Határérték

Bővebben: Sorozat határértéke

Az (1,79; 1,799; 1,7999;…) sorozatról intuitívan megállapítható, hogy a számok egyre „közelítenek” 1,8-hez, amennyiben a sorozat minden elemére igaz, hogy az előzőnél eggyel több kilences tizedesjegye van. Ezt az intuitív gondolatot fogalmazza meg formálisan a sorozat határértékének fogalma.

Legyen adott az (${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ ) valós számokból álló sorozat. A valós ${\displaystyle A}$  szám a sorozat határértéke, ha minden ${\displaystyle \epsilon }$  (epszilon) ${\displaystyle >0}$  esetén létezik olyan ${\displaystyle N(\epsilon )}$  (epszilontól függő) természetes szám, melyre minden ${\displaystyle n>N(\epsilon )}$  esetén ${\displaystyle \left|x_{n}-A\right|<\epsilon }$ . Jelölése:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=A}$  vagy ${\displaystyle x_{n}\rightarrow A}$ .

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerül a sorozat eleme a határértékhez azáltal, hogy elég nagy indexű elemet választunk, hiszen az ${\displaystyle \left|x_{n}-A\right|}$  abszolút érték az ${\displaystyle x_{n}}$  és ${\displaystyle A}$  távolságaként is felfogható. Ha létezik olyan tulajdonságú ${\displaystyle A}$  szám, ami a fenti definíciónak megfelel, akkor a sorozatot konvergensnek nevezik, ha pedig nem, akkor divergensnek. Bebizonyítható, hogy legfeljebb egy ilyen szám létezhet, így a ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$  jelölés és a „határérték” megnevezés egyértelmű.

Tétel: Ha ${\displaystyle x_{n}\rightarrow A}$  és ${\displaystyle x_{n}\rightarrow B}$ , akkor ${\displaystyle A=B}$ .

Hasonlóan definiálható a több koordinátával jellemezhető pontsorozatok határértéke.

Tétel: Egy pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha az egyes koordinátái által alkotott számsorozatok konvergensek.

Például az ${\displaystyle (a_{i},b_{i})}$  pontsorozat konvergenciája ekvivalens az ${\displaystyle a_{i}}$  és a ${\displaystyle b_{i}}$  sorozatok konvergenciájával.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. A két fogalom egymás definiálására is felhasználható, de értelmezhetők külön-külön is. Az ${\displaystyle x_{n}}$  sorozat határértékét a pozitív egészek halmazán értelmezett ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$  függvény végtelenben vett határértékeként is definiálhatjuk, míg a függvény határértéke definiálható a sorozat határértékének felhasználásával: ${\displaystyle f}$  függvény határértéke ${\displaystyle A}$  helyen akkor létezik, ha az ${\displaystyle f(x_{n})}$  sorozat konvergens és azonos határértékű bármely olyan ${\displaystyle x_{n},A}$  határértékű konvergens sorozat esetén, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket. Ekkor az ${\displaystyle f(n)}$  sorozat egyértelmű határértéke lesz a függvény ${\displaystyle A}$  helyen vett határértéke.

Ha az ${\displaystyle a_{n}}$  és a ${\displaystyle b_{n}}$  valós sorozat is konvergens, akkor az ${\displaystyle a_{n}\pm b_{n}}$ , ${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}}$  sorozatok is konvergensek, és határértékük a megfelelő művelettel kapható a határértékekből. Ha a ${\displaystyle b_{n}}$  sorozat véges sok nullát tartalmaz, és nem tart nullához, akkor hasonló teljesül az ${\displaystyle a_{n}/b_{n}}$  sorozatra is. Ezek a pontsorozatokra is érvényesek, ha a műveleteket koordinátánként végezzük.

A konvergens valós szám- és pontsorozatokra teljesül a Cauchy-tulajdonság, ami azt mondja ki, hogy a sorozat távoli elemei is közel vannak egymáshoz. Formálisan, az ${\displaystyle a_{n}}$  sorozat konvergens, ha minden ${\displaystyle \epsilon }$ -hoz van olyan ${\displaystyle n_{0}}$ , hogy minden ${\displaystyle n,m>n_{0}}$ -ra ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\epsilon }$ . Megfordítva, minden valós Cauchy-sorozat konvergens. Más terekben ez nem feltétlenül igaz; ahol viszont igen, azt a teret teljesnek mondjuk.

A konvergens sorozatok tulajdonságai kritériumokat adnak arra, hogy belássuk, hogy ha egy sorozat nem konvergens. Szintén vannak kritériumok a sorozat konvergens voltára. Nincs mindig szükség a határérték kiszámítására.

• mértani sorozat határértéke:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{0}q^{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}|q|<1\\a_{0},&{\mbox{ha }}q=1\end{cases}}}$ 

• mértani sor sorösszege:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{0}q^{i}=\lim _{n\to \infty }a_{0}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}=a_{0}{\frac {1}{1-q}}}$ , ha ${\displaystyle |q|<1}$ 

Bővebben: Függvény határértéke

 

Feltéve, hogy ${\displaystyle f(x)}$  valós függvény és ${\displaystyle a}$  valós szám. A

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$ 

kifejezés azt jelenti, hogy ${\displaystyle f(x)}$  értéke tetszőlegesen közel kerül az ${\displaystyle A}$ -hoz, ha az ${\displaystyle x}$  elég közel van ${\displaystyle a}$ -hoz. Ebben az esetben „az ${\displaystyle f(x)}$  határértéke, ha ${\displaystyle x}$  tart ${\displaystyle a}$ -hoz, ${\displaystyle A}$ ”. Ez akkor is igaz lehet, ha ${\displaystyle f(a)\neq A}$ , sőt az ${\displaystyle f(x)}$  függvénynek nem muszáj értelmezve lennie az ${\displaystyle a}$  pontban.

Legyen az ${\displaystyle f}$  függvény, mely a ${\displaystyle a}$  egy nyílt környezetében végtelen sok értékre értelmezve van - esetleg ${\displaystyle a}$ -ban nem - vagyis ${\displaystyle a}$  egy torlódási pontja a ${\displaystyle D_{f}}$ -nek; és ${\displaystyle A}$  egy valós szám. A

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$ 

jelölés azt jelenti, hogy minden ${\displaystyle \epsilon \ >0}$  érték esetén van olyan ${\displaystyle \delta \ >0}$ , melyekre bármely ${\displaystyle x}$  esetén, ha ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta \ }$ , akkor ${\displaystyle |f(x)-A|<\epsilon \ }$ .

Vizsgáljuk meg ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}$  határértékét, ha ${\displaystyle x}$  tart 2-höz. Ebben az esetben az ${\displaystyle f(x)}$  definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	${\displaystyle \Rightarrow }$  0,4 ${\displaystyle \Leftarrow }$	0,3998	0,3988	0,3882

Ha ${\displaystyle x}$  közelít 3-hoz, akkor ${\displaystyle f(x)}$  közelít 0,3-hez, azaz ${\displaystyle \lim _{x\to 3}f(x)=0,3}$ . Ezekben az esetekben, amikor ${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x)}$ , azt mondjuk, hogy ${\displaystyle f}$  folytonos az ${\displaystyle x=a}$  helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a ${\displaystyle g}$  függvény az alábbi módon értelmezett:

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{ha }}x\neq 2\\0,&{\mbox{ha }}x=2\end{cases}}}$ 

A ${\displaystyle g(x)}$  határértéke ${\displaystyle x}$  tart 2 esetén 0,4 (ahogy az ${\displaystyle f(x)}$  esetén is), de ${\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)}$ ; ${\displaystyle g}$  nem folytonos ${\displaystyle x=2}$  helyen.

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor ${\displaystyle x}$  tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az ${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}$  függvényt.

• ${\displaystyle f(100)=1,9802}$ 
• ${\displaystyle f(1000)=1,9980}$ 
• ${\displaystyle f(10000)=1,9998}$ 

…

Ahogy ${\displaystyle x}$  nagyon naggyá válik, ${\displaystyle f(x)}$  közelít 2-höz. Ebben az esetben,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}$ 

A végtelenben vett határérték definíciója:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A}$  pontosan akkor, ha minden ${\displaystyle \epsilon }$  > 0 esetén létezik olyan ${\displaystyle K}$  valós szám, melyre ${\displaystyle |f(x)-A|<\epsilon }$  teljesül, ha ${\displaystyle x>K}$ .

A negatív végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.

Legyen ${\displaystyle X}$  és ${\displaystyle Y}$  topologikus tér, ${\displaystyle f:A\subseteq X\rightarrow Y}$ , ${\displaystyle x_{0}\in X}$  az ${\displaystyle A}$  torlódási pontja és ${\displaystyle y\in Y}$ . Az ${\displaystyle f}$  függvény határértéke az ${\displaystyle x_{0}}$  pontban ${\displaystyle y}$ , ha:

${\displaystyle y}$  tetszőleges ${\displaystyle V}$  környezetéhez található ${\displaystyle x_{0}}$ -nak olyan ${\displaystyle U}$  környezete, hogy ${\displaystyle (U\!\setminus \!\left\{x_{0}\right\})\cap A}$  halmaz ${\displaystyle f}$  általi képe ${\displaystyle y}$  környezetébe esik, azaz:

${\displaystyle \forall V\ \exists U:f((U\!\setminus \!\left\{x_{0}\right\})\cap A)\subseteq V}$ .

A határérték ezen fogalma annyira általános, hogy adott pontban több határértéke is lehet egy függvénynek. Ugyanis egyes topologikus terek olyan "egyszerűek", hogy bizonyos pontoknak azonosak a környezetei. Más szóval a pontok nem különböztethetőek meg a "szomszédok" által. Fontos tény továbbá, hogy a függvénynek nem kell értelmezve lennie az ${\displaystyle x_{0}}$  pontban, ahol a határértéket vizsgáljuk.

A szakirodalomban szigorúbb változatai is előfordulnak, melyek például megkövetelik, hogy a leképezés ${\displaystyle x_{0}}$  egy teljes környezetében legyen értelmezve, leszámítva esetleg magát ${\displaystyle x_{0}}$ -t (${\displaystyle U\!\setminus \!\left\{x_{0}\right\}\subseteq A}$ ), azaz ${\displaystyle f(U\!\setminus \!\left\{x_{0}\right\})\subseteq V}$ . Illetve olyan gyengítései is akadnak, amelyek az értelmezési tartomány speciális részhalmazain (${\displaystyle S\subseteq A}$ ) határozzák meg a limes-t, azaz ${\displaystyle f((U\!\setminus \!\left\{x_{0}\right\})\cap S)\subseteq V}$ . Ha elvárnánk, hogy a vizsgált pont az értelmezési tartomány eleme legyen (${\displaystyle x_{0}\in A}$ ) és ${\displaystyle f(U\cap A)\subseteq V}$ , akkor a pontbeli folytonosság topológiai fogalmához lyukadnánk ki.

Legyen ${\displaystyle Y}$  topologikus tér, ${\displaystyle a_{n}:\mathbb {N} \rightarrow Y}$  a tér pontjaiból álló sorozat, ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$  és ${\displaystyle y\in Y}$ . Az ${\displaystyle a_{n}}$  sorozat határértéke ${\displaystyle y}$ , ha:

${\displaystyle y}$  minden ${\displaystyle V}$  környezetéhez létezik olyan ${\displaystyle N}$  index, hogy a sorozat minden ${\displaystyle N}$ -nél nagyobb indexű tagja ${\displaystyle y}$  környezetébe esik, azaz

${\displaystyle \forall V\ \exists N:n>N\Rightarrow a_{n}\in V}$ .

Metrikus terek esetén, melyek egyben topologikus terek is, a definíció speciálisabban megfogalmazható. Ez esetben rendelkezésünkre áll a távolságfüggvény, amellyel környezetet definiálhatunk.

Legyen ${\displaystyle X}$  és ${\displaystyle Y}$  metrikus tér, ${\displaystyle f:A\subseteq X\rightarrow Y}$ , ${\displaystyle x_{0}\in X}$  az ${\displaystyle A}$  torlódási pontja, ${\displaystyle x\in A}$  és ${\displaystyle y\in Y}$ . Az ${\displaystyle f}$  függvény határértéke az ${\displaystyle x_{0}}$  pontban ${\displaystyle y}$ , ha:

${\displaystyle y}$  minden ${\displaystyle \epsilon >0}$  sugarú nyílt környezetéhez található ${\displaystyle x_{0}}$ -nak olyan ${\displaystyle \delta >0}$  sugarú nyílt környezete, hogyha ${\displaystyle 0<d_{X}(x,x_{0})<\delta }$ , akkor ${\displaystyle x}$  ${\displaystyle f}$  általi képe ${\displaystyle y}$  környezetébe esik, azaz

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0:0<d_{X}(x,x_{0})<\delta \Rightarrow d_{Y}(f(x),y)<\epsilon }$ ,

ahol:

• ${\displaystyle \epsilon ,\delta \in \mathbb {R} ^{+}}$ ,
• ${\displaystyle U=\left\{p\in X\vert \ d_{X}(p,x_{0})<\delta \right\}}$  és
• ${\displaystyle V=\left\{p\in Y\vert \ d_{Y}(p,y)<\epsilon \right\}}$  az általános definícióban szereplő környezetek megfelelői,
• ${\displaystyle d_{X}(p,x_{0})}$  és ${\displaystyle d_{Y}(p,y)}$  rendre az ${\displaystyle X}$  és ${\displaystyle Y}$  metrikus térben definiált távolság.

Legyen ${\displaystyle Y}$  metrikus tér, ${\displaystyle a_{n}:\mathbb {N} \rightarrow Y}$ , a tér pontjaiból álló sorozat, ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$  és ${\displaystyle y\in Y}$ . Az ${\displaystyle a_{n}}$  sorozat határértéke ${\displaystyle y}$ , ha:

${\displaystyle y}$  minden ${\displaystyle \epsilon >0}$  sugarú nyílt környezetéhez található olyan ${\displaystyle N(\epsilon )}$  (epszilontól függő) index, hogy a sorozat minden ${\displaystyle N}$ -nél nagyobb indexű tagja az ${\displaystyle y}$  környezetébe esik, azaz

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists N:n>N\Rightarrow d_{Y}(a_{n},y)<\epsilon }$ .

Az n-dimenziós vektortéren értelmezett skalárszorzat természetesen módon normát indukál, amellyel metrika, azaz távolság definiálható a téren. Ez teszi az Euklideszi teret topologikus, ill. metrikus térré. A távolságfüggvény:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:d_{n}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|={\sqrt {\sum _{1}^{n}{{\vert a_{i}-b_{i}\vert }^{2}}}}}$ , speciálisan: ${\displaystyle \mathbb {R} :d(a,b)=\vert a-b\vert }$ .

Többdimenziós terekben a határérték számítása gyökös távolságképlettel nehézkes. Könnyítést ad az a tény, hogyha egy pontnak van nyílt gömbkörnyezete, akkor van nyílt téglakörnyezete is és fordítva:

Tétel: ${\displaystyle (\exists \epsilon :\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|<\epsilon )\Leftrightarrow (\forall i\ \exists \epsilon _{i}:\vert a_{i}-b_{i}\vert <\epsilon _{i})\Leftrightarrow (\exists \epsilon _{II}\ \forall i:\vert a_{i}-b_{i}\vert <\epsilon _{II})}$ .

Magyarul, egy vektor akkor és csak akkor van közel egy másikhoz, ha külön-külön a koordinátái is közel vannak a másik koordinátáihoz. Így a vektorfüggvények és vektorsorozatok határértéke visszavezethető a koordináta-függvények határértékére.

A fenti definíciók egyike sem mondja meg, mit értünk végtelen határértéken, vagy végtelenben vett határértéken. Nem is határozhatja meg, mert a végtelen egy képzeletbeli pont. Nem része a térnek, míg a határérték és a pont, ahol a határértéket vizsgájuk a tér egy eleme kell hogy legyen. Azonban kiterjeszthetjük úgy a fogalmat, hogy definiáljuk a végtelen egy környezetét, így lehetőségünk nyílik a képzeletbeli pont körül vizsgálódni. Általános topológiai eszközökkel kicsit bonyolult, de normált, s ezáltal egyben metrizálható terekben igen egyszerű.

${\displaystyle \{x\ |\ \|x\|>K,K\in \mathbb {R^{+}} \}}$  halmaz a végtelen egy "${\displaystyle \infty -K}$  sugarú nyílt gömbkörnyezete". (Nyilvánvalóan ez a megfogalmazás matematikailag nem elfogadható, inkább szemléltető jellege van.)

Legyen ${\displaystyle X}$  és ${\displaystyle Y}$  normált tér, ${\displaystyle f:A\subseteq X\rightarrow Y}$ , legyen a végtelen ${\displaystyle A}$  torlódási pontja, ${\displaystyle x\in A}$ , ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$  és ${\displaystyle y\in Y}$ . Az ${\displaystyle f}$  függvény végtelenben vett határértéke ${\displaystyle y}$ , ha:

${\displaystyle y}$  minden ${\displaystyle \epsilon >0}$  sugarú nyílt környezetéhez található olyan ${\displaystyle K}$ , hogyha ${\displaystyle \|x\|_{X}>K}$ , akkor ${\displaystyle x}$  ${\displaystyle f}$  általi képe ${\displaystyle y}$  környezetébe esik, azaz

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists K>0:\|x\|_{X}>K\Rightarrow \|f(x)-y\|_{Y}<\epsilon }$ ,

ahol:

• ${\displaystyle \|x\|_{X}}$  és ${\displaystyle \|y\|_{Y}}$  az X és Y terekben definiált norma.
• A végtelen torlódási pontja ${\displaystyle A}$ -nak, ha ${\displaystyle \forall K>0\ \exists x\in A:\|x\|_{X}>K}$ .

Ez a definíció konzisztens a sorozatoknál kimondott határérték fogalmával, ugyanis a természetes számok halmaza normált tér és a fenti ${\displaystyle Y}$  lehet teljesen általános topologikus tér is.

Legyen ${\displaystyle X}$  és ${\displaystyle Y}$  normált tér, ${\displaystyle f:A\subseteq X\rightarrow Y}$ , ${\displaystyle x_{0}\in X}$  az A torlódási pontja, ${\displaystyle x\in A}$ , ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$  és ${\displaystyle y\in Y}$ . Az ${\displaystyle f}$  függvény határértéke az ${\displaystyle x_{0}}$  pontban végtelen, ha:

minden ${\displaystyle K}$ -hoz található ${\displaystyle x_{0}}$ -nak olyan ${\displaystyle \delta >0}$  sugarú nyílt környezete, hogyha ${\displaystyle 0<\|x-x_{0}\|_{X}<\delta }$ , akkor ${\displaystyle x}$  ${\displaystyle f}$  általi képének normája nagyobb mint ${\displaystyle K}$ , azaz

${\displaystyle \forall K>0\ \exists \delta >0:0<\|x-x_{0}\|_{X}<\delta \Rightarrow \|f(x)\|_{Y}>K}$ .

Értelmezését egyszerűen a két megfogalmazás kombinációja szolgáltatja. Röviden:

${\displaystyle \forall K>0\ \exists T>0:\|x\|_{X}>T\Rightarrow \|f(x)\|_{Y}>K}$ .

Speciális a következő eset: a valós számegyenesből (${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) kivéve egy pontot könnyűszerrel felbontjuk a teret, két diszjunkt és külön-külön összefüggő halmazra. Az intuíciónk pedig az, hogy ezek a halmazok mintha két különböző végtelennek lennének a környezetei. A gondolatmenetet tovább folytatva bármely térben definiálhatnánk egy speciális részhalmazt, hogy a végtelenben vett határérték vizsgálódását ezen részhalmazra leszűkítve végezzük. De ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} ,n>1}$  esetén nem szoktunk megkülönböztetni irány szerinti végteleneket.

A valós számegyenesnél a ${\displaystyle (-\infty ,0)}$  és a ${\displaystyle (0,+\infty )}$  intervallumok által szűkített végtelenben vett határérték keresése rendre a ${\displaystyle -\infty }$  és a ${\displaystyle +\infty }$  határérték fogalmához vezet. Hasonlóan lehet a határérték ${\displaystyle \pm \infty }$  is.

Komplex számok esetében sincs ${\displaystyle \pm \infty }$ , topológiailag izomorf ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$ -tel. Ez esetben a végtelen pontot szemléletesen definiálhatjuk az úgynevezett Riemann-gömbbel. Ha ennek megfelelően elkészítjük a valós esetre vonatkozó szemléltető kört, akkor a ${\displaystyle \pm \infty }$ -ben vett limes-t felfoghatjuk úgy is, mint a végtelenben vett bal és jobb oldali határértéket.

Tétel: Egy ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$ -beli vektorsorozat pontosan akkor tart végtelenbe, ha legalább az egyik koordinátasorozata végtelenbe tart.

Ekkor belátható, hogy a vektor normája is tart végtelenbe. Fordítva, ha a norma tart végtelenbe, akkor legalább egy koordináta abszolút-értéke is végtelenbe kell hogy tartson.

Fentebb már említésre került, hogy általános topologikus terek között ható függvénynek egy adott pontban, illetve pontsorozatnak létezhet több határértéke is. Ilyenkor a határértékek egy halmazáról, mint megoldásról érdemes beszélni. Ahhoz, hogy egy egyenlőségi formulával adhassuk meg a határértéket, annak egyértelműen kell léteznie. Ez egy speciális térben mindig igaz is:

Hausdorff-tér vagy ${\displaystyle T_{2}}$  tér olyan topologikus tér, amelyben minden pontpárhoz található őket elválasztó diszjunkt környezet.

Tétel: Hausdorff-térben ha létezik határérték, akkor egyértelműen létezik.

Legtöbbször azonban metrikus terekben (${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n},}$ …) lévő pontsorozatokkal és ezen terek között ható függvényekkel (${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ,\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m},}$ …) találkozunk és vizsgáljuk határértéküket.

Tétel: Minden metrikus tér egyben Hausdorff-tér is.

Tehát metrikus terekben is egyértelmű a határérték. Értelemszerűen minden metrikus tér egyben topologikus tér is. Pontosabban, természetes módon topologikus térré tehető, ha az ${\displaystyle \epsilon }$ -sugarú nyílt gömbök segítségével definiáljuk a környezeteket.

• általánosan: "limesz iksz tart iksznullba efiksz egyenlő ipszilon"

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x_{0}}f=y}$ 

${\displaystyle x\to x_{0},f(x)\to y}$ 

• sorozatoknál: "á n tart ipszilonba ha n tart végtelenbe"

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{\infty }a_{n}=\lim a_{n}=y}$ 

${\displaystyle n\to \infty ,a_{n}\to y}$ 

• speciális tartományon:

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\lim _{x\to x_{0}}}}f(x)=y}$ 

• Limesz szuperior, inferior:

${\displaystyle \lim _{\infty }\left(\sup _{m\geq n}a_{n}\right)=\limsup a_{n}=\varlimsup a_{n}}$ 

${\displaystyle \lim _{\infty }\left(\inf _{m\geq n}a_{n}\right)=\liminf a_{n}=\varliminf a_{n}}$ 

• Parciális limesz:

${\displaystyle \lim a_{\varphi (n)}}$ , ahol ${\displaystyle \varphi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n>m\Rightarrow \varphi (n)>\varphi (m)}$ 

• Bal és jobb oldali határérték:

${\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,x_{0})\cap D_{f}}{\lim _{x\to x_{0}}}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}-0}f(x)=\lim _{x\to x_{0}-}f(x)=f(x_{0}^{-})}$ 

${\displaystyle {\underset {x\in (x_{0},+\infty )\cap D_{f}}{\lim _{x\to x_{0}}}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=\lim _{x\to x_{0}+}f(x)=f(x_{0}^{+})}$ 

• Végtelenben vett határérték:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{\|x\|\to \infty }f(x)}$ 

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R^{-}} \cap D_{f}}{\lim _{x\to \infty }}}f(x)=\lim _{x\to -\infty }f(x)}$ 

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R^{+}} \cap D_{f}}{\lim _{x\to \infty }}}f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)}$ 

• Derivált, iránymenti derivált:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x_{0}}=f'(x_{0})}$ 

${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0+}{\frac {f(\mathbf {x_{0}} +\lambda \mathbf {e} )-f(\mathbf {x} _{0})}{\lambda }}=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {e} }}\right|_{\mathbf {x_{0}} }=f'_{\mathbf {e} }(\mathbf {x_{0}} )}$ 

• Végtelen sorok összege, improprius integrál:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=m}^{n}a_{i}=\sum _{i=m}^{\infty }a_{i}}$ 

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx=\int _{a}^{\infty }f(x)\ dx}$ 

Bővebben: Konvergencia (matematika)

A fogalom létezésének tényét erősíti, hogy sorozatok esetén egyértelműen mindig a végtelenben vett határértékről beszélünk, így a kérdés leredukálódik a: van-e határértéke vagy sem kérdésre. Olyat nem mondunk, hogy konvergens függvény, vagy a függvény konvergens egy pontban, de egy függvénysorozat lehet az, hiszen az is sorozat.

Legyen Y topologikus tér, ${\displaystyle a_{n}:\mathbb {N} \rightarrow Y}$ . Az ${\displaystyle a_{n}}$  sorozatot konvergensnek nevezzük , ha létezik határértéke. Ellenkező esetben, azaz mikor nincs határértéke, divergensnek nevezzük.

Tétel: Metrikus térben konvergens sorozatnak egyértelmű a határértéke.

Hiszen a metrikus tér Hausdorff-tér is, melyben legfeljebb egy határértéke lehet egy sorozatnak.

Fontos megemlíteni, hogy mivel értelmezzük a végtelen határértéket is oda kell figyelnünk, hogy konvergens nem lehet egy sorozat, ha csak végtelen határértéke van, ugyanis az nem eleme a térnek. Hacsak nem a végtelen elemmel bővített halmazzal van dolgunk, vagy nem tágabb értelemben beszélünk konvergenciáról. A tárgyalási módból ki kell derülnie. Ezért találkozhatunk azzal a kifejezéssel, hogy: létezik a határérték és véges.

Legyen Y metrikus tér, ${\displaystyle a_{n}:\mathbb {N} \rightarrow Y}$ . Az ${\displaystyle a_{n}}$  sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük , ha tetszőlegesen közel kerülnek egymáshoz az elemek, azaz

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists N:n,m\geq N\Rightarrow d_{Y}(a_{n},a_{m})<\epsilon }$ .

Tétel: Minden, metrikus térben konvergens sorozat, egyben Cauchy-sorozat is. Megfordítása általánosan nem igaz.

Ha egy sorozat tetszőlegesen megközelíti a határértéket, akkor a sorozat elemei is tetszőlegesen megközelítik egymást.

Azokat a metrikus tereket, melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens, teljesnek nevezzük.

Tétel: Minden metrikus tér teljessé tehető. (Úgy, hogy hozzávesszük azon hipotetikus pontokat, amelyeket a divergens Cauchy-sorozatok kijelölnek.)

Tétel: Az ekludeszi tér ${\displaystyle (\mathbb {R^{n}} )}$  teljes metrikus tér.

Nem teljes tér például ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . A sorozat, melynek ${\displaystyle n}$ . tagja olyan racionális szám, mely a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ -t ${\displaystyle n}$  tizedesjegy pontossággal írja le, határértéke ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , de ez nem racionális szám. Természetesen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -ben a sorozat konvergens lenne, illetve Cauchy-konvergens ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -ban. Ha a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -t teljessé tesszük, akkor pedig éppenséggel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -t kapjuk.

• Császár Ákos: Valós analízis I.