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Introducción. ..........................................................................................................................3
Factor común..................................................................................................................7
Leyes de radicación......................................................................................................23
2
GUÍA DE APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE DE LA UNIDAD 2
Introducción.
El álgebra es la parte de la matemática que realiza operaciones con símbolos literales de
manera que generaliza los resultados para cualquier valor numérico que tomen dichos
literales. (Armas, Baquerizo, Ramos, & Solís, 2006)
TEMA1: Factorización
SUBTEMA 1: Productos notables.
Los Productos Notables son multiplicaciones que pueden escribirse directamente, sin hacer
paso a paso la multiplicación.
3
Cuadrado del Binomio
Figura N. 1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
“El cuadrado de un binomio a +b es igual al cuadrado del primer término más el doble del
producto de los términos más el cuadrado del segundo término” (Becerra J.,2013).
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
“El cuadrado de un binomio a −b es igual al cuadrado del primer término menos el doble
del producto de los términos más el cuadrado del segundo término” (Becerra J.,2013).
Ejemplos:
(b - 5) 2 = b2 - 2(b)(5) + 52 = b2 - 10b + 25
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏
4
Figura N. 2
Ejemplos:
1 1 1 1
2𝑥 + 2𝑥 − = (2𝑥) − = 4𝑥 −
2 2 2 4
Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado
de lado x. A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una
cantidad b, por lo que se forma una superficie con cuatro regiones:
5
Figura N. 3
Ejemplo:
𝑥 −5 𝑥 −1 = 𝑥 + (−5 − 1) 𝑥 + (−5)(−1)= 𝑥 − 𝑥 +5
Cubo de un Binomio
El cubo de un binomio es equivalente al cubo del primer término, más (o menos) el triple
producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer
término por el cuadrado del segundo término, más (o menos) el cubo del segundo término
(Ministerio de Educación, 2016).
(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 3𝑥 𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦
Por su parte, el desarrollo del cubo del binomio a -b, se obtiene de forma similar:
(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 − 3𝑥 𝑦 + 3𝑥𝑦 − 𝑦
6
Ejemplos:
SUBTEMA 2: Factorización
La factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una
expresión algebraica en forma de producto. Sirve para simplificar una expresión o reescribirla
en términos más sencillos (al menos visualmente), que reciben el nombre de factores, como
por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
Factor común
De manera general consiste en darnos cuenta de los elementos que se repiten en cada uno
de los términos que conforman el polinomio. Esta factorización la clasificamos en: factor
común monomio y factor común polinomio.
Es el monomio que está dentro de todos los otros monomios que conforman el polinomio. Al
analizar los coeficientes se busca el máximo común divisor (MCD) y las variables comunes
elevadas a su menor exponente.
Ejemplo 1:
SOLUCIÓN:
7
El lector puede llegar a la conclusión de que el MCD de los números 8, 6 y 10 es el 2.
La variable 𝑥 es la elegida por tener el menor exponente. Hacemos el mismo análisis para
las otras variables y tendremos a 𝑦. La 𝑧 y 𝑤 no forma parte porque no aparecen en todos
los términos. Por tanto, el monomio será: 2𝑥𝑦.
Respuesta:
Ejemplo:
SOLUCIÓN:
Debemos darnos cuenta de que podemos aplicar factor común monomio en el primer y tercer
término.
Por tanto:
8
Aquí nuevamente notamos que tenemos un término que se repite y aplicamos el factor
común monomio.
Finalmente:
Diferencia de cuadrado
Este tipo de factorización se aplica a dos expresiones que tengan raíz cuadrada exacta y
que tengan el signo negativo entre ellos. La regla es la siguiente:
Ejemplo 1:
SOLUCIÓN:
Por lo tanto:
Ejemplo 2:
SOLUCIÓN:
9
Extraemos la raíz cuadrada de cada elemento: y
Por lo tanto:
Es decir:
Ejemplo:
SOLUCIÓN:
10
Dado a que es igual al termino (con excepción del signo del medio). Por lo tanto:
Trinomio de la forma
Se identifica por tener tres términos. Un término con exponente al cuadrado y un término
independiente. Se resuelve colocando dos paréntesis en los cuales se coloca la raíz
cuadrada del término con exponente cuadrado. Luego se busca dos números que
multiplicado den el término independiente y sumado/restado den como resultado el
coeficiente del térmico central.
Ejemplo 1:
SOLUCIÓN:
El signo del primer paréntesis es el mismo signo del segundo elemento y el signo del último
paréntesis es debido a la ley de signos. Ahora debemos buscar dos números que
multiplicados nos de 20 y que restado salga -1.
Sugerimos obtener los divisores del 20 y combinar los números para cumplir la condición.
Ejemplo 2:
11
Factorizar la siguiente expresión:
SOLUCIÓN:
El lector puede comprobar que los números que cumplen la condición son el 3 y el 7.
Por lo tanto:
Trinomio de la forma
Se distingue de la anterior forma debido a que su coeficiente es diferente a 1.
Los pasos para descomponer un trinomio de esta forma son similares a la anterior, pero se
debe agregar unos pasos al inicio:
Ejemplo 1:
Descomponer el trinomio:
SOLUCIÓN:
12
Entonces, el término " " podemos expresarlo como " ", entonces tenemos:
Ahora bien, colocamos los paréntesis de igual forma que la forma anterior, pero con la
excepción de que debemos de dividirlo para el número que se multiplico al trinomio para
De igual forma se debe encontrar dos números que multiplicando nos dé 42 y sumando dé
23. El lector puede comprobar que estos números son: 21 y 2. Entonces, tenemos:
Ejemplo 2:
Descomponer el trinomio:
SOLUCIÓN:
13
Multiplicamos el coeficiente del término cuadrático a todo el trinomio:
trinomio:
Simplificando a expresión:
Ejemplo 3:
trinomio:
14
El lector puede comprobar que los números: 20 y 9. Entonces, tenemos:
Simplificando a expresión:
a.
Si el cubo es de la forma del literal anterior se está haciendo referencia a una suma de cubos
perfectos.
b.
Si el cubo es de la forma del literal anterior se está haciendo referencia a una resta de cubos
perfectos.
3. El segundo termino será más o menos (refiriéndose al signo) al triple del primer término
al cuadrado multiplicado por el segundo término.
El tercer término será más 0 menos (refiriéndose al signo) al triple del segundo término
multiplicado por el cuadrado del segundo término.
Ejemplo 1:
15
SOLUCIÓN:
Segundo término:
Tercer término:
Entonces como se cumple todas las características y que se puede ver que la expresión es
Ejemplo 2:
SOLUCIÓN:
16
Segundo término:
Tercer término:
Entonces como se cumple todas las características y que se puede ver que la expresión es
a.
b.
Ejemplo 1:
Descomponer en factores:
SOLUCIÓN:
Podemos ver que es una suma de cubos perfectos, entonces su forma será
término planteado: y
17
Primer factor:
Segundo factor:
Entonces:
Ejemplo 2:
Descomponer en factores:
SOLUCIÓN:
Podemos ver que es una suma de cubos perfectos, entonces su forma será
término planteado: y
Primer factor:
Segundo factor:
18
Entonces:
En esta vez nos enfocaremos en el caso de que las potencias sean números impares, ya
que si 𝑛=𝑝𝑎𝑟 se pueden aplicar el caso de diferencia de cuadrados, o si 𝑛 es divisible para
la raíz cubica están los casos de suma o diferencia de cubos.
En pocas palabras tendrá una forma descendente con respecto al primer término y con
respecto al segundo término del binomio será ascendente, los únicos valores que tendrán
un multiplicando serán los extremos de la forma antes mostrada.
19
Ejemplo 1:
SOLUCIÓN:
Para poder dar solución a este binomio, debemos recordar lo anterior mencionado la
característica II, es la que más se aplica a este concepto, por lo ya sabemos el divisor de la
expresión.
Ahora debemos de recordar la forma anterior mostrada, teniendo en cuenta que 𝑛=5.
Reduciendo:
Ejemplo 2:
SOLUCIÓN:
20
Entonces el divisor será:
Ahora debemos de recordar la forma anterior mostrada, teniendo en cuenta que 𝑛=7.
Reduciendo:
TEMA 2: Exponentes
SUBTEMA 1: Leyes de potenciación y radicación.
Leyes de potenciación.
Las leyes de los exponentes son las reglas a seguir para realizar operaciones con potencias.
La potencia de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo más de
una vez. Al número se le llama base, y las veces que se multiplica es el exponente, que se
coloca en pequeño arriba y a la derecha de la base.
𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒
1. Potencia de un producto
21
(𝑎 ⋅ 𝑏) = 𝑎 ⋅𝑏
Ejemplo:
(−5) ⋅ 3 = (−5) ⋅ 3
2. Potencia de un cociente
(𝑎 ÷ 𝑏) = 𝑎 ÷ 𝑏
Ejemplo:
(7 ÷ 10) = 7 ÷ 10
(𝑎 ) = 𝑎 ⋅
Ejemplo:
((−0,2) ) = (−0,2) ⋅
= (−0,2)
= 0,000064
𝑎 ⋅𝑎 = 𝑎
Ejemplo:
= -1024
22
𝑎 ÷𝑎 = 𝑎
Ejemplo:
= 81
1
𝑎 = ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≠ 0
𝑎
Ejemplo:
1
3 =
3
1
=
9
Leyes de radicación.
Las leyes de los radicales son muy relevantes para resolver ejercicios, y combinarlas con
reglas de potencias puede ayudarte mucho a resolver ejercicios fácilmente.
√𝑎
1. Raíz de un producto
√𝑎 ⋅ 𝑏 = √𝑎 ⋅ √𝑏
Ejemplo:
23
= −3 ⋅ 5
= (−𝟑)(𝟓) = −𝟏𝟓
2. Raíz de un cociente
√
√𝑎 ÷ 𝑏 = √𝑎 ÷ √𝑏 = √
Ejemplo:
= 4 ÷ (0,2)
= 4 ÷ 0,2 = 20
√𝑎 = 𝑎
Ejemplo:
5 = 5
= 5 = 125
⋅
√𝑎= √𝑎
Ejemplo:
24
64 ⋅ 64
=
729 729
2 2
= =
3 3
Ejercicio 1
(−3)
(-3)(-3)(-3)(-3) =81
Ejercicio 2
2
−
5
5
−
2
25
Al ser un número negativo elevado a una potencia impar, el resultado sigue siendo negativo:
125
−
8
Ejercicio 3.
(2 ∗ 5 )(2 ∗5 )
Dado que es una multiplicación, se puede sumar los exponentes que tienen la misma base:
2 ∗5
2∗5
2*25
=50
Ejercicio 4.
2 ∗3
2 ∗3
Un primer paso consiste en pasar los denominadores como numeradores cambiando el signo
de su exponente:
2 ∗3 ∗2 ∗3
2 ∗3
26
Ejercicio 5.
1
2
2
3
Para eliminar el exponente negativo (-2) escribimos el reciproco de la fracción mixta elevado
al exponente positivo (2)
2
3
1
2
𝟐 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏
𝟑 𝟐
𝟐 𝟑 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 𝟏
𝟒 𝟔
𝟐 𝟐
𝟑 𝟏
𝟐𝟏𝟎
𝟑𝟒
𝟏𝟎𝟐𝟒
=
𝟖𝟏
27
Ejercicio 6.
3 1
√6 − √6
4 6
3 1
√6 −
4 6
7
√6
12
Ejercicio 7.
√216 = 2 ∗2 = 2 ∗ 3
∕ ∕
2 ∗3
=2∗3=6
Ejercicio 8.
𝟏
√𝟓𝟑 ∗ √𝟓 𝟓 𝟏 ∗ √𝟓
𝟓𝟐 𝟒
√𝟓
28
∕ ∕
5 ∗5 5 ∗5
5 5∕
5 ∕ 5 ∗5 ∕
5 5∕
⁄ ⁄
(5 ) (5 ) Toda base diferente de cero elevada al exponente cero es igual a uno
⁄
1*(5)
∕
Finalmente, este resultado puede ser expresado en términos
1
√5
1
5
Ejercicio 9.
(4 ) 27 ∕ (125 )(6 )
(8 ∕ )(9 ∕ )(10 )
Notamos que es posible expresar las bases: 4, 27,125,6 ,8,9,10 como potencias de 2,3 y 5
4=2
27=3
125=5
6 = 2*3
8= 2
29
9= 3
10 =2*5
(2 ) 3 ∕ (5 )(2 ∗ 3)
(2 ∕ )(3 . ∕ )(2 ∗ 5)
(2 )(3 )(5 )
(2 )(3 )(5)
=1
Ejercicio 10.
(2𝑥 ) 𝑥
𝑥 ( ) (𝑥 )
Solución:
4𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
4𝑥
4𝑥
( )
4𝑥
Ejercicio 11.
30
(6𝑥 )
𝑥 √2
𝑥 √16
Solución:
1
6𝑥
√2
4𝑥
1
36𝑥
2
16𝑥
2
𝑥
9
Ejercicio 12.
𝑎
8𝑎 +
√𝑎
Solución:
El primer paso en este caso es expresar las raíces en términos de exponentes fraccionarios:
∕ ∕ 𝑎 ⋅
(2 𝑎 ) +
𝑎
𝑎
2𝑎 +
𝑎 ( )
2𝑎 + 𝑎 ( )
31
2𝑎 + 𝑎 ( )
2𝑎 + 𝑎
2𝑎 + √𝑎
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Factor común por agrupación de https://youtu.be/y_mkvBoYz-Y
términos https://youtu.be/JIxtaa-L3f0
Diferencia de cuadrados https://youtu.be/XKssncyx0k4
Trinomio Cuadrado perfecto https://youtu.be/l4eN2V67q4c
Trinomio de la forma https://youtu.be/ND-UMsE-uPI
Trinomio de la forma https://youtu.be/xZHGl-RUqHs
Suma o diferencia de Cubos https://youtu.be/X9DT2c1u_GU
perfectos
Suma o diferencias de potencias https://youtu.be/2_gz0vQvSTg
impares iguales
Bibliografía de apoyo
32
Ministerio de Educación (2016). Matemática. Editorial SM. Recuperado de:
file:///C:/Users/diani/Downloads/Matematica9v2.pdf
Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M., & Reyes, R. (209). Matemática simplificada. México:
PEARSON.
Armas, W., Baquerizo, G., Miriam, R., & Solís, S. (2006). Fundamentos de matemáticas. Guayaquil: ICM-
ESPOL.
Guerrero, C. (2006). Fundamentos de Matemáticas para Bachillerato. Ecuador: ESPOL.
33