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    Productos Especiales

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    sergio vasquez bedoya
    Este documento presenta un curso sobre productos especiales en matemáticas prebásicas. Explica objetivos como reconocer y aplicar fórmulas para productos especiales como el cuadrado de un binomio, cubo de un binomio y producto de la suma y diferencia de términos. Incluye ejemplos de multiplicaciones a resolver usando estos productos especiales y operaciones algebraicas que pueden simplificarse con ellos.

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    sergio vasquez bedoya
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    Este documento presenta un curso sobre productos especiales en matemáticas prebásicas. Explica objetivos como reconocer y aplicar fórmulas para productos especiales como el cuadrado de un binomio, cubo de un binomio y producto de la suma y diferencia de términos. Incluye ejemplos de multiplicaciones a resolver usando estos productos especiales y operaciones algebraicas que pueden simplificarse con ellos.

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    PRODUCTOS ESPECIALES

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    Este documento presenta un curso sobre productos especiales en matemáticas prebásicas. Explica objetivos como reconocer y aplicar fórmulas para productos especiales como el cuadrado de un binomio, cubo de un binomio y producto de la suma y diferencia de términos. Incluye ejemplos de multiplicaciones a resolver usando estos productos especiales y operaciones algebraicas que pueden simplificarse con ellos.

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    CURSO DE MATEMÁTICA PREBÁSICA: PRODUCTOS

    ESPECIALES
    Tutora Carmen Aleisy Rodrı́guez
    Junio de 2009

    Objetivo General

    La presente guı́a de trabajo tiene por objeto afianzar en el estudiante la habilidad de realizar multiplicaciones
    de expresiones alegebraicas cuyos resultados pueden ser hallados por aplicacion de una formula general.

    Objetivos Especificos

    1. Reconocer si una multiplicación dada puede ser resuelta mediante la aplicación de los diferentes productos
    especiales estudiados.
    2. Aplicar la formula correspondiente para encontrar el resultado de una multiplicación por simple inspección,
    cuando esto sea posible.

    Fundamento Teórico

    Un producto especial es aquel producto cuyo desarrollo se conoce fácilmente por simple observación. A con-
    tinuación se presenta una lista de los productos especiales que se deben conocer para resolver los ejercicios
    propuestos.
    1. Cuadrado de un Binomio: Este se refiere al cuadrado de la suma o la diferencia de dos términos, una
    verificación simple permite concluir que el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero mas
    o menos (según sea el caso) el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo
    término. Simbólicamente

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

    2. Cubo de un Binomio: Esta referido al cubo de la suma o la diferencia de dos términos, Similar al caso
    anterior se tiene que el cubo de de la suma de dos términos es igual al cubo del primero mas el triple
    producto del cuadrado del primero por el segundo mas el triple producto del primero por el cuadrado del
    segundo mas el cubo del segundo término. Simbólicamente

    (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3


    (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

    3. Producto de la suma por la diferencia de dos terminos: Este se refiere a multiplicaciones en las cuales uno
    de los factores es la suma de dos términos y el otro términos es la diferencia de estos mismos términos

    (a + b)(a − b) = a2 − b2

    1
    4. Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b), Productos de esta forma se presentan frecuentemente
    en la realización de operaciones algebraicas compuestas y en factorización, por esto resulta utı́l el manejo
    de este producto.

    (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

    Ejercicios Propuestos

    1. Resolver las siguientes multiplicaciones utilizando los productos especiales estudiados. En cada caso men-
    siona el producto que estas usando.

    a) (2m3 + 3)(2m3 − 3)
    b) ( a3 − 6b)2
    c) (y 2 − 3)(y 2 − 9)
    d ) ( 83 s − 4t)( 83 s + 4t)
    e) (5r3 + 3t2 )2
    f ) (a−b+2c2 )2 Nota: Agrupe los dos primeros términos y resuelva aplicando el producto correspondiente.
    g) ( 25 z 4 − 3y 2 )3
    £√ √ ¤2
    h) a−b− a+b
    £ ¤2
    i ) xa+1 + y b−2
    £ ¤3
    j ) 2xa+4 − 8y a−1
    k ) (5y a+1 + 4)(5y a+1 − 14)

    2. Realiza las siguientes operaciones, simplificando el resultado al máximo. De ser posible utiliza productos
    especiales

    a) 3x(4 − x)2 + x(x − 2)(x + 2)


    b) (x − 2)3 − (x3 − 8)
    £ ¤£ ¤
    c) x2 12 x − 2 12 x + 3
    £ √ √ ¤£ √ √ ¤
    d ) 12 2 x − 2 2 x + 2
    e) (x + y − 3)(x + y + 3) − (x + y)2
    3. Se desea construir una caja sin tapa, cortando cuadrados de las esquinas de una pieza rectangular de
    cartón de 2 pies de ancho por 3 pies de largo y doblandola, luego por la linea punteada (ver figura). Si la
    longitud del lado de los cuadrados que se van a recortar es x, determine el área de la superficie de la caja
    en términos de x.
    Nota: Área Superficial es: As = 2A1 + 2A2 + A3 donde A1 , A2 y A3 hacen referencia a las áreas de los
    sectores rectangulares que se distinguen en la figura

    2
    4. Un jardı́n de forma cuadrada esta rodeado por un camino uniforme de dos metros de ancho. Exprese el
    área total del camino y del jardı́n en términos de la longitud del lado del jardı́n.

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