Mate 06 11 2020 Epp

El Primer Paso - MATEMÁTICAS 06/11/2020
ÁLGEBRA
UNIDAD VI
RADICALES
Radical: la radicación o radical es la operación inversa de la potenciación. Mediante

la radicación, conocida la potencia, la base queda determinada.
Ejemplo:
𝑛
Sí: 𝑎𝑛 = 𝑏; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √𝑏 = 𝑎
Elemento de un radical
Una expresión radical tiene los siguientes elementos.
Índice Signo radical
3
√8𝑎3 = 2𝑎 Raíz
Cantidad sub radical o radicando

Propiedades de las Raíces
1) La raíz enésima de un producto, es igual al producto de las raíces enésimas de

cada uno de los factores, siempre que las operaciones sean posibles
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
√𝑎. 𝑏. 𝑐 = √𝑎 . √𝑏. √𝑐
2) El producto de los radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice,
cuyo radicando es el producto de los radicandos de los radicales dados.
𝑛 𝑛𝑛 𝑛
√𝑎 . √𝑏. √𝑐 = √𝑎. 𝑏. 𝑐
3) La raíz enésima de un cociente, es igual al cociente de las raíces enésimas del

dividendo, dividida por la raíz enésima del divisor, siempre que las operaciones
sean posibles.
𝑛 𝑛
√𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑛√𝑎 ÷ √𝑏
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4) El cociente de dos radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice
cuyo radicando es el cociente de los radicandos de dos radicales dados.
𝑛 𝑛 𝑛
√𝑎 ÷ √𝑏 = √𝑎 ÷ 𝑏
5) La raíz enésima ‘‘n’’ de un número es igual a la raíz del índice ‘‘𝑚 ∙ 𝑛’’ de dicho
número.
𝑚 𝑛 𝑚𝑛
√ √𝑎 = √𝑎
6) El valor de un radical no altera si se multiplican o dividen exactamente por un

mismo número el índice y el exponente.
𝑛 𝑚𝑛
√𝑎 = √𝑎𝑚
Raíz de una expresión algebraica
Para hallar la raíz de una expresión algebraica debamos considerar la cantidad de

términos de la expresión.
Ejemplos:
4
a) Para hallar la raíz de un monomio: √81𝑥 8 𝑦 12 𝑧16
4
1°) Se expresa con potencia al radicando numérico → √34 𝑥 8 𝑦 12 𝑧16
2°) Se divide cada exponente por el índice y se extraen fuera del radical
→ 34:4 ∙ 𝑥 8:4 ∙ 𝑦12:4 ∙ 𝑧16:4
3 ∙ 𝑥 2 ∙ 𝑦 3 ∙ 𝑧 4 = 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛𝟒
b) Para hallar la raíz de un polinomio: √𝑥 2 − 6𝑥 + 9
1°) Se factoriza el polinomio→ √(𝑥 − 3)2
2°) Se divide el exponente del resultado de la factorización por el índice y se extrae

del radical → (𝑥 − 3)2:2 = 𝒙 − 𝟑
Unidad 6 Página 2
Simplificación. Extracción de factores del signo radical

Simplificar un radical es reducirlo a su expresión más simple. Se simplifica en
estos casos:
a) Cuando los factores del radicando tienen exponentes iguales o mayores que el
índice del radical. En este caso, se extraen los factores cuyos exponentes son
múltiplos del índice.
Ejemplo:
4
32a 9 b 4
𝟒 𝟒 Descomponemos el radicando 32 en sus factores

√𝟑𝟐𝒂𝟗 𝒃𝟒 = √𝟐𝟓 𝒂𝟗 𝒃𝟒
primos
𝟒
√𝟐𝟒 . 𝟐. 𝒂𝟖 . 𝒂. 𝒃𝟒 = Descomponemos para tener factores cuyos,
exponentes sean divisibles entre el índice
extraemos el factor fuera del radical, dividiendo los

2 4:4 a 8:4 b 4:4 𝟒
√𝟐𝒂 exponentes con el índice, dejando bajo radical los
factores cuyos exponentes sean menores que el índice
Luego: 4
32a 9 b 4 = 2a2b 4 2a
Recuerda: Si se pueden extraer todos los radicandos, la expresión radical se llama cantidad entera
o racional y si no se pueden extraer algunos factores, se llama cantidad irracional o inexacta.
Introducción de factores bajo el signo radical

Esta operación es inversa a la simplificación de radical
Ejemplos:
a) Introduce bajo el signo radical la expresión 3𝑎2 𝑏√𝑎𝑏
1°) Se introduce el coeficiente en la raíz elevando a la potencia √𝑎𝑏(3𝑎2 𝑏)2

que indica el índice del radical
2°) Se efectúa la potencia dentro del radical √𝑎𝑏. 9𝑎4 𝑏 2
√𝟗𝒂𝟓 𝒃𝟑
3°) Se resuelven la potencia dentro del radical
Unidad 6 Página 3
5
b) Introduce bajo el signo radical la expresión: (𝑥 − 𝑦)√(𝑥−𝑦)3
5
1°) Se introduce el polinomio elevando al cuadrado √ . (𝑥 − 𝑦)2
(𝑥 − 𝑦)3
pues es la potencia indicada por el índice
2°) Se simplifican los factores comunes y 5 2 =√

𝟓
√ . (𝑥 − 𝑦)
denominador (𝑥 − 𝑦)3 (𝒙 − 𝒚)
Reducción de radicales
Son los que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical, pero difieren
en el coeficiente.
Ejemplos
1
𝐴𝑠í; √5; 7√5; −3√5; √5 (𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
3
1
𝐴𝑠í; 2√2𝑎; −4√2𝑎; 𝑎𝑏√2𝑎; 3𝑎 √2𝑎 (𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
2
Reducción de radicales semejantes del mismo índice
Los radicales semejantes, o sea los radicales del mismo grado que tienen igual
cantidad subradical, se reducen como términos semejantes que son, se halla la
suma algebraica de los coeficientes y se escriben este resultado seguido de la parte
radical común.
Ejemplos:
✓ 3√2𝑎 + 5√2𝑎 = (3 + 5)√2 = 𝟖√𝟐𝒂
✓ 3√3 − 7√5 + 4√5 − √3 = (3 − 1)√3 + (−7 + 4)√5 = 𝟐√𝟑 − 𝟑√𝟓
Unidad 6 Página 4
Suma y Resta de Radicales

Para sumar y restar algebraicamente dos o más radicales semejantes, se reducen a
su forma más simple, simplificando los factores correspondientes, luego se reducen
los radicales semejantes.
Ejemplos:
a) Resuelve la expresión
1°) Descomponemos los radicales en sus

5√8 + 2√18 − 4√50 factores primos
2°) Expresamos los radicales como
= 5√22 . 2 + 2√32 . 2 − 4√52 . 2 producto de factores de igual índice
3°) Simplificamos y extraemos factores de

= 5√22 . √2 + 2√32 . √2 − 4√52 . √2 los radicales
4°) Efectuamos la multiplicación indicada
= 5.2√2 + 2.3√2 − 4.5√2
5°) Agrupamos los coeficientes de cada

= 10√2 + 6√2 − 20√2 radical
6°) Efectuamos las operaciones indicadas
= (10 + 6 − 20)√2 = (16 − 20)√2 = − 𝟒√𝟐
b) Resuelve la expresión:
√64𝑎2 𝑏 − √81𝑎𝑏 2 + √49√𝑎4 𝑏 2 = √82 𝑎2 𝑏 − √92 𝑎𝑏 2 + √72 𝑎2 𝑏
= 8𝑎√𝑏 − 9𝑏√𝑎 + 7𝑎√𝑏 = (8𝑎 + 7𝑎)√𝑏 − 9𝑏 √𝑎 = 𝟏𝟓𝒂√𝒃 − 𝟗𝒃√𝒂
c) Resuelve la expresión de Polinomios
√9𝑦 − 9 − √25𝑦 − 25 + 4√16𝑦 − 16 ⟹ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
= √9(𝑦 − 1) − √25(𝑦 − 1) + 4√16(𝑦 − 1) ⟹ 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
= √32 (𝑦 − 1) − √52 (𝑦 − 1) + 4√42 (𝑦 − 1) ⟹ 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
= 3√(𝑦 − 1) − 5√(𝑦 − 1) + 4.4√(𝑦 − 1) = (3 − 5 + 16)√(𝑦 − 1) = 𝟏𝟒√(𝒚 − 𝟏)
Unidad 6 Página 5
Multiplicación de radicales con igual índice

Para multiplicar radicales con igual índice se multiplican los coeficientes entre sí y
los radicandos entre sí; por último, se simplifica el radical resultante.
Ejemplos:
1) Hallar el producto 𝟓 √𝟕 ∙ (−𝟒 √𝟑 )

Multiplicamos los coeficientes entre sí y los
𝟓 √𝟕 ∙ (−𝟒 √𝟑 ) = [𝟓 ∙ (−𝟒)]√𝟕 ∙ 𝟑 radicandos entre sí, teniendo en cuenta la ley
de los signos. Como el resultado no es un
−𝟐𝟎 √𝟐𝟏 radical que se pueda simplificar, este será el
producto final
2)
Hallar el producto:
𝟏
𝟑 √𝟐 ∙ √𝟏𝟎 Es recomendable trabajar en el radicando con
𝟐 la descomposición en factores primos de los
números. En este caso el número 10
descomponemos en sus factores primos.
𝟏 𝟏
𝟑 √𝟐 ∙ √𝟏𝟎 = 𝟑 ∙ √𝟐 ∙ 𝟏𝟎
𝟐 𝟐
𝟏 Reemplazamos el número 10 por su

𝟑 ∙ √𝟐 ∙ (𝟐 ∙ 𝟓)
𝟐 descomposición
Multiplicamos los coeficientes entre sí y dentro

𝟑
√ 𝟐𝟐 ∙ 𝟓 de la raíz efectuamos la multiplicación de los
𝟐
números de igual base.
𝟑
Extraemos la raíz cuadrada de 22 que es 2;
∙ 𝟐 √𝟓 esta raíz ahora pasa a ser coeficiente del
𝟐
𝟑 √𝟓 radical como un factor más y por lo tanto
podemos simplificar el coeficiente fraccionario.
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Hallar el producto:
𝟏 𝟓
𝒙 √𝟐𝟓 𝒙𝟒 𝒚𝟒 ∙ √𝟑𝟔 𝒙𝒚 =
𝟒 𝟔
Descomponemos el 25 y el 36 en
𝟏 𝟓 𝟏 𝟓 sus factores primos.
𝒙 √𝟐𝟓 𝒙𝟒 𝒚𝟒 ∙ √𝟑𝟔 𝒙𝒚 = 𝒙 ∙ √𝟐𝟓𝒙𝟒 𝒚𝟒 ∙ 𝟑𝟔𝒙𝒚
𝟒 𝟔 𝟒 𝟔
𝟏 𝟓 Reemplazamos el número 25 y el
𝒙 ∙ √𝟓𝟐 𝒙𝟒 𝒚𝟒 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟐 𝒙𝒚
𝟒 𝟔 36 por su descomposición en
factores primos
𝟓
𝒙√𝟓𝟐 𝒙𝟒 𝒚𝟒 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟐 𝒙𝒚
𝟐𝟒 Multiplicamos los coeficientes
𝟓 Extraemos los factores del

𝒙 ∙ 𝟓 ∙ 𝒙𝟐 ∙ 𝒚𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 √𝒙𝒚
𝟐𝟒 radicando dividiendo cada
exponente por el índice del
radical que en este caso es 2.
𝟓 Simplificamos la fracción y luego
∙ 𝒙 ∙ 𝟓 ∙ 𝒙𝟐 ∙ 𝒚𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏√𝒙𝒚
𝟒 multiplicamos los numeradores
entre sí y denominadores entre sí
𝟐𝟓 𝟑 𝟐
= 𝒙 𝒚 √𝒙𝒚
𝟒
Para multiplicar radicales con índices distintos a 2 se sigue el mismo

procedimiento.
𝟑 𝟑 𝟑
𝟑𝒙 √𝟑 ∙ 𝟐𝒙𝟐 √𝟑 ∙ (−𝟒 √𝟑) =
𝟑
𝟑𝒙 ∙ 𝟐𝒙𝟐 ∙ (−𝟒) √𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 Multiplicamos coeficientes entre sí y radicandos
entre sí
𝟑
−𝟐𝟒𝒙𝟑 √𝟑𝟑 Extraemos la raíz, en este caso bajo el signo radical
no queda ningún factor
−𝟐𝟒 𝒙𝟑 ∙ 𝟑 Multiplicamos
−𝟕𝟐𝒙𝟑
Unidad 6 Página 7
El producto de un radical por la suma algebraica de otros radicales se efectúa

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación.
Ejemplos:
(√𝟑 + 𝟓) ∙ √𝟑 =
Aplicamos la propiedad distributiva de la

(√𝟑 + 𝟓) ∙ √𝟑 = (√𝟑 ∙ √𝟑) + (𝟓 ∙ √𝟑 )
multiplicación y la del producto de radicales
√ 𝟑 ∙ 𝟑 + 𝟓 √𝟑
Multiplicamos
√𝟑𝟐 + 𝟓 √𝟑 Extraemos los factores del radicando
𝟑 + 𝟓√𝟑
−𝟓√𝟐 (𝟏 − 𝟐√𝟐 + 𝟒√𝟓) =
−𝟓√𝟐 (𝟏 − 𝟐√𝟐 + 𝟒√𝟓)

Aplicamos la propiedad distributiva
−𝟓√𝟐 ∙ −𝟓√𝟐 ∙ (−𝟐√𝟐) − 𝟓√𝟐 ∙ 𝟒 √𝟓
−𝟓 ∙ 𝟏√𝟐 − 𝟓 ∙ (−𝟐)√𝟐 ∙ 𝟐 − 𝟓
Aplicamos la propiedad de producto de radicales
∙ 𝟒√𝟐 ∙ 𝟓
−𝟓√𝟐 + 𝟏𝟎√𝟐𝟐 − 𝟐𝟎√𝟏𝟎 Extraemos los factores del radicando
Efectuamos el producto indicado

−𝟓√𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 − 𝟐𝟎√𝟏𝟎
Ordenamos el resultado final, primero se colocan los

−𝟓√𝟐 + 𝟐𝟎 − 𝟐𝟎√𝟏𝟎 términos independientes
𝟐𝟎 − 𝟓√𝟐 − 𝟐𝟎√𝟏𝟎
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El producto de dos sumas algebraicas también se puede hallar aplicando la

propiedad distributiva.
Ejemplo:
6) (2√2 − √3 ) (4√2 − 3√3 ) =
(2√2 − √3 ) (4√2 − 3√3 ) = 2 ∙ 4√2 ∙ 2 + 2 ∙ (−3)√2 ∙ 3 − 1 ∙ 4√3 ∙ 2 − 1 ∙ (−3)√3 ∙ 3
= 8√22 − 6√6 − 4√6 + 3√32 = 8 ∙ 2 − 6√6 − 4√6 + 3 ∙ 3
= 16 − 6√6 − 4√6 + 9 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎√𝟔
Radicales conjugados: Son pares de expresiones con radicales idénticos a

excepción de los signos. Al multiplicarlos da como resultado una diferencia de
cuadrados.
Ejemplo:
(√𝟕 + √𝟐 )(√𝟕 − √𝟐 ) =
(√𝟕 + √𝟐 )(√𝟕 − √𝟐 )
Aplicamos la propiedad distributiva
= √𝟕 ∙ 𝟕 − √𝟕 ∙ 𝟐 + √𝟐 ∙ 𝟕 − √𝟐 ∙ 𝟐
= √𝟕𝟐 − √𝟏𝟒 + √𝟏𝟒 − √𝟐𝟐 Efectuamos las operaciones indicadas
= 𝟕 − √𝟏𝟒 + √𝟏𝟒 − 𝟐 Extraemos las raíces y reducimos los términos

semejantes
=𝟕−𝟐=𝟓
Unidad 6 Página 9
División de radicales con igual índice

División de radicales
Para calcular el cociente entre radicales con igual índice se dividen los coeficientes
entre sí y los radicandos entre sí. Es decir, se escriben el dividendo y el divisor bajo
un mismo radical, se realiza la división entre los coeficientes de los radicales y los
radicandos; luego, si es posible, se simplifica el resultado.
Para resolver la división de radicales se pueden utilizar varios procedimientos, uno
de ellos es el expresarlos como una fracción, colocando al dividendo como
numerador y al divisor como denominador.
Ejemplos:
3 3
1) 3√81x 5 ∶ 4√3x 2 =
Colocamos los coeficientes y los radicandos como si

fueran fracciones como lo mencionamos
anteriormente.
Descomponemos 81 en sus factores primos y

𝟑 𝟑 𝟑𝟒 𝒙 𝟓 efectuamos la división del radicando (si las bases son
√ =
𝟒 𝟑𝒙𝟐 iguales los exponentes se restan).
𝟑𝟑 𝟑 𝟑
√𝟑 𝒙 = Extraemos los factores fuera del radical.
𝟒
𝟑
∙𝟑 ∙ 𝒙= Multiplicamos los numeradores.
𝟒
𝟗
𝒙 Obtenemos el resultado final.
𝟒
𝟐𝒙 𝟔
2) √𝟐𝟓𝒙𝟓 𝒚𝟒 ∶ √𝟏𝟔 𝒙𝟐 𝒚 =
𝟓 𝟒
Descomponemos el 25 y 16 en sus factores primos e

𝟐𝒙 𝟔 𝟓𝟐 𝒙𝟓 𝒚𝟒
( ∶ )√ 𝟒 𝟐 = indicamos las divisiones de los coeficientes entre sí y los
𝟓 𝟒 𝟐 𝒙 𝒚 radicandos entre si.
𝟐𝒙 𝟔 𝟓𝟐 𝒙 𝟓 𝒚 𝟒 Efectuamos la división de los coeficientes y de los

( ∶ )√ 𝟐 𝟐 =
𝟓 𝟒 𝟒 𝒙 𝒚 radicandos (si las bases son iguales los exponentes se
restan).
Unidad 6 Página 10
Aplicamos la propiedad del cociente de radicales y

𝟒𝒙 𝟓𝟐 𝒙 𝟑 𝒚𝟑 extraemos los factores tanto del numerador como del
∙√ =
𝟏𝟓 𝟒𝟐 denominador fuera del radical.
𝟒𝟏 𝒙 𝟓𝟏
∙ ∙ 𝒙 ∙ 𝒚 √𝒙𝒚 = Simplificamos y reducimos los términos semejantes.
𝟏𝟓𝟑 𝟒𝟏
𝒙𝟐 𝒚
√𝒙𝒚 Obtenemos el resultado final.
𝟑
𝟏 𝟓 𝟑 𝟏 𝟓 𝟏
𝟑) √ ÷ √ =
𝟑 𝟓 𝟔 𝟓
Efectuamos las divisiones de los coeficientes y de los

𝟏 𝟏 𝟓 𝟑 𝟏
( ÷ ) √ ÷ = radicandos en un cálculo auxiliar y luego
𝟑 𝟔 𝟓 𝟓 reemplazamos.
𝟓
𝟐 √𝟑 Obtenemos el Resultado final.
Potenciación y radicación de radicales

Potenciación de Radicales:
Para resolver la potencia de un radical se elevan a dicha potencia el coeficiente y la
cantidad subradical; luego, siempre que sea posible, se simplifica el resultado. En
efecto, esta operación se puede expresar matemáticamente así:
𝑚
(𝑥 𝑛√𝑦) = 𝑥 𝑚 𝑛√𝑦 𝑚
Ejemplo:
𝟒
𝟑
(𝟐 √𝟖𝟏𝒙𝟐 𝒚𝟑 )
Elevamos el coeficiente y el radicando a la potencia 4

indicada. Descomponemos el 81 en sus factores primos.
23 √(34 )3 (𝑥 2 )3 (𝑦 3 )3
Efectuamos las potencias del coeficiente y de los radicandos 4

8√312 𝑥 6 𝑦 9
aplicando la propiedad de potencia de una potencia
Unidad 6 Página 11
4
Simplificamos factores 8 ∙ 33 𝑥𝑦 2 √𝑥 2 𝑦
4
8 ∙ 27𝑥𝑦 2 √𝑥 2 𝑦 =
Luego
𝟒
𝟐𝟏𝟔𝒙𝒚𝟐 √𝒙𝟐 𝒚
En el caso que haya que elevar al cuadrado una suma algebraica de radicales, se
aplica la regla del cuadrado de un binomio.
Recuerda:
La regla del cuadrado de un binomio es la siguiente:(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble
producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término.”
Ejemplo:
𝟐
(√𝟑 + √𝟓) =
Aplicamos la regla del cuadrado de un binomio, 2

(√3) + 2√3 ∙ √5 + (√5)
2
efectuamos las potencias y el producto de los radicales

3 + 2√15 + 5
Reducimos términos semejantes y expresamos el

𝟖 + 𝟐√𝟏𝟓
resultado como una suma algebraica.
Radicación de radicales:
Ejemplos:
3
1) √√64 =
Para extraer la raíz de un número que, a su vez, es otra 𝟑

√√𝟔𝟒 = 𝟑∙𝟐√𝟔𝟒 = 𝟔√𝟔𝟒
raíz, multiplicamos los índices entre sí.
Descomponemos el 64 en sus factores primos. 6 6

√64 = √26
Para terminar, siempre que sea posible, simplificamos el 6

√26 = 𝟐
resultado
Unidad 6 Página 12
3
2) √√27𝑚6 𝑥 3
Multiplicamos los índices entre sí y descomponemos el 27 𝟑.𝟐

√𝟑𝟑 ∙ 𝒎𝟔 ∙ 𝒙𝟑 =
en sus factores primos.
𝟔
√ 𝟑𝟑 ∙ 𝒎 𝟔 ∙ 𝒙 𝟑 =
Calculamos el MCD del índice y de los exponentes de los 6

√33 ∙ 𝑚6 ∙ 𝑥 3 =
factores del radicando y estos dividimos con el MCD
6:3
hallado √33:3 ∙ 𝑚6:3 ∙ 𝑥 3:3 =
Obtenemos el resultado extrayendo el factor cuyo

√3𝑚2 𝑥 = 𝒎√𝟑𝒙
exponente es divisible con el índice
3
3) √3√3
Como el coeficiente no tiene raíz cúbica exacta, debemos

𝟑
introducir primero bajo el signo de la raíz cuadrada, √𝟑√𝟑
siguiendo la siguiente regla:
• Introducimos el factor en forma de potencia, siendo su 3

√√32 ∙ 3 =
exponente el que corresponde al índice del radical.
• Efectuamos la operación indicada en el radicando. 3

√√33 =
Multiplicamos los índices entre si 3.2

√33 = √33 =
6
Simplificamos el índice y el exponente del radicando 6:3

√33:3 =
dividiendo ambos con el MCD
√𝟑
Unidad 6 Página 13
Siempre que, entre un signo radical y otro (del radicando) aparezcan factores, estos
debemos aplicar la regla mencionada anteriormente.
Ejemplos:
4 3
1) √𝑥 √𝑥 √𝑥
4 4 4 4 3 4 3
3 3 3
√𝑥 √𝑥 √𝑥 = √ √𝑥 3 . 𝑥 √𝑥 = √ √𝑥 4 √𝑥 = √ √√𝑥 8 . 𝑥 = √ √√𝑥 9 = 4.3.2
√𝑥 9
24
√𝑥 9 = 8
√𝑥 3
Se multiplican los índices entre sí y se simplifica el resultado
1) √69𝑥 − √28𝑥 2 − √9𝑥 4 =
Cuando entre un signo radical y otro aparezca sumandos, debemos resolver las
raíces comenzando del último hasta el primero.
Simplificamos la última expresión radical, en este caso

√9𝑥 4 = 3𝑥 2
Reemplazando en el ejercicio tenemos:

√69𝑥 − √28𝑥 2 − 3𝑥 2
reducimos términos semejantes. √28𝑥 2 − 3𝑥 2 = √25𝑥 2
Reemplazamos.
√69𝑥 − √25𝑥 2
Simplificamos la expresión. √25𝑥 2 = 5𝑥
Reemplazamos. √69𝑥 − 5𝑥
Reducimos los términos semejantes √64𝑥
Simplificamos el resultado 𝟖√ 𝒙
Unidad 6 Página 14
Racionalización de denominadores
Cuando una fracción tiene su denominador una expresión radical, siempre se trata
de hacerla desaparecer usando un procedimiento matemático llamado
racionalización.
Racionalizar el denominador de una fracción es convertir la fracción a otra

equivalente cuyo numerador contenga la expresión radical.
Ejemplos:
a) Si el denominador es un radical de índice dos (raíz cuadrada)

6
✓ Racionalizar
√2
6 √2
.
1°) Se multiplica la expresión tanto en el numerador como √2 √2
en el denominador por el radical del denominador
6√2 6√2
2°) Se efectúa la multiplicación 2 =
(√2) 2
6√2
3°) Se simplifica factores reducibles = 𝟑√𝟐
2
b) Si el denominador es un radical de índice mayor que dos:

4𝑎
✓ Racionalizar 3
√2𝑎2 𝑚
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 → 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒
3 3
√2𝑎2 𝑚 → √22 𝑎𝑚2
1°) Se halla el factor racionalizante.
Los radicandos del factor racionalizante se
El factor racionalizante es un radical
obtiene colocando el mismo radicando que el
de igual índice que el primero. Se
radical original y para el exponente se debe
obtiene de la siguiente manera restar del radical original con cada exponente
de este mismo radical
3
4𝑎 √22 𝑎𝑚2
2°) Se multiplica la expresión por el 3 ∙ 3
factor racionalizante √2𝑎2 𝑚 √22 𝑎𝑚2
3 3
4𝑎 √4𝑎𝑚2 4𝑎 √4𝑎𝑚2
3°) Se efectúa la multiplicación 3 =
√23 𝑎3 𝑚3 2𝑎𝑚
4°) Se resuelve las operaciones y se 3 𝟑
4𝑎 √4𝑎𝑚2 𝟐 √𝟒𝒂𝒎𝟐
simplifican los factores reducibles =
2𝑎𝑚 𝒎
Unidad 6 Página 15
Racionalización de denominadores (binomio)

Cuando el denominador es un binomio ya sea suma o resta de índice dos, el factor
racionalizante es la conjugada del denominador.
Conjugada: Son dos expresiones que se diferencian solo en los signos que separan
a los términos. La conjugada de √2 − √3 𝑒𝑠 √2 + √3.
Ejemplo:
4+√2
Racionalizar 6−√2
4 + √2 6 + √2
1°) Se multiplica la expresión por la conjugada del .
denominador 6 − √2 6 + √2
24 + 4√2 + 2 + 6√2
2°) Se efectúan las multiplicaciones 36 − 2
26 + 10√2
3°) Se reduce la expresión 34
2(13 + 5√2)
4°) Factorizamos el numerador 34
2(13 + 5√2) 𝟏𝟑 + 𝟓√𝟐

5°) Simplificamos la expresión para obtener el resultado =
34 𝟏𝟕
Unidad 6 Página 16
Actividades Propuestas
1) Reducir a su forma más simple: √3𝑎2 − 12𝑎 + 12.
𝐴) 3(𝑎 − 2) 𝑩) (𝒂 − 𝟐)√𝟑 𝐶) (𝑎 + 2)√3 1 𝐸) 𝑎 − 2

𝐷) (𝑎 − 2)
3
𝑎+1
2) Introducir, bajo el signo radical, el coeficiente (factor) de (𝑎 − 1)√𝑎−1
𝑨) √𝒂𝟐 − 𝟏 B) √𝑎 + 1 C) √𝑎 − 1 D) a√𝑎 + 1 E) 𝑎√𝑎 − 1
3
3) Reducir al mínimo común índice: √𝑎 + 𝑏 ; √𝑎 − 𝑏
6 6 6 6 3 3
𝐴) √𝑎 + 𝑏 ; √𝑎 − 𝑏 𝐵) √𝑎 + 𝑏 ; √(𝑎 − 𝑏)2 𝐶) √𝑎 + 𝑏 ; √𝑎 − 𝑏
𝟔 𝟔 6 6
D) √(𝒂 + 𝒃)𝟑 ; √(𝒂 − 𝒃)𝟐 E) √(𝑎 + 𝑏)3 ; √𝑎 − 𝑏
4) Efectuar: √9𝑎 − 9 + √4𝑎 − 4 − √25𝑎 − 25
𝐴) √𝑎 − 1 B) -12√𝑎 − 1 C) 0 D) -√𝑎 − 1 E) 1
3 3
5) Efectuar: √91,125 + 91,125𝑎 − √0,125 + 0,125𝑎
3 3 𝟑 3 3
𝐴) √1 + 𝑎 𝐵) 2√1 + 𝑎 𝑪) 𝟒 √𝟏 + 𝒂 𝐷) 4,5√1 + 𝑎 𝐸) − 0,5√1 + 𝑎
3 3
6) Efectuar 4 √(𝑎 − 𝑏)4 − √64𝑎 − 64𝑏
𝟑 3
𝑨) 𝟒(𝒂 − 𝒃 − 𝟏) √𝒂 − 𝒃 𝐵) 0 𝐶) (𝑎 − 𝑏 − 1) √𝑎 − 𝑏
3
𝐷) √𝑎 − 𝑏 𝐸) 𝑎 − 𝑏
7) Efectuar: (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏)(𝑎 + 𝑏) ÷ (𝑎 − 𝑏)
𝐴) 𝑎 − 𝑏 𝑩) 𝒂 + 𝒃 𝐶) 𝑎2 − 𝑏 2 𝐷) √𝑎𝑏 𝐸) (𝑎 + 𝑏)√𝑎𝑏
8) Efectuar: (√𝑎 + √𝑎 + 1)(√𝑎 + 2√𝑎 + 1) − 3𝑎 − 2
𝐴) 3√𝑎 𝐵) 2√𝑎(𝑎 + 1) 𝑪) 𝟑√𝒂(𝒂 + 𝟏) 𝐷) 3√𝑎 + 1 𝐸) − 6(𝑎 − 1)
Unidad 6 Página 17
𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
9) Efectuar: (𝑎√𝑎 + 𝑏√𝑏) (𝑎√𝑎 − 𝑏√𝑏)
𝐴) √𝑎 𝐵) 𝑏 𝑎 D) 0 𝑏
𝐶) 𝐸)
𝑏 𝑎
𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
10) Efectuar: [(𝑎 − 𝑏)√𝑎−𝑏] ÷ [(𝑎 + 𝑏)√𝑎+𝑏]
𝐴) 0 𝐵) √𝑎 + 𝑏 𝐶) √𝑎 − 𝑏 𝑫) 𝟏 𝐸) √𝑎2 − 𝑏 2
11) Efectuar: (2√4𝑎2 𝑏 3 × √2𝑎𝑏)3
A)𝟏𝟐𝟖𝒂𝟒 𝒃𝟔 √𝟐𝒂 B) 64𝑎6 𝑏 4 √2𝑎 C) 256𝑎4 𝑏 6 √2𝑎 D) 64𝑎4 𝑏 6 √2𝑎b E) 8𝑎4 𝑏 6 √𝑎
6 4
12) Efectuar: ( √18𝑎3 𝑏 4 𝑐 5 ÷ √3𝑎2 𝑏 2 𝑐 3 )12
12
𝐴) √36𝑏 2 𝑐 B) 𝟏𝟐𝒃𝟐 𝒄 6
C) √12𝑎2 𝑐 𝐷) 𝑎 𝑏 𝑐 E) 12𝑎2 𝑐
13) Efectuar:(√5𝑎 − 3√2𝑎)2 + 6𝑎√10
𝐴) 23 B) 𝟐𝟑𝒂 C)23√𝑎 D)√3𝑎 E) 6√10𝑎
14) Efectuar: (√𝑎 + 1 − 4√𝑎)2 + 8√𝑎(𝑎 + 1)
𝐴) 17𝑎 B) √𝑎 +1 C) 8√𝑎 + 1 D) 𝟏𝟕𝒂 + 𝟏 E) √𝑎 + 1
15) Efectuar: (√𝑎 + 1 − √𝑎 − 1)2 + 2√(𝑎 + 1)(𝑎 − 1)
𝑨) 𝟐𝒂 B) 𝑎 C) -2√(𝑎 + 1)(𝑎 − 1) D) √𝑎 + 1 E) √𝑎 − 1
3
16) Efectuar: √3𝑎√3𝑎
𝐴) 3𝑎 B) √𝑎 C) √𝟑𝒂 D) 9a 6
E) √𝑎
3
17) Efectuar: √ √(𝑎 + 𝑏)2
6 12 𝟑
𝐴) 𝑎 + 𝑏 B) √𝑎 + 𝑏 C) √𝑎 + 𝑏 D) √𝑎 + 𝑏 E) √𝒂 + 𝒃
Unidad 6 Página 18
𝑎𝑏
18) Efectuar: √ 3
√𝑎𝑏
6
A) √𝑎 B) 𝑎𝑏 3
C) √𝑎2 𝑏 2 D)√𝑎𝑏
𝟑
E) √𝒂𝒃
3 3
19) Efectuar: √ √4𝑎2 × √4𝑎2
3 3 3
𝑨) 𝟐𝒂 B) 2√𝑎 C) √𝑎 D)√4𝑎2 E) √𝑎2
𝑎
20) Racionalizar el denominador de la fracción:
√𝑎
1
𝐴) 𝑎 B) √𝒂 C)
√𝑎 D) 𝐸) 1
𝑎 𝑎
𝑎
21) Racionalizar el denominador de la fracción: 4
√27𝑎2
𝑎
𝟒
√𝟑𝒂𝟐 4
B) √3𝑎2
4
C) √27𝑎 D) E) 𝑎
𝑨) 3
𝟑
121−𝑎
22) Efectuar: 11+√𝑎
𝐴) 11 + √𝑎 B) √𝑎 C)(11 − 𝑎) √𝑎 D) 𝟏𝟏 − √𝒂 E)
√𝑎
11−𝑎
√𝑎+2√𝑏
√𝑎+3√𝑏
𝑎 − √𝑎𝑏 𝒂 − √𝒂𝒃 − 𝟔𝒃 𝑎 + √𝑎𝑏 − 6𝑏

𝐴) 𝑩) 𝐶)
𝑎 + 9𝑏 𝒂 − 𝟗𝒃 𝑎 − 9𝑏
𝑎 − √𝑎𝑏 − 6𝑏 2
𝐷) 𝐸)
𝑎 + 9𝑏 3
𝑎 √𝑏 + 𝑏 √𝑎
√𝑎 + √𝑏
𝐴) √𝑎 + √𝑏 B) √𝑎 − √𝑏 C)
√𝑎−√𝑏 D)2 √𝑎𝑏 E) √𝒂𝒃
𝑎−𝑏
Unidad 6 Página 19
Bibliografía:
Baldor, A. (2013). Álgebra: Teórico - práctico. México: Patria S.A.
De Oteyza de Oteyza, E., Hernández Garciadiego, C., & Lam Osnaya, E. (1996).
Álgebra.México: Prentice Hall Hispanoamericána.
Giovanni, J. R., Bonjorno, J. R., Giovanni Jr, J. R., & Acosta Duarte, R. (1998).
Matemática Fundamental. Tomo único. Saö Paulo: FTD S.A.
Pujol, F. V., Sánchez, Raimundo (2017). Matemática Práctica I. Aritmética, Álgebra,
Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría.Asunción
Spiegel, M., & Murray, R. (s.f.). Álgebra Superior: Teoría y 1980 problemas resueltos.
McGraw Hill.
Galdós L. Matemática Galdós. Edición MMVIII. Cultural SA. Madrid. España.
Barnett R. y Schmidt P. (2006). Álgebra. Serie Schaum. McGraw Hill Interamericana.
México DF
Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña

Coordinadores
Prof. Lic. Fredys Torres Ojeda
Responsable del contenido Prof. Lic. Juan de Dios Cañete Fernández
Responsable de la revisión Prof. Lic. Francisco Simón Ruiz Diaz Vicezar
Responsable de la corrección Prof. Lic. Alice Leguizamón
Unidad 6 Página 20

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El Primer Paso - MATEMÁTICAS 06/11/2020

Radical: la radicación o radical es la operación inversa de la potenciación. Mediante

Una expresión radical tiene los siguientes elementos.

Índice Signo radical

Cantidad sub radical o radicando

1) La raíz enésima de un producto, es igual al producto de las raíces enésimas de

3) La raíz enésima de un cociente, es igual al cociente de las raíces enésimas del

6) El valor de un radical no altera si se multiplican o dividen exactamente por un

Raíz de una expresión algebraica

Para hallar la raíz de una expresión algebraica debamos considerar la cantidad de

→ 34:4 ∙ 𝑥 8:4 ∙ 𝑦12:4 ∙ 𝑧16:4

b) Para hallar la raíz de un polinomio: √𝑥 2 − 6𝑥 + 9

1°) Se factoriza el polinomio→ √(𝑥 − 3)2

2°) Se divide el exponente del resultado de la factorización por el índice y se extrae

Simplificación. Extracción de factores del signo radical

𝟒 𝟒 Descomponemos el radicando 32 en sus factores

extraemos el factor fuera del radical, dividiendo los

Introducción de factores bajo el signo radical

a) Introduce bajo el signo radical la expresión 3𝑎2 𝑏√𝑎𝑏

1°) Se introduce el coeficiente en la raíz elevando a la potencia √𝑎𝑏(3𝑎2 𝑏)2

2°) Se efectúa la potencia dentro del radical √𝑎𝑏. 9𝑎4 𝑏 2

2°) Se simplifican los factores comunes y 5 2 =√

✓ 3√2𝑎 + 5√2𝑎 = (3 + 5)√2 = 𝟖√𝟐𝒂

✓ 3√3 − 7√5 + 4√5 − √3 = (3 − 1)√3 + (−7 + 4)√5 = 𝟐√𝟑 − 𝟑√𝟓

Suma y Resta de Radicales

1°) Descomponemos los radicales en sus

3°) Simplificamos y extraemos factores de

5°) Agrupamos los coeficientes de cada

√64𝑎2 𝑏 − √81𝑎𝑏 2 + √49√𝑎4 𝑏 2 = √82 𝑎2 𝑏 − √92 𝑎𝑏 2 + √72 𝑎2 𝑏

= 8𝑎√𝑏 − 9𝑏√𝑎 + 7𝑎√𝑏 = (8𝑎 + 7𝑎)√𝑏 − 9𝑏 √𝑎 = 𝟏𝟓𝒂√𝒃 − 𝟗𝒃√𝒂

c) Resuelve la expresión de Polinomios

√9𝑦 − 9 − √25𝑦 − 25 + 4√16𝑦 − 16 ⟹ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

= √9(𝑦 − 1) − √25(𝑦 − 1) + 4√16(𝑦 − 1) ⟹ 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

= √32 (𝑦 − 1) − √52 (𝑦 − 1) + 4√42 (𝑦 − 1) ⟹ 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

= 3√(𝑦 − 1) − 5√(𝑦 − 1) + 4.4√(𝑦 − 1) = (3 − 5 + 16)√(𝑦 − 1) = 𝟏𝟒√(𝒚 − 𝟏)

Multiplicación de radicales con igual índice

1) Hallar el producto 𝟓 √𝟕 ∙ (−𝟒 √𝟑 )

𝟏 Reemplazamos el número 10 por su

Multiplicamos los coeficientes entre sí y dentro

𝟓 Extraemos los factores del

Para multiplicar radicales con índices distintos a 2 se sigue el mismo

El producto de un radical por la suma algebraica de otros radicales se efectúa

Aplicamos la propiedad distributiva de la

√𝟑𝟐 + 𝟓 √𝟑 Extraemos los factores del radicando

−𝟓√𝟐 (𝟏 − 𝟐√𝟐 + 𝟒√𝟓) =

−𝟓√𝟐 (𝟏 − 𝟐√𝟐 + 𝟒√𝟓)

−𝟓√𝟐 + 𝟏𝟎√𝟐𝟐 − 𝟐𝟎√𝟏𝟎 Extraemos los factores del radicando

Efectuamos el producto indicado

Ordenamos el resultado final, primero se colocan los

El producto de dos sumas algebraicas también se puede hallar aplicando la

6) (2√2 − √3 ) (4√2 − 3√3 ) =

(2√2 − √3 ) (4√2 − 3√3 ) = 2 ∙ 4√2 ∙ 2 + 2 ∙ (−3)√2 ∙ 3 − 1 ∙ 4√3 ∙ 2 − 1 ∙ (−3)√3 ∙ 3

= 8√22 − 6√6 − 4√6 + 3√32 = 8 ∙ 2 − 6√6 − 4√6 + 3 ∙ 3

= 16 − 6√6 − 4√6 + 9 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎√𝟔

Radicales conjugados: Son pares de expresiones con radicales idénticos a

= √𝟕𝟐 − √𝟏𝟒 + √𝟏𝟒 − √𝟐𝟐 Efectuamos las operaciones indicadas

= 𝟕 − √𝟏𝟒 + √𝟏𝟒 − 𝟐 Extraemos las raíces y reducimos los términos

División de radicales con igual índice