Solución de Edp Por Series de Fourier
Solución de Edp Por Series de Fourier
Solución de Edp Por Series de Fourier
SERIES DE FOURIER
DOCENTE:
Yessica Judith Gonzales Aredo
INTEGRANTES:
Correa Vargas, Carlos
Díaz Díaz, Luis
Rivera García, Pamela
CURSO:
CÁLCULO IV
Las series de Fourier son las herramientas matemáticas básicas del análisis de
Fourier que se utiliza para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dichas funciones en una suma infinita de funciones
sinusoidales más simples (combinación lineal de senos y cosenos con
frecuencias naturales). Su nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste
Joseph Fourier (1768-1830)
Su introducción por Fourier, después del trabajo hecho por Euler y Bernoulli, fue
uno de los eventos más importantes en el desarrollo de la matemática aplicada.
Las series de Fourier son, en un cierto sentido, más universales que las series
de Taylor, dado que muchas funciones periódicas discontinuas de interés
práctico pueden ser desarrolladas en series de Fourier, pero no tienen
representación en series de Taylor.
INTRODUCCIÓN
Este trabajo constituye una breve introducción a la teoría de las Ecuaciones en
Derivadas Parciales (EDP). La forma en la que las EDP se presentan
habitualmente en la modelización de fenómenos de la Ciencia y Tecnología es
la de modelos de evolución en los que se describe la dinámica a lo largo del
tiempo de determinada cantidad o variable (también a veces denominada
estado) que puede representar objetos de lo más diversos que van desde la
posición de un satélite en el espacio hasta la dinámica de un átomo, pasando
por los índices bursátiles o el grado en que una enfermedad afecta a la población.
En otras palabras, los modelos dinámicos o de evolución son los más naturales
en la medida que reproducen nuestra propia concepción del mundo: un espacio
tri-dimensional que evoluciona y cambia en el tiempo. Cuando el estado o
variable de un modelo o sistema de evolución es finito-dimensional, el modelo
más natural es un sistema de EDO, cuya dimensión coincide precisamente con
el del número de parámetros necesarios para describir dicho estado. Así, por
ejemplo, para posicionar una partícula en el espacio necesitamos de tres
variables dependientes del tiempo y para describir su dinámica un sistema de
tres ecuaciones diferenciales. Pero en muchas ocasiones, como es el caso
sistemáticamente en el contexto de la Mecánica de Medios Continuos, la variable
de estado es infinito-dimensional. Esto ocurre por ejemplo cuando se pretende
describir la deformación de cuerpos elásticos o la temperatura de un cuerpo
sólido en los que la deformación o temperatura de cada uno de los puntos de
ese medio continuo constituye una variable o incógnita del sistema. Los modelos
matemáticos naturales en este caso son las EDP. En la teoría clásica de EDP
estas se clasifican en tres grandes grupos: elípticas, parabólicas e hiperbólicas
OBBJETIVOS
OBJETIVO PRINCIPAL
.Aplicar los conocimientos adquiridos en clases para la resolución de
aplicaciones.
OBJETIVOS SECUNDARIOS
Dar a conocer mejor las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en
ingeniería.
Complementar y mejorar los conocimientos ya adquiridos en clases.
Desarrollar y comprende la resolución de ecuaciones diferenciales por
Fourier.
MARCO TEÓRICO
ECUACIONES DIFERENCIALES
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o
diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función
desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación
diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de
una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
𝑑𝑦
= 2𝑥
𝑑𝑥
Donde:
La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y
Dónde:
La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
La variable dependiente (v. d) es V
Donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y)
son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de
esta ecuación diferencial es:
NOTACIÓN:
En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar
las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:
Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:
TRANSFORMADA DE FOURIER
DEFINICIÓN
En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace
corresponder a una función f con valores, complejos y definida en la recta, otra
función g definida de la manera siguiente:
Para que la definición dada arriba tenga sentido, algunas condiciones técnicas
tiene que ser satisfechas por la función f, a saber, f tiene que ser una
función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor que
acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los
teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de
normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es
universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de
continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones
mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas
de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria,
el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística,
la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales
la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una
señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde
al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f.
He aquí algunas de ellas: 𝐹[𝑓], 𝑓̂, 𝐹(𝑓)
TRANSFORMADAS BÁSICAS
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo
1
diferente de , siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la
√2𝜋
1
transformada directa y un factor de 2𝜋 en la transformada inversa. A continuación
se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor
unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna
por ese factor.
USO EN INGENIERÍA
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de
frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio
temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se
concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor
facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos
de sistemas realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y
la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil
para el diseño de filtros de radio transistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital
de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una
imagen fotográfica o tomada con una computadora, véase ondícula (wavelet).
APLICACIONES
EJEMPLO 1.
Supongamos que una cuerda flexible se estira hasta quedar tensa y que sus
extremos se fijan, por conveniencia, en los puntos (0, 0) y (π, 0) del eje de
abscisas. Entonces se tira de la cuerda hasta que ´esta adopte la forma de una
curva dada por la ecuación y = f(x) y se suelta. La cuestión es: ¿Cuál es el
movimiento descrito por la cuerda? Si los desplazamientos de ´esta se hallan
siempre en un mismo plano y el vector del desplazamiento es perpendicular, en
cualquier momento, al eje de abscisas, dicho movimiento vendrá dado por una
función u(x, t), donde u(x, t) representará el desplazamiento vertical de la cuerda,
en la coordenada x (0 ≤ x ≤ π ) y el tiempo t (t ≥ 0). El problema que se plantea
es obtener u(x, t) a partir de f(x).
El primer matemático que elaboró un modelo apropiado para el anterior problema
fue Jean Le Rond D’Alembert. Bajo diversas hipótesis (referentes
fundamentalmente a que las vibraciones sean “pequeñas”), D’Alembert
demostró en 1747 (Hist. de l’Acad. de Berlín, 3, 1747, 214-219) que la función u
debe satisfacer las condiciones:
(1)
Consideremos una varilla delgada de longitud L con una temperatura inicial f(x)
en toda su longitud, y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero durante
todo el tiempo t > 0.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Se considera que la función T(t) no es nula (en caso que lo fuera, la solución de
la ecuación sería nula y no es el caso que nos interesa). Por lo tanto, estas
condiciones se traducen en:
(8)
Agrupando, tenemos
Para cada n natural, un es una solución particular de la ecuación del calor, que
satisface las condiciones de frontera (2).
Para que se cumpla la segunda condición inicial (3) u(x, 0) = f(x), se hace un
desarrollo de Fourier de solo senos de f(x) en el semiintervalo [0, L], y se calcula
u para t = 0:
EJEMPLO 3
(1)
(2)
(3)
Comenzamos resolviendo el problema por separación de variables. Es decir,
consideramos
(4)
(5)
(6)
(7)
Se considera que la función T(t) no es nula (en caso que lo fuera, la solución de
la ecuación sería nula y no es el caso que nos interesa). Por lo tanto, estas
condiciones se traducen en:
(8)
(9)
Para determinar el valor de los coeficientes Bn, se utiliza la condición inicial dada
sobre la primera derivada de u respecto de t en (3). Para ello calculamos la
derivada primera de la función u dada en (9) respecto de t:
Por lo tanto
Entonces, la solución del problema de frontera dado en (1) a (3) está dada por:
EJEMPLO 4.
Una barra delgada de aluminio con coeficiente de difusión térmica 𝛼 2 =
2
0.86 𝑐𝑚 ⁄𝑠 y 10 cm de longitud, se calienta a una temperatura de 100°C
uniformemente. En un instante determinado (t=0), los extremos de la barra se
sumergen en un baño de agua y hielo a 0°C, y se mantienen así por tiempo
indefinido. Si se supone que las paredes laterales de la barra no dejan escapar
el calor (es decir, están térmicamente aisladas), encontrar la temperatura u (x,t)
de la barra en el punto x en el instante t.
La ecuación del calor es:
𝜕𝑢 2
𝜕 2𝑢
=𝛼
𝜕𝑡 𝜕𝑥 2
Por el método de separación de variables, ponemos u(x,t)= X(x)T(t).
Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene:
𝑑𝑇(𝑡) 𝑑 2 𝑋(𝑥)
𝑋(𝑥) =∝2 𝑇(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑥 2
Separando las variables
𝑇´ 𝑋"
=∝2 =𝛾
𝑇 𝑋
𝛾 es constante porque el primer miembro depende únicamente de la variable t y
el segundo únicamente de la variable x, y ambas son independientes. Se obtiene
así una ecuación diferencial para T y una ecuación diferencial para X .
La ecuación:
𝑑𝑇
= 𝛾𝑇
𝑑𝑡
Tiene solución inmediata
𝑇(𝑡) = 𝐴𝑒 𝛾𝑡
Y la ecuación
𝛾
𝑋" − 𝑋 = 0,
𝛼2
𝛾
Con 𝑢 = , tiene solución general
𝛼2
Que nos da al solución trivial X(x)= 0 en toda la barra, si B=0, (caso imposible
porque entonces en t=0 la temperatura no podría ser 100°C) o se tiene que
verificar que:
(9.1)
Si u es un número real no negativo, la única solución es u=0, pues al ecuación
dada es equivalente a:
𝛼 2 𝑛2 𝜋 2
Como 𝛾 = 𝜇𝛼 2 , los valores de 𝛾 admisibles son: 𝛾 = − y las soluciones
100
para la función T correspondientes a esto valores son
La solución entonces hay que buscarla como una serie de Fourier en senos, es
decir, buscaremos constantes Mn tales que
Integrando
Y el desarrollo es
EJEMPLO 5:
Un reciente cilindrio recto contiene, hasta una altura H , un disolución de
concentración K y, desde esa altura hasta el borde, agua pura. Si la altura total
del recipiente es H, expresar la concentración del liquido en totdo el recipiente,
como función de la profundidad mediante una serie de Fourier en cosenos.
La grafica de la concentración de la disolución con relación a la altura es:
Se tiene
E integrando
La serie de Fourier pedida es pues:
CONCLUSIONES
Se puede concluir que la transformada de Fourier aplicada en una EDP
es utilizada en la ingeniería.
BIBLIOGRAFÍA
http://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-diferenciales-
teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-
resueltos.shtml
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales
https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
https://es.wikiversity.org/wiki/Transformada_de_Fourier
Libro “Problemas resueltos de ecuaciones diferenciales” – ITES - Paraninfo