r) = 1 I"" f ( r , e) cos-nede. 1 T o 2 Multiplicando la ecuacin diferencial (77.2) por cos +ne, integrando, y aplicando la inte- gracin por partes se obtiene la ecuacin diferencial ordinaria 77. Un problema de difraccin 383 La correspondiente ecuacin diferencial homognea se satisface con las funciones de Bes- se1 con argumentos imaginarios Inl2 (rs) y Kni2(rs) de primera y tercera especie respec- tivamente. I,,, (x) es regular en x = O, mientras que Kni2 (x) decrece como cuando x -+00. Con el mtodo expuesto en la seccin 28 encontramos que la solucin de la ecua- cin diferencial anterior que es regular en r = O e 00 (suponiendoque a,, sea regular y que se anule en el infinito) es (77.6) en donde (77.7) Hemos encontrado la transformada coseno finita de la transformada de Laplace de la solucin u de (77.1). Construiremos ahora dicha solucin. Utilizando la definicin de los coeficientes a,, ( r ) podemos poner la serie de U en la forma Supongamos que podemos intercambiar la adicin y la integracin. Entonces (77.8) (77.11) Para p > r, debemos simplemente intercambiar p y r. 384 La transformada de Laplace Si no existiera pared en 8 = O 8 = 2n, obtendramos una solucin de la forma (77.9), pero con el nico trmino 241 ( r, p, H - 4, S) reemplazando los cuatro trminos del corchete. Este problema de valores iniciales puro puede resolverse por el mtodo de la seccin 72. Comparando las soluciones, encontramos que (77.12) %( r , p, a, S) = - 'I" e-St dt 2 ++pLzrp d/tz - ( 13 + p2 - 2rp cos a) Para hallar la funcin utilizamos las frmulas de representacin (G. N. Watson, A Treatise on the Theorie of Bessel Functions, p. 172). Aqu r (c) es la funcin gamma usual. En particular, T( 1/2)= ]in. la integracin con la adicin, encontramos Sustituyendo las frmulas anteriores en la definicin (77.11) de +2 e intercambiando Para sumar la serie observamos que para j x I < 1 Luego [u2 + +s2 - rps2( 1 - 7-91 COS udu [lm (uz + 1 3 ~ ~ ) ~ + p2$s4( 1 - ?)2 -2prs'( 1 - ?) (uz -k ?S') cos (Y Calculemos la integra1 en u mediante integracin de contorno: ' =n-iZW+, donde 2 :I t2- significa la suma de los residuos en los polos del ltimo integrando situados 77. Un problema de difraccin 385 en el semiplano superior, considerando aqul como una funcin analtica de la variable compleja u. El integrando tiene polos cuando u2 + rzsz =prs2 ( 1 -zz) e%!=. Supongamos que u no es un mltiplo de z de modo que pr (! - t2) e'"-r2 no es real cuando - 1 < < z < l . Entonces la raz cuadrada de esta cantidad no es real ni imaginaria pura. Definanos v = ( pr ( 1 - - P 1 1/ 2 como la raz cuadrada cuya parte imaginaria es positiva. Entonces los polos, en el se- miplano superior, del integrando en la integral anterior se presentan en u = sv y u = - si. Encontramos como residuos en esos polos ei@eis0/[4sv cos ( a/ 2) ] y e - i ~/ z e - ' s ~ /[- 4 s;cos ( a/ 2) ] , respectivamente. As hemos hallado que el valor de la integral en u de (77.13) es Re {2zieix/2eisu/[4sv cos ( a/ 2) ] } , de modo que Recordemos que v = { p r (1 - ?-)eia - P}'", de manera que v es una funcin de T. Definamos ahora la nueva variable compleja q = pr - iv = pr - i (pr(1 - $ ) e i ~ P } I / ~ . Entonces en donde el camino r en el plano 97 est definido por - 1 I z 1 . Va desde = r - p a r + p . Precisamos expresar - - " en funcin de 11. Calculemos v d7i con una eleccin adecuada de la rama, y El camino T va desde 71 = r - p hasta = r + p y permanece por encima o por 386 La transformada de Laplace debajo del eje real. El integrando es analtico excepto en el corte a lo largo del eje rea! desde - ( r 2 + p2 - 2rpcos a (r2 + p2 - 2rp cos a)1k2. Luego segn el teorema de Cauchy podemos reemplazar r por el segmento de recta a lo largo del eje real, pon- gamos 77 = t : El integrando es imaginario puro para t < (r2 + p2 - 2rpcos c)'i2 y real ms all de este valor. As podemos encontrar inmediatamente la parte real en cuestin: Puesto que Q2 es una funcin continua de u , su signo puede solamente cambiar cuando Q2 = O. Esto ocurre cuando (x = (2n + 1) n con lo que cos c( = - 1 . Cuando (L = 2nn de modo que v = i vr 2- pr (1 - r2), Q2 es un mltiplo positivo de Reje-'l"] = (- 1)'l. Por lo tanto tenemos la representacin (77.15) -~ - " e-st dt "5T 5 a 5 -3T, ~ I l : i l p ~ - 2 i i l c o s ~ ~ t 2 - ( p + pz - 2rp cos a) -f . K L 0 L 2 r 0 d / t z - ( 13 + p2 - 2rp cos a) Para { @Z(r, P, a, S) = dt -3rr 5 a 5 T, T 5 a 5 3T. Observemos que las frmulas (77.12) y (77.15) para y Q2 son simtricas en r y p. Por lo tanto, aunque se dedujeron para p < r , se aplican para todos los valores de p y r . Naturalmente, Ql tiene una singularidad para r = p , a = O. Sustituyamos ahora Q1 y Q2 en la frmula (77.9) para U. Como quiera que Q1 y Q2 vienen dadas por (77.12) y (77.15) como transformadas de Laplace, un intercambio de integracin da U (r, O, S) como una transformada de Laplace: (77.16) U( r , O , S) = e-S' r ( r , 6, P, 4, t l f ( ~ , 4 ) p dp&dt, donde hemos definido 1 H[cos$O - 411 1 2.rrdt2 - (P + p2 - 2rp cos (e - 4)) (77.17) 1 4rrVP - ( P + p2 - 2rp cos ( O - 4)) + 1 4 ~ d P - (P + p* - 2rp cos ( 6 + 4) ) para t > r + p. 77. Un problema de difraccin La funcin de escaln de Heaviside H [ 77] est definida por 387 y hemos utilizado el convenio de que l / vt z - R2 = O para t < R. (Obsrvese que la trans- formada inversa de Laplace de a2 es cero excepto para v r 2 + p2 - 2rp cos a < f < r + p). Recordando que U ( r, O, S) es la transformada de Laplace de u ( r , O, t ) , obtenemos la solucin formal (77.18) u(r, 8, t ) =l o" m, 8, p, 4, w ( P . +)pdpd+ del problema (77.1). Como de costumbre, es ms sencillo comprobar que esta frmula da una solucin que justificar su deduccin. Tal comprobacin la dejamos para los ejercicios. Examinare- mos ahora alguno de los aspectos de la solucin. Observemos primero que F( r , O, p. $, t ) es la solucin lmite del problema cuando la perturbacin inicialfest concentrada en un solo punto @, 4). Supongamos para que quede precisada la definicin que este punto est encima de la pared, de modo que Las discontinuidades de H [cos -(O - 4)] y H [cos- (O + 4)] dividen al plano x-y o <+ <n. 1 1 2 2 en tres regiones: I : o<e<P- +, I I : m- +<e<m++, III: m + + < e < 2m. El primer trmino representa la solucin en espacio libre (esto es, sin obstculo). Esta solucin se hace no nula en cualquier punto (r, O), en el tiempovrz +pZ- 2rpcos (e-+), el cual es justamente la distancia desde (p, 4) a ( r, O). As, tenemos propagacin a la ve- locidad l . Ya que el problema es bidimensional, el principio de Huyghen no es vli- do. Esto es, la perturbacin prosigue despus de pasar el frente de onda. Esto no es 388 La transformada de Laplace demasiado sorprendente si recordamos que desde el punto de vista del espacio tridimen- sional hemos manejado funciones independientes de z, de modo que la perturbacin inicial no es un solo punto, sino a lo largo de una recta. El segundo trmino del segundo miembro de (77.19) es la solucin debida a la misma perturbacin en el punto imagen (p, -4). Puede interpretarse como un trmino debido a la reflexin. d? + p2 - 2rp cos ( O + 4) es la longitud del camino quebrado corres- pondiente a la reflexin en el plano O = O con ngulos de incidencia y reflexin iguales (ley de Snell). La regin I es exactamente el conjunto de puntos alcanzados por rayos que parten de (p, 4) y se reflejan en la pared. La regin I1 consta de los puntos que pueden unirse con ( e, 4) mediante rectas que no pasan a travs de la pared, pero no por medio de caminos reflejados. En esta regin cos- (O - 4) > O, pero cos - (O $- 4) < O. En consecuencia, para t < r + p 1 1 2 2 P9 Sta es precisamente la solucin que aplicaramos si no existiera pared. Esto es, la pared no influye sobre la solucin en la regin I1 para t < r + p . En la regin 111 tenemos r=o para t < r + p. Esto es, la pared detiene completamente la perturbacin. La regin 111 es la regin de sombra. Para t < r + p tenemos as radiacin incidente y reflejada, como la descritaen ptica geomtrica. El tiempo t = r + p es el empleado por la perturbacin en (p, 4) para alcanzar el extremo de la pared r = O, y dirigirse luego a (r, O). Despus de este tiempo existe un efecto adicional, llamado difraccin debido al extremo. Este efecto resulta de la solucin 1 + 1 r= 47rVt2 - (P + pz - 2rp cos ( O - 4) ) 47rdt2 - (9 + pz - 2rp cos ( O + 4) ) en las tres regiones. En particular la perturbacin penetra en la regin de sombra 111. Obsrvese que la funcin de Green r se hace infinita en ~ = V ' / P + P ~ - ~ ~ ~ C O S ( % * + ) , y es discontinua en t = r + p. tese F. G. Friendlander, Sound Pulses, Cambridge, 1958. Para una discusin ms detallada y ver problemas relacionados con el tema, consl- EJERCICIOS 1. Hallar algunas condiciones para f bajo las cuales (77.18) da una solucin del problema (77.1). 2. Resolver y hacer la comprobacin. 78. Regla de Stokes y principio de Duhamel u( r , O, t ) = u( r , 27r, t ) = O , u( r, O, O ) = O, au x(', 8, 0 ) =f ( r, 0 ) . 389 3. Resolver el problema de sonido en un rincn 4. Resolver por medio de una transformada seno finita y una transformada de. Laplace. Expresar la solucin en funcin de una integral finita deformando el contorno al calcular la trans- formada inversa de Laplace. INDICACI~N: Utilizar un contorno dentado que rodee el corte de separacin de ramas. 78. Regla de Stokes y principio de Duhamel En la seccin anterior obtuvimos una solucin de un problema de valores iniciales para la ecuacin de ondas cuando u = O y &/at se da en t = O. Supongamas que queremos resolver el problema = O para r > 0 , 0 <0 <2 ~, t >O, Una vez resuelto, podemos establecer u ( r , O, O) = g (r, O) y &/at ( r , O, O) = f ( r , O) Tomando la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial anterior con res- tomando combinaciones lineales de soluciones de (77.1) y (78.1). pecto a t, obtenemos ahora 390 La transformada de Laplace (78.2) au au a0 a0 - ( r, O, t ) = -(r, 2 r , t ) = O. ste es simplemente el problema (77.2) con f reemplazada por sg..Su solucin viene dada por la frmula (77.16) reemplazando f por sg. Puesto que la multiplicacin de U por S corresponde a la derivacin de u respecto a t , obtenemos la solucin (78.3) u( r , 8, t ) =$ W , 8, P, 4, t ) g( P, 4 ) ~ 4 4 , en donde r es la funcin definida por (77.17) De este modo para resolver el problema (78.1) basta tomar la derivada respecto a t de la solucin de (77.1) reemplazandofpor g . ste es un caso especial de la regla de Stokes, que a continuacion establecemos REGLA DE STOKES. Sea u la solucin de un problema de valores iniciales de la forma a2u a t 2 " M[ u ] = o, iunto con ciertas condiciones homogneas de contorno independientes de t. M es un operador - diferencial lineal en derivadas parciales en el xl, . . . , xn cuyos coeficientes no dependen de au at V" satisface que slo intervienen derivadas respecto a r. Entonces la funcin (78.5) " a2v a t 2 M[ v ] = o, junto con las mismas condiciones de contorno. Es evidente que v satisface la primera condicin inicial. Derivando la ecuacin dife- rencial en u respecto t vemos que v satisface la misma ecuacin diferencial que u. Final- mente, av/at = a2u/at 2 = M [ u] . Puesto que u = O en t = O y que el operador M no con- tiene derivadas respecto a t, encontramos que en t = O, M [u] = O y por tanto Fdi 8t = O. Con ello v resuelve el problema (78.5). La regla de Stokes slgnifica que para resolver el problema general de valores iniciales es suficiente resolver el problema con u = O y f = O. Consideremos ahora el problema con ecuacin diferencial no homognea y condicio- nes de contorno e iniciales homogneas 78. Regla de Stokes y principio de Duhamel 39 1 - ( r , O, t ) =- ( r , 2a, t ) = O, &4 au u( r , e, O ) = O, (78.6) ae ae - ( r , 8, O ) = O. au at Tomando transformadas de Laplace, encontramos -+" +---S a2u 1 au 1 a2u a u au ae ae ar p 2u = " H( r , 0, S) , - ( r , O, S) = - ( r , 2a, S) = O. ste es el mismo problema que el (77.2), pero con f (r, O) sustituida por H ( r, O, S), trans- formada de Laplace de h (r, O, t). Por tanto llegamos a la frmula solucin (77.16), que ponemos en la forma a [TI representa la transformada de Laplace respecto a t de r ( r , 19, p, 4, l). Tomemos la transformada inversa de Laplace bajo el signo integral y apliquemos el teorema de con- volucin. Con ello la solucin de (78.4) toma la forma (78i7) u( r , 0, t ) = [ I: r ( r , 0, P , 4, t - 7) h ( p , 0, 7 ) pdTd4dp. Para obtener la solucin de (78.6) hemos reemplazado el producto I'f en la solucin de (77.1) por el producto de convolucin r *h. ste es un caso especial del principio de Duhamel: PRINCIPIO DE DUHAMEL. Sea dada la solucin del problema (78.4) con u sujeta a ciertas condiciones homogneas de contorno independientes de t por una frmula en la que tonces la (78.8) ~ ( ~ 1 9 ~ 2 , , Xn, t ) = Tcf((1, (2, . . tn)](xI , XZ, Xn, t ) , T es el operador lineal que transforma la velocidad inicial f en la solucin u. En- funcin resuelve el problema no homogneo estando N* sometida a las mismas condiciones de contorno que u. 392 La transformada de Laplace El principio de Duhamel se comprueba con facilidad. As la solucin del problema particular (78.4) da la pauta para resolver el problema general de valores de contorno iniciales no homogneo. EJERCICIOS 1. Comprobar que la funcin (78.3) satisface el problema (78.1). 2. Comprobar que la funcin (78.7) satisface el problema (78.6). 3. Comprobar que si u = T [ f ] resuelve (78.4) con u = O sobre el contorno, entonces la funcin w 4. Resolver definida por (78.8) satisface el problema (78.9) con w = O sobre el cpntorno. au Y , z , O) = o aplicando el principio de Duhamel a la solucin (72.6) del problema (72.1). de la frmula (2.16) para problemas homogneos por medio del principio de Duhamel. 5. Deducir la solucin del problema no homogneo de valores iniciales de contorno (5.1) a partir 6. Encontrar un principio de Duhamel para la ecuacin del calor dando una solucin de " aw at V2w = h( x, y , z , t ) en D para t > O, w = O en el contorno C of D w(x, y , z , O ) = o, en funcin de la solucin del problema au at - -V2u = O en D para t > O, u(x, Y. z, O ) =f k Y, z ) , u = O sobre C. 7. Resolver aw - V 2 w = h(x, y, z , t ) para t > O, W b , Y, z , 0) = o, w acotada utilizando la solucin (71.4) del problema (71.1) y el resultado del Ejercicio 6. BIBLIOGRAF~A PARA EL CAPTULO XI H. BATEMAN, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Dover, 1955, captulo XI. R. V. CHURCHILL, Operational Mathenratics, McGraw-Hill, 1958. R. COURANT AND D. HILBERT, Methods of Mathenratics Physics, Vol. 2, Interscience, 1962, captulo 111. E. KREYSZIG, Advanced Engineering Mathenratics, Wiley, 1962, captulo 4. N. W. MCLACHLAN, Modern Operational Calculus, Macmillan, 1948. N. W. MCLACHLAN, Complex Variable and Operational Calculus with Technical Applications, Macmillan, E. D. RAINVILLE, The Laplace Transform, Macmillan, 1963. A. G. Wmsrm, Pastial Differential Equations of Mathematical PhJzsics, Dover, 1954. 1947. 18. Regla de Stokes y principio de Duhamel 393 TABLAS G. DOETSCH, H. KNIESS AND D. VOELKER, Tabellen zur Laplace-Transfornlarion und Anleirung zum Cebrauch, A. ERDELYI, W. MAGNUS, F. OBERHETTINGER AND F. TRICOMI, Tables of Integral Transforms, McGraw- N. W. MCLACHLAN AND P. HUMBERT, Furmulaire pour le calcrrl synrbulique, Gauthier-Villars, 1950. Springer, 1947. Hill, 1954. Advertencia: se trata de transformadas de Laplace multiplicadas por S! CAP f TULO XI 1 MZtodos de aproximacin 79. Soluciones exactas )) y aproximaaas Los mtodos de las transformadas y de separacin de variables que hemos discutido pueden aplicarse tan slo a un tipo muy especial de problemas. Las soluciones que obtu- vimos tienen apariencia de exactitud. Sin embargo, en general, exigen procesos de paso al lmite que en la mayora de los casos no pueden llevarse a cabo, de modo que en clculo efectivo se presenta un error. Por ejemplo, una serie de Fourier solucin, implica la bsqueda de los coeficientes de Fourier de una funcin dada (por ejemplo, los valores iniciales). Esto significa que deben calcularse una infinidad de integrales. A menos que la funcin sea muy sencilla (consistente, por ejemplo, en polinomios, exponenciales, o funciones trigonomtricas) tan slo un nmero finito de tales integraciones pueden efectuarse en un tiempo finito. Puede ocurrir que ni siquiera sea posible calcular esas integrales exactamente, sino nicamente aproximarlas por mtodos numricos. Entonces slo podemos encontrar una aproxima- cin de la serie de Fourier de la solucin, y por tanto una solucin aproximada. Aun cuando puedan encontrarse todos los coeficientes de Fourier de la solucin, slo en casos muy especiales es posible hallar la suma de la serie resultante. En general, la solucin debe aproximarse por una suma parcial de su serie de Fourier. Un comentario parecido podra aplicarse a los mtodos de las transformadas, los cuales implican integrales infinitas que contienen parmetros. Incluso las integrales exactas contenidas en las frmulas que hemos deducido (y el nmero de sas es relativamente pequeo) implican todava integraciones muy difciles que a menudo deben aproximarse. En este captulo presentamos algunos mtodos que pueden aplicarse a una clase muy amplia de problemas, pero que dan slo valores aproximados para la solucin. Dichos mtodos dan la solucin mediante procesos de paso al lmite distintos cuya difi- cultad no est encubierta por notaciones elegantes como 2 y J . El primero de stos es el mtodo de las diferencias finitas, que da la solucin como lmite de soluciones de un sistema de ecuaciones algbricas cuando el (( tamao de la malla D tiende a cero. En la prctica, se emplea un tamao de malla determinado, y por tanto nunca puede esperarse una solucin exacta. El segundo mtodo es el de aproximaciones sucesivas. Es un proceso iterativo. La solucin es el lmite de una infinidad de iteraciones. En la prctica, como es natural, uno debe detenerse despus de un nmero finito de iteraciones, con lo que slo se obtiene una solucin aproximada. Finalmente, esbozaremos algunos mtodos variacionales de aproximacin. 395 396 Mtodos de aproximacin EJERCICIO Hallar tres funciones f(0) para las que la integral de Poisson (24.12) puede calcularse en forma finita. 80. Mtodo de las diferencias finitas para problemas de valores iniciales de contorno La derivada parcial &/ax est definida como lmite de un cociente de diferencias Segn el teorema de Taylor con resto, sabemos que si u, &/ax y a2u/ax2 son continuas, donde O < 8 < 1. Si h es pequeo, el segundo miembro es pequeo. Si, entonces, reemplazamos las derivadas de una ecuacin diferencial por los corres- pondientes cocientes de diferencias, la ecuacin resultante ser casi satisfecha por una solucin de la ecuacin diferencial, con tal que h sea lo bastante pequeo. Consideremos, por ejemplo, el problema de valores iniciales au a2u at ax2 L[ u] =---+(senxt)u=O para O < x < I , [ > O , u(0, t ) = u(1, t ) = o, Este problema no se puede resolver por separacin de variables ni por medio de trans- formadas integrales. Los cocientes de diferencias U ( X , t + k) - U ( X , t ) k Y U ( X + h, t $ - - ~ ( x , t ) + U ( X - h, t ) h2 , cuando k y h son constantes pequeas, son aproximaciones de &/ at y a2u/ax2, respec- tivamente. Partiendo del teorema de Taylor encontramos que si L [u] = O, - - - U ( X , t + k ) - U( X, t ) k - U ( X + h, t ) - 2u ( x , t ) + U ( X - h, t ) h2 (80. 2) + senxt u(x, t ) k a2u h2 a4u "_ - at2 (X, t + 61k) - 12 ( X + Bzh, t ) , donde O < O1 < 1, - 1 < O2 < 1. El segundo miembro es ciertamente pequeo si h y k son pequeos y u tiene derivadas.parciales acotadas hasta las de orden cuarto. Pongamos h 1 / N para un cierto entero N, y limitemos nuestra atencin a los pun- 80. Diferencias finitas para problemas de valores iniciales de contorno 397 tos de coordenadas x = O, h, 2h, . . ., Nh = 1, y t = O, k, 2k, . . . . Sea v (nh, mk) una funcin definida slo en esos puntos de la malla x = nh, t = mk. Satisfacen la ecuacin (80.3) A h [ v l = 0 en los puntos en los que O < nh < 1. Esta ecuacin aproxima la ecuacin en derivadas parciales correspondiente a u. Sustituyamos las condiciones de contorno por (80.4) v(0, mk) = v ( 1 , mk) = O, y la inicial por (80.5) v(nh, O) =f ( nh) . (80.3) para Y (nh, (m + 1) k) en funcin de los valores de Y en el tiempo mk: (80.6) v(nh, ( m + 1)k) = p [ v ( ( n + l)h, mk) + v ( ( n - l )h, mk ) ] En vista de la definicin (80.2) de Aj,, podemos resolver la ecuacin en diferencias k 2k + [l - p- k sennmhk]v(nh, mk ) . Podemos as calcular v (nh, k) en funcin de los valores iniciales dados, Y en el tiempo 2k en funcin de SUS valores en k, y as sucesivamente. Este proceso da eventualmente Y (nh, mk) para, cualesquiera n y m. Podemos esperar que v (nh, mk) sea una buena aproximacin de u (nh, mk). A fin de averiguar si estamos o no en este caso, definamos el error w como la diferencia entre la solucin exacta u y .la aproximada Y: w(nh, mk) = u(nh, mk) - v( nh, mk). Segn (80.2) y (80.3) &[w] = 5 +nh, mk + &k) -E G ( n h + O h , mk) k aau ha a 4 ~ 1 12 Si las constantes A y B estn acotadas por - I @u/&j y 31Pu/ at 2/ , respectivamente, vemos que (80.7) I & [ W ] 1 5 Ah + Bk. Puesto que u y v se anulan sobre el contorno y que u (nh, O) = v (nh, O) = f ( nh) , tenemos (80.8) w(0, m k ) = w(1, mk) = O, w(nh, O) =o. Queremos demostrar que w es pequea como consecuencia del hecho de que satisface el problema de valores iniciales y de contorno (80.7), (80.8) con el segundo miembro de (80.7) pequeo. A tal fin necesitamos demostrar exactamente que el citado problema esa propuesto correctamente. Ya que para llegar a un punto cualquiera (nh, mk) tenemos que aplicar nicamente la frmula recurrente (80.6) m - 1 veces, el valor w (nh, mk) para m fijo es ciertamente pe- queo si los datos son pequeos. Sin embargo, para conseguir un valor particular de 398 Mtodos de aproximacilz T debemos tomar 177 = T/ k, que llega a ser grande si k se hace pequeo. Asi pues consi- deramos el problema correctamente propuesto si la pequeez de A,, [ w] implica que w (x, T) sea pequeo para un (x, T ) fijo, con tal que h y k sean lo suficientemente pequeos. Supongamos que (80.9) h2 2 + h2' k 5 - de modo que el coeficiente v (nh, mk) en (80.6) sea no negativo. La desigualdad (80.7) puede escribirse en la forma Iw(nh, ( m + 1) k) - [ b [ w ( ( n + l ) h , mk) + w( ( n - l ) h, mk) ] + 1 -- - k sen nmhk w(nh, mk) 5 (Ah2 + Bk) k. [ : 1 1 1 Para cada nivel del tiempo t = mk definamos (80.1 O) M, = max Iw(nh, mk)I. O<n<N En la desigualdad anterior transpongamos todos los trminos excepto el primero, y ob- servando que segn (80.9) el coeficiente de w (nh, mk) es no negativo, encontramos que Iw(nh, ( m+ l ) k ) l 5 - Mr n + [ 1 - - - k ~ e n n mh k ] M, + ( Ah 2 + Bk ) k 2k 2k = [ 1 - k sen nhmk]Mm + (Ah2 + Bk) k. En particular, esta desigualdad es vlida para los valores de n para los que se alcanza el mximo M,+1 de I w (nh + (m + I ) k 1. Por consiguiente M,+, 5 ( 1 + k)Mm + (Ah2 + Bk) k. Multipliquemos esta desigualdad por (1 + k)-@+l) y transpongamos: (1 + k)-(m+l)Mm+l - ( 1 + k)-"M, 5 (Ah2 + Bk) k( 1 + k)-("+'). Sumemos ambos miembros desde m = O a T/k- 1. (Suponemos que T/ k sea entero). Como w (nh, O) = O, vemos que M,, = O. Luego (80. 11) Iw(nh, T)I 5 ( Ah2+Bk) [ ( l +k) T' " 13 5 eT(Ah2 + Bk) . De este modo para un valor fijo T, I u (nh, T ) - Y (nh, T ) I -+O uniformemente en x cuando h -+O y k + O, con tal que la desigualdad (80.9) se satisfaga. Esta desigualdad establece que el salto o intervalo de tiempo k debe ser muy pequeo con relacin a h. Observemos que la aplicacin reiterada de la frmula de recurrencia (80.6) da v (nh, mk) en funcin de v (lh, (m - q) k) con I = n - q, n - q + 1, . . ., n + q. Con lo que el do- minio de dependencia de un punto o nudo de la malla ( X, ") es el conjunto de nudos (x, t ) con t < T - - I x - X 1 . En particular el clculo de v ( X, T) hace uso tan slo k h 80. Diferencias finitas para problemas de valores iniciales de contorno 399 del hechodequev( O, t ) =Oparat <T- Xyquev( l , t ) =Oparat <T- -(1--~). k k h h Puesto que el dominio de dependencia de (X, T) para el problema parablico (80.1) es todo el conjunto t < T, no podemos esperar que Y converja hacia u a menos que k/ h -+ O. Puede efectivamente demostrarse que una desigualdad de la forma (80.9) debe satis- facerse, para que el problema en diferencias finitas con condiciones iniciales y de contorno (80.3), (80.4), (80.5) quede correctamente propuesto. Si dicho problema no est propuesto con correccin, no podemos demostrar que el error tiende a cero; adems, no podramos calcular Y con eficacia, ya que el error debido a los redondeos en los diversos clculos se va acumulando y hace que el resultado final carezca de sentido. Una desigualdad de tipo (80.9) se llama condicin de estabilidad para el problema. Tales condiciones fueron introducidas por Courant, Friedrichs, y Lewy [Mathematische Annalen 100 (1929), pgs. 32-74]. El mtodo de las diferencias finitas puede aplicarse a problemas hiperblicos lo mismo que a los parablicos en un nmero cualquiera de dimensiones. Ejemplo. Consideremos el problema de la ecuacin de ondas (80.12) en D, u = o sobre C. en D, en donde D es el tringulo rectngulo isbsceles x > O, y > O, x + y < 1. Introduzcamos los parmetros de malla h = 1/N y k y consideremos una funcin de malla v(lh, mh, nk ) . Reemplacemos el problema (80.12) por el siguiente (80.13) &,[VI = [v(Ih, mh, (n + 1)k) - 2v(lh, mh, nk) + v ( h, nh, (n - I lk)] 1 - p [v( ( I + l )h, mh, nk) - 2v(Ih, mh, nk) + v( ( I - l ) h, mh, nk) ] 1 400 Mtodos de aproximacidn . " hZ 1 [v( l h, ( m + I ) h, nk) - 2v( / h, mh, nh) + v(lh, ( m - I ) h, nk) ] =O para I > O, m > 0 , Y l + m < N , v(lh, mh, nk) = O para I = O, m = O , / + m = N , v( l h, mh, O ) =f(lh, mh ) , v( l h, mh, k ) - v( l h, mh, O) =o, k La ecuacin en diferencias nos lleva a la frmula de recurrencia v( l h, mh, ( n + 1) k) = 7;1 [v( (1 + l ) h , mh, nk) + v((/- l ) h, mh, nk) kz + v( l h, ( m + l )h, nk) + v( l h, ( m - I ) h, nk) ] que da v en el tiempo (n + 1) k en funcin de Y en los dos tiempos precedentes nk y (n - 1) k. Las con- diciones iniciales dan v(lh, mh, k ) = v( l h, mh, O) =f(lh, mh) . Podemos obtener as v en el tiempo 2k, luego en el 3k, y as sucesivamente. es ahora La condicin de Courant-Friedrichs-Lewy de convergencia y estabilidad, como se puede demostrar, (80.14) 1 5 1 2k2 Esta es precisamente la condicin de que el dominio de dependencia de un punto respecto a la ecuacin en diferencias contiene su dominio de dependencia respecto a la ecuacin diferencial. Esto es, en el clculo del valor de v en un punto (x, y, t ) se debe utilizar por lo menos tanta informacin como la necesaria para determinar u (x, y, t ). Para un estudio ms detallado y ver otros mtodos en diferencias finitas puede con- sultarse G. E. Forsythe y W. Wasow, Me'todos en diferencias finitas para ecuaciones en derivadas parciales, Wiley, New York (1960). EJERCICIOS 1. Hallar una aproximacin de la solucin u (+, A) del problema (80.1) con los valores iniciales f ( x ) = x (1 - x) mediante una red o malla en diferencias finitas con h = t. Eljase k que satisfaga la condi- cin de estabilidad. 2. a) Establecer un problema en diferencias finitas para aproximar el problema de la ecuacin del calor b) Demostrar que el problema en diferencias finitas puede resolverse por separacin de variables. Esto es, la solucin v (nh, mk) del problema en diferenciasfinitas puede escribirse como suma de productos de la forma X, (nh) Tt (mk), cada uno de los cuales satisface la ecuacin en diferencias finitas y las condi- ciones de contorno. c) Demostrar que si k I f h2, la aproximacin v converge hacia u cuando h + O. d) Demostrar que si k > +hz, alguno de los productos solucin crece exponencialmente respecto 3. Hallar una aproximacin en diferencias finitas para u (*, t, a) siendo u la solucin de (80.12). Se a t = mk, de modo que el problema sea inestable. pondr h = $. Eljase k que satisfaga la condicin de estabilidad. 81. El mtodo de las diferencias finitas para la ecuacin de Laplace 40 1 4. Establecer un problema en diferencias finitas correspondiente al problema puro de valores iniciales "" azu azu af axg xu = O para t > O, u(x, O) =o, - (x, O) = x. au at Aproximar u (O, 1) con los parmetros de malla h = 1, k = +. 81. El mtodo de las diferencias finitas para la ecuacin de Laplace Consideremos el problema de valores de contorno (81.1) -+-=O en D, a2u a2u ax2 ay2 u =f sobre C en un dominio acotado D con contorno C. Introduzcamos una red cuadrada x = mh, +X y nh en el plano xy. Reemplacemos la ecuacin de Laplace (81. 1) por la ecuacin en diferencias finitas & , [ V I = - [ v ( ( m + l ) h , nh) - 2v( mh, nh) -t v ( ( m - I ) h, nh) ] 1 hz (81. 2) 1 + p [ v( mh, (n + 1) h) - 2v( mh, nh) + v( mh, (n - l ) h ) ] =- I h2 [ v ( ( m + l ) h, nh) + v ( ( m - l ) h, nh) + v( mh, (n + 1) h) + v( mh, ( n - 1) h) - 4v( mh, nh) ] = o. La funcin de malla i (mh, nh) est definida en todos los nudos situados en D y C. 402 Mtodos de aproximacin Tales nudos los agrupamos en dos clases: A los puntos ((m + 1) h, nh), ( ( m - 1) h nh), (mh, (n + 1) h) y (mh, (n - 1) h) los llamamos vecinos ms prximos del nudo (mh, nh). Si (mh, nh) y todos sus vecinos ms prximos estn en D + C, el nudo (mh, nh) se llama punto interior. Si (mh, nh) est en D + C, pero uno de sus vecinos ms prximos no pertenece a D + C, aquel nudo es un punto frontera. En un punto frontera hagamos que v tenga el valor dadofde u en el punto ms pr- ximo de C. En un punto interior exigimos que v satisfaga la ecuacin en diferencias (81.2). As el nmero de valores no conocidos de v, as como el de ecuaciones (81.2), es el nmero (llammosle N)-de puntos interiores. Tenemos un sistema de N ecuaciones linea- les con N incgnitas. Deseamos demostrar que la solucin v de este sistema es una buena aproximacin para u. Como en la seccin anterior, segn el teorema de Taylor encontramos que donde - 1 8, < 1 , -1 I 8, I 1 . En los puntos frontera siendo (ah, bh) el vector que une el punto frontera al punto de C ms prximo. Por defi- nicin az+ b2 5 1, y au/?x y au/ay estn calculadas en puntos intermedios. As que, si definimos la funcin error w = u - v , vemos que si B es una cota para las derivadas cuartas de u y A lo es para las primeras, entonces u satisface (81.3) I & [ w ] 1 5 *Bh2 en puntos interiores IwI 5 Ah en puntos frontera Definamos la funcin de malla q(rnh, nh) =+hz ( mz +n2) = + ( 2 + y 2 ) . Mediante clculo directo encontramos que &[ q] = 1. Con lo que segn (81.3) Ah [ w + &Bh2q] 2 O. Vemos entonces, a partir de la definicin de A,z que el valor de w + iBh2q en un punto in- terior est acotado por el promediQ de sus valores en los vecinos ms prximos. Por tanto, w + $Bh2q no puede alcanzar un mximo en un punto interior a menos que sea constante. Dicho de otro modo, el operador en diferencias finitas, Ah como el de Laplace, tiene un principio del mximo. 8 1. El mtodo de las diferencias finitas para la ecuacin de Laplace 403 Hemos demostrado que w f :Bh2q alcanza su mximo en un puntd frontera. Pero en esos puntos w + *Bh2q 5 hA + &h2BR2, donde R es la distancia mxima entre el origen y un punto cualquiera de C. Luego segn nuestro principio del mximo w 5 w + *Bh2q 5 hA + &h2BR2, en todos los nudos situados en D. Anlogamente, A~[ - w + *Bh2q] 2 O, y en consecuencia -W 5 hA + &h2BRZ. Hemos demostrado que si w satisface (81.3), (81.4) IwI 5 hA + &h2BR2. El problema de valores de contorno para v est por tanto correctamente propuesto. Cuando h + O el error w = u - v tiende a cero. Esto es, v converge hacia u. Hemos deducido (81.4) de (81.3) sin tener en cuenta el significado de A y B. Si pone- mos A = B = O, vemos que la nica solucin del conjunto de ecuaciones lineales con segundo miembro cero es w = O. Esto significa que el determinante de los coeficientes de esas ecuaciones lineales para v no se anula. Por consiguiente el problema en diferencias finitas para v tiene exactamente una solucin v, y v + u cuando h -+ O. La demostracin de la convergencia para este problema elptico es ms sencilla que en el caso de los problemas hiperblico y parablico de la seccin anterior. Por otra parte, las ecuaciones en diferencias finitas de la seccin precedente podan escribirse como frmulas recurrentes, cuya solucin numrica era fcil. En el presente caso nos encontramos con un sistema de N ecuaciones lineales que no se reducen a fr- mulas recurrentes. Puesto que para valores pequeos de h, N e siendo 2f el rea de D, el problema algbrico resultante es formidable. En general no puede resolverse ex- plcitamente. Para obtener una solucin aproximada de la ecuacin en diferencias finitas (81.2) con los valores de contorno dados, consideramos primero el problema parablico con valores iniciales dados cualesquiera U( x , y , O). Por medio de la transformada de Laplace puede demostrarse que lim U( x , Y , t ) = u(x, Y ) , siendo u la solucin de (81.1). Mantenemos la malla que se consider para el problema elptico en el plano xy, e introducimos una t-malla t = Ik, 1 = O, I , 2, . . . . Ahora consideramos la ecuacin 404 Mtodos de aproximacin en diferencias finitas + Vl(rnh, ( n - 1)h) -4 Vl(rnh, nh)], en donde hemos escrito V, para representar el valor de la funcin de malla en el tiempo Ik. Esta ecuacin se aplica en los puntos interiores. En los puntos frontera ponemos Vl (mh, nh) = v(mh, nh) , donde v es la funcin de malla introducida en la ecuacin en diferencias finitas (81.2). Los valores iniciales son Vo(mh, nh) = U( mh, nh, O), que es una funcin arbitraria. La ecuacin en diferencias puede escribirse como una frmula recurrente Vl+l(nh, nh) = c.[Vl( ( m + l )h, nh) + Vl ( ( m - l )h, nh) + (1 - 4a) Vl ( mh, nh) , (8 1 S ) + Vl(rnh, ( n + 1)h) + Vl(rnh, ( n - 1)h)l donde hemos definido a = kh-,. Podemos esperar que lim Vl(rnh, nh) = v(rnh, nh) . Esto se puede demostrar, con tal que se satisfaga la condicin de estabilidad O < a I t. Puesto que V, (mh, nh) = U (mh, nh, O) es arbitraria, el mtodo anterior de aproxi- macin de v puede describirse as: Comenzamos con un valor inicial supuesto V, para Y. Mejoramos ese valor en cada punto interior reemplazando V, (mh, nh) por la combina- cin lineal (81.5) de V, (mh, nh) y el promedio de los valores de V, en los vecinos prximos de (mh, nh). Mejoramos esta funcin VI por el mismo procedimiento para obtener V,, y as siguiendo. Un caso particularmente sencillo se presenta cuando a = a. Entonces V, (mh, nh) se reemplaza precisamente por su promedio en los vecinos prximos. El re- sultado V, (mh, nh) de la /-sima iteracin converge hacia la solucin v (mh, nh) del pro- blema en diferencias finitas (81.2) con condiciones de contorno cuando / + a. El anterior mtodo iterativo para la resolucin del problema en diferencias finitas (81.2) es tan slo uno de los varios mtodos posibles de este tipo. Para ver otros recomen- damos los libros de Forsythe, de Wasow y de Varga citados en la bibliografa. Los mtodos en diferencias finitas tambin se pueden utilizar para resolver otros problemas elpticos de valores de contorno, as como problemas con otras condiciones de contorno, sistemas de ecuaciones, y ecuaciones no lineales. En general, la solucin del problema en diferencias finitas no se puede calcular explcitamente, sino que debe aproxi- marse por iteracin. La solucin del problema original, entonces, es el resultado de dos procesos de paso al lmite: uno de hacer que el parmetro de malla h tienda a O, y el otro de que el nmero I de iteraciones tienda a m. En el clculo real trabajamos con h y I finitos, de modo que se introducen dos errores. I-= 82. El mtodo de las aproximaciones sucesivas 405 Para conocer la relacin entre lo calculado y la solucin deseada necesitamos cotas para ambos errores. EJERCICIOS 1. Establecer un problema en diferencias finitas correspondiente a para x > O, y > O, x+y < 1, u(x, 1 - x) = o, , u(x, O) = x( 1 - x) con h =+. a) Resolver exactamente el problema en diferencias finitas. b) Comenzar con el supuesto inicial Vo = O en los puntos interiores, y hacer tres iteraciones. Com- parar con la solucin obtenida en a). 2. Establecer un problema en diferencias finitas correspondiente a a2u a% ax2 ayz - +- - x2u=O para -1 <x < 1,-1 <y < 1, 4-1, Y) = 41, Y) =o, u(x, - 1) = (1 - xz), u(x, 1) = -(1 - 2) con h = +. nmero de inc6gnitas. tiendo de vo = O en los puntos interiores. a) ResolTrer exactamente el problema en diferencias finitas, utilizando la simetra para reducir el b) Hallar una solucin aproximada del problema en diferencias finitas con tres iteraciones, par- 3. Establecer un problema en diferencias finitas correspondiente a u = $ para XZ+yS=l 4. Establecer un problema en diferencias finitas correspondiente a con h = i. Resolverlo, utilizando la simetra del problema. -+-=-F(x, y) en D, a% aau ax2 ayz u = o sobre C. Demostrar que la soluci6n de este problema converge hacia u cuando h + O, con tal que u admita suficientes derivadas sucesivas. 82. El metodo de las aproximaciones sucesivas Consideremos el problema de valores iniciales a2u a2u aP axe "" +(x, t ) u = F(x, t ) para - < x < m, t 3 O, (82.1) u(x, O) = o, -(x, O) = o, au at donde 4 (x, t ) es una funcin continua de x y t , dada. ..<SERGER - 14 406 Mtodos de aproximacin Si transponemos el ltimo trmino del primer miembro, la ecuacin diferencial toma el aspecto (82.2) "" azu azu at2 ax2 - F( x, t) + &. Sabemos como resolver el problema de valores iniciales u(x, O ) = o, "(X, O ) = o. au at Es decir, de acuerdo con (5.2), (82.3) En (83.2) G F + +u. Obtenemos (82.4) u( x, t) = I' [ F( F, i) + 4(F, i)u(F, i)]&&. s+(t-S) 2 o z-(t-' Ya que la funcin incgnita u aparece en la integral, sta no es una frmula solucin, sino una ecuacin integral en u. Puede demostrarse que la nica solucin continua de la ecua- cin integral (82.4) es la del problema (82.1). Para resolver la ecuacin integral (82.4) elijamos una funcin inicial tal como u,, (x, t) para la solucin. Calculamos entonces una segunda aproximacin u1 como solucin de - ( x, O) =o. aul at Esto es, Confiamos que u1 es una aproximacin mejor que u. para la solucin u de (82.1) o para el problema equivalente (82.4). Podemos adems (< mejorar >) u1 definiendo ug como solucin de &(X, 0) = o, - (x, O) = o. aun at Continuamos este proceso definiendo como la solucin de 82. El mtodo de las aproximaciones sucesivas 407 %(x, O ) = o at para n = 1, 2, 3, . . . . Segn la frmula solucin (82.3) Queremos demostrar que la sucesin un converge hacia la solucin u. Consideremos la diferencia Un Un - Un-1. Restemos (82.5) con n reemplazada por n - 1 de (82.5) para encontrar que (82.6) Para un cierto T > O definamos M = m= Id(x, t ) I, f 5 T K = max Ivl(x, t ) I. 6 7 Entonces en virtud de (82.6) con n = 1 Iup(x, t)I 5 1'1 - MK d. i di =- MKP para t 5 T. r+(t-J 1 2 o Z4I -3 2 Nuevamente segn (82.6), pero con n = 2 Prosiguiendo as, vemos que La serie ~ converge uniformemente para t < T hacia ch L. Luego urn - U,, --f O uniformemente en la t . Este es el criterio de Cauchy. Luego la sucesin un (x, t ) converge uniformemente en x y t (para t I 7') hacia una funcin u (x, t). Haciendo que n + co m t2k k=o (2k)! 408 Mtodos de aproximacin en la relacin recurrente (82.5) resulta la ecuacin integral (82.4). La funcin lmite u (x, 2) resuelve (82.4) y por tanto el problema (82.1). La unicidad de la solucin se deduce de las mismas consideraciones. Pues si v es la diferencia de dos soluciones de (82.1), tenemos La deduccin de (82.7) nos conduce a la desigualdad Iv(x, t)I 5 M max jvI - t2n (2n) ! para todo n. Haciendo que n -+ 00, encontramos que v o. Haciendo que m + 00 en (82.8) llegamos a la desigualdad (82.9) Esto es una cota para el error 1 u - un I en funcin del mximo K de la diferencia I u1 - u,, I entre la primera aproximacin y la segunda. Para t fija la cota de error tiende a cero con bastante rapidez cuando n 4 00. Ejemplo. Consideremos el problema "" a% a2u at2 ax2 (senx)u = senx para t > O, u(x, O ) = - (x, O) = o. au at Elijamos la primera aproximacin u,, = O. Entonces As tenemos M = max I sen x I = 1, K = max I sen x (1 -cos t ) I = 2 para todo T. Luego encontramos que Poniendo n = O, tenemos lu(x, t)I 5 2 cosh t . Poniendo n = 1, encontramos ~ u ( x , t ) -senx(l - cos t ) ) 5 2(cosht- 1). Observemos que para TI n debemos tomar K = 1 - cos T. Encontramos entonces que para t I n I U ( X , t ) - senx(1 -cost)[ 5 (1 -cost) (cosht- I ) , que es mejor que la cota anterior, especialmente para t pequeo. Si queremos una aproximacin mejor, calculemos 82. El mtodo de las aproximaciones sucesivas 409 +a cos 2-41 - cos 21) . 1 Entonces tenemos ~ u ( x , r) - u2(x, t ) 1 5 2 para todo valor de t , o Observemos que dado que las integrales se calculan sobre tringulos caractersticos, todas las consideraciones anteriores pueden conducirse sobre un tringulo caracterstico O I t I T - I X - x 1 mejor que en la banda completa O I t I T. En particular, el teorema de unicidad que hemos demostrado establece que u (x,, to) est determinada unvocamente por $ y F en el tringulo I x - x, 1 I to - t. Esto es, las caractersticas del problema (82.1) determinan su dominio de dependencia. Los mximos en las definiciones de K y M slo deben tomarse sobre este tringulo. Por consiguiente $ y Un no necesitan ser uniformemente acotadas. Podemos, por ejemplo, tratar la ecuacin por aproximaciones sucesivas. Calculando au,+,/ax y au,+,/at a partir de la frmula recurrente (82.5), podemos dedu- cir una cota similar a la (82.7) para lav,/axl y l av,/atI, lo que demuestra que las derivadas au,/ax y au@t convergen uniformemente hacia au/ax y au/& cuando n OO. Este hecho nos permite resolver el problema de valores iniciales ms general (82.10) u(x, O) = o, por aproximaciones sucesivas : + +(X, ;)un(;, ?) ] di di . Cualquier ecuacin hiperblica lineal de segundo orden con dos variables puede llevarse a la forma (82.10) introduciendo nuevas coordenadas. (Vase la seccin 9, Ejer- cicio 4). Encontramos de este modo que los dominios de dependencia siempre son deter- minados por las caractersticas. 410 Mtodos de aproximacin El problema de valores iniciales para la ecuacin parablica (82.1 1) "" au a2u at ax2 $(x, t ) u = O para - m < x < m, t > O, 4 x 9 0) =Ax), u(x, t ) acotada puede tratarse utilizando la solucin de la ecuacin no homognea del calor. (Este pro- blema se presenta como una primera aproximacin a la produccin qumica del calor). Resolviendo el problema de valores iniciales para la ecuacin no homognea del calor por medio de la transformada de Laplace, obtenemos la ecuacin integral Comenzamos con el valor supuesto u. y sucesivamente definimos (82.13) Poniendo v a = un -un-l, tenemos Luego si de nuevo encontramos que Con lo cual (82.14) Puesto que la serie 2 ~ converge uniformemente para t T, encontramos que la su- cesin un (x, t ) converge uniformemente hacia una funcin u (x, t ) . Haciendo que n -+ 00 en la frmula recurrente (82.13), vemos que u es la solucin de la ecuacin integral (82.12), y por tanto del problema (82.1 1). m t k o k ! Haciendo que m 3 00 en (82.14) obtenemos la cota de error 82. El mtodo de las aproximaciones sucesivas 1 41 1 I u ( x , t ) - u ~ ( x , t ) I 5 MK Z - = MK m tk k! El problema de valores iniciales y de contorno "" au a* u at ax2 + ( x , t ) u = O para O < x < I , t > O , u ( x , O) =Ax) 7 u ( 0, t ) = ~( 1, t ) = O puede abordarse ampliando f ( x ) como una funcin impar y 4 (x, t ) como una funcin par en torno x = O y x = 1: f(-x) = - f ( x ) 9 f ( 2 - x ) =-"( x) +( - - x, t ) = +( x , t ) , $0 - x, t ) = +( x , t ) . La solucin u del problema de valores iniciales (82.11) con tales funciones f y 4 es auto- mticamente impar en torno x = O y x = 1, y satisface, por tanto, las condiciones de contorno. Si el valor supuesto inicial u, (x, t ) se elije de modo que u, (- x, t ) = - u, (x, t ) , u, ( 2 -x, t) = - u, (x, t ) , la frmula (82.13) prueba que todas las funciones de aproxi- macin un tienen esas propiedades. Por consiguiente , las un satisfacen las condiciones de contorno. Razonamientos parecidos se aplican a los problemas de valores iniciales y de contorno correspondientes a los problemas hiperblicos (82.1) y (82.10). El mtodo anterior de aproximaciones sucesivas, conocido tambin como de iteracin puede aplicarse a una amplia clase de problemas de valores iniciales o de valores iniciales y de frontera en dos o ms dimensiones. Hablando sin precisin, puede usarse para resol- ver tales problemas para la ecuacin diferencial (82.15) L[ u] + M[ u ] = F si el correspondiente problema L[ u] = G est propuesto correctamente y puede ser resuelto explcitamente, y si M [u] es un ope- rador que contiene slo derivadas de orden inferior al de las que se presentan en L [u]. Un problema de valores de contorno para la ecuacin (82.15) donde L es elptica en general slo puede resolverse cuando M es suficientemente pequeo. Para ver la necesi- dad de tal restriccin consideremos el problema de valores de contorno en una dimensin d 2u - + + ( 1 + x 2 ) u = - F ( x ) para O < x < 1, dx2 ( 82. 16) u ( 0 ) = u(1) =o. Aqu L [u]. = d2u/dx2, y el problema u ( 0) = u(1) = o puede resolverse explcitamente: 412 Mtodos de aproximacin (1 - x) XC( X) di + ~ ( l - X) G( X) di . As (82.16) es equivalente a la ecuacin integral u(x) = (1 - x) ?[ F( ?) + X( 1 + ? ) U ( ? ) ] & l u" + I: x ( l -X) [F( X) + X( 1 + ?)u(F)]di . Definamos ahora el proceso de iteracin ~ ~ + ~ ( x ) =I " (1 - x ) ? [ F+ X ( l +?')un]& + 1 : X( 1 - 2 ) [ F + X( 1 +?)un]&. Entonces si vn = un - un-,, tenemos v ~ + 1 = X ~ ( l - x ) ? ( l + l ) v ~ a 5 + h I: x( 1- Z) ( l +512) vna5. Entonces La serie 2(I/6)k converge si y slo si (82.17) IXl < 6. As que para I suficientemente pequeo la iteracin converge hacia una solucin. Conforme a los resultados de la seccin 36 existen autovalores A, para los que el problema (82.16) carece en general de solucin. Luego la iteracin puede no converger para todo I . Es necesaria una desigualdad parecida a la (82.17). La comparacin con las ecuaciones k' + Iu = O y U" + 21u = O pone de manifiesto que el autovalor ms pequeo de (82.1 6) satisface +n2 < A, < n2. La desigualdad (82.17) demuestra que realmente 1, r 6. Por tanto 6 I I, < n2. 83. Mtodo de Rayleigh-Ritz 413 En general podemos decir, que los autovalores se presentan en problemas de valores de contorno de la forma L[ u] + " u ] = o donde interviene un operador elptico L. Por esta razn el operador de perturbacin M en (82.15) debe tener una magnitud restringida. EJERCICIOS 1. Resolver el problema "" 2 - a2u a% ar2 x u - x para t > O, u(x, O ) = o, %(X. 0) = 0 au por aproximaciones sucesivas, utilizando u, =O y calculando u,. Calcular el mximo error cometido en la aproximacin de u (1, 1) con u, (1, 1). 2. Resolver "" $ 2 (cos 2x)u = sen3x para O < x < m, t > O, u(0, t) =u ( %- , t ) =o, u(x, O ) = o por aproximaciones sucesivas hasta u,, partiendo de u. =O. INDICACI~N: En lugar de utilizar la frmula integral, resolver la ecuacin no homognea del calor que se presenta en cada iteracin por medio de la transformada seno finita. 3. Establecer un esquema de aproximacin sucesiva para el problema de valores iniciales "" a% azu ap ax2 4(x7 t) u= F( x , t) para t > O, 4% 0) =f(x), au $-, 0) =A x ) . 4. Resolver por aproximaciones sucesivas at2 ax2 ;+xu=o para t > O, u(x, O) = o, $(x, O) = x2 hasta u, partiendo de u, =x2r. Hallar una cota para el error cometido en la aproximacin de au/& ( O, 1). 83. Mtodo de Rayleigh-Ritz Brevemente esbozaremos un mtodo que puede usarse para aproximar la solucin Sea u la solucin del problema de un problema de valores de contorno que implique una ecuacin elptica. 414 Mtodos de aproximacin (83.1) u = f sobre C. Sea v ( x, y ) cualquier funcin derivable con continuidad en D continua en el contorno y que tiene los valores de contorno (83.2) v = f sobre C. Integremos ambos miembros de la identidad 2 div [(u - v) gradu] + /grad vI2 = lgraduI2 + lgrad (v - u)I2 sobre D. Puesto que u - v = O sobre C. la integral del primer trmino es cero segn el teorema de la divergencia. Por consiguiente, (83.3) / / [grad VI 2 dxdy = lgrad (v - u) l 2 dxdy. D Ya que I grad (u - v ) ~ I 2 O, resulta que (83.4) / / lgrad VI z dxdy 2 D para cualquier funcin v que tenga los mismos valores de contorno que u. Tenemos as la siguiente caracterizacin de una funcin armnica. PRINCIPIO DE DIRICHLET. Entre todas las funciones v derivables con continuidad en D con valores de contorno dados f , la funcin armnica u hace mnima la integral / / lgrad VI 2 dxdy. D A partir de la ecuacin (83.3) vemos que tan slo u da este mnimo valor. Porque si v - u no es igual idnticamente a una constante, J grad (Y - u) 1' dxdy es positiva Ya que v - u es cer6 sobre el contorno, el nico valor constante que puede tener v - u es cero. La diferencia entre J J [ grad v j 2 dxdy para una funcin particular v y el mnimo valor J J 1 grad u j 2 dxdy es, de acuerdo con (82.3), igual a J J 1 grad (v - u) l a clxdy. As pues una funcin v para la que 1 J I grad v l2 dxdy - j j 1 grad u l2 dxdy es pequea, es prxima a la soluci6n u de (83.1). Esta propiedad sugiere la bsqueda de una funcin v que haga 5 5 1 grad v l 2 dxdy lo ms pequea posible. Sea v,, cualquier funcin derivable con continuidad que satisfaga la condicin de contorno (83.5) vo = f sobre C. Es un valor supuesto inicial para la solucin u. Para mejorarlo, elijamos una funcin v, que satisfaga la condicin homognea de contorno v1 = O sobre C. De este modo si a, es una constante cualquiera, la funcin satisface v =f sobre C. v = vo + Ul Vl 83 Mtodo de Rayleigh-Ritz 415 Para hallar la mejor aproximacin para ' u en el sentido de la media J i grad ( v - u) 12 dxdy elijamos a, de modo que I grad v 12 dxdy sea tan pequea como pueda ser para cualquier v de la forma (83.6). Calculemos este ks un polinomio cuadrtico en a,. Para minimizarlo, igualamos a cero la derivada respecto a a,: El valor a, que hace mnimo el citado polinomio viene dado por / J g r a d V O * g r a d V I ~ d y Eiemplo. Aproximar la solucin del problema (83.7) u( x, O) = x( 2 - x ) , u(0, Y ) =o, u( 2 - 2y, y ) =o. Para satisfacer las condiciones de contorno elijamos v o =x ( 2 - x - 2 y ) . vl =xy( 2"- 2y) , Cogemos entonces que se anula sobre el contorno, y buscamos la mejor v de la forma va + qv , . El valor minimizante a, es el dado por 1 e- ey 1 o ,o -2-zy [4y( 1 - X -y)' - W ( 2 - X - 4y)]&& [ 4 ~ ( 1 - ~ - ~ ) ~ + 2 ( 2 - ~ - 4 ~ ) ~ ] d x d y a l = - 0 - 0 As que _I_ "" . " 416 Mtodos de aproximacin es la mejor aproximacin de la forma x (1 + a,y) (2 - x - 2y) para la solucin u en el sentido de la media I I I grad ( v - u) l 2 dxdy. Podemos disminuir ms ,I J I grad v l 2 dxdy y por tanto !' 1 I grad (v - u) l2 dxdy, introduciendo otras funciones vpr v,, . . ., v n que satisfacen la condicin homognea de contorno (83.8) v i = O sobre C para i = 1, . . ., n, y poniendo (83.9) v = vo + a1v1 + . . . + UnVn. Entonces 1 ) lgrad VI2 dxdy = lgrad vol2 dxdy / I + 2al / /grad vo . grad v1 dxdy +. . . + 2a, / / grad vo . grad V, dxdy D D + al2 // lgrad vIl z dxdy + . . . + anz /grad vnI2 dxdy D 1) + 2alaz / / grad v1 . grad vz dxdy + . . . D r r + 2a,-la, grad v , - ~ . grad V , dxdy. D ste es un polinomio de grado dos en las variables a,, . . . , a,. Para hallar su mnimo igualamos a cero las derivadas parciales respecto a todas las ai. Obtenemos as el sistema de 12 ecuaciones lineales con n incgnitas (83.10) al / / [grad VI l e dxdy + uz grad v1 . grad vz dxdy + . . . + a, grad v1 . grad v, dxdy D = - / / grad v1 . grad vo dxdy . D al / J' grad V, * grad v1 dxdy + a2 grad v n grad vz dxdy + . . D ..- + a , lgrad v,I2 dxdy D 83. Mtodo de Rayleigh-Ritz 417 (83.9) en el sentido de que 1 1 I grad (v - u) l 2 dxdy sea lo ms pequea posible. Este m& todo de aproximar la solucin u se llama mtodo de Rayleigh-Ritz. Ejemplo. Consideremos nuevamente el problema (83.7). Elegimos v, = x( 2 - x - 2y), pero ahora buscamos una aproximaci6n mejor tomando las dos funciones v1=xy(2"-2y), v* = x y y 2 - x - 2y ) . La aproximacibn 6ptima u la deseamos en la forma v = v, + a,v, + q v p Las condiciones de mnimo (83.10) son (1]- + a2 - = "7 2 22 2 9 315 15 22 al - + a* - = --. 1 1 2 315 315 45 Resolviendo, encontramos Con lo que la aproximacibn de Rayleigh-Ritz para u es v=x 1"-"-y~ ( 2 - x - 5 ) . ( 13 143 ) 7 28 El m6todo de Rayleigh-Ritz puede usarse para aproximar las soluciones de un gran nmero de problemas de valores de contorno con coeficientes constantes o variables,, en una o ms dimensiones. Asimismo se emplea para aproximar autovalores y autofun- ciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Para ms detalles remitimos al lector a los libros de Collatz, Polya y Szego, y Synge que se citan en la bibliografa. EJERCICIOS 1. Hallar la aproximaci6n bptima de la forma v = x( 1 - x) (1 - y ) + x( 1 - x) y( 1 - y ) (a1 + azy) en el sentido de la media 1; I grad (v - u) l a dxdy para la soluci6n u de -+-=O para O < x < l , O < y < l , alu azu ax' ay 4 0 , Y ) = 4 1 , Y) =o, u(x, 1) = o, u(x, O) =x(1 - x). 2. Hallar la aproximaci6n bptima de la forma v=xr+(23+~-1)(nl+asxZ+asy5) 9 en el sentido de la media 1 J I grad (v - u) l a dxdy de la solucibn U de -+-=O PU aru para ~ . + f < l , ax' ay 418 Mtodos de aproximacin u = ~ 2 para a+-$= 1. Demostrar que la funcin resultante v es la solucin exacta u. 3. Demostrar que el principio de Dirichlet es vklido para un problema tridimensional de la forma u =f sobre C. Hallar luego la aproximacin de Rayleigh-Ritz de la forma para la solucin de -+-+-=O para O < x < 1, O < y < 1, O < z < 1, a2u a2u azu ax2 ay2 azz u = O para x=O, x = 1, y=O, y = 1, z = 1, u(x, Y, 0) = x ( l - x ) y ( l - y ) . 4. Sea D un dominio bidimensional con contornos C y (x, y ) una funcin dada no negativa. De- mostrar que entre todas las funciones derivables con continuidad v tales que la solucin u del problema v = f sobre C a% azu s + - p - 4 ~ ( x . y ) u=O en D, u =f sobre C hace mnima la integral iD J' {I grad v l2 + +v2}dxdy. Hallar luego la aproximacin de Rayleigh-Ritz de la forma v = sen r x cos - y + al sen r x sen r y 7r 2 para 1a.solucin de - + - - - ( X ~ + Y ~ ) U = O para O < x < l , O < y < l , a2u a2u ax2 ay2 u(0, Y) = 4 1 , Y) =o, u( x, 1) = o, u( x, O) = sen m. 5. Demostrar que entre las funciones v que satisfacen y la normalizacin ds = O la solucin u de u=o sobre C hace mnima la integral ]j lgrad vi2 dxdy. Hallar luego la aproximacin de Rayleigh-Ritz de la forma + a, (xz - yz) + a2(* - 6 x 2 ~ ~ + y4 + &) para el problema 83. Mtodo de Rayleigh-Ritz a2u+a2u=-2 ax2 ay2 para O < x < 1, O < y < 1, u = O para x = O, 1, y = O, 1. 6. Demostrar que entre las funciones v que satisfacen la ecuacin de Laplace '419 la solucin u de u = f sobre C hace maxima la cantidad Q[vl = 2 fg ds - lgrad V I , dxdy. (&te es el llamado principio de Thomson.) I NDI CACI ~N: Considkrese la diferencia Q [u] - Q [v], recurdese que f = u sobre C, y aplicar luego el teo- rema de la divergencia. 7. Demostrar que si el contorno C de un dominio D esta dividido en dos subconjuntos C, y C, (no necesariamente conexos), la solucin u del problema -+-=O en D, a% a2u ax2 av2 u = f sobre CI &=O an sobre CP hace mnima la integral fJD lgrad v l 2 dxdy entre las funciones v que satisfacen v=fsobre C, y no la satis- facen sobre C,. Hallar luego la aproximacin de Rayleigh-Ritz de la forma v-= x(2 - x) (1 + ay ) para la soluci6n del problema - + -- O para x > O, y > O, x + 2y < 2, azu a2u ax2 ay2 - do, Y ) =o, u(x, O) = x(2 -x), BIBLIOGRAFfA PARA EL CAPTULO XI1 L. COLLATZ, The Numerical Treatment of Difjerential Equations, Springer, 1960. R. COURANT AND D. HILBERT, Methods of Mathematical Physics v. 11, Interscience, 1962. G. E. FoRsY TsE AND W. WASOW, Finite Difference Methods for Partial Differential Equations, Wiley, 1960. P. GARABEDLAN, Partial Differential Equations, Wiley, 1964, captulos 8, 13. G. POLYA AND G. SZEGO, Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, Annals of Math. Studies 27. H. SAGAN, Boundary and Eigenvalue Problems in Mathematical Physics, Wiley, 1961, capitulo VII. J. L. SYNGE, The Hypercircle in Mathematical Physics, Cambridge, 1957. R. S. VARGA, Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, 1962. H. F. WEINBERGER, Variational Methods in Boundary Value Problems, Lecture Notes, University of Min- Princeton, 1951. nesota Engineering Bookstore, 1961. Soluciones de los ejercicios Seccin 1 1. Las ecuaciones (1.4) y (1.5) con F = %/at2 = &/at2 =O implican que siendo c1 y c, constantes. Si cl #O, dividimos para encontrar que de modo que la cuerda tiene la forma de una recta. Puesto que y = O cuando x = O y cuando x = I, la pendiente de esa recta debe ser cero, con lo que c2 =O y ay/% = O. Laprimera ecuacidn se convierte en 5 (e, S) = cl. Recordemos que 5 es una funcin de e creciente y que 5 (O, S) = T,. Por tanto si cl > To, e = @x@) - 1 > O, mientras que si c1 < To, e =(ax/&) - 1 < O. Pero Jk eds = Jb [(ax/&) - 11 ds = = x (I, t) - x (O, t ) - 1 = O. Concluimos que c, = To y e = O. Con lo que ax/& = 1, y obtenemos tan s610 la solucin x = S, y = O, y T =5 (o, S) = T~ si c1 #o. Si cl = O, llegamos a la conclusidn de que en cada valor de S es ax/% =O o S (e, $) =O. Puesto que 5 es creciente en e y S (O, S) = To > O, e debe ser negativo para que 5 =O. Luego lgl 5 d m < 1. De este modo si cl=O, lax/asI < 1 para todo valor de S, lo que est& en contradiccidn con el hecho de que (ax/&) dS = 1. Por consiguiente c1 no puede ser cero. 422 Soluciones de los ejercicios Secci6n 2 1. a) - el/a, b) - c) O. 2. Sea m un entero tal que x < 2ml < x + 21. Entonces En la primera integral pongamos y = x - (2m - 1) I, y en la segunda y = x - (2m + 1) 1. Con ello J:"' g(;)&= J" g(y + (2m - 1)l)dy +I-[ g(y + (2m + 1)l)dy. a"Zm-l)l z-(zm-l)I Segn (2.14) y (2.13) vemos que g CV + (?m - 1) I) = "g (y) y g CV + (2m + 1) I) = -g Q. As que puesto que g impar. 3. u = senvx cos P C ~ Anlogamente ~( 21- x, t ) = -u(X, t ) . (b) u(x, t + $7= +-(x + ct + 21) +f(x - C t - 21) + - ] 2c Iz-6"21 1 "+Ct+21 = U(X, I ) (Ver ejercicio 2.) = -u(x, t ) (Ver ejercicio 2.) 8. La fmula (2.16), pero con f y g ampliadas como funciones impares en torno a x = a y x = b: 9. La frmula (2.16), pero con f y g ampliadas como funciones pares en torno a x = O e impares en f(h - X ) = "f(x), f(2b - X ) = - f ( x) . tomo a x = 1 : f(- x) = f ( x ) , f(2 -x) = " f W. 10. u ( X, r) = p (x + ct ) + q (x - ct), donde P(5) =;u+ c) f ( 5/ [ l + cl ) para O 5 5 5 1 + c q( r) ) =Z( l - c) f ( r) / [ l - c] ) para Osqs 1- C, 1 y p y q son ampliadas por las frmulas p(--Z) = -do = P(2 - 43. Soluciones de los ejercicios 11. El problema es de la forma (2.1) con c = I = 1, f ( x ) O, y O para O < x < - 1 2 1 para - <x <l . 1 2 g(x) = 423 1. Puesto que w a x = [ f (x -I- et) +f ( x - c t ) ] + [ g ( x + cr) - g ( x - ct)] o bien la funci6n 1 1 5 f ( 0 + 5 g (0 debe ser discontinua en f = X + et, o - f (7)- - g (r]) debe ser discontinua en q = x Ci para producir una discontinuidad en &/ax en (T, 7). En el primer caso,8uia.x ser& discontinua siempre que x + ct = Z + ci, esto es, a l o largo de la caracterstica izquierda que pasa por (x, I). En el segundo caso debe existir UM discontinuidad a lo largo de la caracterstica derecha. 1 2 2c 1 1 2 2c 2. Ver la soluci6n al Ejercicio 1. 3. a) 1/2; 1/(2c). b) 1/2; - 1/(2c). 424 Soluciones de los ejercicios 8. -. 905 256 485 9. --. 1536 Seccin 5 2. -[3e - 2&2 - I ] 3. - sen.nx[l - c os mt ] . 1 2 1 1T2 Seccin 6 1. sen2 1. 2. -(e312 - ellz) + 2e2. 5 4 4. a , d. 5. Sea v = u1 - u, la diferencia de dos soluciones. Establezcamos el problema de valores iniciales para v , y resolvmoslo como en la seccin 2. Seccin 7 1. t = e-= y t = 2-ee-2. 2. La parte de la banda O I x I - donde e-(2--1) cos n/8 I cos x < e2-' cos nj8, t < 2. 3. La parte de la banda O I x I 1, donde rz 4 - ( 3 - t ) ] 5 x 5 tan 4. La parte de la banda O < x < 1, donde tan tan-' - - t 5 x 5 tan tan-' - + t ] , t > O. [ u [ 2 1 Soluciones de los ejercicios 425 5. Pongamos au - L[ u at L [u] =- A - - - C - y observemos la identidad a4 ( 2) : x ( 2) Aplicar esta identidad a la diferencia v de dos soluciones cuyos datos coinciden en un pentgono P l i mi te por t = O, x = O, x = 1, y las curvas C, y C, que pasan por un punto fijo (Q, 7) tal que dx / dt = vC/ A sobre C,, dxj dt = - V C / A sobre C,, e integrar. Recurdese que aA/ay 2 O, aC/& I O. 6. Aplicar la misma demostracin que en el caso en el que u (1, t ) = O y observar que vav/ax = - v 2 1 O en x = 1. Seccin 8 1. a) elptica b) parablica c) hiperbblica. + (i + 2 d B2 - 4AC El )(x- &k - v B 2 - 4ACl r) + ( A - B )(x + &[ B + VB2 - 4AC t 2 2 d B2 - 4 AC I! + 4. g ( X) = au/ar (x, O) debe satisfacer g (x) = - a y ] - = --Y( ; x) + g F( x , 1 O) ax at Seccin 9 1. a) hiperblica cuando t 2 > 4x, parablica en la parbola t 2 = 4x, elptica cuando t 2 < 4x b) hiperblica cuando x #O, parablica cuando x = O c) hiperblica cuando x t < 1, parablica en la hip6rbola xt = 1, elptica cuando xt > 1. b) t = 2 - e (slo una caracterstica) c) t = sen x + cos x, t = 2 + sen x - cos x 3. 5 =-log ( e- = + t ) , I) = x --e 1 3 Seccin 10 1. Suponer que existe una transformacibn lineal de coordenadas (E1, 12, &) de modo que Calculando L en las coordenadas originales mediante la regla de la cadena, encontramos que los coe- ficientes de a2u/ax2 y a2u/az2 son 426 Soluciones de los ejercicios respectivamente. Estos tienen evidentemente el mismo signo, de modo que no podemos obtener el ope- rador dado. 2. Si la primera parte es elptica, existen coordenadas 6.J tales que se retransforma en ,X [ a2u/aEI2 + azu / a[ ; 1 con aA > O. Poniendo = v;j&, obtenemos la forma ordinaria. Si L es elp- tica, la reducimos a la forma ordinaria introduciendo las coordenadas [,, E , y E, . y demostramos que dos de esas coordenadas deben ser independientes de z, en tanto que la tercera es independiente de x e y. Se deduce entonces que Aa2ula22' + Ba2u/axay + ca2ulay2 es elptica Y AD > O. 3. V2u + grad u . grad u = O. Secci6n 11 1. Si v es la diferencia entre dos soluciones, Qz v =O en D, v = O en C. Aplicar el teorema de la di- vergencia a la identidad vV2v = div ( v grad v ) - \grad vI2 lgrad v12drdydz = O. D 2. Si Y es la diferencia entre dos soluciones, V2r =O en D, Y = O en C,, y (av/an) +UY =O en C,. Por(ll.2)I/lgradv12dxdy+ f av2dS=0. D CP Cada uno de los integrandos es no negativo, y por consiguients debe ser cero. 3. Si Y es la diferencia entre dos soluciones, v=o para x2 + y2 = 1. Segn el teorema de la divergencia Puesto que el integrando es no negativo, debe ser idnticamente nulo. 4. Si Y es la diferencia entre dos soluciones, Soluciones d e los ejercicios 427 Ya que el integrando es no negativo, debe ser idnticamente nulo. 5. Si v es la diferencia entre dos soluciones, v = o sobre C. Multiplicar la ecuacin diferencial por v, integrar en D, e integrar por partes mediante el teorema de la divergencia para encontrar El integrando se puede poner en la forma Si la ecuacin es elptica, 4AC - (B, + B2)2 > O. Se deduce que A no puede anularse nunca, de modo que o bien A > O o A < O en todo el dominio D. El integrando es el producto de A por una suma de cua- drados y por tanto es o no positiva o no negativa. Por consiguiente, &/ax = &/ay = O en todo D. Secci h 12 1. Pongamos v = u + eu donde E > D y a est elegida de modo que d + A a > O para O 5 x 5 1. Con lo que v" + Av' > O. con la desigualdad anterior. Por consiguiente Si v posee un mximo en un punto interior x,,, v" (x,,) I O, v' (x,,) = O, que estara en contradiccibn u(x) 5 v(x) 5 max (v(O), v(1)) = max (u(0) + E, u( 1) + ea) para todo E > O. Hagamos que e+ O encontrando que .(X) m= (U(O), 4 1 ) ) 2. En un mximo &/ax = au/ay = O, v 2 u I O, en contradiccin con el hecho de que F < O. 3. L [ e m] = (a2 + Da.)eaz. Elijase a de modo que a2 + Da > O. Con esto si v = u + eeaxsiendo. E > O, L [VI > O. Segn el resultado del Ejercicio 2 u(x, y) 5 v(x, y) 5 maxv(x, y ) 5 M + E maxeax C C para todo E > O. Luego u < M. 4. L [e""] = (Aa2 + Da) ear. Elijase a lo bastante grande para que AaZ + Da > O. Pngase v = = u + eeU con E > O, de modo que L [ v ] > O. Supngase que v tiene un mximo en un punto (xo, y,,) de D. Segn la definicin de operador elptico existen unas coordenadas ([, 7) tales que en (xo, y,,) L adopta la forma 428 Soluciones de los ejercicios L [ v ] = c -+- +d - +e - [S at aq av av con c > O. Puesto que v tiene un mximo en este punto, av/aE = av/& = O, &/at21 O, a2v&2< o, con lo que L [ Y] I O, llegando a una contradiccin. 5. Pngase v = u + ex2 siendo e > O. Con ello v2v > O. Luego Y no puede tener un mximo en D. 6. Supngase A > O. Pngase v = u + eaX eligiendo a lo bastante grande para que Aa2 + Ga > O. Con ello L [v] > O. Si v tiene un mximo en (xo, yo, zo) de D, el operador se deduce a la forma ordinaria por tanto L [ V I _< O, lo que es una contradiccin. 7. Si u se hace positiva en el intervalo O < x < 1, debe tener un mximo positivo en ese intervalo. En este mximo u > O, u' = O, u" I O de modo que u" + Au' + Bu < O, que contradice la ecuacin diferencial. 8. En un mximo positivo u > O, a2u/ axz I O, azu/ayz I O, que es una contradiccin. 9. L [ eaz] = (Aa2 + Da + G) eaX. Eljase a de modo que L [ea" ] > O. Pngase Y = u +E@ con E > O. Entonces L [ Y ] > O. Si v tiene un mximo positivo en (xo. yo), introducir unas coordenadas E, 7 tales que en (xo, yo) con c > O. Ya que G I O, L [ V I I O en (xo, yo), lo que es una contradiccin. De este modo u (x, y ) r; 5 Y (x. y ) E max para cualquier > O. Luego, U ( X, y ) 5 O. Seccin 13 1. Pngase v = u + e-$ con e > O. Entonces av/ at - ka2v/ ax2 < O. Considerar el rectngulo O < x < 1, O < t I r,. En un mximo en ese rectngulo av/at 2 O, a2v/ax2 I O, que es una contradic- cin. Luego u (x, t ) I Y (x, t ) I max v I max u + E , donde f' es el rectngulo completo incluidos los lados. r r Hacer que E --f O y se encuentra que u (x, t ) I max u para t I t o. r 2. Ampliar u al intervalo - 1 I x S 1 como funcin par: u (- x, t ) = u (x, t ) . La solucin de la ecuacin del calor que coincide con esa funcin ampliada en t =O y x = 1 es par en torno a x = O. por consiguiente es igual a la funcin ampliada u para - I _ < x< I. Segn el resultado del Ejercicio 1, no puede alcanzar su mximo en los puntos interiores x = O, t > O. 3. Si Aa2u/3x2 + 2Ba2u/axdy + Ca2u/ay2 es elptica, en cada punto existen coordenadas ( E , 7) con 10s que toma la forma a (a2u/aP + a2u/3yz). Entonces con las coordenadas (t, q, 1 ) L toma la forma de modo que es parablica. vadas parciales segundas tomen la forma a( a2u/ aP + a2u/aq2). Por la regla de la cadena Si L es parablica en un punto (x, y , t ) , deben existir nuevas coordenadas (6, 7, T) tales que las deri- + derivadas de primer orden Si L es de la forma deseada, tiene que ocurrir que Soluciones de los ejercicios 429 Puesto que los coeficientes de a2u/aE2 no deben ser cero, at l ax y %/ay no pueden ser ambas nulas. L as dos primeras ecuaciones son lineales en at l ax y %/ay, con lo que el determinante de sus coeficientes debe anularse si AC - B ~ # O, deben existir unas constantes p y v tales que pCaT/ax =vaT/ax, paq/& = v&/ay. Puesto que el coeficiente de a2u/aq2 no debe anularse, mientras que el de aZu/ar 2 debe ser cero, vemos que p =&/ax = &/ay = O. En este caso volvemos al problema de transformacin de las coordenadas ( x , y ) en las ( 6, ~) de modo que AaZu/8xZ +2Ba2u/?xay + C8u/ayZ se transforma en un mltiplo del ope- rador de Laplace. Por consiguiente este operador debe ser elptico. Si AC - B2 = O pero A, B y C no son todos cero, entonces o bien A o C no es cero. Pongamos A # O. La primera y la ltima de las ecuaciones anteriores toma la forma As pues Aar /ax + B&/ay =O, y o bien AaE/ax + Bat/& =O o Aaq/ax +Baq/ay = O. Por consiguiente O &l ax =pat i ax y aT/ay =pat l ay, O &/ax =&/ax, y &/ay = &I&, y otra vez resulta que aT/ aX = aT/aY = o. Finalmente si A = B = C = O, L no tiene tbminos de segundo orden, de modo que no es hiper- 4. La funcin u satisface blica. ax - K ( X, Y , Z, U ) at aE/au dE/au V2u - "- [grad K + (aK/ au) grad u ] . grad u = O. Una vez dada una funcin particular u, los coeficientes K/@E/au) y [grad K + (aK/au) grad u]/(aE/&) son funciones fijas de x, y i , de modo que u satisface una ecuacin lineal parabolica. Seccin 14 430 Soluciones de los ejercicios 3. -+--+-=o. x X Y r x X Y Y Calcular a/ ax en esta ecuacin: ($) + (K) 111 x 0 X Y
Esta ecuacin es de variables separadas, de modo que ambos miembros deben igualarse a una constante 1. Por consiguiente Y = &y . Volviendo a la ecuacin original, vemos que X debe ser una solucin de X + ?.X + A ~ x = O, con lo que X = el /~(l *Jz) 15. Seccin 15 2 . X 2 2 sennx. 3. f(x) - -- % L [ ( - l ) n -cos (nr/2)1 sennx. 1 2 T I n 4. - ( e - e) + 3x/e. 1 6 . 1, pl E X- - p2 x- 1 2 X +6 7. ( 1 -cos l)po(x) + 6 ( 2 sen 1 -cos 1 - l)pl(x) + 30(11 cos 1 + 6 sen 1 - ll)pz(x) = 3 0 ( 1 1 ~ 0 s 1 + 6 s e n 1 - 1 1 ) x ~ - 1 2 ( 2 8 c o s 1 + 1 4 s e n 1 - 2 7 ) ~ + 5 7 ~ 0 ~ 1 + 2 4 s e n 1 - 5 1 8. Las condiciones a) y e) dan n + 1 ecuaciones lineales para los n + 1 coeficientes del polinomio Poniendo x = cos0 se ve que T,. El determinante de este sistema de ecuaciones es no nulo. T , ( X ) T , , , ( ~ ) ( 1 - X y w X = cos ne cos mede = o para m f n. Seccin 16 1. 1 4 5 sen (2k - 1)x. T k=l 2 k - 1 Seccin 17 Pongamos y = nx. Entonces c n 5 Y sen nxdx = n-- y sen ydy. 1, Soluciones de los ejercicios 43 I Obsrvese que y- senydy = [y - (y + T)" + (y + 2 ~) " - . . . + (-1) "-l(y + ( n - l)n)"] senydy, L y que sen y > O para O < y < n. La suma entre corchetes es alternada. Si a > O, sus trminos son cre- cientes. Por consiguiente, ~ y " - ( y + P ) " + . . . + ( - l ) ~ - l ( y + ( n - l ) ~ ) " l ~ ( y + ( n - l ) P ) " ~ ( n ~ ) " para a 2 O. Por tanto si a 2 O, lcnl 5 n - l - =( n p ) a senydy = 27ra/n, JI" que tiende a cero cuando n+ w. Si a < O, los trminos de la suma alternada son decrecientes, y por tanto Iy" - (y + P)" + . . . + (-1) n--l (y + ( n - 1)7r)"( < y". Con lo que Icn/ 5 n-l-" y" senydy. L Cuando a > - 1, la integral converge y el factor que va delante tiende a cero. Luego cn+ O cuando n+ w para a > - 1. Para a = - 1, observamos que y" - (y + ?r) - I + (y + 27r - 1- . . . = ~ Y(Y p ) + (Y + 2P) (Y + 3 T ) = (y + 2k?r)(y + ( 2k + 1)T)' P +. . . P Esta serie multiplicada por sen y converge uniformemente, de modo que la integral tiene un limite finito cuando n+ 00. As que lim cn = y" sen ydy. r Si a < - 1, obsrvese. que y-" - (y + 7r- " + * . . + ("I ) (y + ( n - 1)T-" > y-" - (y + 7 r - a . Con lo cual cn > n-"" 1 [y-" - (y + ~r ) - ~] senydy. La integral es un nmero fijo positivo para a > - 2, en tanto que el factor n-l-a+ 00 cuando U < - 1. Luego cn+ 00 para - 2 <a < - 1. Smith 18 senh P 1. es - - [ 1 + 2 $4- 4 (cos nx - n sen nx) . 2. x2 - 2 + 4 5 y cos nx. 3. x - -2 5 - sennx. 7r I ~n 1 4. 2 [ f ( ~ - O) +f(m + O ) ] =?( e + e - ] ) 5. sen3 x = - sen x - - sen 3x. 1 3 1 4 4 432 Soluciones de los ejercicios 6. Integrando por partes Anlogamente, de modo que Seccin 19 2. senhx - -- senh nrr X y sen nx. rr La funcin f ( x ) , ampliada como una funcin peridica de perodo 2n, es discontinua en x = "n y en x = n. Luego su serie de Fourier no puede converger uniformemente hacia ella. 3. Segn (19.10) debemos elegir N de modo que Esta desigualdad se satisface para N = 9. El clculo se hace mucho ms sencillo observando que Con lo que el nmero N = 2L - 1 nicamente debe satisfacer la desigualdad cuadrtica 0.01 (N + f) ( N + 1) 2 32/n2. 4. Pongamos g (x) = I / zf ( x) , g*(x) = l / p ( x ) f ( x ) , y apliquemos (19.8) a g y g*. 5. f ( x ) , ampliada como funcin impar peridica, es discontinua en x = "n y en x = n. Luego no es la suma de una serie de Fourier uniformemente convergente. Soluciones de los ejercicios 433 1. X"2Z m 1 n sennx, X- ~l r " Z- - - T 1 (2k- 1)" cos ( 2 k - 1)x. " 2. X ( T " ) --Z----- ( 2 k - 113 8 " sen (2k - l )x, 3. Pongamos g ( t ) = f ( 2t ) para O < t < x / 2. Ampliar g ( t ) al intervalo --n < t < x mediante las f6rmulas g (- t ) = - g ( t ) , g (IC - t ) = g (t ), de modo que g sea impar en torno a t = O y par en torno a t = 4 2 . Con ello seccin21 1. Pongamos t = x/ f, t = a/ f . La solucibn del problema ordinario es 434 Soluciones de los ejercicios 4. 25j3 horas 5. Let X = ax i c , i = at . 6. [ f 2 d r = i ( b - ~ ) [ ~ a . ~ + $ ( anz +bn2) . 1 Seccin 22 1. U ( X , t ) = -e+ sen X - -e-gk( sen 3x. 3 1 4 4 2. u(x, t ) = ( 81~) B (2n - l)-3e-(zn-ipkr sen (2n - ])x. 3. U ( X , t ) = ( 2 1 ~ ) - (4171) C (4nZ - 1) - l e - 4nz kt sen 2nx. 4. U(X, t ) = 8 ~ - ~ ( b - a) 2 X ( 2n - l)-3e-(2n-1)*n2kfl(b-~)2 sen (2n - l ) ~( x - a ) / ( b - a) P 1 -x I z 1 - 1) - 3 + (-1)"(2n - 1)-2 Seccin 23 4. u(x, y) = 3 senh (1 - y ) sen x - senh 3( 1 - y) sen 3x + senh T(T - x) sen ny. 4 senh 1 senh 3 sen h m2 1 -3 senh n-- ~( 1 - y ) cos n-- mx 1 6. u(x, y ) = 4 [ ~ - ~ ( n ---;)-' + (- l )"~+(n -?) 1 2 2 senh (n - ; )m l u k Y) - SZ(X, Y) I Soluciones de los ejercicios m cosh (2n - I)($ - y ) 7. u(x, y ) = T X - (8/7r) Z (2n - 1)-3 sen (2n - ] ) X . cosh (n - ;)T 9. u(x, y ) = e( n- ~) / r senh f l d 2 ( L e t t =x +y , q =x - y . ) SecciC 24 1. $3rsene-fl sen3e]. 1 2. g[768 + 64r2 cos 28 + r4 cos 401. 3. r"+I cos (n + 1)e = xrn cos ne - yr" sen ne, r"+l sen (n + 1) e = y~ sen ne + XP cos ne. 1 4. u(-;, o) = o. m 5. u(r, e ) = ( 8 / ~ ) Z (2k - 1)-3F-1 sen (2k - 1)O. 6. u(r, e) = (4/7r) Z (-l)k(2k- l)-zflk-l sen (2k- ] ) e . 7. 2. 8. Iff( e) - f: (an cos ne + b, sen ne) , 1 m 1 m m u( r, 0) = Z (m/n) (an cos ne + 6, sen ne). En virtud del teorema de la divergencia 1 : S( 1, e)de = grad umf s = [ VzurdrdO = O. 1p I-1 435 436 Soluciones de los ejercicios 5. 4 satisface 2R2 2 log ( x - X0 ) Z + ( y - yo)2 v2+- ( x - + (Y - Y o ) .[(x - xo)$ + ( y - Yo)$$] = o, y 4 I O sobre el contorno. Luego 4 <c O en D. 6. Puesto que f ( 8 ) es continua en el intervalo cerrado -x< 8 5 x, es acotada y uniformemente continua. Esto es, I f ( 0 ) I I M, y para cualquier E > O existe un 6 independiente de Bo tal que I f@)- "f(8,) I < T E cuando I 0 - Bo I < 6. Si u (r, O) -uo + C rn ( a,, cos n8 + bn sen ne), entonces 1 1 " 2 1 y elegir N lo bastante grande para que 2MrN+'/(1 - r ) < -E Con lo que 1 2 ' If(eo) - 2ao - y rn(an cos neo + bn sen neo) I < E Para todo Bo l N Seccin 26 1. Ohsrvese que e(a--iaF=2)i Tn(t) est acotada uniformemente Soluciones de los ejercicios 437 5. u(x, f ) = X bnTn(t) sennx, donde 1 Seccin 27 1. u(x) = senh (x - ( ) f ( ( ) d ( . r 2. u(x) = 5-1/2 (1 + x)-1/'( 1 + ()-1/2 l o' {[(I +x)/ (l + 511 V3/2 - [(I +5)/(1 +x)l fi / 21f(f(5)d( +5-'/'(1 +x)-l"[(l +x ) ~" ~ - (1 1 3. u(x) =-(x - l)e* +-e* + - 2 2 . 4. u(x) = l ogx. 3 f ;e- 5. u(x) =$x - (x + vi "?)-] log (x + m)] 1 Seccin 28 1. u(x) =- senh 1 [senh (1 - x) izsenh5f(f)d5 + senh x Ir1 senh (1 - f(5)f(e)df(5]. 2. u(x) =- senh 1 [cosh (1 - x ) r coshff(()d( + coshx1- cosh ( 1 -()f(()d(}. 3. u(x)=~x@-esenhx/ coshl . +cosh(l -x)/ coshl . 1 Seccin 29 cosh (y - $) 1. u@, Y ) =S -y(l -y) + 2 1 - '[ [ coshi I} cosh 3(y - "1, cosh 312 sen 3x' 43x Soluciones de los ejercicios 2. u = -(R* - 9). 1 2 6. U(X, y ) = &(x) sen nrry, donde 2 bn(x) = nrr(senh nrr + nw cosh nrr) 1 { senh nw(1 - x) [senh nwt + nw cosh nwt ] F( t , q)d( + [senh nwx + nw cosh n ~ x ] 1:senh nrr( 1 - ( ) F ( t , q)dt] sennwqdq. r 7 . u( r , e) =$ao( r ) + 5 [ a, ( r ) cos ne + b, ( r) senne], donde Y F( r , 0) - &(r) + [ An( r ) cos ne + B, ( r ) sen ne]. (La funcin a, ( r ) no se obtiene a partir de la funcin de Green sino integrando la relacin (m,,')' - r A, entre O y r , dividiendo por r, integrando otra vez, y cambiando entonces el orden de integracin. La con- dicin integral es necesaria para hacer que a,' ( R) = O. Una constante cualquiera se puede Sumar a a, ( r ) , pero esta constante es cero segn la condicin u (O, O) = O). I 8. u(x, t ) = Z c, ( t ) sen 1 Soluciones de los ejercicios 439 para n = 2, 3, . . . . 1 1 4 36 9. u(x, y ) = -- senx - - sen 3x. Seccin 30 1. G( r , 8; p, 4) = -G log [ P + p2 - 2rp COS (e - +)I 1 RZ + 5 - 2rp cos (e - 4) -1 log k 2 + 5 - 2rp cos (e + +) . lo"g(K ) + 27r 4Rn P R- ") c(R/~)" - (~/R)"I cos n ( e - +) 2 2 1 1 +G log ( P + pz - 2rp cos (e + +)] 2 2 47r 1 2 . G( r , 0; p , 4) = log lo R/ r m " - -n for p < ';. 3. G(r,8;p,+)=- ~10g[r6+p6- 2r3p3cos3(e- +)] 1 R6 +S- 2+p3 cos 3(8 - +)] 6 6 + p6 - 2r3p3 cos 3(8 + +)] 6 6 R6 + - 2r3p3 cos 3(8 + +)l. 47r 440 Soluciones de los ejercicios 4. C ( r , O; p, +) = C - [ ( R/ r ) " - ( r / R) "] sen no sen n+ * ] p n - p - n m Rn - R-" para p < r . 5. G( r , e; p, $1 = ( p / R) "[ ( n+. R) ( R/ r ) "+ ( n- R) ( r / R) " ] c os n( e - +) para p < r . Seccin 32 m x 1. f(x, y) - (d/9) + (4a2/3) 7 (-1)nn-z cosnx + (47r2/3) C (-1)mm-z cos m) 1 + 16 X C (-l)n+mn-2m-2 cos nx cos my X I n = l m=l Seccion 31 2. u(x, y, z ) = -2 z ~- m (-l )"sennxsenhn(l -z). 1 n senh n sen ( n - 4)x sen ( 2m - 1)y senh J ( n - 4)' + (2m - 1)' (1 - Z) \ L / 4. U ( X , y, t ) = X Z dnme-(nz+mZ)c sen nx sen my, donde = x n=l m=] d,,, = $1; J: f(x, y) sen nx sen mydxdy. d,,, cos vn2+ (mP/A)' I n=1 m = 1 Soluciones de los ejercicios 44 1 donde donde al mn = 3 l o" f ( x , Y, Z) COS Lx COS my COS nzdxdydz. Seeci6n 33 1. u(r, e, z) =- X 4 " lo((2k- 1)r) sen(2k- l )z Tr k=l (2k - 1)310(2k- 1) 4 " I z( (2k - 1)r) sen (2k - 112. + G 'Os 2e Zl (2k - 1)31~(2k - 1) 2. u(r, 8, z) =--cos 3 e Z m (-l)nll((n - $r) sen (n - i )z 2Tr n=l ( n - i pl ( n - i) m (-1In13((n - i)r) sen (n - i )z -_ 2Tr cos38 X n=1 (n - ; p 3 ( n - i) 3. u(r, O, t) =-- Z 4 " l o ( (2k - 1)Trr) sen (2k - l )rz ~ k = l (2k-33)(4k2- 1)[10((2k- 1 ) ~) + ( 2k- 1)d0'((2k- 1 ) ~) 4 m %'Os 2e 21 (2k - 3) (4P - 1) [ZZ( (2k - 1 ) ~ ) + (2k - 1)rrZz'( (2k - 1) ~) . 12((2k - 1)Trr) sen (2k - 1)mz 442 Soluciones de los ejercicios Secci6n 34 m m m 1. ( 8 / ~ ) 3 I: X Z (2k - 1)-3(21- 1)-3(2m - 1 ) - 3 sen (2k - 1) x sen (21 - 1) y sen ( 2m - 1 ) z k=l I=1 m=l cos V ( 2 k - 1)' + (21 - 1)' + ( 2m - 1)Zt. 3. Multiplicar la ecuacin por au/ar, integrar sobre el dominio interior al cono (34.5) para t > O, e integrar por partes para demostrar que si u = au/at = O en t = O en el interior del cono, entonces la misma integral no negativa extendida al cono, como la obtenida en el caso de la ecuacin de ondas ms la integral de U ( ~ U / & ) ~ extendida al interior del cono, es cero. sen lx sen my sen nz. Seccin 35 donde m m 5. U ( X , y , z ) = X X clm(z) senlx senmy, donde I=1 m=1 + senh w z I " senh -(m - < ) F ( [ , r), <) di / sen 18sen mqdedr). Seccin 36 x 1. A --+ (n7r/log2)', t ~ = 1, 2, . . . 1 " - 4 un = ( 1 + x ) sen [nm log (1 + x)/log 21. 2. t a nVi =- Vi un = sen Vk. 3. A = O , (27r)', ( 2 7 ~ ) ~ , (4?r)', (47r)', . . . u1 = 1 , u2 = cos 2r x, u3 = sen ~ T X , . . . . Soluciones de los ejercicios seOei6n 37 S& 39 1. l V ( P p U ' ) ' k = vxau'j - L x au' v ' k = - xau' v' k , puesto que u' y v estn acotados mientras que x@+O cuando x+O. 443 444 Soluciones de los ejercicios 3. Proceder como en el Problema 1. Secci6n 40 l . Jsiz (1) = ( 2 / ~ ) ~ / ~ [ ( 3r-5/2--t-1'z) sen t - 3 t - 3 / 2 ~ o s t ] . 2. Sumar el producto de t m por (40.5) al producto de por (40.6). Seccin 41 Soluciones de los ejercicios Seccin 42 445 m 1. u(x, y ) = z Cn [cos ut - cos (n - $)ct] sen (n -;)x, (n -;)I2 - 0 2 donde cn = I" F( x ) sen (n - 4)xdx. m 0 m - 2. u(x, y , t ) = I: I: Cnm m=] (. - ;)' p + ( m - ;)' ,-a - uz [cos ut - cos J m c t ] s e n (n - ;)x cos ( m - ;)y, 4. u(x, t ) =- [ COS t - COS 2tlsen 2. 1 3 5. u(x, y , z, t ) =q z z 4 m m h[ l - (-l)'er] [l - ( - 1) me ql 1=1 m=1 (P + 1 ) (mz + 1) (P + m' - 4) [cos 2t - cos V F T S t ] sen lx sen my. Seccin 43 1. (a) z (b) x (c) 30xyx. 2. P3(f) = p x " - 3x). 1 3. -15Pz(t )/p' . 4. El problema toma la forma " [a2cosh2 6 - dcos2 93-l - + - = O aP [ri para.0 < 5 < tanh-l (b/a), O 5 TJ 5 2~r, t >O, ~( tanh- ~( b/ a) , q, t ) =O, [S + $]/[coshZ 6 - COS' q] acotada u(6,17 + 2m, t ) - 4 6 9 7, t ) = o, au au j$& rl + 2m, 1) -%(& 1). t ) = o, z(6, T J 9 0 ) = 0 u ( [ , q, O) =f ( a cash.$ cosq, a senht, senq), au donde O 6 < a y a = (a' - bZ)'/*. donde La separacibn de variables da soluciones de la forma X ( E ) Y (7) cos or de las condiciones homogneas, X' + [azu' cash' 5 + h] X = O para O < 5 < tanh-1 (b/a), X'(0) = X(tanh" (bin)) = O Y " - ~ a 2 ~ 2 ~ ~ ~ 2 ~ + h ] Y = 0 para O<q<2m, Y( 2m) - Y( 0) = o Y'(2m) - Y( 0) =o. El problema correspondiente a E se puede resolver para cada fijo w, para dar los valores propios 4 (w), 4 (m), . . . como funciones de W. El problema correspondiente a 7 sirve para determinar el conjunto dis- creto de valores de w. 446 Seccin 44 Soluciones de los ejercicios m 6. u( r , 8, 4) = Z n-lr" n=1 Segn el teorema de la divergencia Por consiguiente si la integral del segundo miembro no es cero, u no puede satisfacer la ecuacin de La- place. seccin 45 para r < r. Soluciones de los ejercicios 5 . u(r, e, 4) 11 G( r , 8, 4/;, 8, $) F( r , 8, q)? sen8drd8d$, donde 447 para 7 < r. Secci6n 46 1. (1 + i)/V3, (-1 + i)/V3, (-1 - f ) / f i , (1 - i)/V5. 2. (1 + i)/V2, (-1 - i)/V3. 3. ( 3 + f i i ) / 2, O, (3 - ~3 ) / 2 . 4. cos (0, -0,) = 1 solamente si 0, -0, es un mltiplo de 2x. 5. (a) 10 - i (b) 9 + 12i (c) -4 - 6i (d) (2 + i ) / 5 (e) (-1 + i ) / 2. 6. - 64. Seeci C 47 2. ex"g' sen2xy. 3. sea p = liminfIdnl-l/n. a) Suponerlz-zoI <p. Elegir E = [p-~z-zo 11. Entonces para n > N(EI,Idnl "/"> Iz-zol+ + e, de modo que I d , f r- z0)* I < [l + ( E / I Z - Z ~ I)]-".= [ + p/l z-zo I]-". Por consiguiente la serie converge cuando I z - zo I < p. Esto es, R 2 p. b) Suponer que la serie converge en z. Entonces I d,, (z - z0)" 1 5 K para una cierta constante K, y por tanto I dn l - l / n 2 K-l/" I z - zo I . Por consiguiente p 2 I z - zo I siempre que I z - zo I < R, de modo que p 2 R. 4. Pongamos p = lim I dn 111 Entonces para cualquier E > O existe un N (e) tal que lid, [/I dn+ll - p I < E cuando n > N (e). Por consiguiente para n > N(), Kl (p + E)-" < I dn I < K, (p- E)-", donde K - I (p + y K, = I dqC) I@-- Si I z - zo I < p - E la serie es mayorada por la sei i i i Kl [I z - zo !/(p- )In que converge. Si I z - zo I < p + E, d,, (z - z ~ ) ~ no tiende a cero, y por tanto la serie diverge. As que p - E 5 R 5 p + E para todo E > O. 2 2 5. a) 1 b) 2 c) 03. SecciC 48 1. s e n z ~ s e n x c o s h y + i c o s x s e n h y ; c o s z ~ c o s x c o s h y - i i n x s e n h y . 2. (a) no (b) si (c) no. 3. Segn el teorema del binomio 1 -[(Z+AZ-~)"-(Z-Z~)~]~~(Z-Z~)"~~+-~(~-~)(Z-~)"~*AZ+~~~+ 1 (Az)"". At 2 448 Soluciones de los ejercicios 4. Desarrollar f ( z ) es serie de potencias en torno al punto zo donde se calcul f' m Entonces m -[f(zo + Az) - f ( zo) l = dn(AZ)"". 1 Az La serie de potencias converge uniformemente para I AZ I I - R, y por tanto representa una funci6n 1 continua en = O. Por consiguienie 2 Para AZ real el lmite es af l ax. Para imaginario puro es - iaflay. Seccib 49 1. (a) si (b) no (c) si (d) no. 2. (a) -l/z (b) ez (c) -cos z. 3. (a) (-1 + i ) / 3 (b) (1 + 3i ) / 6. 4. (a) 27ri (b) 27ri (c) O. 5. Sea C un contorno cerrado simple en D con el agujero en su interior. Pongamos C Elijamos un punto zo interior al agujero, y un punto z1 sobre C, y pongamos Si C' es cualquier otro contorno cerrado simple en D con el agujero en su interior, la regin comprendida entre C y C' esta en D. Unamos C y c' por medio de un segmento de recta y, y sea C" el contorno for- mado por C. y, C', y nuevamente y, que limita la regin comprendida entre C y C'. La integral sobre C" de au/ax - -a/(z - zo) es cero. Las integrales a lo largo de y se calculan en sentidos opuestos, y por tanto se anulan una con otra. La integral sobre C es cero segn la definicin de a. Por consiguiente, la integral sobre el contorno arbitrario C' tambin es cero. Luego f ( z ) es univalente. Seccin 50 1. La funcin (z - l ) ' \ a es analtica en cualquier dominio-simplemente conexo que no contega z= 1. La funcin (z + 1)'ia es analtica en cualquier dominio simplemente conexo que no contenga z = - 1. f(z) est definida como producto de esas dos funciones analticas. 2. g'(w) = 1/(3z2 + 22 + l)?, Las singularidades se presentan cuando el denominador se anula. Soluciones de los ejercicios 449 3. La funcibn tal como se ha definido presenta un corte a lo largo del eje real para x I 1. Sin embargo, si definimos f ( x ) = - v x q para x < - 1, f ( z ) es continua y por tanto,segn el teorema de Morera, analtica fuera del segmento real - 1 I x < 1. 4. e-- cos (log l zl ) . S . z f n r , n = O , f I , f 2 , . . . 6. = e*loglzl-uam[cos ( y log Iz( +x arg z ) + i sen (y log IzI + x mgz ) ] . 7. ~ + + n v + i l o g ( 2 + V ' 3 ) , 1 n =0 , %1 , * 2 ,.... 8. 2nr , (;+ 2n) r n = O, & 1, f 2, . . .. 9. sen" z = -i log [iz + ( 1 - P)"Z]. Seccin 51 1. - +- z +- z 2 +~ z 3 +. . .. 1 3 7 15 2 4 8 2. 22-3.?+.. 1 a . 3. e + 2e(z - 1) + 3e( z - + . -. 4. -e - 2e(z - 1) - - e( z - 1 ) 2 - 3e( z - 1)s - . . .. 5 8 2 7. -W + w2 - 3w3 + * . e. R = 5/27. Seccin52 1. u( r , e) =- X 4 s e n h [ ( 2 k - l ) r ( n - B) / a ] s e n[ ( 2k - l ) nl ogr / a] . ?r k=l ( 2 k - 1) senh [ ( 2 k - I)+/a] 2. u( r, e ) =- ea - ea e-" ( r + : ) sen e. 3. D: 1 + 4 cos e - [ (1 + 4 cos e)* - 9I1h < r < 1 + 4 cos 0 + [ ( 1 + 4 COS e)* - 9]l/z, -13 < e < n13. 450 Soluciones de los ejercicios 4. La mitad superior de la elipse L+L<f cosh2 1 senh2 1 5. El rectngulo curvilneo que contiene el origen que est limitado por la elipse (x/cosh 1)2 + 6. El ngulo es el argumento de + b/senh)2 = 1 y la hiprbola x2 -y2 = 1/2. Segn la regla de IH6pital este lmite es ya que f ( Co) = O. Por tanto el ngulo es arg [ a2/ bZ] = 2 arg (ab). 7. G (x, y ; xl, y,) = (- 1/2njlog I z - z, I + y (x, y) , donde y es armnica. Entonces y = Re [ h (z)], donde h (z) es una funcin analtica. As que G (2) = Re [(- I / &) log (z - zl ) $- h (z)]. Segn (52.3), (- l / k ) log g (z) =(- 1/ h) log (z - zl) +h (2). Luego g(z) = (z - zl)e-2nh(z). 8. G( x, Y ; xl, Y J = G*(Re [g(z)l , Im [ g( z) l ; Re [ g ( z ~ ) l , Im k( z d1 ) . 9. K( x , Y ; x1, Yl) = (1/2v)Ig(zAl[l - lg(z)ll2/llg(z1) - dz ) l 2 . Seccin 53 I 1. La recta Re5 = -. 1 2 2. La recta 6 - 7) = 1. 3. La parfe del disco situada por debajo del eje 5. 4. La parte del disco I 5 + 1 l 2 < 1 a la derecha de la recta Re 5 = -2 1 5. 5 = ( 1 + i)/(z + 1). 6. 5 = i ( ~ - 3 ) / ( ~ 11). 7. [= e*+( z- a) / ( az- I) , [al < 1. 8. 5 = 2(z + l ) / ( z - 2) . Secci6n 54 Soluciones de los ejercicios 453 11.SeaP(z)=a0zk+a,zn-l + ...+ aR , c onao#O. C uando~z ~>l y ~z ~~( ( I a, ~+ . . . +I a, /)/ / I a01 E I P(z) - aoz"1 < Elaollzl", I P'(z) - naozn-11 > EnJ aollZ/"-'. siendo E cualquier constante positiva. Anlogamente, para z suficientemente grande Por lo que para un valor de R suficientemente grande =4ane/(l - E ) . Obsrvese que $ na, , ~~- ~/ ( a, z ~) dz = h i n , y que E puede tomarse tan pequeo como se quiera haciendo que R sea suficientemente grande. Por consiguiente segn el resultado del ejercicio 10, P ( z ) tiene n ceros en un crculo suficientemente grande. 12. Puesto que 1 g-fl < 1 f l sobre C, la serie converge uniformemente y puede integrarse trmino a trmino. Con lo que Izl=R = o. Aplicando el resultado del ejercicio 10. Seccin 59 m m 3. 3 + z + x (2"+2 - 11z-n; I ZI > 2. 4. (1 - ~P- *)z - 2 z-'; ai2 < IZI < h / 2 . m 5. 2-3 + 2-2 + z"/2! +*x z"/(n + 3) ! ; Izl > o. O 6. (z - zo)kf(z) tiene una singularidad evitable. Por lo tanto Ya que el polo es de orden k, c,, #O. Luego 7. si f(z) = 6" ( z - + bk-1 ( z - + . . . + b, ( z - zo)" + Ea , (z - z0)" , es evidente que m Rz = O. Adems, ( Z - z Jk. f ( z ) = 68 + bk-1 ( Z - 20) + . . . + bl (Z - ZO)k-] + Can-" ( Z - z , ) . ~ El se- O 0 0 I< gundo miembro es analtico en 2,. 454 Seccin 60 Soluciones de los ejercicios Seccin 61 1. 2. 3. 4. 5. a n/[2 + cosh 11 + 2~3- ' 1~ Z -m 1 + (2n + 1)2d - [log (2 - v 3 ) ] 2 {1 + (2n + 1)'~' - [log ( 2 - V'3)]'})" + 4( 2n + 1)2d[10g (2 - m)]' n senh ( l / f i ) cos ( l / f i ) - 2~ x . (-1)nn senh2 (l/V?) + sen2 ( l / f i ) 1 n4n4 + 1 sen ( n/ f i ) cos ( ~/ f i ) +senh ( n / f i ) cosh ( n/ f i ) - 1). senh2 ( n/ f i ) + sen2 (n/V?) senh2 ( n/ f i ) + sen2 ( a / f i ) sen ( n / f i ) cosh ( n / f i ) + cos ( n/ f i ) senh ( n / f i ) - 1 $- 2 - ( n / a ) cot TU]. Seccin 62 1. Tr/Vl. 2. 7rba-'/[2 cos TU/^)]. 3. (2/V'3)n sen (n/9)/sen (r/ 3). 4. ~ r [ l + 2 cos 2m(a + 1)/3]/[3 sen va] 5. 2~a519. Seccin 63 1. (a) 2/ ( 1 + w' ) (b) ne-lwl (c) (n/a)112e-wzi4a (d) l / ( a - io) ( e ) (2/0) sen Aw. 455 1. Ti sgn ( o)e-l wl /a COS (o/f i ), donde sgn (o) = 1 para'o > O' y -1parao < O. 2. Y[-V'~+ 3i sgn ( o) ] e - ( l wl f i +i w) / z . 3. ~ z e - 1 4 ( 2 - 1 0 1 ) sgn (o). 4. T. 5. n para I w I < A, O para IwI > A. (Poner el integrando en la forma ei("+A)X/2ix--ei("+A)X/2i x, 1 1 . y calcular las dos integrales en cada uno de los intervalos w < - A, - A < w < A y w > A) . Secci6n 65 1. Poner F( z ) =Pf(x), G (z) = F g Q, y aplicar (65.2). 2. Aplicar la desigualdad triangular a cada uno de los pares de funciones (L g "f) y k,f- g), y trans- 5. Por la desigualdad de Schwarz poner. 6. Por la desigualdad de Schwarz de modo que la sucesin fN (x) es una sucesin de Cauchy en el sentido de la media. Por el teorema de Riesz-Fisher el lmite en media es f ( x ) . Segn el resultado del Ejercicio 6, f(x) - ?ao 1 m + X ( an cos m + b, sen m). 1 8. Si n (x) es una funci6n nula, la desigualdad de Schwarz demuestra que Si ndx = O para todo x,,, la integracin por partes demuestra que para todo M > O /-:.(x) cos (kTx/ ~)dx=cos ( k?rx/ ~) 16n( t ) dt I M - ( / m/ ~) / -: sen ( knx / ~) n(~)dtdx = o. I=" Del mismo modo, los coeficientes seno de n son todos nulos. Por consiguiente por la igualdad de Parseval jyM1 n l 2 dx = O para todo M. A 1. Por el lema de J ordan fM (w)+ni sgn (m) e-101 uniformemente para w 2 e o w "E slempre 356 Soluciones de los ejercicios que E > O. Aplicando el razonamiento seguido en la solucin del Problema 2 se demuestra que f (w) = ni sgn (IO) e-IW A 2. Segn la desigualdad triangular para todo entero M. Hagamos que M+w. La primera integral del segundo miembro tiende a cero se- gn la definicin de; La segunda tiende a cero porque&+ 2 uniformemente. Por lo tanto la integral del primer miembro es cero. 3. rparal wj < 1, Oparalo] > 1. 4. r. 5. 2r/xoj. 6. r min (IaI, IPI). Seccin 67 1. (a) 1/(2m)paralx/ < a, Oparalxl > a. (b) --I sgn (x)para 1x1 < a, Oparajxl > u. (c) ( 4 ~ r - ' / ~ e - ~ ~ / ~ . (d) "-re-Isl sgn (x). 2 1. 1. 2 3. u( x , y ) =- 2 I" senh m( 1 - Y ) e-losdo, r -_ (4 + m2) senh m 4. u(x, t ) = (1 + 4t)-'/2e-rz/('+4f). 5. u( x, t ) =&J I m e-cWS 1: e- wz( f - 7) etut ~( 6, T) dt dTdw. 6. Elegir L para que 1 u (+ L, t ) I I max I f ( x ) 1. Entonces por el principio del mximo / u (x, 1 ) I 5 - < max I f ( x ) I para 1 x I < L para L suficientemente grande , Luego I u (x, t ) 1 < max I f ( x) I para todo par de valores (x, t). 7. La funcin v satisface Por lo tanto satisface un principio del mximo para t < to. Adems, para cualquier a < 1, v+ O cuando x+ 00 uniformemente en t cuando t i at,,. Para cualquier valor dado de x elegir una constante L 10 bastante grande para que 1 x I < L y 1 v (+ L, t ) I< max [to'/2e-"*/4101f(x) 11. Por el principio del mximo I v (x, t ) 1 I I f ( x) I ] para t I at,, siempre que a < 1, y por tanto para todo t <t o. As pues I u (x, t ) l ~e52/ (4(fo-L)l to' i Z(t0 - t)'-Iil max [ e-l z/4rol f ( x ) l ] . Aplicar esta cota a la diferencia U entre dos soluciones, para demostrar que u = O para t I to. Repetir el razonamiento en los intervalos t, I t I 2t,, 2t0 I t I 3t0, . . . para demostrar que ii = O para todo t . que e-s*/4fo 5 1. La cota anterior toma la forma Si f y u son acotadas, to puede tomarse tan grande como se quiera. Fijar t y poner to = pt. Obsrvese l u( x, t ) I 5 e1*/14f(B-l)Jpl/~(~ - 1)-1/2 rnax I f ( x ) 1 . Haciendo que p --f 00 se demuestra que I u (x, t ) I I max 1 f ( x ) 1 . Soluciones de los ejercicios 457 fjeccin 68 1. (a) o/(l + wz) (b) 24( 1 + 3) ' . 2. (a) 1/(1 +m2) (b) (1 - w2)/ (1 +o2)'. 3. u(x, t ) = - / o sen ox [: e-w*('-r)g(T)dTdw. 2 m T I1 8. u(x, t ) =-e-'*/' 1 + da. 2 m e- wzf cos ox Tr Seccin 69 Seccin 70 45 8 Seccin 71 Soluciones de los ejercicios para z < (. Seccin 72 1. u(x, y , t ) =- r f ( x + p COS 4, y + p sen +) (c2t2 - p2)-1!2pdpd+, 2ac o donde hemos puesto p = et seno. 2. u(x, y , z , t ) =&{ ~ ~ ~ f ( x +c t s e n B c o s +, y +c t s e n B s e n +, z +c t c o s e ) senOdOd+ I + & r [ g(x + ct sen e cos +, y + ct sen 0 sen+, z + ct cos e) sen OdOd+. 3 . u(x, y , z , t ) = & [ JI'" [ ( t - 7 ) ~ ( x + c7 sene cos +, y + cT sen e sen +, z + CT cos e) sen OdOd+dT. 4. u ( x , y , t ) = [te-"*/(4.rr)] i o"" /:f(x + ct sen e cos+, y + ct sene sen+) &+cf cos 81 sen eded+ = [1/(2ac)] JI'" r f ( x + p cos +, y + p sen +) (c2t2 - p2)"iz cosh ( a w ) p d p d + . 5. u(x, y , z , t ) viene dada por (72.6) conf'ampliada como funcin impar en torno a x = O, x = A, 6. P. y = B , z = O , y z =C. 7. u ( x , y , 2, t ) = Xt . Seccin 73 Soluciones de los ejercicios 459 de modo que e-sz (x) es absolutamente integrable siempre que s1 < S < S,. por la desigualdad de Schwarz, de modo que e-szf(x) es absolutamente integrable siempre que sl < S < S,. Seccin 74 1. (a) 1/(s2 + 1 ) (b) 6 ~ - ~ (c) 2 s ~ ~ + 2 b r 2 + b2s" (d) s - w a ) . 2. ( 1 - c m ) - ] e-sff(x)&. 3. (a) x (b) ( T X ) - ~ / ~ (c) senhaxla. JIP (d) ;a-, [ c a s - ea*/z cos (V%x/2) + .\ / SeUriz sen ( V3ax/ 2) 1 . ( e) O para x < a, x - a para x 2 a. m sen n- - rrx (0 G ? 2 n - 1 ( ') =( - l ) l cuando 2 1 < ~ < 2 ( 1 + 1 ) , 1 = 0 , 1 , 2 ; . . . 4. s 3 2 [ f l - sy(o) - s f ' ( o) - y( o) . 6. f(0) =f'(O) = O . Seccin 76 400 Soluciones de los ejercicios 3. U( s , t ) = [I senh fit senh f i ( 1 - x)f (t)dt fi senh 6 (b) U(X, t ) = [z l f ( 6) sen nr&f( e-+~'t sen nrx. n= 1 I 4. U(X, I) =x - 8" cosh ( f i x/ 2) + 6 senh ( 6 . 4 2 ) S ( fi cosh ( f i / 2 ) + 6 senh (&/2) ) 1 Seccin 77 I - para t > r + p. 4rVt 2 - (9 + p2 - 2rp cos (e + 9) ) 4. u(x, y, t ) = 2-1 e- \/al+lU L ( 2 - flm ] senx O para t < y , 1 [w cosh m y - 2 senh m y ] sen utdo u(u2 + 3) + -(eg + 3e-U - 4e-z~+fit sen x para t > y. 1 6 Seccin 78 Soluciones de los ejercicios puesto que T [h] = O en t = O por definicin. Por consiguiente aw@r = O en t = O. aZw/atz=${T[h([l, . . . [n, T)](X1, . . . , Xn, f - T ) } ] 7=t 46 1 = h(x1, . . . , Xn, t ) + l M[ T[ hl ] dT = h + M[ w ] , puesto que a/&{ T [ h] } = h en t = O y ZJz/ZJt2{ T [ h] } = M [T [ h] ] por definicin. Sobre el contorno T [h] = O, y por tanto su integral w tambin es cero. Secci6n 80 1. Elegir k = 1/40. Entonces v -, - = 0,1498. 2. (a) v(nh, (m + 1)k) = k l ~ - ~ [ v ( (n + l ) h, mk) + v( (n - l ) h, mk) ] (i : o) + [ I -2kk"] v(nh, mk) , v(0, mk) = v( 1, mk) =O, v(nh, O) =f ( nh) . h.'-I (b) Xi (4) Ti (mk) =sen ninh [ 1 - 2kh-2 (1 -cos nib)]"", i = 1, 2, . . . , (l/h)". Con ello v (nh, mk) = = 2 as&&) Tt(mk), donde los (l/h)- 1 coeficientes ai estSln determinados por las (l/h) - 1 ecuaciones lineales at sen ninh = f (nh), n = 1, 2, . . . , (I/ h) - 1. La solucin de este sistema de ecuaciones es i = l k-1-1 i = 1 h-- 1 at = 2h E j ( nh) sen ninh. n=l c) La misma demostracibn que para el problema (80.1). d) Si k > - h2 Y h es suficientemente pequeo, existe un entero i tan prximo a l/h tal que 1 - 2kk2 ( 1 - COS aih) < -1. En el tiempo T la solucin con el valor inicial f ( X) = sen 7rix es Sen7riX[l-2kh-*( 1 - COS 7rih)]T/K,cuya magnitud crece exponencialmente cuando k+O. 1 2 3. Poner k = 1/8. Entonces v (:-, -, ; - :) =- :[f($ ; ) +f(i. +)l. 4. v(nh, (m + 1)k) = k2k2 [v( (n + l ) h , mk) + v( (n - l)h, mk)] + [2(1 - k2hh2) + nhk2] v(nh, mk) -v(nh, (m - l ) k ) , v(nh, O) = o, v(nh, k) = nhk. Parah = 1, k = -, v( 0, 1) = O. 1 2 462 Soluciones de los ejercicios Seccin 81 Seccin 82 1. u,(x, t ) = " X P + -9P + 1 1 2 24 Soluciones de los ejercicios 463 - (X - t + T)u~(x - t + 7, i ) di. 1 Por consiguiente si v, = u, - * = ; 1 [?$yx + t - j , 7 ) - (x + t - 7)vn(x + t - 7,7) +%x - t + 7, t ) at - (X - t + ?)vn(x - t + i, 7 ) di. 1 En el tringulo caracterstico correspondiente a (0,l) I x + t - i I I 1 y 1 x - t + il I l . Asimismo, I v, I I max I av,/at 1 para t I 1. Por tanto si I av@t I I K en este tringulo caracterstico, I av,/at I I I K (2t)n"/(n - l ) ! por induccin. Luego Secci6n 83 25 1. al = --, a2 = 26' 35 13 2. al = -415, a2 = a3 = O. 3. al = "513. 464 Soluciones de los ejercicios + 2 11div [ u grad (v - u)]dxdy - 2 I/ u(V2v - V2u)drdy D D segn el teorema de la divergencia al = O, a2 = -7172. 6. Q[ u ] - Q[v] = 2 (u - vlfds + lgrad ( u - v)12dxdy C D + II - 2 div [ u grad ( u - v)]drdy + 2 u(V2v - V2u)dxdy D = i", /grad ( u - v) I2a!xdy D segn el teorema de la divergencia. 7. 11lgrad v12dxdy - J grad ( u - v) I2drdy D D D - 2 11div [ ( u - v ) gr adul dxdy + 2 D D = /I lgrad ( u - v)12dxdy - 2 c = i", lgrad ( u - v ) I2dxdy. D al = -12119. fndice aIJicbtico Anlisis dimensional, 98 Analtica en el infinito, 294 Aplicacin uno a uno, 253 Aproximacin en diferencias finitas, 392-404 en media, 77, 78 por mnimos cuadrados, 76, 77 puntual, 76 Aproximaciones sucesivas, 405-413 Argumento, 218 Armnicos esfricos, 205-207 Autofuncin, 7,1, 172-180, 183-190, 198 Autovalor, 71, 132, 172-180, 182-190, 192, 198, 412 Barra elstica, 6 Clculo de residuos, 298-309, 320, 321 Calor especfico, 64 Cambio de escala, 95-99, 102 Caractersticas, 18-22, 42, 46, 49, 64, 123 Crculo de convergencia, 224 Circunferencia generalizada, 262 Clasificacin de los operadores de derivacin parcial, 44-50, 56, 57, 64 Cociente de diferencias, 396 de Rayleigh, 174 Coeficientes de Fourier, 78 Complejo conjugado, 217 Completitud de autofunciones, 80, 81, 91, 92, 177, 187-190 Comportamiento asinttico de la transformada de Laplace, 368, 369 Condicin de estabilidad, 399, 400 fija de contorno, 24 Conductividad trmica, 63 Conjunto abierto, 54, 233 Cono caracterstico, 164 Conservacin de la energa, 39 Continuidad de Holder, 86, 91 Contorno cerrado simple, 234 de series mediante residuos, 306-309 conexo, 233 respecto a los datos, 6, 15, 37, 66, 114 Convergencia en media, 77, 91, 92, 152 177, 324-326 de series de Fourier, 84-94 puntual, 76 uniforme, 36, 77, 88-90, 155, 179, 189, 325 elpticas, 206 Coordenadas caractersticas, 50 Cortes de ramificacin, 242, 310-313 Cotas de error, 93, 105, 109, 156, 283, 408 Criterio de Cauchy, 223, 325 de Dini, 86, 87 del cociente, 237 Cuerda vibrante, 1, 5 Curva cerrada, 53, 54 Derivada compleja, 228 Derivadas de las funciones de Bessel, 191, 192 Desigualdad de Bessel, 80 de Schwarz, 89-91, 323 triangular, 219, 323 de una funcin analtica, 228 Desviacin media cuadrtica, 77 Determinante jacobiano, 27, 245 Diagrama de Argand, 215 Difraccin, 388 Difusin, 64 Dominio, 54, 233 de dependencia, 19, 24, 27, 40, 46, 50, 398, 409 de influencia, 20, 24, 27, 42, 46, 50 Dominio mltiplemente conexo, 235 simplemente conexo, 54, 235 Dominios no acotados, 269-272 Ecuacin de Bessel, 187, 190 de Laplace, 47, 54, 69, 103-114, 118, 119, de ondas amortiguadas, 120-123 159-161, 206-209, 251-260, 269, 401-404 bidimensional, 381-391 no homognea, 26 tridimensional, 162-165, 351-355 de Parseval, 80, 81, 92, 178, 189, 330, 331, 340, 350 465 466 fndice alfabtico Ecuacin de Poisson, 54, 55, 137, 165, 210 de los telegrafistas, 123 del calor, 63-65, 100-102, 115-117, 336, 340, diferencial singular, 187, 188 homognea, 32, 33 integral, 406 heal en derivadas parciales, 32 Ecuaciones de Cauchy-Riemann, 226, 228, 237, 252 diferenciales ordinarias, 125-134, 171-180, 346, 348-351, 374-380 370-372 Energa, 39, 58 Existencia,. 6 Extensin analtica, 230 Flujo de calor, 55, 63 Forma auto-adjunta de una ecuacin diferencial ordinaria, 125 Frmula de cambio lineal, 342, 359 de Kirchhoff, 354 de Rodrigues, 204 integral de Poisson, 110, 210, 212, 268 sel, 191, 192 operativas, 342-343, 350, 359, 365, 370 Frecuencia caracterstica (natural), 165, 198, 199 Funcin absolutamente integrable, 323, 324 Frmulas de recurrencia para funciones de Bes- analtica, 11 1, 228 armnica, 57 conjugada, 226 de Bessel, 160, 190-193, 350-363 coq argumento imaginario, 160, 350-363 de cuadrado integrable, 323, 327 de Green, 130-133, 140, 148, 168, 178, 188, 189, 210, 255, 256 unilateral, 127 de Heaviside, 366, 387 entera, 232, 283 exponencial, 230, 231, 275 holomorfa, 228 influencia, 127, 372 inversa, 244, 245, 254 nula, 326, 327 potencial, 242 hiperblicas, 242, 274-276 ortogonales, 77 trigonomtricas de una variable compleja, 241, 276 multiforme, 238, 239, 242, 310-313 Funciones asociadas de Legendre, 204, 205 Generacin de focos, 165 Integracin trmino a trmino de series de FOU- rier, 82 Integral compleja de lnea, 233 de Cauchy, 280 de kea, 234 de una funcin analtica, 237 Integrales de contorno, 235, 278, 279, 287-293, Inversin, 262, 263 Iteracin, 404, 405-413 Lema de J ordan, 320 de Riemann-Lebesgue, 83, 334 Ley de reciprocidad, 130 Limite de una sucesin compleja, 222 Logaritmo, 239, 247 Membrana, 53, 59, 193-196 Mtodo de aproximaciones sucesivas, 405-41 3 298-313 vibrante, 53, 59, 193, 196 de descenso, 355 de Frobenius, 191 de Rayleigh-Ritz, 413-417 Modelo matemtico, 5 Modos normales, 165, 198, 199 Monotonicidad de autovalores, 184-186 Ncleo de calor, 347 Nudo de malla, 397 Nmeros complejos, 215-221 Ondas sonoras, 7, 355, 382 Operador, 3 1 de derivacin parcial, 31 de Laplace, 54 interior, 402 en coordenadas cilndricas, 159 esfricas, 200 polares, 107 hiperblico, 45, 48 parablico, 46, 48, 64 diferencial elptico, 47, 48, 56, 57 lineal, 31 separable de derivacin parcial, 69-75 Orden de un polo, 286 de un cero, 286 Parte imaginaria, 215 Plano ampliado, 262 Polinomios armnicos, 1 11 de Legendre, 203-205 de Tchebysheff, 79 real, 215 Polo, 286 Potencial -electrosttico, 54, 55 Principio de Dirichlet, 414, 418 de Duhamel, 391 de Huyghen, 355 fndice alfabttico 467 Principio de superposicin, 35 de Thomson, 419 del mximo, 60- 62, 66, 104, 105, 109, 116, 281, 338, 402 del mnimo para autovalores, 175, 176, 179 fuerte del mximo, 282 Problema lineal, 32 Problemas de valores de contorno con dos pun- iniciales para ecuaciones diferenciales or- dinarias, 125- 128 . Producto de convolucin, 344, 366 Prolongacin analtica, 231 Propagacin de discontinuidades, 22, 43, 46, 50 Punto en el infinito, 262 Puntos inversos, 263, 264 tos, 128-133, 179 Radio de convergencia, 225, 228, 231 Regla de I'Hbpital, 287 de Stokes, 389 de la cadena para funciones analticas, 249 polar de un nmero complejo, 218, 231 Representacin conforme, 251- 260, 273- 277 Residuo, 290, 291 Resonancia, 199 Separacin de variables, 69- 76, 100- 111, 400 Serie de Fourier para el caseno, 73, 94, 95 de Laurent, 294- 298 de potencias, 191, 202, 221- 232 de Taylor, 229, 230, 246- 251 del coseno, 73, 94, 95 del seno, 72, 73, 94, 95 Series de Fourier, 71- 73, 94, 95 mltiples, 348- 351 dobles de Fourier, 151- 156 esencial, 287 aislada, 285 evitable, 285 de Laplace de la ecuacin del calor, 350 de Poisson de la ecuacin de ondas, 354 Singularidad, 231, 285 Solucin de d'Alembert, 10, 27, 122 iuperposicin, 35 Teorema de Cauchy, 235, 278 de convolucin, 346, 349, 359, 366 de Gauss (de la divergencia), 57, 63 de Green, 58, 65 de inversin de Mellin, 367 de Liouville, 283 'de Morera, 238 de oscilacin, 185, 186 de Phragmh-Lindelof, 114, 119, 120 de Riesz-Fischer, 326, 327 de Rouch, 294 de separacin, 184 para autovalores, 186 de la divergencia, 58, 63 de 'la funcin implcita, 245 del residuo, 291, 299-301, 306, 321 del valor medio, 111, 209 350, 358, 378 de Moebius, 264 inversa, 244, 245, 254 . lineal, 261 Teoremas de inversin de Fourier, 333, 335, 339, Transformacin bilineal, 264 fraccionaria, 264 Transformada coseno, 339 de Fourier, 318, 327- 331, 348- 351, 356- 363 de Laplace,.365, 368, 369 finita de Fourier, 137, 138, 198, 210 inversa de Fourier, 333, 335, 339, 350, 358 mltiple de Fourier, 348-351 seno finita, 135 de Laplace, 367 Tringulo caracterstico, 27 Unicidad, 6, 36, 42, 59, 61, 65- 67, 70, 114, 119, 162-165 Valor absoluto, 218 principal, 300, 304, 307, 308, 331, 351 de Cauchy, 300, 304, 307, 308, 331, 351 Valores caractersticos (autovalores), 71, 132, 172- 180, 183- 190. 191, 198, 199, 413 t