Numerikus analízis

A numerikus analízis kutatása részterületekre oszlik.

Lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldásával foglalkozik a numerikus lineáris algebra. Az egyik közismert algoritmus lineáris egyenletrendszerek megoldására a Gauss elimináció, amely ${\displaystyle O(n^{3})}$  idő alatt számítja ki a megoldást, ahol n az ismeretlenek száma.

Számítások során gyakran kell adott egyenleteknek a megoldásait megkeresnünk. Két esetet különböztethetünk meg: az egyenlet lehet lineáris és nemlineáris. Például, a ${\displaystyle 2x+5=3}$  egyenlet lineáris, míg a ${\displaystyle 2x^{2}+5=3}$  nemlineáris.

A lineáris egyenletrendszerek megoldására, sok különböző módszert dolgoztak ki. Ezek a metódusok mátrixfelbontásokat alkalmaznak, ilyenek a Gauss-elimináció, LU felbontás, Cholesky-felbontás a szimmetrikus (vagy Hermite-féle) és pozitív definit mátrixokra, és QR felbontás a nem négyzetes mátrixokra. Iteratív módszerek a Jacobi-módszer, Gauss–Seidel-módszer, szukcesszív túlrelaxálás módszere és a konjugált gradiens módszere, ezeket nagy számú egyenletekből álló egyenletrendszerekre alkalmazzák.

Gyökkereső algoritmusokat használunk nemlineáris egyenletek megoldására (azért ez a nevük, mert a függvény gyökeinek hívjuk azokat a pontokat, ahol a függvény értéke zéró). Ha a függvény deriválható és a derivált ismert, akkor a Newton-módszer jól alkalmazható. A linearizálás egy másik módszer nemlineáris egyenletek megoldására.

Léteznek numerikus algoritmusok nemlineáris egyenletekhez is. A fixpont tételt felhasználva például konvergens rekurzív algoritmus adható bizonyos feltételek mellett.

Bővebben: Exponenciális függvények értékeinek kiszámítása

Interpolációról beszélünk, ha egy adott ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  függvényosztályból keresünk egy olyan f függvényt amely megadott helyeken megadott értékeket vesz fel. Ilyen függvényeket határoznak meg az interpolációs algoritmusok:

${\displaystyle \forall i\in [1..n]:f(x_{i})=y_{i}}$ 

Approximációról beszélünk, ha egy adott ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  függvényosztályból keresünk egy olyan f függvényt amely megadott pontokban megadott értékeket minél jobban közelít. A távolság általában, de nem feltétlenül az eltérések négyzetösszege:

${\displaystyle \min _{f\in {\mathcal {F}}}\sum _{i=1}^{n}(f(x_{i})-y_{i})^{2}}$ 

Mátrixok sajátértékeinek numerikus meghatározásával foglalkoznak a sajátértékalgoritmusok.

Függvények integráljának algoritmikus kiszámítását numerikus integrálásnak hívják. Két legismertebb és leggyakrabban használt módszere a trapéz- és a Simpson-módszer.

Differenciálegyenletek numerikus analízisének széles körben ismert és alkalmazott közelítő eljárása a Runge–Kutta-módszer család, amelyet Carl Runge és Martin Wilhelm Kutta német matematikusok dolgoztak ki 1900 körül.

A numerikus analízis algoritmusai általánosak, így a legtöbb programnyelven implementálhatóak. Vannak azonban kifejezetten numerikus számításokra optimalizált szoftvereszközök is:

• Maple
• MATLAB
• Mathematica
• MuPAD
• Octave

•   A Wikimédia Commons tartalmaz Numerikus analízis témájú kategóriát.