Numerikus sorok

Ha (x_n) egy számsorozat, akkor numerikus soron (illetve az (x_n) számsorozatból képezett soron) az

${\displaystyle ((x_{n}),(s_{n}))\,}$ 

rendezett párt értjük, ahol

${\displaystyle s_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$ 

az (x_n) sorozat részletösszegeinek sorozata. Az (x_n)-ből képezett sor jelölésére a

${\displaystyle \sum (x_{n})\,}$ 

jelölés használatos. Ebben a tekintetben egy n számot indexnek, az x_n számot a sor n-edik tagjának nevezzük. x_n az s_n összeg utolsó tagja.

Gyakran van, hogy egy sor olyan (x_n) sorozatból készül, mely nem a természetes számok N halmazán, hanem annak az m számnál nagyobb-egyenlő számokból álló részhalmazán értelmezett. Ezt a következőféleképpen jelöljük: ${\displaystyle s_{n}=\sum \limits _{k=m}^{n}x_{k}}$ 

Megjegyzés. Sokszor magára a sorra csak mint az (s_n) részletösszeg-sorozatra gondolnak, nem szükséges, hogy a numerikus sort rendezett párként definiálják, legfeljebb néha előnyös.

Azt mondjuk, hogy a ∑(x_n) sor konvergens, ha a részletösszegeinek (s_n) sorozata konvergens. Ha ∑(x_n) konvergens, akkor az (s_n) határértékét a ∑(x_n) sor összegének nevezzük és a

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}\,}$ 

szimbólummal jelöljük.

Megjegyezzük, hogy a ∑(x_n) pontosan akkor konvergens, ha az első m-1 tagjának elhagyásával kapott ${\displaystyle {\sum \limits _{n=m}^{\infty }x_{n}}\,}$  sor is az. De a két sor összege már nem feltétlenül azonos. A sor összegezhetősége szempontjából ugyan nem, de a sor összege meghatározásánál lényeges az, hogy az összegzést melyik indextől kezdjük. Például tetszőleges q valós számra

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n}\,}$  és ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }q^{n}\,}$ 

egyszerre konvergensek vagy nem, de az |q| < 1 összegezhetőségi feltétel fennállása esetén

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}\,}$  és ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }q^{n}={\frac {q}{1-q}}}$ 

Sorok összegezhetőségének megállapításánál ugyanaz a nehézség áll elő, mint a sorozatok konvergenciájának megállapításánál. Ha definíció szerint szeretnénk belátni a konvergenciát, akkor előre tudnunk kellene a sor összegét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a sorösszeg ismeretét.

Cauchy-kritérium. Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

1. ∑(a_n) végtelen sor konvergens
2. ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {Z} ^{+}\quad \forall n,m\in \mathbf {Z} ^{+}:\quad n>m>N\quad \Rightarrow \quad \left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon \,}$ 

Ezt azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata a Cauchy-sorozat. Ugyanis

${\displaystyle s_{n+k}-s_{n}=\sum _{i=n+1}^{n+k}a_{i}}$ .

Konvergens numerikus sorok esetén lehetetlen, hogy az a sorozat, amiből a sort képeztük ne legyen nullsorozat.

Sorok összegezhetőségének szükséges feltétele

Ha a ∑(a_n) sor konvergens, akkor a_n ${\displaystyle \to }$  0.

Ugyanis, legyen a sor összege A ∈ R és a ∑(a_n) részletösszegeinek sorozata (s_n). Mivel (s_n-1) részsorozata a konvergens (s_n)-nek ezért:

${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}\,}$ 

szintén konvergens és a konvergens sorozatok különbségének határértékére vonatkozó tulajdonság miatt:

${\displaystyle a_{n}\to A-A=0\,}$ .

Ez a feltétel nem elégséges. Nevezetes ellenpélda ugyanis a

${\displaystyle \sum _{(1)}\left({\frac {1}{n}}\right)}$ 

harmonikus sor, mely divergens, bár a tagjai a nullához tartanak. Ezt már a Cauchy-kritériummal is igazolni tudjuk. Legyen ugyanis ε = 1/2 és N tetszőleges természetes szám. Ekkor az n = N + 1 és m = 2N számok olyanok, hogy

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\right|=\sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\geq \sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{2N}}={\frac {N}{2N}}={\frac {1}{2}}=\varepsilon \,}$ 

Egy másik jellegzetes példa. A

${\displaystyle \sum _{(0)}({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})}$ 

sor tagjai a nullához tartanak, ugyanakkor a sor n-edik részletösszege teleszkopikus összeg és

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}({\sqrt {k+1}}-{\sqrt {k}})={\sqrt {1}}-{\sqrt {0}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {1}}+...+{\sqrt {n-1}}-{\sqrt {n-2}}=}$ 

${\displaystyle =-{\sqrt {0}}+{\sqrt {n-1}}=0+{\sqrt {n-1}}\to \infty }$ 

Megjegyzés: egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha a részletösszegeinek sorozata korlátos, illetve ha egy nemnegatív tagú sor divergens, akkor az összege végtelen.

Állítás: Ha a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  végtelen sor konvergens és az összege A, akkor minden ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ -re a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c\cdot a_{n}}$  sor is konvergens, és az összege ${\displaystyle c\cdot A}$ .

Bizonyítás:Ha a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  sor n-edik részletösszege ${\displaystyle s_{n}}$ , akkor a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c\cdot a_{n}}$  sor n-edik részletösszege ${\displaystyle c\cdot s_{n}}$ . Így az állítás abból következik, hogy ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c\cdot s_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }s_{n}=c\cdot A}$ 

Állítás: Ha a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  és ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  sorok konvergensek, és összegük A illetve B, akkor a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})}$  sor is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: Ha a megfelelő sorok n-edik részletösszegei ${\displaystyle s_{n}}$  illetve ${\displaystyle t_{n}}$ , akkor a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})}$  sor n-edik részletösszegei ${\displaystyle s_{n}+t_{n}}$ . Így az állítás következik abból, hogy ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(s_{n}+t_{n})=\lim _{n\to \infty }s_{n}+\lim _{n\to \infty }t_{n}=A+B}$ .

Megjegyzés: Egy konvergens sor tagjai közül akárhány 0-val egyenlő tagot elhagyva, illetve akárhány 0-t beszúrva a sor konvergens marad és az összege nem változik.

Állítás: Egy konvergens sor tagjai közül véges sokat elhagyva, véges sok új tagot beszúrva, illetve véges sok tagot megváltoztatva a sor konvergens marad.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  sor tagjai közül az ${\displaystyle a_{k}}$  tagot elhagyjuk. Ekkor ${\displaystyle n\geq k}$  esetén az új sor n-edik részletösszege ${\displaystyle s_{n}-a_{k}}$  lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata ${\displaystyle A-a_{k}}$ -hoz tart. Ha viszont a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  sor k-adik és k+1-edik tagja közé beszúrunk egy új c tagot, akkor n>k esetén az új sor n-edik részletösszege ${\displaystyle s_{n}+c}$  lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata A+c-hez tart. Mindkét esetben konvergens sort kapunk. Ebből következik, hogy e két operációt véges sokszor elvégezve az eredményül kapott sor konvergens marad. Véges sok tag megváltoztatása elérhető úgy, hogy az illető tagokat elhagyjuk, majd a helyükre újakat szúrunk be, tehát a konvergenciát ez sem változtatja meg.

Azt mondjuk, hogy a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}}$  végtelen sor a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  és ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  sorok összefésülése, ha a ${\displaystyle c_{n}}$  sorozat az ${\displaystyle a_{n}}$  és ${\displaystyle b_{n}}$  tagokat és csak azokat sorolja fel, mindegyiket pontosan egyszer, és az ${\displaystyle a_{n}}$ , illetve ${\displaystyle b_{n}}$  tagok sorrendje a ${\displaystyle (c_{n})}$  sorozatban ugyanaz, mint az ${\displaystyle (a_{n})}$  illetve ${\displaystyle (b_{n})}$  sorozatban.

Állítás: Ha a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  és ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  sorok konvergensek és az összegük A, illetve B, akkor a sorok minden összefésülése is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: A két sor minden összefésülése megkapható oly módon, hogy mindkét sorba alkalmas helyekre 0 tagokat szúrunk be, majd az így kapott két sort tagonként összeadjuk. Így az állítás a fentiekből következik.

A ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$  sor konvergens.

Állítás: Minden abszolút konvergens sor konvergens.

Bizonyítás: Ha ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  abszolút konvergens, akkor a Cauchy-kritérium szerint minden ${\displaystyle \varepsilon }$ >0-hoz van olyan N, hogy ${\displaystyle |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon }$  teljesül minden ${\displaystyle N\leq n<m}$ -re. De ekkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint ${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{m}|\leq |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon }$  is teljesül, tehát a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot.Tehát az állítást beláttuk.

Tétel: Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és az összege ugyanaz mint az eredeti soré.

Bizonyítás: Legyen a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  sor egy átrendezettje. Adott ${\displaystyle \varepsilon }$ >0-hoz válasszunk egy olyan N-et, hogy ${\displaystyle |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon }$  teljesüljön minden m>N-re. Az ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{N}}$  tagok mind szerepelnek a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  sorban. Ha itt az indexeik maximuma M, akkor k>M esetén a ${\displaystyle b_{m},\cdots ,b_{k}}$  tagoknak az ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  sorbeli indexei nem kisebbek N-nél, tehát elég nagy m-re szerepelnek az ${\displaystyle a_{N},\cdots ,a_{m}}$  tagok között. Így ${\displaystyle |b_{M}|+|b_{M+1}|+\cdots +|b_{k}|\leq |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon }$ . Ebből következik, hogy a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|}$  sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot, tehát konvergens. Ezzel beláttuk, hogy a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  sor is abszolút konvergens, tehát a fenti állítás miatt konvergens is. Legyen ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=A}$  és ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=B}$ . Adott ${\displaystyle \varepsilon }$ >0-ra legyen N és M mint fent. Ekkor k>max(N,M) esetén a ${\displaystyle d_{k}=(a_{1}+\cdots +a_{k})-(b_{1}+\cdots +b_{k})}$  különbségében minden ${\displaystyle a_{n}(n\leq N)}$  tag kiesik, tehát ${\displaystyle d_{k}}$  olyan ${\displaystyle \pm a_{n}}$  alakú tagok összege, amelyek indexei különbözőek és N-nél nagyobbak. Így alkalmas m>N-re ${\displaystyle |d_{k}|\leq |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots +|a_{m}|<\varepsilon }$  Ezzel beláttuk, hogy ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }d_{k}=0}$ . Azonban ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }d_{k}=A-B}$ , tehát A=B.

A ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  végtelen sort feltételesen konvergesnek nevezzük, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.

• Cauchy-konvergenciakritérium
• Gyökkritérium
• Hányadoskritérium
• Majoráns kritérium

• Laczkovich Miklós - T. Sós Vera, Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007 ISBN 978-963-19-6084-6

• Császár Ákos, Valós analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999. ISBN 963-190-114-9