Physique

ONDES MECANIQUES
PROBLEME

- PROBLEME SUR LES ONDES MECANIQUES 1 -

l ENONCE : « Chaîne linéaire d’atomes, avec impureté »

On considère une chaîne linéaire illimitée d’atomes identiques de masse m.

A l’équilibre, ils sont séparés par une distance a, et l’atome n se trouve à une abscisse xn0 .
Lorsqu’une perturbation longitudinale modifie suivant l’axe Ox la position de l’atome n d’une
quantité un (t ) = a , celui-ci est alors soumis à des interactions complexes, modélisées par des
forces de rappel de raideur α , limitées entre atomes premiers voisins.

1) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par un (t ) , équation dans laquelle figureront

également un−1 ()t et un+1 (t ) .

2) On veut montrer qu’il existe des ondes élastiques longitudinales de pulsation ω et de

r r
vecteur d’onde k = kex , avec k ∈ ¡ , qui peuvent se propager sans atténuation le long de la chaîne
et qui, en notation complexe, ont la forme :
u n (t ) = A exp[ i (kxn0 − ωt )] A = cste ∈ ¡
Trouver la relation que ω et k doivent satisfaire (relation de dispersion), et dessiner le
graphe ω (ka ) .
3) On note ω M la pulsation maximale des ondes qui peuvent se propager dans la chaîne :
à quelle longueur d’onde λmin correspond cette pulsation maximale ? Pour cette même pulsation,
comment les atomes oscillent-ils les uns par rapport aux autres ? Que se passerait-il si l’on
essayait de propager une perturbation de pulsation supérieure à ω M ?

4) Pour préciser les phénomènes découverts dans la question précédente, calculer les
vitesses de phase vϕ et de groupe vg ; en donner les limites lorsque ka → 0 et ka → π .
Faire le lien avec la question précédente.

5) Justifier le fait que pour les faibles valeurs de k, les élongations

un (t ) peuvent être
représentées par une fonction quasi-continue u (x, t ) , où la variable quasi-continue x représente
l’emplacement d’un atome au repos.
A partir d’un développement de Taylor au second ordre, déterminer l’équation
différentielle satisfaite par u (x, t ) , et en déduire, dans ces conditions, la célérité c de ces ondes ;
commenter en liaison avec la question 4).

6) Application numérique :
on donne pour le fer : a = 2,52.10 −10 m ; m = 9,26.10−26 kg ; α = 49,4 N .m −1 .
ωM
Calculer fM = et c .
2π
De quel type d’ondes s’agit-il ?

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7) Dans le cadre de « l’approximation des milieux continus » précédente, on place une

impureté dans la chaîne précédente : en n=0, se trouve un atome de masse m0 ≠ m ; dans la
région des abscisses x ≤ 0 , on considère une onde harmonique de pulsation ω et se propageant
selon les abscisses croissantes.
Il y a alors apparition d’une onde réfléchie (« écho ») et d’une onde transmise par l’impureté.

a) Donner leur pulsation et leur vecteur d’onde.

r t
b) Donner l’expression de l’onde réfléchie u n (t ) et de l’onde transmise u n (t ) , si
u n (t ) = A exp[i ( kna − ωt )] ; on notera r le
i
l’on décrit l’onde incidente par
coefficient de réflexion complexe et t le coefficient de transmission complexe.
c) Calculer le coefficient de transmission complexe t ; en déduire son module et
son argument.
d) Cas particuliers : m0 = m; m0 = 0; m0 → ∞ (pour chaque cas
étudier les cas
particulier, on s’intéressera aux situations où ka → 0 et ka → π ; on pourra
notamment caractériser le type d’onde apparaissant du côté des abscisses
négatives).
Donner des applications du phénomène étudié précédemment.

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l CORRIGE : « Chaîne linéaire d’atomes, avec impureté »

1) On applique le PFD à l’atome de rang n, et l’on projette sur l’axe Ox ; on obtient :

d 2un
m = α ( un+1 − un ) − α (un − un−1) = α ( un+1 + u n−1 − 2un ) (1)
dt 2

Rq : on peut vérifier que pour un+1 f un , la force de rappel (qui tend à redonner aux atomes leur
position d’équilibre relatif) tend, dans ce cas, à rapprocher les atomes n et n+1 ⇒ la force qui
s’exerce sur l’atome n est positive, donc du même signe que (u n+1 − un ) ; on procède de même
pour le couple n et n-1.

d 2 un
2) x = na ⇒ u n (t ) = A exp[i ( kna − ωt )] ⇒
0
n 2
= −ω 2 u n , u n+1 = u n × eika , u n−1 = u n × e −ika
dt
En reportant dans la relation (1), et en simplifiant par u n , il vient :
4α 2  ka 
− mω 2 = α (eika + e− ika − 2) = −2α (1 − cos ka ) ⇒ ω 2 = sin   ⇒
m  2 
4α  ka   ka 
ω= × sin   = ω M × sin   (2)
m  2   2
ω
La fonction ω ( ka) est 2π -périodique .
ωM Les valeurs de k positives correspondent
à une propagation selon les abscisses
croissantes , les valeurs négatives
correspondant à une propagation selon
les abscisses décroissantes .
Pour les faibles valeurs de ka, la fonction
−π 0 π ka est sensiblement linéaire.

3) Dans cette question, nous allons « toucher du doigt » l’aspect discontinu de la matière.
Remarquons tout d’abord que la longueur d’onde (distance minimum entre deux points où
l’amplitude instantanée de l’onde est la même à tout instant) est de la forme :
λ = na avec n ∈¥ (en effet, il faut bien considérer des abscisses où « quelque chose » vibre…)
Par ailleurs, la notion d’onde de forme mathématique déterminée (harmonique, triangulaire,
carrée…) n’a de sens que pour λ ? a .
2π 2π a
Nous avons donc ω M qui correspond à : λmin = = = 2a
k max π

⇒ pour cette fréquence, les atomes de rang pair effectuent des oscillations en phase, alors que
les atomes de rang impair effectuent des oscillations en phase entre eux, mais en opposition de
phase avec les précédents : il s’agit encore d’une onde, puisque le phénomène dépend de
l’espace et du temps.
En revanche, une fréquence supérieure à ω M conduirait ensuite à λ = a , où tous les atomes
oscillent en phase : il ne s’agit plus d’une onde, mais d’une simple oscillation « en bloc » du
réseau cristallin (en fait, nous verrons dans la question suivante que dans ce cas, il n’y a plus
propagation de l’énergie de l’onde : l’énergie de l’émetteur est transformée en chaleur en début
de chaîne).

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ω α sin( ka /2)
4) Vitesse de phase : vϕ = =2 × (pour 0 ≤ ka ≤ π )
k m k
α 2π α
D’où : ka → 0 : vϕ → a ; ka → π : vϕ →
m a m
dω α
Vitesse de groupe : vg = =a × cos(ka /2)
dk m
α
D’où : ka → 0 : vg → a ; ka → π : vg → 0
m
2π a
Rq1 : pour ka = → 0 , c’est-à-dire pour λ ? a , v g et vϕ ont la même limite ⇒ le milieu de
λ
propagation est non dispersif.

2π a
Rq2 : pour ka = → π , c’est-à-dire pour λ → 2a , vg → 0 ⇒ il n’y a plus propagation de
λ
l’énergie de l’onde (l’énergie de l’émetteur est dissipée en début de chaîne sous forme de
chaleur).

Rq3 : de même que la longueur d’onde admet une borne inférieure (2a) liée à la nature discrète
de la matière, elle admet une borne supérieure liée à la taille finie du matériau utilisé.

5) Pour les faibles valeurs de k , c’est-à-dire les longueurs d’ondes λ ? a , il y aura

beaucoup d’atomes (sur une distance égale à la longueur d’onde par exemple) dont le
mouvement permettra « d’échantillonner » la fonction « élongation d’un atome », fonction de la
variable quasi-continue x = na, avec n ∈¢ ; nous allons procéder au « glissement » suivant :
un (t ) = u ( x = na, t ) = u (x , t ) (sans oublier qu’en fait, x = na, avec n ∈¢ )

On peut dire aussi que pour λ ? a, u (x, t ) est une fonction « lente » de x = na , que le
déphasage (pour une onde harmonique) sera faible entre deux atomes consécutifs.

Ainsi, un développement de Taylor au second ordre ( a / λ = 1 ) conduit à:

∂u a ∂u
2 2
u[ x = ( n + 1) a, t ] = u ( x = na, t ) + a × + × + o( a 2 ) ; de même :
∂x x =na 2 ∂x 2 x = na

∂u a ∂u
2 2
u[ x = ( n − 1) a, t ] = u( x = na , t ) − a × + × + o( a 2 )
∂x x =na 2 ∂x 2 x = na

∂u 2
∂2 u
En reprenant la relation (1), il vient : m 2 = αa × 2
2

∂t ∂x
Ce qui est une équation de D’Alembert unidimensionnelle, correspondant à des ondes planes
α
progressives, de célérité : c=a
m

Rq : dans cette « approximation des milieux continus », valable pour λ ? a , il est logique de
trouver une célérité égale à la limite de la vitesse de phase pour ka → 0 , vitesse de phase égale
à la vitesse de groupe, puisqu’il n’y a pas de dispersion dans ce cas de figure (cf. question 4).

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6) Application numérique : pour le fer, on trouve :

1 α
fM = = 7,35.1012 Hz et c = 5820 m.s −1
π m
Rq : cette vitesse est typique de la propagation des ondes sonores dans les solides ; quant à la
fréquence maximum, il s’agit bien sûr d’ultrasons : on parle même de «hypersons »
9 13
( 10 Hz à 10 Hz ). Comme nous le verrons dans la question suivante, a l propagation de telles
ondes ne peut se faire convenablement que dans les milieux monocristallins exempts de défauts.

7) a) et b) En x=0, le déplacement de l’atome de masse m0 peut être décrit à l’aide de

la superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie, ou bien à l’aide de l’onde transmise ; le
déplacement étant unique, il vient :
(u 0 )i + ( u 0) r = ( u 0) t ⇒ A exp( −iωt ) + rA exp( −i ωrt ) = tA exp( −i ωtt ), ∀t
La notion de famille libre permet d’en déduire que :
ωr = ω t = ω et 1+ r = t (3)

De part de d’autre de l’impureté (x=0), le milieu est identique ⇒ la célérité des ondes est
identique ⇒ la relation de dispersion que l’on obtiendrait à partir de l’équation de D’Alembert
ω2
(k
2
=
) montre que tous les vecteurs d’ondes ont la même norme ; compte-tenu du sens de
c2
r r r r
propagation, il vient : k r = −kex et kt = kex

u n (t ) = r A exp[i ( −kna − ωt )] u n (t ) = tA exp[i ( kna − ωt )]

r t
On en déduit : et

c) Outre la relation (3), il faut trouver un deuxième lien entre r et t ; appliquons la

d 2 u0
relation (1) à l’atome de masse m0 : m0 = α (u −1 − 2u 0 + u1)
dt 2
Or : u −1 = u−1 + u−1 = Ae e
−iω t − ika
+ r × Ae − iω teika ; u1 = u1 = t × Ae − iω teika ; u 0 = u 0 = t × Ae− iωt ; d’où :
i r t t

4α
− m0ω 2 t = α (e− ika + re ika − 2t + te ika ) = −m0 sin 2 (ka /2) t = α [ −2 i sin( ka) − 2t (1 − e ika )]
m
 2m0 
 m sin ( ka /2) − (1 − cos ka − i sin ka )  t = i sin ka ; il vient finalement :
2
⇒
 
1
t=
2
 m0   ka 
iθ 1 1+  − 1 tan 2  
t = te = avec :  m   2
 m0   ka 
1− i  −1  tan   m   ka 
m   2  tan θ =  0 − 1 tan  
 m   2 
e) Cas particuliers :

∗ m0 = m : t = 1 et r = 0 ⇒ il est logique de ne pas obtenir d’onde réfléchie, puisque l’onde

incidente n’est pas « perturbée » en x=0 par un « défaut » du réseau cristallin.

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∗ m0 = ∞ : t = 0 et r = −1 ⇒ l’onde est totalement réfléchie en x=0, l’inertie de l’impureté

empêchant toute transmission du signal.

1  ka 
∗ m0 = 0 : t= = cos   ⇒ on peut s’intéresser à deux cas limites :
 ka   2 
1 + tan 2  
 2 
∗∗ ka = 1 (ou λ ? a) : t ; 1 et r ; 0 ⇒ l’onde incidente n’est pas perturbée, elle ne
« voit » pas le « défaut » de dimension typique a , qui est très petite par rapport
à son échelle, la longueur d’onde λ .
∗∗ ka → π (ou λ → 2a) : t → 0 et r → 1 ⇒ cette fois, l’onde incidente « perçoit » le
défaut, et se réfléchit totalement en x=0.

Pour m0 = ∞ , r = −1 ⇒ en notation réelle, on a pour n ∈ ¢ − :

un (t ) = A cos(ω t − kna ) − A cos(ωt + kna) = 2 A sin(ωt )sin( kna) ⇒ il y a apparition d’un système
d’ondes stationnaires, avec nœud de vibration en x=0 (grande inertie de l’atome impureté).

Pour m0 = 0 et ka → π (ou λ → 2a) , r → 1 ⇒ on a cette fois :

un (t ) = A cos(ω t − kna ) + A cos(ωt + kna) = 2 A cos(ω t )cos(kna ) ⇒ il y a également apparition
d’ondes stationnaires, mais avec un ventre de vibration en x=0.

Applications :
a) dans l’industrie, on peut citer le contrôle non destructif des matériaux (recherche
d’hétérogénéités, de défauts de structure dans les matériaux composites, de
vieillissement etc…) : les fréquences couramment utilisées vont de 0,8 à 15 MHz, et
l’on peut ainsi mettre en évidence des défauts de l’ordre de quelques centaines de
nanomètres (célérité de l’ordre de quelques milliers de mètres par seconde).
b) dans l’échographie à usage médical, les fréquences courantes vont de 1 à 5MHz, ce
qui permet d’obtenir des résolutions de ’lordre du millimètre (célérité d’environ 1500
mètres par seconde) ; en ophtalmologie, on peut monter jusqu’à 20 MHz.

Rq : les applications des ultrasons ne se limitent bien sûr pas au simple phénomène d’écho ;
compte-tenu des puissances sonores élevées qu l’on peut générer, on signalera la soudure par
ultrasons, le nettoyage par ultrasons, les thérapies médicales contre les tumeurs, les calculs…

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