Espacio Curricular: MATEMÁTICA

Secuencia didáctica N° 1
Tema: LOS NÚMEROS REALES, OPERACIONES, PROPIEDADES Y RACIONALIZACION
Curso: 6° año

Introducción: Recordatorio a los Números Reales.

Antes de empezar
Conviene que recuerdes las propiedades de las potencias que has estudiado
en cursos anteriores

Propiedades de las potencias de exponente entero

 El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la
misma base y de exponente la suma de los exponentes.
7.7 =7
n m n+m

Ejemplo: xy . xy = xy 2+7 = xy 9
2 7

 El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de

exponente la resta de los exponentes.

3:3 =3
n m n−m

8
2 ( 8−5 ) 3
Ejemplo: 5
=2 =2
2
 La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base y de
exponente el producto de los exponentes.

n m n.m
(a ) =a

Ejemplo: ( 27 )3=27.3=221
 Una potencia de exponente cero es igual a la unidad.

x0 = 1
Ejemplo: 9 0=1
 El producto de potencias del mismo exponente es otra potencia del
mismo exponente y de base el producto de las bases.
n
a ·b = ( a·b )
n n

5 5 5 5
Ejemplo: 2 .3 =( 2.3 ) =6

 El cociente de potencias del mismo exponente es otra potencia del

mismo exponente y de base el cociente de las bases.

n
a : b = (a : b)
n n

()
6 6
8 8 6
Ejemplo: 6 = =2
4 4

1. RADICALES

Definición:
Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n
nos da a.
√n a=b ↔ bn=a
Ejemplo: √
3 3
8=2 por ser 2 =8

Un radical es equivalente a una potencia de exponente

fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice
del radical y el numerador de la fracción es el exponente el
radicando.

p 1
√n a p =a n Ejemplo: √3 5=5 3

 Radicales equivalentes:
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los
exponentes de las potencias asociadas son equivalentes.
2
√ x =x
5 2 5

√ x 2=√6 x 4
3

2 4
Son equivalentes por ser: =
3 6
 Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o
dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número
mayor que uno. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el
radical.

Amplificar 3
√ x 2=3.2√ x 2.2= √6 x 4
√ x = √ x =√3 x 2
Simplificar 6 4 6 : 2 4 : 2

 Introducción y extracción de factores en un radical.

Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que

indica el índice y se escribe dentro.
Introducción del factor en el radical
x . √3 x=√ x 3 . x=√ x 4
3 3

5. √3 2=√ 23 .5=√3 8.5=√3 40

3

Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se
puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El
cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor
que queda dentro.
Extraer el factor del radical:

√5 x 13=x2 . √5 x 3 13 5

3 2

 Cálculo de raíces
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el
número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores.
Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta

√3 1728= √26 .33=22 .3=12

1728 2 3

864 2

432 2

216 2

108 2
 54 2

27 3

9 3

3 3

 Radicales semejantes
Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el
mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los
multiplica.

Los siguientes radicales son semejantes 3 √

3
4 ; 9 √4 ; 6 √ 4
3 3

Los siguientes radicales no son semejantes porque sus índices son distintos
3 √ 4y 7 √ 4
3 5

 Simplificación de radicales.
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del
radicando, se obtiene un radical simplificado.
Ejemplos: 1 Simplificar
Ponemos en forma de potencia al
Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice como el exponente del
radicando

2 Simplificar
Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice como los exponentes del
radicando

Propiedades
  Raíz de un producto
La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los
factores.

Demostración: Raíz de un producto √

3
3.6= √ 3 . √ 6
3 3

√7 a2 . b4 =√7 a2 . 7√b 4
 Raíz de un cociente
La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-
ésimas del dividendo y del divisor.

Demostración: Raíz de un cociente

√ 2 = √2
5
5

3 √5 3

√ a =√a
4 5 4
5

b √b
3 5 3

 Raíz de una potencia

Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva
el resultado a la potencia dada.

8= √ 2 =( √ 2 )
5 5 5 3
Demostración: Raíz de una potencia √ 3

√3 x 7=( √3 x )
7

 Raíz de una raíz

La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número es igual a la
raíz nm-ésima de dicho número.
Demostración: Raíz de una raíz √ √ 2= √2
3 5 15

Operaciones con Radicales


1) Suma de Radicales Semejantes:
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es
decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los
radicales.
Ejemplos:

1)

Sumamos los coeficientes de los radicales

2)
Sumamos los coeficientes de los radicales

3)
Descomponemos en factores los radicandos:

De manera que las raíces son

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical
correspondiente

Sumamos los coeficientes de los radicales

4)
Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical
correspondiente

De manera que

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando
por , en el segundo por y en el tercero por

Sumamos los coeficientes de los radicales

¡practicamos!
  Multiplicación de radicales con el mismo índice.
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja
el mismo índice.

Ejemplo:

 Multiplicación de radicales con distinto índices.

Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.
Ejemplos:
1
Descomponemos en factores los radicandos

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de
los índices, que será el común índice.

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado
obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes . Realizamos el
producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del
radicando

¡Practicamos!
  División de radicales de distintos índices.
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Ejemplos:

1
En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común
múltiplo de los índices, que será el común índice. .

Dividimos el común índice por cada uno de los índices ( y ) y cada resultado
obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes ( y )
Descomponemos el en factores para poder hacer la división de potencias con la misma
base y dividimos

¡Practicamos!

Racionalización
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales
del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones
como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

1 Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

Ejemplos:

2 Racionalización del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

Ejemplos:

3 Racionalización del tipo

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un

radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del

denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central

cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es
igual a diferencia de cuadrados".

Ejemplos: