Polos Ceros y Estabilidad
Polos Ceros y Estabilidad
Polos Ceros y Estabilidad
10 MAYO 2013
Introducción.
Un requerimiento importante para un sistema de control es que debe ser estable.
Esto significa que si al sistema se aplica una entrada de magnitud finita, entonces la
salida debería también ser finita y ningún modo infinita, es decir, incrementarse dentro
de un límite. Se tratan las condiciones que se deben satisfacer para sistemas estables.
Para sistemas lineales el requerimiento de estabilidad se puede definir en términos de
los polos de la función de transferencia en lazo cerrado. Los polos son las raíces del
polinomio del denominador de la función de transferencia y los ceros las raíces del
polinomio del numerador de la función de transferencia. 1
1
W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.
Definición de estabilidad.
Para que un sistema de control sea útil, lo primero que debe cumplir es que sea
estable. Si el sistema es estable no existe régimen permanente aunque numéricamente
se puedan encontrar los valores de los límites en el dominio de Laplace. Por lo tanto,
asegurar la estabilidad del sistema debe ser un paso previo al cálculo numérico de los
errores en régimen permanente.2
Un sistema se puede definir como estable si toda entrada acotada, es decir, finita,
produce una salida acotada. De esta manera, por ejemplo, para toda entrada escalón
aplicada a un sistema la salida debe ser finita. Un sistema no es necesariamente
estable si una sola entrada escalón produce una salida finita: toda entrada escalón
debe producir salidas finitas.
Polos y ceros.
2
Apuntes de la materia de teoría de control. M.C Jorge Arturo Pérez Venzor. Electrónica industrial.
Septiembre 2009.
3
W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.
4
Estabilidad. Castillo Rubio Paolo. Instrituto de la universidad de concepción. 5 mayo 2008.
Considerando un sistema descrito por la Ecuación dada tomando la
transformada de Laplace y resolviendo para la razón de salida Y(s) a la entrada X(s), la
función de transferencia del sistema G(s) será:
Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de
transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados.
En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el
sistema sea estable.
“Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del
planos”
La ubicación de los ceros de la función de transferencia no tienen ningún efecto
sobre la estabilidad del sistema! Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero
no afectan la estabilidad5
Ceros
Polos
5
Control de procesos. 6.7 polos y ceros de la función de transferencia. Moncada Luis.
1. El valor(es) para z donde el denominador de la función de transferencia es igual
a cero
EJEMPLO 1
Lo primero que tenemos que reconocer que la función de transferencia será igual
a cero cuando lo de arriba, s2+6s+8, sea igual a cero. Para encantar que esto iguala a
cero factorizamos esto para obtener, (s+2)(s+4). Esto da a ceros en s=-2 y s=-4. Si esta
función hubiera sido más complicada, tal vez tendríamos que usar la formula
cuadrática.
Para los polos, tenemos que reconocer que la función de transferencia será
infinita cuando la parte de abajo es cero. Esto sucede cuando s2+2 es cerro para
encontrar esto, tenemos que factorizar la función esto nos da (s+i2√)(s−i2√). Lo que
significa que tenemos raíces imaginarias de i2√ y −(i2√)7
6
Polos y ceros. Explica polos y ceros de las funciones de transferencia. Baraniuk Richard
7
Ibíd.
Figura 1: Mestra de la Grafica
Estabilidad y polos.
La estabilidad de un sistema se puede determinar considerando cómo cambia la
salida con el tiempo después de una entrada impulso. Con un sistema estable la salida
deberá tender a cero con el tiempo, y con un sistema inestable la salida con el tiempo.
Considere un sistema sin ceros y un polo en -. La función de transferencia G(s) será:
1
G ( s )=
s +2
Por lo tanto, la salida 0a(s) está relacionada con la entrada ∅, (s) mediante
1
0a ( s) = ∅ ,(s)
s+2
1
θa ( s ) =
s+2
θa =e−2 t
El valor dee−2 t decrece con el tiempo, haciéndose cero en un tiempo infinito, por lo
tanto, el sistema es estable.
Ahora considere un sistema sin ceros y un polo en +2. La función de transferencia G(s)
será:
1
G ( s )=
s−2
Por lo tanto:
1
θa ( s ) = ∅ ,(s )
s−2
1
θa ( s ) =
s−2
θ=e 2t
Primero se comprueba que todos los coeficientes ai sean positivos. Si hubiese algún
coeficiente nulo o negativo, el sistema no sería estable. Si se cumple la condición
anterior, que se conoce como condición de Cardano-Viète, el sistema puede ser
estable o no. Para comprobar si es estable, se disponen los coeficientes ai de forma
que sigan el patrón impuesto por la siguiente tabla:
Donde los coeficientes ai se distribuyen en las dos primeras columnas. Los coeficientes
de las sucesivas filas se calculan empleando los coeficientes de las dos columnas
inmediatamente superiores. Así los coeficientes bi se calculan como sigue:
El proceso acaba cuando se calcula la fila de coeficientes en s0, que sólo posee
un coeficiente no nulo, d en la expresión (5.3) . El criterio afirma que el sistema es
estable si y sólo si todos los coeficientes de la primera columna de Routh-Hurwitz son
positivos. Es, por tanto, una condición necesaria y suficiente. La primera columna la
forman los primeros coeficientes de todas las filas. Aunque el criterio sólo se fije en los
primeros coeficientes, las filas hay que completarlas enteras, porque todos los
coeficientes son necesarios para calcular los inferiores.
¿Cómo determinar si las raíces de un polinomio como (1) están ubicadas todas en el
semiplano izquierdo?
9
W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.
Antes de contestar esta pregunta, hacemos notar lo siguiente:
Para demostrar lo anterior, supóngase primero que el polinomio tiene sólo raíces
reales, y por tanto puede factorizarse así:
Si las raíces αι son todas negativas, los términos – αι serán todos positivos, y en
general el producto tendrá todos los coeficientes positivos. De
esta forma, los coeficientes de (1) serán todos positivos o todos negativos,
dependiendo del signo de G en (2). Por esta razón, si p(s) tiene coeficientes de signos
diferentes o cero, necesariamente al menos un término – αι debe ser negativo, lo que
implicaría que tendría al menos una raíz positiva (en el semiplano derecho). Ahora
supóngase que (1) tiene dos raíces complejas conjugadas:
El producto de los términos que tienen que ver con las raíces complejas es:
Si, es decir si las raíces están en el semiplano izquierdo, (4) tendrá sólo coeficientes
positivos, y por tanto (1) tendrá todos sus coeficientes del mismo signo (positivos si G
es positiva y negativos si G es negativa).
Estabilidad relativa.
MF = 180o − φG.
10
Breve estudio de la estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas continuos. ETSII. Ibáñez Silvera
Javier, Martiinez Vázquez Juan, Nicolás García Javier. Junio de 2005.
11
Lección 5: Estabilidad. 24 de mayo de 2007.
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W. Bolton. Ingeniería de control. Ediamac. 2da Edición. México, agosto 2001.
Bibliografía.