Practica8 Scilab

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
LABORATORIO DE CONTROL MODERNO
PRÁCTICA 8
SERVOSISTEMAS
Objetivo
Calcular el valor de las ganancias del algoritmo de control para regulación
de la variable controlada a una constante diferente de cero mediante
retroalimentación de estados aplicado a sistemas tipo 1, a esto se le conoce
como diseño de servosistemas.
Preliminares
Un algoritmo de control mediante retroalimentación de estados permite
cambiar la ubicación de los polos del sistema al que se aplica el algoritmo de
control. Siempre se busca que en el sistema contralado o en lazo cerrado los
polos lleguen a estar ubicados sobre el semiplano izquierdo del plano s,
asegurando de esta forma un comportamiento estable de la variable controlada
en el sistema físico.
Un sistema en lazo abierto representado en espacio de estados se define
como:
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡), … . (1)
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) … . (2)
donde u(t)∈Rr es la señal de control.

El algoritmo de control que permite la regulación a una constante diferente
de cero del sistema se describe por la siguiente ecuación
𝑢(𝑡) = −𝐾𝑥(𝑡) + 𝑘 𝑟 …. (3)
donde K∈Rrxn , r es la cantidad de entradas al sistema, n es la cantidad de

variables de estado y k1 es el primer elemento del vector de ganancia K . Observe
que en este algoritmo se requiere que todas las variables de estado sean
conocidas para su retroalimentación.
Al sustituir el algoritmo de control en las ecuaciones del sistema en lazo
abierto (1) resulta la ecuación del sistema en lazo cerrado que describe la
dinámica del sistema controlado, esto es,
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵(−𝐾𝑥(𝑡) + 𝑘 𝑟), … (4)
𝑥̇ (𝑡) = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥(𝑡) + 𝐵𝑘 𝑟 , … (5)
donde la ganancia K es un valor tal que el sistema tipo 1 llegue a tener ubicados
sus polos de lazo cerrado en posiciones definidas a partir de los requerimientos
de diseño. Con esta ganancia K la variable controlada y(t)→r conforme t→ ∞
con u(∞)→0. Donde r es el valor constante de la referencia.
En el siguiente diagrama de bloques se presenta un sistema tipo 1 en lazo
cerrado con el algoritmo de control mediante retroalimentación de estados.
Para el cálculo de la ganancia K del algoritmo de control se utiliza el

comando ppol cuya sintaxis es
K = ppol(A, B, Pd)
donde A y B son las matrices del sistema, Pd es un vector de dimensión n cuyos

elementos son los polos deseados de lazo cerrado y K es la ganancia del
algoritmo de control.
Ejemplo. Diseñe un algoritmo de control mediante retroalimentación de

estado con el cual sea posible que la variable controlada del siguiente sistema
tipo 1 alcance un valor deseado o de referencia igual a 3
𝑥̇ 0 1 −2 𝑥 0
𝑥̇ = 0 −2 3 𝑥 + 3 𝑢
𝑥̇ 0 3 5 𝑥 0
𝑥
𝑦 = [1 0 0] 𝑥
𝑥
considere que se desea que los polos del sistema controlado lleguen a estar
ubicados en -4+3i, -4-3i, -4. Previo al diseño del algoritmo de control grafique
el comportamiento dinámico del estado del sistema en lazo abierto, para esto
considere que x(0)=[0.5; 1; 1.5]. Una vez calculada la ganancia del controlador,
simule el comportamiento del sistema en lazo cerrado considere que x(0)=[0.5;
1; 1.5].
Solución.
Con el siguiente código se obtiene el comportamiento del estado medible

del sistema sin la acción del algoritmo de control,
//Evolución de los estados sin controlador
function xdot=sla(t, x, A, u, B)
xdot=A*x+B*(-K*x+k1*r)
endfunction
K = [0 0 0];
k1 = K(1);
r = 3;
A = [0 1 -2; 0 -2 3;0 3 5];

B = [0; 3; 0];
x0=[0.5; 1; 1.5];
t0=0;
t=[0:0.1:6];
xla = ode(x0,t0,t,list(sla));
xla1 = xla(1,:);
plot(t',xla1','b')
xgrid
title('Evolución de los estados en lazo abierto')
xlabel('tiempo, t')
ylabel('Magnitud')
el código previo arroja la siguiente gráfica que representa el comportamiento

del estado medible del sistema en lazo abierto.
Como se puede apreciar el estado medible se inestabiliza, con el algoritmo
de control se busca que el estado medible x1(t) se estabilice en un valor igual a
3 para este caso.
Con el siguiente código se obtiene el valor de la ganancia del algoritmo de
control para estabilizar al sistema.
Plc es un vector que indica el valor de los polos del sistema en lazo cerrado, los
cuales se confirma son iguales a los polos deseados de lazo cerrado definidos
como condiciones de diseño.
Con el siguiente código se obtiene el comportamiento del sistema en lazo
cerrado con el algoritmo de control,
//Evolución de los estados con controlador
K = [-3.03 5 17.78];
k1 = K(1);
r = 3;
function xdot=sla(t, x, A, u, B)
xdot=A*x+B*(-K*x+k1*r)
endfunction
A = [0 1 -2; 0 -2 3;0 3 5];

B = [0; 3; 0];
x0=[0.5; 1; 1.5];
t0=0;
t=[0:0.1:6];
xla = ode(x0,t0,t,list(sla));
xla1 = xla(1,:);
plot(t',xla1','b')
xgrid
title('Evolución de los estados en lazo cerrado')
xlabel('tiempo, t')
ylabel('Magnitud')
Al ejecutar el código previo resulta la siguiente grafica en la que se aprecia
como ahora con la acción de control el estado ya no se inestabiliza y converge
al valor de la referencia o valor deseado diferente de cero en tiempo finito,
logrando de esta forma estabilizar al sistema.
Reporte.
1.- Para un sistema descrito por el siguiente modelo matemático en forma de

espacio de estados,
𝑥̇ 0 1 4 𝑥 0
𝑥̇ = 0 2 3 𝑥 + 0 𝑢
𝑥̇ 0 1 −3 𝑥 1
𝑥
𝑦 = [1 0 0] 𝑥
𝑥
resuelva lo siguiente:
(en cada uno de los incisos agregue el código y en los que corresponda la gráfica
de la respuesta)
a) Simule el comportamiento del sistema sin la acción de control. Agregue la

gráfica del estado medible, para esto considere x(0)=[0.5; 1; 1.5]. Defina el tipo
de estabilidad a partir de la gráfica del estado, explique su respuesta.
b) Obtenga el valor de los polos del sistema en lazo abierto y a partir de esto
defina y explique el tipo de estabilidad del sistema en lazo abierto.
c) Demuestre si el sistema es de estado completamente controlable o no.
Explique su respuesta.
d) Calcule el valor de la ganancia del algoritmo de control de regulación al
origen. Considere que se desea que los polos del sistema en lazo cerrado se
ubiquen en -3+4i, -3-4i, -5.
e) Simule el comportamiento del sistema con la acción de control, para esto
considere x(0)=[0.5; 1; 1.5]. Agregue la gráfica del estado medible. Defina el
tipo de estabilidad a partir de la gráfica del estado, explique su respuesta.
f) Obtenga el valor de los polos del sistema en lazo cerrado y verifique que
correspondan a los polos deseados de lazo cerrado. Agregue juntos los dos
resultados. Explique su respuesta.

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donde A y B son las matrices del sistema, Pd es un vector de dimensión n cuyos

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Con el siguiente código se obtiene el comportamiento del estado medible

//Evolución de los estados sin controlador

A = [0 1 -2; 0 -2 3;0 3 5];

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//Evolución de los estados con controlador

A = [0 1 -2; 0 -2 3;0 3 5];

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a) Simule el comportamiento del sistema sin la acción de control. Agregue la

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