Naiv halmazelmélet

A halmazelmélet alapjait Georg Cantor rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a valós számok nem megszámlálhatóan végtelen voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, … is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban, ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége „magasabbrendűen” (nem megszámlálható módon) végtelen, mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt, ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen számosságok elméletét. Az összességre a Menge német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a halmaz szót használják matematikai szakkifejezésként.

Eredményeit Dedekind, Frege és Russell is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a Russell-paradoxon) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor – ahogy rajta kívül sokan mások is – felfedezett egy ellentmondást, ezt Cantor-paradoxon néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a típuselméletben), Zermelo és Fraenkel (a Zermelo–Fraenkel-halmazelméletben) és az intuicionisták a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet és a Bourbaki-halmazelmélet).

A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha ${\displaystyle {T}}$  valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a ${\displaystyle {T}}$  tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a ${\displaystyle {T}}$  tulajdonság igazságtartományának nevezzük.

Magát a ${\displaystyle {T}}$  tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy ${\displaystyle {T(x)}}$ . Itt az ${\displaystyle {x}}$  karaktert változónak nevezzük és azt jelképezi, hogy a ${\displaystyle {T(x)}}$  kifejezés nyitott mondat, igazságértéke még nem értelmezhető. Zárt kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az ${\displaystyle {x}}$  változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.

A ${\displaystyle {T(x)}}$  tulajdonság igazságtartományát

${\displaystyle \{x\mid T(x)\}}$ 

-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon ${\displaystyle {x}}$ -ek összessége, melyre a ${\displaystyle {T(x)}}$  tulajdonság igaz”.

Legyen ${\displaystyle {T}}$  : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban ${\displaystyle {T(x):}}$  „${\displaystyle {x}}$  kutya”. Ekkor „${\displaystyle {x}}$  kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az ${\displaystyle {x}}$  változó helyére például ${\displaystyle {Buksi}}$ , a kutya vagy ${\displaystyle {Cirmi}}$ , a macska nevét helyettesítjük. Ekkor ${\displaystyle {T(Buksi)}}$  egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg ${\displaystyle {T(Cirmi)}}$  nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét:

${\displaystyle \{x\mid T(x)\}=\{x\mid x{\mbox{ kutya}}\}}$ 

Eddigi fejtegetésünk a logikai grammatika témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Ma már tudjuk, hogy Cantor a fentieken felül kimondatlanul feltételezte a következőket:

1. A komprehenzivitás elve: akármilyen ${\displaystyle {T(x)}}$  tulajdonság esetén, az ${\displaystyle {x}}$  változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az { ${\displaystyle x}$  | ${\displaystyle T(x)}$  } szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a ${\displaystyle {T(x)}}$  tulajdonságot.
2. Az extenzionalitás elve: Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megegyeznek.

Cantor a Menge, azaz halmaz szót használta a { ${\displaystyle x}$  | ${\displaystyle T(x)}$  } összesség megnevezésére. Ha valamely ${\displaystyle {a}}$  dolog benne van a { ${\displaystyle x}$  | ${\displaystyle T(x)}$  } halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: ${\displaystyle a}$  ∈ { ${\displaystyle x}$  | ${\displaystyle T(x)}$  }.

A Russell-paradoxon feloldását mások máshogy képzelték. Gottlob Frege abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Russell maga szükségesnek tartotta szigorúan megkülönböztetni a dolgokat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg a hazug paradoxona mögött, a Gödel-féle nemteljességi tételekben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására. Mivel az ${\displaystyle {x\notin x}}$  kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a ${\displaystyle {x\notin x}}$  kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:

${\displaystyle R=\{x\mid x\notin x\}}$  azaz

${\displaystyle {x\in R\Leftrightarrow x\notin x}\,\!}$ , így ${\displaystyle {x}}$ -ben saját magát ${\displaystyle {R}}$ -et szerepeltetve:

${\displaystyle {R\in R\Leftrightarrow R\notin R}\,\!}$ 

Ez utóbbi módszert, amikor egy tulajdonság változójának helyébe magát a tulajdonságot (pontosabban annak megnevezését) helyettesítjük, Cantor-féle átlós eljárásnak nevezzük. A sors fintora, hogy Cantor halmazelméletén pont a saját maga által először alkalmazott eljárás segítségével tudott Russell rést ütni.

• Robert Goldblatt, TOPOI – The categorical analysis of logic, North-Holland Publ. Co., 1984 elektronikus könyvtári formában itt
• Ruzsa Imre – Máté András, Bevezetés a modern logikába, Osiris Kiadó, 1997.
• Gottlob Frege, Az aritmetika alaptörvényei II., Utószó (1903), in: Gottlob Frege, Logikai vizsgálódások – Válogatott tanulmányok, szerk.: Máté András, Osiris Kiadó, 2000.