Solucionario Guía Teorema de Euclides 2015 PDF
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Teorema de Euclides
SGUICES030MT22-A15V1
1
TABLA DE CORRECCIÓN
2
1. La alternativa correcta es C.
2. La alternativa correcta es C.
3. La alternativa correcta es C.
C
AB = AE + EB = 9
2k + k = 9
3k = 9
k =3
Por lo tanto, AE = 6 y EB = 3.
A 6 E 3 B
3
Aplicando teorema de Euclides:
EC 2 = AE ∙ EB
EC 2 6 3
EC 2 18 /
EC 18
EC 9 2
EC 3 2
9 3 2 27 2
Entonces, Área triángulo ABC =
2 2
4. La alternativa correcta es C.
CD² = AD ∙ DB
6² = 4 ∙ x
36 = 4x
9=x
5. La alternativa correcta es A.
4
3 6 6
Aplicando teorema de Euclides, BD
3 5 5
6. La alternativa correcta es D.
7. La alternativa correcta es D.
5
III) Verdadera, ya que, aplicando teorema de Euclides:
AB 2 9 34 /
AB 3 34
8. La alternativa correcta es B.
30 10 30 10 30 10
RS =
10 10 10 10 = 10 = 3 10
RQ 2 10 10 SQ R
10 2 10 10 SQ
10
100 30
SQ
10 10
10 P Q
SQ S
10
10 10
10 10
SQ (Al racionalizar)
10 10
10 SQ (Al simplificar)
6
Luego:
I) Verdadera, ya que:
Perímetro del triángulo RSQ = RS SQ RQ = 3 10 10 10 = 4 10 10
II) Falsa, ya que SQ = 10
III) Verdadera.
9. La alternativa correcta es B.
C
El triángulo ABC es rectángulo en C y AB CD ,
entonces:
A 121 D 2 B
Luego, aplicando teorema de Euclides:
CD2 = AD ∙ DB (Reemplazando)
2
CD = 121 ∙ 2 (Aplicando raíz cuadrada)
CD 121 2
CD 11 2
7
11. La alternativa correcta es C.
Dado que no hay antecedentes para saber si ABC es triángulo rectángulo, se debe
calcular por separado los segmentos AD y DB, a través de la aplicación del teorema de
Pitágoras, y luego sumar ambos segmentos para obtener AB.
C
2 2 2
AD DC AC (Reemplazando)
AD² + 2² = 3² 4
3
AD² + 4 = 9 2
AD² = 9 – 4
AD² = 5 A D B
AD = 5
2 2 2
DB DC BC (Reemplazando)
DB² + 2² = 4²
DB² + 4 = 16
DB² = 16 – 4
DB² = 12
DB = 2 3
2
AD CD DB (Reemplazando)
12² = CD · 24 (Despejando)
144 = CD · 24
144
= CD
24
6 = CD
8
Como en el ADC uno de los catetos es el doble del otro (6 y 12), entonces la medida
de la hipotenusa es igual al cateto menor por 5 , en este caso es decir mide 6 5 .
n 12 n 1 n 1 MR
n 2 2n 1 n 2 2n 1 n MR MR
4n n MR MR
4n MR(n 1)
4n
MR
n 1
4n
Por lo tanto, la expresión que representa el valor de MR en función de n es .
n 1
2
EG FG GH (Reemplazando)
4² = 3 GH (Despejando)
16 = 3 GH
16
= GH
3
9
16 25
EH ² =
3 3
400
EH ² = (Aplicando raíz cuadrada)
9
20
EH =
3
20
Por lo tanto, la medida de EH es .
3
D
I) Verdadera, ya que, aplicando teorema de Euclides:
AD2 = DB ∙ CD (Reemplazando) 9
2
AD = 9 ∙ 16
AD2 = 144 (Aplicando raíz cuadrada)
AD = 12 A B
10
16. La alternativa correcta es A.
C
Como el triángulo ABC es rectángulo en C, AC = 12
y AB = 13, entonces, por tríos pitagóricos, BC = 5 12 5
A D B
Luego: 13
11
17. La alternativa correcta es D.
Luego:
a2
p ( p q) a 2 a
2
a
I) Falso, ya que 2 (si a ≠ b y a ≠ 0, por ende, no
2 b b
q
b
b
( p q)
es siempre cierto)
a2
p p q a2 a
II) Verdadera, ya que
h a b a b b
p q
a b
h p q a b a
III) Verdadera, ya que
q b2 b2 b
p q
a
Por lo tanto, solo II y III tienen siempre el mismo valor que .
b
12
18. La alternativa correcta es D.
Luego, MQ = RQ – RM = 18 – 2 = 16.
AC .
Aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que AD CD
2 2 2
13
3p
Por lo tanto, el valor de x en términos de p está dado por la expresión .
10
x2 = 3x · 12 (Dividiendo por x)
x = 3 · 12 (Desarrollando la multiplicación)
x = 36
14
23. La alternativa correcta es C.
Trazando la altura desde P hasta el lado AB, es posible aplicar el teorema de Euclides en
un triángulo rectángulo, un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección por
la hipotenusa. Como la proyección mide 9 y la hipotenusa mide 25, se puede plantear:
50 2
(2) El área del triángulo ABC es cm . Con esta información y la del enunciado, no es
3
posible determinar la medida de BD , ya que con la fórmula del área podemos
25
determinar que AB = cm y al aplicar el teorema de Euclides obtenemos dos
3
15
16
medidas para BD , 3 cm y cm, al no saber qué proyección es mayor, no se puede
3
saber el valor de BD .
(1) AB = 12. Con esta información, no es posible determinar el valor del trazo BC, ya
que no es válido aplicar teorema de Euclides.
(2) AC BC . Con esta información, no es posible determinar el valor del trazo BC, ya
que faltan datos numéricos.
Con ambas informaciones, sí es posible determinar el valor del trazo BC, ya que
podemos aplicar el teorema de Euclides.
16