PERIODO: MAYO-AGOSTO /2021

NIVELACIÓN 2021-S1

MATEMÁTICAS – 5 Créditos

Profesor Autor:

COMPENDIO DE CONTENIDOS

CLASE 03

AULA VIRTUAL

PERÍODO ACADÉMICO
Mayo-Agosto/2021

Importante: El profesor designado monitoreará y evaluará el cumplimiento de todas las

actividades de aprendizaje incorporadas en la presente guía como parte del ejercicio
académico que cada estudiante debe desarrollar en esta materia.
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NIVELACIÓN 2021-S1

Tema: PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar
el producto.

1. Cuadrado de un binomio

El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado, es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del
segundo; esta regla general se expresa con la fórmula:

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃²

A la expresión resultante se le conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Demostración

La expresión (𝒂 + 𝒃)² es equivalente a (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃), entonces al realizar el producto

de los binomios, se obtiene:

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²

Ejercicios Resueltos:

1. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒙 + 𝟕)².

Solución

• El cuadrado del primer término: (𝒙)² = 𝒙²

• El doble producto del primer término por el segundo: 𝟐(𝒙)(𝟕) = 𝟏𝟒𝒙
• El cuadrado del segundo término: (𝟕)² = 𝟒𝟗
• Se suman los términos resultantes y se obtiene como resultado: 𝒙² + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟒𝟗

2. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝟑𝒎 + 𝟓𝒏)²

Solución

• Escogemos a 𝟑𝒎 como primer término y 𝟓𝒏 como segundo término

• El cuadrado del primer término: (𝟑𝒎)² = 𝟗𝒎²
• El doble producto del primer término por el segundo: 𝟐(𝟑𝒎)(𝟓𝒏) = 𝟑𝟎𝒎𝒏
• El cuadrado del segundo término: (𝟓𝒏)² = 𝟐𝟓𝒏²
• Se suman los términos resultantes y se obtiene como resultado: 𝟗𝒎² + 𝟑𝟎𝒎𝒏 +
𝟐𝟓𝒏²
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Ejercicios Propuestos
1. (𝑥 + 8)2
5 1 2
2. (4 𝑥 − 3)

Respuestas:
1. 𝑥 2 + 16𝑥 + 64
25 5 1
2. 𝑥2 − 6 𝑥 + 9
16

2. Cuadrado de un trinomio

El desarrollo de la expresión: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)² es igual a:

• La suma de los cuadrados de cada uno de los términos,

• Más los dobles productos de las combinaciones entre ellos.

(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)² = 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

Demostración

La expresión (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)² es equivalente al producto (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ), entonces:

(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )

= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐²

Al simplificar los términos semejantes:

(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)² = 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

Ejercicios Propuestos:

1. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛)².

Solución

• El trinomio se expresa de la siguiente manera:

(𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛)²
• Se aplica la fórmula y se obtiene como resultado:
(𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛) = (𝒙)𝟐 + (𝟐𝒚)𝟐 + (𝟑𝒛)𝟐 + 𝟐(𝒙)(𝟐𝒚) + 𝟐(𝒙)(𝟑𝒛) + 𝟐(𝟐𝒚) (𝟑𝒛)
• Simplificamos términos semejantes y se obtiene como resultado lo siguiente:
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(𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟗𝒛𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 + 𝟔𝒙𝒛 + 𝟏𝟐𝒚𝒛

2. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝟒𝒎 − 𝟕𝒏 − 𝟓)²

Solución

• El trinomio se expresa de la siguiente manera:

[(𝟒𝒎 − 𝟕𝒏 − 𝟓)² = [(𝟒𝒎) + (− 𝟕𝒏) + (− 𝟓)]𝟐
• Se aplica la fórmula y leyes de signos para obtener el resultado:
= (𝟒𝒎)𝟐 + (−𝟕𝒏)𝟐 + (−𝟓𝒏)𝟐 + 𝟐(𝟒𝒎)(− 𝟕𝒏) + 𝟐(𝟒𝒎)(−𝟓) + 𝟐(−𝟕𝒏)(−𝟓)
• Por tanto, se obtiene como resultado lo siguiente:
(𝟒𝒎 − 𝟕𝒏 − 𝟓)𝟐 = 𝟏𝟔𝒎𝟐 + 𝟒𝟗𝒏𝟐 + 𝟐𝟓 − 𝟓𝟔𝒎𝒏 − 𝟒𝟎𝒎 + 𝟕𝟎𝒏

Ejercicios Propuestos
1. (4𝑚 + 5𝑛 + 𝑝)2
2 3 1 2
2. (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 )

Respuestas:
1. 16𝑚2 + 25𝑛2 + 𝑝2 + 40𝑚𝑛 + 8𝑚𝑝 + 10𝑛𝑝
4 9 1 12 4 6
2. + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧
𝑥2

3. Binomios conjugados

Son de la forma (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de

ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula:

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 – 𝒃) = 𝑎² – 𝑏²

Demostración

Se realiza el producto y se obtiene:

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝑎² − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏² = 𝑎² − 𝑏²
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Ejercicios Resueltos:

1. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟔)

Solución

Ambos términos se elevan al cuadrado:

• El cuadrado del término que no cambia de signo: (𝒙)² = 𝒙²

• El cuadrado del término que cambia de signo: (𝟔)² = 𝟑𝟔
• Finalmente, se realiza la diferencia y se obtiene: 𝒙² − 𝟑𝟔

2. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒎 − 𝟒) (𝒎 + 𝟒)

Solución

• Al aplicar la fórmula se obtiene:

(𝒎 − 𝟒)(𝒎 + 𝟒) = (𝒎)² − (𝟒)² = 𝒎² − 𝟏𝟔

3. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (− 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟕) (− 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕)

Solución

• Al aplicar la fórmula se obtiene:

𝟐 𝟔
(− 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟕)(− 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕) = [(− 𝟐𝒙 𝟑 )] [(− 𝟕)]𝟐 = 𝟒𝒙 − 𝟒𝟗

Ejercicios Propuestos
1. (𝑎 − 1)(𝑎 + 1)
1 1
2. (3𝑥 2 − 10) (3𝑥 2 + 10)

Respuestas:
3. 𝑎2 − 1
1
4. 9𝑥 4 − 100
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4. Binomios con término común

Son de la forma (𝒙 + 𝒂) (𝒙 + 𝒃), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es:

• El cuadrado del término común,

• Más la suma de los términos no comunes por el término común,
• Más el producto de los no comunes.

Ejemplo:

(𝒙 + 𝒂) (𝒙 + 𝒃) = 𝑥² + (𝑎 + 𝑏) 𝑥 + 𝑎𝑏

Demostración

Se realiza el producto de los binomios:

(𝒙 + 𝒂) (𝒙 + 𝒃) = 𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏

Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula:

(𝒙 + 𝒂) (𝒙 + 𝒃) = 𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥² + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Ejercicios Resueltos:

1. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒙 − 𝟔) (𝒙 + 𝟒).

Solución

Se desarrolla el procedimiento descrito:

• El cuadrado del término común: (𝒙)² = 𝒙²

• La suma de los términos no comunes, multiplicada por el término común:
(− 𝟔 + 𝟒)(𝒙) = − 𝟐𝒙
• El producto de los términos no comunes: (− 𝟔)(𝟒) = − 𝟐𝟒
• Se suman los términos anteriores y se obtiene como resultado:
(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟒) = 𝒙² − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒

2. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒎 − 𝟑) (𝒎 − 𝟓)

Solución

• Al aplicar la fórmula, se obtiene:

(𝒎 − 𝟑)(𝒎 − 𝟓) = 𝒎𝟐 + (− 𝟑 − 𝟓)𝒎 + (− 𝟑)(− 𝟓) = 𝒎𝟐 − 𝟖𝒎 + 𝟏𝟓
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3. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝟓𝒙 − 𝟒) (𝟓𝒙 − 𝟐)

Solución

• Al aplicar la fórmula, se obtiene:

(𝟓𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙 − 𝟐) = (𝟓𝒙)𝟐 + [(−𝟒) + (−𝟐)] (𝟓𝒙) + (− 𝟒) (−𝟐)
= 𝟐𝟓𝒙𝟐 + (− 𝟔)(𝟓𝒙) + 𝟖

= 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟖

Ejercicios Propuestos
1. (𝑎2 𝑥 3 + 𝑏4 )(𝑎2 𝑥 3 + 2𝑏 4 )
1 3 3 4
2. ( 𝑥 + 𝑦) ( 𝑦 − 𝑥)
2 7 7 5

Respuestas:
1. (𝑎4 𝑥 6 + 3𝑎2 𝑥 3 𝑏4 + 2𝑏8 )
9 9 2
2. 𝑦 2 − 70 𝑥𝑦 − 5 𝑥 2
49

5. Cubo de un binomio

Es de la forma (𝒂 + 𝒃)𝟑 , su desarrollo es un polinomio de cuatro términos, al que se

denomina cubo perfecto y su desarrollo es:

• El cubo del primer término,

• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo,
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo,
• Más el cubo del segundo.

Aplicando la fórmula sería

(𝒂 + 𝒃)³ = 𝑎³ + 3 𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³

Demostración

La expresión (𝒂 + 𝒃)³ es equivalente al producto (𝒂 + 𝒃)²(𝒂 + 𝒃)

Entonces: (𝒂 + 𝒃)³ = (𝑎 + 𝑏)²(𝑎 + 𝑏) = (𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²)(𝑎 + 𝑏)

= 𝑎³ + 𝑎²𝑏 + 2𝑎²𝑏 + 2𝑎𝑏² + 𝑎𝑏² + 𝑏³ = 𝑎³ + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³

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Ejercicios Resueltos:

1. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒎 + 𝟓)³

Solución

Se obtiene cada uno de los términos que conforman al cubo perfecto:

• El cubo del primer término: (𝒎)³ = 𝒎³

• El triple del cuadrado del primero por el segundo: 𝟑(𝒎)²(𝟓) = 𝟏𝟓𝒎²
• El triple del primero por el cuadrado del segundo: 𝟑(𝒎)(𝟓)² = 𝟑(𝒎)(𝟐𝟓) = 𝟕𝟓𝒎
• El cubo del segundo: (𝟓)³ = 𝟏𝟐𝟓
• Estos resultados se suman y se obtiene: (𝒎 + 𝟓)³ = 𝒎³ + 𝟏𝟓𝒎² + 𝟕𝟓𝒎 + 𝟏𝟐𝟓

2. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto(𝒙 − 𝟒)³

Solución

El binomio se expresa de la siguiente manera: (𝒙 − 𝟒)𝟑 = [(𝒙) + (− 𝟒)]𝟑, se obtiene

cada uno de los términos del cubo perfecto:

• El cubo del primer término: (𝒙)³ = 𝒙³

• El triple del cuadrado del primero por el segundo: 𝟑(𝒙)²(− 𝟒) = − 𝟏𝟐𝒙²
• El triple del primero por el cuadrado del segundo: 𝟑(𝒙)(−𝟒)² = 𝟑(𝒙)(𝟏𝟔) = 𝟒𝟖𝒙
• El cubo del segundo término: (− 𝟒)³ = − 𝟔𝟒
• Finalmente, el desarrollo es: (𝒙 − 𝟒)³ = 𝒙³ − 𝟏𝟐𝒙² + 𝟒𝟖𝒙 – 𝟔𝟒

3. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto (− 𝟐𝒎 − 𝟑𝒏)³

Solución

El binomio se representa como: (− 𝟐𝒎 − 𝟑𝒏)³ = [(− 𝟐𝒎) + (− 𝟑𝒏)]³, se aplica la regla

general:

(− 𝟐𝒎 − 𝟑𝒏)³ = (− 𝟐𝒎)³ + 𝟑(− 𝟐𝒎)²(−𝟑𝒏) + 𝟑(− 𝟐𝒎)( − 𝟑𝒏)² + (− 𝟑𝒏)³

= (− 𝟖𝒎³) + 𝟑(𝟒𝒎²)(− 𝟑𝒏) + 𝟑(− 𝟐𝒎)(𝟗𝒏²) + (− 𝟐𝟕𝒏³)

= − 𝟖𝒎³ − 𝟑𝟔𝒎²𝒏 − 𝟓𝟒𝒎𝒏² − 𝟐𝟕𝒏³

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Ejercicios Propuestos
1. (2𝑥 2𝑎−3 − 3𝑦 4𝑎+1 )3
1 3
2. (3 𝑥 4 + 𝑦)

Respuestas:
1. (8𝑥 6𝑎−9 − 36𝑥 4𝑎−6 𝑦 4𝑎+1 + 54𝑥 2𝑎−3 𝑦 8𝑎+2 − 27𝑦 12𝑎+3
1 1
2. 𝑥 12 + 3 𝑥 8 𝑦 + 𝑥 4 𝑦 2 + 𝑦 3
27

Otra manera de resolver estos productos, llamados productos notables, ocurren con
frecuencia en álgebra.

Se calcula con facilidad usando el método PP-PS-SP-SS (primero por primero, primero
por segundo, segundo por primero, segundo por segundo) para multiplicar dos binomios.

Ejemplo #1: Uso PP-PS-SP-SS

Ejercicios resueltos por este método:

a. (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 3𝑥 − 9 = 𝑥 2 − 9
PP PS SP SS

b. (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟏) = 𝑥 2 + 𝑥 + 3𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3

c. (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟒) = 6𝑥 2 + 8𝑥 + 3𝑥 + 4 = 6𝑥 2 + 11𝑥 + 4

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EJERCICIOS PROPUESTOS:

Multiplique los polinomios usando el método PP-PS-SP-SS. Exprese su respuesta como

un polinomio en la forma estándar:

Ejercicios Propuestos

1. (𝑥 + 2)(𝑥 + 4)
2. (2𝑥 + 3𝑦)(𝑥 − 𝑦)
3. (𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 𝑦)

Respuestas:

1. 𝑥 2 + 6𝑥 + 8
2. 2𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 3𝑦 2
3. 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 2𝑦 2

Algunos productos tienen nombres especiales debido a su forma. Los siguientes

productos notables están basados en los siguientes ejemplos:

Diferencia de Cuadrados:

Binomio al Cuadrado o Cuadrado Perfecto:

Uso de las fórmulas de productos notables:

a) (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) = 𝑥 2 − 52 = 𝑥 2 − 25
b) (𝑥 + 7)2 = 𝑥 2 + 2(𝑥)(7) + 72 = 𝑥 2 + 14𝑥 + 49
c) (2𝑥 + 1)2 = (2𝑥)2 + 2(2𝑥 )(1) + 12 = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1
d) (3𝑥 − 4)2 = (3𝑥)2 − 2(3𝑥)(4) + 42 = 9𝑥 2 − 24𝑥 + 16
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Ejercicios propuestos

Multiplique los polinomios usando el método PP-PS-SP-SS. Exprese su respuesta como

un polinomio en la forma estándar:

Ejercicios Propuestos

1. (−2𝑥 + 3)(𝑥 − 4)
2. (𝑥 + 2)2
3. (4𝑥 − 3)2
4. (2𝑥 − 3𝑦)2
5. (3𝑥 − 2)2

Respuestas:

1. −2𝑥 2 + 11𝑥 − 12
2. 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
3. 16𝑥 2 − 24𝑥 + 9
4. 4𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2
5. 27𝑥 3 − 54𝑥 2 + 36𝑥 − 8
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ENLACES DE VIDEOS PARA REFORZAR

Productos Notables
https://youtu.be/TsBWIp2-1fg
https://www.youtube.com/watch?v=I1L8F3o93q0

ENLACES DIDÁCTICOS PARA PRACTICAR

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-
interactivos-de-identidades-notables.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5272528-productos_notables.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/9320556-productos_notables.html
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Algebra/Productos_N
otables_dn1031780sd
https://www.matematicasonline.es/algebraconpapas/recurso/tests/identidadesnotables/n
otables01.htm
https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/cuadrado-de-un-binomio

https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/cuadrado-de-un-trinomio

https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/practiquemos-cubo-de-binomio-
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Se recomienda ir practicando todos los ejercicios mientras se ven los videos para mejor
entendimiento de las operaciones y poder recordar cada una de ellas.
COMO AUTOPREPARACION REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas: Capitulo 3 Algebra: Productos Notables.
Ejercicios # 34 Pagina 296
Ejercicios # 35 Pagina 299
Ejercicios # 36 Pagina 302
Ejercicios # 37 Pagina 304

SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS: PAGINA # 1467 y 1468

Revise en el TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas, páginas 294 hasta la 304.

Bibliografía
Libro Autor Capítulo
Matemáticas
Simplificadas • Arturo Aguilar Márquez Fabián,
• Aritmética,
• Valapai Bravo Vázquez,
• Álgebra,
• Herman Aurelio Gallegos,
• Geometría y
• Ruiz Miguel Cerón Villegas,
Trigonometría.
• Ricardo Reyes Figueroa.

Algebra y
trigonometría con
geometría analítica • Aritmética,
• Álgebra,
• Earl Swokowski, Jefferi Cole • Geometría y
Trigonometría.