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Repblica Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politcnico
Santiago Mario !tensi"n Matur#n Ensayo Algebra Lineal Materia$ Progra%aci"n &u%rica 'sar Rodr#guez Pro(esora$ Rossana Vel)z*uez +,-./0-1/. Esta investigacin tiene como objetivo explicar aspectos relacionados al Algebra Lineal, enmarcado dentro de la asignatura Programacin Numrica. Abarcaremos algunos conceptos sobre Teoremas, Matrices, Ecuaciones Lineales, istema de !ramer, Teorema de "ronec#er$!apelli % Teorema de &ouc'$!apelli entre otros conceptos (ue nos a%uden a entender la importancia de estos aspectos en la resolucin de problemas. El )lgebra lineal tiene sus or*genes en el estudio de vectores en el +,. % -er. cuadrantes del plano cartesiano. .n vector, a(u*, es un segmento de l*nea orientado, caracteri/ado por ambas longitudes % magnitudes, as* como direccin. Los vectores pueden ser entonces utili/ados para representar ciertas magnitudes 0*sicas como 0uer/as % pueden ser a1adidas 2sumadas3 % multiplicadas como magnitudes escalares, entonces 0ormando el primer ejemplo real de espacio vectorial. El )lgebra lineal es la rama de las matem)ticas (ue estudia los vectores, espacios vectoriales, trans0ormaciones lineales % sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en las matem)ticas modernas, por lo (ue el )lgebra lineal se usa ampliamente en )lgebra % an)lisis 0uncional. El )lgebra lineal tiene una representacin concreta en la geometr*a anal*tica % tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales % en las ciencias sociales. A ra*/ de este concepto surgen varias aplicaciones o teoremas ( son tratadas en el )lgebra lineal, comen/ado por los sistemas de ecuaciones, las cuales pueden ser lineales, e(uivalentes % escalonadas. El teorema de 4auss (ue consiste en trans0ormar un sistema de ecuaciones en otro e(uivalente de 0orma (ue ste sea escalonado. Luego nos encontramos con las matrices, donde se denomina matri/ a todo conjunto de n5meros o expresiones dispuestos en 0orma rectangular, 0ormando 0ilas % columnas. !ada uno de los n5meros de (ue consta la matri/ se denomina elemento. .n elemento se distingue de otro por la posicin (ue ocupa, es decir, la 0ila % la columna a la (ue pertenece. El n5mero de 0ilas % columnas de una matri/ se denomina dimensin de una matri/. As*, una matri/ ser) de dimensin6 +x7, -x+, +x8,... * la matri/ tiene el mismo n5mero de 0ilas (ue de columna, se dice (ue es de orden6 +, -,... El conjunto de matrices de m 0ilas % n columnas se denota por Amxn o 2aij3, % un elemento cual(uiera de la misma, (ue se encuentra en la 0ila i % en la columna j, por aij. 9os matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin % los elementos (ue ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. Existen varios tipos de matrices, est)n 0ila, columna, rectangular, cuadrada, nula, triangular superior, triangular in0erior, diagonal, escalar, traspuesta, regular, singular, idempotente, involutiva, simtrica, asimtrica % ortogonal. Tambin est)n las matrices inversas. Entre otras reglas o teoremas tenemos a la regla de cramer, un sistema !ramer es un sistema de n ecuaciones con n incgnitas, tal (ue el determinante de la matri/ de los coe0icientes sea distinta de :. ;abloamos luego del teorema dede &ouc'$ <robenius permite calcular el n5mero de soluciones de un sistema de ecuaciones linealesen 0uncin del rango de la matri/ de coe0icientes % del rango de la matri/ ampliada asociadas al sistema. Lleva el nombre del matem)tico 0rancs Eug=ne &ouc' (uien lo enunci % del matem)tico alem)n <erdinand 4eorg <robenius (uien 0ue uno de los muc'os matem)ticos (ue lo demostraron. As*, en otros idiomas> recibe otros nombres como el teorema de &ouc'$!apelli, el teorema de &ouc'$<onten, el teorema de "ronec#er$ !apelli, etc. El teorema establece (ue para (ue un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condicin necesaria % su0iciente (ue la matri/ 0ormada por los coe0icientes junto con la ampliada por los trminos independientes posea el mismo rango. Por lo dem)s, el sistema constituido ser) determinado si su rango coincide con el n5mero de incgnitas ser) indeterminado si posee un valor menor a tal n5mero. ? por 5ltimo est)n los sistemas 'omogneos % 'eterogneos, los @TEMA ;AMA4BNEA6 on a(uellos cu%a constante es siempre igual a cero, % su criterio de solucin se da como6 i el n5mero de ecuaciones consistentes % 5tiles es igual al n5mero de variables entonces se dice (ue tiene una 5nica solucin trivial es decir cada variable valdr) cero. 9e no darse de esa 0orma tendr) in0initas soluciones. ? los @TEMA ;ETE&A4BNEA6 on a(uellos en los (ue la constante 2b3 es di0erente de cero, estos sistemas pueden tener una solucin 5nica di0erente de la trivial, o pueden tener in0initas soluciones, igual (ue en caso de los 'omogneos el criterio se da tomando en cuenta el n5mero de ecuaciones v)lidas con el n5mero de incgnitasC si coinciden entonces tiene 5nica solucin no trivial, si no existen in0initas soluciones. En conclusin algebra lineal es una tem)tica (ue nos permite entender, aprender % tener 'erramientas las cuales nos a%udan a solucionar problemas o situaciones aplicando los conocimientos ad(uiridos.