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Teoria 1. Conceptos Basicos, Expresiones Algebraicas
Teoria 1. Conceptos Basicos, Expresiones Algebraicas
Teoria 1. Conceptos Basicos, Expresiones Algebraicas
INTRODUCCIÓN
El curso de cálculo diferencial exige como prerrequisito el conocimiento del álgebra básica,
por lo cual en este taller se hace un rápido repaso de los conceptos más útiles del álgebra
elemental.
OBJETIVOS
1. Que el estudiante recuerde los conceptos básicos de álgebra y los pueda emplear en
el cálculo diferencial.
2. Afianzar los conceptos algebraicos para aquellos estudiantes que tienen ciertas
dificultades en el manejo de estos temas.
METODOLOGÍA
LOGROS
Un estudiante alcanzara sus logros si:
1. Realiza operaciones en ℝ.
2. Reconoce los números reales y sus propiedades.
3. Resuelve ejercicios de potenciación y radicación.
3. Dados dos o más polinomios realiza operaciones con ellos y simplifica los resultados.
4. Dado un polinomio realiza su factorización.
5. Identifica los productos notables y los resuelve con facilidad.
6. Dada una ecuación lineal o cuadrática la resuelve en forma correcta.
7. Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
8. Resuelve problemas con ecuaciones lineales y cuadráticas.
9. Resuelve ejercicios con fracciones algebraicas.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ)
Números naturales: ℕ
Números enteros: ℤ
Números racionales: ℚ
Números irracionales: 𝕀
2
Aquí podemos observar las siguientes características entre los reales y sus subconjuntos:
El conjunto de los números Reales tiene dos operaciones: Suma y producto. Estas
operaciones satisfacen las siguientes propiedades.
i) Si a , b ℝ entonces a+b ℝ
ii) Si a , b ℝ entonces a+b=b+a
iii) Si a, b, c R entonces (a+b)+c=a+(b+c)
iv) Existe un elemento 0 ℝ tal que a+0=0+a=a para todo a ℝ
v) Para cada elemento a ℝ, hay un elemento -a ℝ tal que;
a+(-a)=(-a)+a=0.
vi) Si a , b ℝ entonces ab ℝ . Si a , b ℝ entonces ab=ba
vii) Si a, b, c ℝ entonces (ab)c=a(bc)
viii) Existe un elemento 1 ℝ tal que a1=1a=a para todo a ℝ
1
ix) Para cada elemento a ℝ, a 0 hay un elemento a 1 ℝ tal que;
a
1 1
a( a )=( a )a=1.
x) Si a, b, c ℝ entonces: a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc
i) Si a y b ℝ+ entonces a +b ℝ+
ii) Si a y b ℝ+ entonces ab ℝ+
iii) Si a ℝ entonces se satisface una sola de las siguientes propiedades:
a ℝ+, a = 0 , - a a ℝ+ (Propiedad de tricotomía)
POTENCIACIÓN
Definición
PROPIEDADES
1. 𝑎0 = 1 , 𝑎 ≠ 0
2. 𝑎1 = 𝑎
3. 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
4. (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛𝑚
5. (𝑎𝑏𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐 𝑛
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
6. [𝑏 ] = 𝑏𝑛
𝑎𝑛
7. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
1
8. 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛
9. Si 𝑎 ≠ 0 y n es par, entonces 𝑎𝑛 > 0
10. Si 𝑎 < 0 y n es impar, entonces 𝑎𝑛 < 0
RADICACIÓN
Definición.
Sea n un entero positivo mayor que 1 y a un número real. Se define la raíz enésima de a como
n
a donde a se llama el radicando, n es el índice del radical y es el símbolo de
radicación. Se presentan los siguientes casos:
n
1. Si a = 0 entonces a =0
2. Si a > 0 entonces n
a es el número real positivo, b, tal que b n a
3. Si a < 0 y n es impar, entonces n
a es el número real negativo, b, tal que b n a
n
4. Si a < 0 y n es par, entonces a no es un número real.
Observaciones
2
La expresión a se llama raíz cuadrada de a, también se escribe a
3
La expresión a se llama raíz cúbica de a
4
La expresión a se llama raíz cuarta de a
PROPIEDADES DE RADICACIÓN
𝑛
1. √𝑥 𝑛 = 𝑥 si n es impar
𝑛
2. √𝑥 𝑛 = | 𝑥 | si n es par
𝑛
3. √ 𝑚√𝑥 = 𝑛𝑚
√𝑥
𝑛
𝑛 𝑎 √𝑎
5. √ = 𝑛
𝑏 √𝑏
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
1. La cantidad subradical No tiene factores con potencias mayores que el valor del índice.
Ejemplo: El radical 12x 2 y 5 No está simplificado, hay factores que se deben extraer del
radical, así:
3 xy 8 3 xy
4 4 2 2 2 2
6
16x y ( 16 )( x )( y ) ( 2 )(x )( y ) (2 )(x )( y ) (2 xy) 3 (2 xy) 2 3 4 x 2 y 2
4 4 6 6 4 6 4 6 4 6 6 3 3 3 3
Entonces:
6
16x 4 y 4 = 3 4 x 2 y 2
Radicales semejantes.
Suma de radicales.
Ejemplos:
3 x 4 x 11 x = 4 x
Producto de radicales.
Ejemplo:
División de radicales.
a na
Para dividir radicales es usa la propiedad n
b nb
5
Ejemplo.
4n 4n 4 1 4
3
2
3n 3 3n 3n n 3
POLINOMIOS
Cada uno de los sumandos de un polinomio se llama término del polinomio, de acuerdo al
número de términos los polinomios pueden tomar distintos nombres, así:
Monomio: Es un polinomio de un solo término: 3xy 3
Binomio: Es un polinomio de dos términos: 2n 5mn
Trinomio: Es un polinomio de tres términos: 3ab2 b2 5a3b
Suma de polinomios.
2 x3 5 x3 (2 5) x3 7 x3
4 xy 2 (2 xy 2 ) 4 xy 2 2 xy 2 (4 2) xy 2 2 xy 2
Resumiendo: Para sumar términos semejantes basta con sumar los coeficientes y multiplicar
por la(s) misma(s) variable(s) con su(s) exponente(s). De tal manera que podemos generalizar
esta operación cuando se suman más de dos términos:
3x4 4 x4 5x4 14 x4 16 x 4
La suma de dos o más polinomios consiste en construir un nuevo polinomio sumando los
términos semejantes y agregando aquellos que no lo son, incluyendo los términos
independientes.
(3x3 2 x 1) (4 x 4 5 x 7) (8 x3 7 x 4 5 x 12)
Al sumar obtenemos:
5x3 3x4 12 x 18
Nota: Recordemos que la resta de dos números reales consiste en sumar un real con el
opuesto de otro.
Convertimos la resta en una suma cambiando todos los signos del sustraendo (el polinomio
de la derecha)
(5 x3 3x 2 x 2) (3x3 ) 4 x 6
5 x 3 3x 2 x 2 3x3 4 x 6
Veamos una resta cuyo resultado es cero al aplicar la propiedad del opuesto (inverso aditivo):
Producto de polinomios.
a m a n a mn
Ejemplos:
Ejemplos:
( x 2 x)(2 x3 1) 2 x5 x 2 2 x 4 x
(2r r 2 )(3r 4r 4 ) 6r 2 8r 5 3r 3 4r 6
1 1 5 5 4
(a 2 a )(a 2 a 3 ) a 2 a 6 a 3 a 3
Existen algunos productos, que por su continuo uso en álgebra y en cálculo, conviene
memorizar. Estos productos son:
1. Binomio al cuadrado.
(a b) 2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
(a b) 2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
(a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 b 2
(a b)(a b) a 2 b 2
3. Binomio al cubo:
4. Binomio de la forma ( x y ) n
8
Ejemplo:
5. Binomio ( x a)( x b)
( x a)( x b) x 2 bx ax ab x 2 (a b) x ab
( x a )( x b) x 2 (a b) x ab
Factorización de polinomios.
En este caso existe un factor (factor común) que se repite en cada uno de los términos del
polinomio dado.
p 3 2 p 2 5 p p( p 2 2 p 5)
Otros ejemplos:
4 1 3 1 3 2
3x 5 2 x 5 5 x 5 x 5 (3x 5 2 5 x 5 )
4k 4 12k 3 36k 2 4k 2 (k 2 3k 9)
a 2b2 3a 2b 6a 2b3 7a 2b4 a 2b(b 3 6b2 7b3 )
Para comprobar que la factorización es correcta basta con multiplicar aplicando la propiedad
distributiva
Existe un factor común muy importante, este factor es el menos uno (- 1 ) que es muy usado
en algunos procedimientos de cálculo. Entonces a este procedimiento lo llamaremos
factorización del menos uno
Ejemplo: Dada la expresión a – b , podemos en ella factorizar el menos uno, para obtener:
a – b = - 1( b – a ) = -( b – a )
x2 1
Otro ejemplo: Simplificar la expresión
1 x
x 2 1 ( x 1)( x 1)
Si factorizamos el numerador obtenemos: como se puede observar no
1 x 1 x
es posible simplificar, pero si factorizamos el menos uno en el factor (x – 1) del numerador
tenemos:
= −(𝑥 + 1) = −𝑥 − 1
Los dos términos del binomio al cuadrado son los valores correspondientes a los cuadrados
perfectos, es decir, si el trinomio es: 𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞2entonces el binomio es (𝑝 + 𝑞)2
p 2 2 pq q 2
10
( p q)2
( x w) 2
3. Diferencia de cuadrados.
a 2 b 2 (a b)(a b)
n 2 m2 (n m)(n m)
a3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )
a3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )
Ejemplos:
p3 q3 ( p q)( p 2 pq q 2 )
c3 d 3 (c d )(c 2 cd d 2 )
Para n impar
Ejemplos:
𝑥 5 − 32 = 𝑥 5 − 25 = (𝑥 − 2)(𝑥 4 + 2𝑥 3 + 22 𝑥 2 + 23 𝑥 + 24 )
= (𝑥 − 2)(𝑥 4 + 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 8𝑥 + 16)
11
𝑥 5 + 32 = 𝑥 5 + 25 = (𝑥 + 2)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 22 𝑥 2 − 23 𝑥 + 24 )
= (𝑥 + 2)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 8𝑥 + 16)
Para n par
Ejemplos:
En algunos casos es necesario agrupar dos o más términos para factorizar. Veamos:
a3 a 2 a 1 a 2 (a 1) (a 1) (a 1)(a 2 1)
(a 1)(a 1)(a 1) (a 1)2 (a 1)
Ejemplos: s 4 s3 s 1
Aunque ya existe una factorización, aún no es completa, observemos que el segundo binomio
es factorizable (diferencia de cubos):
s 4 s3 s 1 s 3 (s 1) ( s 1)
( s 1)( s3 1) ( s 1)( s 1)( s 2 s 1) ( s 1) 2 ( s 2 s 1)
6. Trinomio de la forma x2 mx n
Ejemplos:
x 2 6 x 8 ( x 4)( x 2) , x 2 2 x 48 ( x 8)( x 6)
r 2 13r 30 (r 10)(r 3)
En este caso el coeficiente de x no es uno por lo cual se trata de un caso particular del trinomio
x 2 mx n
El procedimiento para esta factorización consiste en multiplicar y dividir por k de tal
manera que el coeficiente k se integre a la variable x y así se convierta en el trinomio
x 2 mx n del cual ya conocemos sus factorización.
12
Ejemplo:
Conclusión:
t 4 t 2 1 (t 2 1 t )(t 2 1 t )
Otro ejemplo:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2
Dada la ecuación:
Solución:
𝑥 2 − 2𝑥 + ________ + 𝑦 2 + 𝑦 + ________ = 5
1 1
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 + 𝑦 + (2)2 = 5 + 1 + 4
1 25
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + )2 =
2 4
1 25 5
Centro de la circunferencia: (1, − 2) radio: √ 4 = 2
13
EXPRESIONES NO POLINÓMICAS
Las operaciones con estas expresiones se realizan de la misma forma como se hizo con los
polinomios. Las propiedades de potenciación también se conservan.
Ejemplos:
3 1 5 7
1. Factorice la expresión 3a 4 6a 4 12 a 4 9a 4 Observamos que hay un factor común
1
que es 3a 4 de manera que la solución es:
1 2 4 6 1 1 3
3a (a 2 4a 3a ) 3a (a 2 4a 3a )
4 4 4 4 4 2 2
1 2 3 4 1
1 1 2 3 4
x (4 3x 2 x 3x 2 x )
5 5 5 5 5