Unidad 8: Diseño de sistemas de control en el espacio de estados.

Los métodos de diseño por LGR y frecuencia tienen el inconveniente de que luego de diseñar por ubicación
del par de polos dominantes de segundo orden no sabemos exactamente el efecto de los polos de orden
superior.

Asignación de polos.
En el diseño del locus de raíz, colocamos solo los
polos de lazo cerrado dominantes en las
ubicaciones deseadas,
1. Limitado a sistemas de una entrada y una salida : El método
del lugar de las raíces se aplica principalmente a sistemas de control con una
única entrada y una única salida. No es directamente aplicable a sistemas
multivariables con múltiples entradas y salidas.

en el diseño de colocación de polos,

mientras que

colocamos todos los polos de lazo cerrado en

las ubicaciones deseadas.
 En el enfoque convencional para el diseño de un sistema de control de una sola entrada y salida
única, diseñamos un controlador (compensador) de modo que los polos dominantes en lazo cerrado
tengan una relación de amortiguamiento deseada ζ y una frecuencia natural no amortiguada deseada
ωn.

En este enfoque, el orden del sistema puede elevarse en 1 o 2 a menos

que se produzca la cancelación de polo a cero. El presente enfoque de colocación
de polos especifica todos los polos de lazo cerrado. (Sin embargo, existe un costo asociado con la colocación
de todos los polos de lazo cerrado porque la colocación de todos los polos de lazo cerrado requiere
mediciones exitosas de todas las variables de estado o requiere la inclusión de un observador de estado en el
sistema).

Otro requisito es que el

sistema debe ser completamente
controlable por el estado.
Considere un sistema de control

Elegimos la señal de control para ser

Esto significa que la señal de control u está determinada por

un estado instantáneo.
Tal esquema se llama retroalimentación del estado. La matriz 1 x n K se llama matriz de ganancia de
realimentación de estado. Un diagrama de bloques para este sistema se muestra en la Figura 10-1.

Este sistema de circuito cerrado no tiene entrada.

En términos prácticos, tener una entrada cero implica que no se están aplicando
fuerzas, señales o perturbaciones externas al sistema en ese momento. Puede ser
el resultado de una decisión de diseño, una condición de operación específica o
una etapa inactiva en el funcionamiento del sistema.
Su objetivo es mantener la salida cero.
Debido a las perturbaciones que pueden estar
presentes, la salida se desviará de cero.
La salida distinta de cero se devolverá a la entrada de
referencia cero debido al esquema de realimentación de
estado del sistema.

Tal sistema donde la entrada de referencia

es siempre cero se llama un sistema
regulador. (Tenga en cuenta que si la entrada de
referencia al sistema es siempre una constante distinta
de cero, el sistema también se denomina sistema
regulador).
Figura 10-1
Sistema de control de circuito cerrado con

Sustituyendo la ecuación (10-2) en la equacion (10-1) tenemos

la solución a esta ecuación esta dada por

donde x (0) es el estado inicial causado por perturbaciones externas.

Los valores propios de la matriz A-BK se llaman polos reguladores.

Si estos polos reguladores se colocan en el plano de la

mitad izquierda, entonces x (t) se acerca a 0 cuando t se
acerca al infinito.

El problema de colocar los polos del regulador (polos de

lazo cerrado) en la ubicación deseada se denomina
problema de colocación de polos.
La colocación de polos arbitraria para un sistema dado es posible solo si el sistema es completamente
controlable por el estado.

Si el sistema no es completamente controlable por el estado, entonces hay valores propios de la matriz A que
no pueden ser colocados arbitrariamente.

Por lo tanto, para colocar los valores propios de la matriz A-BK arbitrariamente, el sistema debe ser
completamente controlable por el estado (condición necesaria).
 consiste en
El diseño mediante realimentación de estados para ubicación de polos de lazo cerrado

igualar la ecuación característica de un sistema en

lazo cerrado, con una ecuación característica deseada
y luego hallar los valores de las ganancias de
realimentación.
Siempre es conveniente representar al sistema en la FCC para facilitar el diseño de las ganancias de
realimentación.
Note: If the system is not completely controllable, matrix K cannot be determined.

 Representar la planta en la FCC (primero chequear la controlabilidad del sistema).

 2) Realimentar cada variable de estado a la entrada mediante una ganancia.

 3) Hallar la EC del sistema de lazo cerrado representado en el paso 2.
 4) Determinar todas las ubicaciones de polos de lazo cerrado y establecer una ecuación característica
equivalente.
 5) Determinar la matriz K (A partir de la matriz de transformación a la FCC – Sustitución directa –
Formula de Ackerman)

Sustitución directa (n≤3): La ecuación característica del sistema (original) es

Ahora formamos el sistema en lazo cerrado al realimentar cada variable de estado a u

La matriz del sistema de lazo cerrado es:

La EC anterior corresponde al denominador de la FT de lazo cerrado.

Supongamos la ecuación característica deseada para una apropiada ubicación de polos como:

igualando coefincientes
El paso siguiente es encontrar el numerador de la FT de lazo cerrado.
Para los sistemas en la FCC el numerador está formado por los coeficientes de C (en la FCC).

Se puede concluir que los numeradores de las FT son iguales.

Si el sistema ha sido transformado a la FCC previamente, la matriz K debe ser transformada para obtener los
coeficientes reales para el sistema.

Fórmula de Ackermann: Si el sistema es completamente controlable

La ecuación (10-18) se conoce como la fórmula de Ackermann para la determinación de la matriz de ganancia
de realimentación de estado K
Nota: Los αi son los de la EC de los polos deseados
Al determinar la matriz K de ganancia de realimentación de estado para un sistema dado, es deseable
examinar mediante simulaciones por computadora las características de respuesta del sistema para varias
matrices diferentes K (basadas en varias ecuaciones características deseadas diferentes) y elegir la que da la
mejor rendimiento general del sistema En un servo sistema, mediante una elección adecuada de un conjunto
de variables de estado, es posible elegir que la salida sea igual a una de las variables de estado.
Observadores de estado.
Un observador o estimador se utiliza para calcular las variables de
estado que no son accesibles desde la planta.
Para ello el sistema debe satisfacer la condición de observabilidad.
Si el observador de estado observa todas las variables de estado del sistema, independientemente de si
algunas variables de estado están disponibles para la medición directa, se denomina observador de estado de
orden completo.
Un observador que estima menos de n variables de estado, donde n es la
dimensión del vector de estado, se denomina observador de estado de
orden reducido.
Si el orden del observador de estado de orden reducida es el mínimo posible, el observador se llama un
observador de estado de orden mínimo.

El observador es un subsistema para reconstruir

el vector de estado de la planta.
El modelo matemático del observador es básicamente el
mismo que el de la planta, excepto que incluimos un término
adicional que incluye el error de estimación para compensar
las inexactitudes en las matrices A y B y la falta del error
inicial.
El error inicial es la diferencia entre el estado inicial y el estado estimado inicial.

El objetivo es hacer que el tiempo de respuesta del observador sea más rápido que el
del sistema controlado.
Para aumentar la velocidad de convergencia entre los estados real y estimado,
usamos la realimentación.
El diseño del observador consiste en evaluar el vector L de modo que la respuesta transitoria del observador
sea más rápida que la respuesta del lazo controlado para obtener rápidamente una estimación actualizada del
vector de estados.
Metodología de diseño:
Primero se deben encontrar las ecuaciones de estado para el error, luego hallar la ecuación característica
para el sistema de error y luego evaluar la L necesaria para satisfacer una respuesta transitoria rápida para el
observador.

El diseño consiste en despejar los valores de L para obtener una respuesta o ecuación característica
deseada.
Ahora seleccionamos los valores característicos del observador para obtener estabilidad y una respuesta
transitoria deseada que sea más rápida que la respuesta controlada de lazo cerrado.
Los valores propios deseados de la ecuación característica deben elegirse de modo que el observador de
estado responda al menos dos a cinco veces más rápido que el sistema de circuito cerrado considerado.
Dada una planta de orden n representada en la FCO, los ai son los coeficientes de los polinomios de la EC de
A (original)

Nota: Las transformaciones a la FCC o a la FCO se realizan sólo cuando el orden n es alto.
Con la fórmula de Ackermann (En este caso L=Ke):

Como se dijo anteriormente, la matriz de ganancia del observador estatal está dada por , donde
está dada por la ecuación (10-64). Así
Si se trata de incógnitas significativas, la señal de retroalimentación a través de la matriz L debería ser
relativamente grande. Sin embargo, si la señal de salida está contaminada significativamente por
perturbaciones y ruidos de medición, entonces la salida y no es confiable y la señal de retroalimentación a
través de la matriz L debería ser relativamente pequeña.
Es importante tener en cuenta que si el ruido del sensor es considerable, podemos elegir que los polos del
observador sean más lentos que dos veces los polos del controlador, de modo que el ancho de banda del
sistema disminuirá y suavizará el ruido. En este caso, la respuesta del sistema estará fuertemente
influenciada por los polos del observador. Si los polos del observador están ubicados a la derecha de los
polos del controlador en el plano de la mitad izquierda, la respuesta del sistema estará dominada por los polos
del observador en lugar de por los polos de control.
Efectos de la adición del observador en un sistema de
bucle cerrado:
En la práctica, sin embargo, el estado real x (t) puede no ser medible, por lo que necesitaremos diseñar un
observador y usar el estado observado para la retroalimentación como se muestra en la figura 10-12. El
proceso de diseño, por lo tanto, se convierte en un proceso de dos etapas, la primera etapa es la
determinación de la matriz K de ganancia de retroalimentación para producir la ecuación característica
deseada y la segunda etapa es la determinación de la matriz de ganancia del observador para ecuación
característica del observador.

Considere el sistema totalmente controlable y completamente observable definido por las ecuaciones

Para la base de control de retroalimentación del estado, observe el estado observado

Con este control la ecuación de estado se convierte

La diferencia entre el estado real x (t) y el estado observado se ha definido como el error e (t):

La sustitución del vector de error e (t) en la ecuación 10-67 da

Combinando las ecuaciones 10-68 y 10-69, obtenemos

La ecuación 10-70 describe la dinámica del sistema de control de realimentación de estado observado. La
ecuación característica para el sistema es
Observe que los polos de circuito cerrado del sistema de control de realimentación de estado observado
consisten en los polos debido al diseño de colocación de polos solo y los polos debido únicamente al diseño
del observador. Se pueden diseñar por separado y combinar para formar el sistema de control de
realimentación de estado observado.
Función de transferencia del controlador basado en el observador:

Considere la planta definida por

Suponga que la planta es completamente observable. Supongamos que utilizamos el control de
retroalimentación de estado observado . Entonces, la ecuación para el observador está dada por

Al hablar de la transformada de Laplace de la ecuación 10-71, asumiendo una condición inicial cero y
resolviendo para , obtenemos
Sustituyendo esto en la transformada de Laplace de la ecuación 10-72, obtenemos

Entonces las funciones de transferencia se pueden descargar como

La Figura 10-13 muestra la representación del diagrama de bloques para el sistema. Observe la función de
transferencia

Actúa como un controlador para el sistema. Por lo tanto, llamamos a la función de transferencia

La función de transferencia del controlador basada en el observador o, simplemente, la función de

transferencia del controlador del observador.
 1. Diseño de sistemas reguladores con observadores.
En estos sistemas, la entrada de referencia es cero. Usaremos el siguiente procedimiento de diseño:
 Derive un modelo de espacio de estado de la planta
 Elija los polos de lazo cerrado deseados para la colocación del polo. Elija los polos de observación
deseados.
 Determine la matriz de ganancia de realimentación de estado K y la matriz de ganancia del observador

 Usando las matrices de ganancia K y obtenidas en el paso 3, deriva la función de transferencia del
controlador del observador. Si se trata de un controlador estable, verifique la respuesta a la condición
inicial dada. Si la respuesta no es aceptable, ajuste la ubicación del polo de bucle cerrado y / o la
ubicación del polo observador hasta que se obtenga una respuesta aceptable

Al diseñar los sistemas de regulación, tenga en cuenta que si los polos del controlador dominante se colocan
lejos a la izquierda del eje jω, los elementos de la matriz de ganancia de realimentación de estado K serán
grandes. Los grandes valores de ganancia harán que la salida del actuador se vuelva grande, de modo que la
saturación pueda tener lugar. Entonces el sistema diseñado no se comportará como está diseñado. Además,
colocando los polos del observador lejos a la izquierda del eje jω, el controlador del observador se vuelve
inestable, aunque el sistema de circuito cerrado es estable. Un controlador de observador inestable no es
aceptable.
 2. Diseño de sistemas de control con observadores.
En esta sección consideramos el diseño de sistemas de control con observadores cuando los sistemas tienen
entradas de referencia o entradas de comando. La salida del sistema de control debe seguir la entrada que
varía con el tiempo. Dos de estas configuraciones se muestran en las Figuras 10-26 (a) y (b)

Caso (a): en este sistema, la entrada de referencia simplemente se agrega en el punto de suma. En lo que
sigue, primero diseñamos un sistema regulador. Luego, usando el controlador del observador diseñado,
simplemente agregamos la entrada de referencia r en el punto de suma.
Caso (b): el controlador del observador se coloca en la ruta de retroalimentación. La entrada r se introduce en
el sistema de circuito cerrado a través de la caja con ganancia N.

La primera configuración, que coloca al controlador del observador en la ruta de prealimentación,

generalmente proporciona un sobreimpulso bastante grande. La segunda configuración, que coloca al
controlador del observador en la ruta de realimentación, proporciona un sobreimpulso menor.
Resumen del método de diseño del estado-espacio:
 Al diseñar un sistema que utiliza el enfoque de colocación de polos, se deben considerar varios
conjuntos diferentes de polos de bucle cerrado, comparar las características de respuesta y elegir el
mejor.
 El ancho de banda del controlador del observador es generalmente grande, porque elegimos los polos
del observador muy a la izquierda en el plano s. Un gran ancho de banda pasa ruidos de alta
frecuencia y causa el problema de ruido.
 3. Sistema regulador óptico cuadrático.
4.

Una ventaja del método de control óptimo cuadrático sobre el método de colocación de polos es que el
primero proporciona una forma sistemática de calcular la matriz de ganancia de control de realimentación de
estado.
Ahora consideraremos el problema óptimo del regulador que, dada la ecuación del sistema
determina la matriz K del vector de control óptimo

para minimizar el índice de rendimiento

donde Q es una matriz positiva o semiprefleja positiva o semiefinida, y R es una matriz positiva o hermitiana
real o positiva simétrica. Tenga en cuenta que el segundo término en el lado derecho de la ecuación (10-114)
representa el gasto de la energía de las señales de control. Las matrices Q y R determinan la importancia
relativa del error y el gasto de esta energía.

Sustituyendo la Ecuación (10-113) en la Ecuación (10-112), obtenemos

En las siguientes derivaciones, suponemos que la matriz A-BK es estable, o que los valores propios de A-BK
tienen partes reales negativas. Sustituyendo la ecuación (10-113) en los rendimientos de la ecuación (10-114)

Vamos a usar
Donde P es una matriz positiva definida positiva o hermética. Entonces obtuvimos

Comparando ambos lados de esta última ecuación y observando que esta ecuación debe ser cierta para
cualquier X, requerimos que

Por lo tanto, nuestro procedimiento consiste en determinar los elementos de P de la ecuación (10-115) y ver si
es positiva definida (más de una matriz P puede satisfacer esta ecuación). El índice de rendimiento J se
puede evaluar como

Como se supone que todos los valores propios de tienen partes reales negativas, tenemos
. Por lo tanto, obtenemos
Por lo tanto, el índice de rendimiento J se puede obtener en términos de la condición inicial X (0) y P.
Para obtener la solución al problema de control óptimo cuadrático, procedemos de la siguiente manera: ya
que se ha supuesto que R es una matriz positiva o hermitiana definida positiva, podemos escribir
donde T es una matriz no singular. Entonces la ecuación (10-115) se puede escribir como
Que puede ser reescrito como

La minimización de J con respecto a K requiere la minimización de

 con respect de K
Como esta última expresión no es negativa, lo mínimo ocurre cuando es cero, o cuando
por lo tanto

La ecuación (10-117) da la matriz óptima K. Por lo tanto, la ley de control óptimo para el problema de control
óptimo cuadrático cuando el índice de rendimiento está dado por la ecuación (10-114) es lineal y está dada
por
La matriz P en la ecuación (10-117) debe satisfacer la ecuación (10-115) o la siguiente ecuación reducida:

La ecuación (10-118) se llama ecuación de Riccati de matriz reducida. Los pasos de diseño se pueden
establecer de la siguiente manera:
 Resuelva la ecuación 10-118, la ecuación de Riccati de matriz reducida, para la matriz P. [Si existe una
matriz definida positiva P (ciertos sistemas pueden no tener una matriz definida positiva P), el sistema
es estable, o la matriz es estable.]
 Sustituye esta matriz P en la ecuación 10-117. La matriz resultante K es la matriz óptima.
Tenga en cuenta que si la matriz A-BK es estable, el presente método siempre da el resultado correcto.
Finalmente, tenga en cuenta que si el índice de rendimiento se da en términos del vector de salida en lugar
del vector de estado, es decir,

Entonces el índice se puede modificar usando la ecuación de salida a

y los pasos de diseño presentados en esta sección se pueden aplicar para obtener la matriz óptima K.
 Dado cualquier estado inicial , el problema óptimo del regulador es encontrar un vector de
control permisible que compruebe el estado a la región deseada del espacio de estado y para el
cual se minimiza el índice de rendimiento. Para la existencia de un vector de control óptimo , el
sistema debe ser completamente controlable por el estado
 El sistema que minimiza (o maximiza, según sea el caso) el índice de rendimiento seleccionado es, por
definición, óptimo. Aunque el controlador puede no tener nada que ver con la "optimalidad" en muchas
aplicaciones prácticas, lo importante es que el diseño basado en el índice de rendimiento cuadrático
produce un sistema de control estable
 5. Sistemas de control robusto.
La teoría de control robusto utiliza la suposición de que los modelos que usamos en el diseño de sistemas de
control tienen errores de modelado. Básicamente, la teoría supone que existe una incertidumbre o error entre
la planta real y su modelo matemático e incluye dicha incertidumbre o error en el proceso de diseño del
sistema de control.
Los sistemas diseñados basados en la robusta teoría de control tendrán las siguientes propiedades:
 Estabilidad robusta: el sistema de control diseñado es estable en presencia de perturbación.
 Rendimiento sólido: el sistema de control presenta características de respuesta predeterminadas en
presencia de perturbación.
Elementos inciertos en la dinámica de las plantas:

El término incertidumbre se refiere a las diferencias o errores entre el modelo de la planta y la planta real.
Los elementos inciertos que pueden aparecer en los sistemas prácticos se pueden clasificar como
incertidumbre estructurada e incertidumbre no estructurada. Un ejemplo de incertidumbre estructurada es
cualquier variación paramétrica en la dinámica de la planta, como las variaciones en polos y ceros de la
función de transferencia de la planta. Los ejemplos de incertidumbre no estructurada incluyen la incertidumbre
dependiente de la frecuencia, como los modos de alta frecuencia que normalmente descuidamos al modelar la
dinámica de la planta.
Norma. La norma de un sistema de salida única de entrada única estable es el factor de
amplificación más grande posible de la respuesta de estado estable a la excitación sinusoidal. Para un escalar
da el valor máximo de . Se llama la norma . Ver figura 10-41- En la teoría de
control robusta, medimos la magnitud de la función de transferencia por la norma. Supongamos que la función
de transferencia es correcta y estable. [Tenga en cuenta que una función de transferencia se
llama adecuada si es limitada y definida. Si , se llama estrictamente apropiado.]