NM2 - Guía N°7 - Definición Productos Notables

LICEO BICENTENARIO TP ALONSO DE ERCILLA Y ZUÑIGA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2024

NIVEL: SEGUNDO MEDIO
GUÍA DE MATEMÁTICA N°7 – BICENTENARIO ETAPA 1

Tema principal: Productos Notables
NOMBRE: CURSO:
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: INDICADORES DE LOGRO:

OA3 (1M): Desarrollar los 3.1 Desarrollan y reducen términos algebraicos que incluyen sumas y
productos notables de productos, en ejercicios rutinarios y cálculo de perímetros.
manera concreta, pictórica 3.2 Aplican la propiedad distributiva de la multiplicación en productos de
y simbólica sumas
3.3 Reconocen los productos notables como caso especial de producto de
binomios
INSTRUCCIONES GENERALES: ✔ Nivel Obligatorio completo = 200pts mate

✔ Realiza los cálculos, si es necesario, en el espacio ✔ Nivel General completo = 200pts mate +
dado en cada pregunta o en tu cuaderno. ✔ Nivel Avanzado completo = 300pts mate +
✔ Puedes trabajar en grupo o en pareja.
✔ (Recuerda que 1pto Classdojo = 100pts mate)
Definición:
• PRODUCTOS NOTABLES son multiplicaciones de binomios que pueden ser resueltas sin realizar
la multiplicación término a término. En esta guía estudiaremos tres productos notables:
Binomio al Cuadrado, Binomios con Término Común y Suma por Diferencia.
Tema 1) BINOMIO AL CUADRADO: Equivale a calcular el área de un cuadrado, cada lado del
cuadrado es el mismo binomio y se multiplica por sí mismo para obtener el área.
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide (a + b)?
1ª Estrategia: Se dibuja un cuadrado y se divide cada lado en los segmentos a y b, se generan

cuatro trozos, calculas el área de cada uno y finalmente se suman las cuatro áreas.
2ª Estrategia: Multiplicar largo por ancho del cuadrado (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏), utilizando la

multiplicación de dos binomios término a término
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑏
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
En conclusión, el BINOMIO AL CUADRADO es la multiplicación de un binomio por sí mismo y las

fórmulas directas para obtenerlo son:
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Dicho en palabras se tiene lo siguiente: El binomio al cuadrado [(𝒂 ± 𝒃)𝟐] corresponde al primer
término al cuadrado (a2), más (o menos) el doble del primer término por el segundo (𝟐𝒂𝒃), más el
segundo término al cuadrado (b2)
(O) Actividad 1.1: Calcula los siguientes binomios al cuadrado usando la fórmula directa.
Guíate con el ejemplo.
*)(3𝑏 − 8)2 = a) (2𝑥 − 3)2 = b) (𝑎 + 4𝑏)2 =
(3𝑏)2 − 2 ∙ (3𝑏) ∙ (8) + (8)2
𝟗𝒃𝟐 − 𝟒𝟖𝒃 + 𝟔𝟒
(G) Actividad 1.2: Calcula el área de los siguientes cuadrados. Utiliza la 1ª o 2ª estrategia del
ejemplo de la hoja anterior.
c) d)
Tema 2) BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN: Equivale a calcular el área de un rectángulo, cada
lado del rectángulo es un binomio y se multiplica largo por ancho para obtener el área.
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados (𝒙 + 𝒂) y (𝒙 + 𝒃)?
Se dibuja el rectángulo, se divide un lado en los segmentos x y a, y el otro lado en el mismo

segmento x pero con b. Se generan cuatro trozos, un cuadrado y tres rectángulos. Luego se
calcula el área de cada uno y finalmente se suman las cuatro áreas.
Se observa en el desarrollo que siempre se obtendrán dos elementos que contienen al

término común (x), y por lo tanto siempre se podrá reducir sumando (o restando) los
coeficientes a y b.
En conclusión, para la multiplicación de BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN se puede obtener su
resultado a través de la siguiente fórmula directa:
(𝑥 + 𝑎) ∙ (𝑥 + 𝑏) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃) ∙ 𝒙 + 𝒂𝒃
Dicho en palabras se tiene lo siguiente: Los binomios con término común [(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)]
corresponde al término común al cuadrado (x2), más la suma de los otros términos multiplicada
con el término común [(𝒂 + 𝒃)𝒙], más la multiplicación de los otros términos (ab)
(O) Actividad 2: Calcula las siguientes multiplicaciones con término común usando la fórmula
directa.
Guíate con los ejemplos. ¡Cuidado con los signos negativos!
*)(2𝑥 + 5) ∙ (2𝑥 + 7) = a) (3𝑥 + 4) ∙ (3𝑥 + 8) = b) (2𝑥 − 5) ∙ (2𝑥 − 7) =
2
(2𝑥) + (5 + 7) ∙ 2𝑥 + (5 ∙ 7)
𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 + 𝟑𝟓
*)(4𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 − 5) = c) (5𝑥 + 4) ∙ (5𝑥 − 9) = d) (4𝑥 − 2) ∙ (4𝑥 + 5) =
2
(4𝑥) + (3 + −5) ∙ 4𝑥 + (3 ∙ −5)
16𝑥 2 + (−2) ∙ 4𝑥 + (−15)
𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓
Tema 3) SUMA POR DIFERENCIA: Corresponde a multiplicar un binomio de la forma suma (x + a)

con el mismo binomio y mismos elementos, pero en forma de diferencia (x – a).
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados (x + a) y (x – a)?
Desarrollamos usando la multiplicación de binomios término a término.
(𝑥 + 𝑎 ) ∙ ( 𝑥 − 𝑎 ) = 𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥 ∙ 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑎 ∙ 𝑎
= 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 − 𝑎2
= 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐
Se observa en el desarrollo que siempre se obtendrán dos elementos que contienen los
mismos términos en positivo y en negativo (𝑎𝑥, – 𝑎𝑥), y por lo tanto siempre se eliminarán
entre ellos.
En conclusión, para la multiplicación de SUMA POR DIFERENCIA se puede obtener su resultado a

través de la siguiente fórmula directa:
(𝑥 + 𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎) = 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐
Dicho en palabras se tiene lo siguiente: La suma por diferencia [(𝒙 + 𝒂)(𝒙– 𝒂)] corresponde al
primer término al cuadrado (x2), menos (siempre) el segundo término al cuadrado (a2)
(O) Actividad 3: Calcula las siguientes sumas por diferencia usando la fórmula directa. Guíate
con el ejemplo.
*)(3𝑥 + 5𝑦) ∙ (3𝑥 − 5𝑦) = a) (4𝑎 + 7𝑎) ∙ (4𝑎 − 7𝑏) = b) (3𝑥 2 − 8𝑦) ∙ (3𝑥 2 + 8𝑦) =
(3𝑥)2 − (5𝑦)2
𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓𝒚𝟐
(G) ACTIVIDAD 4 DE SÍNTESIS
1.- Completa cada recuadro e identifique a que producto notable corresponde.
o (5 + 𝑦) • (12 + 𝑦) = 60 + ______ + 𝑦 2 ______________________________

o (12 + 𝑧) • (12 − 𝑧) = _____ − 𝑧2 ______________________________
o ( ____ + 15) • ( ____ − 15) = 𝑏4 − 225 ______________________________
o (2𝑥 − 3)2 = 4𝑥 2 − _____ + _____ ______________________________
2.- ¿Cuál es el resultado de la multiplicación de (3m + 2) por (3m + 4)? Justificar con desarrollo.
A. 9𝑚2 + 8
B. 6𝑚2 + 6
C. 9𝑚2 + 12m + 8
D. 9𝑚2 + 18m + 8
3.- Observa el siguiente gráfico.

¿Qué expresión algebraica representa el área de la región
pintada en el rectángulo anterior? Justifique expresando en
forma algebraica el ancho y el largo del rectángulo pintado
A. 𝑚2 - 𝑛2
B. 𝑚2 + 𝑛2
C. (𝑚 − 𝑛)2
D. (𝑚 + 𝑛)2

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(G) ACTIVIDAD 4 DE SÍNTESIS

1.- Completa cada recuadro e identifique a que producto notable corresponde.

o (5 + 𝑦) • (12 + 𝑦) = 60 + ______ + 𝑦 2 ______________________________

3.- Observa el siguiente gráfico.

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