Derivált

Legyen f egyváltozós valós függvény, x₀ az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x₀-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán^[2] a

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ 

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).^[3]

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

${\displaystyle f'(x_{0})\,}$ , vagy ${\displaystyle {\frac {df(x_{0})}{dx}}}$ , vagy ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x=x_{0}}}$ 

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: ${\displaystyle \scriptstyle {\dot {v}}}$  és fluxiónak nevezte.^[4]

Rögzített x esetén az

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ 

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados ${\displaystyle x\to x_{0}}$  melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{h\to 0+0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$  határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{h\to 0-0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$  határérték létezik és véges.

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

${\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$  illetve ${\displaystyle \lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$ 

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

${\displaystyle {\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}\,}$ 

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

${\displaystyle v(t)=\lim \limits _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}\,={\dot {s}}(t)}$ 

Az ${\displaystyle \scriptstyle {{\dot {s}}(t)}}$  pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Legyen ${\displaystyle f}$  egyváltozós valós differenciálható függvény, ${\displaystyle x}$  és ${\displaystyle x_{0}}$  egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje ${\displaystyle f(x)=y}$  és ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ . Ekkor a koordinátasíkon az ${\displaystyle (x;y)}$  és ${\displaystyle (x_{0};y_{0})}$  pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$  differenciahányados. Ha ${\displaystyle x}$  tart ${\displaystyle x_{0}}$ -hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az ${\displaystyle x_{0}}$  -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény ${\displaystyle x_{0}}$ -beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon ${\displaystyle x_{0}}$ -beli érintőjének meredekségét adja meg.

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;x\mapsto x^{3}}$ 

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

${\displaystyle {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{3}-x^{3}}{\Delta x}}=}$ 

${\displaystyle ={\frac {(x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3})-x^{3}}{\Delta x}}=}$ 

${\displaystyle ={\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}}$ 

Vagyis a derivált:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}}$ 

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}(3x^{2}+3x\cdot \Delta x+(\Delta x)^{2})}$ 

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}+3x\cdot 0+0^{2}\,}$ 

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}\,}$ 

• Magyarított Flash animáció a derivált geometriai jelentéséről a szinuszfüggvény példáján Archiválva 2012. szeptember 26-i dátummal a Wayback Machine-ben. Szerző: David M. Harrison

• Parciális derivált