Cours de : PHYSIQUE (Chapitre 8)

Classe : Tle C

Enseignant : M. Monkam Ybriss Joël.

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Email : ybrissjoelmonkam@yahoo.fr

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 CHAPITRE 8 : LES ONDES MECANIQUES.
Objectifs :
- Définir une onde et la caractériser.
- Décrire et interpréter le phénomène d’interférence mécanique.

1. Les signaux.
Définition.
Un signal ou ébranlement, est un mouvement périodique rapide pouvant se propager dans
des milieux matériels élastiques (milieu qui a la propriété de reprendre sa forme initiale
après avoir subit une déformation).
types de signaux.
On distingue trois types de signaux à savoir les signaux de torsion, les signaux
transversaux et les signaux longitudinaux, toute fois nous intéresserons au deux derniers.

Signaux transversaux.
Un signal transversal est un signal dans lequel la direction de déformation est
perpendiculaire à la direction de propagation du signal Ex : ébranlement le long d’une
corde ou à la surface d’un liquide.

DD

S
DS

DD

DD : Direction de déformation ; DS : Direction du signal.

DS

les signaux longitudinaux.

Un signal longitudinal est un signal dans le quel la direction de déformation est parallèle à
celle de propagation Ex : Le signal se propageant le long d’un ressort.

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 Remarque :
- La propagation d’un signal nécessite un milieu élastique.
- La propagation d’un signal se fait sans transfert de matière mais avec transfert
d’énergie, énergie fournie par la source du signal.
Les signaux qui se comportent ainsi sont appelés ondes mécaniques, ils se propagent à vitesse
constante appelé célérité (C). Si l’ébranlement met un temps θ pour atteindre un point N de la
corde (N situé à un distance x de la source S), la célérité est donnée par C= x/θ.

La célérité dépend du milieu de propagation et plus particulièrement de son élasticité et de son

inertie. Pour une corde sans raideur (corde inélastique), la célérité est donnée par la relation
C = √T/μ ou T(N) représente la tension de la corde et μ(kg/m) représente la masse linéique
ou linéaire de la corde.
Application : Déterminer la vitesse de propagation d’un signal sur une corde de longueur
30cm et de masse 5g sachant qu’à une de ses extrémité est accroché un objet de 100g.

2. Propagation d’une onde mécanique.

2.1 Définition :
Une onde mécanique est la propagation d’une perturbation dans un milieu élastique sans
transport de matière.
2.2 Propagation d’une onde le long d’une corde.
A l’extrémité (S) d’une corde, fixons la lame d’un vibreur, l’autre extrémité reposant sur un
tampon d’ouate (exemple l’éponge) pour éviter toute réflexion.

S M N

x
x’
vibreur

L’éclairage du dispositif à un instant donné t à l’aide d’un stroboscope réglé à la fréquence du

vibreur nous montre une corde immobile. Elle présente l’aspect d’une sinusoïde dont la
période est une longueur appelé longueur d’onde noté (λ) on parle de sinusoïde d’espace.
On appelle longueur d’onde la distance parcourue par l’onde pendant une période T.

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La représentation d’un point quelconque de la corde en fonction du temps montre une
sinusoïde de temps, de même amplitude que la sinusoïde espace.

On a donc la relation : C = λ/T ↔ λ = CT= C/f car f=1/T.

2.2.1 Equation de propagation d’une onde périodique sinusoïdale.

L’extrémité (S) de la corde étant fixé au vibreur leurs mouvements sont identiques.
L’équation de ce mouvement est de la forme Ys = asin(wt + ρ0). Si à l’instant initial la lame
du vibreur passe par sa position d’équilibre avec une vitesse positive, nous aurons.

(1) :Sinρ0 = 0 ↔ ρ0= 0 ou ρ0 = π (valeur à éliminer)

L’équation du mouvement de la source sera donc :

Ys(t) = asin(ωt)

Considérons un point M de la corde situé à une distance x de la source. Le mouvement de M à

l’instant t est identique à celui qu’avait la source à l’instant θ.
YM(t,x) = Ys(t-θ) = asin[ω(t-θ)] = asin[ωt-ωθ] or ω= 2π/T et θ = x/C d’où ωθ = 2πx/TC or
λ = TC d’où :

YM(t,x) = asin[ωt-2πx/ λ)].

L’équation de vibration de M est fonction de x et t, on parle de la double périodicité du

phénomène.

2.2.2 Etat vibratoire de deux points.

Considérons deux points M et N de la corde d’abscisses respectifs d1 et d2, l’équation de
chacun des point est donnée par :

YM(t,x) = asin[ωt-2πd1/ λ)].

YN(t,x) = asin[ωt-2πd2/ λ)].

A t = 0, ρ1 =2πd1/ λ, ρ2 =2πd2/ λ, La différence de phase entre les points M et N est donnée
par la relation
Δρ = ρ2 - ρ1 = 2πd2/ λ - 2πd1/ λ = 2π(d2 – d1)/λ.

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 Δρ = 2π(d2 – d1)/ λ.

 Si les deux points vibrent en phase, Δρ = ρ2 – ρ1 = 2π(d2 – d1)/ λ = 2kπ, où

(d2 – d1)= k λ (k Є Z).

 si les deux points vibrent en opposition de phase,

Δρ = ρ2 – ρ1 = 2π(d2 – d1)/ λ = (2k + 1)π

(d2 – d1)= (2k + 1) λ/2. (K Є Z).

 Si les deux points vibrent en quadrature,

Δρ = ρ2 – ρ1 = 2π(d2 – d1)/ λ = (2k + λ /2) =(2k+1)π/2

(d2 – d1)= (2k + 1) λ/4. (K Є Z).

Remarque :
 la différence d2 – d1 notée δ est appelé différence de marche.
 L’ordre d’interférence noté p est donné par p = δ/λ = d2 – d1 /λ.

 On appelle vecteur d’onde noté K un vecteur de même direction et de même sens

que la propagation, il est donné par la relation

K= 2πi/λ.

2.3 Propagation d’une onde à la surface d’un liquide.

A la surface libre d’un liquidé effleuré par une pointe fixé à une lame à un vibreur en un
point o, on observe en éclairage stroboscopique, des rides concentriques circulaires
centrées en o et équidistantes d’une longueur λ les une les autres.

3. Superposition des ondes progressives de faibles amplitudes : Interférence mécanique.

Définition.
On appelle interférence mécanique la superposition en un même point d‘un milieu
homogène de propagation de deux vibrations de même nature et de même période se
propageant en sen contraire. Pour obtenir ses interférences, les sources à l’origine de
deux ondes doivent être :
- Synchrones : Elles vibrent à la même fréquence (même période).

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 - Cohérentes : Leur différence de phase est constante.

Dispositif expérimental.
Le dispositif expérimental est une cuve à onde. Une fourche portant à ses extrémités deux
points symétriques S1 et S2 est adaptée au vibreur (source principale). Le mouvement du
vibreur est transmis aux deux sources S1 et S2 qui sont alors synchrones et cohérentes.

vibreur

S1 S2

Eau

Observation.
Le vibreur étant mis en mouvement, on observe à l’aide d’un stroboscope, des rides ayant
la forme d’arc hyperbolique, symétriques de foyers S1 et S2 : Ce sont des franges
d’interférences. Elles ne sont observables que dans une zone bien précise appelé champ
d’interférence.

On peut distinguer :
- les franges sombres, l’eau parait immobile.
- Les franges claires : L’eau est animée de mouvement vibratoire très rapide.
Remarque :
Les franges d’interférences disparaissent lorsque l’une des pointes cesse de toucher le
liquide.

Interprétation.
Principe de superposition.

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 Lorsque plusieurs ondes de faible amplitude se propagent dans la même direction, dans un
même milieu, l’élongation résultante est égale à la somme algébrique de chacune des
ondes. Considérons un point M du champ d’interférence précédent. Soit YS1 et YS2 les
élongations issus des sources S1 etS2. Ces élongations se superposent en M et l’élongation
résultante YM à l’instant t est la résultante de YS1 et YS2 tel que :

YM(t) = YS1M(t) +YS2M(t).

Supposons que des sources S1 et S2 partent des ondes dont les élongations sont
respectivement :
YS1(t) = asin(ωt + ρ1) et
YS1(t) = asin(ωt + ρ2).
Déterminons l’équation de vibration du point M situé à une distance d1 de S1 et d2 de S2,
sachant que M reproduit le mouvement de S1 avec un retard θ1 et celui de S2 avec un
retard θ2, on a :
On a : YM(t) = YS1M(t) + YS2M(t).or,

YS1M(t) = asin[ω(t - θ1) + ρ1] = asin[ωt - w θ1 + ρ1 ] = asin(ωt - 2πd1/λ + ρ1). (1) et

YS2M(t) = asin[ω(t – θ2) + ρ2] = asin[ωt - w θ2 + ρ2 ] = asin(ωt - 2πd2/λ + ρ2).(2).

D’après le théorème de fourrier, YM(t) est de la forme :
YM(t) = Asin(ωt + Φ).

Aux fonctions d’onde YS1M, YS2M et YM, associons les vecteurs de Fresnel :

a a A=?
OA1 OA2 OA
Φ1 = - 2πd1/λ + ρ1 Φ2 = - 2πd2/λ + ρ2 Φ=?

OA = OA1 + OA2.

A =?

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A = OA= OA12 + OA22+ 2OA1OA2cos(OA1,OA2) = a2 +a2 + 2a2cos(OA1,OA2)

OA = 2a2 +2a2cos(Φ1 – Φ2) = 2a2[1 + cos(Φ1 – Φ2)] or [1 + cos(Φ1 – Φ2)] = 2cos2 [(Φ1 – Φ2)/2] d’ou

OA = 4a2cos2[(Φ1 – Φ2)/2] = 2acos[1/2[(- 2πd1/λ + ρ1) – (- 2πd2/λ + ρ2)]],

A = 2acos[π/λ(d2 – d1) + ½( ρ1 – ρ2)]

A = 2acos[π/λ(d2 – d1) + ½( ρ1 – ρ2)]

Φ =? D’après la construction, Φ = Φ2 + ε or

Φ1 = Φ2 + 2ε ↔ ε = (Φ1 – Φ2)/2 d’ou Φ = Φ2 + (Φ1 – Φ2)/2, Φ = (Φ1 + Φ2)/2.

Φ = 1/2[- 2πd1/λ + ρ1 - 2πd2/λ + ρ2] = -π/λ(d1 + d2) + (ρ2 + ρ1)/2

Φ = -π/λ(d1 + d2) + (ρ2 + ρ1)/2

On a alors :

YM(t) = 2acos[π/λ(d2 – d1) + ½( ρ1 – ρ2)]sin[wt -π/λ(d1 + d2) + (ρ2 + ρ1)/2 ]

Les vibrations étant synchrones, (ρ1 – ρ2) =0, nous avons :

A =2acosπ/λ(d2 – d1).

États vibratoires des points.

 Points d’amplitudes maximales (franges claires).
Si M est un point d’amplitude maximale, nous avons :
cosπ/λ(d2 – d1) = ±1 ↔ π/λ(d2 – d1) = kπ ↔ (d2 – d1) =k λ avec kЄZ.

Un point situé dans le champ d’interférence est un point d’amplitude maximale ssi la
différence de marche δ = k λ ou ssi l’ordre d’interférence p = δ/λ = k avec k Є Z. Dans
ce cas on parle d’interférence constructive.

 Points d’amplitudes nulles (franges sombres).

Si M est un point d’amplitude nulle, nous avons :
cosπ/λ(d2 – d1) = 0 ↔ π/λ(d2 – d1) = (2k + 1)π/2

↔ (d2 – d1) = (2k + 1)λ/2 avec kЄZ.

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 Un point situé dans le champ d’interférence est au repos (amplitude nulle) si
δ = (d2 – d1) = (2k + 1)λ/2 ou encore si p= k+ ½.

Remarque :
Le nombre de point d’amplitude nulle ou d’amplitude maximale est limité car la différence
de marche est toujours comprise entre –S1S2≤ δ ≤ S1S2.

Nombre de point d’amplitude nulle et leurs positions.

δ = (2k + 1)λ/2 or –S1S2≤ δ ≤ S1S2.

–S1S2≤ (2k + 1)λ/2 ≤ S1S2.↔ –2S1S2/ λ ≤ (2k + 1) ≤ 2S1S2/ λ

↔ –2S1S2/ λ ≤ (2k + 1) ≤ 2S1S2/ λ ↔ –S1S2/ λ -1/2 ≤ k ≤ S1S2/ λ - ½.

A chaque valeur de k correspond un point d’amplitude nulle. Leurs positions sont obtenues en
résolvant le système :
S1M + S2M = S1S2
S2M – S1M = (2k + 1)λ/2

Nombre de point d’amplitude maximale et leurs positions.

δ = k λ or –S1S2≤ δ ≤ S1S2.
–S1S2≤ k λ ≤ S1S2. ↔ –S1S2/ λ ≤ k ≤ S1S2/ λ.

A chaque valeur de k correspond un point d’amplitude maximale. Leurs positions sont

obtenues en résolvant le système :
S1M + S2M = S1S2
S2M – S1M = k λ

Exercice d’application :
Un vibreur muni d’une fourche frappe la surface libre d’un liquide en deux points O1 et O2, le
vibreur est animé d’un mouvement sinusoïdal de fréquence 25Hz.la distance entre O1O2 est
d’= 72mm. Les ondes propagent à la surface du liquide avec une vitesse c= 50cm/s.
1- Qu’observe-t-on à la surface libre du liquide ?déduire la longueur d’onde λ de l’onde
crée entre les deux points.
2- Rappeler la condition pour qu’un point à la surface libre du liquide soit :
-sur une ligne de vibration maximale.
-Sur une ligne de vibration nulle.
3- En déduire l’état vibratoire d’un point F situé à 17cm de O2 et à 10cm de O1 et d’un
point D situé à 9cm de O2 et à 5cm de O1.
4- Déterminer le nombre et la position des points de vibration maximale entre O1O2, leur
position sera donnée à partir de O2.

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 4. les ondes stationnaires.
Définition.
Une onde stationnaire est un cas particulier d’interférence résultant de la
superposition de deux ondes progressives de même amplitude et de même fréquence,
se propageant en sens contraire dans un même milieu.

Expérience.
Considérons une longue corde dont l’une de extrémité est fixé la lame d’un vibreur et
l’autre, passant par la gorge d’une poulie, soutient des masses marquées.

En éclairage normal, lorsque le vibreur fonctionne, la corde vibre très rapidement en

présentant l’aspect de fuseau. Le nombre de fuseau variant avec la tension de la corde.
Les points immobiles qui constituent les extrémités des fuseaux sont appelées nœuds et,
les points qui vibrent avec l’amplitude maximale sont appelés ventres.

Remarque.
- L’onde stationnaire ne peut s’établir dans le cas d’une extrémité fixe que si la
longueur utile L de la corde est L = n λ/2, n étant le nombre de fuseaux observé.
- Il est possible de réaliser des ondes stationnaires en utilisant une corde dont
l’extrémité est libre.das ce cas, l’extrémité libre est un ventre et la longueur utile de la
corde est donnée par :

L = (2n + 1) λ/4.

Interprétation
La superposition d’une onde incidente et d’une onde réfléchie en un point M situé à la
distance x de l’extrémité permet d’établir l’équation de vibration de M tel que :

YM(t) = 2asin(2πx/λ)sin(ωt +π/2).

Points d’amplitudes maximales : ventres.

M est un point d’amplitude maximale ssi 2asin(2πx/λ) = ±2a donc sin(2πx/λ) = ±1

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 ↔ 2πx/λ = (2k + 1)π/2 ↔ x = (2k + 1)λ/4 avec kЄZ.

Points d’amplitudes nulles : nœuds.

M est un point d’amplitude nulle ssi sin(2πx/λ) = 0 ↔2πx/λ kπ ↔ x = k λ/2 avec kЄZ.

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