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GUIAMATBAS1
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M0102
Fórmula matemática:
Es una secuencia o cadena de caracteres cuyos símbolos pertenecen a un lenguaje formal, de tal
manera que la expresión cumple ciertas reglas de buena formación y que admite una interpretación
consistente en alguna área de la matemática y en otros sistemas formales. Es la representación
por medio de letras y números de un comportamiento o de un principio general de un evento, suceso
u objeto cualquiera. Las expresiones matemáticas constan de un conjunto de símbolos del alfabeto,
que en una expresión matemática incluyen:
Signos de Operación:
Suma o Adición (+), Resta ó Sustracción (-), Multiplicación ó Producto ( x ó . ), División ó Cociente
(÷ ó / ), Elevación ó Potencia (^ ó ↑) y Raíz ó Radical (√ ).
Signos de Relación:
Igualdad (=), Mayor que (>), Menor que (<), Mayor o igual que (≥) y Menor o igual que (≤)
Signos de Agrupación:
Paréntesis ordinario ( ), paréntesis angular o corchete [ ], llaves { } y la barra o vínculo. Se debe
operar primero paréntesis, luego corchetes y por último llaves.
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m): es la expresión de menor coeficiente numérico y de menor grado
que esté contenida exactamente en cada una de las expresiones fraccionadas. Se multiplican los
factores comunes y los no comunes elevados a sus mayores exponentes.
Máximo Común Divisor (M.C.D): es la expresión de mayor coeficiente numérico y de mayor grado
que esté contenida exactamente en cada una de las expresiones fraccionadas. Se multiplican los
factores comunes elevados a sus menores exponentes.
Cantidades positivas y negativas: cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos
sentidos opuestos o condición de ser por medio de los signos (+ ó - ), anteponiendo + a las
cantidades positivas y – a las cantidades negativas.
Cero (0): es la ausencia de cantidad.
Cantidad negativa < 0 < Cantidad positiva.
Conjuntos de Números:
Naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, 5….+α}
Enteros Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4,…±α}
Racionales Q = {…-8,…,-7/3,…,-2,.., -2/3,….,0, ½ , 4, …,27/5,..}
𝟏 𝟏
Reales 𝐑 = {−𝜶. , −√𝟓, . , −𝟑, − , 𝟎, , 𝟐, … √𝟑,. . 𝜶}
𝟐 𝟖
Potencia de un número: es el proceso de multiplicar a un número por sí mismo una cierta cantidad
de veces.
Propiedades de la Potencia:
𝒂 𝒂𝒏
a) (a.b)n = an. bn b) ( )𝒏 = 𝒏
𝒃 𝒃
𝒂 𝒎
c) an . am = an+m d) = 𝒂𝒎−𝒏
𝒂𝒏
𝒂 𝒃
e)(𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏 f) (𝒃)−𝒏 = (𝒂)𝒏
𝟏
g)𝒂−𝒏 = h) 𝒂𝟎 = 𝟏
𝒂𝒏
𝒎
𝟏 𝒏
i) 𝒂−𝟏 = j) 𝒂 𝒏 = √ 𝒂𝒎
𝒂
k) 𝟏𝒏 =1 l) 𝟎𝒏 = 𝟎
Factorización:
Es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un
número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos
métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo
es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el
nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio
en polinomios irreducibles.
Métodos generales: pueden ser aplicados a cualquier polinomio ya sea en una variable o varias
variables.
1. Factor común por agrupación de términos: La factorización por agrupación se realiza mediante
la colocación de los términos en el polinomio en dos o más grupos, donde cada grupo se puede
factorizar mediante un método conocido.
9√12 = 9 √22 . 3 = 18 √3
7√48 = 7 √24 . 3 = 28 √3
3 √98 = 3 √2. 72 = 21 √2
Entonces:
2√450 + 9√12 − 7√48 − 3√98 = 30 √2 + 18 √3 - 28 √3 - 21 √2 = 9√2 − 10√3
2.1 Multiplicación del mismo índice: se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades sub-
radicales entre sí, colocando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el
𝑛 𝑛 𝑛
resultado. Vamos a probar que a √𝑚 * b √𝑥 = ab √𝑚𝑥
1 1 1 1 1
𝑛 𝑛 𝑛
En efecto: a √𝑚 * b √𝑥 = 𝑎 𝑚𝑛 ∗ b 𝑥𝑛 = 𝑎𝑏 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑏(𝑚𝑥)𝑛 = ab √𝑚𝑥
2.2 Multiplicación de diferente índice: se reducen los radicales al mínimo común índice y se
multiplican como radicales del mismo índice.
3
Multiplicar 5√2𝑎 por √4𝑎2 𝑏
Reduciendo los radicales al m .c. índice, tendremos:
6
5√2𝑎 = 5 6√(2𝑎)3 = 5√8𝑎3
3 6
√4𝑎2 𝑏 = 6√(4𝑎2 𝑏)2 = √16𝑎4 𝑏2
3 6 6
Por lo tanto ∶ 5√2𝑎 x √4𝑎2 𝑏 = 5 √128𝑎7 𝑏2 = 10a√2𝑎𝑏2
3.1 División de radicales del mismo índice: se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades sub-
radicales entre sí, colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica el
resultado.
𝑎 𝑛 𝑚
Vamos a probar que: que
𝑛
a √𝑚 / b √𝑥 =
𝑛
𝑏
√𝑥
𝑎 𝑛 𝑚 𝑎𝑏 𝑛 𝑚𝑥
𝑏
√𝑥 x b 𝑛√𝑥 =
𝑏
√𝑥 = 𝑛
a √𝑚
3.2 División de radicales de diferente índice: se reducen los radicales al mínimo común índice y se
dividen como radicales del mismo índice.
3 4
Dividir √4𝑎2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 √2𝑎
Reduciendo los radicales al m .c. índice, tendremos:
3 12
√4𝑎2 = 12√(4𝑎2 )4 = √256𝑎8
4 12 12
√2𝑎 = √(2𝑎)3 = √8𝑎 3
3 4 12
Entonces: √4𝑎2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 √2𝑎 = √32𝑎5
Potenciación de Radicales: para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el
coeficiente y la cantidad sub-radical, y se simplifica el resultado:
𝑛 𝑛
Vamos a probar que: (a √𝑏 )m = 𝑎𝑚 √𝑏 𝑚
1 𝑚
𝑛 𝑛
En efecto: (a √𝑏 )m = (𝑎𝑏 𝑛 )m = am 𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑚 √𝑏 𝑚
(5√2)2 = 52 . √22 = 25 . 2 = 50
Operaciones con Números Racionales (Fracciones)
Fracción: es una expresión matemática formada por dos números enteros divididos entre sí por una
raya de fracción. El número entero superior se denomina Numerador y el número entero inferior se
denomina Denominador y la línea que los divide se denomina Raya de Fracción o División. La Unión
de estos tres elementos conforma lo que comúnmente denominamos FRACCIÓN y su resultado
puede ser un numero entero o un numero decimal (racional). Siempre los resultados de
operaciones con fracciones se deben simplificar o llevar a la mínima expresión (OBLIGATORIO
POR LEY DE FRACCIONES)
𝐴 𝐵 𝐴−𝐵 9 5 4 3 7 3−7 4
− = 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: − = − = = − = −1
𝐶 𝐶 𝐶 3 3 3 4 4 4 4
4. Sustracción o Resta de Fracciones de Diferente Denominador
𝐴 𝐵 𝐴. 𝐷 − 𝐶. 𝐵 9 5 9.4 − 3.5 36 − 15 21 7
− = 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: − = = = =
𝐶 𝐷 𝐶. 𝐷 3 4 3.4 12 12 4
NOTA: Esta segunda sustracción se puede realizar a través del producto cruzado o por m.c.m (mínimo
común múltiplo).
5. Multiplicación de Fracciones de Igual o Diferente Denominador
𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 5 9 45 15
. = 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: . = = =5
𝐶 𝐶 𝐶. 𝐶 3 3 9 3
𝐴 𝐵 𝐴. 𝐵 9 5 9.5 45 15
. = 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: . = = =
𝐶 𝐷 𝐶. 𝐷 3 4 3.4 12 4
NOTA: En las operaciones de Multiplicación sea igual o diferente denominador, se realizan
linealmente, NO EXISTE el producto cruzado sino LINEAL.
6. División de Fracciones
Existen dos (2) formas de operar División de fracciones:
a.- Una mediante la aplicación de la herramienta la DOBLE C (*)
b.- La otra mediante el “cambio” de la División a Multiplicación con la transformación de la 2da
fracción (inversión de términos numerador por denominador).
Ejemplo 1: Esta operación es la de aplicación de la DOBLE C
𝟓
𝟓∗𝟒 𝟐𝟎
𝟑
𝟗 = = (*)
𝟑.𝟗 𝟐𝟕
𝟒