Hilbert-tér

 

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

A H vektorteret a T test (valós vagy komplex számtest) feletti Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-féle alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.

Azaz létezik egy leképzés: ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon H\times H\to T}$ , amely minden ${\displaystyle H}$ -beli ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ -re és minden ${\displaystyle T}$ -beli ${\displaystyle \lambda }$ -ra a következőket teljesíti:

1. ${\displaystyle \langle {x},{x}\rangle \geq 0}$  (nemnegatív);
2. ${\displaystyle \langle {x},{x}\rangle =0\Leftrightarrow {x}={0}}$  (definit);
3. ${\displaystyle \langle {x},{y}\rangle ={\overline {\langle {y},{x}\rangle }}}$  (hermitikus - valós esetben a konjugálás elhagyható);
4. ${\displaystyle \langle {x},\lambda {y}\rangle =\lambda \langle {x},{y}\rangle }$  és ${\displaystyle \langle {x},{y}+{z}\rangle =\langle {x},{y}\rangle +\langle {x},{z}\rangle }$  (lineáris a második argumentumban).

Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ .

H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.

Megjegyzések:

• Ebben a definícióban a skaláris szorzat a második argumentumban lineáris, az elsőben C-antilineáris, ez fordítva is működne, illetve használják is.
• Ha egy Hermite-féle alak értelmezve van a komplex vektortéren, akkor unitér térről beszélünk, valós esetben euklideszi vektortérről.
• Mivel minden Hilbert-tér unitér vagy euklideszi, érvényes benne a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, a polarizációs formula és a paralelogrammaazonosság, valamint a Bessel-egyenlőtlenség és a Pitagorasz-tétel.
• A 3. tulajdonságban a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, valós esetben a 3. tulajdonság a skaláris szorzat szimmetriája.
• Vegyük észre, hogy a norma definíciójában a gyök a norma homogenitása miatt szükséges.

• Az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  koordinátatér az ${\displaystyle \langle u,v\rangle =u_{1}v_{1}+\dotsb +u_{n}v_{n}}$  valós skalárszorzattal
• A ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  koordinátatér az ${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\bar {u}}_{1}v_{1}+\dotsb +{\bar {u}}_{n}v_{n}}$  skalárszorzattal
• A ${\displaystyle {\mathbb {K} }^{m\times n}}$  valós vagy komplex mátrixtér a Frobenius-skalárszorzattal
• A ${\displaystyle H^{p}}$  Szoboljev-tér minden ${\displaystyle p\geq 0}$  esetén. Ezek képezik a parciális differenciálegyenletek megoldáselméletének alapját.
• A Hilbert-Schmidt-operátorok ${\displaystyle HS}$  tere.
• A ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )}$  Hardy-tér és a ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$  valós Hardy-tér.
• Az ${\displaystyle \ell ^{2}}$  sorozattér, melyet azok a sorozatok alkotnak, ahol a sorozat elemeinek négyzetösszege véges. David Hilbert ezt a teret vizsgálta. Fontossága abban áll, hogy minden szeparábilis végtelen dimenziós Hilbert-tér izometrikusan izomorf ${\displaystyle \ell ^{2}}$ -tel.
• A négyzetesen integrálható függvények ${\displaystyle L^{2}}$  tere az ${\displaystyle \textstyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int {\overline {f(x)}}\,g(x)\,{\rm {d}}x}$  skalárszorzattal.
• A majdnemperiodikus függvények ${\displaystyle \mathrm {AP} ^{2}}$  tere, ami a következőképpen definiálható: Legyen ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ , ehhez tekintjük azokat az ${\displaystyle f_{\lambda }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$  függvényeket, ahol ${\displaystyle f_{\lambda }\left(t\right)=e^{i\lambda t}}$ . Ellátjuk az ${\displaystyle \operatorname {lin} \left\{f_{\lambda }\colon \lambda \in \mathbb {R} \right\}}$  teret az ${\displaystyle \textstyle \langle f,g\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\tfrac {1}{4T}}\int _{-T}^{T}{\overline {f(t)}}\,g(t)\,{\rm {d}}t}$  skalárszorzattal, így prehilbertteret kapunk. Ezt a teret teljessé téve jutunk az ${\displaystyle \mathrm {AP} ^{2}}$  Hilbert-térhez, ami nem szeparábilis.

Két vektort ${\displaystyle x,y\in H}$  ortogonálisnak mondunk, ha ${\displaystyle \langle {x},{y}\rangle =0}$ , gyakori jelölés: ${\displaystyle x\perp y}$ .

Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha ${\displaystyle S\subset H}$ , és ${\displaystyle \forall x,y\in S,x\neq y:\langle {x},{y}\rangle =0}$ . Ha egy ortogonális rendszer nem bővíthető (maximális), akkor ortogonális bázis. Az ortogonális bázisok lineáris burka sűrű a Hilbert-térben. A lineáris algebrában megszokott értelemben ezek csak véges dimenziós esetben bázisok.

Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha ${\displaystyle S\subset H}$ , és ${\displaystyle \forall x_{i},x_{j}\in S:\langle {x_{i}},{x_{j}}\rangle =\delta _{ij}}$ , ahol ${\displaystyle \delta _{ij}}$  a Kronecker-delta. A Zorn-lemmával belátható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Egy véges ${\displaystyle S=\{x_{n}|n=1,2,...,N\}}$  ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel-egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:

Pitagorasz:

${\displaystyle ||x||^{2}=\sum _{n=1}^{N}|\langle {x_{n}},{x}\rangle |^{2}+||x-\sum _{n=1}^{N}\langle {x_{n}},{x}\rangle x_{n}||}$ 

Bessel:

${\displaystyle ||x||^{2}\geq \sum _{n=1}^{N}|\langle {x_{n}},{x}\rangle |^{2}}$ 

Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz ${\displaystyle B\subset H}$  egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely ${\displaystyle x\in H}$ -val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.

A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és ${\displaystyle B=\{x_{i}\in H:i\in I\}}$  egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:

${\displaystyle y=\sum _{i\in I}\langle {x_{i}},{y}\rangle x_{i}}$ , ahol ${\displaystyle \langle {x_{i}},{y}\rangle }$  csak megszámlálható sok ${\displaystyle i\in I}$ -re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:

${\displaystyle ||y||^{2}=\sum _{i\in I}|\langle {x_{i}},{y}\rangle |^{2}}$  (Parseval tétel).

Ortonormált bázisokkal a Hilbert-terek teljesen osztályozhatók. Minden Hilbert-térben van ortonormált bázis, és egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása megegyezik. Egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása tehát jóldefiniált. Ezt nevezzük a tér Hilbert-dimenziójának, röviden dimenziójának. Ugyanazon test fölötti megegyező dimenziójú Hilbert-terek izomorfak, ugyanis a két bázis elemről elemre megfeleltethető egymásnak, és ez a megfeleltetés folytonosan kiterjeszthető az egész térre.

Egy Hilbert-altér egy Hilbert-tér olyan részhalmaza, ami a Hilbert-térben értelmezett vektorösszeadás, skalárral szorzás és skalárszorzás leszűkítésére szintén Hilbert-tér. Ez azt is jelenti, hogy altere, mint vektortérnek, hiszen ezek a kikötések feltételezik a nullvektor tartalmazását, és zárt a vektorösszeadásra és a skalárral szorzásra. Emellett még a skalárszorzásra is teljesnek kell lennie; ez ekvivalens azzal, hogy topológiai értelemben zárt. Emiatt a Hilbert-altereket zárt alterekként is emlegetik, szemben az egyszerűen csak altérként említett vektorterekkel. Általában ezek az alterek skalárszorzatos vektorterek, melyek sűrűek egy Hilbert-térben, ami lezárással kapható. Lehetséges Hilbert-alterekre hányadosteret képezni, ekkor szintén Hilbert-térhez jutunk.

Ez hasonló a Banach-terek esetéhez, melyek vektortéri értelemben vett alterei normált terek. Egy fontos különbség a projekciós tétel: Adva legyen egy Hilbert-tér, amiben kiválasztunk egy elemet, és egy Hilbert-alteret. Ekkor a Hilbert-altérben egyértelműen van egy vektor, melynek az adott vektortól mért távolsága minimális. Banach-terekben ez általában már véges dimenzióban sem igaz. Ez lehetővé teszi Hilbert-altér hányadosterének kanonikus azonosítását egy Hilbert-altérrel, ez az ortogonális komplementer; és az ortogonális vetítés bevezetését is. Egy Hilbert-altér ortogonális komplementere egy komplementer Hilbert-altér; azonban Banach-alterekhez általában nincs komplementer altér.

Definíció: Legyen ${\displaystyle S\subset H}$ , ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:

${\displaystyle S^{\bot }:=\{x\in H|\langle {x},{y}\rangle =0\quad \forall y\in S\}}$ .

Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor ${\displaystyle H=M\oplus M^{\bot }}$ 

Komplex Hilbert-terek esetén a skalárszorzás nem szimmetrikus; lineáris a második argumentumban, és szemilineáris az elsőben. Azonban definiálható a konjugált Hilbert-tér, a következőképpen: Legyen ${\displaystyle H}$  Hilbert-tér, és legyen a ${\displaystyle {\overline {H}}}$  értelmezve ugyanazon az alaphalmazon, és legyen a vektorok összeadása is ugyanaz, mint ${\displaystyle H}$ -ban. A többi művelet:

• Skalárral szorzás: ${\displaystyle \lambda \cdot _{\overline {H}}u:={\overline {\lambda }}u}$ 
• Skalárszorzás: ${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\overline {H}}:={\overline {\langle u,v\rangle }}=\langle v,u\rangle }$ .

Ezekkel a műveletekkel ${\displaystyle {\overline {H}}}$  szintén Hilbert-tér, ${\displaystyle H}$  konjugált Hilbert-tere. A konjugált Hilbert-tér konjugált Hilbert-tere, az eredeti Hilbert-tér.

A funkcionálanalízisben vizsgálnak olyan terek közötti leképezéseket is, amelyek megtartják a terek struktúráját. Ezek a leképezések megtartják a vektortér struktúrát is, azaz lineáris leképezések, melyeket a funkcionálanalízisben lineáris operátoroknak neveznek.

A Hilbert-terek közötti lineáris operátorok fontos osztálya a folytonos lineáris operátoroké. Ezek megtartják a topologikus struktúrát, így a konvergenciát is. További fontos tulajdonságok valamilyen értelmű korlátosságot feltételeznek. A korlátosság ekvivalens a folytonossággal; így sokszor egyszerűen csak folytonos operátorokként emlegetik őket. A kompaktság egy erősebb követelmény. A Schatten-Neumann-osztályok a kompakt operátorok osztályának valódi alosztályai. Az operátorok osztályain szintén definiálnak normákat és operátortopológiákat.

Az unitér operátorok a Hilbert-terek természetes izomorfizmus fogalmát definiálják, mivel ezek éppen az izomorfizmusok a Hilbert-terek kategóriájában, a skalárszorzattartó lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Ezek konkrétan a lineáris szürjektív izometriák, a szögek és hosszak megőrzésével.

A folytonos lineáris operátorokat meghatározza, hogy egy ortonormált bázist mire képez le. Valójában minden kardinális számhoz létezik valós és komplex Hilbert-tér is, melynek a dimenziója megegyezik az adott kardinális számmal, például az ${\displaystyle \ell ^{2}(I)}$  tér, ahol az ${\displaystyle I}$  indexhalmaz kardinális száma az adott kardinális szám:

${\displaystyle \ell ^{2}(I):=\left\{u\colon I\to K\mid \sum _{i\in I}\left|u(i)\right|^{2}<\infty \right\}}$ ,

ahol ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$  vagy ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ , és a konvergencia érdekében előírjuk, hogy csak megszámlálható sok tag különbözik a nullától (lásd feltétlen kovergencia). Ezt a teret ellátjuk az

${\displaystyle \langle u,v\rangle :=\sum _{i\in I}{\overline {u(i)}}v(i)}$ ,

skalárszorzattal. Az ${\displaystyle \ell ^{2}(I)}$  tér egy ortonormált bázisát alkotják az ${\displaystyle u_{i}}$  vektorok, ahol ${\displaystyle u_{i}(j)=\delta _{ij}}$ . A Riesz-Fischer-tétel azt mondja ki, hogy minden Hilbert-tér izomorf egy ilyen térrel.

Bővebben: Riesz reprezentációs tétel

Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz

${\displaystyle H^{*}:=\{T:H\rightarrow \mathbb {C} \quad |\quad T\quad {\mbox{lineáris és folytonos}}\}}$ 

a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy ${\displaystyle T:H\rightarrow \mathbb {C} }$  lineáris függvényre igaz:

${\displaystyle T\quad {\mbox{folytonos}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad ||T||<\infty }$ 

${\displaystyle ||T||:=\sup\{{\frac {|Tx|}{||x||}}\ |\quad x\neq 0,\quad x\in H\}}$ 

Tétel (Riesz reprezentáció): Minden ${\displaystyle T\in H^{*}}$ -hez létezik pontosan egy ${\displaystyle y_{T}\in H}$ , úgy hogy ${\displaystyle T(x)=\langle {y_{T}},{x}\rangle }$  minden x-re H-ban, és
${\displaystyle ||y_{T}||=||T||}$ .

Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől. Komplex esetben a tétel hasonlóan működik, azzal a különbséggel, hogy a leképezés szemilineáris, tehát az operátor is szemilineáris. Mindkét esetben a Hilbert-tér izomorf a duális terével (egy szemiunitér ${\displaystyle H\to H^{\prime }}$  operátor felbontható egy ${\displaystyle H\to H^{\prime }}$  unitér és egy ${\displaystyle H^{\prime }\to H^{\prime }}$  szemiunitér operátorra), így a Hilbert-tér izomorf a biduális terével, tehát a Hilbert-terek reflexívek.

Ezen tétel felhasználásával vezetik be a fizikusok a bra-ket írásmódot, mely a Hilbert-tér elemeit ${\displaystyle |x\rangle }$  módon jelöli, és ket-vektoroknak nevezi őket, a duálvektorokat pedig ${\displaystyle \langle x|}$  módon, melyeket bra-vektoroknak nevez. Két vektor skaláris szorzata, pedig a duálvektor hattatása a vektorra: ${\displaystyle \langle y|(|x\rangle )=\langle {y}|{x}\rangle =\langle {y},{x}\rangle }$ , azaz a duálvektort a vektor mellé írjuk, így a bra és a ket vektor képzi nyelvi humorral a bracket-et, azaz a skaláris szorzat jelölésére használt zárójelet.

A tételből következik, hogy egy ${\displaystyle X}$ -ből ${\displaystyle Y}$ -ba menő lineáris operátor adjungált operátora értelmezhető, mint egy ${\displaystyle Y}$ -ból ${\displaystyle X}$ -be menő lineáris operátor. Így egy operátor felcserélhető adjungált operátorával; az efféle operátorok alkotják a normális operátorok osztályát. Egy Hilbert-tér operátorainál fennáll annak a lehetősége, hogy egy operátor adjungált operátora önmaga. Ezek az önadjungált operátorok.

Egy Hilbert-téren több fent bevezetett operátorosztály operátoralgebrát alkot. Az adjungálással, mint involúcióval és egy megfelelő normával involutív Banach-algebrákat alkotnak. Egy Hilbert-tér folytonos lineáris operátorai az adjungálással és az operátornormával C*-algebrát alkot.

Az ortonormált bázisok hasznosak a Hilbert-terek és elemeik vizsgálatára mind valós, mind komplex test fölött. Például az elemek ábrázolása meghatározható ortonormált bázisban. Legyen ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots )}$  ortonormált bázis, és ${\displaystyle v}$  a Hilbert-tér egy vektora. Mivel ${\displaystyle B}$  ortonormált bázis, azért vannak ${\displaystyle \alpha _{k}\in \mathbb {R} }$  illetve ${\displaystyle \mathbb {C} }$  együtthatók úgy, hogy

${\displaystyle v=\sum _{k}\alpha _{k}b_{k}}$ .

Ezek az együtthatók meghatározhatók az ortonormált bázis speciális tulajdonságainak felhasználásával

${\displaystyle \langle b_{n},v\rangle =\left\langle b_{n},\sum _{k}\alpha _{k}b_{k}\right\rangle =\sum _{k}\alpha _{k}\langle b_{n},b_{k}\rangle =\alpha _{n}}$ ,

mivel a különböző bázisvektorok skalárszorzata nulla, és a bázisvektorok önmagukkal vett skalárszorzata 1. Egy vektor ábrázolásának ${\displaystyle n}$ -edik együtthatója ortonormált bázisban meghatározható skalárszorzattal. Ezeket az együtthatókat Fourier-együtthatóknak is nevezzük, mivel a Fourier-analízis egy fogalmának általánosítását nyújtják.

Ha egy Hilbert-teret egy maggal asszociálunk, melyet a térben minden függvény reprodukál, akkor Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS)-ről van szó, ami magyarra fordítva: reprodukáló mag Hilbert-tér. Ezt először Stanisław Zaremba matematikus formalizálta 1907-ben. Jelentősége fél évszázaddal később nőtt meg, amikor a funkcionálanalízisben fontos szerephez jutott. Ma a reprodukáló magos Hilbert-terek a statisztikai elméletek egy szokványos eszköze, különösen a gépi tanulásban.

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).
Minden L-2 tér egy Hilbert-tér.

Minden véges dimenziós belső szorzattal rendelkező tér (mint az Euklideszi-tér a szokásos skalárszorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

• Az unitér csoportreprezentációk elmélete
• A négyzetesen integrálható sztochasztikus folyamatok
• A parciális differenciálegyenletek Hilbert-tér elmélete, különösen a Dirichlet-probléma megfogalmazásai. Lásd még: a parciális differenciálegyenletek megoldáselmélete, amitől a Hilbert-terek a fizikában is nagy fontosságot nyernek
• A függvények spektrális analízise, beleértve a waveleteket

A kvantummechanika matematikai megfogalmazásai. Például a kvantummechanikában egy kvantummechanikai rendszer tiszta állapotai megadhatók Hilbert-térben egy vektorral. Egy kvantummechanikai rendszer állapotai egy lineáris struktúra elemei, vagyis állapotok lineáris kombinációja szintén állapot. Két állapot, ${\displaystyle |\psi \rangle }$  és ${\displaystyle |\phi \rangle }$  skalárszorzatának normájának négyzete azt adja meg, hogy ha egy mérés eredménye ${\displaystyle |\psi \rangle }$ , akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy a rendszer a ${\displaystyle |\phi \rangle }$  állapotban van. Ha a fizikában a Hilbert-térről beszélnek, akkor az adott kvantummechanikai rendszer állapotterét értik.

Például egy szabad részecske lehetséges hullámfüggvényei a ${\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {C} }$  négyzetesen integrálható függvények ${\displaystyle L^{2}}$  terét alkotják a szokásos ${\displaystyle L^{2}}$ -skalárszorzattal:

${\displaystyle \textstyle \langle \psi \,|\,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi ^{*}({\vec {x}})\,\phi ({\vec {x}})\,{\rm {d}}{\vec {x}}}$ .

Egy másik példa egy elektron lehetséges spin állapotai a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$  teret feszítik ki, a szokásos komplex skalárszorzattal.

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez. A funkcionálanalízis szempontjából a Hilbert-terek speciális és egyszerű szerkezetű terek egy osztályát alkotják.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.

A német nyelvterületen több egyetemen is van Hilbert-térnek nevezett terem.^[2][3][4]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hilbertraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis 5., erweiterte Auflage, Springer, Berlin, 2005, ISBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band 1: Elementary Theory; Academic Press, New York NY, 1983, ISBN 0-12-393301-3 (Pure and Applied Mathematics 100, 1), Chapter 2: Basics of Hilbert Space and Linear Operators

• Michael Reed, Barry Simon: Functional Analysis (Methods of Modern Mathematical Physics, Volume 1), 1980