Lycée Jean Bart Physique-Chimie MP 2023 − 2024

TD n°11
Ondes électromagnétiques dans les milieux dispersifs
On prendra pour les applications numériques :
• masse de l’électron me = 9,1 × 10−31 kg
• charge élémentaire e = 1,6 × 10−19 C
• permittivité diélectrique du vide ε0 = 8,85 × 10−12 F · m−1

Exercice 1 : Ondes longitudinales dans un plasma

On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma peu dense de densité élec-
tronique complexe notée n0 , dans lequel la densité volumique de charge ρ est non nulle. Le champ
électromagnétique associé à cette onde est noté, en représentation complexe :
⃗ ⃗
E ⃗ 0 ei(ωt−k·⃗r)
⃗ =E et B ⃗ 0 ei(ωt−k·⃗r)
⃗ =B

1. Établir l’équation du mouvement d’un électron de masse me et de charge −e soumis au champ

électromagnétique. Justifier les approximations faites.
2. Définir alors une conductivité complexe γ pour le plasma.
3. En utilisant les équations de Maxwell et l’équation locale de conservation de la charge, établir
une nouvelle expression de γ en fonction de ω et ε0 .
4. Montrer que B ⃗ = ⃗0.
Astuce : Un vecteur est nul si son rotationnel et sa divergence sont nuls.
5. En déduire la position relative des vecteurs ⃗k et E.
⃗
6. Montrer que la pulsation ne peut prendre qu’une seule valeur.

Exercice 2 : Dispersion dans un plasma interstellaire

Un plasma interstellaire est constitué d’électrons de masse me et de charge −e, de nombre volumique
n0 et en mouvement non relativiste. Des ions sont également présents, mais sont supposés immobiles.
Ce plasma est localement neutre et le reste au passage d’une onde électromagnétique. Avec ces hy-
pothèses, on cherche des solutions des équations de Maxwell sous forme d’ondes planes progressives
monochromatiques (OPPM) de vecteur d’onde ⃗k et de pulsation ω :
⃗ ⃗
E(⃗ ⃗ 0 ei(k·⃗r−ωt)
⃗ r, t) = E et B(⃗ ⃗ 0 ei(k·⃗r−ωt)
⃗ r, t) = B

1. Montrer que de telles solutions n’existent que si la densité de courant ⃗j est elle-même une OPPM
i(⃗k·⃗
r−ωt)
de même vecteur d’onde et de même pulsation, c’est-à-dire de la forme : ⃗j(⃗r, t) = ⃗j e
0
.
2. Montrer que ⃗j est orthogonal à ⃗k.
Astuce : Interpréter la phrase "ce plasma est localement neutre et le reste au passage d’une onde
électromagnétique".
3. Écrire l’équation du mouvement d’un électron et montrer que l’effet du champ magnétique y est
négligeable. Montrer alors que les vecteurs ⃗j et E
⃗ sont colinéaires et déterminer la conductivité
γ du plasma. Commentaire ?

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4. À l’aide des équations de Maxwell, exprimer ⃗j en fonction de ω, ⃗k, E

⃗ et des constantes. En déduire
une nouvelle expression de γ.
5. Déterminer alors la relation de dispersion ω(k).
s
µ0 n0 e 2
6. En posant K = , établir les expressions des vitesses de phase vφ et de groupe vg des
me
ondes dans le plasma. Commentaire ?
Deux trains d’ondes, de longueurs d’onde respectives λ1 et λ2 > λ1 sont émis au même instant par un
objet stellaire situé à une distance L. On suppose K 2 λ21 ≪ 1 et K 2 λ22 ≪ 1.
7. Montrer que le terme principal dans la différence δt = t2 − t1 des temps de réception des deux
ondes est donné par :
L K2 2
δt = (λ − λ21 )
8π 2 c 2
8. Des mesures de dispersion à partir de signaux émis par des pulsars dont la distance est connue
donnent n0 = 2,8 × 104 m−3 . Calculer δt dans ces conditions, pour deux signaux de longueurs
d’onde λ1 = 0,4 µm et λ2 = 0,8 µm, émis par une étoile située à L = 1 × 103 années lumières.

Exercice 3 : Bilan énergétique pour une OPPM dans un plasma

Un plasma est constitué d’une part d’électrons de masse me , de charge −e et de densité particulaire n,
et d’autre part d’ions positifs quasiment immobiles du fait de leur masse très grande devant celle des
électrons. Ce plasma reste localement neutre, de sorte que ρ = 0 mais il peut exister un vecteur densité
de courant électrique ⃗j non nul. La conductivité complexe du plasma est notée :

ωp2
γ = −iε0
ω
s
ne2
avec ωp = la pulsation plasma. On étudie la propagation d’une onde EM associée au champ
ε0 m e
électrique :
⃗ = E0 exp[i(ωt − kz)]⃗ux
E
ω2
!
ω2
en se placant dans le cas où ω > ωp . La relation de dispersion du plasma est : k = 2 1 − p2 .
2
c ω
1. Déterminer le champ magnétique B ⃗ instantané.
⃗ associé puis calculer le vecteur de Poynting Π
2. Exprimer la densité volumique d’énergie uem (t) de cette onde.
3. Exprimer la densité volumique de puissance Pv,cedee cédée au plasma.
De manière générale, un bilan de puissance pour le champ électromagnétique en interaction avec la
matière se traduit par l’équation locale de Poynting :
∂uem ⃗ + ⃗j · E
+ divΠ ⃗ =0
∂t

4. Attribuer un sens à chacun de ces termes et vérifier cette égalité dans le cas du plasma.

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Exercice 4 : Réflexion-transmission à la surface d’un plasma

Un plasma occupe le demi-espace x > 0. On rappelle qu’une OPPH électromagnétique de vecteur d’onde
⃗k = k⃗ux peut se propager dans ce milieu à condition que la composante k soit reliée à la pulsation ω
par la relation de dispersion (ωp étant la pulsation plasma) :

ω 2 − ωp2
k =
2
c2
Le demi-espace x < 0 est le vide. Une OPPH polarisée rectilignement, appelée onde incidente (Oi ), se
propage dans cet espace en direction du plasma. L’interface x = 0 donne naissance à une onde réflechie
(Or ) et à une onde transmise (Ot ). Les champs électriques associés à ces ondes sont :


 ⃗ i = E0 exp[i(ki x − ωt)]⃗uy
E

⃗ = r E0 exp[−i(kr x + ωt)]⃗uy
E
 r
⃗ t = t E0 exp[i(k x − ωt)]⃗uy
 E


où r et t sont respectivement les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude. On définit

ck
l’indice complexe du plasma par n =
ω
1. Donner les expression de ki et de kr en fontion de ω.
Astuce : dans quel milieu se propagent les ondes incidentes et réfléchies ?
2. Déterminer les champs magnétiques B ⃗ i, B
⃗ r et B
⃗ t associés aux trois ondes.
Il n’y a aucune charge ni aucun courant à la surface du plasma. Cela signifie que les champs électrique
et magnétique sont continus à l’interface.
3. Écrire les relations de continuité en x = 0 et en déduire deux relations liant r et t.
Astuce : Quels sont les champs présents à gauche ? à droite ?
4. En déduire les expressions de r et t en fonction de n.
5. Déterminer les valeurs moyennes ⟨Π ⃗ i (x = 0)⟩, ⟨Π⃗ r (x = 0)⟩ et ⟨Π
⃗ t (x = 0)⟩ des vecteurs de Poynting
en x = 0. Les exprimer en fonction de |r|2 , |t|2 et n′ = Re(n).
On définit les coefficients de réflexion et de transmission en énergie par :

⃗ r (x = 0)⟩∥
∥⟨Π ⃗ t (x = 0)⟩∥
∥⟨Π
R= et T =
⃗ i (x = 0)⟩∥
∥⟨Π ⃗ i (x = 0)⟩∥
∥⟨Π
6. Calculer R et T en fonction de ω et ω0 dans les deux cas ω > ωp et ω < ωp .
7. Que peut-on dire de R + T dans les deux cas ?

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Exercice 5 : Propagation dans un milieu isolant dilué

On se propose d’étudier le modèle simplifié de la propagation d’une onde dans un milieu isolant dilué.
On s’intéresse pour cela au mouvement des électrons, dont le nombre par unité de volume est noté n0 .

Le champ électrique associé à cette onde est polarisé rectilignement selon ⃗ux et se propage dans la
direction de ⃗uz :
⃗ = E ⃗ux = E0 ei(ωt−kz) ⃗ux
E
Sous l’action de ce champ électrique, les électrons ont un mouvement qui lui est colinéaire, caractérisé
par l’équation différentielle :
d2 x dx
me 2 = −κ x − f − eE
dt dt
avec x le déplacement de l’électron, κ et f des constantes du modèle. On pose :

κ me n0 e2
ω02 = , τ= , ωp2 =
me f ε0 me

1. Comparer l’équation différentielle à celle du modèle du plasma peu dense du cours. Quels sont
les termes supplémentaires ? Que représentent-ils ?
i(ωt−kz)
2. Chercher la solution correspondant au régime forcé sous la forme x(z, t) = x0 e .
3. En déduire la densité volumique de courant ⃗j. Montrer que la densité volumique de charge est
nulle.
4. À partir des équations de Maxwell, établir une équation aux dérivées partielles liant E ⃗ et ⃗j.
5. Déterminer alors la relation de dispersion du milieu.
Cette relation de dispersion indique que le vecteur d’onde est complexe, noté k = k ′ − i k ′′ .
6. Donner l’expression du champ électrique. Quel phénomène traduit le fait que k est complexe ?
Dans la suite, on suppose que f = 0 et que ω0 ≫ ω. L’indice du milieu pour la pulsation ω est défini
c
par la relation vφ = avec vφ la vitesse de phase.
n
B
7. Bonus Retrouver la loi de Cauchy : n = A + 2 , donnant l’indice du milieu en fonction de la lon-
λ
gueur d’onde dans le vide d’une onde de pulsation ω. A et B sont des constantes caractéristiques
du milieu, à exprimer en fonction de ω0 , ωp et c.