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    Radicación Guía N°2

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    Tema: Radicales

    Asignatura: Matemática Tema: Radicales

    Profesor: Bladimir Ábrego Sánchez

    Objetivos:
    1. Simplificar un radical
    2. Introducción de cantidades bajo el signo radical
    3. Reducir el orden de un radical
    4. Reducir radicales al mínimo común índice
    5. Reducir Radicales semejantes

    Indicaciones Generales:
    Debe analizar cada uno de los ejemplos y aclaraciones hechas en la asignación, luego tratar de desarrollarlas
    ayudándose con la explicación y los ejemplos dados.
    Desarrollo de la actividad: desarrolla la práctica dada.

    Hola Chicos, nuevamente nos complace desarrollar junto a ustedes esta unidad didáctica, pero esta vez
    tenemos que recordar algunos conceptos que nos enseñaron en años anteriores. El concepto elemental
    parte de POTENCIA. Y porqué de la potencia? “Porque la Radicación es la operación
    contraria de la potenciación”. Si pues esta vez tenemos que hallar expresiones que elevados a
    un índice nos reproduzcan la cantidad subradical. Ese es el concepto de Radicación. Así
    3
    3 = 2 𝑝𝑢𝑒𝑠 2 = 8 observa los elementos ahora son 3(índice), 8(cantidad subradical), 2 es la raíz
    o solución. 1 sería el coeficiente

    23 = 2.2.2 = 8 34 = 3.3.3.3 = 81 (3𝑥)3 = 33 𝑥 3 = 27𝑥 3

    Usted debe practicar sus tablas de multiplicar, practicar la descomposición


    factorial de un número, saber dividir, saber sumar y restar correctamente.
    Recuerde que la base del álgebra es la aritmética. Operaciones con fracciones y
    decimales.
    𝟑
    Pregunta Inicial: ¿√𝟐𝟓? ¿ √𝟒? , √𝟖? Sabes la respuesta
    Obvio que si ±𝟓, ±𝟐 𝒚 𝟐 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆
    Ahora la pregunta es ¿Porqué salen estos resultados?
    Bueno es simple
    1
    (−5) × (−5) = (+5) × (+5) = 25 = (±5)2 = 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 = [(±5)2 ]2 = ±5
    Ahora ya se puede decir que la potenciación recién dada es la operación contraria de la radicación. Partimos
    entonces de un concepto que observamos brevemente

    Exponentes Fraccionarios
    La radicación es la operación inversa de la potenciación ya que por definición:
    Tema: Radicales

    an = b  n
    b =a
    En la radicación a n se le llama índice, b es la cantidad subradical y a es la raíz.
    Ejemplos:√121 = ±11 porque (±11)2 = 121 y 3
    1331 = 11 porque (11) 3 = 1331
    Las anteriores son raíces exactas, pero los radicales propiamente dichos son las raíces inexactas.
    Ejemplos: √6, √7, 2√5
    La cantidad colocada delante del radical es el coeficiente. Si dos o más radicales tienen igual la parte radical
    son semejantes.
    1
    Ejemplos: − 6 3 , 3, 3 son radicales semejantes.
    4
    5 7 y 43 7 no son radicales semejantes.

    Recordemos también que las raíces de índice par y cantidad subradical negativa no tienen solución en el
    conjunto de los números reales. √−25 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑅 = ±5𝑖
    √−81 = ±9𝑖
    Ya hemos visto que los radicales pueden expresarse como potencias de exponente fraccionario, de allí que
    cumplen también ciertas leyes que permiten operar con ellos.

    Leyes de los radicales


    Verbal Simbólicamente Ejemplos
    a. Raíz de un producto: la raíz
    enésima de un producto equivale al n
    ab = n a  n b
    producto de las raíces enésimas de 4
    1296 = 4 81  16 = 4 81  4 16 = 3  2 = 6
    cada factor.
    b. Raíz de un cociente: la raíz
    n 5
    enésima de un cociente equivale a la a a 243 243 3
    raíz enésima del dividendo entre la
    n = n
    5 =5 =
    b b 3125 3125 5
    raíz enésima del divisor.
    c. Raíz de una raíz: equivale a la raíz
    cuyo índice es el producto de los
    índices y la cantidad subradical es la
    n m
    a = nm a 3
    64 = 6 64 = 6 2 6 = 2
    misma.

    Simplificación de radicales
    Las leyes de los radicales permiten simplificarlos, siempre que se pueda, extrayendo factores del radical.
    Pueden salir del radical aquellos factores que, escritos en forma exponencial tienen un exponente divisible por
    el índice.
    Ejemplos: Simplificar: descomponer 216 en factores primos. 216 2
    Como el índice es 2, conviene escribir los 108 2
    1. √216𝑥 5 𝑦 4 = √22 . 2. 32 . 3𝑥 4 𝑥𝑦 4 factores con exponente divisible por 2. 54 2
    = 2.3𝑥 2 𝑦 2 √2.3𝑥 = 6𝑥 2 𝑦 2√6𝑥 216 = 22∙2∙32∙3 27 3
    Como el exponente de x es 5 9 3
    Imagina un pequeño juego en donde sólo pueden salir del escribimos x 4 x 3 3
    radical aquellas expresiones que tengan exponentes que se
    Luego se dividen los exponentes divisibles 1
    puedan dividir entre el índice del radical, en este caso 2. Y
    las veces que salen es el resultado de la división por 2 y así esas bases salen del radical.

    1. 5a 2 + 20ab + 20b 2 = 5(a 2 + 4ab + 4b 2 ) En este ejemplo, la cantidad subradical es un polinomio


    que se puede factorizar aplicando factor común monomio
    = √5(𝑎 + 2𝑏)2 y trinomio cuadrado perfecto.
    Como el factor ( a + b) está elevado al cuadrado, sale
    del radical y el 5 queda en el radical.
    Tema: Radicales
    = (𝑎 + 2𝑏)√5

    3 3 3 3 3
    2. 4𝑎 √48𝑎7 = 4𝑎 √24 3𝑎7 = 4𝑎 √23 . 2.3. 𝑎6 . 𝑎 = 4𝑎(2𝑎2 ) √2.3𝑎 = 8𝑎3 √6𝑎
    48/2= 24 24/2=12 12/2 =6 6/2=3 3/3=1
    Observación: Todo lo que sale del radical debe multiplicar a lo que está afuera, también es necesario aclarar es que si la cantidad se
    simplificó en el numerador entonces debe salir en el numerador, si sale del denominador debe mantenerse allí mismo.

    Reducción del orden de un radical


    Esta es otra forma de simplificar un radical cuando el índice y todos los exponentes de los factores tienen
    divisor común.
    Ejemplos: No es posible reducir el orden del radical 3
    a 2 b 5 ya que 3, 2 y 5 no tienen
    divisor común.
    Reducir el orden de 8
    16a 2 b 4 c 6 -Se debe escribir el factor numérico de la cantidad
    8 2 4 6 8 4 2 4 6
    subradical en forma exponencial.
    Solución: 16a b c = 2 a b c -Observamos que el índice y los exponentes tienen
    divisor común: 8-4-2-6 2
    = 4
    2 2 ab 2 c 3 4-2-1-3

    = 4
    4ab 2 c 3 -Se divide el índice y todos los exponentes por el
    divisor común.

    Introducción de cantidades bajo el signo radical


    El coeficiente de un radical o cualquier cantidad pueden ser introducidos en un radical sin alterar su valor
    con sólo elevar dicha cantidad al índice del radical.
    Ejemplos: * Introducir 5a 3 b en un radical con índice 2.
    -Para introducir esta expresión en un radical con índice 2
    Solución: 5a 3 b = (5a 3 b) 2 se eleva al cuadrado.
    = 25a 6 b 2
    (b + c) 3 2
    * Introducir el coeficiente al radical: m (b + c)
    3m
    b+c 2
    3
    (b + c) 3 2 -El coeficiente debe ser elevado al
    Solución: m (b + c) = 3   m (b + c) cubo para introducirlo al radical.
    3m  3m 
    -Se aplican las leyes de los
    (b + c) 3 2
    = 3 m (b + c) exponentes para poder simplificar
    33 m 3 la expresión dentro del radical.

    (b + c) 4
    = 3
    27m

    Reducción de radicales al mínimo común índice


    Al realizar operaciones con radicales, en algunos casos, nos encontramos con la presencia de
    diferentes índices. Entonces que hacemos?
    Regla: se busca el mínimo común múltiplo de los índices que será el índice común. La cantidad
    subradical se eleva a la potencia que resulte de dividir el índice común entre el índice del radical
    Ejemplo
    4 6 8
    √2𝑥, √3𝑥 2 , √4𝑥 3 𝑒𝑙𝑚 𝑚𝑐𝑖 𝑒𝑠 24 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 24 𝑎𝑠𝑖
    24 24 24
    √(2𝑥)6 , √(3𝑥 2 )4 , √(4𝑥 3 )3 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
    Tema: Radicales
    24 24 24
    √64𝑥 6 , √81𝑥 8 , √64𝑥 9 respuesta correcta

    OPERACIONES CON RADICALES


    Objetivos
    1. Definir Radicales Semejantes
    2. Reducción de Radicales Semejantes

    Radicales Semejantes: Son aquellos Radicales con el mismo índice y la misma cantidad subradical.
    Ejemplos: 5√2 𝑦 − 3√2
    pero también puede ocurrir que no parezcan semejantes pero al simplificarlos ocurre que si son
    semejantes
    Ejemplo: √8 𝑦 5√18 al simplificar observamos que 8 𝑒𝑠 23 𝑎𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑜 18 𝑒𝑠 32 2
    √23 = √2. 22 = 2√2 5√32 2 = 5.3√2 = 15√2
    Reducción de Radicales Semejantes:
    Regla: Se suman los coeficientes de los radicales semejantes y poniendo esta suma como el
    coeficiente de la parte radical común
    Ejemplos: Reduzca los siguientes radicales semejantes
    1. 3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2
    2. 9√3 − 11√3 = (9 − 11)√3 = −2√3
    3. 4√2 − 7√2 + √2 = (4 − 7 + 1)√2 = −2√2
    2 3 2 3 8−9 −1
    4. 3
    √7 − 4 √7 = (3 − 4) √7 = 12
    √7 = 12
    √7
    3 13 33 1 3 3 28−2+3 3 29 3
    5. 7 √2 − 2 √2 + 4 √2 = (7 − 2 + 4) √2 = ( ) √2 = √2
    4 4

    6. (3𝑎√5 − 𝑏√5 + (2𝑏 − 3𝑎)√5) = (3𝑎 − 𝑏 + 2𝑏 − 3𝑎)√5 = 𝑏√5

    ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES

    REGLA: Se simplifican los radicales dados; se reducen los radicales semejantes y a


    continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo

    Hay veces que los radicales aparentan no ser semejantes, entonces


    debemos simplificarlos y luego sumar o restar según sea el caso

    1. Descomponiendo las expresiones dentro del radical

    Simplifica
    Tema: Radicales
    1. 2√450 + 9√12 − 7√48 − 3√98

    2√450 = 2√2. 32 . 52 = 2.3.5√2 = 30√2 ; 7√48 = 7√24 . 3 = 7. 22 √3 = 7.4√3 = 28√3


    9√12 = 9√22 3 = 18√3 ; 3√98 = 3√2. 72 = 21√2
    2√450 + 9√12 − 7√48 − 3√98 = 30√2 + 18√3 − 28√3 − 21√2
    Respuesta (30 − 21)√2 + (18 − 28)√3 = 9√2 − 10√3
    1 1 1 1 1 1 1 1 1
    2. 4 √80 − 6 √63 − 9 √180 = 4 √24 5 − 6 √32 7 − 9 √22 32 5 = 4 × 4√5 − 6 × 3√7 − 9 × 6√5
    1 2 2 1 1 1
    √5 − √7 − √5 = (1 − ) √5 − √7 = √5 − √7
    2 3 3 2 3 2

    1 4 1
    3. √3 − √5 + √12 Recordar como simplificar radicales si hay denominadores dentro de la
    raíz
    1 3 3 1 4 5 4.5 2 1 1 3 3 1
    √ . = √ 2 = √3; √ . = √ 2 = √5; √ = √ 2 . = √ 2 2 = √3
    3 3 3 3 5 5 𝑆 5 12 2 3 3 2 3 6
    Reduciendo radicales semejantes
    1 1 2 1 2
    ( + ) √3 − √5 = √3 − √5
    3 6 5 2 5

    Álgebra de Baldor Desde la página 418, ejercicio 231 de tres en tres, Ejercicio 232 10 al 15, ejercicio
    233 los pares, ejercicio 234 9,10,11,12, Ejercicio 238 de tres en tres, ejercicio 239 de tres en tres,

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