아페리오딕 타일링

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오. (2017년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

주기적 타일링은 임의로 큰 주기적 영역이나 패치를 포함하지 않는 추가 특성을 가진 비주기적 타일링이다. 이러한 타일의 복사본이 비주기적 기울기만 형성할 수 있는 경우 일련의 타일 유형(또는 프로토타일)은 주기적이다. 펜로즈 기울기는^[1][2] 주기적인 기울기의 가장 잘 알려진 예다.

Aperiodic 기울기는 이후 2011년 노벨상을 수상한 Dan Shhechtman에^[3] 의해 1982년에 발견된 물리적 고형물인 Quasicrystals의 수학적 모델 역할을 한다.^[4] 그러나 이들 재료의 구체적인 국부적 구조는 아직 제대로 파악되지 않고 있다.

주기적 기울기를 구성하는 몇 가지 방법이 알려져 있다.

정의 및 일러스트레이션

단위 정사각형(무한 그래프 용지처럼 생겼음)에 의한 주기적인 타일링을 고려하십시오. 이제 사각형 하나를 직사각형 두 개로 잘라라. 이러한 방법으로 얻은 타일링은 비주기적이다. 타일링을 고정시키는 비제로 시프트는 없다. 그러나 분명히 이 예는 펜로즈 타일링보다 훨씬 덜 재미있다. 그런 따분한 예를 배제하기 위해, 임의로 큰 주기적인 부분을 포함하지 않는 주기적인 타일링을 정의한다.

타일링의 선체에 비주기적 기울기만 있는 경우 타일링을 aperiodic이라고 한다. 타일링 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$d}}}$의 선체에는 T의 모든 변환 T+x와 T의 번역으로 근사하게 추정할 수 있는 모든 기울기가 포함되어$$ 있다. 정식으로 로컬 토폴로지에서${\displaystyle }${${\displaystyle T}$+ ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x}$∈ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \{T+x\,:\,x\in \mathb {R} ^{d}\}}}$ 세트가 닫히는 것이다.^[5] 로컬 토폴로지(resp)에서. 해당 미터법) 2개의 틸팅은 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$의 원점 주위의$$ $반경{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 /${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle$ 1$/\varepsilon }$의 볼에 동의할 경우 닫힌다$$(경사 중 $하나$를 $\$ {\$displaysty \barpsilon }).$

위의 예보다 훨씬 간단한 예를 들자면, ...aaaaaaa...와 같이 생긴 선의 1차원 타일링 T를 생각해 보라. 여기서 a는 길이 1의 간격을 나타내며, b는 길이 2의 간격을 나타낸다. 따라서 tiling T는 a와 b의 한 부(중앙 0, say)의 무한히 많은 사본으로 구성된다. 이제 T의 모든 번역은 어디선가 하나의 b를 가진 틸링이다. 현지 $위상$에서${\displaystyle \mathrm{b}}$가 1, 2,${\displaystyle }$4,${\displaystyle }$… 4${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle 1,2,4,\ldots, 2^{n},\ldots }$의 수렴을 중심으로 하는 틸팅 순서는 오직 하나로 구성된 주기적 타일링으로 이루어진다. 따라서 T는 주기적인 타일링이 아니다. 왜냐하면 그것의 선체에 주기적인 타일링이 있기 때문이다.

올바르게 동작하는 틸팅(예: 미세하게 많은 국부 패턴을 갖는 대체 틸팅)의 경우, 타일링이 주기적이지 않고 반복적인 경우(즉, 각 패치가 타일링 전체에서 균일하게 밀도가 높은 방식으로 발생하는 경우), 그것은 주기적인 것이다.^[5]

역사

주기적 기울기의 첫 번째 구체적인 발생은 1961년에 논리학자 Hao Wang이 Domino 문제가 결정 가능한지, 즉 주어진 유한한 프로토타일 집합이 비행기의 타일링을 허용하는지 여부를 결정하기 위한 알고리즘이 존재하는지 여부를 결정하려고 했을 때 일어났다. 왕 교수는 평면에 타일을 붙일 수 없는 타일 세트와 주기적으로 타일을 붙이는 타일 세트를 열거하는 알고리즘을 발견했는데, 이를 통해 평면의 타일을 인정하는 모든 유한한 프로토타일 세트도 정기 타일을 인정할 경우 그러한 결정 알고리즘이 존재한다는 것을 보여주었다. 1964년에 Robert Berger는 태링 문제가 사실 분해할 수 없다는 것을 증명하는 일련의 원자를 발견했다.^[6][7] 베르거가 불후의 증거에 사용한 이 첫 번째 세트는 2만 426개의 왕 타일이 필요했다. 베르거는 이후 자신의 세트를 104개로 줄였고, 한스 레우치리는 이후 왕 타일 40개만 필요한 주기적인 세트를 발견했다.^[8] 1971년 라파엘 M. 로빈슨에 의해 더 작은 6개의 주기적 타일 세트(왕 타일 기준)가 발견되었다.^[9] 로저 펜로즈는 1973년과 1974년에 세 세트를 더 발견하여 필요한 타일 수를 2개로 줄였고, 로버트 암만은 1977년에 몇 개의 새로운 세트를 발견했다.^[8]

주기적 펜로스 기울기는 원자의 주기적 집합뿐만 아니라 대체와 절단 및 프로젝트 방법에 의해서도 생성될 수 있다. Quasicrystals의 발견 이후, 주기적인 기울기는 물리학자와 수학자들에 의해 집중적으로 연구된다. N.G. de Bruijn의 펜로즈 기울기용 컷앤프로젝트 방식은 결국 마이어 세트의 이론의 한 예로 밝혀졌다.^[10][11] 오늘날에는 주기적인 기울기에 관한 많은 문헌이 있다.^[5]

시공

몇 가지 주기적 기울기의 구조가 알려져 있다. 어떤 건축물은 무주기적 타일 세트의 무한 패밀리에 기초한다.^[12][13] 발견된 그러한 구조들은 주로 어떤 종류의 비주기적 계층 구조를 강요함으로써 주로 몇 가지 방법으로 구성된다. 그럼에도 불구하고, Domino 문제의 불분명함은 무한히 많은 구별되는 구성 원리가 있어야 하며, 사실, 주기성의 증거가 없을 수 있는 주기적인 타일 집합이 존재함을 보장한다.

주기적 계층적 기울기

현재까지 타일링에 계층 구조가 있는 경우를 설명하는 공식적인 정의는 없다. 그럼에도 불구하고, 대체 틸링에는 버거, 크누스, 레우클리, 로빈슨과 마찬가지로 타일링에도 불구하고 타일링에는 타일링의 기울기가 있다. "주기적 타일링"이라는 용어 자체와 마찬가지로, "주기적 계층적 타일링"이라는 용어는 편리한 속기로, "주기적 타일 세트"의 선을 따라 "계층적 구조를 가진 비주기적 기울기만을 인정하는 것"을 의미한다.

이러한 각각의 타일 세트는 그들이 인정하는 어떤 타일에서도 특정한 계층 구조를 강요한다. (나중의 많은 예에서, 이 구조는 대체 타일링 시스템으로 설명될 수 있다. 이것은 아래에 설명되어 있다.) 단지 하나의 번역이 전체 계층 구조를 불변시킬 수 없기 때문에 그러한 타일 집합에 의해 인정된 타일링은 주기적일 수 없다. 로빈슨의 1971년 타일을 생각해 보십시오.

이러한 타일로 타일을 장식하는 것은 사각형 격자의 위계만을 나타낼 수 있다: 오렌지 사각형의 중심은 또한 더 큰 오렌지 사각형의 한 모퉁이, ad infinitum이다. 어떤 번역도 어떤 크기의 사각형보다 작아야 하며, 따라서 그러한 타일링 불변성을 남길 수 없다.

로빈슨은 이 타일이 이러한 구조를 유도적으로 형성해야 한다는 것을 증명한다; 사실상 타일은 원래 타일의 더 큰 버전으로서 서로 잘 맞는 블록을 형성해야 한다. 계층 구조만 허용할 수 있는 타일 집합을 찾는 이 아이디어는 현재까지 가장 잘 알려진 주기적 타일 집합을 구성하는 데 사용되어 왔다.

대체

대체 타일링 시스템은 주기적 기울기의 풍부한 원천을 제공한다. 치환구조가 나타나도록 강요하는 일련의 타일들이 치환구조를 강제한다고 한다. 예를 들어, 아래에 표시된 의자 타일은 치환할 수 있으며, 치환 타일링의 일부는 바로 아래에 표시된다. 이러한 대체 기울기는 위에서 설명한 것과 정확히 같은 방식으로 반드시 비주기적이어야 하지만, 의자 타일 자체는 주기적이지 않다. 표시되지 않은 의자 타일로 주기적 기울기를 쉽게 찾을 수 있다.

그러나 아래에 보이는 타일은 의자 치환 구조가 나타나도록 강요하고, 그 자체도 주기적이다.^[14]

펜로즈 타일, 그리고 얼마 지나지 않아 암만의 몇 가지 다른 타일 세트는 대체 타일 구조물이 나타나도록 명시적으로 강요하는 것에 근거한 첫 번째 예였다.^[15] 조슈아 소콜라,^[16][17] 로저 펜로즈,^[18] 루드비히 단저,^[19] 그리고 차임 굿맨 스트라우스는^[14] 몇 가지 후속 세트를 찾아냈다. 샤하르 모제스는 1차원 대체 시스템의 모든 제품이 매칭 규칙에 의해 시행될 수 있다는 것을 보여주면서 첫 번째 일반 공사를 했다.^[13] Charles Radin은 Conway-pinwheel 대체 타일링 시스템을 시행하는 규칙을 발견했다.^[20] 1998년에 Goodman-Strauss는 지역 일치 규칙이 약간의 가벼운 조건에 따라 모든 대체 타일링 구조를 강제하는 것을 발견할 수 있다는 것을 보여주었다.^[12]

절단 및 프로젝트 방법

비주기적 기울기는 차원성이 낮은 공간에 고차원 구조를 투영함으로써 얻을 수 있으며, 어떤 상황에서는 이러한 비주기적 구조를 강제하는 타일이 있을 수 있으며, 따라서 주기적 기울기도 있다. 드 브뤼옌의 선구적인 작품에서 처음 언급된 바와 같이 펜로즈 타일은 이것의 최초이자 가장 유명한 예다.^[21] 수많은 필요 또는 충분한 조건이 알려져 있지만 일치 규칙에 의해 시행될 수 있는 절단 및 프로젝트 기울기의 완전한(알지브라틱) 특성화는 아직 없다.^[22]

기타 기법

단지 몇 가지 다른 종류의 공사만이 발견되었다. 특히 Jarkko하는 카리 왕 기와 2~3분의 2실수를 타일의 라인(인코딩Sturmian 시퀀스 비티 순서의 연속 요소 차이로서 만들어지는 관계가 있다)에 의해, 불규칙성. 주로 사실 2n/3m 1에 어떤 긍정적인에 대한 동등한 것은 없다에만 의존하는 것 인코딩의 multiplications에 기초한 비주기적인 집합을 주었다. integers n과 m.^[23] 이 방법은 나중에 Goodman-Strauss에 의해 쌍곡면에 강력한 주기적인 타일 세트를 주도록 개조되었다.^[24] 샤하르 모제스는 예를 들어 반단순 리 그룹과 같은 좀 더 이국적인 환경에서 많은 대체 타일 세트의 구조를 발견했다.^[25] 블록과 와인버거는 모든 비아멘성 다지관에 대한 주기적인 타일 세트를 구성하기 위해 동질적 방법을 사용했다.^[26] 조슈아 소콜라는 또한 교대조건의 측면에서 주기성을 강제할 수 있는 다른 방법을 제공했다.^[27] 이것은 대체품에서 파생된 타일 세트보다 훨씬 작은 타일로 이어진다.

물리학

물리학자인 Dan Shhechtman이 모호하지 않은 5배의 대칭으로^[3] 날카로운 디프랜토그램을 생성하는 알루미늄-망간 합금의 한 단계를 발견했다고 발표하기 전까지 주기적 기울기는 수학적인 아르테팩트로 간주되었다. 그래서 그것은 고드름 대칭을 가진 결정체여야만 했다. 1975년 로버트 암만은 이미 펜로즈 건설을 3차원 이코사이드 등가물로 확장했다. 이러한 경우 '타일링'이라는 용어는 '공간을 채우다'라는 의미로 받아들여진다. 광소자 장치는 현재 서로 다른 층의 주기적 시퀀스로 구축되어 있으며, 따라서 한 방향에서는 주기적, 다른 두 방향에서는 주기적이다. Cd-Te의 quasicrystal 구조는 원자들이 평면 a주기적 패턴으로 배열된 원자 층으로 구성되어 있는 것으로 보인다. 때로는 그러한 주기적 구조에 대해 정력적 최소 또는 최대 엔트로피가 발생한다. 스타인하르트는 검멜트의 겹치는 데카곤이 극단 원리의 적용을 허용하고 따라서 주기적 타일링의 수학과 퀘이시크리스탈의 구조 사이의 연관성을 제공한다는 것을 보여주었다.^[28] 패러데이 파동은 주기적인 패턴의 큰 조각을 형성하는 것으로 관찰되었다.^[29] 이 발견의 물리학은 무주기적 기울기를 간섭 현상과 연결시킬 것을 제안하는 불순수 구조와 주파수에 대한 관심을 되살렸다.^[30]

용어 혼동

aperiodic이라는 용어는 틸링에 관한 수학 문헌에서 매우 다양한 방법으로 사용되어 왔다(그리고 역동적인 시스템이나 그래프 이론과 같은 다른 수학 분야에서도 전혀 다른 의미를 가지고 있다). 틸팅과 관련하여, aperiodic이라는 용어는 때때로 non periodic이라는 용어와 동의어로 사용되었다. 비주기적 타일링은 단순히 어떤 비주기적 번역에 의해 고정되지 않는 것이다. 때로는 암묵적으로 또는 명시적으로 설명한 용어가 양극성 프로토타일 집합에 의해 생성되는 타일링이다. 종종 aperiodic이라는 용어는 단지 물리적인 aperiodic 고형물, 즉 quasicrystals 또는 어떤 종류의 세계적 질서가 있는 비 periodic적인 것을 언급하면서 고려중인 구조들을 설명하기 위해 모호하게 사용되었다.

"타일링"이라는 단어의 사용 역시 그 직접적인 정의에도 불구하고 문제가 있다. 예를 들어, 펜로즈 타일링은 단 한 개도 없다: 펜로즈 광맥은 무한히 많은 기울기를 인정한다(이 기울기는 지역적으로 구별할 수 없다. 공통적인 해결책은 기술적인 글에서 용어를 신중하게 사용하려고 하지만 비공식 용어의 광범위한 사용을 인식하는 것이다.

참고 항목

• 기리히 타일
• 주기적 타일 목록
• 퀘이시크리스탈
• 젤리그

참조

외부 링크

• 지오메트리 폐차드
• 아페리오딕 틸링스
• 반복되지 않는 무한 패턴