INGENIERIA MECATRÓNICA

LABORATORIO DE TEORIA DE CONTROL

/TEMA: ANÁLISIS DE ESTABILIDAD (ROUTH HURWIZT Y LUGAR DE LAS RAICES)

PRÁCTICA N° FECHA INTEGRANTES (dos estudiantes) FIRMA

4 19/06/2020 Wilson Morocho / Jonnathan Sanchez

TIEMPO: 2hr RESPONSABLE: Ing. Mónica Romero Msc.

1. OBJETIVOS

OBJETIVO

Analizar la estabilidad de un sistema de tercer orden empleando el criterio de Routh

y el lugar geométrico de las raíces.

Objetivo específico:

• Implementar el diagrama de un sistema de control de posición de motor DC

(sistema de tercer orden).
• Analizar la estabilidad del sistema usando el criterio de Routh- Hurwizt.
• Determinar la estabilidad usando el lugar geométrico de las raíces.

2. MÉTODO

• Demostración del docente de la utilización y manejo del software

3. EQUIPO Y MATERIALES

Equipos Accesorios Materiales

Equipo de computo Software Simulink y Matlab

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4. FUNDAMENTO TEÓRICO

Un sistema de control es un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar,

dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de
fallo y obtener los resultados deseados.

SISTEMA DE CONTROL DE PRIMER ORDEN

El sistema de primer orden se basa en tener el polinomio del denominador de primer grado. En
función de cómo sea el numerador, se consideran tres tipos de sistemas de primer orden:

Sistema de primer orden sin cero: tiene una constante como numerador.

Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la ganancia K, que coincide
con la ganancia estática G (0), y la constante de tiempo τ. La ganancia estática K puede tener
cualquier signo, sin embargo, para que este sistema sea estable se debe cumplir que τ > 0.
Teniendo en cuenta esta restricción, no se incluye el caso particular del integrador G(s) = 1/s [4]

Sistema de primer orden con cero nulo o derivador filtrado.

Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la ganancia K, que en este
caso no coincide con la ganancia estática G (0) que es igual a 0, y la constante de tiempo τ. La
ganancia K puede tener cualquier signo, mientras que τ debe ser positivo para que el sistema
sea estable.[4]

Sistema de primer orden con cero no nulo.

En este último caso, los parámetros son la ganancia K, que vuelve a coincidir con la ganancia
estática G (0) como en el sistema de primer sin cero, la constante de tiempo T asociada al cero
y la constante de tiempo τ asociada al polo o constante de tiempo del sistema. La ganancia K y
la constante de tiempo T pueden tener cualquier signo, mientras que τ debe ser positivo para
que el sistema sea estable.

SISTEMA DE CONTROL DE SEGUNDO ORDEN

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es:

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Donde el término ωn se denomina frecuencia natural y ζ es el coeficiente de amortiguamiento.

Si se consideran polos complejos conjugados (0 < ζ < 1), la respuesta en el tiempo para
entrada escalón es:

Donde el término ζωn es la parte real de los polos complejos y es la parte

imaginaria.

El término también se denomina frecuencia natural amortiguada o ωd. Existen dos

factores que determinan la forma y la velocidad de respuesta del sistema de segundo orden.
Estos factores son la frecuencia natural ωn y el coeficiente de amortiguamiento ζ. [4]

ERRORES EN ESTADO ESTACIONARIO

Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Cambios en la

referencia de entrada causarán errores inevitables durante los períodos transitorios y también
pueden causar errores de estado estacionario. Las imperfecciones en los componentes del
sistema, como la fricción estática, el envejecimiento o el deterioro, provocarán errores en el
estado estable.

Escalón Unitario. Las entradas de escalón unitario representan una posición constante y, por lo
tanto, son útiles para determinar la capacidad del sistema de control para posicionarse con
respecto a un objetivo estacionario.

Rampa. Las entradas de rampa representan entradas de velocidad constante a un sistema de

control de posición, con una amplitud que aumenta linealmente. Estas formas de onda se
pueden utilizar para probar la capacidad de un sistema para seguir una entrada (una posición)
que aumenta linealmente o, de manera equivalente, para rastrear un objetivo de velocidad
constante.

Parábola. Las entradas parabólicas, cuyas segundas derivadas son constantes, representan
entradas de aceleración constantes para los sistemas de control de posición.
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Criterio de estabilidad de Routh Horwitz:

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que
se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el
polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de
términos.

Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:

1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que 0 ≠ n a; es decir, se elimina
cualquier raíz cero.

2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente

positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el
sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que
todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo.

3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y
columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

Los coeficientes b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, etc., se evalúan del modo siguiente:

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La evaluación continua hasta que todas las restantes son cero.

El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con
partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera
columna del arreglo.
La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el
semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y
que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

5. PROCEDIMIENTO

5.1 Determinar la función de transferencia del sistema de motor DC, tomando como
salida la posición.

Figura 1. Sistema electromecánico de un motor DC

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a. Determinar de manera analítica la función de transferencia del sistema para la salida

posición angular y entrada el voltaje de armadura, empleando los valores para las
constantes del sistema subamortiguado obtenido en la practica 3.

Valores de los parámetros del motor

J = 1;

R = 1;

L = 1;

B = 3;

Km = 5*sqrt(2);

Ka = 5*sqrt(2);

Remplazamos la ec. 2 en la ec. 4

𝐼𝐼(𝑠𝑠)=𝑊𝑊 (𝑠𝑠)∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)/𝐾𝐾𝐾𝐾. (5)

Remplazamos la ec. 5 y 3 en la ec. 1

𝐿𝐿𝐿𝐿∗(𝑊𝑊 (𝑠𝑠)∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)/𝐾𝐾𝐾𝐾 ) +𝑅𝑅∗ (𝑊𝑊 (𝑠𝑠)∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵) /𝐾𝐾𝐾𝐾) =𝑉𝑉(𝑠𝑠)−𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑊𝑊(𝑠𝑠)

𝑊𝑊𝑠𝑠∗(𝐿𝐿𝐿𝐿∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+𝑅𝑅∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)/𝐾𝐾𝐾𝐾 )=𝑉𝑉(𝑠𝑠)−𝐾𝐾𝐾𝐾.𝑊𝑊(𝑠𝑠)
𝑊𝑊𝑠𝑠∗(𝐿𝐿𝐿𝐿∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+𝑅𝑅∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)/𝐾𝐾𝐾𝐾−𝐾𝐾𝐾𝐾 )=𝑉𝑉(𝑠𝑠)
𝑊𝑊𝑠𝑠∗(𝐿𝐿𝐿𝐿∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+𝑅𝑅∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+−𝐾𝐾𝐾𝐾∗𝐾𝐾𝐾𝐾/𝐾𝐾𝐾𝐾.)=𝑉𝑉(𝑠𝑠)
𝑊𝑊/𝑉𝑉(𝑠𝑠)=𝐾𝐾𝐾𝐾/𝐿𝐿𝐿𝐿∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+𝑅𝑅∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+𝐾𝐾𝐾𝐾∗𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑊𝑊/𝑉𝑉(𝑠𝑠)=𝐾𝐾𝐾𝐾/𝐿𝐿𝐿𝐿∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+𝑅𝑅∗(𝐽𝐽𝐽𝐽+𝐵𝐵𝐵𝐵)+𝐾𝐾𝐾𝐾∗𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑊𝑊/𝑉𝑉(𝑠𝑠)=𝐾𝐾𝐾𝐾/𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿2+(𝐿𝐿𝐿𝐿+𝑅𝑅𝑅𝑅)𝑠𝑠+𝑅𝑅𝑅𝑅+𝐾𝐾𝐾𝐾∗𝐾𝐾𝐾𝐾

Ahora procedemos a integrar, multiplicando por 1/s y obtenemos la siguiente ecuación

𝑊𝑊/𝑉𝑉(𝑠𝑠)=𝐾𝐾𝐾𝐾/𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿2+(𝐿𝐿𝐿𝐿+𝑅𝑅𝑅𝑅) 𝑠𝑠+𝑅𝑅𝑅𝑅+𝐾𝐾𝐾𝐾∗𝐾𝐾𝐾𝐾 · 1/𝑠𝑠

Obtenemos la funcion de transferencia

b. Obtenga la función de transferencia en Matlab usando el comando tf. Puede además

obtener la función de transferencia partiendo del diagrama de bloques planteado para el
sistema en la practica 1, usando la herramienta linear analysis. Compare la función de
transferencia obtenida con la que se presenta en la figura 2.
Obtención de la función de transferencia mediante diagrama de bloques

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Linear Analysis

Función de transferencia

Función de Transferencia utilizando el comando tf

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Al realizar el reemplazo de los parámetros del motor en la función de transferencia de la

figura 2 obtenemos la misma función de transferencia en los dos métodos.

J = 1;

R = 1;

L = 1;

B = 3;

Km = 5*sqrt (2);

Ka = 5*sqrt (2);

Reemplazando los valores

𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐺𝐺(𝑠𝑠) =
𝐿𝐿 ∗ 𝐽𝐽 ∗ 𝑠𝑠 3 + (𝑅𝑅 ∗ 𝐽𝐽 + 𝐿𝐿 ∗ 𝐵𝐵) ∗ 𝑠𝑠 2 + (𝑅𝑅 ∗ 𝐵𝐵 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 ∗ 𝐾𝐾𝐾𝐾) ∗ 𝑠𝑠

5√2
𝐺𝐺(𝑠𝑠) =
1 ∗ 1 ∗ 𝑠𝑠 3 + (1 ∗ 1 + 1 ∗ 3) ∗ 𝑠𝑠 2 + �1 ∗ 3 + 5√2 ∗ 5√2� ∗ 𝑠𝑠

7.071
𝐺𝐺(𝑠𝑠) =
𝑠𝑠 3 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠

Podemos deducir que el cálculo realizado para obtener la función de transferencia es la

misma que se muestra en la figura 2

Figura 2. Función de transferencia para la salida posición angular

c. Determine la función de transferencia del sistema de control en laso cerrado con una
ganancia proporcional K y una retroalimentación unitaria. Observe la figura 3.
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V(s) Θ(s)
+ K G(s)
-

Figura 3. Sistema de control en laso cerrado

𝑘𝑘 ∗ 𝐺𝐺(𝑠𝑠)
𝑇𝑇(𝑠𝑠) =
1 + 𝑘𝑘 ∗ 𝐺𝐺(𝑠𝑠) ∗
Donde, T(s) es la función de transferencia del sistema de laso cerrado.

7.071
𝐺𝐺(𝑠𝑠) =
𝑠𝑠 3 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠

𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑠𝑠)
𝑇𝑇(𝑠𝑠) =
1 + 𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠)

7.071𝑘𝑘
𝑠𝑠 3 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠
𝑇𝑇(𝑠𝑠) =
7.071𝑘𝑘
1+ 3 ∗1
𝑠𝑠 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠

7.071𝑘𝑘
𝑠𝑠 3 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠
𝑇𝑇(𝑠𝑠) = 3
𝑠𝑠 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠 + 7.071𝑘𝑘
𝑠𝑠 3 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠

7.071𝑘𝑘
𝑇𝑇(𝑠𝑠) =
𝑠𝑠 3 + 4 ∗ 𝑠𝑠 2 + 53 ∗ 𝑠𝑠 + 7.071𝑘𝑘

d. Implemente la función de transferencia, en Matlab usando el comando feedback.

T(s)=feedback(k*G(s), H(s)), siendo H(s)=1

k =1
H(s) = 1

e. A través del criterio de Routh – Hurwitz determine el rango de K para que el sistema sea
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estable.
𝐷𝐷(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠 3 + 4𝑠𝑠 2 + 53𝑠𝑠 + 7.071𝑘𝑘
𝑠𝑠 3 1 53 0
𝑠𝑠 2 4 7.071k 0
𝑠𝑠1 𝑥𝑥1 0 0
𝑠𝑠 0 𝑥𝑥2 0 0

1 53
𝑥𝑥1 = − � 4 7.071𝑘𝑘 �=
4

(1 ∗ 7.071𝑘𝑘) − (4 ∗ 53)
𝑥𝑥1 = − � �
4

212 − 7.071𝑘𝑘
𝑥𝑥1 =
4

4 7.071𝑘𝑘
𝑥𝑥1 0
𝑥𝑥2 = − � �
𝑥𝑥1

(4 ∗ 0) − (7.071𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥1 )
𝑥𝑥2 = − � �
𝑥𝑥1

𝑥𝑥2 = 7.071𝑘𝑘
Para determinar los valores despejamos k

212 − 7.071𝑘𝑘
>0
4
212 − 7.071𝑘𝑘 > 0
7.071𝑘𝑘 < 212
212
𝑘𝑘 < = 29.981
7.071

Los valores para la ganancia k son 0 < k < 29.981

f. Muestre, con simulaciones en MatLab, que, en efecto, ciertos valores de K dentro y fuera
del rango encontrado en la parte “e”, hacen que el sistema sea estable, marginalmente
estable, e inestable. Note que el valor de K que establece la frontera de estabilidad hace
que el sistema sea marginalmente estable, para este caso de estudio, particularmente. Para
cada valor de K seleccionado, llene la siguiente tabla, los datos que aplican:

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Valor de K Polos del %SD Tp Ts Estabilidad
sistema de
control
20.2 -0.5600 + 7.0328i 15.2 0.304 5.15 Estable
-0.5600 - 7.0328i
-2.8799 + 0.0000i
27.9883 -0.1046 + 7.2247i 39.8 0.241 29.8 Estable
-0.1046 - 7.2247i
-3.7908 + 0.0000i
29.9559 -0.0013 + 7.2794i 47.8 0.259 2.85 E3 Marginalmente
-0.0013 - 7.2794i estable
-3.9974 + 0.0000i
29.9946 0.0007 + 7.2805i NAN NAN NAN Inestable
0.0007 - 7.2805i
-4.0014 + 0.0000i

g. Grafique el lugar geométrico de las raíces empleando la herramienta de Matlab sisotool

o rlocus(K*G), donde G es la función de transferencia de lazo abierto, y K=1
rlocus

sisotools

h. Sobre la gráfica generada con el MatLab en la parte g, use el “data cursor” sobre la gráfica
y ubique cada uno de los valores de ganancia de la tabla de la parte “f”. Verifique que los
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polos indicados sobre la gráfica son los calculados en la tabla, Verifique también el
´calculo teórico de Ts, Ts, %OS. Haga una impresión de la figura para cada valor de K.

Sistema estable
Ganancia k=20.2
Polos
• -0.5600+7.0328i
• -0.5600+7.0328i
• -2.8799+0.0000i
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 0.4467058147
7.0328
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 12.403100078
0.3225
Ganancia k=27.9883
Polos
• -0.1046 + 7.2247i
• -0.1046 - 7.2247i
• -3.7908 + 0.0000i
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 0.4348405683
7.2247
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 38.24091778
0.1046
Sistema Marginalmente estable
Ganancia k=29.9559
Polos
• -0.0013 + 7.2794i
• -0.0013 - 7.2794i
• -3.9974 + 0.0000i
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 0.4315730216
7.2794i
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 3076.923077
0.0013
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Sistema inestable
Ganancia k=29.9946
Polos

• 0.0007 + 7.2805i
• 0.0007 - 7.2805i
• -4.0014 + 0.0000i
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜋𝜋
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 0.4315078159
7.2805
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
4
𝑇𝑇𝑝𝑝 = = 5714.285714
0.0007

K = 20.2

K = 27.9883

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K = 29.9559

K = 29.9946

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i. Validar gráficamente sus respuestas obteniendo la respuesta temporal al escalón del

sistema de control. Verifique lo que pasa con los valores de Ts, Tp y %OS, a medida que
la ganancia K acerca al sistema a la inestabilidad.

Al realizar un análisis del sistema se observa que el tiempo de asentamiento aumenta a

medida que el valor de ganancia K se acerca a la inestabilidad, mientras que con el tiempo
pico sucede lo contrario mientras más aumenta la ganancia K el tiempo se hace cada vez
más pequeño mientras que el disparo podemos es más grande hasta llegar a ser inestable.

K = 20.2

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K = 27.9883

K = 29.9559

K = 29.9946

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6. CONCLUSIONES
Podemos observar la variación de los polos del sistema conforme vaya variando la
ganancia k, como por ejemplo en este caso utilizamos ganancias de 20.2 estable,
27.9883 estable, 29.8 marginal mente estable, 29.9974 inestable, con la ayuda de las
herramientas de Matlab podemos analizar y comparar los resultados obtenidos
teóricamente y mediante el software, con esto podemos apreciar el comportamiento del
sistema en su estado estable e inestable.

7. BIBLIOGRAFIA

[1] Katsuiko Ogata, “Ingeniería de Control Moderno”, quinta edición, editorial Pearson
España 2010.
[2] Katsuiko Ogata, “Dinámica de sistemas”, primera edición, editorial Pearson México
2004.
[3] Control with matlab and Simulink aviable:
https://la.mathworks.com/products/simcontrol.html

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