Rolle-tétel

 

Ha az ${\displaystyle f}$  függvény folytonos az ${\displaystyle [a,b]}$  intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és

${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ,

akkor van olyan ${\displaystyle a<c<b}$  szám, hogy

${\displaystyle f'(c)=0}$ 

teljesül.

Ha az ${\displaystyle f}$  függvény az ${\displaystyle (a,b)}$  intervallumon végig az ${\displaystyle f(a)=f(b)}$  értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0.

Tegyük fel, hogy egy pontban ${\displaystyle f}$  értéke ettől eltér. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ -nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a ${\displaystyle -f}$  függvényre kell alkalmaznunk). A Weierstrass-tétel szerint a függvény az ${\displaystyle [a,b]}$  intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen ${\displaystyle c}$  egy ilyen pont. ${\displaystyle c}$  nem lehet ${\displaystyle a}$ -val vagy ${\displaystyle b}$ -vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond ${\displaystyle f(c)}$  maximális tulajdonságának. Mivel ${\displaystyle f}$  a ${\displaystyle c}$ -ben (mely az értelmezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó Fermat-tétel miatt ott a deriváltja 0.

A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel.

Tétel – Az f : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ R intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ξ ∈ ${\displaystyle I}$  pont, hogy f '( ξ ) = 0, feltéve, hogy létezik az lim_α f és lim_β f határérték és lim_α f = lim_β f , ahol α és β a ${\displaystyle I}$  két végpontja.

Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy minden x ∈ int(${\displaystyle I}$ ) belső pont esetén f '(x) > 0 vagy f '(x) < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden x ∈ int(${\displaystyle I}$ )-re f '(x) > 0 vagy minden x ∈ int( ${\displaystyle I}$  )-re f '(x) < 0, ugyanis ha lenne a < b int(${\displaystyle I}$ )-beli elem, hogy f '(a) és f '(b) ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a Darboux-tételt alkalmazva lenne olyan c pont az [a,b] zárt halmazon, hogy f '(c) = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben f az int(${\displaystyle I}$ ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim_α f = lim_β f, tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk.

Ilyen például az

${\displaystyle x\mapsto e^{-x^{2}}}$ 

függvény.

Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít.

Tétel – Ha az f : [a,b]${\displaystyle \rightarrow }$ R korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy f(a) = f(b) és az I minden belső pontjában vagy differenciálható f, vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ξ ∈ int(${\displaystyle I}$ ) pont, hogy f '(ξ) = 0.

Ilyen például a [-2,2]-n értelmezett

${\displaystyle x\mapsto \mathrm {sgn} (1-x^{2}){\sqrt {|1-x^{2}|}}}$ 

függvény.

A tétel fontos általánosítása még a Lagrange-féle középértéktétel is, mely (a tétel jelöléseivel)

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

meredekségű érintő létezésére ad elégséges feltételt (f(b)=f(a) esetén persze megkapjuk a Rolle-tételt).

• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7

• A PlanetMath Rolle's theorem szócikke

 

A Wikimédia Commons tartalmaz Rolle-tétel témájú médiaállományokat.