ARITMÉTICA Y

ÁLGEBRA
“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”
CENTRO PREUNIVERSITARIO
TEMA: TEORIA DE CONJUNTOS
CEPU CICLO II-2023

RELACIONES ENTRE
CONCEPTOS BÁSICOS CONJUNTOS

A. Noción de Conjunto A. Inclusión (⊂): Se define que A esta incluido

Es una colección de objetos que están bien en B, cuando todos los elementos de A son
definidos que son llamados elementos del también elementos de B, siendo B el conjunto
conjunto y, estos elementos pueden ser reales, mayor, esto es:
abstractas o imaginarias y tienen una relación en
común entre ellas. 𝐴 ⊂ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
Ejemplo:
Notación: Los conjuntos se representan y
𝐵 = {𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜}
obtienen el nombre de una letra mayúscula: A,B,
𝐴 = {𝐴𝑛𝑑𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑎}
Ω,…etc, mientras que sus elementos son
representados por letras minúsculas deparados por Entonces: 𝐴 ⊂ 𝐵
coma (,) o punto y coma (;) y encerradas entre B. Subconjunto propio: A es subconjunto propio
llaves ({}). de B, denotado por 𝐴 ⊆ 𝐵, cuando:
∃𝑥 ∈ 𝐵: 𝑥 ∉ 𝐴
Ejemplos: C. Conjuntos disjuntos: Se define a dos
𝐴 = {2,0,2,3} conjuntos como disjuntos si y solo si no poseen
entre ellos elementos en común.
𝐵 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}
Ω = {µ, 𝛼, 𝛽, 𝜂}
DEFINICIONES
B. Relación de pertenencia (𝛜)
La definición de pertenencia nos dice que un
elemento pertenece a un conjunto solo cuando
forma parte de dicho conjunto. A. Conjuntos Iguales
A y B son iguales cuando los dos conjuntos
𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∈ 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 tienen los mismos elementos, esto es:
𝐴=𝐵 ↔𝐴⊂𝐵 ∧𝐴⊃𝐵
Ejemplo: Ejemplo
Si M={7,14,9,3}, entonces 14 ∈ M 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ/𝑥 𝑝𝑎𝑟 < 10}
𝐵 = {2,4,6,8}
Por lo que se tienen que A=B
B. Conjuntos coordinables:
DETERMINACIÓN DE Sean los conjuntos A y B, se definen estos
CONJUNTOS conjuntos como coordinables cuando, tienen el
mismo numero de elementos y entre los
elementos de cada conjunto se pueda establecer
una relación de correspondencia (de uno a
A. Por extensión: Se nombra de manera explícita a
uno).
cada uno de los elementos que conforman el
conjunto.
Ejemplo
Sean los conjuntos
Ejemplo:
𝐴 = {33,35,37,39}
D={10,12,14}
𝐵 = {34,36,38,40}
Se observa que
B. Por comprensión: Se da a conocer a los
elementos del conjunto por medio de una  Se establece la relación de
característica común que comparten todos estos. correspondencia (n+1). De ahí sigue que A
y B son conjuntos coordinables.
Ejemplo  n(A) = n(B). Siempre y cuando los
𝐷 = {4𝑥 + 2⁄𝑥 ∈ ℤ , 1 < 𝑥 < 5} conjuntos A y B sean definidos como
conjuntos finitos.

1
 NOMBRE DEL CURSO Práctica 01

C. Conjuntos Comparables H. Subconjunto propio:

Se define que A y B son dos conjuntos Se define a un subconjunto propio del conjunto
comparables cuando por lo menos uno de estos como aquel subconjunto que posee todos los
dos esta incluido en el otro, esto es: subconjuntos, excepto el que es igual a él; esto
A y B son comparables ↔ 𝐴 ⊂ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊂ 𝐴 es:
# 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒐𝒔 = 𝟐𝒏(𝑨) – 𝟏
Ejemplo I. Conjunto finito:
Dados los conjuntos Se define al conjunto como finito si posee una
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} 𝐵 = {𝐴𝑏𝑒𝑐𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜} → 𝐴 ⊂ 𝐵 cantidad contable de elementos ya que se
𝐶 = {𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟} 𝐷 = {77,99} → 𝐷 ⊂ 𝐶 pueden contar. Ejemplo: 𝑃 = {1,2, … ,99999}
Son conjuntos comparables A y B; D y C. J. Conjunto infinito:
Observación: Dos conjuntos iguales no son Si un conjunto no es finito, se llama conjunto
comparables. infinito porque el número de elementos en ese
D. Conjunto vacío. (𝝓, {}) conjunto no es contable. Los conjuntos
Se define a un conjunto como vacío o nulo a aquel infinitos también se conocen como conjuntos
que no posee ningún elemento. Por convención se incontables.
acuerda que el conjunto vacío es un subconjunto
de cualquier otro conjunto.
OPERACIONES Y PROPIEDADES
Ejemplo:
𝑀 = {𝑥/𝑥 𝜖 ℕ; 99 < 𝑥 < 100}={}
Puesto que no existe algún "𝑥 𝜖 ℕ" que esté A. Unión o reunión (∪):
comprendido entre el 99 y 100. La unión de dos conjuntos dados A y B, es el
conjunto formado por todos los elementos que
E. Conjunto unitario pertenecen tanto al conjunto A, B y a ambos;
Se define a un conjunto unitario como aquel que esto es gráficamente:
contiene un solo elemento en su conjunto.

Ejemplo:
𝑆 = {𝑥/𝑥 𝜖 ℕ; 48 < 𝑥 < 50}={49}
Puesto que si existe el "49 𝜖 ℕ" , siendo este el
único comprendido entre 48 y 50.
F. Conjunto universal: 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 ∕ 𝒙 ∈ 𝑨 ó 𝒙 ∈ 𝑩}
Se define al conjunto universal como aquel B. Intersección (∩):
conjunto que contiene a los demás conjuntos Dados dos conjuntos A y B, la intersección de
dados y se representa de manera simbólica por un estos dos conjuntos son los elementos que son
"𝕌". comunes entre A y B; esto es gráficamente:
Ejemplo
𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑐𝑎} A∩B
𝕌 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑚𝑖𝑓𝑒𝑟𝑜} ó
𝕌 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜} ó
𝕌 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟ú𝑝𝑒𝑑𝑜}

G. Conjunto potencia [P(A)]:

Se define a un conjunto potencia, como aquel que
está conformado por todos los subconjuntos que
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 ∕ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∈ 𝑩}
tiene el conjunto A (incluye el vacío), y se denota
por [P(A)] teniendo a su vez 2𝑛 elementos, donde C. Diferencia de conjuntos:
“n” representa el número de elemento que tiene el Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de
conjunto A; esto es: estos conjuntos es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A y q no
𝒏[𝑷(𝑨)] = 𝟐𝒏(𝑨) pertenecen a B, gráficamente esto es:
A−B
Ejemplo: A
𝐴 = {𝑚. 𝑛} 𝑃(𝐴) = {{𝑚}, {𝑛}, {𝑚, 𝑛}, ∅}

𝟐𝒏(𝑨) = 𝟐𝟐 = 𝟒

2
 NOMBRE DEL CURSO Práctica 01

 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∩
𝑨 – 𝑩 = {𝒙 ∕ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∉ 𝑩} 𝑃(𝐵), 𝑃 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.
 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
D. Diferencia simétrica (△):  𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica  𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
de estos conjuntos es el conjunto formado por los  𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
 𝐵 ⊆ 𝐴 ⇔ 𝐵 ∈ 𝑃(𝐴)
elementos no comunes de A y B, gráficamente
 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∩ 𝑃(𝐵)
esto es:  𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵) ⊆ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
 𝑛(𝐴) = 𝑘 ⇔ 𝑛(𝑃(𝐴)) = 2𝑘
A
A Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación. EJERCICIOS RESUELTOS

01. Dado los conjuntos:

𝐴 = {𝑥, 𝑦} , 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} 𝑦 𝑈 = {𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑚}
Desarrollar:
𝑨 △ 𝑩 = {𝒙 ∕ 𝒙 ∈ (𝑨 − 𝑩) ∪ (𝑩 − 𝑨)} I.- 𝐴 ∪ 𝐵
II.- 𝐴 ∩ 𝐵
E. Complemento (𝑽𝑪 ): III.- [𝑃(𝐴)]
El complemento de un conjunto V, es el conjunto IV.-P[(B)]
formado por todos los elementos que conforman V.-𝐵 − 𝐴
el conjunto universal y que no pertenecen al VI.-𝐴𝑐
conjunto V; gráficamente esto es: Solución:
I.- 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}
II.- 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥, 𝑦}
III.- [𝑃(𝐴)] = {ϕ, {x}. {y}, {x, y}}
IV.-P[(B)] = {φ, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}
V.-𝐵 − 𝐴 = {𝑧}
VI.-𝐴𝑐 = {𝑧, 𝑚}

02. En un salón de clase donde hay 35 estudiantes,

𝑽’ = {𝒙 ∕ 𝒙 ∈ 𝑼 ∧ 𝒙 ∉ 𝑽} 29 juegan damas, 16 juegan ajedrez y 10 juegan
F. Propiedades: ambos. Cada estudiante o juega Damas, o juega
 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 (𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)
ajedrez. Encontrar el número de estudiantes que
 𝐴 ∪ 𝜙 = 𝐴 (𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜)
juegan
 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)
A) Solo damas
 𝑛(𝐴 − 𝐵) = 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) B) Solo ajedrez
 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙 ⇒ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) ¿Cuántos son en total, si además se conoce que 5
 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶)– 𝑛(𝐴 ∩ trabajan todo el día (mañana, tarde y noche)?
𝐵)– 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶)– 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) A) 19 y 6 B) 22 y 3 C) 10 y 15 D) 18 y 6
 𝐴 ∪ 𝜙 = 𝐴 (𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜)
 𝐴∪𝐵 =𝜙 ⇔𝐴=𝜙∧𝐵 =𝜙 Solución:
 𝐴∪𝑈 =𝑈
 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (𝑙𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
 (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐵 ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) (𝑙𝑒𝑦 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎).
 ∀𝐴, 𝐵, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)ó 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶
 ∀𝐶, 𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐶)
 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔𝐴∪𝐵 = 𝐵
 𝐴 ∩ 𝐴 (𝐼𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)
 𝐴∩𝜙 =𝜙
 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴 (𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜)
 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
 (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 10 estudiantes juegan damas y ajedrez
 (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 𝑦 (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 19 estudiantes solo juegan damas
 ∀𝐶, 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇒ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) 6 estudiantes solo juegan ajedrez
 (𝐴 ⊆ 𝐶) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐷) ⇒ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)
 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴)
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 NOMBRE DEL CURSO Práctica 01

03. En un grupo de 60 pasajeros, 31 hablan 05. Si 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ⁄𝑥 2 + 2𝑥 − 48 = 0}

francés, 23 hablan español, 14 no hablan ni ¿Cuántos elementos tiene [P(A)]?
francés ni español. Determine el número de A) 4 B) 2 C) 9 D) 8 E) 2
estudiantes que hablan francés y español. Solución:
A) 10 B) 12 C) 16 D) 8 E) 5 Resolvemos el polinomio de segundo grado
𝑥 2 + 2𝑥 − 48 = 0
Solución: 𝑥 − 6 = −6𝑥
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑥 + 8 = +8𝑥
F= Habla francés (𝑥 − 6)(𝑥 + 8) = 0
S= Habla español 𝑥1 = 6, 𝑥2 = −8
𝑛(𝐹 ∪ 𝑆) = 60 − 14 = 46 𝐴 = {−8,6}; [𝑷(𝑨)] = 22 = 4
𝑛(𝐹) = 31
𝑛(𝑆) = 23
Entonces: EJERCICIOS PROPUESTOS
46 = 31 + 23 − 𝑛(𝐹 ∩ 𝑆)
𝑛(𝐹 ∩ 𝑆) =31+23-46=8
Son 8 los viajeros que hablan español y francés 01.Si:
04. Hay 38 estudiantes en el quinto grado. Todos
los estudiantes estudian ciencias. −1 1 −1 −1
𝐴 = {1, , , ,…, }
2 3 4 10
 16 estudian física,
 20 estudian química, Halle n[P(A)]
 24 estudian biología, A) 1024 B) 1100 C) 1006 D) 1000 E) 2
 7 estudio Física y Química,
 8 estudio Física y Biología,
 10 estudian Biología y Química, 02.En el primer año de arquitectura hay 61
 3 estudiar los tres temas. alumnos entre hombres y mujeres, al acabar el 1er
a) Dibuje un diagrama de Venn ciclo se tiene que:
cuidadosamente rotulado para representar
los datos.  11 hombres aprobaron Calculo I
b) Determine el número de estudiantes que  36 son los hombres del salón
estudian al menos dos materias.  20 hombres aprobaron dibujo
c) Evalúe el número de estudiantes que  20 alumnos aprobaron solo Calculo I
estudian Física y Química solamente.  9 alumnos aprobaron ambos cursos
d) Indique el número de estudiantes que  10 hombres y 3 mujeres no aprobaron
estudian solo Biología. ningún curso
Solución:
a) ¿Cuántos alumnos en total aprobaron solo dibujo?
A)35 B)28 C)25 D)30 E)15
03.Determine el valor de “y” si el conjunto

A = {x + 2y, 4x − y, 81}
Es unitario
A)20 B)25 C)27 D)30 E)28
04.Sean los conjuntos:
b) El número de alumnos que estudian al menos
dos asignaturas son aquellos alumnos de las 𝐴 = {2𝑎 , 32}
intersecciones del círculo.
𝐵 = 7 + 5 + 3 + 4 = 19 estudiantes 128
𝐵 = {128, }
𝑏
c) 4 alumnos estudian solo Física y Química.
Conjuntos iguales, halle a+b
d) 9 alumnos estudian solo biología. A)10 B)6 C)7 D)9 E)11

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 NOMBRE DEL CURSO Práctica 01

05.Los conjuntos A y B tienen 1024 y 256 10.Si:

subconjuntos respectivamente y el conjunto 𝐴 ∩
𝐵 tiene 32 subconjuntos. ¿Cuántos elementos n[P(A)]=256
tiene 𝐴 ∪ 𝐵 n[P(B)]=64
A)10 B)20 C)35 D)13 E)9 n[P(A∩ 𝐵)]=8
06.De un grupo de 100 estudiantes, 20 estudian Halle el cardinal de P(A∪ 𝐵) sumado con el
solo portugués, 5 no estudian ningún idioma, 70
cardinal de
estudian inglés. ¿Cuántos estudiantes estudian
ambas lenguas? 5
𝐶 = {(3𝑥 + 1) ∈ ℤ+ / 𝑥 < 3}
A)9 B)5 C)6 D)10 E)8
A)2035 B)2030 C)2022 D)2048 E)2053
07.Sean los conjuntos A y B tal que:
11.Mariana tiene 7 tipos de frutas para hacer jugos
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) y las mezcla de igual proporción. ¿Cuántos tipos
de jugo se puede obtener?
𝑛(𝐴 − 𝐵) = 5
A)115 B)160 C)120 D) 127 E)128
𝑛(𝐵 − 𝐴) = 3
12.Si el conjunto C tiene (M+2) elementos y (4M
¿Cuál es la cantidad de subconjuntos propios del +7) subconjuntos propios y además
conjunto 𝐴 ∪ 𝐵?
n (A)=4M+3
A)200 B)256 C)150 D)255 E)205
n (B)=3M+7
08.La operación entre conjuntos que representa el
gráfico de áreas sombreadas es: n(A∩ 𝐵)=2M-1

Hallar n(A∆𝐵)
A)18 B)22 C)10 D)3 E)8
13.Sean los conjuntos A,B,C no vacíos, además:

𝐴⊂𝐵 ∧ 𝐵⊄𝐴

𝑆𝑖 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∉ 𝐵
A)[𝐴 ∩ 𝐶] ∪ [(𝐵 − 𝐶) − 𝐴]
Determine el valor de verdad de las siguientes
B ) [𝐴 ∩ 𝐶] ∪ [(𝐵 − 𝐶)] proposiciones

C ) [𝐴 ∩ 𝐶] ∪ [𝐵 − 𝐴] } I) A y B son disjuntos

D ) [𝐴 ∪ 𝐶] ∪ [(𝐵 − 𝐶) − 𝐴] II) (𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ 𝐶

E ) [𝐴 ∩ 𝐶] ∪ [(𝐵) − 𝐴] III) 𝐶 ⊂ (𝐴 △ 𝐵)

09.Si: 𝑃 = {0,2,3} IV) 𝐶 ⊄ (𝐴 ∪ 𝐵)

𝑅 = {2,4} A)VVVF B)VFVV C)FFVF D)FVF E)FFFV

Determine los valores de verdad o falsedad de 14.En una conferencia de prensa asistieron 60
periodistas, 30 mujeres tenían audífonos, 25
I) ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 / ∀ 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑥 + 𝑦 ≥ 5 hombres no tenían audífonos. Si el numero de
hombres que tenían audífonos era la cuarta parte
II) ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 / ∀ 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑥 × 𝑦 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 del número de mujeres que no tenían audífonos.
𝑥 ¿Cuántos periodistas no tenían audífonos?
III) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅/ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 , ∈ ℚ\ℤ
𝑦 a) 26 b) 28 c) 30 d) 29 e) 22
A)VVV B)VFV C)FFV D)FVF E)VVF

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 NOMBRE DEL CURSO Práctica 01

15.A un grupo de 150 estudiantes se les pregunto

qué tipo de deporte practicaban y respondieron los
siguiente
 10 practican futbol y natación
 13 practican vóley y natación
 5 practican futbol, vóley y natación
 80 practican vóley
 40 practican solo futbol
 90 futbol o natación
Si todos hacen deporte, ¿Cuántos practican solo
vóley?

a) 10 b) 67 c) 60 d) 30 e) 50
16.Paola realiza arreglos florales y para esto
combina las flores de diferentes colores. Si el día
de ayer se le agotaron dos tipos de flores y el día
de hoy observa que el numero total de arreglos que
puede realizar disminuyó en 384. ¿Cuántos tipos
de flores diferentes tenía ayer?
a) 2 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

17.Julia y Juana van al cine, Julia le pregunta a

Juana cuanto de efectivo tiene; y Juana le contesta
que en su mochila (M) y en su billetera (B) posee
las siguientes cantidades
𝑀 = {𝑥 ∈ ℕ/ (3𝑥 − 1) ∈ [2,23]}
2𝑥 + 1
𝐵={ ∈ ℕ / 0 < 𝑥 ≤ 7}
3
𝑇 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
Donde el conjunto T representa la totalidad de
dinero que debe pagar por las entradas. ¿Cuánto
dinero pago Juana?
a) 20 b) 21 c) 26 d) 27 e) 23

18.Pepe tiene 3 perros mas que su amigo Oto. Si

Pepe y Oto deciden salir a pasear a sus perros por
separado, entonces el numero de formas diferentes
que puede salir a pasear pepe excede al de Oto en
221.¿Cuantos perros tiene Oto?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

19. En el Aniversario de Ingeniería se sirve a los

invitados cocteles que contienen por lo menos 3
tipos de piscos diferentes. Si el barman tiene 10
piscos diferentes. ¿Cuántos asistieron al
aniversario, si cada uno tomo un coctel diferente?
A) 102 B) 100 C) 100 D) 968 E) 1013

20. El numero de fichas que tiene Rita y Luis están

representados por la cantidad de todos los
subconjuntos posibles de los conjuntos:
3𝑥 + 5
𝑀 = {𝑥 ∈ ℕ/ ( ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 20}
4
𝑥+1 𝑥
B={ 3 ∈ ℕ / 3 ∈ ℕ}
Determine el total de fichas que tienen entre los
dos.
A) 33 B) 21 C) 65 D) 32 E) 35
6