Algebra Academia Circulo PDF
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III.
A1: Ley de clausura AXIOMAS DE LEY
a, b a + b DISTRIBUTIVA RESPECTO
A2: Ley conmutativa A LA ADICIÓN
a, b a + b = b+a
A3: Ley Asociativa a, b, c
a, b, c D1: Distributividad por la izquierda
(a+b)+c=a+(b+c) a (b+c) =ab+ac
A4: Existencia y unicidad del D2: Distributividad por la derecha
elemento neutro aditivo ( a + b ) c = ac + bc
Existe un valor único ,
denotado por “0” (0, se lee cero)
tal que IV. AXIOMAS DE ORDEN
a : a+0=a=0+a
A5: Existencia y unicidad del O1 = Ley de Tricotomía
elemento inverso aditivo Dados a y b ; se cumple una
a , existe un valor único y solamente una de las siguiente
denotado por -a tal que: relaciones:
a :
a<b a=b b<a
a + (-a) = 0 = (-a) + a
O2 = Ley Transitiva, a, b, c ,
II. AXIOMAS DE LA se cumple Si; a < b b < c
MULTIPLICACIÓN a<c
O3 = Ley de la Monotonía
M1: Ley de clausura i) a, b, c ;
a, b a.b si a < b a + c < b + c
M2: Ley conmutativa ii) Si a < b 0 < c ac < bc
a, b a.b = b.a iii) Si a < b c < 0 bc < ac
ACADEMIA
- a c d +
a) 3
8 2 (2)3 8 = x/x es racional ó irracional
b) 16 4 (4)2 = 16
ACADEMIA
m n m+n
a .a =a ; m, n 1
n
n
ii) a a
II. MULTIPLICACIÓN DE BASES
DIFERENTES CON IGUAL
EXPONENTE IX. MULTIPLICACIÓN DE
RADICALES HOMOGENEOS
am.bm = (a.b)m ;m
n
a n
b n
ab ; n / n 0
ACADEMIA
n
a a ( ( ( am ) n
ap ) q
ar ) s = a ( ( mn+ p ) q+r)s
n n / n 0
n
b b
obtenemos:
XI. POTENCIACIÓN DE UN a(3x21)3 b(2x23)3 a21 b 21
RADICAL S=
a
n m p
n
a mp
;
a(1x31)2 b(2x31)2 a8 b14
2 6
(a12 ) (a3 )
E= Simplificando
4
(a2 ) E3
x16 E2 = x16 E = x8 (Rpta)
Solución: E
Como, (a m) n
=a mn
De las fórmulas (I) y (II):
Solución:
E = a24-18-(-8); con lo cual Transformando a un solo radical y a un
solo exponente:
14
E=a (Rpta).
(b2 1)b3 (b2 1) (b3 b)(b4 b2 )
K a
EJERC. 2: Efectuar:
3 expresando convenientemente
3 2
ab 2 3
ab
K
(b2 1)b3 (b2 1)
a
b(b2 1)b2 (b2 1)
S=
2 siendo el exponente igual al índice del
ab2 3
ab radical K = a (Rpta)
ACADEMIA
la ecuación:
x2 6x 10 x 7
2 2
5 5
4 4
3 3 Solución:
x 1 x 2 Transformando el exponente
1 1
x3 5x negativo en positivo y desarrollando
el cuadrado del binomio obtenemos:
Solución: x2 14x 50 x2 14x 49
Debe tenerse en cuenta que los
x2 6x 10 x2 6x 9
términos que son iguales en los dos
haciendo el cambio de variable
miembros de la ecuación se pueden
x2-14x+49 = a x2+6x+9=b
cancelar directamente; es decir: 5 con
tendríamos:
5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1 con
1; quedando: a1 a
ab+b=ab+a
x 1 x 2 b 1 b
de donde: b = a
x 3 5x
ó: x2+6x+9 = x2-14x+49
o lo que es lo mismo:
20x=40
x 1 x 2 X=2 (Rpta)
x 3 x 5
Por proporciones
X2 5x-x+5=x2-2x-3x+6 1.11 ECUACIONES EXPONENCIALES
Simplificando:
-x+5=6 x = -1 (Rpta)
Son todas aquellas ecuaciones que se
05. Resolver: caracterizan por que la incógnita se
5x a 5x a 3 encuentra en el exponente.
5x a 5x a 2
Ejemplo:
a) 27 - x+3 = 9 x-1
Solución:
b) 2 x+2 – 2 x - 3 + 2 x-1
= 35
Haciendo el cambio de variable: x 2 x 3 x 3 x 6
5x a m c) 5 5
x 1
x 1
9 3
5x a n d) 3 27
la ecuación se transforma en: Los criterios de solución respecto a
la solución de ecuaciones
mn 3
2m 2n 3m 3n exponenciales son:
mn 2
5n = m 1º A bases iguales, los exponentes
volviendo a la variable original deben ser iguales, es decir
5 5x a 5x a
elevando al cuadrado; se obtiene am = an m = n ; a 0 a 1
25(5x-a) = 5x+a
125x-25a = 5x+a 2º En toda ecuación exponencial si las
estructuras algebraicas en ambos
120 x = 26a miembros son iguales, entonces el
13a valor de la incógnitas se obtiene por
de donde: x= (Rpta) comparación.
60
ACADEMIA
04. Resolver:
x 2 3x 1 5x 2
2 9 8
3 4 27
ACADEMIA
a1 = a (a se multiplica 1 vez)
2
a) + 6 x2 = x2 + x2 + x 2 + x2 + x 2 + x 2 a = a a (a se multiplica 2 veces)
2 veces
(6 veces)
a3 = a a a (a se multiplica 3 veces)
b) 3x y z = xyz +xyz+xyz
3 veces
(3 veces)
an = a a a .... a (a se multiplica n veces)
n veces
Por la propiedad de simetría:
COEFICIENTE NATURAL
a a a …... a = an n Z+
n veces
Con respecto a la siguiente secuencia:
1a = a (a se suma 1 vez)
Ejemplos:
2a =a+ a (a se suma 2 veces)
a) x x x .......... x = x60
3a =a+a+a (a se suma 3 veces)
60 veces
n2
na = a + a + a +.... + a (a se suma n veces)
b) 6 6 6 .......6 = 6
n veces
n2 veces
c) (x-y2) (x – y2) ....... (x – y2) = (x-y2)29
De la propiedad de simetría 29 veces
d) z z z ,,,,,,,,,,,z = z n-2
a + a + a +.... + a = na n z+ (n – 2) veces
n veces
EJERCICIOS X 8
Reduciendo a una sola base:
2n 3 2n 1 2n 5
Ejercicio 1.- Dado el monomio M(x) = X 4 12 8
P (x, y, z) = x m + n + y3n + z m + 2
Es la expresión algebraica que consta Tienen el mismo grado. Hallar mn
de dos o más términos, en el cual los
exponentes de sus variables son
números enteros no negativos. Son Solución
ejemplos de polinomios: Para este caso, se cumple que:
m+n=3n=m+ 2
a) P(x) = 2x – 3 (binomio) con lo cual:
b) Q(x) = x3 + x2 y + y2 (trinomio)
de : m + n = m + 2 n = 2
c) P(x,y) = x2 + 2x y + 3y2 (trinomio)
de : m + n = 3 n
m+2= 6 m=4
GRADOS DE UN POLINOMIO.- mn = 42 = 16 Rpta.
Solución Propiedades
Sumando los exponentes de cada 1. El número de términos es igual al
término, obtenemos:
grado absoluto más uno
P (x , y) = 5 x n – 4 y n - 3 + x n-6
yn-2
(2n – 7) (2n-8) #t = G. A + 1
Por consiguiente: 2n – 7 = 9
n = 8 Rpta. 2. Si el polinomio es completo y
ordenado la diferencia de los grados
02.- Si los términos del polinomio
ACADEMIA
b) P(x) = 2x2 – 3x – 2 B = -3
2º) x – 2 = 0 x = 2
Polinomios Idénticos: Estos A (2 – 3) + B (2 – 2) = 3(2) - 12
polinomios se caracterizan por que los -A = -6
coeficientes de sus términos A=6
semejantes en ambos miembros son
Reemplazando en “E”
iguales, en efecto:
Si: E= 6 6 ( 3) 3 6 3 3
a x2 + b x + c d x2+ ex + f E=0 Rpta.
02.- Si el polinomio:
Se cumple que: P (x) = (a– 2) x2 + (b + 3) x + 9 x2 – 5 x
a=d Es nulo, hallar (a + b)
b=e Solución
c=f Si el polinomio es nulo, cada
coeficiente vale cero, es decir:
Polinomios Idénticamente Nulos:
P (x) = (a – 2 +9) x2 + (b + 3 – 5) x 0
Estos polinomios se caracterizan por 0 0
que sus coeficientes valen cero: 1º) a–2+9=0 a = -7
2º) b+3-5=0 b=2
Ejemplo: dado a + b = -7 + 2 = – 5 Rpta.
P(x) = a x2 + b x + c 0
Se cumple que: 03.- Dado el polinomio homogéneo
a=0 P(x, y) = xa+b-1 y b – xy6 - 3y2a + 3b - 6
b=0 Determine:
c=0 E = (ab + ba – ab)2
Solución
Por ser homogéneo, se cumple:
EJERCICIOS
ACADEMIA
a + b – 1 + b = 1 + 6 = 2a + 3b – 6
2.6
(I) ( II ) ( III ) NOTACIÓN DE POLINOMIOS
De (I) y (II), se obtiene:
La notación de polinomios nos permite
a+2b=8
diferenciar las constantes de las
De (II) y (III) variables; en efecto, para los
2 a + 3b = 13 polinomios.
Resolviendo el sistema: A) P (x) = x3 + ax2 – b2 c
a+2b=8 .......... (1) La única variable es “x” y las constantes
literales llamadas también parámetros
2 a + 3b = 13 .......... (2)
son “a”, “b” y “c”.
8 2 B) P (x, y) = x4 – x3 y2 + 5 a x + 6
13 3 24 26 2 Las variables son las letras “x” e “y”
a 2
1 2 34 1 y las constantes son “5”, “a” y 6.
2 3 Este tipo de notación se hace
extensible a cualquier tipo de
1 8 expresión algebraica.
2 13 13 16 3 Ejm:
b 3
1 2 34 1 ax b
a) P (x) =
2 3 c xd
Por consiguiente el valor de “E” es: b) P (x) = a x2 b x c
E = 121 Rpta.
3 2 2
E = [ 2 + 3 – (2) (3) ]
x2 y3
c) P (x,y) = +xy–9
x2 y3
04.- Tres términos consecutivos
de un polinomio ordenado y
completo en forma descendente EJERCICIOS
están representados por:
P(x)= .... + x a+b+1 – x2a - 1+ 3bx3b-1-.... 01.- Sabiendo que:
Calcular el valor de “a” 5x 3
P(x) =
Solución 9x 5
En este caso se cumple que la Calcular : P (P (x))
diferencia de dos exponentes Solución
consecutivos es igual a la unidad, es
Reemplazando, x por P(x)
decir:
5 P( x ) 3
P (P(x)) =
a + b + 1 - (2a – 1) = 1 ......... () 9 P( x ) 5
2 a – 1 - (3 b – 1) = 1 ......... (ß) Como P(x), es conocido
Simplificando: 5x - 3
5 3
- a + b = -1 ..................... () 9x - 5
P(P(x)) =
2a - 3b = 1 ………………. (ß) 5x - 3
Resolviendo para “a”
9 5
9x - 5
1 1
Efectuando las operaciones indicadas:
1 3 3 1 2 a=2
a = Rpta. 25 x - 15 - 27 x 15
1 1 32 1 P (P(x)) =
45 x - 27 - 45 x 25
2 3
2x
P (P(x)) = P (P(x)) = X Rpta.
2
ACADEMIA
b2 c 2 a2 c 2 a2 b2 11 3
3 = a1 - b1 + c1
b3 c 3 a3 c 3 a3 b3 1 5 55 3 52
x
5 3 25 12 13
ó también 4 5
3 = a1 (b2 c3 – b3 c2)-b1 (a2 c3 – a3 c2)+ x=4 Rpta.
+ c1 (a2b3 - a3b2)
Ejemplo 2.- Calcular “y” en el sistema:
Ejemplo: Calcular:
-7 x + 5y = -45 ................. ()
2 3 1 4x - 3y = 26 ................. (ß)
3 4 1 2 Solución
5 3 1 Para el cálculo de “y” tenemos:
Desarrollando 7 45
1 2 4 2 4 1 4 26 182 180 2
3=2 +3 +1 y
3 1 5 1 5 3 -7 5 21 20 1
3 = 2 (1 + 6) + 3 (-4 + 10) + 1 (12 + 5) 4 -3
3 = 14 + 18 + 17 3 = 49 y = -2 Rpta.
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN:
Su resolución por la regla de KRAMER,
(donde s 0) es: 1. Si: x, y, z R y s 0, el sistema
d1 b1 c1 es compatible determinado.
d2 b 2 c 2 2. Si x = 0 ; y = 0; z = 0 y s = 0, el
sistema es compatible indeterminado y
d3 b 3 c3 x
x tiene infinitas soluciones.
a1 b1 c1 s 3. Si x 0; y 0, y s 0, el sistema
a2 b 2 c2 es incompatible, no tiene solución:
a3 b 3 c3 Ejemplo: Dado el sistema:
PRODUCTOS NOTABLES-
IDENTIDADES
ECUACION DE 2DO GRADO
3.1 PRODUCTOS NOTABLES Solución
El término independiente en cada
Los productos notables son fórmulas paréntesis es:
que permiten efectuar multiplicaciones P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x –6) (x7 – 3)
indicadas, sin aplicar los criterios
T.I = 2 T.I = -6 T.I = -3
generales de la multiplicación
algebraica, y deben satisfacer las T.I. [ P(x)] = (2) (-6) (-3) = 36
siguientes propiedades:
Ejemplo 2: Hallar el término
PROP. 1 El grado del producto es independiente de P(x) en:
igual a la suma de los grados de los P(x) = (x2 – 1)5 (x4 – x3 – 2)3 .
factores, en efecto:
Solución
3.2 GRUPO: I Dado que:
Solución Solución
Teniendo en cuenta que: Elevando la condición al cubo, se
(a +b) (a –b) = a – b2 2 obtiene:
(x + x-1)3 = ( 6 )3
x3 + x-3 + 3x . x-1 (x + x-1) = 6 6
Entonces:
* (x + a) (x – a) = x2 – a2 Dado que: x + x-1 = 6
3 -3
* (x2 - a2) x2 + a2) = x4 – a4 x +x +3 6 =6 6
* (x4 – a4) (x4 + a4) = x8 – a8 x + x-3 = 3 6
3
Rpta.
Por consiguiente:
R = x8 – a 8 + a 8 R = x8
02. Simplificar:
S = n 2 3. n 2 3.
ACADEMIA
3.4 Solución:
GRUPO: II
Haciendo el cambio a+b=x
de variables: a- b=y
V. Multiplicación de binomios con
un término en común. se tendría en S.
S = (x + c)3 – (x – c)3 –(c + y)3 – (c-y)3
*) (x +a ) (x + b) = x2 + (a +b) x + ab Desarrollando cada término
**) (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b
+ c) x2 + (ab + ac + bc) x + abc S = x3 + 3x2c + 3xc2 + c3
-x3 + 3x2c – 3xc2 + c3
VI. Cuadrado del trinomio -c3 - 3c2y – 3cy2 - y3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + -c3 + 3c2y2 – 3cy2 + y3
+ 2ac + 2bc ----------------------------------
S = 6x2 c - 6c2 y2
VII. Cubo del trinomio S = 6 c [ x 2 – y2 ]
Forma 1: Volviendo a las variables originales:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + S = 6c [ (a + b)2 – (a –b)2 ]
+ 3 (a + b) (a + c) (b + c) S = 6c [ a2 +2ab + b2 –a2 + 2ab –b2]
Forma 2: S = 6c [4ab] S = 24 abc Rpta.
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +
+ 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3 b2c + 03. Sabiendo que:
+ 3c2a + 3c2b + 6 abc
F= (x - 5) (x 6) (x - 1) (x 2) 196
Hallar : G = F 16, 25
3.5 EJERCICIOS
Solución:
01. Simplificar
Observemos que:
S = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 +
+ (a – b + c)2 + (- a + b + c)2 F= (x - 5) (x 6) (x - 1) (x 2) 196
Se transforma en:
Solución F= (x2 x - 30) (x2 x - 2) 196
Desarrollando cada término, se tendría:
Haciendo : x2 + x = a
S= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc F = (a 30) (a 2) 196
a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc F= a2 - 32 a 256
a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc
a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
Como la cantidad subradical es un
--------------------------------------------
cuadrado perfecto.
S = 4a2 + 4b2 + 4c2
F= (a 16) 2 F = a – 16
Factorizando “4”: S = 4(a2+ b2 +c2) Rpta ó : F = x2 + x – 16
1
G= x2 x
4
3.7 IGUALDADES CONDICIONALES
Siendo la cantidad sub-radical, un
cuadrado perfecto
A) Si : a + b + c = 0; se verifica que:
1 2 1
G= (x ) G= x+
2 2
1.) a2 + b2 + c2 = - 2 (ab + ac + bc)
ó lo que es lo mismo
2x 1 2.) a2b2 + a2c2 + b2c2 = (ab+ ac + bc)2
G= Rpta.
2 3.) a3 + b3 + c3 = 3abc
2 2 2 3 3 3 a5 b5 c5
4.) a b c a b c =
3.6 GRUPO: III 2 3 5
2 2 2 5 5 5 a7 b7 c7
IDENTIDADES 5.) a b c a b c =
2 5 7
Son expresiones algebraicas que nos
permite efectuar operaciones por
simple inspección, entre las de mayor B) Si: a2 + b2 + c2 = ab + ac + b
importancia, tenemos: a=b=c
a x9
1º) (x2 + xy +y2) (x2 – xy + y2) = E2-2 =
= x4 + x2 y2 + y4 x9 a
Nuevamente elevando el cuadrado
2
2º) (x + x + 1 ) (x – x + 1) 2 obtenemos:
= x4 + x2 + 1 a x9
(E2 –2 )2 = +2
x9 a
ACADEMIA
(x – y)2 = 0 x=y 10 x2 + 11 x – 6 = 0
Reemplazando “x” por “y” en R; se 2x 3 15 x
obtiene:
4x
y2 y2 y 5x -2
R= 1-1 11x
2 y2 y
Con lo cual:
R = 0 Rpta. (2x + 3) (5 x – 2) = 0
Recordemos que:
3.9 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
EN UNA VARIABLE
Si: a. b = 0 a = 0 b=0
b c
x2 + x 0 NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE
a a 3.11 En la ecuación de segundo grado:
2 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO
2 ax + bx + c = 0 (a 0); se cumple
C oeficiente de x GRADO
adicionando : que:
2
a los dos miembros de la igualdad:
-b-
b2 c b2 b2 x1 =
2 2a
x x
4a2 4a2 a 4a2 -b
dado que los tres primeros términos x2 =
2a
forman un trinomio cuadrado perfecto,
se tendría: Las raíces de la ecuación de segundo
b2
2
b c grado, depende de la cantidad
x
2a 4a2 a subradical.
extrayendo raíz cuadrada = b2 – 4 a c ( Discriminante)
De acuerdo a esto:
b b2 - 4a c 1º.- Si: = b2 – 4 a c 0; las dos
x
2a 2a raíces son reales y diferentes.
- b b2 - 4 ac 2º.- Si: = b2 – 4 a c = 0; las dos
x=
2a raíces son reales e iguales.
Las dos soluciones o raíces son: 3º.- Si: = b2 – 4 a c 0; las dos
raíces son números complejos y
conjugados.
- b - b2 - 4 ac
x1 =
2a
Ejemplo: Hallar los valores de “k”
- b b2 - 4 ac en la ecuación:
x2 =
2a (k + 1) x2 – (5 k – 3) x + 9 = 0
Sabiendo que sus raíces son iguales
De otro lado, siendo: = b2 – 4 ac
Solución
-b- Desde que las raíces son iguales
x1 = 2
entonces: = b – 4ac = 0, es decir:
2a
-b [-(5 k – 3)]2 – 4 (k + 1) (9) = 0
x2 = desarrollando, obtenemos la ecuación:
2a
25 k2 – 66 k –27 = 0
Ejemplo: Resolver : x2 – x – 1 = 0
25 k 9 9k
Solución
75k
a = 1; b = -1: c = -1 k -3
En este caso: = (-1)2 – 4(1) (-1) 66k
=5
Con lo cual:
1- 5 1 5
x1 ; x2
2 2
ACADEMIA
de donde:
k=3 reemplazando, (3) en (1):
(25 k + 9) (k-3) = 0 b b
3x2 + x2 = - x2 = -
9 a 4a
k=
25 3b
Asimismo: x1 = -
4a
DIVISION ALGEBRAICA
TEOREMA DEL RESTO
4.1 DIVISIÓN ALGEBRAICA 4.2 PROPIEDADES GENERALES DE
LA DIVISIÓN ALGEBRAICA
Es la operación inversa a la Qº = Dº - dº
multiplicación que tiene por objeto
hallar una expresión algebraica llamado
2. En toda división algebraica el
cociente; obtenida de otras dos
grado del residuo máximo es una
expresiones algebraicas llamadas
unidad menos que el grado del
dividendo y divisor, de tal forma que el
divisor.
valor numérico del cociente sea igual al
cociente de los valores numéricos del
dividendo y divisor, para cualquier Rº max = dº - 1
sistema de valores atribuidos a sus
3. En toda división algebraica el
letras.
término independiente del
dividendo es igual al producto de
ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN los términos independientes del
divisor por el cociente más el
termino independiente del
Dividendo .............. : D residuo.
Divisor .............. : d
Cociente ............. : Q T.ID = T.Id x T.IQ+ T.IR
Resto o residuo ............. : R
4. Cuando se dividen polinomios
homogéneos, el cociente y
A) Cociente exacto (R 0).- El resto
residuo, también son homogéneos,
de la división es un polinomio pero el grado absoluto del
idénticamente nulo. residuo es igual al grado absoluto
del dividendo.
D
D=dQ ó =Q
d G.A. (R) = G.A. (D)
de donde:
Q (x) = 3x2 – 2x + 5 (cociente) Regla Nº 2.- Si en una división nos
dan como dato el resto, entonces el
R (x) = 3 x + 17 (Resto)
resto obtenido por Horner y el resto
que es dato son polinomios idénticos.
Ejemplo: Efectuar por Horner
Regla Nº 3.- En toda división exacta
12a 4 23a 3b 51a 2b 2 30ab 3 20b 4
los coeficientes del dividendo y del
4a 2 5ab 7b 2 divisor se pueden escribir en sentido
Solución contrario y al efectuar la división esta
De acuerdo a las propiedades sigue siendo exacta.
observamos (respecto a la letra “a”) Ejemplo 1.- Calcular “a” y “b” en la
división exacta:
Qº = Dº - dº = 4 – 2 = 2
2x 4 x3 ax b
Rºmax = dº - 1 = 2 – 1 = 1 x2 x 2
Además: Solución:
G.A. (Dº) = G.A. (Rº) = 4 Por Horner tendríamos:
Por Horner, se tendría: 2 1 5
12 -8 20 1 2 - 1 + 0 + a - b
4 12 - 23 + 51 - 30 + 20 1 2 + 4
5 15 - 21 1 + 2
- 10 + 14 2 5 + 10
25 - 35
2 + 1 + 5 0 + 0
-7
Aquí vemos que:
3 - 2 + 5 9 - 15
i) a + 2 + 5 = 0 a = -7 Rpta.
Por consiguiente:
ii) –b + 10 = 0 b = 10 Rpta.
2 2
Q (a , b) = 3a – 2ab + 5b Ejemplo 2.- Calcular “a” y “b” en la
división:
R (a , b) = 9ab3 – 15 b4
3 x 4 x 3 2x 2 ax b
x2 x 1
Sabiendo que su resto es 4 x – 3
CÁLCULO DE COEFICIENTES
4.5 Solución:
EN EL DIVIDENDO O EN EL
Aplicando el método de Horner:
DIVISOR
3 2 1
En la solución de estos problemas
debemos tener en cuenta las siguientes 1 3 - 1 + 2 - a - b
reglas:
1 3 - 3
Regla Nº 1.- Dos polinomios son
divisibles, o uno de ellos es múltiplo de 2 - 2
otro, o nos dicen que la división entre -1 1 - 1
ellos es exacta; cuando el resto o
residuo de la división es un polinomio 3 + 2 + 1 4 - 3
nulo.
ACADEMIA
x= b
Ejemplo 3.- Calcular “a” y “b” en la
división exacta (Horner inverso) COCIENTE RESTO
ax 4 bx 3 x 2 x 2
El primer elemento del dividendo se
x2 x 1
baja y corresponde al primer elemento
del cociente, se procede como en la
Solución:
división por Horner y el resultado de
Escribiendo los coeficientes en sentido
reducir la última columna es el resto de
contrario, se tendría el siguiente
la división.
esquema de Horner:
-2 1 -4 Ejemplo # 1 : Efectuar:
2x 4 x 2 3 x 2
-1 -2 - 1 - 1 - b + a x2
Solución
1 2 - 2
Del esquema de Ruffini, tendríamos:
-1 + 1
x+2=0
-1 4 - 4 2+ 0– 1+ 3 -2
2 - 1 + 4 0 + 0
x = -2 - 4 + 8 – 14 + 22
De donde: 2 -4 + 7 - 11 +20
i) -b + 1 + 4 = 0 b=5 Rpta. x3 x2 x T.I.
Con lo cual:
ii) a – 4 = 0 a=4 Rpta.
Q(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 11 (cociente)
Rpta.
4.6 DIVISIÓN POR RUFFINI
R(x) = 20 (Resto)
Q (x) = 3x2 – 2x + 3
R (x) = 0
Ejemplo 2: Determinar “k” en la
división:
X +2 = 0 1–2 + k +1 +k
10x4 x3 4x2 - 5x 2k
X = -2 -2 + 8 - 2k-16 4k +30 2x 1
sabiendo que el resto es: 3k – 2
1 - 4 +(k+8) +(-2k-15) 0
Solución
Observemos que:
K + 4 k + 30 = 0 k = -6 Rpta. Aplicando Ruffini, tendríamos:
Solución: Y = -3 - 9 + 33 – 99 + 282
Por Ruffini, se tendría:
3 - 11 + 33 - 94 +275
5X +2 = 0 15 - 4 + 11 + 6 y3 y2 y T.I.
Obtenemos:
X =-2/5 -6 + 4 - 6 Q (y) = 3y3 – 11 y2 + 33 y – 94
R (y) = 275
15 -10 + 15 0
5 Como : y = x4 ; en función de “x”
ACADEMIA
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACION
COCIENTES NOTABLES
El desarrollo obtenido por la regla de
Son cocientes cuya forma general es:
Ruffini es:
an bn
; n z+
ab
an bn
an - 1 an - 2 b , - ........... -, bn - 1
El desarrollo de estos cocientes se ab
pueden efectuar directamente sin aplicar
los criterios generales de la división Ejemplo:
algebraica a5 b5
Todo cociente notable debe satisfacer los = a4 – a3 b + a2 b2 – ab3 + b4
ab
siguientes principios:
an - bn
1º El resto de la división debe ser Tercer caso:
a b
igual a cero.
2º Las bases deben ser iguales n : Para este caso debe ser un número
3º Los exponentes deben ser iguales. par necesariamente, lo cual nos da un
Nota.- CoNo = Cociente Notable resto cero y por consiguiente el cociente
es notable.
CASOS QUE SE PRESENTAN El desarrollo obtenido por la regla de
Ruffini es:
an - bn
Primer caso: an - bn
a - b an - 1 an - 2 b , ........., - bn - 1
ab
n : Puede ser par o impar; siempre será
Ejemplo:
Co no ya que su resto es cero. El
desarrollo obtenido por la regla de a4 - b 4
= a3 – a2b + ab2 – b3
a b
Ruffini es:
an - bn an bn
an - 1 an - 2 b ........... bn - 1 Cuarto caso:
a-b a-b
an bn
a b
ACADEMIA
DESARROLLO DE UN CONO
T27 = a4 b26 Rpta.
En la expansión del CoNo:
a 43 b 43
# 2: Dado el CoNo :
ab
an bn
= an-1 an-2 b + a n-3 b2 …. bn-1 hallar el G.A: del T32
ab
T1 T2 T3 TK Tn Solución:
Como el CoNo es de la forma ,
Vemos que el término de lugar “k”
adopta la forma matemática: todos los términos son positivos, por
consiguiente:
TK = (a)n – k (b) k – 1 ; 1kn
ACADEMIA
-
c) Forma :
TK = + (a) n–k
(b) k–1
m n
= # par
Donde: p q
“a” = a
d) Forma : (no es CoNo)
“b” = b
“n” = 43
“k” = 32 5.- Un término cualquiera del
Remplazando: desarrollo del CoNo
T32 = + (a)43 – 32 (b) 32 – 1 am bn
T32 = a11 b31 ap b q
está formulado por:
G.A: = 11 + 31 = 42 Rpta.
m
TK = (a) m – k p (b) (k-1) q ; 1 k
DIVISIÓN DE LA FORMA p
Ejemplo # 1:
am bn
Calcular “n” en el cociente:
ap b q
x 7n - 4 - y 8n -2
Este tipo de división será transformable x n -2 y n -1
a cociente notable, cuando satisfaga las Sabiendo que es notable.
siguientes condiciones
1.- El resto de la división debe ser Solución:
igual a cero. Por ser cociente notable, se cumple que:
2.- Las bases deben ser iguales 7n- 4 8n-2
3.- Los exponentes del dividendo con n-2 n-1
respecto al divisor deben ser Por proporciones:
proporcionales y pertenecer al (7 n – 4) (n –1) = (n – 2) (8n – 2)
campo de los números enteros 7n2 – 11 n + 4 = 8 n2 – 18 n + 4
positivos, es decir: - n2 + 7n = 0
m
n
; z+ Factorizando:
p q n=0
4.- Respecto a los casos que se n (n – 7) = 0 ó
presentan en los CoNo, deben n=7 Rpta.
tenerse en cuenta lo siguiente:
Ejemplo # 2:
a) Forma :
Calcular (m+n) en el cociente
m n
= # par o impar notables:
p q
xm - y7 0
b) Forma : x 3 yn
m n Si su desarrollo tiene 14 términos:
= # impar
p q
Solución:
ACADEMIA
m + n = 47 Rpta.
4.- Si “k” es el lugar que ocupa el
término del desarrollo de un CoNo
Ejemplo 3:
y “ k’ ” su término equidistante
a9 3 b 1 2 4
Dado el CoNo : (término contado a partir del
a3 b 4 extremo final); se cumple.
hallar el grado absoluto del T22. a) k + k’ = n + 1
Solución:
Como 22 es un número par, aplicamos b) TK = (a) n – k (b) k -1
la fórmula:
TK = - (a) n - k (b) k – 1 c) TK’ = tn+1 - k = (a) k – 1 (b) n - k
Donde:
d) TK y TK’ son de igual signos en los
“a” : Primera base = a3
CoNo de la forma :
“b” : Segunda base = b4
93 124 y
“n” : Número de términos = 31
3 4
“k” : lugar que ocupa el término = 22 e) TK y TK’ tienen signos diferentes
para CoNo de la forma:
Reemplazando:
T22 = -(a3) 31 – 22 (b4) 22 – 1
RECONSTRUCCIÓN DE UN COCIENTE
T22 = -a 27 b 84 G.A. 111 Rpta.
NOTABLE A PARTIR DE LOS
TÉRMINOS DE SU DESARROLLO
1º Ley de signos
Podemos notar que:
a) +, +, +, .............. +
1.- “n” representa el número de
términos b) +, -, + ................-,+
2.- Si “n” es un número impar existe
un término central al cual c) +, -, +, .............+, -
denotaremos por tc y ocupa el
lugar. 2º Ley de variables.- En el
t c t n 1 dividendo y en el divisor se
2 escriben como bases del CoNo
ACADEMIA
f = (a m
b n
) 2 siendo: (b + c) el factor común, se
tendría como factores:
f = ax 2m
+ bxm yn + c y2n Rpta. (x2 + x + 1) ( x3 – x2 + 1)
7) Cuando se factoriza x9 – x hasta donde
sea posible en polinomios y monomios
a1 xm c1 yn a2 c1
con coeficientes enteros, el número de
factores primos es:
m n a1 c 2
a2 x c2 y Rpta. 5
b
8) La expresión
Los factores se toman horizontalmente
x2 – y2 – z2 + 2yz + x + y – z
f = (a1 xm + c1 yn) (a2 xm + c2 yn)
Rpta. (x + y –z) (x – y + z + 1)
Ejemplo # 1: factorizar 9) Hallar la suma de los factores primos
f = 64 a12 b3 – 68 a8 b7 + 4 a4 b11
de: a (a2 + ab - 1) – b (b2 + ab – 1)
Solución: Rpta. 3 a + b
Siendo el factor común : 4 a 4 b3 10) Factorizar la expresión:
Se obtiene: x4 + 2x3 – 2x – 1, indicar la suma de los
f = 4 a4 b3 [16 a8 – 17 a4 b4 + b8 ]
factores primos:
Rpta. 2x
Aplicando aspa simple al corchete
16 a4 -b4 a4 b4
a4 -b4 16 a4 b4
17 a4 b4
f = 4a4 b3 ( 16 a4 – b4 ) (a4 - b4 )
factorizando las diferencias de
cuadrados; obtenemos:
f = 4 a4 b3 (4 a2 + b2) (2 a + b) (2 a – b)
(a2 + b2) (a + b) (a – b)
EJERCICIOS
Factorizar:
1) f = x4 + y4 + 2x y (x2 + y2) + 3x y2
Rpta. f = (x2 + xy + y2)2
2) g = x6 + 2x5 – 3x4 + 4x2 – 1
Rpta. g = (x3 + 3x2 – 1) (x3 – x2 + 1)
3) f = (a2 + b2 – c2 – d2)2 – 4 (ab + cd)2
Rpta. f = (a +b + c – d) (a + b– c + d)
(a – b + c + d) (a – b– c – d)
g = (x + y)3 + 3xy (1 – x – y) – 1
Rpta. g = (x2 + y2 + 1 – xy + x + y)
ÁLGEBRA
Solución
2. Descomponemos en factores los Ordenando el polinomio de acuerdo a
coeficientes de los términos las reglas dadas, se tiene:
extremos. Multiplicados en aspa y f = 20x4 + 13x2y3 – 21y6 – 2x2 + 23y3 – 6
sumados deben verificar al 4x2 2 10
“cuarto término”.
28 9
5x2 -15 7 y3 14 - 3 -12 FORMA DE FACTORIZAR
13 23 -2
Como se han verificado todos los
1. Se decompone en factores los
términos, los factores son:
f = (4x2 – 3y2 + 2) (5x2 + 7y3 – 3) coeficientes de los términos
extremos del polinomio de cuarto
Ejemplo # 2.- Factorizar grado, de forma que :
f =12a2 –4b2–12c2 – 2ab + 7ac + 14 bc a = a1 . a 2 y e = e 1 . e2
Solución:
Descomponiendo en factores los 2. g = 21x2 – 37 xy2 + 12y4 + 48x
términos extremos, para determinar –
“c1” se tendría: - 26 y2 + 12
Rpta. g = (3x – 4y2 + 6) (7x- 3y2 +2)
4 3 2
f (x) = 20 x + 2x - 11x + 19x -15
-6x2 -5x2 3. f = 20x2 + 12y2 – 31xy + 2y – 2x
-4
4x2 3 = 15x2 Rpta. f = (5x – 4y + 2) (4x – 3y
– 2)
EJERCICIOS
Factorizar:
1. f = 30a2 – 6b2 – 14c2 – 28ab –
- 23ac + 25 bc
Rpta. f = (5a - 3b + 2c) (6a + 2b – 7c)
ÁLGEBRA
f(x) = x4 – 2x3 – 16 x2 + 2x + 15
FACTORIZACIÓN POR DIVISORES
BINOMIOS Solución:
Nótese que el polinomio es de cuarto
Este método se basa en el criterio grado, entonces:
del teorema del resto: 1. La cantidad de ceros a
i) Si: P (x) es divisible entre (x – encontrar por evaluación es: 4º - 2º
a) entonces P(a) = 0 =2
ii) Si: P(x) es divisible entre (x + 2. Los divisores del término
b) entonces P (-b)= 0 independiente “15” son (1, 3, 5,
Observando en forma inversa 15)
i) Si: p (a)= 0; entonces un 3. Evaluando:
factor es (x –a) a) f(1) = 1 – 2 – 16 + 2 + 15 = 0
ii) Si: p(-b) = 0; entonces un entonces, un factor es : (x – 1)
factor es (x + b) b) f (-1) = (-1)4 –2(-1)3 – 16 (-
1)2 + 2 (-1) + 15
f (-1) = 0; entonces, otro factor
CASO DE POLINOMIOS MÓNICOS lineal es: (x + 1)
El polinomio mónico se caracteriza 4. Por la regla de Ruffini:
porque el coeficiente de su máxima
potencia es igual a la unidad. x – 1 =1
0 – 2 – 16 + 2 + 15
1. Se hallan todos los divisores del X=1
1 – 1 - 17 - 15
término independiente del
x + 1 = 01 – 1 – 17 - 15 0
polinomio P(x) a factorizar; los
divisores se consideran con el
X = -1 -1 + 2 + 15
signo más y menos.
2. Cada divisor con signo (+) o 1 – 2 – 15 0
signo (-) se evalúa en P(x), si
alguna de las evaluaciones vale P (x) = (x – 1) (x + 1) (x2 – 2x –
15)
cero, hemos encontrado un factor
El factor cuadrático es más fácil de
lineal. factorizar, obteniéndose:
3. Se recomienda encontrar una P (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 5) (x +
cantidad de ceros igual al grado 3)
del polinomio P(x) menos dos.
4. Los demás factores se CASO DE POLINOMIOS NO MONICOS
divisores correspondientes al 3) f(
1 1 1 1
) = 6 ( )5 + 13 ( )4 – 29 ( )3
3 3 3 3
coeficiente de la máxima potencia.
1 2 1
2º Los divisores a evaluar son los - 43 ( ) -( )+6
3 3
divisores del término independiente
1 1
f( ) = 0 otro factor es (x - )
más las fracciones que se obtienen 3 3
al dividir los divisores del término Aplicando Ruffini, se tendría:
independiente entre los divisores del
6 + 13 - 29 - 43 - 1 + 6
coeficiente de la máxima potencia.
x = -1 -6 - 7 + 36 + 7 - 6
Ejemplo: Factorizar: 6 7 - 36 - 7 +6 0
11
f (x) = 6x5 + 13x4–29 x3–43 x2 – x =
xx -3 - 2 + 19 -6
22
+6 1
6 + 4 - 38 + 12 0
x
3 + + 2+ 2 - 12
Solución 6 + 6 - 36 0
Evaluando: 03.
1) f (-1) = 6 (-1)5 + 13(-1)4 –29 (-1)3 F (x)=72 x4 –90 x3 –5 x2 +40 x – 12
– 43 (-1)2 – (-1) + 6
f (-1) = 0 Un factor es: (x + 1) 04.
G (x)=x5 –x4–13 x3 +13x2 +36x –36
1 1 1
2) f ( ) = 6 ( )5 + 13 ( )4– 29
2 2 2 05.
1 3 1 1 F (x)= 6 x5 + 7x4 – 15 x3 – 5x2
( ) – 43 ( )2 – ( ) + 6
2 2 2 +9x–2
1 1
f ( ) = 0 otro factor es: (x )
2 2
ÁLGEBRA
35
FACTORIZACIÓN DE F (x) = x2 [6 x2+35 x + 62 + +
EXPRESIONES RECÍPROCAS x
6
]
Las expresiones recíprocas se x2
caracterizan por que los términos de Agrupando los términos
los términos equidistantes de los equidistantes de los extremos:
extremos son iguales. Debemos F(x)= x2 [ 6 (x2 +
1
) + 35 (x +
1
) + 62 ]
tener en cuenta lo siguiente: x 2 x
1 1
Haciendo : x + = a x2 + = a2 – 2
1. Si la expresión es recíproca de x x 2
EJERCICIOS
x y z
01. Si : ; calcular
a b c
a x by cz x2 y2 z2
E=
a2 b2 c 2 ax by cz
Rpta. E = 0
02. Simplificar:
( x 1)( x 2 9)( x 5) 27
E
( x 2)( x 2 16)( x 6) 48
Rpta. E = x 2 2x 6
x 2 2 x 20
03. Simplificar:
x 3 (2a b)x 2 (a 2 2ab)x a 2b
E=
x 3 (a 2b)x 2 (b 2 2ab)x ab 2
Rpta. E= x a
x b
04. Si:
a + b + c = 0; calcular:
a9 b 9 c 9 - 3a3 b3 c3
E
9 ab c
Rpta. (b2 + bc + c2)3
05. Si el numerador y el
denominador de la fracción
reductible:
3x3 2x2 (a 2)x 6
3x3 5x2 (a 1)x b
3x 1
Rpta.
3x 2
ÁLGEBRA
CANTIDADES IMAGINARIAS
NUMEROS COMPLEJOS
es : Rpta. 5 c) Z1 = 8– 3i es: Z2 = 8 + 3 i
42 63 Z1 = a + b i es : Z2 = a – b i
-2 631
Ei
es : Rpta. 1 a. Complejo Iguales.- Dos números
complejos son iguales, si tienen igual
ÁLGEBRA
c - b
parte real e igual parte imaginaria. Es 02. Cuál es el valor de : b + c si
decir: los complejos:
Z1 = ( b – 3) – (c + 2) i
Z1 = a + b i es igual a Z2 = c + d i
y
a = c b = d
Z2 = 6 –( b – 1) i
B. Complejos Nulos.- Son aquellos Son opuestos
números complejos que tienen parte
real nula y parte imaginaria nula, es Solución:
Como los números complejos son opuestos,
decir:
estos se diferencian en el signo, tanto para la
Z = a + bi = 0 a = 0 b = 0 parte real, como para la parte imaginaria, es
decir:
C. Complejos opuestos.- Son
aquellos números complejos que se a) b – 3 = - 6 b = -3
diferencian solo en los signos, tanto b) – (c + 2) = b – 1 - c – 2 = - 3 – 1
para la parte real, como para la parte c =2
imaginaria, es decir: bc + c – b = (-3)2 + (2)3 = 17
Z1 = a + b i es opuesto a Z2 = c + d i bc + c – b = 17 Rpta.
a = -c b =-d 03. Calcular (a + b), si
a – bi = (2 – 3 i)2
7.9 EJERCICIOS RESUELTOS Solución
Desarrollando el segundo miembro de la
01. Si los complejos: igualdad por productos notables.
Z1 = a + 2i y Z2 = (2a – 1) + (3 b + 2) i
a – b i = 4 – 12 i + 9 i2
Son conjugados. Hallar el valor de
dado que: i2 = -1 ; entonces:
(a2 + b2)
a-5
a – bi = -5 - 12 i
Solución
b 12
Dado que son complejos conjugados; sus
partes reales son iguales, es decir: (a + b) = - 5 + 12 = 7 Rpta.
a=2a–1 a =1
De otro lado, sus partes imaginarias, solo 7.10 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
se diferencian en el signo: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
2 = - (3 b + 2) 4 = - 3b
4 Forma Geométrica o Cartesiana.- Todo
b=
3 número complejo de la forma :
3
c) z = -1 + i 3 Rpta: z = 2 120º
2
o
x (Re) d) z = -5 3 - i 5 Rpta: z = 10 210º
e) z = 3 2 - i 3 2 Rpta: z = 6 315º
1
2
ÁLGEBRA
b
= arc tg ; -180º 180º (arg.)
En una división de complejos, se debe tener a
en cuenta lo siguiente:
abi a b zn = (r )n = rn n
i) Z = ; es un número real, si:
c di c d
z n = r n [ cos n + i sen n ]
abi a b
ii) Z = ; es imaginario puro, si:
c di d c
OBSERVACIONES
1. El módulo de la potencia es igual al
b) En la forma polar.- Primero se hace módulo de la base a la potencia deseada.
la transformación de cartesiano a 2. El argumento de la potencia es igual al
polar; es decir: argumento de la base por el exponente
Z1 = a + b i = r1 1 de la potencia.
Z2 = c + d i = r2 2
5. RADICACIÓN DE UN COMPLEJO.-
Resolver: x3 : 1
1. Una de las raíces complejas de la raíz
1 3
X2 = i
2 2
TEORIA DE ECUACIONES
CLASIFICACIÓN DE LAS
8.1 DEFINICIONES BÁSICAS
ECUACIONES
Igualdad.- Es la relación que nos indica Existen varias formas de clasificar a una
que dos expresiones tienen el mismo ecuación:
valor en un cierto orden de ideas.
Ejm.: Si A y B tienen el mismo valor, A) Atendiendo al grado.- Las
entonces decimos que: ecuaciones pueden ser, de primer
grado, de segundo grado, de tercer
A: Primer miembro
grado, etc. Ejemplos:
A=B donde: de la igualdad
B: Segundo Miembro a) 5 x + 3 = 0 ................... (1º)
de la igualdad b) 3x2 – 11 x- 5 = 0 ........... (2º)
c) 9x3 – x – 2 = 0 ………………. (3º)
8.2 CLASES DE IGUALDADES
A.- Igualdad Absoluta: B) Por el número de incógnitas, las
Formalmente son identidades que se ecuaciones pueden ser, de una
verifican para cualquier valor numérico incógnita, de dos incógnitas, de tres
de sus letras, en la cual están definidos. incógnitas, etc. Ejemplos:
Ejemplo: a) De una incógnita:
a) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12 x + 8 5x4 – x2 + 3 = 0
b) (x + a) (x – a) = x2 – a2
b) De dos incógnitas
c) (x + y)2 + (x – y)2 = 2 (x2 + y2)
3x – 5 y = - 2 ............. (1)
4x – 3 y = 7 ............. (2)
B.- Igualdad relativa o ecuación
Se llaman también igualdades C) Atendiendo a sus coeficientes,
condicionales y se verifican para las ecuaciones pueden ser
algunos valores de sus variables. numéricas o literales. Ejemplos:
a) Numérica: 2x2 – 6x – 7 = 0
Ejemplos: b) Literal : ax4 – bx3 + c = 0
a) 3x– 2 = x+2; se verifica para x = 2
b) x3 –6x2 + 11 x – 6 = 0; se verifica para: D) Atendiendo a su solución, las
x=1 x=2 x=3 ecuaciones pueden ser compatibles
c) x2 – 1 = 0; se verifica para x = 1
o incompatibles
d) x4 - 16 = 0; se verifica para x = -2
e) x5 + 1 = 0; se verifica para x = -1
f) x7 + x6–2 = 0; se verifica para x = 1 a) Ecuaciones compatibles, son
g) x 2 x 3 = 5; se verifica para aquellas que admiten soluciones
x = 6. y a su vez pueden ser:
a.1) Compatibles determinadas.-
Estas ecuaciones presentan un
número finito de soluciones.
ÁLGEBRA
d) Ecuaciones trascendentes
A .m B .m
i) 2x-3 + 2 x – 4 = 12 Si : A = B
A B
ii) Log (x - 2) – 5 x + 3 = 0
x m m
m0 m
ECUACIONES EQUIVALENTES.- III. Si a los dos miembros de una
Son todas aquellas ecuaciones que ecuación se potencian o se extraen
presentan las mismas soluciones. radicales de un mismo grado, la ecuación
Ejemplo: resultante es parcialmente equivalente a
La ecuación: 5x – 3 = 2 x + 6 la ecuación propuesta.
Es equivalente a:
La ecuación: x + 2 = 5 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
8.5
Ya que la solución común es:
X=3
Dada la ecuación P(x) = 0, la solución de
la ecuación es el valor que toma la
ECUACIONES PARCIALMENTE incógnita, de forma que al remplazar este
EQUIVALENTES valor en la ecuación, esta se transforma
Son aquellas ecuaciones que por lo en una igualdad numérica verdadera.
menos presentan una solución común.
Ejemplo: Ejemplo: La ecuación:
La ecuación : x2 – 5x + 6 = 0
Es parcialmente equivalente con la 2x2 – 5x = 7 x – 10
ecuación x 2 0 ; ya que se verifica para
x=2. es verdadera para x = 5, ya que:
ÁLGEBRA
Analizando:
Ejemplo # 1.- Una raíz de la i. Para el mes de Abril
ecuación. P(x) = 0, donde: Supongamos que hace transcurrido
“x” días, entonces su fracción será:
P(x) = x4 – 7x3 + 14x²-2x-12
x
Es : 1- 3 , hallar las otras raíces
30
Solución: ii. Para el año bisiesto (366 días). Se
Dado que : x1 = 1- 3 , otra de sus observa que han transcurrido.
raíces será la conjugada :
E + F + M + X = 91 + x
x2 = 1 + 3 ; del teorema del factor.
31 días 29 días 31 días días
P(x) = [x-(1- 3 )][x-(1+ 3 )]Q(x) 91 x
Con lo cual su fracción será :
P(x) = [(x-1)²-( 3 )²] Q(x) 366
P(x) = (x²-2x-2) Q(x) Dado que las fracciones son iguales,
se cumple:
Por división : Q(x) = x² -5x + 6 x 91 x 65
x días
ó : Q(x) = (x-2) (x-3) 30 366 8
1
ó: x = 8 días
8
ÁLGEBRA
ECUACIONES REDUCIBLES 3x 2
Para : z = 1 = 1
A CUADRÁTICAS 2x 5
x -3 -3 x
ÁLGEBRA
2x 1
a+ = 2 a2 – 2 a + 1 = 0
(x +5) (x – 3) = 0 C.S. = -5, 3 a
(a – 1)2 = 0
Ejm. # 3.- Resolver a=1
(x –3) (x – 4) (x – 2) (x – 1) – 120 = 0 volviendo a la variable original:
x2 - 3 x 2 2 2
Solución:
n 1 x – 3x + 2 = x + 5x – 8
x 2 5x 8
Multiplicando los factores “2” a “2” de
- 8 x = -10
forma que la suma de los términos
5
independientes sean iguales. x= Rpta.
4
Rpta. x = 3
Solución:
Haciendo la transformación:
x2 - 3 x 2 x2 5 x - 8 1
n a : n =
2 2
x 5x 8 x 3 x 2 a
la ecuación dada, se transforma en:
ÁLGEBRA
ECUACIÓN BICUADRADA ax4 + bx2 + c = 0; se puede resolver por
factorización (Aspa simple).
Si: b2 - 4 a c; es un cuadrado perfecto.
Es la ecuación polinomial de cuarto
grado que contiene solamente Ejem. # 1: Resolver
potencias pares de la incógnita, su 9 x4 – 13 x2 + 4 = 0
forma canónica o general es: Solución
Dado que: a = 9 ; b = -13 ; c = 4
ax4 + bx2 + c = 0 ; ( a 0)
b2 - 4 a c = (-13)2 – 4(9) (4) = 25 ; es un
“a” ; “b” y “c” son los coeficientes; cuadrado perfecto, la ecuación es
“x” es la incógnita. factorizable; en efecto los factores de:
9 x4 – 13 x2 + 4 = 0
9 x2 -4 - 4 x2
RAÍCES DE LA ECUACIÓN
BICUADRADA
x2 -1 - 9 x2
La ecuación bicuadrada:
-13 x2
ax4 + bx2 + c = 0 ; a 0
Son: (9x2 – 4) (x2 – 1) = 0
presenta cuatro raíces, que se obtienen
haciendo el cambio de variable:
Asimismo, cada paréntesis se puede
x2 = y a y2 + b y + c = 0 ; (a 0)
factorizar aplicando diferencia de
Las raíces correspondientes a esta última
cuadrados, es decir:
ecuación están dadas por:
(3x + 2) (3x – 2) (x + 1) (x – 1) = 0
-b b2 - 4 a c Igualando cada factor a cero las raíces
y
2a correspondientes son:
Dado que: 2 2
x1 = ; x2 = ; x3 = -1 ; x4 = 1
x2 = y x = y ; con lo cual: 3 3
b b2 - 4 a c Ejm. # 2: Resolver:
x=
2a x4 - 15 x2 – 16 = 0
en consecuencia, las raíces
correspondientes de la ecuación Solución
bicuadrada son: Como: b2– 4ac = (-15)2– 4(1)(-16) = 289
- b b2 - 4 a c es un cuadrado perfecto, los factores
x1 = m serían:
2a
(x2 – 16) (x2 + 1) = 0
- b b2 - 4 a c igualando cada factor a cero:
x2 - =-m
2a x1 = 4
1º) x2 – 16 = 0 x2 = 16 ó
- b - b2 - 4 a c
x3 = n x2 = -4
2a
- b - b2 - 4 a c x3 = i
x4 - =-n 2 2
2a 2º) x + 1 = 0 x = -1 ó
x4 = - i
OBSERVACIÓN: Ejm. # 3 : Resolver:
x4 x2 a2 90
=
La ecuación bicuadrada: 4 2 2 4 91
x x a a
ÁLGEBRA
Solución:
De la propiedad de proporciones, se 07) 4 (a2 – b2)x2 = (a2 – b2 + x2) 2
obtiene:
x1 = a2 - b2 ; x2 = - a2 - b2
91x4 + 91x2 a2 = 90x4 + 90 x2 a2 + 90
a4 x3 = a2 - b2 ; x4 = - a2 - b2
x4 + a2 x2 – 90 a4 = 0
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Factorizando; se tendría: DE LA ECUACIÓN BICUADRADA
(x2 + 10 a2) (x2 – 9 a2) = 0
Igualando cada factor a cero; las raíces de Respecto a la ecuación:
la ecuación son: ax4 + b x2 + c = 0 ; (a 0)
x1 = 10 a i de raíces: x1, x2; x3; x4; se cumple:
i) x2 = -10 a2 v de acuerdo con el Teorema de Cardano –
x2 = - 10 a i Vieta.
I. SUMA DE LAS RAÍCES
x3 = 3 a x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2 2
ii) x =9a v
x4 = -3 a II. SUMA DEL PRODUCTO DE LAS
RAÍCES TOMADAS DE DOS EN DOS.
x1 . x2 + x3 . x 4 =
b
EJERCICIOS PROPUESTOS a
Con lo cual : x4 = 3 y x3 = -3
EJERCICIOS
Reemplazando en la fórmula:
X4 +(x1 x2 + x3 x4) x2 + x1 x2 x3 x4 = 0
Obtenemos: 1. Calcular “m” para que las raíces de
X4 + (-25 – 9) x2 + (5) (-5) (-3) (3) = 0 las ecuaciones bicuadradas estén en
la ecuación será: P.A.
a) x4 – (4 m + 10) x2 + (m + 7)2 = 0
x4 - 34 x2 + 225 = 0 Rpta.
Rpta. m = 20
02.) Calcular “m” para que las cuatro
raíces de la ecuación bicuadrada: b) x4 – (4 m + 2) x2 + (2 m - 5)2 = 0
X4 – (3m + 10) x2 + (m + 2)2 = 0, Rpta. m=7
formen una progresión aritmética.
Solución: c) x4 – 2 (m + 7) x2 + (2m – 21)2 = 0
Sean las raíces de la ecuación
bicuadrada en progresión aritmética. Rpta. m = 18
x1 . x2 . x3 . x4
ó también: 2. Formar las ecuaciones bicuadradas,
(a – 3 r) . (a – r) . (a + r) . (a + 3r) conociendo sus raíces:
de razón “ 2 r” a) x1 = - 3 ; x3 = 6
de las propiedades de las raíces se tiene: Rpta. x – 9x2 + 18 = 0
4
1º.- x1 + x 2 + x3 + x4 = 0
b) x1 = 2 3 ; x3 = - 3 3
a – 3 r + a – r + a + r + a + 3r = 0 Rpta. x4 + 39x2 + 324 =
vemos que: a = 0, con lo cual 0
x1 = - 3 r ; x2 = - r ; x3 = r ; x4 = 3r 3. Una de las raíces de una ecuación
bicuadrada es 7. Reconstruir la
b ecuación; si:
2º.- x1 . x4 + x2 . x3 = x1 x2 x3 x4 = -441
a
(3m 10) Rpta. x4 – 58 x2 –441 =
(- 3 r) (3 r) + (-r) ( r )= - 0
1
10r2 = 3 m + 10 ..………… ()
c SISTEMA DE ECUACIONES DE
3.º.- x1 . x2 . x3 . x4 =
a ORDEN SUPERIOR
(m 2)2
(-3 r) (- r) ( r) (3 r) = Es un conjunto de ecuaciones que se
1
verifican para los mismos valores de sus
9 r4 = (m + 2)2 3r2 = m + 2 ….… (ß)
incógnitas. Se presentan diversos casos:
X
0 V (h; o) c
La circunferencia.- Su ecuación
c) 0 general es:
y a0 (x – h)2 + (y – k)2 = r2
y
Centro ; (h ; k) C(h,k)
Radio : r r
c 0 x
Asimismo tenemos:
X
0
La Elipse.- La ecuación general es:
2
DESIGUALDADES
INECUACIONES DE 1° y 2° GRADO
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
A o B
a b
DESIGUALDADES - +
- -1 -3 -1 0 1 2 3 + Si : a b b c a c
Ejm: En la recta real:
origen unidad
Que para cada número real le corresponde
un único punto de la recta real y - -12 -2 0 6 8 +
recíprocamente para cada punto de la -12 - 2 - 2 8 -12 8
recta real, le corresponde un único
número real.
La correspondencia bionívoca entre 03 : Orden de la Monotonía.-
números reales y puntos de una recta real a, b, c R
nos ayuda a dar una interpretación
geométrica de la relación de orden entre i) Ley aditiva
los números reales. Para la gráfica Si : a b a + c b + c
adjunta.
ÁLGEBRA
ii) Ley Multiplicativa conjunto de valores denominados
conjunto solución y su representación se
Si : c R+ a b a c b c visualiza en la recta real.
Ejemplos:
Si : c R- a b b c a c a) La inecuación: 4 x – 3 5
Se verifica para todo valor de x
RELACIONES MATEMÁTICAS QUE mayor que dos (x 2)
EXPRESAN DESIGUALDADES Su representación gráfica en la recta
real sería de la siguiente forma:
1.- “a” es menor que “b” (a b)
ab a–b0 - 0 2 +
Como; 2 (a + b) 0, entonces se
tendría al dividir: EJERCICIOS RESUELTOS
(a b)2 4a b
2 (a b) 2 (a b) 01. Resolver : a x + b 0; a, b R+
a b 2 ab Solución
Resolver una inecuación de
2 (a b)
este tipo es similar a resolver
(L.q.q.q)
una ecuación de primer grado,
solo hay que tener en cuenta
EJERCICIOS las propiedades generales de
las desigualdades, en efecto:
01.- Si; a, b R+ ; a b; demostrar Transponiendo b al segundo
que: miembro:
a b 1 1 ax -b
2 2 a b
b a Dado que a R+, es decir: a 0
b
+
x -
02.- Si: a, b, c R , demostrar que : a
(a + b+ c)2 a2 + b2 + c2 graficando en la recta real:
03.- Si; a, b, c R+ ; a b c
demostrar que: - -b 0 +
a
a2 + b2 + c2 ab + ac + bc b
vemos que : x [ - ;
a
04.- Si; a b c R+ 02. Resolver:
demostrar que: 3x-2 5x-3 x -1
-
(a + b + c)2 3 (a2 + b2 + c2) 2 3 12
x2 + y2 = 32 + 42 = 25 Rpta.
ÁLGEBRA
EJERCICIOS
SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE
01.- Resolver: LOS PUNTOS DE CORTE
(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 12 x Pasos que deben efectuarse:
(x – 1) (x – 2) (x – 3) 1º) Verificar que a0 0
2º) Todos los términos de la inecuación deben
estar en el primer miembro.
Solución: 3º) Se factoriza la expresión del primer
Teniendo en cuenta la identidad:
miembro.
(x+ a) (x+ b) (x + c) = x3+ (a + b + c)x2 4º) Cada factor se iguala a cero,
+ (a b + ac + bc) x + abc obteniendo los puntos de ente, que
son los valores que asume la
La inecuación dada, se transforma en : incógnita.
X3 + 6x2 + 11 x + 6 + 12 x x3 – 6x2 + 5º) Se llevan los puntos de corte en
+ 11 x – 6 forma ordenada a la recta numérica
6º) Cada zona determinada por dos
Simplificando; obtenemos: puntos de corte consecutivos, se
12 x2 + 12 x + 12 0 señalan alternadamente de derecha
ó a=1 a izquierda con signos (+) (-). Se
2
x + x + 1 0 b=1 inicia siempre con el signo más.
c=1 7º) Si la inecuación es de la forma:
P(x) 0 P (x) 0 , con el
De aquí vemos que: coeficiente principal positivo, el
= (1)2 – 4 (1) (1) = - 3 intervalo solución está representado
por las zonas (+).
Como : 0 x R (Caso II) 8º) Si la inecuación es de la forma:
P(x) 0 P (x) 0, con el
coeficiente principal positivo, el
INECUACIONES DE GRADO intervalo solución está representado
SUPERIOR por las zonas (-).
Nota. Este método también es aplicable
Son aquellas inecuaciones que al ser para inecuaciones de segundo grado.
reducidas adoptan cualquiera de las EJERCICIO
siguientes formas: Resolver:
x3 – 6x2 + 11 x – 6 0
Solución
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an 0
Factorizando por divisores binomios. Se
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an 0
obtiene:
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an 0 x=1
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an 0 (x – 1) (x – 2) (x – 3) 0
P.C.
x=2
x=3
Donde: x, es la incógnita y n N / n 3 llevando los puntos de corte (P.C.)
Además: ao; a1; a2 .... ; an R / a0 0 a la recta real; tendríamos que:
el conjunto solución es:
x [1, 2] [ 3,
ALGEBRA
INECUACIONES EXPONENCIALES
INECUACIONES IRRACIONALES
Solución:
1.- Haciendo ; x - 3 = a ........ () EJERCICIOS PROPUESTOS
donde a 0; se tendría:
a - 2 = 3 a – 2 = 3 a – 2 = -3 RESOLVER:
a=5 a = - 1 (No) 01) [5 X – 3] = 7 Rpta: 2 ; -
4
2.- En (), dado que: a 0 5
x - 3 = 5 x – 3 = 5 x – 3 = - 5 02) 2x2 – x - 8 = 7
5
Rpta. 3 ; -
x=8 x =-2 2
C.S. = 8 ; -2 03) x2 – 1 = 0 Rpta. -1 ; 1
1
04) 3x -2 = 2x+3 Rpta. 5 ; -
05. Resolver: 5
-x - 1 + 2x + 3 = 5 3 5
05) x-2-1= x-2 Rpta. ;
2 2
Solución: 06) 2x2 – x - 3=3
07) 3x + 5 = 2x -3
ALGEBRA
x-2 3
08) = x Vemos que: x ;1 (Rpta)
x 3 5
x2 - x - 2
09) =3 02. Resolver:
x -1
x2 – x x – 1
10) x +6 + x-2 = 8 Solución:
11) x-3 + x-1 + x = 4 Desde que :
12) 5x - 3 = -2x + 4
a b a < -b a b
13) 3x - 2 = x + 6
14) x2 – x- 3 = x2 - 6 La inecuación dada se transforma en:
x2 – x < - (x – 1) x2 – x x –1
Resolviendo cada una de las
INECUACIONES CON inecuaciones:
VALOR ABSOLUTO 1º.- x2 – x -x + 1
x2 – 1 0
Las inecuaciones con valor absoluto se x =-1
resuelven teniendo en cuenta las (x + 1) (x-1) 0 P.C.
siguientes propiedades: x =1
x-;
1 2
] ........................ ( ) i) x2 - 1 x + 2
2
2x 1 3x 2
j)
3x 2 2x 1
ALGEBRA
como la base es mayor que la unidad:
INECUACIONES EXPONENCIALES - x - 1
x 1
4 2
1 x
ó: x - 1
Son aquellas inecuaciones cuya 2 4
incógnita se encuentra en el exponente
y sus criterios de solución son: recordando:
I. En toda desigualdad, si las bases a b b 0 [ -b a b ]
son iguales y mayor que la unidad,
al comparar los exponentes, el se tendría:
1º.- Universo de solución
signo de la desigualdad no se
1 x x 1
invierte, es decir: 0- -
2 4 4 2
Si la base es mayor que la unidad x 2
(a 1) ; se cumple: 2º.- De otro lado:
1º aP(x) a Q(x)
P (x) Q (x) -
1
+
x
x–1
1
-
x
2 4 2 4
2º aP(x) a Q(x)
P (x) Q (x)
-2+x4x–42-x
P(x) Q(x)
3º a a P (x) Q (x) resolviendo por partes:
4º aP(x) a Q(x)
P (x) Q (x) i) 4 x – 4 x – 2 ii) 4 x – 4 2 - x
3x2 5x6
2 6
x x
3 5
EJERCICIOS
01. Resolver
5 2x – 3 – 25 –x+2
0 - 2 o 6 +
2 6 3 5
Solución: x ;
3 5
Expresando la inecuación interceptando con el universo:
convenientemente, se tendría:
5 2x – 3 25 –x + 2
5 2x – 3 25 –2x + 4
- o 2 6 2 +
3 5
como; la base es mayor que la unidad, Rpta. C.S.; x
2 6
;
se cumple que: 3 5
2x–3-2x+4 II. En toda desigualdad si las bases son
4x7 iguales y su valor está comprendido
7 entre cero y uno (0 base 1) al
x - o 7
+
4
4 comparar los exponentes el signo de
7
x [ ;] la desigualdad se invierte, es decir:
4
02. En que intervalo se satisface la
desigualdad. Si la base está comprendida entre
x 1
cero y la unidad (0 a 1); se
1 x
1 cumple.
22
2 1º aP(x) a Q(x)
P (x) Q (x)
Solución: P(x) Q(x)
Expresando en base 2 2º a a P (x) Q (x)
P(x) Q(x)
x 1
3º a a P (x) Q (x)
- x - 1
2 24 2 4º aP(x)
a Q(x)
P (x) Q (x)
ALGEBRA
efectuando las operaciones indicadas, se
EJERCICIOS obtiene:
N x=0
01. Resolver x
0 P.C
x 3 (x 6) (x - 6)
1 1
D x=6
2 8
x = -6
De ......... (2)
- o 2 6 + 1 x3 1
16 - 16 – x 0
Rpta. x [ 2, 6 ] x2 x2
- 0 1 +
x [ 1 ; ........... (ß)
- 0 1 16 +
Rpta. x [ 1 ; 16 ]
ÁLGEBRA
FUNCIONES DOMINIOS
FUNCIONES ESPECIALES
GRAFICAS DE FUNCIONES
2 13
DEFINICIONES BÁSICAS
7 8 16 91
Y 3
2 3 4 21
PAR ORDENADO.- Es un ente
7 2
matemático formado por dos elementos,
denotado por (a ; b), donde “a” es la
primera componente y “b” es la segunda EJERCICIOS
componente. En términos de conjunto de
el par ordenado (a ; b) se define como:
1. Calcular : (x + y) si los pares
(a; b) = a ; a ; b ordenados.
((a + b) x – (a-b) y; 2a2 2b²) y
Igualdad de pares ordenados.- Dos (4 ab; (a-b)x + (a + b)y) son iguales.
pares ordenados son iguales si y solo si Rpta. 2a.
sus primeras y segundas componentes
son iguales respectivamente, es decir: 2. Si los pares ordenados
4 5 3 1
(a; b) = (c ; d) a = c b = d ;
x y 1 2x y 3 x y 1 2x y 3
Ejemplo.-1.- Si los pares ordenadas (2x
+ 3y; 7x - 2y), (13;8) son iguales, 5 7
y ; son iguales, determine el
hallar el valor de (x-y) 2 5
Solución : valor numérico de : x
y
y
x
A x B = {(a;b) / a A b B}
Solución :
b. De otro lado Para el conjunto A, se cumple:
B A BxA
1 (a;1) 6 < x – 2 < 12
a Sumando 2 a todos los miembros de la
2 (a;2) desigualdad, se obtiene.
8 < x < 14
1 (b;1) A = {9,10,11,12,13} n(A) = 5
b
2 (b;2) Para el conjunto B, se cumple:
-4 X + 3 < 9
B x A = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2)}
En este ejemplo vemos que : Adicionando –3 a todos los miembros de
la desigualdad, se obtiene:
AxB BxA
-7 x < 6
OBSERVACIÓN.- El producto cartesiano
se puede extender a tres o más B = { -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;-1;-2;
conjuntos no vacíos, es decir: -3;-4;-5}
Determine gráficamente :
i) A x B ii) BxA Nota.- Una relación de A en B se llama
también relación binaria.
Solución
i) Gráfica de : A x B Definición.- Un conjunto R es una
B relación en A si y solo sí R A x A
A
A x A = {(1;1), (1;3), (1;5); (3;1)
(3;3),(3;5),(5,1);(5;3);(5,5)}
b
a
Luego una relación R en A de elementos
(x, y) tal que y = x + 2 es:
B
0 1 2 3
R = {(1;3), (3;5)}; vemos que la relación
de i) y ii) vemos que : A x B B x A R tiene 2 elementos.
CLASES DE RELACIONES
i. R es reflexiva : 1 5
aA; (a;a) R
2 6
3 7
ii. R es simétrica : 4 8
(a ; b ) R (b; a) R
iii. R es transitiva.
[(a;b) R (b;c) R] (a;c) R Donde R es una relación de A definida
por:
R = (1,5), (2,8), (3,5), (2,7)
Determine : Dom (R) y Rang (R)
ÁLGEBRA
Solución: Observación.- Dos pares ordenados
Como el dominio está determinado por distintos no pueden tener la misma
las primeras componentes. primera componente; para la función f.
Dom (R) = 1, 2, 3
(x; y) f (x; z) f y = z
De otro lado como el rango está
determinado por las segundas
Siendo A = Conjunto de partida
componentes :
Y B = Conjunto de llegada
Rang (R) = 5, 8, 7
i) Son funciones:
EJERCICIOS f2
f1 A B
A B
1) Dado los conjuntos:
A = 1, 4, 9 B = 2, 8, 9 1
1 4 2
R1 y R2 son relaciones de A en B tal que: 5
2 3
R1 = (a, b) A x B / a b
3 5 4
R2 = (a, b) A x B / a + b 6
Determine : n (R1) + n (R2)
Rpta. 9
f3
A B
2) Dado el conjunto
A = 1, 2, 3, 4, 6, 8 y la relación R en
A : R = (x,y) /5 es divisor de x + y, a d
dominio de R. c f
Rpta. ______
ii) No son funciones
3) Dada la relación R definida en los
f4 f5
números reales:
A B A B
R = (x, y) / x-y 6
el valor veritativo de :
1 4 2 8
I. R es simétrica
2 7
II. R es reflexiva
3 5 3 6
III. R es transitiva
IV. R no es de equivalencia
es: Rpta. V V F V
DOMINIO Y RANGO DE UNA
FUNCIONES FUNCIÓN
x x
Solución: 0 0
Vemos que la función está dada por:
f= (a; f) , (b ; e) , (c; f) , (d;h), (i;g)
luego por definición:
Dom (f) = a; b; c; d; i f2 no es función
f1 es función
Rang (f) = f ; e; h; g L corta en un punto L corta en dos puntos
FUNCIONES ESPECIALES
APLICACIÓN
f k f
f:A B A B
y f(x) = x3
f(x) =x 8
1
x
0 1 2
x
0
I) Dom (f) = R
II) Rang (f) = R
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [0;
Función Signo.- Se simboliza por
Función Escalón Unitario.- Está denotado
“sgn” su regla de correspondencia
por U y su regla de correspondencia
está dada por: es:
-1 ; x 0 0; x0
y = f(x) = sgn (x) 0;x=0
y = f(x) = U (x) =
1;x 0
y 1; x1
U(x)
1 f(x)= U(x)
1
x
0
x
0
-1
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = -1, 0, 1 i) Dom (f) = [0; ii) Rang (f) = 1
k 2
Vértice = v (h,k)
1
x
b b2 - 4ac
V(h; k) = V ; - -3 -2 -1 x
2a 2a 1 2 3
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [-k; -1
2. a 0 -2
Vértice = V(h,k)
k i) Don (f) = R ii) Rang (f) = Z
x1 x2
h EJERCICIOS
c
b
b2 - 4ac 1. Hallar el dominio y rango de la
V(h; k) = V ; -
2a 2a función:
x x
f (x) = ; x0
x
Solución
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = - , k x; x 0
Dado que x =
- x; x 0
Función Inverso multiplicativo la regla de la correspondencia de la
Es aquella función cuya regla de función f(x), donde x 0; es :
correspondencia es: xx
2 ; x 0
1
y = f(x) = ; donde x 0 x
x f (x)
y x-x
0 ; x0
1 x
f(x) = y
x Graficando: x x
f(x) =
x
x 2
x
i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = R -0 i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) =
0, 2
Función máximo entero.- Es aquella
función definida por:
f(x) = [x] ; Si n x n + 1 ; n z
ÁLGEBRA
SUCESIONES
PROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES GEOMETRICAS
Ejemplo:
SUCESIONES
A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}
Una sucesión es un conjunto de b. Sucesiones infinitas.- Estas
números que presenta un cierto orden sucesiones se caracterizan porque
de acuerdo a una ley de formación.
sus términos son ilimitados.
En términos de conjunto las sucesiones
se expresan como : Ejemplo:
S = {a1, a2, a3, ....., an, ....} P = {-1, 2, 7, 14, ....., (n²-2),....}
Toda sucesión debe ser determinado a
través de su término e-nésimo (an), es SERIES.- Se llama serie a la suma
decir:
indicada de los elementos de una
Para n = 1 a1
Para n = 2 a2 sucesión, es decir dada la sucesión.
Para n = 3 a3
. . . S = {a1, a2, a3, .........., an, .......}
. . . La serie está representada por
. . .
En general un término cualquiera de la
sucesión tal como ak, se obtiene a
través de an cuando n = k. Son a
n 1
n a1 a2 a3 ...... an .....
ejemplos de sucesiones :
a. P = { 3,5,7,9,....., (2n+1),...}
Dependiendo de que la sucesión sea
b. Q = {1,4,9,16,....., n²,.........}
finita e infinita, las series serán finitas e
c. R = {1,1,2,6,24,....,(n-1)!,.....} infinitas.
÷ 8 . 12 . 16 . 20 . 24 . 28 . 32
Se cumple que
ac = 20
ap + aq = a1 + an
Se cumple que :
8 32 12 28 16 24
DEMOSTRACION ac 20
2 2 2
Dado que “ap” y “aq” equidistan de los
extremos.
Propiedad 6.- En toda P.A. de tres
ap = a1 + (p-1) r .............. ()
términos, el término central es la media
aq = an - (p-1) r .............. (ß)
aritmética de los extremos.
En la P.A.
Sumando miembro a miembro () y (ß)
÷ x. y. z
obtenemos :
xz
Se cumple que : y
2
ap + aq = a1 + an l.q.q.d.
Propiedad 7.- La suma de los “n”
Ejemplo : En la P.A. primeros términos de una P.A. de razón
÷ 7. 12 . 17 . 22 . 27 . 32 . 37 . 42. “r”.
÷ a1 . a2 ……............…... an-1 . an
ÁLGEBRA
es igual a la semisuma de los extremos INTERPOLACION
multiplicado por el número de términos,
es decir: Interpolar “m” medios diferenciales
entre los extremos “a1” y “an” de una
a an progresión aritmética, es formar la
Sn 1 n
2 progresión. En efecto para la P.A.
DEMOSTRACIÓN ÷ a1 .............................. an
En la progresión aritmética. “m” medios
÷ a1. a2 …………………............ an-1 . an
La suma de los “n” primeros términos es Los datos conocidos son :
:
Sn = a1+a2 ..........+ an-1+an ......... () Primer término : a1
ó Último término : an
Número de términos : n = m + 2
Sn = an+an-1 ........ +a2 +a1 .......... (ß)
Sumando miembro a miembro
El elemento a calcular es la razón : r
an = a1 + (n – 1) r a1 = 4
Entre 4 y 16 an = 16
a1 = -16 n = x +2
donde: n = 19
r= 3 De la fórmula : an = a1 + (n-1)r
16 = 4 + (x +1)r
Reemplazando valores 12
= r .......... ()
a19 = - 16+ (19 - 1) (3) x 1
a19 = 38 Rpta. a1 = 16
Entre 16 y 46 an = 46
02. En la progresión aritmética. n = 3x+2
÷ a ............... 46 ...............b
De la fórmula : an = a1 + (n-1)r
“m” medios “m” medios
46 = 16 + (3x+1)r
Determine el valor de m si la
suma de sus términos es 782. 30
= r ......... (ß)
3x 1
Solución :
En la P.A. se observa que el Igualando () y (ß)
término central: ac = 46 12 30
= 36x +12 = 30x+30
Número de términos : n = 2m+3 x 1 3x 1
Suma de términos : Sn = 782 6x = 18
x=3
Dado que : Reemplazando el valor de x = 3
Sn = ac . n 782 = 46 (2m+3) en ()
2m + 3 = 17 12
r= r=3
3 1
De donde : m = 7
t : t : ....................... : t : t
1 2 n-1 n
04. Cuantos términos de la P.A.
÷ 32 . 26 . 20 ....................... Geométricos
* Medios
Se deben tomar para que su Proporcionales
suma sea 72. Rpta. 9.
*q0 q 1 (razón)
05. Si, Sn = 3n (2n – 1) es la suma de
Primer Termino último término
los “n” términos de una P.A.
Hallar el término de lugar “p” que
La razón de la P.G. está determinada
ocupa dicha progresión aritmética.
Rpta: 3 (4 p - 3)
por la división de dos términos
consecutivos de la progresión :
t t t
PROGRESION GEOMETRICA q 2 3 ...................... n
t1 t2 t n 1
Definición.- La progresión geométrica o
por cociente es una sucesión de Debemos tener en cuenta lo siguiente :
números, donde cada término después i. Si : q > 1, la P.G. es creciente :
del primero es igual al anterior,
multiplicado por una cantidad constante Ejemplo:
(diferente de cero y de la unidad), q=
4
21
llamada razón de la progresión 2
geométrica. 2 : 4 : 8 : 16 : 32 La P.G. es
creciente
Símbolos de una progresión geométrica.
ii. Si; 0 <q <1, la P.G. es decreciente.
P.G. : Progresión geométrica
Ejemplo:
: Inicio de la P.G.
9 1
q=
t1 : Primer término 27 3
tn : último término 243 : 81: 27: 9 1
0 1
q : razón de la P.G. 3
n : Número de términos La P.G. es decreciente
s : Suma de los términos de la P.G. iii. Si : q < 0 la P.G. es oscilante.
p : Producto de los términos de la
P.G.
ÁLGEBRA
Ejemplo: Ejemplo : En la P.G.
32 1 2 : 6 : 18 : 54 : 162 : 486
q =
64 2
64:-32:16:-8 1
0
2 Veces que :
La P.G. es oscilante 6 (162) = 18(54) = 2(486) = 972
LOGARITMOS
ECUACIONES LOGARITMICAS
DEFINICION
Expresando matemáticamente:
El logaritmo de un número “N” real y Número Exponente
positivo (N 0), en una base “b” mayor Logaritmo Número
que cero y diferente de la unidad (b 0
b 1) es el exponente real “a” tal que Log N = a a
b =N
elevado a la base “b” se obtiene una b
potencia (ba) igual al número (N). Forma
Forma
Logarítmica Exponencial
En efecto observemos los siguientes
ejemplos: Base Base
1. Si: 24 = 16 Log 2 16 = 4
“a” es el logaritmo
a –3 1 1
Si : b =N 2. Si : 5 = Log 5 = -3
125 125
de “N” en base “b”
4
3. Si: 3 =9 Log 9=4
3
ÁLGEBRA
EXISTENCIA DE LOS
ii) Paso de la forma logarítmica a LOGARITMOS EN R
la forma exponencial
1. Si: Log 625 = 4 5 4 = 625 Por definición sabemos que:
5
2. Si: Log
1
= -3 7-3 =
1 Log N a b a N
7 343 343
b
6
3. Si Log 216 = 6 6 = 216 Donde:
6
Ejercicios: i) N, es el “número”: N 0
a. Transforme de la forma exponencial
a la forma logarítmica o viceversa
0 +
según convenga:
1) 27 = 128 2) Log 8 = 3 N 0;
2
1
3) 4-4 = 4) Log 9=6 ii) b, es la “base”: b 0 b 1
256 3 3
5) 53 = 125 6) Log 49 = 2
7 0 1 +
7) 35 = 243 8) Log 1=0 b 0; 1 u 1 ;
2
3 EJERCICIOS
13. Log 8= 22. Log 3=2
7
x x
Nota.- Para hallar el logaritmo de un
14. Log 32 = x 23. Log (x-1) = 3 número debemos tener en cuenta la
64 2
siguiente relación:
3
15. Log 125 = 24. Log 5=1
x 2 x2
7x 3 9
x Rpta. m
3 2 14 Como : Log am
an n
entonces:
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
DE LOS LOGARITMOS 4 4
3 8 2
E - 3 ; mcm = 15
5 2 15 3
Estas identidades nos permite efectuar 2 1
cálculos rápidos en logaritmos, tan es así 8 - 10 2
E E-
que los problemas anteriores pueden 15 15
efectuarse por simple inspección. IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 2
Si el logaritmo de un número se
encuentra como exponente de su propia
IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 1 base, entonces está expresión es
Si el número y la base de un logaritmo equivalente al número, es decir:
se pueden expresar en una base común,
Log b N
el logaritmo está determinado por el b N
cociente de los exponentes de las bases
comunes; es decir: Demostración:
m Por definición sabemos que:
Log am : (a 0 a 1) a
an n Log N a b N
b
Demostración:
De donde:
Por identidad sabemos que a m a m a
Expresando convenientemente el segundo b =N ............. (3)
miembro tendríamos: a Log N ....... (2)
b
m Logaritmo
m n n Reemplazando ...(2) en ...(1) obtenemos:
a a
Log N
b
Número base b N L.q.q.d.
ÁLGEBRA
En estos casos las bases de los
logaritmos deben ser iguales y para eso
IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 3
hacemos lo siguiente:
Obteniendo:
Demostración:
Sabemos por la identidad Nº 2 que: Log x 3 Log x3 9
2 2
Log b a
a = b ............ (1) Como una suma de logaritmos de igual
Elevando a la potencia “m” los dos base es igual al logaritmo de un
miembros de la igualdad, se obtiene. producto, entonces:
Log a Exponente
b
o logaritmo Log x 3 x3 9 x3 x3 29
b
m m
a 2
9
9
Número base 2
x 2
Por definición de logaritmo como de donde al simplificar obtenemos:
exponente, tenemos que: 1
2
Log a Log a m .......... () x 2 x=4
b bm
ó. N = b-1
ii) Segundo caso.- Cuando la base es
mayor a la unidad (b 1)
con lo cual : Logb N Logb b 1
Caso particular; y = 3x
Tabulando : obtenemos los valores:
Aplicando la primera identidad
obtenemos: Df X - ... -2 -1 0 1 2 ... +
Rf Y + ... 1/9 1/3 1 3 9 ... +
Logb N 1 L.q.q.d.
Gráfica : Propiedades de:
y = bx : ( b 1)
FUNCIÓN EXPONENCIAL
y = bx 1. D1 -;
Si; “b” es un número real positivo
2. Rf 0;
diferente de “1” (b 0 b 1) entonces
9 3. y = bx 0 x R
la función “f” se llama exponencial de x
y=3
base “b” si y sólo si: 4. Si; x = 0 y = bx = 1
3
5. Si, x 0 y = bx 1
x
f = (x, y) / y = b . (b 0 b 1) 1
6. Si, x - y = bx 0
x
Representación gráfica de: y=b x
x 7. Si, x 0 y = b 1
-2 -1 0 1 2 8. Si, x y = bx
i) Primer caso.- Cuando la base está
comprendida entre “0” y “1” (0 b 1) Función Logarítmica
x Si “b” es un número real positivo
1 diferente de la unidad entonces una
Caso Particular : y
3 función “f” será logarítmica si y solo si:
Tabulando, obtenemos los siguientes
pares de valores: f = (x, y)/ y = Log b x ; (b 0 b 1)
al cual llamaremos función logaritmo
Df X - .... -2 -1 0 1 2 ... + de base b”
Rf Y + .... 9 3 1 1/3 1/9 ... 0 Observación:
Función Exponencial Función Logarítmica
Gráfica : Propiedades de: y = f(x) = bx y = f(x) = Log x
y = bx : 0 b 1 b
Df - ; Df 0 ;
Rf 0 ; Rf - ;
ÁLGEBRA
Nótese que: ii) Segundo caso: Cuando la base es
b R+ - 1 mayor que la unidad (b 1)
Caso particular:
y = bx Logb y x y = Log3 x
Función Directa
Tabulando, obtenemos los valores:
Permutando “x” por “y”
Df X 0 ... 1/9 1/3 1 3 9 ... +
Rf Y - ... -2 -1 0 1 2 ... +
3
Tabulando; obtenemos los valores
Df X 0 ... 1/9 1/3 1 3 9 ... + x
Rf Y ... 2 1 0 -1 -2 ... - 0 1 3 9
y Log x 4. Logb b 1
1 /3
5. Logb 1 0
6. Si x 1 Log x 0
b
-1 7. Si: x Log x
b
8. Si: x 1 Log x 0
b
9. Si: x 0 Logb x -
1 3 9
0 1/3 PROPIEDADES GENERALES
-1 DE LOS LOGARITMOS
-2
Teniendo en cuenta las gráficas de la
1. Df -0; función logaritmo: y= Log x (b 0 b 1)
b
2. Rf -;
y
3. Si, x 0 Logb x en R
4. Logb b 1 y = Log x
b
b1
5. Logb 1 0
6. Si x 1 Logb x 0
x
7. Si: x Logb x - 0
1
8. Si: x 1 Logb x 1
a 1
Log Log a Log b Log a
X b X X b x
b
ax
ÁLGEBRA
Por definición de logaritmos como exponente, Ejemplos:
se obtiene: a) Antilog 3=2 =8
3
1 2
Log b
a Log a L.q.q.d
b -1/2 1
x x
b) Antilog -1/2 = 4 =
4 2
VIII. El producto de dos logaritmos
recíprocos es igual a la “unidad”, es decir:
CAMBIO DE BASE “b” A BASE “x”
En general todo cambio de base implica
Log a b Log b 1 L.q.q.d
x a un cociente de logaritmos, es decir:
Log N
Log N= x
b Log N
b
RELACIONES ESPECIALES EN
LOGARITMOS Log N
Caso particular: Log N=
b Log b
COLOGARITMO.- El cologaritmo de un
REGLA DE LA CADENA
número en una base “b” es igual al Si en un producto de logaritmos un
logaritmo de la inversa del número en la número cualquiera y una base cualquiera
misma base. son iguales entonces estos se cancelan
1 incluso el símbolo logarítmico
Colog N = Log
b b N
Ejemplo: Log a . Log b . Log c . Log d = Log a
b c d x x
3
a) colog 27 = - Log 27=-
9 9 2 SISTEMAS DE ECUACIONES
7 LOGARÍTMICAS
23 7
b) –colog a a = Log a3 =
3
a a2
5 5
a3 Los sistemas de ecuaciones logarítmicas
se caracterizan por que tienen las
ANTILOGARITMO mismas soluciones para cada ecuación
El antilogaritmo en una base dada es el que se presenta dentro del sistema.
número que dá origen al logaritmo, La solución a un sistema depende en
matemáticamente: gran parte de la habilidad del operador,
sustentado en las propiedades
x
Antilog x=a logarítmicas.
a
Propiedades:
INTERES COMPUESTO
ANUALIDADES
BINOMIO DE NEWTON
Solución:
De acuerdo con el enunciado del
problema:
C = 50 000.00 soles
ÁLGEBRA
R = 5% anual su monto será: Ac (1 + r)
5 Sumando todos los montos producidos
r= = 0,05 (anual)
100 por las anualidades, formamos el capital
0,05 “C”.
r= = 0,0125 (trimestral)
4 C = Ac(1+r)t + Ac(1+r)t-1 + .... + Ac(1 + r)
t = 6 años = 6(4) = 24 trimestres C = Ac[(1+r)t +(1+r)t-1 + .... + (1 + r)]
Factorizando : (1 + r)
Reemplazando en la fórmula del monto C = Ac(1+r) [(1+r)t-1 + (1 + r)t-2 + … + 1]
Como los sumados del corchete representan
M = C (1 + r)t el desarrollo de un cociente notable,
obtenemos:
Se tendría:
M = 50 000 (1 + 0,0125)24 (1 r ) t 1
M = 50 000 (1,0125)24 C A c (1 r )
(1 r ) 1
Utilizando el dato:
M = 50 000 (1,347) Despejando la anualidad de capitalización:
el monto será: Ac
Cr
M = 67 350,00 soles (Rpta).
(1 r ) (1 r ) t 1
26 = 16 x 17 x 18 ............ x 25 x 26
En general:
n = n – k (n – k + 1) (n – k + 2) ..... (n –1) n
ÁLGEBRA
donde : k n 3. Si el factorial de un número “n” es
igual a uno, entonces el valor de “n”
5 x 18
Simplificar : E puede ser cero o la unidad
6 x 17
n = 1 n =0n=1
Solución:
Descomponiendo los factoriales: Ejemplo: Hallar “n”, si:
5 x 17 x 18 18
(n – 2) ! = 1
Solución:
E
i) n – 2 = 0 n = 2
5 x 6 x 17 6
(n – 2) ! = 1
ii) n – 2 = 1 n = 3
E=3 Rpta.
C.S. = 2 ; 3 Rpta.
2. Si el factorial del número A es igual
al factorial del número B, entonces A EJERCICIOS
y B son iguales, es decir:
1. ¿Qué valor de n” verifica la siguiente
A = B A=B (A 0 B 0) igualdad:
1024 n – 1 [1 x 3 x 5 ... x (2n – 3)] = 2 (n – 1)
Ejemplo:Calcular los valores de “n”
Solución:
Si:
Dado que:
( n )2 - 8 n + 12 = 0 1 x 3 x 5 ... x (2n –3) =
1x2x3x 4x5...x(2n 3)( 2n 2)
=
Solución: 2x 4x6x.......x(2n 2)
Factorizando; tendríamos:
2n 2
( n -2 ) ( n -6) =0 1 x 3 x 5 ... x (2 n –3) =
2 n1 n 1
igualando cada factor a cero:
la igualdad se transforma en:
a) n = 2 = 2 n=2
2n 2
a) n = 6 = 3 n=3 1024 n–1 x = 2n - 2
2 n1 n 1
C.S. = 2, 3 Rpta.
cancelando los factores comunes
Observación: El factorial de cero obtenemos:
es igual a la unidad, es decir: 2n – 1 = 1024 2n-1 = 210
n – 1 = 10
0!= 0 =1 ; Demostración : n = 11 Rpta.
0!= 0 =1
ÁLGEBRA
Solución
Cada coeficiente de los términos el n
primer miembro, se puede expresar de Vkn
nk
la siguiente forma:
(2–1) 1 + (3-1) 2 + (4-1) 3 + ......
............+ (n+1 –1) n = 5039 Vkn
(n) (n 1) (n 2)........(n - k 1)
2 - 1 + 3 - 2+ 4 - 3 + .......
Ejm: Variar “a”, “b” y “c” de 2 en 2.
......... + (n +1 - n = 5039
al cancelar, los términos semejantes, se V a, b, c
ab, ac, ba,bc, ca, cb
2
tendría:
3 3 1x2x3
- 1 + n + 1 = 5039 V23 6
n + 1 = 5040 3-2 1 1
n +1 = 7
n+1=7 n=6 Rpta. Combinaciones.- Combinatoria de “n”
elementos, tomados en grupo de “k” en
“k” son los diferentes grupos que se
ANÁLISIS COMBINATORIO forman, en el cual participando “k”
elementos en cada grupo estos se
Permutaciones.- Permutaciones de “n” elementos
diferencian al menos por un elemento,
tomados en grupos de “n” son los diferentes grupos que
matemáticamente :
se forman en el cual participando “n” elementos en cada
grupo, estos se diferencian por el orden de colocación; n
matemáticamente: Cn
k
;k n
k n-k
Pn = n ! = n
i. En el binomio de newton si n es
De estos desarrollos observamos :
entero y positivo, su coeficiente
1. El desarrollo es un polinomio
binomial es:
homogéneo, cuyo grado es igual al
exponente del binomio.
n (n 1) (n - 2) ..........(n - k 1)
2. El número de términos que tiene el Cnk
k!
desarrollo es igual al exponente del
binomio más uno.
3. Los exponentes en el desarrollo varían
consecutivamente desde el exponente
ii. Si n es fraccionario, su coeficiente
del binomio hasta el expediente cero
binomial es :
ÁLGEBRA
n n (n 1) (n 2) ......... (n k 1)
k k! Solución:
De acuerdo a esto, se tendría. a = x2
(a+b)n = cn0 an + cn , an – 1 b + ..... cnn nb Datos : b = -y3
n = 26
k+1 = 25 k = 24
TRIANGULO DE PASCAL
Reemplazando en la fórmula:
Es un triángulo en el cual, un coeficiente
Tk 1 Cn (a)nk (b)K ; 0 k 26
cualquiera es igual a la suma de los dos k
que van sobre el en la línea anterior. Es
práctico cuando los exponentes del Obtenemos:
binomio son pequeños. 26 24 24
Ejemplos : Para hallar los coeficientes de T24 1 C26 2
24 ( x ) ( y3 )
(a+b)6; su triángulo de Pascal sería:
T25 C26 4 72
24 x y
Tk 1 Cn
k
(a)nk (b)K 3. Simplificar:
100 95 85
C5 C 80 C 5
Ejm. # 1.- Hallar el G.A. del T25 en el S
100 100
desarrollo de (x2 – y3)26 C100 C15
RACIONALIZACION
FORMAS INDETERMINADAS
RADICACIÓN
Índice n
a b Raíz
RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
x2 – 2 x + 1 x - y A- B ................. (2)
x 4 - 4x 3 6x 2 - 4x 1
-x4 (x2) (-x2) = -x4 Resolviendo el sistema:
0 2x2 i) Cálculo de “x” :
-4 x3 + 6x2 -4x3 2x2 = -2x
4 x3 - 4x2 (2x2 – 2x) (2x)
ACADEMIA
15 1 15 1 A B C D ....................... (II)
E 8 7
2 2
ACADEMIA
N m am n 4 ( 1 2 - 3 )
f R
a 2 2
Ejemplo.- calcular
1º.- Si : Pº (x) Qº (x)
Lim P(x)
E Lim
x
ax 2
bx x ax 2 cx b
x Q(x)
Solución:
2º.- Si : Pº (x) = Qº (x) Cuando x E = - (Ind.)
Lim P(x) Coef Max.Potencia Para levantar la indeterminación
x Q(x) Coef Max.Potencia multiplicación el numerador y
ACADEMIA