Matematická analýza
Matematická analýza (řecky ανάλυσις [ana'lyzɪs] „řešení“, starořecky ἀναλύειν ánalýein „řešit“) je jednou ze základních disciplín matematiky. Jejími základními pojmy jsou funkce, limita (posloupností a funkcí), derivace a integrál.[1] Zahrnuje však také teorii míry, nekonečných řad[2] a analytických funkcí. Metody matematické analýzy mají velký význam v přírodních a technických vědách.
Základy matematické analýzy (infinitezimální počet) se zejména v anglosaských zemích označují jako calculus, kalkul(us), což se po roce 2000 prosazuje někde i do češtiny.[3] (Existuje však i logický kalkulus.) Toto označení pochází z latinského slova calculus, oblázek. Ve starověkém Římě se oblázky používaly v abacích, což byly desky s drážkami, ve kterých se kaménky posunovaly obdobně jako korálky na drátěném počítadle.
Předmět zkoumání
[editovat | editovat zdroj]Základními oblastmi matematické analýzy jsou teorie posloupností, limit, integrální počet a diferenciální počet na množině reálných čísel. Dále sem patří teorie obyčejných i parciálních diferenciálních rovnic, integrálních rovnic, funkcí komplexní proměnné, diferenciální geometrie, variační počet a další obory.[4]
Původně se matematická analýza studovala v oboru reálných, později komplexních čísel. V současnosti se však její metody aplikují v široké třídě topologických prostorů. Důvodem je jednak možnost aplikace na širší třídu problémů (například studium funkcionální analýzy), jednak hlubší porozumění analýze v abstraktnějších prostorech, jež se už mnohokrát ukázalo být přímo aplikovatelné na klasické problémy. Jedním z příkladů by mohla být Fourierova analýza, kde jsou funkce vyjádřeny jako určité nekonečné řady (s komplexním exponentem nebo řady trigonometrických funkcí). V reálném světě je tato dekompozice užitečná k rozložení libovolné (zvukové) vlny až na jednotlivé frekvenční součásti. Koeficienty výrazu ve Fourierově rozvoji funkce mohou být také uvažovány jako vektory nekonečně-dimenzionálního prostoru, který je známý jako Hilbertův prostor. Studium funkcí definovaných v takto dostatečně obecných podmínkách také poskytuje pohodlnou metodu získávání informací o tom, jak se funkce mění v prostoru, stejně jako v čase. Při řešení parciálních diferenciálních rovnic se tato technika nazývá oddělení proměnných.
Historie
[editovat | editovat zdroj]První kroky v analýze byly učiněny již v počátcích řecké matematiky v období antiky. Například nekonečná geometrická řada byla známa již tehdy díky Zénonovým aporiím.[5] Později řečtí matematici jako například Eudoxos a Archimédés vytvořili ještě jasnější, ovšem zatím neformální, použití konceptu limit a konvergence, když používali metodu vyčerpání ke spočtení plochy a obsahu/objemu dvou- a třírozměrných objektů.[6] V 12. století v Indii vytvořil matematik Bháskara II. koncepci diferenciálního počtu, příklady derivačního a diferenciálního koeficientu a také tvrzení, které je dnes známé jako Rolleova věta.
Základy matematické analýzy vznikají až v době, kdy byl přesně definován infinitezimální počet, nezávisle na sobě Leibnizem a Newtonem.
Úspěch infinitesimálního počtu se vyvinul časem na diferenciální rovnice, vektorový počet, variační počet, komplexní analýzu a diferenciální topologii.
Aplikace
[editovat | editovat zdroj]Vývoj a použití kalkulu (diferenciálního a integrálního počtu) a matematické analýzy měl a má dalekosáhlé důsledky pro téměř všechny aspekty života v moderním světě. Je používán téměř ve všech vědách, především ve fyzice. Prakticky všechny moderní výdobytky, například různé stavební techniky, letectví a jiné technologie používají infinitezimální počet přímo ve svých základech. Mnoho algebraických vzorců, které jsou dnes používané v balistice, energetice a jiných praktických vědách, byly odvozené prostřednictvím kalkulu.
Odkazy
[editovat | editovat zdroj]Reference
[editovat | editovat zdroj]V tomto článku byly použity překlady textů z článků Analysis na německé Wikipedii a Mathematical analysis na anglické Wikipedii.
- ↑ Whittaker, Watson. [s.l.]: [s.n.], 1927. Kapitola 3.
- ↑ HEWITT, Edwin; STROMBERG, Karl. Real and Abstract Analysis. [s.l.]: Springer-Verlag, 1965. Dostupné online.
- ↑ Ilja Černý, Úvod do inteligentního kalkulu : 1000 příkladů z elementární analýzy. Praha : Academia, 2002
- ↑ G. J. Šilov: Matematická analýza. Alfa, Bratislava 1974, str. 9
- ↑ STILLWELL, John. Real and Abstract Analysis. [s.l.]: [s.n.], 2004. 170 s. Kapitola Infinite Series.
„Nekonečné řady byly v řecké matematice přítomny, [...] Není pochyb, že Zénonův dichotomický paradox (Sekce 4.1) se zabývá například rozložením čísla 1 do nekonečné řady 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ... a že Archimedes nalezl oblast parabolického segmentu (Sekce 4.4) vlastně sčítáním nekonečné řady 1 + 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... = 4/3. Oba tyto příklady jsou zvláštními případy toho, co dnes označujeme jako součet geometrické řady“ - ↑ (, 1958)Smith. [s.l.]: [s.n.], 1958.
Literatura
[editovat | editovat zdroj]- Matematická analýza nejen pro fyziky (I) až (III) , Praha : Matfyzpress, 2004 až 2007, ISBN 80-86732-25-8, ISBN 80-7378-007-0, ISBN 978-80-7378-020-3, Jiří Kopáček
- [1] Measure and integral, Praha : Matfyzpress, 2005, ISBN 80-86732-68-1, Jaroslav Lukeš, Jan Malý
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu matematická analýza na Wikimedia Commons
- Největší vědecké spory historie: Kdo první objevil derivaci? – 21. století, Martin Janda (19. 02. 2007)
