Matematikai analízis

A lap ellenőrzött változata (ellenőrizve: 2016. július 4.) ezen a változaton alapul.

Az analízis vagy függvénytan a matematika egyik részterülete, amely a függvények vizsgálatával (analízisével) foglalkozik.

Fő területei például a numerikus, komplex és a valós analízis, ezen belül a differenciálszámítás, az integrálszámítás, a határértékek számítása, és a differenciálegyenletek elmélete; végtelen sorok, sorozatok; a metrikus terek elmélete és általában a topológia bizonyos ágai, az analitikus rendszerelmélet, a funkcionálanalízis.^[1]

Története

A mai matematikai analízis kezdetei a 17. századra datálhatóak a tudományos forradalom időszakára.^[2] Ugyanakkor sok alapelv visszakövethető egészen korai matematikusokhoz. A korai felhasználásra és eredményekre példa a korai görög matematika. Például a végtelen mértani sorok már Zénon paradoxonában is feltűnnek.^[3] Később a görög matematikusok mint Eudoxos és Arkhimédész a kimerítéses eljárásaikban ezeket az eljárásokat konkrétan felhasználták, pl., hogy kiszámítsák testek felületét és térfogatát.^[4] Ázsiában kínai matematikusok a kimerítési eljárást alkalmazták, hogy meghatározzák a kör területét. (Kr. e. 3. század)^[5] Cu Csung-cse az 5. században olyan módszert alkalmaztott a gömb térfogatának meghatározásához amely később a Cavalieri-elv néven vált ismertté.^[6] Indiában, a 12. században Bhaskara példákat adott a derivált kiszámítására és kimondta a ma Rolle-tétel néven ismert állítást.^[7]

A 14. században Madhava of Sangamagrama kifejlesztette a végtelen sorbafejtés technikáját a hatványsorokat, és a Taylor-sorokat bizonyos függvényekre vonatkozóan alkalmazta mint pl.: szinusz, koszinusz, tangens és arkusztangens.^[8] Ezzel párhuzamosan azt is meghatározta, hogy mekkora a hiba nagyságrendje ha a sorbafejtést csak egy bizonyos pontig végezzük el. Később a követői továbbfejlesztették a munkáját egészen a 16. századig.

A mai modern analízis alapjait a 17. századi Európában rakták le.^[2] Newton és Leibniz egymástól függetlenül kifejlesztették az infinitezimálisokra épülő analízist, ami később továbbfejlődött egészen a 18. századig, olyan ágakként mint variációanalízis, differenciálegyenletek, Fourier-analízis.

A 18. században Euler bevezette a ma használatos függvény fogalmát.^[9] Ezután a valós függvények analízise elkezdett különválni az analízis más részeitől. Ennek első lépése, hogy Bolzano megalkotta a ma is használatos folytonosság definícióját 1816-ban,^[10] ugyanakkor Bolzano munkája nem terjedt el széles körben egészen az 1870-es évekig. 1821-ben Cauchy megkezdte az analízis szigorú formalizálását azzal, hogy első lépésként elutasította az úgynevezett algebra általánossága elvet, amelyet korábban elterjedten alkalmaztak, például Euler is, az analízisben. E helyett Cauchy formalizálta az analízist, geometriai elvekre és infinitezimálisokra építve. Így az ő folytonosság definíciója egy azt követelte meg, hogy x egy infinitezimális változásához, y-nak is infinitezimális változása tartozzék. Bevezette a Cauchy-sorozatokat is, és elkezdte kidolgozni a formális definíciókra épülő komplex analízist. Poisson, Liouville, Fourier és mások pedig a parciális differenciálegyenleteket tanulmányozták. Ezen és más matematikusok mint Weierstrass együttműködése vezetett a határérték ma használt (ε, δ)-ás definíciójához, vagyis a mai modern analízis alapjához.

A 19. század közepén Riemann bevezette a saját integrálelméletét. A század vége felé Weierstrass aki úgy gondolta, hogy a geometriai bizonyítások nem kielégítőek, vagy egyenesen félrevezetőek, bevezette a határérték (ε, δ)-ás definícióját. Ezután a figyelem középpontjába a valós számok teljessége került. Dedekind a valós számokat Dedekind-vágással (Dedekind-szelet) vezette be, amely definíciójából következően teljes. Ezzel egy időben megindult a valós Riemann-integrálható függvények tulajdonságainak vizsgálata a szakadások tekintetében.

Az extrém és a szélső esetek is tárgyalásra kerültek mint pl.: olyan függvények amelyek mindenhol folytonosak, de sehol sem differenciálhatók, sehol nem folytonos függvények, térkitöltő görbék stb. Ezzel kapcsolatban Jordan bevezette a saját mértékét, Cantor pedig kifejlesztette a naiv halmazelméletet. A 20. század elején az analízist a halmazelmélet segítségével formalizálták Lebesgue "rendet tett" a mértékek tekintetében míg Hilbert bevezette a Hilbert-tereket, integrálegyenletek megoldásához. 1920-ban pedig Banach megalkotta a funkcionálanalízist.

Fontos fogalmak

Metrikus tér

A metrikus tér olyan halmaz amelyen értelmezett egy távolságfüggvény (metrika), amely kielégít bizonyos kritériumokat.

Az analízis kifejlesztésének nagy része különféle metrikus terekben zajlott pl.: a valós számegyenesén, a komplex számsíkon, Euklidészi terekben, és más vektorterekben.

Matematikailag a metrikus tér egy rendezett pár $(M,d)$ ahol $M$ egy halmaz és $d$ a halmazon értelmezett metrika, ami egy kétváltozós nemnegatív valós értékű függvény, vagyis:

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

úgy, hogy a következők teljesülnek bármely $x,y,z\in M$ -re:

$d(x,y)\geq 0$ (nemnegativitás),
$d(x,y)=0\,$ akkor és csak akkor ha $x=y\,$
$d(x,y)=d(y,x)\,$ (szimmetria) és
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (háromszög-egyenlőtlenség) .

Fő ágak

Valós analízis

A valós analízis a matematikai analízis azon ága amely valós függvények (valós értékű, valós argumentumú függvények) vizsgálatával foglalkozik.^[11]^[12] Különösen ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja ideértve sorozatok konvergenciáját, határértékét folytonosságát, és egyéb tulajdonságokat.