Resumen Libro de Trabajo I.. Ok
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EJERCICIOS DE APLICACIN
Una bolsa de dulces cuesta $35.48 Cunto cuestan 12 bolsas?
Una botella tiene 1.45litros y la otra 0.85litros Cuntos litros hay entre las dos?
Cunto pagar por dos pantalones y una camisa si cada pantaln cuesta $299.00 y
cada camisa $159.60
Un padre tena 29 aos al nacer su hijo. Cul ser la edad del hijo cuando el padre
cumpla 68 aos?
Una persona compra 5Kg de manteca la cual cuesta $18.50 el Kg, Cunto le
devolvern si entrega un billete de $200.00?
EJEMPLOS
8(3+2-1+13-6)
1 METODO.- SUMAR Y/O RESTAR LO QUE ESTA ENCERRADO
DENTRO DEL PARENTESIS.
8(5-1+13-6)=
8(4+13-6)=
8(17-6)=
8(11)= 88
2 METODO.- MULTIPLICAR EL NMERO AFUERA DEL PARENTESIS
POR CADA UNA DE LOS ELEMENTOS DENTRO DEL PARENTESIS.
8(3+2-1+13-6)
24+16-8+104-48
40-8+104-48
32+104-48
136-48 = 88
((21-34)(18-4+3-6+12) (3+4-2+1)=
((-13)(23)) 6
- 299/6
(-6+2)-(4+5)-(7-8)=
(-4)-(9)-(-1)=
-4-9+1= -12
((10-14+4)(4-6-5+1))/ (10+9-18) =
((32-18+14)-(24-13+2-1))(4)=
((10-14+4)(4-6-5+1))/(10+9-18) =
42(10-5+3)+8(5-3+2)(4-2)=
(16-24+32)(2-6+3-1)+(2x3)=
((5)(4)(6))-(3+10-5)-(24(2(5))=
(8+3-9+4)=
(24-12+3)(8(4))-3(2(1))=
RAZONES Y PROPORCIONES
EJEMPLOS
Un automvil viaja a 200Km por hora y una avioneta comercial a 1000 km por hora.
Si ambos tienen una rapidez constante Cuntas veces es ms rpido el avin que
el automvil?
Como las unidades de las velocidades son iguales, entonces se establece la razn para
determinar cuntas veces es ms rpido la avioneta al automvil.
En horas normas, la Oruga en la Ciudad de Len, Gto., viaja a una velocidad de 70 Km/h y
una motocicleta recorre 150 metros en 5 segundos. Si ambas tienen un rapidez constante,
Cuntas veces es ms rpido la motocicleta que la Oruga?
Primero debemos transformar las velocidades a la misma unidad, entonces:
Para la Oruga
Para la motocicleta
PROPORCION
Ejemplos
Susy compr 15 Paletas por 60 pesos, cunto le costarn a Miguel 25 paletas? Si por 15
paletas pagamos 60 pesos por 25 paletas pagaremos x pesos. La relacin de proporcin
que se plantea ser entonces:
Sabemos que una hora tiene 60 minutos, un minuto tiene 60 segundos por lo tanto,
Cuntos minutos hay en 7 horas?
1 hora
7 Hrs
60min
x
X = la cantidad de minutos
(7 horas)(60 min.)
X=
= 420 min.
7 horas equivalen a 420 minutos
1 hora
2
Tambin utilizamos la regla de tres para conversiones de diferentes monedas, o de unidades de
medida, longitud, etc.
Por ejemplo:
11.45 pesos
X
X = cantidad en pesos
(245.23)(11.45)
X=
Este resultado indica que las dos mangueras llenan 3 tinacos de 60 en un minuto, por lo tanto
simplificando tendramos
Das
40
150
250
EJERCICIOS DE APLICACIN
Emanuel corre 0.5m en un segundo y una Manuel en su bicicleta recorre 50km en una
hora, ambos con una velocidad constante, Cuntas veces es Manuel ms rpido en su
bicicleta que Emanuel corriendo?
El valor A vara en proporcin directa con el de B; cuando A = 25, B = 100 Cul ser el
valor de A si B = 280?
Un automvil viaja a 60 Km/h y un avin viaja a 40 km/h. Si ambos tienen una rapidez
constante Cuntas veces es ms rpido el avin al automvil?
LACTEOS
LINEA BLANCA
ZAPATERIA
Leche 3x 9 = $ 27.00 Lavadora $ 3, 599.00 Zapatos $ 135
Quesos
$ 24.00
Zapatos $ 405
$ 17.50
TOTAL
$ 33.50
TOTAL
$68.50
TOTAL $ 3,599.00 TOTAL $ 540
b) COSTOS POR DEPARTAMENTO
c) SALCHICHONERIA $ 33.50 con descuento del 35%
Aplicamos una regla de tres de la siguiente manera:
33.50
X
100%
35%
($ 33.50)(35 %)
X=
100%
El total a pagar en SALCHICHONERIA ser $33.50 - $11.725 = $ 21.775
LACTEOS $ 68.50 con el 30% de descuento
68.50 100%
$ 68.50 equivale al costo real, es decir al 100%
X
30%
X = es el descuento
($ 68.50)(30 %)
X=
EJERCICIOS DE APLICACIN
En un examen de matemticas hay 50 alumnos, el 70% son varones Cul es el
nmero de mujeres?
Miguel vendi su automvil en $ 32, 200 ganando el 15% de lo que le haba costado. En
cunto compr el automvil Miguel?
Don Hctor compro un motor en $ 15, 000. Si este tena un 20% de descuento incluido y
Don Hctor quiere poner a la venta el motor pero con el precio original, A qu precio lo
debe de dar?
FRACCIONES
LOCALIZACIN DE LAS FRACCIONES COMUNES EN LA RECTA NMERICA
EJEMPLO
2
2.0
0
EJEMPLOS
((3/4+2/35/2) + (1/2-2/4-1/10+3/2)=
MCD
4 3 2 2
2 4 10 2 2
2 3 1 2
1 2 5 1 2
1 1 1 3
1 1 5 1 5
1 1 1 1
2X2X3 = 12
2X2X5 = 20
3(3)+2(4)-5(6) + 1(10)-2(5)-1(2)+3(10)
12
20
9+8-30
12
12x5=
60
1 55
1
1
((18+2/4-3/2+1/4)(2/3-3/4+8/3-4))-3/4=
mcd 4
mcd 12
12
(69/4)(-17/12)-(3/4) =
(69)(-17)/(4)(12)-(3/4)=
(-1173/48)-(3/4) =
mcd 48
(-1173)-(3)(12) =
48
(-1209/48)=
-403/16
(-7/8)(-3)(-1/9)(-5/7)(-1/2)(-2/3)
(-7)(-3)(-1)
(8)(-1)(9)
(-5)(-1)(-2)
(7)(2)(3)
- 21
-10 882
=
72
42 720
73
-21
72 -882 441
=
=
-10 -720 360
42
10 + (1/18) + (3/10) =
MCD = 180
10(180) + 1(10) +3(18) 1800 + 10 + 54
=
=
=
180
180
180
45
1864
466
De un contenedor de agua de 608 litros, Yolanda utiliza los /32 del liquido diario
para sus deberes en le hogar.Cuntos litros quedarn en el contenedor despus
de 8 das?
Se determinan los litros que Yolanda utiliza diario, esto es, los 3/32 de 608 es:
La cantidad de dinero que tiene Lucia se representa como la unidad, por lo tanto:
EJERCICIOS DE APLICACIN
(4/3)+(-2/3)-(-1/3)+(4/6) =
((5/4)(2/3)(1/4))-((2/9)-(2/4)+(1/2))=
((20/40)-(3/2)-(1/2)+(4/9))((1/2)(2/5)) =
((1/4)-(2/9)+(3/4))=
EJERCICIOS DE APLICACIN
Si de un colegio con 3600 alumnos, las 5/6 partes de los alumnos tomaron como
deporte la natacin Cuntos alumnos realizan este deporte?
Denise bebe por da 5/6 de litro de agua Qu cantidad de agua bebe en un mes
de 30 das?
El Seor Carren deja una herencia monetaria para toda su familia, la cual pidi
se repartiera de la siguiente manera: los 2/3 del total ser para su esposa, y el
resto ser repartido en partes iguales para sus 4 hijos.
a) Qu parte le corresponde a cada hijo?
b) Si la herencia fue de $628,500.00 Cul es la cantidad que recibir cada
quien?
ALGEBRA
OPERACIONES BASICAS ALGEBRAICAS
EJEMPLOS
4bz+5ab+8zb-5b+4ab-3zb-2ab+3zb-10b =
4bz + 5ab 5b
+8zb - 2ab 10b
-3zb + 4ab
+3zb
12bz +7ab 15b
12bc-18ab+14wz-2wz-10ba+4bc-12wz+5ab-2ba-3cb-zw =
12bc 18ab + 14wz
+ 4bc 10ab - 2wz
+ 5ab 12wz
- 3bc - 2ab - wz
13bc 25ab wz = El resultado se expresa en orden alfabtico y se
multiplica por (-1) para hacer positivo el 1 termino
25ab - 13bc + wz
EJERCICIOS DE APLICACIN
6dec+abd-5ab+dec-8adb-13ab-8dec+15abd-ab=
4cde-81ab+3ab-3abc-cde+10cde-8dce+4ab-3ab+8a-2abc=
5wz-4zw+2yz-4yz+8z+zy-5z+4z-4yz=
3a+4ab+2ba-3ab+a-3ab-c+cd-3c=
18-32+45a-16b+34ab-32z+x-3y-42+1=
2x + 3x + 8x + 9x + x - 6x + 10x - 6x =
EJEMPLOS
x- 4x + 5
x3
x+5x-3x-9
2x-3
x - 4x+ 5x
- 3x+12x -15
2x4+7x-21x-9x+27
EJERCICIOS DE APLICACIN
3a5-6a+2a-3a+2 por a4-3a+4a-5
x4- xy + xy - xy + 4 por x + y
3xy 3xy + 5
6x3y 6x2y2 + 10xy
-6xy
- 6xy
+ 6xy
+ 10xy
- 10xy
Comprobacin
3xy 3xy + 5
2xy
6x3y 6x2y2 + 10xy
EJEMPLOS
8b -2bz+bz+2bz entre
2b-bz+z
4b+bz-z
comprobacin
2b-bz+z 8b4-2bz+bz+2bz
-8b4+4bz-4bz
2bz-3bz+2bz
-2bz+ bz- bz
-2bz+ bz
+2bz- bz+z4
z4
a -2a-1
2b-bz+z
4b+bz-z
8b4-4bz+4bz
+2bz- bz+bz
-2bz+bz-z4
4
8b -2bz+ bz+2bz-z4
+z4
8b4-2bz+ bz+2bz
comprobacin
2a+3 2a-a-8a-2
-2a-3a
-4a-8a-2
4a+6a
-2a-2
2a+3
1
a-2a-1
2a+3
2a-4a-2a
3a-6a-3
2a-a-8a-3
+1
2a-a- 8a- 2
EJERCICIOS DE APLICACIN
(CON COMPROBACIN)
2x(y-(4x-3-(x+5y)-6)+3y-6y =
2x+(y-(4x-3-x-5y-6)+3y-6y
2x+y-4x+3+x+5y+6+3y-6y
2x+x-4x+3y+5y-6y+y+3+6
3x-4x+3y+9
3xy(2x(3+(8x))+21xy)+12xy+10x(2xy-3)=
3xy(2x(3+64x)+21xy)+12xy+20xy-30x
3xy(6x+128x+21xy)+12xy+20xy-30x
18x4y+384x6y+63x4y+12xy+20xy-30x
Ordenando
384x6y+63x4y+18x4y+12xy+20xy-30x
384x6y+63x4y+18x4y+32xy-30x
2xz+yz(2x+y)-z(3x+y5)-(8x)-(3x(20x))=
2xz+2xyz+y5z-3xz-y5z-64x-60x
Ordenando
-64x-60x+2xz-3xz+2xyz +y5z-y5z
-4x-xz+2xyz
Multiplicando por (-1)
4x+xz-2xyz
EJERCICIOS DE APLICACIN
8x+5(y-2)((z-9)(x+2z-5y))-x+9z+15x=
17m+8t+(n+4(t+12)(m+2n-5))-9t-4m-5t=
POTENCIAS
EJERCICIOS
Resolver (9)3/2
En un exponente fraccionario el numerador representa la potencia
(9) = 729
El denominador es el ndice de la raz a obtener, entonces:
729 = 27
El resultado es 27
Resolver (-64)-4/3
El exponente fraccionario 4/3 indica que la raz es 3
3
-64 = - 4
El numerador, en este caso, (4) es la potencia a la cual se debe elevar el resultado
anterior
(-4)4 = 256
El resultado es 256
Resolver (8)-5/3
Primero se debe de transformar a un exponente positivo
Resolviendo el denominador :
(8)-5/3 = (38 )5= (3)5= 243
Recordando que el exponente se encuentra en el denominador tendremos
EJERCICIOS DE APLICACIN
Encuentra el resultado de las siguientes fracciones
PRODUCTOS NOTABLES
BINOMIOS CONJUGADOS
EJEMPLOS
(2ab4-6bc5)=
(7abc6+10bcd)=
(8m-2am6n7)=
(9x4z+12xy5z)=
(axyz+6axy)=
(2ab4+6bc5)=
(2ab4)+3(2ab4)(6bc5)+3(2ab4)(6bc5)+ (6bc5)=
8ab12+3(4ab8)(6bc5)+3(2ab4)(36b6c10)+ 216b9c15=
8ab12+72ab11c5+216ab10c10+216b9c15
(2an-2b-6ab)=
(2an-2b)-3(2an-2b)(6ab)+3(2an-2b)(6ab)-(6ab)=
8a3n-6b6-3(4a2n-4b4)(6ab)+ 3(2an-2b)(36ab)-216ab=
8a3n-6b6-72a2n-3b5 +216anb4-216bc
(4/3def + 8/5a4de5)=
(4/3def)+3(4/3def)(8/5a4de5)+3(4/3def)(8/5a4de5)+ (8/5a4de5)=
64/27de6f6+3(16/9de4f4)(8/5a4de5)+3(4/3def)(64/25a8d4e10)+ 512/125a12d6e15=
64/27de6f6+384/45a4d4e9f4+768/75a8d5e12f+ 512/125a12d6e15
(6am+2b-3bm+3c)=
(6am+2b)-3(6am+2b)(3bm+3c)+3(6am+2b)(3bm+3c)-(3bm+3c)=
216a3m+6b-3(36a2m+4b)(3bm+3c)+3(6am+2b)(9b2m+6c4)-27b3m+9c6=
216a3m+6b-324a2m+4bm+5c+162am+2b2m+7c4-27b3m+9c6
EJERCICIOS DE APLICACIN
4
(5xy+8x )=
(7abc6+10bcd)=
(1/2a4bx4-7/8acy)=
(axyz+6axy)=
(xy+4a4b)(x4y4-4a4bxy+16a8b4)=
(xy)+(4a4b)= x6y6 + 64a12b6
(a4b5-a4b5c)(a8b10+a8b10c+a8b10c4)=
NO CUMPLE DEBIDO A QUE EL CUADRADO DE C ES C6 Y TIENE C4
(a5b-2a7c4)(a10b6+2a12b3c4+4a14c8)=
(a5b)-(2a7c4) = a15b9-8a21c12
EJERCICIOS DE APLICACIN
5
10
(5ac-cz4)(25a4c6+5ac6z4+c6z8)=
(2xy+4xy)(4x6y4-8x4y5+16xy6)=
EJERCICIOS VARIOS
(3vz4-2vy)(9v6z8+6v5yz4+4v4y2)=
(2mq4+3mn4z5)(4mq8-6mn4q4z5+9m4n8z10)=
(3/2abc+b5c4x)=
(n - 1)(n + 1)=
(4nv3-3ny4)(16nv6+12nvy4+9ny8)=
(3c-8d4e)=
(1 + 8xy)(1 - 8xy)=
(6tuv+2uwq)=
(1/2a4bx4-7/8acy)
(8m-2amn7)=
FACTORIZACIN
FACTOR COMN
EJEMPLOS
7ab-14a+28a4=
FACTOR COMUN = 7a
7ab-14a+28a4 entre 7a = b-2a+4a
= 7a(b-2a+4a)
93xab-62xby-124ax=
FACTOR COMUN = x
93xab-62xby-124ax entre x = 93abx-62bxy -124a
= x(93abx-62bxy-124a)
4ab-6ab+3bac=
FACTOR COMUN =ab
4ab-6ab+3bac entre ab = 4a-6+3c
=ab(4a-6+3c)
EJERCICIOS DE APLICACIN
x -3x +8x-4x=
6
11mnx+22mnx-44my=
40bxz+25b4xy-30x5bz4=
3abc-12ab+27bc5+24ac=
8x6yz+4xy-16z=
(ax-bx-ay+by)=
(ax-bx) - (ay-by)
x(a-b) - y(a-b)
= (a-y)(a-b)
(mz+nz-mx-nx)=
(mz-mx)+(nz-nx)
m(z-x) + n(z-x)
= (m+n)(z-x)
6xy+3bx+2yz+bz= (6xy+2yz)+(3bx+bz)
2y(3x+z) + b(3x+z)
= (2y+b)(3x+z)
5h+30hk+18kh+3h = (5h+30hk)+(18kh+3h)
5h(h+6k)+3h(6k+h)
(5h+3h)(h+6k)
EJERCICIOS DE APLICACIN
bx-2ax-2by+4ay=
4xy-4xz+3zm-3xmy=
nx-5ay-ny+5ax=
DIFERENCIA DE CUADRADOS
4 10
(49x y - 16a b )=
49x4y10 = 7xy5
16a6b4 = 4ab
(25m8n4 - 9a10b8)=
25m8n4 = 5m4n
9a10b8 = 3a5b4
= (5m4n+3a5b4)(5m4n-3a5b4)
(mn - 4ab6)=
mn = mn
4ab6 = 2ab
(16b4z6 - 81bz4)=
16b4z6 = 4bz
EJERCICIOS DE APLICACIN
(4x - 9y)=
(a6 - 49b8)=
(k10 - 36hk5)=
(m4n - 64x8y)=
(xy4 - 36xy4z4)=
EJERCICIO NO
2(2b)(5a)=20ab
= (2b-5a)
= 2y
2(1/7x)(2y) = 4/7x
= (1/7x- 2y)
= am
= an
ax + 2axbx+1 + b2x+2
a2x
= ax
b2x+2 = bx+1
2(ax)( bx+1 )= 2axbx+1
= (ax + bx+1)
EJERCICIOS DE APLICACIN
a + 4ab + 4b=
4x + 20x + 25=
16m - 8mn + n=
FORMA x+ bx+ c
EJEMPLOS
k - 2k - 8
= (k-4)(k+2)
t + 10t + 24 = (t+6)(t+4)
b + b - 12
= (b+4)(b-3)
EJERCICIOS DE APLICACIN
h - h - 6 =
a - 8a + 15 =
x - 3x - 10 =
a + 9a + 20 =
h + 2h - 8 =
7x - 33x - 10 =
Mtodo de convertir a la forma x+bx+c y dividiendo entre dos factores
49x-33(7x)+70
(7x-35)(7x+2) entre (7)(1)
= (x-5)(7x+2)
Mtodo a prueba y error utilizando la suma de medios y extremos (internos y
externos)
-35x
(x- 5) ( 7x+2)
2x
(-35x)+2x = -33x
15h + 2h - 8 =
Mtodo de convertir a la forma x+bx+c y dividiendo entre dos factores
225h+2(15)-120
(15h+12)(15h-10)entre (5)(3)
(5h+4)(3h-2)
Mtodo a prueba y error utilizando la suma de medios y extremos (internos y
externos)
12h
(5h +4 )(3h - 2)
12h-10h = 2h
-10h
25x - 20x - 12 =
Mtodo de convertir a la forma x+bx+c y dividiendo entre dos factores
625x-20(25x)-300
(25x-30)(25x+10)entre (5)(5)
(5x-6)(5x+2)
Mtodo a prueba y error utilizando la suma de medios y extremos (internos y
externos)
-30x
(5x - 6 )( 5x + 2)
10x
(-30x)+10x = -20x
3y + 10y + 3 =
4x + 8x + 3 =
4z + 11z - 3 =
5b - 22b - 15 =
EJERCICIOS DE APLICACIN
8y - 22y - 21 =
EJERCICIOS DE REPASO
Factoriza indicando el tipo de factorizacin vas a utilizar
9a5bz3-36a4b+18za=
z8 - y10z8 =
8x + 10x - 12 =
nx-am+mn-ax=
5b + 28b - 12 =
x + 7x + 10 =
2a-a+3a=
9z - 43z - 10 =
x + 10x + 25 =
4a10c6-z12y2=
81t6c4n2-16b6z =
64m4r12-36p14q8 =
a + 5a + 6 =
y + 2y - 3 =
ECUACIONES LINEALES
SISTEMA DE ECUACIONES CON UNA INCOGNITA
EJEMPLOS
5x 25 = 0
5x = 25
x = 25/5 = 5
x=5
Comprobacin
5(5) 25 = 0
25 25 = 0
0=0
3x + (2x 3) = 22
3x + 2x 3 = 22
5x 3 = 22
5x = 22 + 3
x=5
Comprobacin
5(5) 3 = 22
25 3 = 22
EJEMPLOS
a/3 + 4 = - a =
mcd = 6
a(6) + 4(6) = 1(6) -6(a)
3
2
a(2) + 24 = 3 - 6a
2a + 6a = 3 -24
8a = -21
a = -21/8
y (5y-1) - 7-5y = 1
10
mcd = 10
10(y)-10(5y-1)-(7-5y) = 10(1)
10y - 50y + 10-7 + 5y = 10
10y -50y +5y = 10-10+7
-35y = 7
y = 7/-35
y = -1/5
4x - 16x + 3 = 4 - 10x+1
4
6
mcd = 12
12(4x) -3(16x+3) = 12(4)-2(10x+1)
48x 48x 9 = 48 20x - 2
- 9 = 46 20x
-46 9 = -20x
-55 = -20x
-55/-20 = x
x = 11/4
4a 1 + a - 2 = 8a-3 - 13/10
5
2a-7
10
mcd = 10(2a-7)
2(2a-7)(4a-1) +10(a-2) = (2a-7)(8a-3)-13(2a-7)
(4a-14)(4a-1)+10a-20 = 16a-6a + 21-56a-26a+91
16a4a-56a+14+10a-20 = 16a-6a + 21-56a-26a+91
16a-50a-6 = 16a-88a+ 112
-50a+88a = 112+6
38a = 118
a = 118/38
a = 59/19
EJERCICIOS DE APLICACIN
5c-4c-3c(2)+6c(-3) = 8
y-2 - 5
6
=0
7b-1 - 5b + 4 b + 2 = 2b 3 1
2
4
8
5
10
x-3 - 5 = 0
4
2 z+1
3 =0
z -1
2 + 2 =0
3 2w -1
EJERCICIOS DE APLICACION
EJEMPLOS
Nmero de canicas que tengo ms tres es igual al doble de las canicas que tengo
menos dos. Cuntas canicas tengo?
El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresin
algebraica:
Se podra leer as: X nmero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el nmero x de
canicas menos 2 canicas.
El enunciado est expresado, pero no podemos ver claramente cul es el valor de x; para
ello se sigue este procedimiento:
Primero se pasan todos los trminos que dependen de x al primer miembro y los trminos
independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier trmino que se
cambia de miembro cambia tambin de signo. As obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Por lo tanto X = 5
El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 3 aos ms que el
segundo y este 4 ms que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene
44 aos qu edad tiene cada hermano?
Para resolver estos problemas debemos elegir algn valor desconocido para llamarle "x".
En este caso llamemos: x = edad del hermano menor = A
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuacin) con
ellos:
x + 4 = edad del hermano mediano = B
Edad del hermano mayor: C = B + 3 = x + 4+3 = x + 7
Suma de las edades de los hermanos = 44; Esto es: A + B + C = x + x+4 + x+7 = 44,
3x + 11 = 44
3x = 44 11
3x = 33
x = = 11 Luego la solucin del problema es: Edades de los tres hermanos: 11, 15 y 18
aos
Miguel y Lucia compraron libros de $120 y $90 respectivamente. Si Miguel compro
4 libros ms que Lucia y en total se gastaron $1320, Cul es el planteamiento del
problema para su solucin?
Tomando x=Libros tendremos:
Planteamiento
Gastos de Miguel + gastos de Lucia = 1320
VEHICULO
CANTIDAD
NO. DE LLANTAS
BICICLETA
(4 LLANTAS)
2X
CARROS
(4 LLANTAS)
40-X
4(40 X)
Planteamiento
Llantas para bicicletas + llantas para carro = 110
2x + 4(40-x) = 100
EJERCICIOS DE APLICACIN
Dentro de seis aos, Julia tendr 22 aos. Qu edad tiene actualmente Julia?
Vctor es 2 aos menor que Pedro, pero 5 aos mayor que Mim. Si la suma de las
edades de los tres es 30, qu edad tiene cada uno?
Perd un tercio de las ovejas que cuidaba y llegue con 24 Cuntas ovejas tenia?
Hace 15 aos la Edad de Susy era 2/5 de la edad que tendr dentro de 15 aos Qu
edad tiene ahora?
5x + 10b = 20
2x + 5b = 14
METODOS DE RESOLUCIN
EJEMPLOS
METODO DE REDUCCIN
2x + 5b = 14 (-2)
-4x-10b = -28
5x+10b = 20
x
=-8
5(-8)+10b = 20
-40 +10b = 20
10b = 20+40
b = 60/10
b=6
comprobacin
5(-8)+10(6) = 20
- 40+60 = 20
20 = 20
2(-8)+5(6) = 14
-16+30 = 14
14 = 14
METODO DE IGUALACIN
1ER ECUACIN
2DA ECUACION
5x+10b = 20
2x+5b = 14
10b = 20-5x
5b = 14-2x
b = 20-5x
b = 14-2x
10
5
igualando
20-5x = 14-2x
10
5
5(20-5x) = 10(14-2x)
100-25x = 140 20x
-140+100 = 25x-20x
-40 = 5x
-40/5 = x
x = -8
sustituyendo el valor de x en la otra ecuacin
2(-8)+5b = 14
-16 +5b = 14
5b = 14+16
5b = 30
b = 30/5
b=6
METODO DE SUSTITUCIN
5x+10b = 20
5x = 20-10b
x = 20-10b
5
x = 4-2b
sustituyendo en la otra ecuacin
2(4-2b)+5b = 14
8-4b +5b = 14
b = 14-8
b=6
sustituyendo el valor encontrado en la otra ecuacin
5x + 10(6) = 20
5x + 60 = 20
5x = 20-60
5x = -40
x = -40/5 X = -8
2x - 8y = 6
x + 4y = 9
METODO DE REDUCCIN
Multiplicamos la ec 2 por (2)
x + 4y = 9 (2)
2x-8y = 6
COMPROBACIN
2x+8y = 18
2(6)-8(3/4) = 6 (6)+4(3/4) = 9
4x = 24
12- 24/4 = 6
6+3 =9
x = 24/4
12- 6 = 6
9=9
x=6
6 =6
Se sustituye el valor de x en la ec. 1
2(6)-8y = 6
12 -8y = 6
-8y = 6-12
y = -6/-8
y=
METODO DE IGUALACIN
METODO DE SUSTITUCIN
Despejando y de la ec. 2
X+4y = 9
4y = 9 x
y=9x
4
Sustituyendo en la ec. 1
2x-8(9-x) = 6
4
2x-(72/4)+ (8x/4) = 6
2x-18+2x = 6
Se igualan los valores de x y
4x = 6+18
se despeja y
4x = 24
x=6
3 +4y = 9 -4y
Se sustituye el valor de x en la
4y+4y = 9-3
ec. 2
8y = 6
(6) +4y = 9
y = 6/8
4y = 9 -6
y=
y = 3/4
Se sustituye el valor de y en la ec. 2
Se sustituye x en la 2da ecuacin
x+4y = 9
x = 9 4y
x + 4y = 9
x + 4(3/4)= 9
x+3
=9
x = 9-3
x=6
3x + 2y = 10
6x + 3y = 12
METODO DE REDUCCIN
Se multiplica la ec. 1 por (-2)
COMPROBACIN
3x+2(8) = 10
3x + 2y = 10(-2)
3(-2)+2(8) = 10
-6 + 16 = 10
6x+3y = 12
10 = 10
-6x-4y = -20
-y = - 8
6(-2)+3(8) = 12
y= 8
-12 + 24 = 12
12 = 12
3x + 16 = 10
3x = 10-16
X = -6/3
X = -2
METODO DE IGUALACIN
Se despeja x de la ec. 1
3X + 2Y = 10
3X = 102y
2y
3
Se despeja x de la ec. 2
METODO DE SUSTITUCIN
3x+2y = 10
2y = 10-3x
y = 10-3x
X = 102
6X + 3y = 12
6x = 12-3y
x = 12-3y
6
Se igualan los valores de x
10-2y = 12-3y
3
6
6(10-2y) = 3(12-3y)
60-12y = 36-9y
60-36 = 12y-9y
24 = 3Y
24/3 = y
8 =y
Se sustituye el valor de y en la otra
ecuacin
y = 5 -3/2x
Sustituyendo en la ec. 2
6x + 3(5-3/2x) = 12
6x + 15- 9/2x = 12
6x-9/2x = 12-15
3/2x = -3
3x = -6
x = -2
Sustituyendo el valor de x en la otra
ecuacin
3(-2) + 2y = 10
-6 + 2y = 10
2y = 10+6
y = 16/2
y=8
6x+3(8) = 12
6x = 12 - 24
x = -12/6
x = -2
X+2 = y-4
10
14
x + 8 - y - 18 = 16
6
12
6
Es necesario suprimir los denominadores para resolver el sistema, por lo que tomamos cada
ecuacin de manera individual, comenzando con la primera
X+2
10
= y4
14
En la cual pasamos multiplicando cada denominador por el numerador del otro trmino de la
ecuacin, ya que solo tenemos un trmino de cada lado de la igualdad, posteriormente realizamos
las operaciones necesarias a fin de encontrar una ecuacin equivalente sin denominadores
14(x+2) = 10(y-4)
14x + 28 = 10y 40
7x - 5y = -34
Ahora tomamos la segunda ecuacin
x + 8 - y - 18 = 16
6
12
6
Debido a que esta ecuacin tiene ms de un trmino de cada lado de la igualdad, debemos
encontrar el m.c.m. para poder suprimir los denominadores. El m.c.m. se divide entre cada
denominador y el cociente obtenido se multiplica por cada numerador, a fin de suprimir los
denominadores existentes
mcm = 12
2(x + 8) (y - 18) = 2(16)
2x + 16 y + 18 = 32
2x y = 32-18-16
2x y = -2
Obteniendo la segunda ecuacin sin denominadores
2x y = -2
Con el sistema de ecuaciones sin denominadores se resuelve el sistema por los tres
mtodos
7x - 5y = -34
2x y = -2
METODO DE REDUCCIN
Se multiplica la ec. 2 por (-5)
2x y = -2(-5)
COMPROBACIN
7x - 5y = -34
7(8)-5(18) = -34
56-90 = -34
-34 = -34
7x - 5y = -34
-10x + 5y = 10
-3x
= -24
x = -24/-3
x=8
2x y = -2
Se sustituye el valor de x en la ec. 2
2(8)-(18) = -2
2(8) y = -2
16 - y = -2
- y = -2-16
y = 18
16-18 = -2
-2 = -2
METODO DE IGUALACIN
METODO DE SUSTITUCIN
Despejando y de la ec. 2
7x-5y = -34
2x-y = -2
7x = -34+5y
2x = -2+y
x = -34+5y
x = -2+y
7
2
Igualando los valores de x
-34+5y = -2-y
7
2
2x y = -2
- y = -2-2x
y = 2+2x
Sustituyendo el valor de y en la ec. 1
7x-5(2+2x) = -34
7x -10-10x = -34
-3x = -34+10
x = -24/-3
x=8
Sustituyendo el valor de x en la otra
Sustituyendo el valor de y en la otra ecuacin
ecuacin
2(8) y = -2
16 y = -2
7x 5(18) = -34
- y = -2-16
7x = -34 + 90
y = 18
x = 56/7
2(-34+5y) = 7(-2+y)
-68 + 10y = -14 + 7y
10y -7y = -14+ 68
3y = 54
y = 18
x=8
EJERCICIOS DE APLICACIN
7x + 8y = 29
5x + 11y = 26
3a - 4b = 13
8a - 5b = -5
5k + 3h = 5
4k + 7h = 27
3x = -4y
5x - 6y = 38
5x - 3y = 0
7x y = -16
X+2y-3=5
3
8
6
y 5 2x 3 = 0
5x + 2y = 16
4x + 3y = 10
X - 2y = 10
2x + 3y = -8
2x 2y = -2
2x + 2y = 14
REGLA DE KRAMER
DETERMINANTES
c1
c2
x=
a1
a2
b1
b2
a 1 c1
a 2 c2
y=
b1
b2
a 1 b1
a 2 b2
EJEMPLOS
2X - 8Y = 6
X + 4Y = 9
c1
c2
x=
a1
a2
b1
b2
6 -8
9 4
=
b1
b2
=
2 -8
1 4
(6)(4) (9)(-8)
=
(2)(4) (1)(-8)
24+72 96
= =6
8+8 16
a1
a2
y=
a1
a2
c1
c2
2 6
1 9 (2)(9) (1)(6) 18 6 12 3
=
=
=
= =
b1 2 -8 (2)(4) (1)(-8) 8 + 8 16 4
b2 1 4
3x + 2y = 10
6x + 3y = 12
c1
c2
x=
a1
a2
b1
b2
a1
a2
y=
a1
a2
c1
c2
10 2
12 3
EJERCICIOS DE APLICACIN
3x - 4b = 13
8x - 5b = -5
5x 3y = 0
7x - y = -16
2a 2b = -2
2a + 2b = 14
7x + 8y = 29
5x + 11y = 26
X y = -1
X+y= 7
5k + 3h = 5
4k + 7h = 27
2x - 3y = 20
4x + 4y = 10
X - 2y = 10
2x + 3y = -8
METODO GRAFICO
EJERCICIO RESUELTO
x+y=6
x-y=2
1. Despejamos y en las dos ecuaciones.
x+y=6y=6-x
x-y=2y=x2
2. Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos
ecuaciones.
y=6x
x 0 1 2 3 4
y 6 5 4 3 2
y=x2
x 0 1 2 3 4
y 6 5 4 3 2
Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes
Uniendo los puntos de cada ecuacin, obtenemos dos rectas que representan todas las
soluciones de cada una de las ecuaciones. En nuestro caso, las rectas se cortan en el
punto (4, 2). La solucin del sistema es x = 4 e y = 2.
5x + 2y = 16
4x + 3y = 10
EJERCICIOS DE APLICACIN
2a 2b = -2
2a + 2b = 14
EJERCICIOS DE APLICACIN
EJERCICIO RESUELTO
En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, cuntos
conejos y patos hay?
Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de
ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:
1. Cules son las incgnitas.
2. Qu relacin hay entre ellas.
En este caso la propia pregunta dice cules son las incgnitas: el nmero de conejos y el nmero
de patos. Llamaremos x al nmero de conejos e y al nmero de patos:
Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el nmero de conejos
por una cabeza, ms el nmero de patos por una cabeza tambin, tienen que sumar 18:
Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos slo tienen dos. Por tanto: el nmero de
conejos por cuatro patas cada uno, ms el nmero de patos por dos patas, tienen que sumar 52:
x + y = 18
4x + 2y = 52
Por lo que se resuelve por cualquiera de los mtodos anteriores a fin de encontrar el que se tienen
8 conejos y 10 patos.
EJERCICIOS DE APLICACIN
Juan compr un Librero y un televisor por $2,000 y los vendi por $2,260. Cunto
le cost cada objeto, sabiendo que en la venta del Librero gan el 10% y en la venta
del televisor gan el 15%?
Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. Cuntos
cerdos y pavos hay?
Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes t", y Pedro
contesta: "si t me das seis pesos tendremos los dos igual cantidad". Cunto
dinero tena cada uno?
Encuentra un nmero de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con
la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un
nmero que es igual al primero menos 27.
4x y + 5z = -6
3x + 3y 4z = 30
6x + 2y 3z = 33
5x 2y + z = 24
2x + 5y - 2z =-14
x 4y + 3z = 26
Tomamos las ec. 1 y dos,
multiplicando la ec. 2 por (2)
5x 2y + z = 24 (2)
2x + 5y - 2z =-14
15x
10x 4y + 2z = 48
2x + 5y 2z =-14
12x + y
= 34 ...A
6x + 2y 3z = 33
4x y + 5z = -6 (2)
6x + 2y 3z = 33
8x 2y + 10z = -12
14x
+ 7z = 21 ...B
x 4y + 3z = 26
5x 2y + z = 24 (-3)
SOLUCIONANDO A Y B
Multiplicando por (-7) y (11)
respectivamente
SOLUCIONANDO A Y B
Multiplicando por (-2) la ec. A
x 4y + 3z = 26
-15x + 6y - 3z = -72
-14x + 2y
=-46 ...B
12x + y = 34 (-2)
-14x + 2y =-46
-24x 2y = -68
-14x + 2y = -46
-38x
= -114
x = -114/-38
x=3
Sustituimos en ec. A
12(3) + y = 34
36 + y = 34
y = 34 - 36
y = -2
Sustituimos en la ec. 1
5(3)-2(-2)+ z = 24
15+4 + z = 24
z = 24-19
z=5
3x 2y + 4z = 3
2x + y - 6z = 1
x - y + 4z = 1
Tomamos las ec. 1 y 2, multiplicando la ec. 2
por 2
3x 2y + 4z = 3
2x + y - 6z = 1 (2)
3x 2y + 4z = 3
4x + 2y 12z = 2
7x
- 8z = 5 ...A
Tomamos ec. 2 y 3
2x + y - 6z = 1
x - y + 4z = 1
3x
- 2z = 2 ...B
1 + 4 + 2 = -6
x y z
3+2+4=3
x y z
6 5 6 = 31
x y z
Tomamos la ec. 1 y 2 multiplicando la ec
2 por (- 2)
1 + 4 + 2 = -6
x y z
-6 - 4 - 8 = -6
x y z
-5
- 6 = -12 ...A
x
z
Tomamos la ec 2 y
3 multiplicndolas por 5 y 12
respectivamente
15 + 10 + 20 = 15
SOLUCIONANDO A Y B multiplicando a la ec. x y z
B por -4
12 10 12 = 62
x y z
7x - 8z = 5
3x - 2z = 2 (-4)
7x - 8z = 5
- 12x + 8z = -8
- 5x
=-3
x = -3/-5
x = 3/5
Sustituimos el valor de x en la ecuacin A
7(3/5) 8z = 5
21/5 - 8z = 5
- 8z = 5- (21/5)
z = -1/10
Sustituimos el valor de x y de y en la
segunda ecuacin del sistema
2(3/5)+y-6(-1/10) = 1
6/5 + y + 6/10 = 1
y = 1-(3/5)-(6/5)
y = -4/5
Encontrando las tres incgnitas
X = 3/5
Y = -4/5
27
+ 8 = 77 ...B
x
z
Solucionamos A y B multiplicando por 8
y 6 respectivamente
-40 - 48 = - 96
x y
162 + 48 = 462
x
y
122 = 366
x
122 = 366x
122/366 = x
x = 1/3
Sustituyendo en la ec (A)
-5 6 = -12
1 z
3
-6 = -12 + 15
z
-6 = 3z
z = -2
Sustituyendo en la ec. 1
1 + 4 + 2 = - 6 4/y = -6-2
EJERCICIOS DE APLICACIN
9x + 4y 10z = 6
6x 8y + 5z = -1
12x + 12y 15z = 10
X+b+ c= 6
X b + 2c = 5
X b 3c = -10
2x + y 3z = 12
5x 4y + 7z = 27
10x + 3y z = 40
a+ b+ c= 4
2a - 3b + 5c = -5
3a + 4b + 7c = 10
2x - 3y + 5z = 1
4x + 3y + 10z = 5
2x -12y 30z = -9
X + y + z = 11
X y + 3z = 13
2x + 2y z = 7
(x/3) + y = 2z + 3
x -y=1
x + z = (y/4) + 11
20x + 8y - 3z = -13
8x 7y 3z = -34
4x + 3y - z = 2
EJERCICIOS DE APLICACIN
EJERCICIO RESUELTO
Si reunimos el dinero de Susana, de Yolanda y de Miguel sumamos $ 45. Si al dinero de
Miguel le resto el dinero de Yolanda y le sumo el dinero de Susana tengo $ 15, pero si al
dinero de Susana le sumo el dinero de Yolanda y le resto el dinero de Miguel tengo $ 5.
Cuanto dinero tiene cada uno?
x = Susana
y = Yolanda
z = Miguel
x + y + z = 45
x - y + z = 15
x + y z= 5
RESOLVIENDO EL SISTEMA DE TRES ECUACIONES TRES INCOGNITAS TENEMOS QUE;
Susana = $ 10
Yolanda = $ 15
Miguel = $ 20
EJERCICIOS DE APLICACIN
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de $1,560.00 por 24lt de leche, 6 Kg. de
jamn serrano y 12lt de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artculo, sabiendo que 1lt
de aceite cuesta el triple que 1l de leche y que 1kg de jamn cuesta igual que 4lt de aceite
ms 4t de leche.
Cuando Hctor, Sandra y Denise, que son Djs, hicieron la cuenta de cuantos Cd
s tenan entre los tres sumaron 850.
Si a los Cds de Hctor le sumamos la mitad de los Cds de Sandra y le restamos
los Cds de Denise habra 160 Cds.
Finalmente sabemos que si al doble de Cds de Hctor le restamos los de Sandra
y le sumamos los de Denise tendramos 420 Cds.
Cuntos tiene cada uno de los amigos?
Claudia, Vicky y Lucy renen el dinero que tiene ahorrado cada una para
comprar, entre las tres, un regalo para una amiga que cumple 15 aos.
Entre las tres renen $ 530.
Claudia pide prestado y aporta el doble del dinero que tiene ahorrado porque Ana
puede aportar solo la mitad del suyo, entonces, si sumamos el dinero de Virginia,
entre las tres, renen $ 560.
Sabemos, como dato, que si al dinero de Claudia le sumamos el triple del dinero
de Virginia y el total del dinero de Ana tendramos $ 990.
Cuanto dinero tiene ahorrado Ana?
ECUACIONES CUADRATICAS
EJEMPLOS
b - 9b = 0
b(b 9) = 0
b1 = 0
b-9 = 0
b2 = 9
5x - 20x = 0
5x(x-4) = 0
5x = 0
x-4 = 0
x1 = 0
x-4 = 0
x2 = 9
12x - 13 = 0
12x= 13
x= 13/12
x = 13/12
x1 = + 13/12
x2 = - 13/12
10a + 8 = 0
10a= - 8
a= -8/10
a = -8/10
a = + imaginaria
EJERCICIOS DE APLICACIN
24v - 11 = 0
4x + 10 = 0
16m - 8m = 0
25h + 30h = 0
36a-36a = 0
5v + 20 = 0
8x - 6 = 0
3x - 48 = 0
ECUACIONES COMPLETAS
SOLUCIN POR FACTORIZACIN
EJEMPLOS
15h + 2h 8 = 0
(5h + 4)(3h 2) = 0
(5h + 4) = 0 5h = -4
(3h 2) = 0 3h = 2
h1 = -4/5
h2 = 2/3
6x + 8x - 8 = 0
(3x - 2)(2x + 4) = 0
(3x - 2) = 0 3x = 2
(2x + 4) = 0 2x =-4
x1 = 2/3
x2 = -2
3y + 10y + 3 = 0
(3y + 1)(y + 3) = 0
(3y + 1) = 0 3y =-1
(y + 3) = 0 y =-3
y1 = -1/3
y2 = -3
8x + 10x - 12 = 0
(2x + 4)(4x - 3) = 0
(2x + 4) = 0 2x =-4
(4x - 3) = 0 4x = 3
x1 = -2
x2 =
EJERCICIOS DE APLICACIN
6b - b 2 = 0
6x + 16x + 8 = 0
20x - 38x + 12 = 0
7x - 33x 10 = 0
8y - 22y 21 = 0
25x - 20x 12 = 0
49h + 28h + 4 = 0
EJEMPLOS
5x + 3x - 4 = 0
x + 3/5x - 4/5 = 0
x + 3/5x
= 4/5
x + 3/5x + 3/5 = 4/5 + 3/5
2
2
x + 3/5x + (3/10)= 4/5 + 9/100
(x + 3/10)= 89/100
(x + 3/10)= 89/100
x + 3/10 = 89/100
x1 = -3/10 + 89/100
x2 = -3/10 - 89/100
16x - 2x + 3 = 0
x - 2/16x + 3/16 = 0
x - 1/8x = - 3/16
x - 1/8x + 1/8 = -3/16 + 1/8
2
2
x - 1/8x + (1/16)= -3/16 + 1/256
(x - 1/16)= - 47/256
(x - 1/16)= -47/256
x - 1/16 = imaginaria
4b + 16b 4 = 0
b + 4b - 1 = 0
b + 4b
=1
b + 4b + (4/2)= 1 + (4/2)
b + 4b + 4 = 5
(b + 4) = 5
b+2=5
b1 = - 2 + 5
b2 = - 2 - 5
EJERCICIOS DE APLICACIN
8x - 5x - 4 = 0
5x + 3x 6 = 0
4x -2x + 10 = 0
8x -16x -24 = 0
3x + 12x + 21 = 0
9x + 36x 45 = 0
2x + 3x 45 = 0
8x - 3x - 5 = 0
3x - 5x - 4 = 0
EJEMPLOS
x + 11x + 24 = 0
a=1
b = 11
c = 24
-11 (11)- 4(1)(24)
x=
=
2(1)
-11 121 - 96
x=
=
2
-11 5
x=
2
-11 + 5
x1 =
= -6/2 = -3
2
-11 - 5
x2 =
= -16/2 = - 8
2
8X + 5X 4 = 0
a=8
b=5
c = -4
-5 (5)- 4(8)(-4)
x=
=
2(8)
-5 25 + 128
x=
-5 25- (-128)
16
-5
153
=
16
16
-5 153
x=
16
-5 + 153
x1 =
16
-5 - 153
x2 =
16
EJERCICIOS DE APLICACIN
8x - 5x - 4 = 0
4x -2x - 10 = 0
8x -16x -24 = 0
3x + 12x + 21 = 0
9x + 36x 45 = 0
2x + 3x 45 = 0
8x - 3x + 5 = 0
EJERCICIOS DE APLICACIN
Dentro de 11 aos la edad de Joel ser la mitad del cuadrado de la edad que tena
hace 13 aos. Calcula la edad de Joel.
Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula
las dimensiones de la finca.
Dos caeras A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por s solo en
tres horas menos que B. Cuntas horas tarda a cada uno separadamente?
Una pieza rectangular es 4 cm ms larga que ancha. Con ella se construye una caja
de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los
bordes. Hallar las dimensiones de la caja.
Una tubera tarda dos horas ms que otra en llenar un depsito y abriendo las dos
juntas se llena en 1 hora y 20 minutos. Cunto tiempo tardar en llenar el depsito
cada uno por separado?