Université NAZI BONI Année Universitaire 2016-2017

UFR/ST
Master Matériaux & Applications

TD 1 de Physique de l’état solide solide 2

Exercice n°1
On considère un segment de longueur L le long duquel les électrons sont susceptibles de se mouvoir librement (V = 0). A
l’extérieur de ce segment leur énergie potentielle V est infinie (V = ∞ pour x ≥ L et x ≤ 0)

1) Quelle est la forme générale des solutions de l’équation de Schrödinger ? Précisera ces solutions dans le cas de
conditions aux limites fixes. Représenter l’allure des 3 premières fonctions d’onde.
2) En déduire la quantification des niveaux d’énergie (cinétique) autorisés. Quelles est l’expression littérale des trois
premiers niveaux d’énergie distincts soit E1, E2 et E3.
3) Application au cas de l’atome : L = 3 A
Valeurs numérique prises par E1 E2 et E3. L’atome a 2 électrons (supposés libres), quelle énergie minimale doit-on
communiquer à l’un de ces électrons pour le faire passer de l’état fondamental au premier niveau excité
4) Application au cas d’une molécule L = 15 A.
Même question qu’en 3) concernant E1, E2 et E3
La formule de la molécule pourrait être.

Dans laquelle le symbole représente l’existence d’électron π susceptible de se propager librement le long de la
molécule. Quelle énergie minimale faut-il communiquer à un de ces électrons pour le faire passer de l’état
fondamental à l’état excité
5) A application au cas d’un métal = 3 mm.
Même question qu’en 3) concernant E1, E2 et E3
La rangée est constituée d’atomes identiques et divalent (2 e-/atome) équidistants de a = 3A.
Combien de niveau d’énergie sont occupés dans l’état fondamental. Quelle est l’énergie EF du dernier niveau
occupé ?
Représenter la courbe de dispersion des électrons libres dans le cas des conditions aux limites fixes. Evaluer
numériquement kF et EF ainsi que l’énergie minimale δ E permettant de faire passer un électron du dernier niveau
fondamental au premier état excité

ℏ2
= 3,8 eV.A 2
2m
Exercice n°2
On considère un électron de masse m soumis à une énergie potentielle nulle à l’intérieur d’un parallélépipède rectangle de
cotés a, b, c et ayant un de ses sommets en 0 et un autre au point M de coordonnées a,
b, c. La fonction potentielle es t infinie à l’extérieur de la boite rectangulaire.
1) A quelle équation différentielle obéit la fonction d’onde de la particule ?
2) On cherche à résoudre cette équation par des solutions à variables
séparées du type
φ ( x, y, z ) = φx ( x ).φy ( y ).φz ( z )

Montrer que l’équation du 1°) se met sous la forme

1
 2
1 ∂ 2φx 1 ∂ φy 1 ∂ 2φz 2m
2
+ 2
+ 2
= 2 E et qu’il suffit de résoudre les équations :
φx ∂x φ y ∂y φz ∂z ℏ

d 2φx 2
d 2φy d 2φz
+ k φ
x x = 0 , + k 2
φ
y y = 0 , + k z2φz = 0
dx 2 dy 2 dz 2
2m
avec k x2 + k y2 + k z2 = E
ℏ2
3) Intégrer les équations différentielles précédentes.
4) Montrer que les conditions aux limites sur les paris de la cavité imposent des solutions du type

n π   nyπ  n π 
φx = Asin  x x , φy = Bsin  y , φz = Csin  z z 
 a   b   c 

dans lesquelles les nombres quantiques nx, ny, nz sont des nombres entiers > 0
En déduire l’expression complète de la fonction d’onde résultante.
5) Calculer les valeurs quantifiées de l’énergie totale E en fonction de nx, ny, nz et des dimensions de la cavité.
6) Dans l’hypothèse où la cavité est cubique (a = b = c = L).
a) trouver toutes les fonctions d’onde pour les trois premiers niveaux d’énergie distincts,
b) donner l’expression de l’énergie pour chaque niveau,
c) exprimer la dégénérescence de chaque niveau –c'est-à-dire le nombre de fonction d’onde indépendantes ayant
la même énergie-négligez l’existence du spin dans cette énumération.

Exercice 3
On considère un métal indéfini à l’intérieur duquel on se propose d’étudier les états des électrons susceptibles de se
propager librement en utilisant les conditions aux limites périodiques (de périodicité a suivant Ox, b suivant Oy, c suivant
Oz).
1) 2) Reprendre les questions correspondantes de l’exercice précédent.
3) A partir des solutions de l’équation de Schrödinger, montrer que les conditions aux limites périodiques imposent la
quantification de l’énergie totale des électrons. Donner l’expression de ces valeurs en fonction de nombres
quantiques tels que nx, ny, nz et de a, b, c
Etablir l’expression de la fonction d’onde résultante.
4) Dans l’hypothèse ou a = b = c = L
a) Donner l’expression des fonctions d’onde pour les 3 premiers niveaux d’énergie distincts,
b) Donner l’expression de l’énergie pour chaque niveau,
c) Exprimer (en négligeant le spin) la dégénérescence de chaque niveau
5) En se limitant pour plus de clarté à un espace à 2 dimensions, représenter dans l’espace des phases la distribution
des cellules imposées par les conditions aux limites périodiques et à titre de de comparaison celles qui sont imposés
par les conditions aux limites fixes.