Physique

ELECTROMAGNETISME – MECANIQUE
PROBLEME

- PROBLEME D’ ELECTROMAGNETISME 1 -

• ENONCE : « Propulsion par voile solaire »

DONNEES :
♦ vitesse de la lumière dans le vide : c = 3.108 m.s −1
♦ cste universelle de la gravitation : G = 6,67.1011 u.s.i
♦ masse du Soleil : M S = 1,99.1030 kg
♦ 1 an = 3,16.107 s
♦ 1 U.A = 1,5.1011 m = 1 unité astronomique = rayon de la trajectoire circulaire que
décrirait, avec une période de un an, une planète de masse très inférieure à celle du
Soleil, sous l’effet de la seule force de gravitation.
♦ Rayons des orbites de quelques planètes du système solaire :
Mercure : 0,39 U.A ; Vénus : 0,72 U.A ; Terre : 1,00 U.A ; Mars : 1,52 U.A
Jupiter : 5,20 U.A

I. Pression de radiation
r
1.1) Ecrire les équations de Maxwell qui régissent les champs électrique E ( M , t ) et
r
magnétique B( M , t ) dans le vide, en présence de charges et de courants, en précisant
brièvement leur signification physique.
1.2) On envisage un milieu conducteur homogène et isotrope parfait, c’est-à-dire de
conductivité infinie ; des champs électrique et magnétique, non stationnaires, peuvent-ils exister
dans un tel milieu ? On justifiera les réponses données à partir des équations fondamentales.
1.3) Rappeler les équations de passage des champs électrique et magnétique à une
interface entre un milieu conducteur parfait et le vide.
1.4) Quelle est la définition d’une onde électromagnétique plane, progressive,
monochromatique (O.E.P.P.M) ? Préciser, sans démonstration, la structure et les caractéristiques
r
essentielles d’une telle onde se propageant dans le vide (pulsation ω et vecteur d’onde
k ).
1.5) On envisage la réflexion, sous incidence oblique, d’angle d’incidence i , d’une
r
O.E.P.P.M, de pulsation ω et vecteur d’onde ki , polarisée rectilignement perpendiculairement au
plan d’incidence, sur une interface plane ( P0 ) vide/conducteur parfait :
r
ki
i ( P0 ) r notera E 0 l'amplitude du champ électrique
On
vide z Ei (M , t ) de cette onde.
P y Par ailleurs, ( P0 ) est le plan Pyz.
conducteur

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1.5.1) Ecrire, en représentation complexe, les champs électrique et magnétique

de l’onde incidente, sur la base (x,y,z) ; on adoptera la convention :
cos ωt = ℜ{exp( − jωt )} .
1.5.2) Justifier l’existence et les caractéristiques de l’onde réfléchie (supposée
r
être une O.E.P.P.M) ; on déterminera successivement sa pulsation, son vecteur d’onde kr
r r
et on écrira, en représentation complexe, les champs Er ( M , t ) et Br (M , t ) .
1.5.3) Exprimer les charges surfaciques σ ( P, t) et les courants surfaciques
r
j S ( P, t) , se développant en tout point P de la surface du conducteur éclairée par l’onde
incidente.
1.5.4) En déduire la force résultante s’exerçant par unité de surface du
r
dF
conducteur, soit ( P, t) .
dS
1.5.5) Calculer les valeurs moyennes temporelles de l’énergie électromagnétique
r
volumique de l’onde incidente wi (M , t ) t
et de son vecteur de Poynting Π i ( M , t ) t , en
fonction de E0 .
r
1.5.6) Déterminer, enfin, la « pression de radiation » p M , définie comme la
r
dF
valeur moyenne temporelle de la forc e ( P, t) , en fonction de E0 et de l’angle
dS
d’incidence i .
1.6) Reprendre l’ensemble des questions 1.5) pour une O.E.P.P.M de même pulsation ω ,
polarisée rectilignement dans le plan d’incidence, pour un même angle d’incidence, sur une
interface de même nature. On démontrera que la pression de radiation s’exerçant sur le
conducteur a, pour les deux polarisations étudiées, la même expression.
1.7) La Terre, située en moyenne à la distance de 1 U.A du Soleil, reçoit une puissance
de rayonnement solaire par unité de surface de 0,15 W .cm −2 ; on suppose que l’émission solaire
se fait de manière isotrope, sous forme d’ondes sphériques et on néglige l’absorption du
rayonnement solaire.
1.7.1) Indiquer comment varie la puissance reçue par unité de surface avec la
distance r de la source au récepteur et calculer littéralement puis numériquement la puissance
totale PS émise par le Soleil sous forme de rayonnement électromagnétique.
1.7.2) Justifier l’approximation locale de l’onde sphérique en onde plane, tant sur
son terme d’amplitude que sur son terme de phase, pour une dimension maximum d du
récepteur très inférieure à r , distance source/récepteur.
1.7.3) Exprimer la pression de radiation solaire à laquelle est soumis un récepteur
de petites dimensions, parfaitement réfléchissant et recevant le rayonnement sous l’angle
d’incidence i ; on exprimera la pression en fonction de PS , r et i .
1.8) Application 1 : justification du sens de courbure de la queue de certaines comètes

r M
On consid ère une particule matérielle sphérique,
O u0 r
parfaitement réfléchissante, de centre M et de
centre du uuuur r rayon a, de masse volumique µ , se trouvant à
Soleil OM = ru0 la distance r du Soleil ( r ? a )

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r
1.8.1) Calculer la valeur moyenne FR de la force due au rayonnement solaire que
subit la particule ; on exprimera le résultat en fonction de E0 ( r ) et a , puis en fonction de
PS , a et r .
r
1.8.2) Calculer la force de gravitation FG qu’exerce le Soleil sur la particule.
r r
1.8.3) A partir de quelle valeur a0 du rayon de la particule a-t-on FR ≥ FG ?

Application numérique : calculer a0 pour µ = 1g .cm −3 .

1.8.4) L’observation astronomique de la queue de certaines comètes a mis en
évidence leur répulsion par le Soleil : justifier, à partir du résultat précédent, le qualificatif qui
leur a été donné de « poussiéreuses ».

II. Navigation à voile solaire

• On considère un véhicule spatial de centre de masse C et de masse totale m , qui évolue dans
r
l’espace sous l’action de la force de gravitation solaire FG et de la force due au rayonnement
r
solaire FR , s’exerçant sur une voile solaire plane de surface S, solidaire de l’engin et recevant le
rayonnement sous un angle d’incidence i supposé constant.
• Le point O désigne le centre du Soleil, origine du référentiel galiléen dans lequel on étudie le
uuur r
mouvement du véhicule ; on pose en outre OC = rer , et PS désigne toujours la puissance totale
du rayonnement solaire.
r
eθ r
n On admettra que le mouvement du point C
r s'effectue dans un plan (P) passant par O,
er
r au référentiel galiléen, et
fixe par rapport
i C que le vecteur n normal à la voile ne cesse
r d'appartenir à ce plan.
voile solaire
+ Ox désigne un axe polaire choisi de façon
arbitraire dans le plan (P), et permet
θ d'effectuer un repérage polaire du point C.
O x

r r
2.1) Donner les expressions des vecteurs vitesse v et accélération a du point C en
coordonnées polaires.
r A r B r
a = 2 er + 2 eθ
2.2) Montrer que l’accélération du point C s’écrit :
r r
Expliciter les coefficients A et B en fonction de G , M S , PS ,S ,c ,m et i , et écrire les équations
différentielles en r et en θ du mouvement du point C.

r r
• Dans toute la suite du problème, on étudie le cas particulier où l’angle ( er, v) = ϕ reste constant
au cours du mouvement du véhicule ; on pose λ = tan ϕ .
• On se propose de vérifier que ce cas particulier est solution des équations écrites en 2.2), pour
des conditions initiales particulières, et de rechercher les équations polaires des trajectoires
correspondantes.

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2.3) Etablir l’équation différentielle en r du mouvement ; montrer qu’elle s’écrit :

2
d r (t )
r"= 2
= br −2 , où b est un coefficient constant qu l’on déterminera en fonction de A, B, λ .
dt
On supposera que b est négatif, hypothèse que l’on vérifiera numériquement par la suite.
Intégrer cette équation différentielle en faisant le choix des conditions initiales suivantes :

dr − 2b
r '(0) = (0) = et r (0) = r0
dt r (0)
En déduire la solution r (t ) sous la forme : r (t ) = r0 (1 + α t ) β
Trouver la valeur numérique de β et l’expression littérale de α en fonction de b et r0 ;
commenter le signe de α.
2.4) En déduire la solution θ (t ) correspondante ; on choisira θ (0) = 0 , ce qui revient à
uuuur
positionner l’axe polaire Ox dans le plan (P) selon le vecteur OC0 , où C0 est la position initiale
du point C .
2.5) Etablir l’équation polaire r (θ ) de la trajectoire du point C et identifier la courbe ( Γ )
correspondante.
2.6) Exprimer les coefficients A et B en fonction de r0 , a et λ , puis les composantes
r
radiale et orthoradiale de v en fonction de B, λ et r ; discuter les signes possibles des
coefficients A, B et α en fonction du signe de λ .
2.7) Déterminer la valeur absolue i0 de l’angle d’incidence i , encore appelé « angle de
présentation » de la voile, pour laquelle la composante orthoradiale de l’accélération est
maximum en valeur absolue ; calculer numériquement i0 : on adoptera cette valeur dans toute
la suite du problème, pour les applications numériques.

• On souhaite, pour mener la fin de cette étude, adopter les unités adaptées aux problèmes de
mécanique spatiale :
♦ longueurs en unités astronomiques (U.A)
♦ temps en années
2.8) On appelle a0 (r ) la valeur absolue du terme d’accélération gravitationnelle du Soleil
à la distance r , et on introduit les deux coefficients sans dimension R et T tels que :
ar ( r ) = −a0 ( r ) × (1 − R ) et aθ ( r ) = a0 (r ) × T
Exprimer a0 (r ) dans le système d’unités (U.A, années), puis A et B , dans ce même système, en
fonction de R et T ; indiquer les limites de variation de R .

• La voile solaire est un film de terphane aluminisé de masse surfacique uniforme µe = 5,6 g.m−2
et de surface S = 2,68.105 m2 ; la masse de la voile constitue 40% de la masse totale m du
véhicule spatial.
2.9) Calculer numériquement la force de pression de radiation FR sur la voile, ainsi que
la force de gravitation solaire FG sur le véhicule, à la distance de 1 U.A du Soleil.

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2.10) Calculer numériquement les coefficients R et T , pour la valeur i0 de l’angle de

présentation.
A l’aide des expressions de A et B obtenues en 2.6), et en faisant, à priori, l’hypothèse λ ? 1 ,
2

écrire une relation approchée simple entre A, B et λ , puis entre R, T et λ ; en déduire une
relation entre R, T ,α et r0 .
Calculer numériquement λ et l’angle ϕ , puis le coefficient α en ( années ) −1 , pour r0 = 1 U .A .
Vérifier, à posteriori, l’hypothèse faite sur λ, ainsi que le signe de la constante b.
2.11) L’ensemble des résultats précédents permet d’exprimer les composantes vr ( r ) et
vθ ( r ) de la vitesse du véhicule en fonction des coefficients R et λ et de la vitesse v0 ( r ) qu’aurait
le véhicule sur une orbite circulaire de rayon r autour du Soleil, décrite d’un mouvement
uniforme sous la seule force de gravitation. Etablir les relations correspondantes.

• On suppose que le point de départ du véhicule spatial est à la distance r1 du centre O du Soleil
et que sa destination est à la distance r2 .
r r r
2.12) Etablir l’expression de « l’excédent » de vitesse au départ w1 = v (r1 ) − v0 ( r1) en
r r r
fonction de v0 ( r1 ), R et λ ; écrire de même w2 = v ( r2 ) − v0 ( r2 ) à l’arrivée en fonction de
r r
w1 w2
v0 (r2 ), R et λ . On calculera numériquement les rapports et .
v0 (r1 ) v0 ( r2 )

• On se propose de comparer les valeurs précédentes à celles nécessaires à un transfert de

Hohman « classique » correspondant à la figure ci-dessous :

orbite circulaire haute

(rayon r2 )

Le véhicule est en orbite basse autour

orbite circulaire du Soleil de rayon r1 ; il est transféré
basse sur une orbite circulaire haute de
(rayon r1 ) rayon r2 en décrivant une demi-
P A ellipse dite "ellipse de transfert".
O Ce transfert requiert une première
variation de vitesse au périhélie P de
l'ellipse et une deuxième variation à
l'aphélie A.

ellipse de transfert

2.13) On pose :
r r r r
w1 ' = v '( r1 ) − v0 ( r1) , avec v '(r1 ) = vitesse du véhicule sur l’orbite elliptique au point P
r r r r
w2 ' = v0 ( r2 ) − v '(r2 ) , avec v '( r2 ) = vitesse du véhicule sur l’orbite elliptique au point A
r r r r
Exprimer w1 ' et w2 ' en fonction de v0 ( r1 ), v0 ( r2 ), r1 et r2 .

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r r
w1 ' w2 '
Calculer numériquement et pour un transfert Terre-Jupiter.
v0 (r1 ) v0 ( r2 )
• On souhaite enfin comparer, du point de vue des durées de transfert, les trajectoires planes
( Γ ) déterminées à la question 2.5) d’un véhicule partant de la Terre (soit pour r0 = 1 U .A ),
résultant d’une propulsion avec voile solaire, au transfert de Hohman classique.
2.14) Etablir, dans le système (U.A, années), l’expression littérale de la durée de
transfert T1→2 sur la courbe ( Γ ) de la valeur r1 à la valeur r2 .

Etablir l’expression de la durée de transfert de Hohman T '1→ 2 , en années, en fonction de r1 et r2

exprimés en U.A.
Effectuer les applications numériques correspondantes pour le transfert Terre-Jupiter.
2.15) Dresser un tableau comparé des durées des deux types de transfert pour les
planètes intérieures du système solaire (Vénus et Mercure), et pour la planète extérieure la plus
proche de la Terre (Mars) ; commenter ces résultats.

**************

D’après le concours I.E.N.A.C 96 , épreuve optionnelle P’

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• CORRIGE : « Propulsion par voile solaire »

r
1.1) ♦ divE = ρ / ε 0 (Maxwell-Gauss : relie le champ électrique à ses sources, les charges ; il
existe des « pôles » électriques)
uuur r r
♦ rotE = −∂B / ∂t (Maxwell-Faraday : les variations temporelles d’un champ magnétique
sont sources de champ électrique, au même titre que des charges ; la circulation du champ
électrique induit n’est pas conservative)
r
♦ divB = 0 (Maxwell-flux : le champ magnétique est à flux conservatif, il n’existe pas de
monopôle magnétique)
uuur r r r
♦ rotB = µ 0 ( j + ε 0∂E / ∂t) (Maxwell-Ampère : les variations temporelles d’un champ
électrique sont source de champ magnétique, au même titre que les courants de conduction ; le
r
terme ε 0∂E / ∂t est appelé « courant de déplacement »)
r r
1.2) Dans un conducteur ohmique, la forme locale de la loi d’Ohm s’écrit : j = γ E ⇒ les
r r
courants devant rester finis, E → 0 lorsque γ → ∞ ; l’équation de Maxwell-Faraday montre
qu’un champ magnétique non stationnaire ne peut exister dans un conducteur ohmique parfait.

r
1.3) Le vide sera le milieu (2), et le conducteur parfait le milieu (1) ; n1→2 est la normale
orientée du milieu (1) vers le milieu (2), et P est un point quelconque de l’interface ; en tenant
r r r
compte de E1( P, t ) = B1 ( P, t ) = 0 , il vient :
♦ continuité du champ électrique tangentiel : E2T ( P, t ) = 0
♦ continuité du champ magnétique normal : B2 N ( P, t ) = 0
♦ discontinuité du champ électrique normal : E2 N ( P, t ) = σ / ε 0
r r r
♦ discontinuité du champ magnétique tangentiel : B2T = µ 0 jS ∧ n1→2
−2
r −1
( σ , en C.m , = charge surfacique ; j S , en A.m , = courant surfacique)
1.4) Une onde est un phénomène physique représenté par des grandeurs mathématiques
scalaires ou vectorielles (ici, les champs électrique et magnétique) qui doivent dépendre de
l’espace et du temps ; l’onde est plane si l’amplitude des champs est, à tout instant, égale en
tout point de plans parallèles appelés « plans d’onde » ; enfin, l’onde est plane, progressive et
monochromatique si la dépendance spatiale et temporelle de ses champs est entièrement
r r r uuuur
contenue dans un terme de phase de la forme : ϕ ( M , t ) = k ⋅ r − ωt , avec r = OM .
r r r
• Dans le vide, l’O.E.P.P.M est transverse électrique et magnétique, et les vecteurs k ,E , B
r r
r k r r ω r E
forment un trièdre direct : B = ∧ E ; en outre : k = ⇒ B =
ω c c
1.5.1) Le champ électrique, perpendiculaire au plan d’incidence Pxy, s’écrit :
r r r r
E i (M , t ) = E0 exp[ j ( ki ⋅ r ) − ωt ]ez
r
r ki r r E r r r E r r r
Puis : Bi = ∧ Ei ⇒ Bi (M , t ) = 0 sin i × exp[ j ( ki ⋅ r ) − ωt ]ex − 0 cos i × exp[ j ( ki ⋅ r ) − ωt ]ey
ω c c

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1.5.2) Les relations de passage en x=0 ne peuvent être satisfaites par les seuls champs
incidents (par exemple, le champ électrique incident, qui est purement tangentiel, n’est pas nul)
⇒ il existe nécessairement des champs réfléchis.
• Les relations de passage devant être vérifiées, en x=0, quels que soient y,z et t, l’onde
réfléchie a la même dépendance spatiale et temporelle que l’onde incidente (égalité du terme de
r r ω
phase) ; il vient alors : ωr =ω i =ω ⇒ k r = ki = k = (propagation dans le vide)
c
• D’autre part : k ry × y + krz × z = kiy × y + kiz × z , ∀y et z ⇒ k ry = k iy = k sini et k rz = kiz = 0
− k cos i
r
⇒ k rx = ± k − k sin i = −k cos i (l’onde réfléchie « fuit » le conducteur) ⇒ k r = k sin i
2 2 2

0
r r σ r r r r r
• Enfin : E r + E i = ( −ex ) montre que Eor = − E0 ⇒ E r ( M , t ) = − E0 exp[ j ( kr ⋅ r ) − ωt ]ez
ε0
r r
Rq : le champ Er ne peut avoir de composante selon ex (ce qui ne serait pas interdit par la
r r
relation de passage), car, dans le vide, ce champ doit vérifier : k r ⋅ Er = 0 ⇒ k rx × Erx = 0 .

• On peut alors accéder au champ magnétique réfléchi :

r
r kr r E r r r E r r r
B r = ∧ E r = − 0 sin i × exp[ j ( kr ⋅ r ) − ωt ]ex − 0 cos i × exp[ j ( kr ⋅ r ) − ωt ]e y
ω c c
1.5.3) Les champs électriques incident et réfléchi n’ayant pas de composantes selon x, la
relation de passage impose que : σ ( P, t ) = 0
r r r r r
(B )
2 E cos i
• Puis : ( P, t ) + B ( P, t ) e = µ j ( P, t ) ∧ (− e ) ⇒ j S ( P, t ) = 0 exp[ j (k sin i × y − ωt )]ez
µ0c
iy ry y 0 S x

1.5.4) La charge surfacique étant nulle, la force ressentie par un élément de surface S se limite
r
à l’action sur les courants surfaciques jS , et s’écrit :
r r r r
dF (P, t ) = jS ( P, t ) ∧ Beff ( P, t) dS , où Beff est le champ magnétique effectivement ressenti par
r r
l’élément de surface dS , c’est-à-dire le champ total µ0 jS ( P, t ) ∧ ( − ex ) auquel il faut soustraire le
r
champ Brj créé par les courants surfaciques eux-mêmes au voisinage immédiat de l’interface ; on
S

r µ r r r µ r r
sait que : Brj = 0 j S ( P, t ) ∧ (− e x ) ⇒ Beff = 0 j S ( P, t ) ∧ ( − ex )
S
2 2
r
dF r µ r r µ r
• On en déduit alors : ( P, t ) = jS ( P, t ) ∧ 0 j S ( P, t ) ∧ ( −ex ) = 0 j S2 ( P, t) ex ⇒
dS 2 2
r
dF r
( P, t ) = 2ε 0 E02 cos 2 i × cos 2 (k sin i × y − ωt )ex (puisque 1/ µ 0 c = ε 0 )
2

dS

ε0 2 1 2 r r ε 0 E02
1.5.5) On a : wi (M , t ) = Ei ( M , t ) + Bi ( M , t ) = ε 0 E02 cos 2 (k i ⋅ r − ω t ) ⇒ wi =
2 µ0
t
2 2

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r r
r Ei ∧ Bi  E02 cos i r E 02 sin i r  2 r r
• D’autre part : Π i ( M , t ) = = ex + e  cos ( ki ⋅ r − ωt ) ⇒
µ0  µ 0c µ0c y 
r E2 r r
Π i ( M , t ) t = 0 ( cos iex + sin ie y )
2 µ0c

r
r dF (P, t) r
1.5.6) pM = = ε 0 E02 cos 2 i × ex
dS t

Rq : cette pression est uniforme sur l’ensemble des points P du conducteur, et est dirigée vers
l’intérieur de celui-ci.

1.6) Cette fois, on a la représentation suivante :

r r
Bi Ei
r r r
i k cos i − E0 sin i × exp[ j ( ki ⋅ r − ωt )]
vide ki
z r r r r
ki = k sin i E i = E0 cos i × exp[ j ( ki ⋅ r − ωt )]
P y
conducteur 0 0
x
r E r r r
On en déduit le champ magnétique incident : Bi (M , t ) = 0 exp[ j ( ki ⋅ r − ω t )]ez
c
• Comme précédemment, les relations de passage fournissent :
r r
− k cos i −E0 sin i × exp[ j ( kr ⋅ r − ω t )]
r r r r r E r r r
k r = k sin i E r = −E 0 cos i × exp[ j ( kr ⋅ r − ω t )] B r ( M , t ) = 0 exp[ j (k r ⋅ r − ωt )]ez
c
0 0

• Cette fois, la charge surfacique n’est pas nulle, et est donnée par :
r r r σ ( P, t)
( E i + E r ) ⋅ ( −ex ) = ⇒ σ ( P, t ) = 2ε 0 E0 sin i × exp[ j (k sin i × y − ω t )]
ε0
r 2E r
• Il vient ensuite : j S ( P, t ) = 0 exp[ j (k sin i × y − ωt )]e y
µ0c
ε 0 E02 r E2 r r
• On a également : wi = Π i ( M , t ) t = 0 ( cos iex + sin ie y )
t
2 2 µ0c
• Pour cette polarisation, il faut ajouter une pression « électrique » à la pression
« magnétique » ; on peut écrire :
r r r
dF dFE dFM r r r
( P, t ) = ( P, t ) + ( P, t) avec dFE = σ dS × Eeff ( P, t) , où Eeff ( P, t) est le champ
dS dS dS
électrique effectivement ressenti par les charges surfaciques, c’est-à-dire le champ total à la
surface du conducteur, auquel on a soustrait le champ créé par ces mêmes charges au voisinage
immédiat de l’interface.

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r r
r Ei (P, t ) + Er ( P, t) r
Comme en 1.5.4), on est conduit à : Eeff = = − E0 sin i × cos( k sin i × y − ω t) ex ⇒
2
r
dFE r
= −2ε 0 E02 sin 2 i × cos 2 (k sin i × y − ωt) ex (« pression » dirigée vers l’extérieur du conducteur)
dS
r r
r Bi ( P, t ) + Br ( P, t ) E0 r
• Cette fois : Beff = = cos( k sin i × y − ωt )ez ⇒
2 c
r r
dFM r r 2 E02 r dF r
= µ0 jS ∧ Beff = cos 2 (k sin i × y − ωt )ex ⇒ ( P, t ) = 2ε 0 E02 cos 2 i × cos 2 (k sin i × y − ωt )ex
µ 0c 2
dS dS
(expression identique à celle trouvée en 1.5.4))
r
r dF r
• Il vient enfin : p= ( P, t ) = ε 0E02 cos 2 i × ex (dirigée vers l’intérieur du conducteur)
dS t

1.7.1) Une onde sphérique a une amplitude qui varie en 1/ r ⇒ la puissance surfacique (vecteur
2
de Poynting) varie en 1/ r .
Au niveau de la Terre, on peut calculer la puissance totale rayonnée (de façon isotrope) par le
Soleil en écrivant :

Ps = 0,15.10−4 × 4π RT2 , où RT est le rayon de l’orbite terrestre ⇒ PS = 4.24.1026 W

1.7.3) En utilisant l’approximation locale en onde plane d’une onde sphérique à la distance r de
la source, on aura :
r r E02 ( r ) ε cE 2 (r )
p = ε 0 E02 (r )cos 2 i ; or : PS = Π i × 4π r 2 = × 4π r 2 = 0 0 × 4π r 2 ⇒
t 2µ 0c 2
r PS
p = × cos 2 i
2π cr
2

1.8.1)
i P
r Par symétrie, la force due au rayonnement solaire
r r
u0 dF est portée par le rvecteur r u0 , donc seules les
i a composantes de dF sur u0 nous importent.
La pression de radiation ne dépendant que de i ,
M nous prendrons comme élément de surface une
couronne de rayon a sin i et de largeur adi .

r r r r
π /2
π /2 r π /2  cos 4 i 
Il vient donc : FR ⋅ u0 = ∫ p dS ⋅ u0 = ∫ ε 0 E02 cos 2 i × cos i × 2π a 2 sin i × di = −2π a 2ε 0 E02 ×  
 4 0
0 0

r π a 2ε 0 E02 r PS r P a2 r
⇒ FR = u0 or E0 ( r ) = ⇒ FR = S 2 u0
2 2πε 0cr 2 4cr
r GM S 4π a 3µ r
1.8.2) La force exercée par le Soleil sur la particule est donnée par : FG = − u0
3r 2

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ELECTROMAGNETISME – MECANIQUE
PROBLEME

r r 3PS
1.8.3) FR ≥ FG pour a ≤ a0 , avec : a0 = A.N : a0 = 0,627 µ m
16π cGM S µ

1.8.4) l’effet de répulsion (pression de radiation) sera donc prépondérant pour des grains de
matière de dimension inférieure au micromètre, grains que l’on peut donc qualifier de
« poussières ».
Rq : le calcul précédent fait l’hypothèse de particules parfaitement réfléchissantes, ce qui n’est
vraisemblablement pas le cas. Mais on montre que pour un corps absorbant totalement l’onde
électromagnétique, la pression de radiation est égale à la moitié de la valeur calculée
précédemment : le calcul d’ordre de grandeur de a0 reste correct, même en cas d’absorption
partielle du rayonnement solaire par les particules.

r dr r dθ r r d r  dθ   r  d θ dr dθ  r
2 2 2
2.1) v = er + r eθ a =  2 − r   e +  r +2 ×  eθ
 dt  dt  
r 2
dt dt   dt dt dt 
r r
r FG + FR r GM S m r r PS cos 2 i × S r PS cos 2 i × S r r
2.2) a = , avec : FG = − e et FR = n= (cos ier + sin ieθ )
2π cr 2π cr
2 r 2 2
m r
r A r B r 3
SPS cos i SPS cos 2 i × sin i
⇒ a = 2 er + 2 eθ avec : A = −GM S + et B=
r r 2π mc 2π mc
r r
• A l’instant initial, la vitesse
v (0) est contenue dans le plan (P) : l’accélération a est également
r
contenue dans ce plan ⇒ la vitesse v (t ) est contenue dans ce plan ∀t ⇒ le mouvement est plan.

 d 2r  dθ 
2
A
 2 −r  = 2 (1)
 dt  dt  r
Les équations du mouvement sont donc :  2
 dθ dr dθ B
 r dt 2 + 2 dt × dt = r 2 (2)

r r
2.3) Etude du cas particulier : ( er, v) = ϕ = cste ; raisonnons sur la figure ci-dessous :
r
r
v
eθ ϕ vr = v cos ϕ
r vθ = v sin ϕ
er
r C
v rdθ / dt
λ = tan ϕ = θ =
θ vr dr / dt
O
• Il vient alors :

( dr / dt ) ⇒
2
d ( rdθ / dt ) d 2 r dr dθ dr dθ dr / dt dr
aθ = + dr / dt × dθ / dt = λ 2 + × ; or : × =λ × =λ
dt dt dt dt dt dt r dt r
 d 2 r ( dr / dt ) 2  B
aθ = λ  2 + = 2 (3)
 dt r  r
 

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ELECTROMAGNETISME – MECANIQUE
PROBLEME

( dr / dt ) = A
2 2
d 2r  dθ  d 2r
• D’autre part : ar = 2 − r   = 2 − λ 2 (4)
dt  dt  dt r r2
dr
• On élimine entre les relations (3) et (4) pour obtenir :
dt
d 2r A+ λ B A + λB
( λ 2 + 1) = ⇒ b= (coefficient supposé p 0)
1+λ
2
dt 2 r2
1 d  dr  
2 2
d 2r dr dr −2 d  1  dr  2b
• On a alors : 2
× = b × r ⇒ ×    = − b ×   ⇒   = − + cste
dt dt dt 2 dt  dt   dt  r   dt  r

dr −2b
Or : cste = 0 (d’après les conditions initiales de l’énoncé) ⇒ =± ⇒ r × dr = ± −2b × dt
dt r
2/3
2 3/2 3/2  3 −2b 
⇒  r − r0  = ± −2b × t ⇒ r = r0  1 ± × t  (5)
3
3
 2 r0 
−b
• Par identification, il vient : β = 2/3 et α = ±3
2r03
Rq : le signe +, correspondant à une valeur positive de α, indique que r augmente lorsque t
augmente ( dr / dt f 0 ) ; le signe – traduit que dr / dt p 0 .

dr 2 dθ dr / dt 2αλ
2.4) r (t ) = r0 (1 + α t ) 2 / 3 ⇒ = r0α (1 +α t ) −1 / 3 ⇒ =λ = (1 + α t ) −1 ⇒
dt 3 dt r 3
2αλ dt 2λ
dθ = × ⇒ en tenant compte de θ (0) = 0 , il vient : θ (t) = × Ln 1 + α t (6)
3 1+ α 3

2.5) On élimine le paramètre t entre les relations (5) et (6) pour trouver :
2/3
 3θ    3θ   θ 
1 + α t = exp   ⇒ r (t ) = r0  exp    = r0 exp   = spirale logarithmique
 2λ    2λ   λ
 d 2r  dθ  
2
d 2r −b 2α 2r03
2.6) A=r  2 −r
2
  or : r 2
× = b , avec α = ± 3 ⇒ b = −
 dt  dt   dt 2 2r03 9

 dθ  4α 2 λ2 r03 2α 2r03
2 2
 dr  A = b(1 + 2λ ) = − (1 + 2λ 2 )
D’autre part : r ×   = rλ = − λ =
3 2 2 2
  2 b ⇒
 dt   dt  9 9
 d 2θ dr dθ  d 2θ d 2r dr dθ dr dθ (dr / dt ) 2
• B = r r +2 ×  or : r 2 = λ 2 − × × =λ
2
2
et ⇒
 dt dt dt  dt dt dt dt dt dt r
2λα 2r03
B = λ (b − 2b) = −λb =
9

Rq : A est donc p 0 ∀λ , et B a le signe de λ .

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ELECTROMAGNETISME – MECANIQUE
PROBLEME

dθ dr 2α r0λ 2α r0λ  r0 
1/2
2α r03 / 2 λ 2Bλ
• vθ = r =λ = (1 + α t ) −1 / 3 = ×  = × 1/2 ⇒ vθ =
dt dt 3 3 r 3 r r
Rq : vθ f 0 ⇒ λ et α ont le même signe.

vθ 1 2 Bλ
• vr = = ⇒ vr et λ ont le même signe.
λ λ r

1 SPS cos i × sin i

2
aθ = × est maximum pour cos i × sin i maximum, d’où :
2
2.7)
2π mc
2
r
d (cos 2 i × sin i )
= −2cos i × sin 2 i + cos3 i = 0 pour i =π /2, mais aθ i =π / 2
= 0 ⇒ ce n’est pas un
di
1
maximum, et pour : tan 2 i0 = 1 / 2 ⇒ tan i0 = ± ⇒ i0 ; ±35°
2
GM S 4π 2
2.8) On sait que : a0 (r ) = ; or : a0 (r = 1 U . A) = r × ω = r × 2
2
où r = 1 U .A et
r T
4π 2
T = 1 année ⇒ a0 (r en U . A) = ( a0 sera ici en U . A × (année ) −2 )
r2
A 1  SPS cos 3 i  GM S  SPS cos 3 i 
• ar ( r ) = = ×  − GM + =− 2 1 −  = −a0 (r )(1 − R) ⇒
r 2 2
r  S
2π mc  r  2π mcGM S 
SPS cos3 i
R=
2π mcGM S
1− R
Dans le système (U.A, année), on écrira : ar ( r ) = −4π 2 × 2 soit A = −4π 2 (1 − R)
r
B 1 SPS cos 2 i × sin i GM S SPS cos 2 i × sin i
• De même : aθ ( r ) = = × = a (r ) × T = × ⇒
2π mc 2π mcGM S
0
r 2 r2 r2
SPS cos 2 i × sin i
T= = R tan i
2π mcGM S
4π 2T
Dans le système (U.A, année), on écrira : aθ ( r ) = soit B = 4π 2 T
r2
• On a vu que : A p 0 ∀λ ⇒ 1− R ≥ 0 ⇒ 0 ≤ R ≤1

1500
2.9) masse de la voile = 5,6.10 −3 × 2,68 ×10 5 = 1500kg masse du véhicule: m= = 3750kg
0,4
GM S m SPS cos 2 i
• en r0 = 1 U .A : FG = = 22,4N FR = = 2,68cos 2 i = 1,79 N (pour i0 = 35° )
2π cr02
2
r0

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ELECTROMAGNETISME – MECANIQUE
PROBLEME

SPS cos 3 i SPS cos 2 i0 × sin i0 R

2.10) R= = 6,8.10− 2 T= = R tan i0 = ± = ±4,8.10−2
2π mcGM S 2π mcGM S 2
2α 2r03 4α 2 r03λ 2 A 1− R
• Hypothèse λ 2 ? 1 : A = b(1 + 2λ 2 ) = − (1 + 2λ 2 ) ; − ⇒ λ =− =
9 9 2B 2T
⇒ λ a le signe de B et le signe de α .
2α 2r03  − A  9 B2 3 B −3 / 2
• On poursuit le calcul : B= ×  ⇒ α 2
= − ⇒ α= r0 ⇒
 2B  −A
3
9 Ar0
T
α = 6π r0−3 / 2 ×
1− R
1− R
• Application numérique : λ= = ±9,71 ⇒ λ 2 = 94,25 ? 1 ⇒ hypothèse vérifiée.
2T
ϕ = ±84,12° α = ±0,94 (année ) −1
A + λ B −2λ B + λ B B
Enfin : b= ; =− p 0 , car B et λ sont de même signe.
1+λ λ λ
2 2

2.11) Exprimons la vitesse v0 ( r ) du mouvement uniforme dans le système d’unités (U.A,

v02 ( r ) 4π 2
année) ; on sait que : = 2 ⇒ v0 ( r ) = 2π r −1/2
a0 ( r en U . A) = (en U . A × (année ) −1 )
r r
• Sur la spirale logarithmique, à la distance r , on a :

 2 Bλ  1− R
1/2 1/2
 A vθ ( r ) = v0 ( r ) 1− R
vθ ( r ) =   = −  = 2π ⇒
 r   r r
vθ ( r ) 1− R
D’autre part : vr ( r ) = ⇒ vr ( r ) = v0 ( r )
λ λ
2.12) On écrit les relations précédentes au départ ( r = r1 ) et à l’arrivée ( r = r2 ), ce qui permet
r r r  1 − R r r 
d’obtenir : w1 = v (r1 ) − v0 ( r1 ) = v0 ( r1)  −1  er + 1 − R × eθ 
 λ  

r r r  1 − R  r r 
Puis : w2 = −v (r2 ) + v0 ( r2 ) = −v0 ( r2 )   − 1 er + 1 − R × eθ 
  λ  

• En norme, on trouve après calculs : w1 = 1,74 × v0 ( r1 ) et w2 = 1,74 × v0 ( r2 )

r r
2.13) Les vitesses v '(r1 ) et v '(r2 ) , aux points P et A, sont ici orthoradiales ; pour les déterminer,
exprimons l’énergie mécanique d’une particule de masse m sur une trajectoire elliptique de grand
axe 2a = r1 + r2 , il vient alors :

1 GM S m GM S m 2 1 1 
mv '12 − =− ⇒ dans le système (U.A, année), on a : v '1 = 8π  −
2

2 r1 r1 + r2  r1 r1 + r2 

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ELECTROMAGNETISME – MECANIQUE
PROBLEME

2r2 2r1
On en déduit : v '1 = 2π ; on trouverait de même : v '2 = 2π
r1( r1 + r2 ) r2 ( r1 + r2 )

 2 r2   2r1 
D’où : w '1θ = v '1 − v0 ( r1 ) = v0 (r1 ) ×  −1  et w '2θ = −v '1 + v0 ( r2 ) = − v0 ( r2 ) ×  − 1 
 r1 + r2   r1 + r2 

• Application numérique pour un voyage vers Jupiter en provenance de la Terre :

w '1θ = 0,295 × v0 ( r1 ) w '2θ = 0,432 × v0 ( r2 )

Rq : pour un tel voyage, les manœuvres de changement d’orbite consomment moins d’énergie
cinétique dans le cas du transfert de Hohman, mais l’énergie est « gratuite » pour la voile solaire.

r23/2 − r13 / 2
2.14) Spirale logarithmique : T1→2 = Terre → Jupiter : T1→2 = 11,55 ans
α
Transfert de Hohman : la durée cherchée est la moitié de la période de l’ellipse
correspondante, donnée par la 3ème loi de Kepler, c’est-à-dire :

4π 2 r +r 
3

2T '1→2 = ×  1 2  ; or, dans le système (U.A, année), on sait que GM S = 2π ⇒

GM S  2 

1r +r 
3/2

T '1→ 2 =  1 2 Terre → Jupiter : T '1→ 2 = 2,73 ans

2 2 

Rq : cette fois encore, c ’est le transfert de Hohman qui est le plus avantageux.

2.15) Terre – Mercure : α = −0,94 année −1 T = 1 an T ' = 0,29 an

Terre – Vénus : α = −0,94 année −1 T = 0,41 an T ' = 0,40 an
Terre – Mars : α = +0,94 année −1 T = 0,93 an T ' = 0,71 an

Rq : l’avantage de la propulsion par voile solaire réside principalement dans la possibilité de

manœuvrer d’orbite particulière en orbite particulière (comme sur mer…), sans consommation de
carburant, ce qui diminue la masse de carburant à emporter et permet d’augmenter la masse
utile ; le tableau comparatif précédent, qui n’est pas à l’avantage de la voile solaire, se contente
de comparer la spirale logarithmique avec une phase de trajectoire purement balistique, ce qui
n’est pas le tout dans un voyage spatial !

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