Université Gaston Berger de Saint-Louis 2017/2018

UFR de Sciences Appliquées et de Technologie

L3 PA – L3 ETEL

Travaux Dirigés ONDES et VIBRATIONS

SERIE 2

Exercice 1 : Généralisation de la notion d’onde

1°) Caractériser une onde plane progressive harmonique. L’exprimer en notation complexe. A
quelle relation obéit-elle ?
2°) Une source ponctuelle, située à l’origine O des coordonnées, émet en un point M une onde
sphérique. Vérifier que cette onde satisfait l’équation de d’Alembert. Exprimer la relation de
dispersion. Commenter.
3°) On montre que la relation de dispersion des ondes de gravité à la surface de l’eau (i.e. les
2 1 - e -2kh
vagues), de longueur d’onde l est : w = gk où g est l’accélération de la pesanteur, h
1 + e - 2kh
la profondeur du fond et k = 2p l .
Calculer les vitesses de phase vf et de groupe vg dans les deux cas limites suivants :
h
a) ® ¥ (houle en haute mer) ;
l
h
b) ® 0 (vagues en eau peu profonde).
l

Exercice 2 : Vibrations d’une corde verticale fixée à une extrémité

Une corde verticale L et de masse linéique µ est fixée à son extrémité supérieure B, alors
que l’extrémité inférieure A est libre. La position d’un point sur la corde au repos est repérée
par son ordonnée z par rapport à un axe (Bz) descendant.
1°) La corde est à l’équilibre. Montrer que la tension de la corde au point M est
T(z ) = µg(L - z ) .
2°) La corde vibre. Montrer que la vibration transversale x(z, t ) dans un plan vertical vérifie
¶ 2x ¶ 2x ¶x
l’équation µ = µg(L - z ) - µg . On considèrera des vibrations de faible amplitude.
¶t 2 ¶z 2 ¶z
3°) Que devient cette équation si l’on prend en compte la force de frottement visqueux de
¶x
densité linéique - a e x exercée sur la corde ?
¶t
4°) On cherche une solution au voisinage du point de fixation (z << L). Montrer qu’une onde
progressive de représentation complexe x 0 exp(i(wt - kx)) , où w et k sont réels, ne peut se
propager que pour une certaine valeur de a , que l’on exprimera en fonction de µ , g et L
5°) Déterminer, dans les conditions de la question précédente, la vitesse de phase et la
vitesse de groupe. La propagation est-il dispersive ?
6°) On néglige le terme de frottement. On considère une solution de la forme x 0 exp(i(wt - kx))
, où k est un complexe, égal à k1 + ik 2 . Déterminer k 2 . Montrer que l’onde est amplifiée au
cours de la propagation.
7 ) Établir la relation de dispersion et montrer que la corde se comporte comme un filtre
passe-haut.
8°) Déterminer la relation entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe.

1
Exercice 3: Propagation le long de deux cordes S12014
Une corde de masse linéique l occupe au repos la partie négative de l’axe Ox et peut
présenter des mouvements transversaux de faible amplitude du fait d’une perturbation
extérieure. Elle est attachée en C (x=0) à une autre corde de masse linéique l’, occupant
la partie positive du même axe. Le point C coïncide avec l’origine O de l’axe quand les
cordes sont au repos. Elles sont tendues à leurs autres extrémités par deux forces
constantes de même module F et on définit la tension 𝑇 "⃗ au point M par la force qu’exerce
en celui-ci la partie droite de la corde sur la partie gauche. Enfin, on ne tient pas compte
de la pesanteur.
1) Établir l’équation de propagation d’une perturbation transversale pour la corde de
gauche.
2) Une onde incidente de la forme 𝑦% = 𝐴 𝑒𝑥𝑝[𝑗(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 )] en notation complexe se
propage sur la corde gauche (avec A réel) et subit au point C une réflexion et une
transmission toutes deux partielles.
a- Quelles sont les conditions de continuité à respecter en C ?
b- On prend les ondes réfléchie et transmise respectivement de la forme 𝑦5 =
9::
𝐴′ 𝑒𝑥𝑝[𝑗(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 )] et 𝑦8 = 𝐴′′ 𝑒𝑥𝑝[𝑗(𝜔𝑡 − 𝑘′′𝑥 )]. Justifier ces expressions et exprimer
9
=:
en fonction de 𝑟 = < =
>: >::
c- Déterminer les rapports et en fonction de r.
> >
""⃗ dont le module représente la puissance
3) On définit le long de la corde un vecteur Π
mécanique transportée par l’onde.
√=B EF C
""⃗@ =
a- Montrer que @Π D G de manière générale.
C E8
b- Définir les coefficients énergétiques de réflexion R et de transmission T de l’onde en
en C .Établir les expressions en fonction de r. De quelle façon se traduit la conservation de
l’énergie ?

Exercice 4 : Onde longitudinale dans un barreau solide

Un barreau cylindrique d’aluminium, de masse volumique r, de longueur l et de section
Dl 1 F
droite S, subit un allongement relatif = × sous l’effet d’une force F d’étirement dans
l E S
le sens de l’axe Ox du barreau ; la constance E est le module d’Young du métal. On
négligera les variations de la section du barreau. Lors du passage d’une onde acoustique,
l’élément du barreau compris entre les plans de section voisins d’abscisses x et x + dx se
déplacent respectivement de s(x,t) et s(x + dx, t) à l’instant t par rapport à leur position
d’équilibre ;
1°) Montrer que l’élongation s (x, t) obéit à une équation de propagation d’ondes du type
de d’Alembert. Calculer la célérité c de ces ondes dans le barreau d’aluminium pour lequel
r=2700Kg.m-3 et E=7,0.1010 Pa.
2°) Calculer dans le cas particulier d’une onde plane progressive acoustique d’amplitude
x
a0 : s( x, t ) = a 0 . cos w(t - )
c
a- la variation relative maximale dmax de volume de l’élément de barreau s(x, x+ dx,) entre les
instant 0 et t ;
b- la tension T(x, t) du barreau au niveau de sa section droite d’abscisse x, à l’instant t.

2
3°) Le barreau de longueur l, fixé à une de ses extrémités O, est libre à l’autre extrémité A.
On cherche une solution de l'équation sous la forme s( x, t ) = g( x). sin wt .
a- Déterminer la fonction g(x); on notera a l’amplitude de cette fonction spatiale.
b- Déterminer les fréquences propres du barreau en fonction de E, l, r et d’un entier N;

4°) Dans les conditions de la question 3 (extrémité O encastrée et extrémité A libre), le

son le plus grave émissible à une fréquence f0 = 2 KHz; déterminer dans ces conditions :
a- la longueur .l = OA du barreau cylindrique,
b- l’énergie cinétique moyenne Ec (t ) de ce barreau en fonction de sa masse M de la
vitesse maximale vmax d’un élément du barreau.

Exercice 5 : Ondes sonores dans un fluide S1 2014

On souhaite étudier l’isolation phonique produite par une vitre d’épaisseur e, d’aire S et
constitué d’un matériau de masse volumique rv soit l’atténuation sonore résultant de sa
traversée.
!
En notant P, r et v le champ de pression, la masse volumique du fluide et le champ des
vitesses en un point de l’air, on donne :
!
- l’équation dynamique ou équation d’Euler
¶v !
¶t
( !
) 1
+ v.grad v = - grad(P )
r
¶r !
- l’équation locale de conservation de la matière ou équation de continuité + div (rv ) = 0
¶t
HI HM
- l’équation d’évolution isentropique du fluide supposée adiabatique réversible H8 = 𝜌𝜒L H8
HN"⃗ EN
"⃗
""""""""""⃗ U𝑣⃗ la dérivée lagrangienne de la vitesse équivalente à
avec H8 = E8 + O𝑣⃗. 𝑔𝑟𝑎𝑑
l’accélération de la particule étudiée.
! !
En l’absence d’ondes sonores, on a : v = 0 , P = P0 , r = r 0 . En présence d’ondes sonores,
" !
on obtient : v ¹ 0, P = P0 + p , r = r 0 + µ , où p est la surpression acoustique et µ la
!
variation de masse volumique. v , p et µ ont en tout point du fluide une valeur moyenne
nulle et sont considérées comme des infiniment petits ainsi que leurs dérivées spatiales et
temporelles.
1) Énoncer les conditions et conséquences de l’approximation acoustique
2) Établir dans ce cadre les équations de couplage entre la vitesse de déplacement du
fluide et la surpression
3) On considère une onde sonore plane progressive harmonique de pulsation . En
rappeler la définition. Montrer que la surpression vérifie l’équation de propagation de
d’Alembert (unidimensionnelle). Déterminer la relation simple reliant la surpression et la
vitesse de déplacement du fluide faisant intervenir l’impédance acoustique du milieu, que
vous expliciterez.
4) Les vitesses de l’air associées respectivement à l’onde incidente, à l’onde réfléchie et à
l’onde transmise ont pour représentations complexes
𝑣V = 𝐴 𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 )]𝑒⃗X pour x < 0
"""⃗
𝑣5 = 𝐵 𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 )]𝑒⃗X pour x < 0
"""⃗
𝑣8 = 𝐶 𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝑘𝑒)]𝑒⃗X pour x > e
"""⃗
A, B et C à priori complexes
Déterminer la pression pour chacune des faces de la vitre en fonction de A, B, C r0 et Cs.

3
5) On considère que la vitre se comporte comme un solide (au sens mécanique). Elle est
donc indéformable, mais susceptible de se déplacer. En déduire, en considérant les
conditions aux limites, le rapport C/A.
6) Déterminer le coefficient de transmission en puissance T.
7) Étudier le comportement en fréquence de T. Déterminer en particulier l’atténuation en
décibels (dB) obtenue avec une vitre d’épaisseur e = 2 cm et de masse volumique
rv=2.103 kg.m-3 à une fréquence de 100 Hz, puis de 1 kHz. La masse volumique de l’air
est r0 = 1,3 kg.m-3 et la célérité du son Cs = 340 m.s-1.

NB : On rappelle la définition du coefficient de compressibilité isentropique de l’air (que l’on supposera

1 æ ¶V ö 1 æ ¶r ö
constant) : cS = - ç ÷ = ç ÷ . On néglige les effets de la pesanteur. De plus, l’air, supposé
V è ¶P ø S r è ¶P ø S
parfait est non visqueux. L’étude est menée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

Exercice 6 : Propagation dans une ligne electrique S12016

Partie 1 :
Dans un câble coaxial, les conducteurs (âme et gaine) possèdent une résistance. Nous pouvons leur
associer une résistance linéique de ligne notée r somme de la résistance linéique de la gaine et
l’âme. De même, l’isolant entre l’âme et la gaine n’est pas parfait et présente une conductance
linéique notée g.
1°) Proposer un schéma électrique équivalent à un élément de longueur dx de ligne. On introduira
l’inductance L et la capacité G linéiques de la ligne.
2°) En déduire les équations différentielles reliant l’intensité i(x, t) traversant l’âme et la différence
de potentiel v(x, t) entre l’âme et la gaine.
3°) En déduire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par i(x, t) ou v(x, t) appelée « équation des
télégraphistes ».
4°) a- A quelle condition sur r, g, L et G, l’équation des télégraphistes admet-elle une solution
æ xö x
particulière du type i( x, t ) = f ç t - ÷ exp(- ) où f est une fonction deux fois dérivable ?
è cø d
b- Quelles sont alors les expressions de c et d ?
c- Quelle interprétation peut-on donner à la forme de la solution proposée ?
d- Dans le cas où cette hypothèse est vérifiée, proposer la forme de la solution de l’équation
des télégraphistes.
5°) Dans le cas général où cette hypothèse n’est pas vérifiée,
a- chercher la forme d’une solution de type plane monochromatique (ou harmonique) en
notation complexe ;
b- montrer que cette solution se décompose sous la forme d’une onde se propageant avec
atténuation selon les x croissants et les x décroissants.
c- quelle vitesse peut-on associer à la propagation dans le sens des x croissants ? On donnera
une relation entre cette vitesse et w.
d- A quelle(s) condition(s) un signal non sinusoïdal peut-il se propager sans déformation ?
6°) Application : le câble étudié présente une impédance caractéristique de 50 M et l’amplitude
d’un signal électrique est atténué de 4 dB après avoir parcouru 100m de câble sans autre
déformation. Calculer la résistance linéique de ligne et la conductance linéique de l’isolant.
Partie 2 :
Soit l’équation des télégraphistes vérifiée par la tension ou l’intensité dans un câble coaxial
d’inductance linéique L, de capacité linéique G et présentant une résistance de ligne r et une
conductance de l’isolant linéique g s’écrivant sous la forme :

4
 ¶ 2y ¶ 2y ¶y
- LG 2 = rgy + (rG + gL )
¶x 2
¶t ¶t
1°) Déterminer la relation de dispersion pour une onde de courant de la forme
i = I0expj(wt-kx).
2°) A quelle condition y propagation
• sans atténuation
• sans dispersion
3°) Dans le cas où il n’y a pas de dispersion, calculer la vitesse de phase et la partie imaginaire de
k . Que peut-on en déduire si l’onde de courant n’est pas monochromatique ?

Exercice 7 : Onde electromagnétique S1 2010

On étudie une onde électromagnétique se propageant dans le vide, parallèlement à Ox, entre deux
plans parfaitement conducteurs d’équation (z = 0) et (z = a). Le champ électrique est de la forme :
npz
E = E0 sin( ) cos( wt - kx) e y avec n Î N*.
a
1°) a- Caractériser une onde électromagnétique se propageant dans le vide. Quelle serait
l’expression de son champ électrique dans le cas le plus général ?
b- Dans quelle direction l’onde décrite précédemment se propage-t-elle ? Comment est-elle
polarisée ?
2°) n = 1 pour l’onde proposée. Calculer k en fonction de w. Définir la vitesse de phase de l’onde et
la calculer.
3°) On superpose deux ondes du type précédent, de même amplitude, de pulsations voisines (
Dw Dw Dk Dk
w- ) et ( w + ), de vecteurs d’onde ( k - ) et ( k + ) ; (Dw << w). Calculer l’onde
2 2 2 2
résultante et la vitesse à laquelle se propage, suivant Ox, l’enveloppe du signal.
4°) Pour n ayant une valeur quelconque, calculer le champ magnétique, en ne conservant que la
partie variable dans le temps.
5°) a- Calculer l’énergie moyenne contenue dans le parallélépipède de base l’unité de surface
dans le plan Oxy et de hauteur a selon Oz.
b- Calculer le flux moyen du vecteur de Poynting à travers une surface perpendiculaire à Ox,
de largeur l’unité selon Oy et de hauteur a.
c- En déduire la vitesse de propagation de l’énergie. Commenter.

! a i ( wt -kr )
: x( r , t ) = e
r

1 ¶2 1 ¶ æ ¶f ö 1 ¶ 2f
Df = ( rf ) + ç sin q ÷ +
r ¶r 2 r 2 sin q ¶q è ¶q ø r 2 sin 2 q ¶j 2

¶ 2 Y 2 ¶Y 1 ¶ 2 Y cos q ¶Y 1 ¶ 2Y
DY = Ñ 2 Y = + + + +
¶r 2 r ¶r r 2 ¶q 2 r 2 ¶q r 2 sin q ¶j 2