Axiomatikus halmazelmélet

Tulajdonképpen több formális-axiomatikus halmazelmélet létezik, melyek nagyrészt elsőrendű nyelven kifejtett formális logikai rendszerek. Közös jellemzőjük, hogy mindegyik tartalmazza a

'… eleme …-nak'

(formálisan 'x ∈ y') kétváltozós relációt (vagy másként kétbemenetű predikátumot) és az erre vonatkozó jellegzetes halmazelméleti axiómákat.

Egyes elméletekben az ' ∈ ' reláción kívül szerepel a

'… halmaz'

predikátum mint alapfogalom, vagy mint valamilyen módon definiált tulajdonság.

Minden halmazelméletben központi jelentőségűek az { x | P(x) } alakú kifejezések (itt P(x) predikátumot jelöl) melyeknek szándékolt jelentése: "azon x-ek összessége, melyekre P(x) teljesül". Az elsőrendű nyelvekre épülő halmazelméletekben azonban csak látszólagosan szerepel az elmélet nyelvében. Valójában ezeket az kifejezéseket a formális nyelvben az ' ∈ ' jel mindkét oldaláról ki lehet (és ki is szokás) küszöbölni, például:

${\displaystyle a\in \{x\mid P(x)\}\Longleftrightarrow P(a)}$ 

A halmazelméletnek számos variánsát dolgozták ki. Érdemes őket olyan szempontból tekinteni, hogy formális nyelvük milyen entitások létezését feltételezi tárgyalási univerzumukban.

• Zermelo-Fraenkel halmazelmélet(ZF) ez a halmazelmélet leggyakrabban alkalmazott axiomatizált elmélete. A ZFC elméletet (azaz a kiválasztási axiómával bővített ZF elméletet) sztenderd halmazelméletnek is nevezik. Ontológiájában kizárólag halmazok szerepelnek, azaz nem kell külön bevezetni a '… halmaz' predikátumot, mert minden változója automatikusan halmazváltozónak minősül. ZF lényegében csak halmazokról tud állítást tenni. Egy további tagja ennek az ontológiai osztálynak a Kripke-Platek halmazelmélet (KP).
• Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet (NBG) ebben a halmazelméletben definiálnak egy ${\displaystyle \,Set(x)\,}$  predikátumot, a következőképpen:

${\displaystyle Set(x)\iff (\exists y)(x\in y)}$ 

ez játssza a '… halmaz' predikátum szerepét. Ennek megfelelően léteznek olyan elemek a tárgyalási univerzumban, melyek nem halmazok. Ezek a valódi osztályok. Ezek segítségével jól láthatóvá válnak azok a jelenségek, melyek a naiv halmazelmélet ellentmondásosságához vezettek. NBG ontológiája tehát némiképp gazdagabb mint ZF-é, mert többféle dologról képes állítást tenni. Mindazonáltal meg kell jegyeznünk, hogy NBG bővebb volta csak látszólagos, valójában a két elmélet ekvikonzisztens.

• Bourbaki halmazelmélet – A Bourbaki halmazelmélet érdekessége, hogy nem a hagyományos elsőrendű nyelvre alapul, hanem egy kétdimenziós, grafikus elemeket is tartalmazó formális rendszerre (mely azonban lényegében megfelel egy elsőrendű nyelvnek). További furcsaság, hogy a nyelvében a Hilbert-féle epszilon szimbólum segítségével megfogalmazhatók határozatlan deskripciók, melyek révén bármilyen tulajdonságú dolognak lehet képezni a nevét. A Bourbaki halmazelmélet ontológiája tehát annyiban összetettebb, amennyiben a deskripciók elméletének problémái megjelennek benne.
• Atomos Kripke-Platek halmazelmélet (KPU) illetve Ruzsa-féle halmazelmélet – Ezekben a halmazelméletekben az osztályokon kívül olyan entitások is megjelennek, melyek halmaznak lehetnek ugyan elemei, de maguk nem halmazok. Az ilyen objektumokat individuumnak, atomoknak, őselemeknek vagy ősobjektumoknak nevezzük (idegen szóval atoms vagy urelements). Létük a logikai szemantika szempontjából fontos.

A többi halmazelmélet lényegében ezeknek a rendszereknek (főleg a ZFC-nek) bővítésével, vagy valamely axiómájuk módosításával jönnek létre.

Felsoroljuk a sztenderd halmazelmélet (azaz a ZFC rendszer) axiómáit, ugyanis a többi halmazelmélet axiómarendszerét ezzel érdemes összevetni.

Létezik halmaz.

Ez az axióma lényegében szükségtelen, például azért mert később a végtelenségi axióma deklarálja egy halmaz létezését. Gyakran úgy is fogalmaznak, hogy létezik az üres halmaz.

Ha két halmaznak ugyanazok az elemei, akkor a két halmaz egyenlő.

Ha A és B halmaz, akkor létezik az a halmaz melynek A és B az elemei és nincs más eleme (jelben: {A,B}).

Minden halmazrendszernek van unióhalmaza.

Minden halmaznak létezik hatványhalmaza.

Ha T valamilyen (a halmazelmélet terminusaival megfogalmazható) tulajdonság és A halmaz, akkor létezik az a halmaz, mely pontosan az A halmaz T tulajdonságú elemeiből áll

(jelben: {x ∈ A | T(x) }).

Lényegében ez egy axiómaséma.

Létezik monoton halmaz.

Monoton halmazon itt olyan M halmazrendszert kell érteni, melyre teljesül, hogy:

• ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {M}}}$  és
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}\,}$  minden ${\displaystyle H\,}$  elemével együtt a ${\displaystyle H\cup \{H\}}$  halmaz is eleme ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ -nek.

itt ∪ az unió jele.

Nemüres halmazok nemüres rendszerének Descartes-szorzata nem üres.

Azaz ha H olyan halmazrendszer, mely nem üres és egyik tagja sem üres, akkor létezik olyan (halmazelméleti) függvény, mely H-n értelmezett és H minden egyes X tagjához egy X-beli elemet rendel.

Ha P(x,y) kétváltozós predikátum mely a halmazelmélet terminusaival megfogalmazható és egyértelmű az y változójában, továbbá H halmaz, akkor { y | 'x ∈ H és P(x,y)' } halmaz.

Azaz, legyen P függvényszerű abban az értelemben, hogy minden egyes x-hez egyetlen y létezik, mellyel P(x,y) fennáll, ekkor tekinthetjük azt a (nem halmazelméleti!) 'f(x)=y' függvényt, mely minden x-hez azt az egyetlen y-t rendeli, melyre P(x,y) teljesül. A pótlás axiómája azt mondja, hogy ekkor minden H halmaz f általi f(H) képe szintén halmaz.

Egy nemüres halmaznak mindig van olyan eleme, mellyel már nincs közös része.

Megjegyezzük, hogy ennek az axiómának következménye, hogy minden H halmaz esetén cáfolható az H ∈ H kijelentés, azaz minden H halmaz esetén H nem lehet eleme H-nak. Érdekesség, hogy ha nem tennénk fel ezt az axiómát, akkor létezhetne végtelen leszálló lánc az ∈ relációra vonatkozóan, például:

… ∈ H ∈ H ∈ H ∈ …

• A Planetmath Set theory szócikke Archiválva 2006. június 24-i dátummal a Wayback Machine-ben