Cauchy-sorozat

Egy {x₁,x₂,x₃,...} alakú, valós számokból álló sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha minden pozitív valós ε-hoz találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint ε.

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\quad (\exists N=N(\varepsilon ))\quad (\forall n,m\in \mathbb {N} )\quad \left[n>m>N\Rightarrow \left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon \right]}$ 

A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.

Példák:

1. Az x_n=1/n, n=1,2,3,...sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott ε-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|=\left|{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}\right|={\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}<{\frac {1}{m}}<\varepsilon \iff m>{\frac {1}{\varepsilon }}\Rightarrow \quad N=N(\varepsilon ):=\left[{\frac {1}{\varepsilon }}\right]+1}$ 

A fenti jelölésben [x] az x valós szám egész részét jelöli. A fenti N küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$ .

1. Legyen ${\displaystyle x_{n}:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\cos(j)}{j^{2}}}}$ . Megmutatjuk, hogy {x_n} Cauchy-sorozat. Most is legyen 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|=\left|\sum _{j=m+1}^{n}{\frac {\cos(j)}{j^{2}}}\right|\leq \sum _{j=m+1}^{n}{\frac {|\cos(j)|}{j^{2}}}\leq \sum _{j=m+1}^{n}{\frac {1}{j^{2}}}<\sum _{j=m+1}^{n}{\frac {1}{j(j-1)}}=\sum _{j=m+1}^{n}\left({\frac {1}{j-1}}-{\frac {1}{j}}\right)={\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}<{\frac {1}{m}}<\varepsilon \iff m>{\frac {1}{\varepsilon }}.}$ 

Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {x_n} valójában nem más, mint a ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\cos(j)}{j^{2}}}}$  sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.

A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett (azaz metrikus terekben), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.

Legyen ${\displaystyle \ (X,d)}$  metrikus tér. Ekkor az ${\displaystyle x_{n}\in X}$  sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden ${\displaystyle \varepsilon >0}$ -hoz van olyan ${\displaystyle \ N}$ , hogy minden ${\displaystyle \ n,m>N}$  esetén ${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon }$ .

Nevezetes átfogalmazás: az ${\displaystyle x_{n}\in X}$  sorozat Cauchy-sorozat akkor és csak akkor, ha bármely ${\displaystyle \varepsilon >0}$ -hoz található olyan ${\displaystyle \ N}$  küszöbszám, hogy a sorozat minden ${\displaystyle \ N}$ -nél nagyobb ${\displaystyle \ n}$  indexű tagja benne van az ${\displaystyle \ x_{N}}$  elem ${\displaystyle \varepsilon }$  sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\ (\exists N\in \mathbb {N} )\ (\forall n\in \mathbb {N} )\ \left[n>N\ \Rightarrow \ d(x_{n},x_{N})<\varepsilon \right].}$ 

Az ekvivalencia bizonyítása: Legyen ${\displaystyle x_{n}\in X}$  Cauchy-sorozat, és válasszunk egy ${\displaystyle \varepsilon >0}$  számot. Így van olyan ${\displaystyle \ N_{1}}$  szám, hogy minden ${\displaystyle \ n,m>N_{1}}$  esetén ${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon }$ . ${\displaystyle \ N:=N_{1}+1}$ , így minden ${\displaystyle \ n>N}$  esetén ${\displaystyle d(x_{n},x_{N})<\varepsilon }$ .

Visszafele: legyen most ${\displaystyle x_{n}\in X}$  sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt. Válasszunk ${\displaystyle \varepsilon >0}$  számot. Eszereint van olyan ${\displaystyle \ N}$ , hogy minden ${\displaystyle \ n>N}$  esetén ${\displaystyle d(x_{n},x_{N})<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ . Legyen ${\displaystyle \ n,m>N}$ , így a háromszög-egyenlőtlenség szerint: ${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{N})+d(x_{N},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,}$  vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens.

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

• A következőképp definiált sorozat x₀ = 1, x_n+1 = (x_n + 2/x_n)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,…), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  értékhez tart (Newton-módszer).

• Minden Cauchy-sorozat korlátos.
• Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

• Encyclopedia of Mathematics-on
• MathWorld-ön