Dos Variables Diferenciabilidad PDF
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Sea u un vector del plano vectorial eucldeo R2:
f ( P hu ) f ( P )
Cuando exista y sea finito el lm , se denomina derivada de f en el
h 0 h
punto P respecto del vector u .
Si adems u =1, entonces el lmite anterior se denomina derivada direccional de f en
P y en la direccin del vector u . Se designa por f (P, u ).
Si u =(1,0)= i , se denomina simplemente derivada parcial de f respecto de la
f
variable x. Se designa f x (P) , o bien, (P) . Es decir:
x
f f(P h(1,0)) f(P) f(x h, y) f(x, y)
f x (P) = (P) = lm lm .
x h 0 h h 0 h
Anlogamente si u =(0,1)= j , se denomina derivada parcial de f respecto de la
f
variable y. Se designa f y (P) , o bien, (P) . Es decir:
y
f f(P k (0,1)) - f(P) f(x, y k ) - f(x, y)
f y (P) = (P) = lm lm .
y k 0 k k 0 k
z=f(x,y) con el plano x=a, perpendicular al eje OX que pasa por (a,b). Es decir, fy (P) da
f 2 f
f x x f xx , o bien, .
x x x 2
2
f y x f yx , o bien, x yf xfy .
f 2 f
f x y f xy , o bien, .
y x yx
f 2 f
f y y f yy , o bien,
y y y 2
.
2f 2f
(x o , y o ) (x o , y o )
yx xy
dz f dx f dy dx dy
f x ( t ), y( t ) ,
dt x dt y dt dt dt
2. Supongamos ahora una funcin z=f(x,y) que tiene derivadas parciales continuas
x x ( u , v)
fx, fy, en (x,y) y sean dos funciones . La funcin compuesta
y y( u , v)
z f x (u, v), y(u, v) es una funcin de u y v en los puntos donde est definida,
verificndose adems que si x e y tienen derivadas parciales continuas respecto
de u y v, entonces existen las derivadas parciales de f respecto de u y v que vienen
dadas por las expresiones:
z z x z y
u x u y u
z z x z y
v x v y v
De manera anloga se podran definir las reglas de la cadena para funciones de tres o ms
variables.
x x o tu 1
La recta afn determinada por P y u tiene como ecuaciones paramtricas
y y o tu 2
Aplicando la 1 regla de la cadena.
z
dz z dx z dy z
f (P, u )= u 1 u 2 z(P) u 1 , u 2
dt P x P dt y P dt x P y P
dx dy
ya que u1 , u2
dt dt
Recordemos que la aplicacin correcta de la regla de la cadena nos exige que existan las
derivadas parciales y sean continuas en el punto P.
Ejercicio:
Hallar la derivada direccional de la funcin f(x,y)=x2y3 en P=(2,1) y en la direccin del
vector v i j
Solucin: f (P, u )= z(P) u 1 , u 2 . En primer lugar hallamos las coordenadas de un
v 1 1 1
vector unitario en la direccin de v , que ser u i j u1 u2.
v 2 2 2
Por otro lado
f f f f
2 xy 3 y 3x 2 y 2 f (2,1) , 2 xy 3 ,3x 2 y 2,1 =(4,12)
x y x y 2,1
1 1 16
Luego f (P, u )= z(P) u 1 , u 2 =(4,12) , = 8 2.
2 2 2
.
2
z 1 x y 2
F F
f f z x z y
Solucin: f(P) = (P), (P) . Ahora bien ,
x y x F y F
z z
F F F
F(x,y,z)=3x2+4y2-5z2+1=0 6x , 8y , 10z , luego
x y z
z 6 x z 8 y
,
x 10z y 10z
6 8 3 2
f(P) = , ,
20 20 10 5
Cuando exista, el plano tangente a la superficie S en el punto P0, contiene a todas las
rectas tangentes a la superficie por dicho punto. En particular, contiene a las rectas
tangentes en las direcciones de los ejes x e y respectivamente, cuyas ecuaciones son:
f
z z 0 (P0 )x x 0
rx x ,
y y 0
f
z z 0 (P0 )y y 0
ry y
x x
0
Sustituyendo en se obtiene:
f
z z0 P0 x x 0 f P0 y y 0 (I)
x y
F
f P x
x 0 F
z P0
sustituyendo en la ecuacin del plano tangente se obtiene:
f F
y
P0
y F z
P0
F F
x y
z z 0 x x F y y 0
F
0
z P0 z
P0
F
F F
x x 0 y y 0 z z 0 0 FP0 P0 X 0 (II)
x P0 y P0 z P0
Teorema
Si P0 (x0,y0,z0) es un punto de la superficie S definida por la funcin z=f(x,y) y las
f f
derivadas parciales , existen y son continuas en Po(x0,y0), entonces existe el plano
x y
tangente a la superficie S en el punto P0 (x0,y0,z0) siendo su ecuacin de la forma (I)
(II).
f F
x x 0 x t x x 0 t
P0 x P0
f F
y y 0 t (1) o bien, y y 0 t
y P0 y P0
z z 0 t z z F t
0
z P0
Ejercicio.
Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie xy2+3x-z2=4 en el punto P(2,1,-2)
F F F
F (P)= , , y 2 3,2xy,2z P 4,4,4 plano tangente, luego su
x y z P
ecuacin es: F (P) PX =0 4(x-2)+4(y-1)+4(z+2)=0 x+y+z=1.
f
Designemos por T(x,y) f ( x 0 , y 0 ) P0 x x 0 f P0 y y 0 (ecuacin del
x y
plano tangente).
El plano tangente T(x,y) va a desempear para las funciones de dos variables, el mismo
papel que juega la recta tangente como aproximacin para las funciones de una sola
variable; permitiendo estimar en muchos casos, de manera sencilla, valores de f en puntos
(x,y) prximos a (x0,y0).
A continuacin, la pregunta que debemos hacernos es Cul sera la exactitud de esta
aproximacin?
Sin demostrar admitiremos el teorema del valor medio para funciones de dos variables
que dice que si f tiene derivadas parciales continuas en un entorno E del punto (x0,y0)
entonces:
f
f ( x , y) f ( x 0 , y 0 ) P0 x x 0 f P0 y y 0 1 x x 0 2 y y 0 ,
x y
(x0,y0) y
f
f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) P0 x x 0 f P0 y y 0 1 x x 0 2 y y 0 =,
x y
T ( x , y)
Se verifica que si existen las derivadas parciales de segundo orden de la funcin f, son
2 f 2 f 2 f
continuas en el entorno E y M mx , , , entonces
( x , y )E x 2 xy y 2
1
M x x 0 y y 0 2 .
2
La aproximacin lineal de una funcin de dos variables nos sugiere cmo extender el
concepto de diferencial a las mencionadas funciones de dos variables:
P P0 v
Sea P(x,y) un punto de un entorno E del punto P0(x0,y0). Si v P0 P x x 0 , y y 0 ,
entonces
z0
f ( x , y) f ( x 0 , y 0 ) T ( x , y) f ( x 0 , y 0 ) = f (P0 ) x x 0 , y y 0
z 0 f (P0 ) x x 0 , y y 0
Definicin
Se dice que la funcin z=f(x,y) es diferenciable en el punto P0(x0,y0) si y solo si
su incremento total en dicho punto (al pasar del punto P0 a P) se puede escribir en la
forma:
f
z 0 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) P0 x x 0 f P0 y y 0 O( v ) ()
x y
O ( v) f (P) f (P0 ) f (P0 ) v
lm lm 0.
v 0 v v 0 v
Definicin
Se llama diferencial total, o simplemente diferencial, de una funcin z=f(x,y) y
se designa dz, o bien, df a la expresin.
f f
dz dx dy f dx, dy
x y
NOTA:
Proposicin
Si una funcin es diferenciable entonces existe la derivada direccional en cualquier
direccin.
Teniendo en cuenta que P(x,y) y P0(x0,y0) y v P0 P x x 0 , y y 0 la expresin ()
se puede escribir: z 0 f (P) f (P0 ) f (P0 ) v O( v) (). Si dividimos por v
tenemos:
f (P) f (P0 ) v O ( v)
f (P0 ) .
v v v
v
Llamando u y si v h v hu ( u vector unitario en la direccin de v ).
v
O(v)
Cuando v h 0 0
v
f(P) f(P0 )
f ( P hu ) f ( P )
lm = lm f' (P0 , u) que es la derivada direccional de
v 0 v h 0 h
f en P0 y en la direccin u . Por tanto:
v
f ' (P0 , u ) f (P0 )
v
Proposicin
Si f es diferenciable en el punto P(x,y) entonces f es continua en P.
Ejercicios:
1. Hallar la diferencial total para z=xcosy-ycosx
Solucin:
f f
dz dx dy =(cosy+ysenx)dx+(-xseny-cosx)dy=(cosy+ysenx)dx-(xseny+cosx)dy.
x y
a) f(1,2)= 12 2 2 5 2.23607
z= f(1.05,2,1)- f(1,2)=0.09854.
f f x y
b) dz dx dy = dx dy .
x y x2 y2 x2 y2
dx 1.05 1 0.05
Sustituyendo (x,y)=(1,2) y , entonces
dy 2.1 2 0.1
1 2
dz= (0.05) (0.1) 0.11180
5 5