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Trabajo de Matemáticas (La Cateriana)
Trabajo de Matemáticas (La Cateriana)
Trabajo de Matemáticas (La Cateriana)
MATEMÁTICAS Y A LA
ARQUITECTURA
ÍNDICE
2. Propiedades de la catenaria.
4. La catenaria y la parábola.
PROPIEDADES DE LA CATENARIA
- Es una curva que se forma cuando una cuerda sujeta por sus dos extremos se
curva bajo su propio peso.
- Se puede representar matemáticamente mediante una función y una ecuación
diferencial.
- Su forma depende de la distancia entre los puntos de sujeción de la cuerda, la
longitud de la cuerda y la densidad de la cuerda.
- Es una curva cóncava hacia arriba.
- Es simétrica respecto a un eje que pasa por los puntos de sujeción de la cuerda.
- Su altura máxima se encuentra en el centro de la curva.
- Su curvatura es constante en cualquier punto de la curva.
- Su curvatura es inversamente proporcional a la distancia entre los puntos de
sujeción de la cuerda.
- Su longitud es más corta que la longitud de la cuerda.
- Se puede utilizar en la construcción de puentes colgantes, en la ingeniería civil
y en la mecánica de sistemas suspendidos.
DEFINICIÓN MATEMÁTICA
Como ya hemos definido catenaria es una curva que se forma cuando una
cadena o un cable se cuelga de dos puntos fijos y se deja libre de carga. Las
matemáticas detrás de la catenaria son interesantes y tienen muchas aplicaciones
prácticas.
La forma de una catenaria se puede describir mediante una ecuación
matemática conocida como la ecuación de la catenaria. Esta ecuación se puede
derivar a partir de la ley de la gravitación universal de Newton y la segunda ley de
Newton. La ecuación de la catenaria se puede escribir como:
y = a cosh(x/a)
En esta ecuación, "y" es la altura de la catenaria sobre el suelo, "x" es la
distancia horizontal desde uno de los puntos de anclaje y "a" es la distancia vertical
desde el punto de anclaje hasta el punto más bajo de la catenaria.
La forma de una catenaria también se puede describir mediante una curva
hiperbólica, que se puede dibujar utilizando una gráfica de coordenadas cartesianas.
La curva hiperbólica se puede dibujar mediante el uso de una fórmula matemática
conocida como la ecuación de la hipérbola. Esta ecuación se puede escribir como:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
En esta ecuación, "x" y "y" son las coordenadas de cada punto en la gráfica,
"a" es la distancia horizontal entre los dos puntos de anclaje y "b" es la distancia
vertical desde el punto de anclaje hasta el punto más bajo de la catenaria.
La catenaria también se puede describir mediante una curva paramétrica, que
se puede dibujar utilizando una gráfica de coordenadas polares. La curva paramétrica
se puede dibujar mediante el uso de fórmulas matemáticas conocidas como
ecuaciones paramétricas. Estas ecuaciones se pueden escribir como:
x = a sinh(t) y = a cosh(t)
En estas ecuaciones, "x" y "y" son las coordenadas de cada punto en la gráfica,
"a" es la distancia vertical desde el punto de anclaje hasta el punto más bajo de la
catenaria y "t" es el parámetro que se utiliza para describir la curva.
Las matemáticas detrás de la catenaria son importantes porque se utilizan en
muchas aplicaciones, si tomamos como punto mínimo el punto (0, h) la función
resultante de la catenaria sería tal que:
𝑥 ℎ 𝑥
𝑦 = ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑠ℎ = ∙ (𝑒 𝑥/ℎ + 𝑒 −ℎ )
ℎ 2
𝑑𝑦 𝑤.𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑦 𝑤 𝑑2 𝑦
= 𝑡𝑔𝜃 = = = √1 + ( )2 =
𝑑𝑥 𝑇0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑇𝑜 𝑑𝑥 2
𝑥
𝑦 = 𝑎 cosh( ) .
𝑎
Además si utilizamos el eje x como charnela y la rotamos el resultado será
una figura en 3 dimensiones conocida como catenoide, primera superficie mínima
descubierta tras el plano . Una superficie mínima es una figura bidimensional que
localmente minimiza su área, es decir que su curvatura media es nula.
LA CATERIANA Y LA PARÁBOLA
La hasta ahora nombrada catenaria, de fórmula 𝑦 = cosh(𝑥), es la geometría
óptima para sostener una estructura que no tiene que sostener ninguna externa, es
decir, para soportar su propio peso. Como se ha mencionado, la curva 𝑦 = cosh(𝑥)
se obtiene al sostener una cadena de sus extremos. Sin embargo, si a esta cadena se
le cuelga una carga, por ejemplo, una tabla, se obtiene una nueva función cuya
geometría es óptima para sostener cargas, la parábola.
Definiendo parábola, se puede decir que es una curva abierta cuyos puntos son
equidistantes a una recta y un punto, ambos fijos, constituida por dos ramas
simétricas respecto a un eje que para por su vértice, siendo además resultante del
corte a un cono circular recto por un plano paralelo a la generatriz. Su función más
básica es 𝑦 = 𝑥 2 .
1. (Izquierda) Oceanográfica de
Valencia; Félix Candela, José
María Tomás Llavador, Alberto
Domingo y Carlos Lázaro.
2. (Derecha) Capilla de Palmira,
Félix Candela.
IMPLEMENTACIÓN EN LA ARQUITECTURA
Este tipo de estructuras , tanto catenarias como catenoides , son comunes en
la naturaleza. Esto debido a que ambas funciones están especificamente diseñadas
para reapartir las fuerzas de forma mínima , esto lo que implica es que de manera
natural aparezcan como recursos para consumir los menores niveles de energía .
Esto es observable tanto en la biología como en la propia física, pues el
universo siempre trata de mantener una energía estable , o lo que es lo mismo unos
niveles bajos de entriopía.
Algunos ejemplos de esto son : las telas de araña o los ácidos nuecleicos (ADN
o RNA) o los catenoides que forman en los horizontes de los agujeros negros.
Como ya sabemos las catenarias han estado presentes mucho antes que la
humanidad , y una vez el sedentado el ser humano ya empezó a aplicar esta función
intuitivamente a sus construcciones. Pese a que fue Hooke el que definió la analogía
entre arco y catenaria, los arcos catenarios ( que en definitiva son catenarias
invertidas ) se usaban ya desde la antigüedad , algunos ejemplos de ello son los iglús
de los esquimales , la arquitectura tradicional de Sudán o el gran arco de Tak-i Kisra
en Persia (del que de toda la cubierta solo se conserava el arco por su magnífica
restribución de fuerzas ) o la cúpula de la catedral de Florencia .
Hay muchas obras arquitectónicas modernas que utilizan catenarias en su
diseño, algunos ejemplos incluyen:
- El Puente de la Bahía de San Francisco: Este famoso puente usa cables
tensados para sostener el trablero de caminar y la estructura del puente. Los
cables se cuelgan de dos puntos fijos y forman una catenaria.
- Estadio de Wembley: Este estadio de fútbol tiene una cuebierta de catenaria
que cubre todo el estadio. La cubierta de catenaria permite cubrir grandes
espacios sin necesidad de sopoerte intermedios, lo que la convierte en una
solución ideal para estadios y otras grandes estrcuturas.
- El Centro de Convenciones de Dubai: Este impresionante edificio tiene una
cubierta curvada y estructuras de cables que se asemejan a una catenaria. La
cubierta de catenaria es atractiva y también es estructuralmente fuerte y
resistente a los terremotos y otras fuerzas externas.
- Edificio Tsinghua Ocean Center: Este edificio de oficinas en China tien una
estructura de acero que se asemeja a una catenaria. La estructura es
especialmente fuerte y resistente frente a los terremotos y otras fuerzas
externas.
ANTONIO GAUDÍ
Antoni Gaudí i Cornet fue un arquitecto catalán que implementó diferentes
geometrías óptimas de las mencionadas con anterioridad, siendo uno de los primeros
en hacerlo en el mundo occidental. Basándose en las cargas que debía soportar una
estructura, Gaudí utilizó a lo largo de su obra catenarias, parábolas y paraboloides
de revolución, entre muchas otras.
Desde sus comienzos, utilizó de manera sistemática los arcos parabólicos y
“catenarios”, saliéndose de lo común hasta ese entonces, es decir, de los arcos
derivados de formas circulares. El arquitecto se basó en las ideas de Robert Hooke,
el cual afirmó que la forma ideal de un arco era “del mismo modo que cuelga el hilo
flexible, así, pero invertido se sostendrá el arco rígido” (Ut pendet continuum flexile,
sic stabit contiguum rigidum inversum) (Hooke, 1676)
Galería de arcos
parabólicos en el
colegio
Alberto Rodríguez Barrios, Alejandro Santana Flebes, Javier Pérez Galcerán y Chedey Gabriel Artiles Ruiz