σ-additivitás

Legyen A egy nemüres halmaz, és jelölje M az A részhalmazainak egy családját. Halmazfüggvénynek nevezzük az olyan leképezést, amelynek értelmezési tartománya ${\displaystyle M}$ , értékkészlete pedig a ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$  kiterjesztett számegyenes. Halmazfüggvény például a háromdimenziós euklideszi tér térfogattal bíró halmazain a térfogatfüggvény, de ilyen az egészek részhalmazain értelmezett számosságfüggvény is.

Egy ${\displaystyle \lambda }$  halmazfüggvényt akkor nevezünk additívnak, ha az értelmezési tartományabeli diszjunkt halmazpárok unióján is értelmezve van, és ott értéke az egyes halmazokon felvett értékek összege. Képletben: valahányszor

${\displaystyle X,Y\in M}$  és ${\displaystyle X\bigcap Y=\emptyset }$ 

fennáll, teljesül a

${\displaystyle \lambda (X\bigcup Y)=\lambda (X)+\lambda (Y)}$ .

egyenlőség is.

Indukcióval belátható, hogy az additivitás kettőnél több (de véges sok) halmazra is kiterjeszthető, azaz ha X₁, X₂, X₃, … X_n halmazok egy páronként diszjunkt családja, akkor

${\displaystyle \lambda \left(\bigcup _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda (X_{i}).}$ 

A σ-additivitás ennek a tulajdonságnak a kiterjesztése megszámlálhatóan sok X_i-re: ha X₁, X₂, X₃, … halmazok egy páronként diszjunkt megszámlálhatóan végtelen családja, akkor

${\displaystyle \lambda \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda (X_{i}).}$ 

• P. R. Halmos: Mértékelmélet (Gondolat, 1994)