Interpolar

Capítulo 3
Interpolación
3.1. Introducción
El problema de interpolar aparece con mucha frecuencia en el trabajo en ciencias e

ingeniería, donde los experimentos arrojan datos numéricos y a su vez estos datos se
pueden representar en tablas o en forma gráfica. Para analizar el comportamiento del
sistema, no basta con observar los datos obtenidos en el experimento (figura 3.1), y en
cambio se debe intentar ajustar o aproximar una curva (función) que permita predecir
valores en puntos para los cuales no se dispone de información, y a su vez sirva como
modelo del comportamiento del sistema.
b b
b b
x0 x1 x2 . . . xn−1 xn
Figura 3.1: problema de interpolación.
Se pueden ajustar funciones de interpolación a una lista de datos siguiendo dos criterios:
ajuste exacto y ajuste por mínimos cuadrados (figura 3.2). Decidir el tipo de ajuste a
utilizar, depende de las necesidades de la investigación u origen de los datos.
49
50 CAPÍTULO 3. INTERPOLACIÓN
b b b b
b b b b
b b
Figura 3.2: tipos de interpolación: ajuste exacto (izquierda) y ajuste por mínimos cuadrados
(derecha).
3.2. Ajuste exacto

Una de las técnicas de interpolación (exacta) para un conjunto de datos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ),
(x2 , y2 ), . . ., (xn , yn ) es la interpolación polinomial, donde se busca un polinomio p(x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn de menor grado posible que contenga a todos los datos
conocidos, es decir, p(xi ) = yi para todo i = 0, 1, . . . , n. Por ejemplo, para los datos
(1, −1), (2, −4) y (3, −9), el interpolador polinomial es p(x) = −x2 dado que no existe un
polinomio de menor grado que contenga a estos puntos. A continuación se presentarán
dos métodos para construir un polinomio de interpolación.
3.2.1. Polinomio de interpolación de Lagrange
Suponer que se tienen n + 1 puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . ., (xn , yn ) con xi 6= xj ,

siempre que i 6= j. Para construir un polinomio de interpolación, se puede realizar lo
siguiente:
Determinar un polinomio `0 (x) que pase por (x0 , 1) y que se anule en x1 , x2 ,. . .,

xn , es decir,
(
1 si j = 0
`0 (xj ) = , para j = 0, 1, 2, . . . , n.
0 si j 6= 0
¿Cómo construir `0 (x)? La primera opción es:

P̃0 (x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn )
Notar que si se evalúa en x1 ,
P̃0 (x1 ) = (x1 − x1 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) · · · (x1 − xn ) = 0,
que se anula porque el primer factor es cero. Ahora, al evaluar en x2 :
P̃0 (x2 ) = (x2 − x1 )(x2 − x2 )(x2 − x3 ) · · · (x2 − xn ) = 0,
3.2. AJUSTE EXACTO 51
lo cual también se anula, dado que el segundo factor es cero. Similarmente, el

polinomio se anula en x3 , x4 , . . . , xn . Ahora, ¿cuánto vale este polinomio en x0 ?
P̃0 (x0 ) = (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) · · · (x0 − xn ) 6= 0,
Aunque es posible concluir que el valor es no nulo, no es posible asegurar que su

valor sea uno. Como un segundo intento se tiene:
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn )
P̃0 (x) = .
(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) · · · (x0 − xn )
Notar que este nuevo polinomio se anula en x1 , en x2 , . . ., xn , por la misma razón

de antes, y cuando se evalúa en x0 se obtiene:
(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) · · · (x0 − xn )

P̃0 (x0 ) = = 1,
(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) · · · (x0 − xn )
con lo cual P̃0 (x) es el polinomio `0 (x) que se deseaba construir.

El comportamiento de este polinomio en los xi es muy particular y por esto tiene
un nombre especial, es uno de los llamados polinomios de Lagrange definido como:
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn )
`0 (x) = ,
(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) · · · (x0 − xn )
y se comporta de la siguiente manera:

(
1 si j = 0
`0 (xj ) = , para j = 0, 1, 2, · · · , n.
0 si j 6= 0
Notar que este polinomio tiene n factores lineales en el numerador, y por tanto `0 (x)
es de grado n. También, por comodidad, se puede expresar en la siguiente forma:
(x − xj )
Yn
`0 (x) =
j=0
(x 0 − xj )
j6=0
Si a partir de `0 (x) se define P0 (x) = y0 `0 (x) entonces:

(
y0 si x = x0
P0 (x) =
0 si x = xj , j = 1, 2, 3, . . . , n
De igual forma se construye P1 (x):
(x − xj )
Yn
P1 (x) = y1 `1 (x) = y1 ,
j=0
(x 1 − x j )
j6=1
o en forma equivalente
(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn )
P1 (x) = y1 ,
(x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) · · · (x1 − xn )
el cual se comporta como:

(
y1 si x = x1
P1 (x) =
0 si x = xj , j = 0, 2, 3, . . . , n
Siguiendo este proceso se construyen P2 , P3 ,· · · , Pn donde para cada i = 0, 1, 2, . . . , n

el polinomio Pi (x) satisface:
(
yi si j = i
Pi (xj ) = , para j = 0, 1, 2, · · · , n.
0 si j 6= i
Se concluye que el polinomio P (x) que interpola todos los n + 1 puntos es la suma de los
Pi , con lo cual se tiene la construcción del polinomio de interpolación de Lagrange:
P (x) = P0 (x) + P1 (x) + · · · + Pn (x) = y0 `0 (x) + y1 `1 (x) + · · · + yn `n (x),
que toma la siguiente forma usando notación de sumas y productos:
(x − xj )
n
X n
X Yn
P (x) = yi `i (x) = yi .
i=0 i=0 j=0
(xi − xj )
j6=i
El grado de P (x) es a lo más n, pues se tiene una suma de términos de grado n.
Ejemplo 20. Encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange que ajusta los datos
(−1, 2), (0, −1), (1, 1) y (2, −2).
Solución: se puede verificar fácilmente que xi = 6 xj si i 6= j. Nombrando a (−1, 2)

como (x0 , y0 ), (0, −1) como (x1 , y1 ) y así sucesivamente, se construyen los polinomios de
Lagrange como sigue.
Primer polinomio:
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x − 0)(x − 1)(x − 2)

`0 (x) = = .
(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (−1 − 0)(−1 − 1)(−1 − 2)
Al operar y simplificar
x(x − 1)(x − 2)
`0 (x) = .
−6
Segundo polinomio:
(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) (x + 1)(x − 1)(x − 2)
`1 (x) = = .
(x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (0 + 1)(0 − 1)(0 − 2)
(x2 − 1)(x − 2)
`1 (x) = .
2
Tercer polinomio:
(x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) (x + 1)(x − 0)(x − 2)
`2 (x) = = .
(x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (1 + 1)(1 − 0)(1 − 2)
x(x + 1)(x − 2)
`2 (x) = .
−2
Cuarto polinomio:
(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) (x + 1)(x − 0)(x − 1)
`3 (x) = = .
(x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) (2 + 1)(2 − 0)(2 − 1)
x(x2 − 1)
`3 (x) = .
6
Al calcular todos los polinomios anteriores, se procede a ensamblar el polinomio de

interpolación de Lagrange con la ecuación P (x) = y0 `0 (x) + y1 `1 (x) + y2 `2 (x) + y3 `3 (x).
Al reemplazar los correspondientes valores se obtiene
x(x − 1)(x − 2) (x2 − 1)(x − 2) x(x + 1)(x − 2) x(x2 − 1)

P (x) = 2 + (−1) +1 + (−2) ,
−6 2 −2 6
de donde, al simplificar se obtiene finalmente
x(x − 1)(x − 2) (x2 − 1)(x − 2) x(x + 1)(x − 2) x(x2 − 1)

P (x) = − − − − .
3 2 2 3
♦
Ejercicios 6
1. Construir el interpolador de Lagrange para aproximar f (0) si f (−2) = −1, f (−1) =

0, f (1) = 2, f (2) = 3.
2. Construir el interpolador de Lagrange para aproximar f (8.4) si f (8.0) = 1.25,
f (8.2) = 1.76, f (8.3) = 1.46, f (8.5) = 1.75.
3. Determinar el polinomio de interpolación de la función f (x) = x3 − 1 en los puntos
x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 2.
4. Si f (x) = cos−1 (x), x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 0.8 y x3 = 1, utilizar el interpolador de

Lagrange para aproximar f (0.65) y comparar con el valor real.
√
5. Utilizar un interpolador de Lagrange para obtener una aproximación de 7 con la
función f (x) = 7x y los puntos x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2.
6. Dados los siguientes datos:
xi yi
0.5 −0.69314
0.8 −0.22314
1.2 0.18232
1.4 0.33647
1.6 0.47000
1.8 0.58778
2.0 0.69314
utilizar el interpolador de Lagrange para estimar la imagen de 0.9 y 1.7.

7. Sea P (x) el polinomio de Lagrange que interpola los puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) y
Q(x) el polinomio de Lagrange que interpola los nodos (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ). Construir
un interpolador, basado en P (x) y Q(x) para (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 )
asumiendo que xi 6= xj para todo i 6= j.
8. Determinar el coeficiente de x3 en el polinomio de interpolación de Lagrange para
los datos (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 5).
9. Determinar la cantidad de divisiones y multiplicaciones necesarias para construir el
polinomio de interpolación de Lagrange de tres puntos.
10. ¿Qué sucede en el proceso de construcción del polinomio de Lagrange, si para
un conjunto de datos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . (xn , yn ) se tiene que xi = xj para algún
i 6= j?
3.2.2. Polinomio de interpolación de Newton
El polinomio de interpolación de Lagrange puede presentar los siguientes inconvenientes:
1. Si el número de puntos a interpolar es grande, el grado del polinomio resultante

puede ser alto y presentar fuertes oscilaciones.
2. Agregar o quitar un punto, implica hacer de nuevo todo el cálculo.
En la propuesta de Newton, primero se hace pasar un polinomio de grado cero por uno de
los puntos, y desde el anterior se construye un polinomio de grado uno que pasa por otro
punto de la lista. Desde los dos últimos puntos, se construye un polinomio de grado dos
que pasa por un tercer punto de la lista y así sucesivamente. De esta manera, se respeta el
trabajo anterior, y no se tienen dificultades para agregar puntos a la lista. A continuación
se describe el proceso en forma detallada para los tres primeros puntos. En la figura 3.3
se muestran algunos puntos de la lista.
y0 b
y2 b
y1 b
y3 b
x0 x1 x2 x3
Figura 3.3: polinomio de interpolación de Newton.
El polinomio P0 (x) se construye de manera que pase exactamente por el punto (x0 , y0 ),
de donde la propuesta más simple es P (x) = P0 (x) = y0 , cuya gráfica se presenta en la
figura 3.4.
y0 b
y2 b
y1 b
y3 b
x0 x1 x2 x3
Figura 3.4: polinomio de interpolación de Newton. Caso constante.
Ahora se construye un nuevo polinomio que pase por (x1 , y1 ), pero que parta de P0 (x).
Este nuevo polinomio de grado uno tiene la forma P1 (x) = P0 (x) + c1 (x − x0 ). Notar que
este nuevo polinomio pasa por (x0 , y0 ) (lo asegura el factor lineal) y se quiere también
pase por (x1 , y1 ), de donde se debe ajustar el valor de la constante c1 .
Como P1 (x) debe interpolar a (x1 , y1 ), al evaluar en x1 debe dar como resultado y1 y por
tanto: P1 (x1 ) = y0 + c1 (x1 − x0 ) = y1 . Al despejar c1 se obtiene:
y1 − y0
c1 = ,
x1 − x0
expresión conocida como diferencia dividida de orden uno y se denota como:

y1 − y0
f [x0 , x1 ] = .
x1 − x0
Para unificar la notación, decimos que y0 = f [x0 ] es una diferencia dividida de orden cero,
y el polinomio de interpolación con dicha notación sería:
P1 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ).
Notar que se utilizó el trabajo hecho con el primer punto. En esta situación, la gráfica se
presenta en la figura 3.5. De igual forma, se construye un polinomio que capture otro punto
y
y0 b
y2 b
y1 b
y3 b
x0 x1 x2 x3
Figura 3.5: polinomio de interpolación de Newton. Primer grado.
más, es decir, que pase por (x0 , y0 ), por (x1 , y1 ) y por (x2 , y2 ) sin perder el trabajo que se
ha hecho hasta el momento. Dado P2 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + c2 (x − x0 )(x − x1 ),
notar que al evaluar en x0 , los dos últimos términos se anulan, quedando solamente P0 (x),
cuyo valor es y0 . Igualmente, al evaluar en x1 , el último término se anula, quedando el
polinomio P1 (x) ya calculado, cuyo valor es y1 cuando se evalúa en x1 .
Para encontrar el coeficiente c2 , se debe tener en cuenta que, evaluar P2 (x) en x2 resulte
en y2 . Al hacer lo anterior, se obtiene: P2 (x2 ) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x2 − x0 ) + c2 (x2 −
x0 )(x2 − x1 ) = y2 . Al despejar y ordenar adecuadamente se obtiene
y2 − y1 y1 − y0
−
x − x1 x1 − x0
c2 = 2 .
x2 − x0
Notar que en el numerador hay diferencias divididas de orden uno y escribiendo en
notación de diferencias, se tiene
f [x1 , x2 ] − f [x0 , x1 ]
c2 = f [x0 , x1 , x2 ] = ,
x2 − x0
expresión llamada diferencia dividida de orden dos. El polinomio de interpolación en
notación de diferencias divididas quedaría
P2 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ).

y0 b
y2 b
y1 b
y3 b
x0 x1 x2 x3
Figura 3.6: polinomio de interpolación de Newton. Segundo grado.
La gráfica de este nuevo resultado se presenta en la figura 3.6.

Similar al procedimiento anterior, se puede inducir la forma para el polinomio de grado
tres que interpola cuatro puntos cuyo comportamiento se ilustra en la figura 3.7.
P3 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
+ f [x0 , x1 , x2 , x3 ](x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )
donde:
f [x1 , x2 , x3 ] − f [x0 , x1 , x2 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] = .
x3 − x0
Al expandir las diferencias divididas de orden dos, se tiene
f [x2 , x3 ] − f [x1 , x2 ] f [x1 , x2 ] − f [x0 , x1 ]
−
x3 − x1 x2 − x0
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] = ,
x3 − x0
y expandiendo a diferencias de primer orden, finalmente el coeficiente c3 se reduce a:
y3 − y2 y2 − y1 y2 − y1 y1 − y0
− −
x3 − x2 x2 − x1 x − x1 x1 − x0
− 2
x3 − x1 x2 − x0
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] = .
x3 − x0
Nota: en este instante, puede existir la sensación que el cálculo de los coeficientes ci es
una tarea dispendiosa y susceptible de errores, pero si los datos se organizan en una tabla,
el cálculo de estos coeficientes es relativamente rápido. Para ver lo anterior, se presenta el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 21. Encontrar el polinomio de interpolación de Newton que ajusta los datos
(−1, 2), (0, −1), (1, 1) y (2, −2).
Solución: se deben calcular las diferencias divididas desde orden cero hasta orden tres
que también se denotan ∆0 , ∆1 , ∆2 y ∆3 en otros contextos. Las diferencias de orden
cero f [xi ], corresponden a los valores yi de los puntos y se tienen en el cuadro 3.1.
y0 b
y2 b
y1 b
y3 b
x0 x1 x2 x3
Figura 3.7: polinomio de interpolación de Newton. Tercer grado.
i xi ∆0
0 −1 2
1 0 −1
2 1 1
3 2 −2
Cuadro 3.1: cálculo de diferencias divididas de orden cero.
f [xi ] − f [xi−1 ]
Para determinar las diferencias de orden uno, se debe calcular f [xi−1 , xi ] =
xi − xi−1
para i = 1, 2, 3. Calculando cada f [xi−1 , xi ] y recordando que f [xj ] corresponde a yj , se
obtienen los resultados del cuadro 3.2.
i xi ∆0 ∆1
0 −1 2
y1 − y0
1 0 −1 f [x0 , x1 ] =
x1 − x0
y2 − y1
2 1 1 f [x1 , x2 ] =
x2 − x1
y3 − y2
3 2 −2 f [x2 , x3 ] =
x3 − x2
Cuadro 3.2: cálculo de diferencias divididas de orden uno.
Al usar los valores numéricos correspondientes, se obtienen los resultados del cuadro 3.3.
Ahora, se agrega una columna con las diferencias de orden dos, que contiene los valores
f [xi−1 , xi ] − f [xi−2 , xi−1 ]
f [xi−2 , xi−1 , xi ] para i = 2, 3. Como f [xi−2 , xi−1 , xi ] = , se
xi − xi−2
tienen entonces los resultados simbólicos en el cuadro 3.4 y los numéricos en el 3.5. Por
i xi ∆0 ∆1
0 −1 2
1 0 −1 −3
2 1 1 2
3 2 −2 −3
Cuadro 3.3: cálculo de diferencias divididas de orden uno.
último, se construye la columna ∆3 , que contiene a los valores de f [x0 , x1 , x2 , x3 ] =

f [x1 , x2 , x3 ] − f [x0 , x1 , x2 ]
. Los resultados se encuentran en los cuadros 3.6 y 3.7.
x3 − x0
i xi ∆0 ∆1 ∆2
0 −1 2
1 0 −1 −3
f [x1 , x2 ] − f [x0 , x1 ]
2 1 1 2 f [x0 , x1 , x2 ] =
x2 − x0
f [x2 , x3 ] − f [x1 , x2 ]
3 2 −2 −3 f [x1 , x2 , x3 ] =
x3 − x1
Cuadro 3.4: cálculo de diferencias divididas de orden dos.
i xi ∆0 ∆1 ∆2
0 −1 2
1 0 −1 −3
5
2 1 1 2 2
3 2 −2 −3 − 25
Cuadro 3.5: cálculo de diferencias divididas de orden dos.

Una vez calculadas todas las diferencias divididas, se procede a escribir el polinomio de
interpolación:
P (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
+ f [x0 , x1 , x2 , x3 ](x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ).
Notar que los valores f [x0 ], f [x0 , x1 ], f [x0 , x1 , x2 ], f [x0 , x1 , x2 , x3 ] corresponden a la dia-
gonal del cuadro 3.7. Al reemplazar los correspondientes valores, se concluye que P (x) =
2 − 3(x + 1) + 52 (x + 1)x − 53 (x + 1)x(x − 1). ♦
i xi ∆0 ∆1 ∆2 ∆3
0 −1 2
1 0 −1 −3
5
2 1 1 2 2
f [x1 , x2 , x3 ] − f [x0 , x1 , x2 ]
3 2 −2 −3 − 52 f [x0 , x1 , x2 , x3 ] =
x3 − x0
Cuadro 3.6: cálculo de diferencias divididas de tercer orden.
i xi yi ∆1 ∆2 ∆3
0 −1 2
1 0 −1 −3
5
2 1 1 2 2
3 2 −2 −3 − 52 − 35
Cuadro 3.7: cálculo de diferencias divididas de tercer orden.
Ahora, de manera general, cuando se tienen n + 1 puntos, el polinomio se puede escribir

como
P (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
+ f [x0 , x1 , x2 , x3 ](x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )
..
.
+ f [x0 , . . . , xn ](x − x0 ) · · · (x − xn−1 ).
Notar que el último término tiene n factores lineales, de donde el polinomio de interpolación
es de grado a lo más n. Una conexión entre el polinomio de interpolación de Lagrange y
el polinomio de Newton se establece en el siguiente teorema, conocido como teorema de
interpolación.
Teorema 6. Dados n + 1 puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) con xi =
6 xj ,
siempre que i =
6 j, si p(x) es un polinomio de grado menor o igual a n tal que p(xi ) = yi
para todo i = 0, 1, . . . , n, entonces p(x) es único.
Demostración. Para la prueba de unicidad se supone que existen dos polinomios p y q

diferentes de grado n o menor, que interpolan los n + 1 puntos, es decir, p(xi ) = yi , al
igual que q(xi ) = yi , para i = 0, . . . , n. Sea r(x) definido como r(x) = p(x) − q(x). Al
evaluar el polinomio r en cada uno de los n + 1 valores xi , se tiene
r(xi ) = p(xi ) − q(xi ) = yi − yi = 0.
Ahora, al sumar dos polinomios de grado n, se tiene un polinomio de grado n o menor. Por
otro lado, un polinomio de grado n tiene a lo más n raíces reales. En estas circunstancias,
la situación presente solo es posible si r es el polinomio cero, y por tanto se concluye que
p(x) = q(x).
Nota: dado el anterior resultado, los polinomios de interpolación de Lagrange y de

Newton son iguales. La diferencia radica en su construcción.
Ejercicios 7
1. Construir el interpolador de Newton para aproximar f (8.4), si f (8.0) = 1.25,

f (8.2) = 1.76, f (8.3) = 1.46, f (8.5) = 1.75.
2. Si f (x) = cos−1 (x), x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 0.8, x3 = 1 utilizar el interpolador de
Newton para aproximar f (0.65) y comparar con el valor real.
√
3. Utilizar un interpolador de Newton para obtener una aproximación de 7 con la
función f (x) = 7x y los nodos x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 y x4 = 2.
4. Si el polinomio de interpolación de Newton para los datos (1, y0 ), (2, y1 ), (3, y2 ),
2
(4, y3 ) es p(x) = −1 + 1(x − 1) − 1(x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 2)(x − 3), determinar
3
el polinomio de interpolación para los datos (1, y0 ), (2, y1 ), (3, y2 ), (4, y3 ) y (5, 1).
5. Construir el interpolador de Newton de un conjunto de datos, si se conoce que la
tabla de diferencias divididas es:
x y ∆1 ∆2 ∆3
−1 4
2 ? 1
1 ? ? −2
−2 ? ? ? −3
6. Completar la siguiente tabla de diferencias divididas:
x y ∆1 ∆2 ∆3
−1 ?
2 4 1
? 2 ? ?
1
−2 −1 1 4 ?
7. Calcular la cantidad total de multiplicaciones y divisiones necesarias para construir

el interpolador de Newton sobre un conjunto de tres datos.
8. Si P (x) es el interpolador de Newton de un conjunto de datos, Q(x) el interpolador de
Lagrange sobre el mismo conjunto de datos entonces, ¿cuál es el valor de P (z)−Q(z),
con z un valor en el conjunto de datos?
3.2.3. Trazadores cúbicos
Un posible problema que pueden presentar los polinomios de interpolación de Lagrange

y Newton, es la posibilidad que el grado del polinomio sea alto, y adicionalmente se
presenten fuertes oscilaciones en puntos muy cercanos.
Una solución es ordenar los puntos xi , y en cada subintervalo [xi , xi+1 ], usar un polinomio
de grado lo más bajo posible. La opción más inmediata es hacer uso de polinomios de
grado cero, pero lo anterior no es aceptable si se desea tener continuidad en la función
resultante. La siguiente opción es polinomios de grado uno, lo que garantiza continuidad
de la función. Aunque esta opción no es mala, el hecho que la primera derivada de la
curva no sea continua, impide describir eventos físicos que requieren continuidad hasta la
segunda derivada. La opción indicada es usar polinomios de tercer grado, lo que conlleva
a la técnica de los trazadores cúbicos.
Para ello, dada una lista ordenada de n + 1 puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . ., (xn , yn ) que
cumplen las hipótesis de interpolación1 , se desea construir una función a trozos


s0 (x) ∀x ∈ [x0 , x1 ]


s1 (x)


∀x ∈ [x1 , x2 ]
S(x) = s2 (x) ∀x ∈ [x2 , x3 ] (3.1)


 ..


 .

sn−1 (x) ∀x ∈ [xn−1 , xn ]
donde los si (x) son n polinomios cúbicos y satisfacen las siguientes condiciones:
1. Condición de interpolación: cada polinomio interpola dos puntos, es decir

si (xi ) = yi , y también si (xi+1 ) = yi+1 . Como son n polinomios, entonces esta
condición ofrece 2n ecuaciones. Notar que está implícito que si−1 (xi ) = si (xi ) = yi ,
asegurando la continuidad del trazador.
2. Condición de la primera derivada: en los puntos internos (n − 1) se debe

asegurar que los polinomios que se encuentran, lleven la misma dirección, es decir
que cumplan s0i−1 (xi ) = s0i (xi ). Esta condición provee n − 1 ecuaciones.
3. Condición de la segunda derivada: también para nodos internos es conveniente

asegurar que los polinomios que se encuentren tengan la misma concavidad en los
nodos, es decir s00i−1 (xi ) = s00i (xi ). Esta condición, al igual que la anterior, provee
n − 1 ecuaciones.
Sumando el número de ecuaciones obtenidas de las condiciones mencionadas con anterio-

ridad, se obtiene:
1 Es decir, xi 6= xj siempre que i 6= j.
2n condición de interpolación
n−1 condición de dirección
+ n−1 condición de concavidad
total 4n − 2 ecuaciones
Como cada polinomio si (x) es de la forma ai + bi x + ci x2 + di x3 , entonces es necesario

calcular 4n coeficientes para construir el trazador S(x), pero se disponen de 4n − 2 ecua-
ciones, y por tanto faltan dos condiciones que ayuden a equilibrar el sistema. Más adelante
se indicará una solución a esta situación. Luego de establecer la forma y condiciones que
debe satisfacer el trazador cúbico, el paso siguiente es realizar su construcción.
Para facilitar la construcción del trazador cúbico, se seleccionan polinomios cúbicos si (x)
de la forma ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 , con lo cual:


 s0 (x) = a0 + b0 (x − x0 ) + c0 (x − x0 )2 + d0 (x − x0 )3 ∀x ∈ [x0 , x1 ]


 s (x) = a1 + b1 (x − x1 ) + c1 (x − x1 )2 + d1 (x − x1 )3 ∀x ∈ [x1 , x2 ]
 1

2 3
S(x) = s2 (x) = a2 + b2 (x − x2 ) + c2 (x − x2 ) + d2 (x − x2 ) ∀x ∈ [x2 , x3 ]


 .
..




sn−1 (x) = an−1 + bn−1 (x − xn−1 ) + cn−1 (x − xn−1 )2 + dn−1 (x − xn−1 )3 ∀x ∈ [xn−1 , xn ]
Ahora, aplicando la condición de interpolación en cada polinomio, se obtiene:
si (xi ) = ai + bi (xi − xi ) + ci (xi − xi )2 + di (xi − xi )3 = yi

si (xi+1 ) = ai + bi (xi+1 − xi ) + ci (xi+1 − xi )2 + di (xi+1 − xi )3 = yi+1 .
Ahora, de la primera ecuación se concluye que ai = yi para todo i = 0, 1, 2, . . . , n − 1, y

si se define hi = xi+1 − xi y se sustituye en la segunda ecuación, se obtiene la relación
ai + bi hi + ci h2i + di h3i = yi+1 .
Para aplicar ahora la condición de la primera derivada, se debe determinar S 0 (x), que en
este caso corresponde a
 0

 s0 (x) = b0 + 2c0 (x − x0 ) + 3d0 (x − x0 )2 ∀x ∈ [x0 , x1 ]

 2
s1 (x) = b1 + 2c1 (x − x1 ) + 3d1 (x − x1 ) ∀x ∈ [x1 , x2 ]
 0

2
S 0 (x) = s2 (x) = b2 + 2c2 (x − x2 ) + 3d2 (x − x2 ) ∀x ∈ [x2 , x3 ]
0


 .
..



 0
sn−1 (x) = bn−1 + 2cn−1 (x − xn−1 ) + 3dn−1 (x − xn−1 )2 ∀x ∈ [xn−1 , xn ]
Asumiendo entonces que s0i+1 (xi+1 ) = s0i (xi+1 ) para i = 0, 1, . . . , n − 2, se tiene que
bi+1 + 2ci+1 (xi+1 − xi+1 ) + 3di+1 (xi+1 − xi+1 )2 = bi + 2ci (xi+1 − xi ) + 3di (xi+1 − xi )2 ,
de donde al simplificar y sustituir xi+1 − xi por hi se concluye que
bi+1 = bi + 2ci hi + 3di h2i .
Para la condición de la segunda derivada, se debe calcular S 00 (x):

 00

 s0 (x) = 2c0 + 6d0 (x − x0 ) ∀x ∈ [x0 , x1 ]


s1 (x) = 2c1 + 6d1 (x − x1 ) ∀x ∈ [x1 , x2 ]
 00

S 00 (x) = s2 (x) = 2c2 + 6d2 (x − x2 ) ∀x ∈ [x2 , x3 ]
00


 .
..



 00
sn−1 (x) = 2cn−1 + 6dn−1 (x − xn−1 ) ∀x ∈ [xn−1 , xn ]
Asumiendo entonces que s00i+1 (xi+1 ) = s00i (xi+1 ) para i = 0, 1, . . . , n − 2, se tiene entonces
ci+1 = ci + 3di hi .
En resumen, para que el trazador cúbico S(x) cumpla las condiciones deseadas, los
coeficientes de los polinomios deben satisfacer las siguientes ecuaciones.
ai = yi (3.2)
ai + bi hi + ci h2i + di h3i = yi+1 (3.3)
bi+1 = bi + 2ci hi + 3di h2i (3.4)
ci+1 = ci + 3di hi (3.5)
Como se indicó al inicio de esta sección, el conjunto anterior contiene 4n − 2 ecuaciones.

Para hallar 4n coeficientes, y por tanto equilibrar el sistema de ecuaciones, se adicionan
las condiciones s000 (x0 ) = 0 y s00n−1 (xn ) = 0, denominadas condiciones de frontera libre o
natural, las cuales son equivalentes a c0 = 0 y cn = cn−1 + 3dn−1 hn−1 = 0.
Ahora, con el objetivo de reducir el sistema de ecuaciones, se realizan las siguientes
consideraciones.
(ci+1 − ci )
Despejar di en la ecuación 3.5 y concluir que di = para i = 0, 1, . . . , n−2.
3hi
Sustituir di en las ecuaciones 3.3 y 3.4 para obtener
h2i
ai+1 = ai + bi hi + (2ci + ci+1 ) (3.6)
3
bi+1 = bi + hi (ci + ci+1 ). (3.7)
Disminuir en una unidad el índice de 3.7
bi = bi−1 + hi−1 (ci−1 + ci ). (3.8)
Al despejar bi de la ecuación 3.6 y reemplazar adecuadamente en 3.8 se obtiene la

siguiente relación válida para i = 1, 2, . . . , n − 1.
3 3
hi−1 ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hi ci+1 = (ai+1 − ai ) − (ai − ai−1 ) (3.9)
hi hi−1
La ecuación (3.9) relaciona los coeficientes ci en un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1

incógnitas. Para construir el trazador cúbico natural de los puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ),. . .,
(xn , yn ), primero se debe resolver el sistema
Ac = s (3.10)
donde:
 
1 0 0 ··· ··· 0
h0
 2(h0 + h1 ) h1 ··· ··· 0 

0 h1 2(h1 + h2 ) h2 ··· 0 
 
 .. .. .. .. .. 
A= .
 . . . . 

 .. .. .. .. .. 
.
 . . . . 

. 
 .. hn−2 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1 
0 ··· ··· 0 0 1
 
c0
 
 c1 
 
 c 
 2 
 . 
c =  .. 
 
 
 .. 
 . 
 
c 
 n−1 
cn
 
0
 3 3 
 (a2 − a1 ) − (a1 − a0 ) 
 
 h1 h0 
 
 
 3 3 
 (a − a ) − (a − a ) 
 3 2 2 1 
 h2 h1 
s= . 
 .. 
 
 .. 
 
 . 
 3 3 
 
 (an − an−1 ) − (an−1 − an−2 )
 hn−1 hn−2 
0
Para terminar, es necesario calcular el valor de bi y di utilizando las ecuaciones di =

(ci+1 − ci ) 1 hi
y bi = (ai+1 − ai ) − (2ci + ci+1 ). El siguiente ejemplo presenta en un
3hi hi 3
caso concreto la construcción un trazador cúbico natural.
Ejemplo 22. Dados los datos (−1, 2), (0, −1), (2, 2), (3, 2) y (7, −1), construir su trazador
cúbico natural asociado.
Solución: lo primero que se debe hacer es ordenar de menor a mayor los puntos por la
coordenada x. Una vez ordenados, se disponen en el cuadro 3.8 y se calculan los elementos
que conformarán el sistema de ecuaciones 3.10.
3 3
i xi ai hi (ai − ai−1 ) − (ai−1 − ai−2 )
hi−1 hi−2
0 −1 2 1
1 0 −1 2 13.5
2 2 2 1 −4.5
3 3 2 4 −2.25
4 7 −1
Cuadro 3.8: cálculo de un trazador cúbico.
Dado lo anterior, el sistema para determinar los coeficientes ci es

    
1 0 0 0 0 c0 0
1 6 2 0 0  c1   13.5
   

0 2 6 1 0 c2  =  −4.5
   
 ,
0 0 1 10 4 c3  −2.25
0 0 0 0 1 c4 0
de donde se concluye que    

c0 0
c1   2.8089
   
c2  = −1.6767 .
   
c3  −0.0573
c4 0
(ci+1 − ci ) 1 hi
Al utilizar las relaciones di = y bi = (ai+1 − ai ) − (2ci + ci+1 ) se obtiene
3hi hi 3
       
d0 0.9363 b0 −3.9363
d1  −0.7476 b1  −1.1273
       
d2  =  0.5398 b2  =  1.1369
       
d3   0.0047 b3  −0.5971
d4 0 b4 0
Conociendo los coeficientes de los polinomios si (x), se construye el trazador cúbico natural.
 3
s0 (x) = 2 − 3.9363(x + 1) + 0.9363(x + 1)


si x ∈ [−1, 0]
s (x) = −1 − 1.1273x + 2.8089x2 − 0.7476x3 si x ∈ [0, 2]
1
S(x) = 2 3
s2 (x) = 2 + 1.1369(x − 2) − 1.6767(x − 2) + 0.5398(x − 2)
 si x ∈ [2, 3]

 2 3
s3 (x) = 2 − 0.5971(x − 3) − 0.0573(x − 3) + 0.0047(x − 3) si x ∈ [3, 7]
3.3. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS 67
♦
Ejercicios 8
1. Construir el trazador cúbico natural para los datos (0, 1), (1, 1) y (2, 7).
2. Para la función f (x) = ln(x), construir el trazador cúbico de los nodos x0 = 1,
x1 = 2, x2 = 3. Luego, estimar la imagen de x = e.
3. Construir el trazador cúbico natural para estimar f (8.4) si f (8.0) = 1.25, f (8.2) =
1.76, f (8.3) = 1.46 y f (8.5) = 1.75.
4. Si f (x) = cos−1 (x), x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 0.8, x3 = 1, utilizar el trazador cúbico
natural para aproximar f (0.65) y comparar con el valor real.
√
5. Utilizar un trazador cúbico natural para obtener una aproximación de 7 con la
función f (x) = 7x y los nodos x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 y x4 = 2.
6. Dado el trazador cúbico natural
(
s0 (x) = 1 + 2x − x3 0≤x≤1
s(x) =
s1 (x) = 2 + b(x − 1) + c(x − 1)2 + d(x − 1)3 1≤x≤2
determinar los valores de b, c y d.

7. Construir el trazador cúbico natural de los datos (1, 1), (−1, −1), (2, 8), (−2, −8).
¿Tiene algo particular este trazador?
8. Dados los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), construir el trazador cúbico natural
asociado y estimar el valor de la derivada en x = 3.
9. Dados los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), construir el trazador cúbico natural
asociado y determinar el valor máximo del interpolador en el intervalo [1, 4].
10. Dado un trazador cúbico natural s(x), ¿a qué equivale s000 (x)?
3.3. Ajuste por mínimos cuadrados

Si lo que se desea es marcar una tendencia, los polinomios de ajuste exacto no son los más
adecuados. Es mejor buscar una curva más simple, que tal vez no contiene la totalidad de
los puntos, pero que pasa cerca de cada uno de ellos como se muestra en la figura 3.8.
3.3.1. Errores
En la búsqueda de encontrar una curva cercana a una serie de puntos, es necesario definir
una manera de medir el error que se comete al seleccionar una función f¯(x). Existen
varias posibilidades.
b b
b b
Figura 3.8: ajuste por mínimos cuadrados.
Error relativo: suponer que se tienen n + 1 puntos puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . ., (xn , yn )
y que estos se ajustan ¯
Pn con la función
¯
f (x). El error relativo que se comete con la función
de ajuste es Er = i=0 yi − f (xi ) . Un problema en esta situación es de compensación,
pues pueden existir errores grandes que al sumarlos con otros de igual magnitud pero de
signo contrario, se cancelen y pareciera que se tiene un pequeño o inclusive nulo error.
Error absoluto: para evitar que el Pnerror
se compense,
se toma el valor absoluto y el
¯
error se puede calcular como Ea = i=0 yi − f (xi ) . Este error presenta dos problemas.

Primero, puede ser que una curva ajuste bien una lista de puntos, pero la suma de errores
pequeños en cada punto puede finalmente arrojar un error grande, y segundo, el hecho
que la función valor absoluto presente problemas de diferenciabilidad.
Error cuadrático: esta manera de medir el error tiene la virtud de no presentar problemas
Pn 2
de diferenciabilidad y se define como Ec = i=0 yi − f¯(xi ) . Además, para valores
2
|yi − f¯(xi )| < 1 se tiene yi − f¯(xi ) ≤ |yi − f¯(xi )|, y por tanto errores “pequeños” se
transforman en valores inclusive menores.
3.3.2. Funciones de ajuste
En la selección de la función de ajuste f¯(x), normalmente se escoge una combinación

lineal de familias de funciones base. Algunas de las familias más utilizadas en la práctica
incluyen:
Monomios: {1, x, x2 , . . .}.
Exponenciales: {1, e±x , e±2x , . . .}.
Exponenciales complejas: {1, e±ix , e±2ix , . . .}.
Funciones seno y coseno: {1, cos x, cos 2x, . . . ; sin x, sin 2x, . . .}.
Cada uno de estos conjuntos se selecciona según la naturaleza de los datos a trabajar. En
la próxima sección se estudian funciones de ajuste f¯(x) que son combinaciones lineales de
la familia de los monomios.
3.3.3. Polinomios de mínimos cuadrados
Cuando se usa la familia de los monomios {1, x, x2 , . . .}, combinaciones lineales de ele-
mentos de esta base producen un polinomio, y el caso más simple es cuando se usan los
primeros dos elementos de la base, obteniéndose polinomios de grado uno. Ahora, la idea
entonces es encontrar una recta a0 + a1 x que pase cerca de los puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ),. . .,
(xn , yn ). Si se observa el error cuadrático E entre la curva f¯(x) = a0 + a1 x y la lista de
puntos, dicha curva presenta un error cuadrático dado por la función de dos variables
n
X
E(a0 , a1 ) = (yi − a0 − a1 xi )2 .
i=0
Ahora la intención es hacer mínimo dicho error, así que hay que buscar dicho valor usando
las técnicas usuales del cálculo vectorial. Para tal efecto, notar que E(a0 , a1 ) es una
función cuadrática y su gráfica corresponde a un paraboloide que se abre hacia arriba.
Luego, tiene un único punto crítico y corresponde a su mínimo absoluto. Para calcular el
punto crítico, se debe determinar cuando el gradiente
∂E ∂E
∇E = i+ j
∂a0 ∂a1
de la función E es el vector nulo. En tal caso se obtienen las dos ecuaciones normales
∂E ∂E
=0 = 0.
∂a0 ∂a1
A continuación se presenta el cálculo detallado de la primera ecuación.

n
!
∂E ∂ X
= (yi − a0 − a1 xi )2 = 0.
∂a0 ∂a0 i=0
Al intercambiar la derivada parcial con la sumatoria
Xn
∂
(yi − a0 − a1 xi )2 = 0,
i=0
∂a 0
y al realizar la derivada se tiene

n
X
2(yi − a0 − a1 xi )(−1) = 0.
i=0
Ahora, al factorizar
n
( )
X
(−2) (yi − a0 − a1 xi ) = 0,
i=0
se obtiene
n
X
(yi − a0 − a1 xi ) = 0.
i=0
Por propiedades de la sumatoria se tiene que

n
X n
X n
X
yi − a0 − a1 xi = 0,
i=0 i=0 i=0
de donde se desprende que

n
X n
X
a1 xi + a0 (n + 1) = yi ,
i=0 i=0
la cual corresponde a la primera ecuación normal.

Razonando de la misma manera, pero derivando E respecto a a1 , se llega a
n
X n
X n
X
a1 x2i + a0 xi = yi xi .
i=0 i=0 i=0
Al tener las dos ecuaciones normales, se llega a un sistema de ecuaciones cuya matriz
aumentada es
 P n Pn P
n 
x2i xi yi xi
 i=0 i=0 i=0 
 
 .
 P n P
n 
xi n + 1 yi
i=0 i=0
El sistema tiene solución única. Al usar la regla de Cramer se desprende que

P P
n n

y x
i i x i
i=0 i=0

P P P P
n y n + 1 (n + 1)
n
yi xi −
n
xi
n
yi
i
a1 = P i=0
=
i=0 i=0
n 2
i=0
(3.11)
n 2 P n
Pn
2
P

i=0
xi xi
(n + 1) xi − xi
i=0
i=0 i=0

P
n x n+1
i
i=0
P
n 2 P n

xi yi xi
i=0 i=0

P n P
n Pn Pn Pn Pn
x y x 2
y − x yi xi
i i i i i
a0 = Pi=0 i=0
=
i=0 i=0 i=0 i=0
n 2 (3.12)
n 2 P n
Pn
2
P

i=0
xi xi
(n + 1) xi − xi
i=0
i=0 i=0

P n
x n + 1
i
i=0
Finalmente, estos son los valores de a0 y a1 que hacen mínimo el error cuadrático.
Ejemplo 23. Encontrar los valores de a0 y a1 que hacen mínimo el error cuadrático
cuando se aproxima la lista (−1, 2), (0, −1), (1, 1) y (2, −2) con un polinomio de grado
uno.
Solución: se organizan los datos en la siguiente tabla y se suma por columnas.
i xi yi x2i yi xi
0 −1 2 1 −2
1 0 −1 0 0
2 1 1 1 1
3 2 −2 4 −4
P
2 0 6 −5
Al reemplazar en las ecuaciones 3.11 y 3.12 para a0 y a1 :
(4)(−5) − (2)(0) −20

a1 = = = −1.0,
(4)(6) − (2) 2 20
(6)(0) − (2)(−5) 10
a0 = = = 0.5.
20 20
Por lo tanto, la función de ajuste es:
f¯(x) = 0.5 − 1.0x.
♦
Cuando la función de ajuste es un polinomio cuadrático, f¯(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , el error
es
n
X 2
E(a0 , a1 , a2 ) = yi − a0 − a1 xi − a2 x2i .
i=0
Ahora el error depende de las constantes a0 , a1 y a2 que se elijan. Para encontrar el valor
de aquellas que minimizan el error cuadrático, se iguala el gradiente al vector nulo y lo
anterior da origen a tres ecuaciones normales:
n
X n
X n
X n
X
a2 x4i + a1 x3i + a0 x2i = yi x2i ,
i=0 i=0 i=0 i=0
n
X n
X n
X n
X
a2 x3i + a1 x2i + a0 xi = yi xi ,
i=0 i=0 i=0 i=0
n
X n
X n
X
a2 x2i + a1 xi + a0 (n + 1) = yi ,
i=0 i=0 i=0
con su correspondiente sistema lineal de ecuaciones en notación de matriz aumentada

 Pn P
n P
n P
n 
x4 x3i x2i yi x2i
 i=0 i i=0 i=0 i=0 
 
 
 P P P P 
 n x3 n
x2i
n
xi
n
yi xi 
 .
 i=0 i i=0 i=0 i=0 
 
 
 Pn P
n Pn 
x2i xi n+1 yi
i=0 i=0 i=0
Si se observa bien esta matriz, se puede notar que contiene al caso de la recta de mínimos
cuadrados, es decir, al sistema del caso anterior. Es más, esta nueva matriz se puede
construir agregando una fila a la izquierda y una columna arriba de la matriz aumentada
del caso anterior teniendo en cuenta que los exponentes de xi crecen hacia la izquierda y
hacia arriba. Sucede igual cuando la función de ajuste es un polinomio de grado tres, es
decir, a la última matriz solo basta agregar una columna a la izquierda y una fila arriba
aumentando los exponentes hacia arriba y hacia la izquierda. De esta forma se puede
generalizar para polinomios de grado n.
3.3.4. Ajuste exponencial
En algunos casos, para los datos {(xi , yi )}i=0 es necesario construir una función de ajuste
n
de la forma f¯(x) = axb . Es necesario encontrar los valores de a y b que hacen mínimo el
Xn
2
error cuadrático E(a, b) = yi − axbi . Aunque al calcular las ecuaciones normales
i=0
rápidamente se observa que es un sistema no lineal, un buen intento para obtener un
sistema lineal es aplicar el logaritmo natural a la función de ajuste. En dicho caso, por
las propiedades de los logaritmos se obtiene
ln f¯(x) = ln a + b ln x.
Si se realizan los cambios F̄ (x) = ln f¯(x), Xi = ln xi , a0 = ln a y a1 = b, se tiene una

reducción del problema exponencial al caso anterior de la recta de mínimos cuadrados
F̄ (X) = a0 + a1 X.
Ejercicios 9
1. Determinar la recta de mínimos cuadrados que corresponde a los datos (−1, 2),
(−2, 3), (1, 2.5) y (−3, 0) y su error cuadrático.
2. Determinar la recta de mínimos cuadrados que corresponde a los datos (10, ln(10)),
(100, ln(100)), (1000, ln(1000)) y (10000, ln(10000)). Luego estimar la imagen de
x = 5000 y comparar con el valor real.
3. Para los datos (1, −1), (2, 1), (3, −1), (4, 1), (5, −1):
Ubicar en los puntos en el plano y dibujar la recta que se considere es la más
cercana a los datos.
Determinar la recta de mínimos cuadrados para los puntos dados.
¿Concuerda la recta de mínimos cuadrados con la esperada?
4. ¿Cuál es la recta de mínimos cuadrados para los datos (1, 2), (1, −1)?
5. Determinar el polinomio cuadrático de mínimos cuadrados que corresponde a los

datos (−1, 2), (−2, 3), (1, 2.5) y (−3, 0).
6. Para los siguientes datos, determinar la función f¯(x) = axb de mínimos cuadrados.
xi yi
0.03 24.8
0.05 12.3
0.07 6.25
0.09 3.12
0.1 0.75
7. Determinar el error cuadrático al aproximar (−1, 2.5), (0.5, −2) y (2, −0.2) con la
1 5 2/3
función f¯(x) = + x .
3 3
8. Si se conoce que el error cuadrático de aproximar (1, 2.5), (2, 3.5), (−1.5, 0) y
(−2, −0.5) con una recta es cero, ¿qué se puede decir acerca de los datos?

Interpolar

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Interpolar

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Interpolar

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Capítulo 3

El problema de interpolar aparece con mucha frecuencia en el trabajo en ciencias e

Figura 3.1: problema de interpolación.

3.2. Ajuste exacto

3.2.1. Polinomio de interpolación de Lagrange

Suponer que se tienen n + 1 puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . ., (xn , yn ) con xi 6= xj ,

Determinar un polinomio `0 (x) que pase por (x0 , 1) y que se anule en x1 , x2 ,. . .,

¿Cómo construir `0 (x)? La primera opción es:

lo cual también se anula, dado que el segundo factor es cero. Similarmente, el

P̃0 (x0 ) = (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) · · · (x0 − xn ) 6= 0,

Aunque es posible concluir que el valor es no nulo, no es posible asegurar que su

Notar que este nuevo polinomio se anula en x1 , en x2 , . . ., xn , por la misma razón

(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) · · · (x0 − xn )

con lo cual P̃0 (x) es el polinomio `0 (x) que se deseaba construir.

y se comporta de la siguiente manera:

Si a partir de `0 (x) se define P0 (x) = y0 `0 (x) entonces:

De igual forma se construye P1 (x):

el cual se comporta como:

Siguiendo este proceso se construyen P2 , P3 ,· · · , Pn donde para cada i = 0, 1, 2, . . . , n

P (x) = P0 (x) + P1 (x) + · · · + Pn (x) = y0 `0 (x) + y1 `1 (x) + · · · + yn `n (x),

que toma la siguiente forma usando notación de sumas y productos:

El grado de P (x) es a lo más n, pues se tiene una suma de términos de grado n.

Solución: se puede verificar fácilmente que xi = 6 xj si i 6= j. Nombrando a (−1, 2)

(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x − 0)(x − 1)(x − 2)

Al calcular todos los polinomios anteriores, se procede a ensamblar el polinomio de

x(x − 1)(x − 2) (x2 − 1)(x − 2) x(x + 1)(x − 2) x(x2 − 1)

x(x − 1)(x − 2) (x2 − 1)(x − 2) x(x + 1)(x − 2) x(x2 − 1)

1. Construir el interpolador de Lagrange para aproximar f (0) si f (−2) = −1, f (−1) =

4. Si f (x) = cos−1 (x), x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 0.8 y x3 = 1, utilizar el interpolador de

utilizar el interpolador de Lagrange para estimar la imagen de 0.9 y 1.7.

3.2.2. Polinomio de interpolación de Newton

El polinomio de interpolación de Lagrange puede presentar los siguientes inconvenientes:

1. Si el número de puntos a interpolar es grande, el grado del polinomio resultante

Figura 3.3: polinomio de interpolación de Newton.

Figura 3.4: polinomio de interpolación de Newton. Caso constante.

expresión conocida como diferencia dividida de orden uno y se denota como:

P1 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ).

Figura 3.5: polinomio de interpolación de Newton. Primer grado.

P2 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ).

Figura 3.6: polinomio de interpolación de Newton. Segundo grado.

La gráfica de este nuevo resultado se presenta en la figura 3.6.

Figura 3.7: polinomio de interpolación de Newton. Tercer grado.

Cuadro 3.1: cálculo de diferencias divididas de orden cero.

Cuadro 3.2: cálculo de diferencias divididas de orden uno.

Cuadro 3.3: cálculo de diferencias divididas de orden uno.

último, se construye la columna ∆3 , que contiene a los valores de f [x0 , x1 , x2 , x3 ] =

Cuadro 3.4: cálculo de diferencias divididas de orden dos.

Cuadro 3.5: cálculo de diferencias divididas de orden dos.

Cuadro 3.6: cálculo de diferencias divididas de tercer orden.

Cuadro 3.7: cálculo de diferencias divididas de tercer orden.

Ahora, de manera general, cuando se tienen n + 1 puntos, el polinomio se puede escribir

Demostración. Para la prueba de unicidad se supone que existen dos polinomios p y q

Nota: dado el anterior resultado, los polinomios de interpolación de Lagrange y de

1. Construir el interpolador de Newton para aproximar f (8.4), si f (8.0) = 1.25,

6. Completar la siguiente tabla de diferencias divididas:

7. Calcular la cantidad total de multiplicaciones y divisiones necesarias para construir

3.2.3. Trazadores cúbicos

Un posible problema que pueden presentar los polinomios de interpolación de Lagrange