TD11 - Ondes Mécaniques

TD 11
Ondes mécaniques
Questions de cours
— Définir le module d’Young.
— Démonter que le déformation longitudinale d’un matériaux vérifie une équation de d’Alem-
bert.
— Expliquer l’approximation des milieux continus.
— Démontrer que la déformation transverse d’une corde vérifie l’équation de d’Alembert.
— Donner l’équation de d’Alembert ainsi que ses caractéristiques.
— Donner les formes possibles de solutions de l’équation de d’Alembert.
— Définir la vitesse de phase.
— Démontrer la relation de dispersion.
— Quelles sont les caractéristiques d’un OPH, comment obtenir une solution plus juste phy-
siquement ?
— Déterminer la forme d’une OS solution de l’équation de d’Alembert.
— Montrer que les conditions aux limites sur une corde imposent l’existence de modes.
— Décrire une OS (Ventres, noeuds...).
— Montrer que les conditions initiales sont reliées à l’amplitude des modes pouvant se pro-
pager.
— Expliquer le phénomène de résonance.
Applications directes du cours

Exercice 1 - Corde de Melde - ªª / H
Lors d’une manipulation avec la corde de Melde tendue grâce à une masse M , on trouve les
résultats ci-dessous.
1. Pour une même longueur L de la corde et une même masse M accrochée à celle-ci, on
obtient les résultats suivants :
— fréquence de résonance 19 Hz pour deux fuseaux ;
— fréquence de résonance 28 Hz pour trois fuseaux.
(a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?
(b) Quelles seraient les fréquences de résonances suivantes ?
2. La longueur de la corde est L = 117 cm. Quelle est la vitesse c de propagation d’une
perturbation ?
3. La masse M accrochée à la corde est égale à M = 25 g.
(a) Quelle est la tension de la corde ?
(b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique de la corde.
TD 11 - Ondes mécaniques
Exercice 2 - Réflexion sur une corde tendue - ªª / HH

Une corde de masse linéique µ est tendue avec une tension T0 . On néglige les effets de la
pesanteur.
La corde est supposée semi-infinie et s’étend de x → −∞ à x = 0. Une onde transversale s’y
propage dans le sens des x croissants. Son équation est représentée par la fonction yi (x, t) =
F (t − xc ).
Déterminer l’élongation réfléchie yr (x, t) quand :
1. l’extrémité x = 0 peut coulisser sans frottement sur l’axe Oy ;
2. l’extrémité x = 0 est fixée en O.
Exercice 3 - Échelle de perroquet - ªªª / HH

On considère une chaîne infinie de pendules de torsion de constante de torsion
C couplés par des fils de torsion. Le pendule de torsion n situé dans un plan
perpendiculaire à l’axe (Ox) est repéré par son abscisse x = na, fait un angle
θn par rapport à un axe horizontal et on note J son moment d’inertie par
rapport à l’axe (Ox). Il subit du fil situé entre le pendule n et le pendule
−
→
n + 1 un moment égal à : Γ = C(θn+1 − θn )− →
ex .
1. En appliquant la PFD au pendule n déterminer l’équation du mouvement vérifiée par θn .

2. Que devient-elle dans l’approximation des milieux continus ? En déduire l’équation de
propagation de l’onde de torsion.
3. A quelle vitesse se propagerait une onde de torsion ?
Approfondissement
Exercice 4 - Équation des télégraphistes- ªªª / HH
On modélise un câble coaxial afin d’étudier la propagation d’une onde électrique en son sein.
Un élément de longueur dx d’un câble coaxial peut être modéliser comme suit :
— λ est l’inductance linéique du câble, c’est à dire son inductance par unité de longueur. Elle
modélise les effets magnétiques à l’intérieur du câble
— γ est la capacité linéique du câble, c’est à dire sa capacité par unité de longueur. Elle
modélise la capacité formée par les parties (gaine et coeur) du câble coaxial.
— r est la résistance linéique du câble , c’est à dire la résistance par unité de longueur. Elle
modélise les pertes par effet Joules le long de la propagation.
1. Déterminer l’inductance, la capacité et la résistance pour un élément de câble de longueur
dx.
2. A l’aide de la loi des mailles et la loi des noeuds, établir deux équations différentielles
couplées reliant les dérivées de u et de i.
Lavoisier - PC 2
3. En déduire l’équation différentielle au dérivée partielle vérifiée par i(x, t). Est-ce une équa-
tion de d’Alembert ? Quelle est sa différence ?
On considère maintenant un câble sans pertes.
4. Comment se réécrit l’équation précédente, que retrouve-t-on ?
5. On étudie la propagation dune onde plane progressive harmonique se propageant vers les
x > 0. On pose i(x, t) = I0 exp(j(ωt − kx)) et u(x, t) = U0 exp(j(ωt − kx)).
(a) Montrer que u et i sont en phase. Établir la relation de dispersion. Le milieux est-il
dispersif ?
(b) On pose Zc = ui . Exprimer Zc en fonction de λ et γ. Calculer l’impédance ca-
ractéristique de la ligne Zc et c la vitesse de propagation des ondes sachant que
λ = 0, 28 µH.m−1 et γ = 112 pF.m−1 .
6. Que devient la relation ui pour une onde plane progressive harmonique se propageant vers
les x < 0 ?
7. L’extrémité de la ligne (x = L) est fermée sur une impédance complexe Zr . On pose :
i(x, t) = I0 exp(j(ωt − kx)) + I0′ exp(j(ωt + kx))

.
(a) En déduire u(x, t)
(b) Calculer à l’extrémité du cable, le coefficient de réflexion en tension puis le coefficient
de réflexion en intensité. Interpréter les cas particuliers : Zr = 0, Zr → ∞ et Zr = Zc .
Exercice 5 - Spectre d’une corde pincée - ªª / HHH

Une corde de guitare, inextensible, de longueur L, de masse linéique µl , est tendue avec une
tension T0 .
On note y(x, t) les déplacements transversaux, supposés petits. On néglige la pesanteur. On note
−
→
T (x, t) la tension qu’exerce à l’instant t la partie de fill d’abscisse supérieure à x sur la partie
de fil d’abscisse inférieure à x. Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx
est à l’altitude y(x, t) à l’instant t. Cet élément fait avec l’axe Ox un angle α(x, t) petit.
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par y(x, t) ainsi que la vitesse de propagation
des ondes dans la corde.
2. La corde de guitare, de longueur L, est fixée en x = 0 et en x = L. Montrer que l’équation
d’onde admet comme solutions les ondes stationnaires de la forme :
yn (x, t) = Cn sin(kn x) cos(ωn t + φn )

On donnera les expressions de kn et ωn .
3. Expliquer pourquoi la solution générale de l’équation d’onde est
∞
∑
y(x, t) = sin(kn x)(An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t))
n−1
On admet que les coefficient An et Bn sont donnés par :
∫ L ∫ L
2 2 dy
An = y(x, t = 0) sin(kn x)dx et Bn = (x, t = 0) sin(kn x)dx
L 0 ωn L 0 dt
L
On lâche cette corde sans vitesse initiale en la pinçant en son milieu (en x = 2 ), après
l’avoir éloignée de la distance h de l’axe Ox.
Lavoisier - PC 3
4. Déterminer les coefficients An et Bn .

5. Tracer l’allure du spectre de cette corde pincée et commenter.
Exercice 6 - Amplitude réfléchie sur la corde de Melde - ªª / HHH

On considère une corde de Melde de longueur L (corde fixée en son extrémité). On interprète
la vibration de la corde de la manière suivante : le vibreur émet une onde qui se propage en
direction du point fixe où l’onde est réfléchie ; cette onde réfléchie se propage en direction du
vibreur où elle se réfléchit, et ainsi de suite.
L’axe (Ox) est parallèle à la corde au repos ; le vibreur est en x = 0 et le point fixe en x = L.
Le vibreur émet une onde s0 (x, t) telle que s0 (0, t) = a0 cos(ωt). La célérité des ondes sur la
corde est c et on note k = ωc .
On fait les hypothèses simplificatrices suivantes :
— Lorsqu’une onde incidente si arrive sur la poulie en x = L, l’onde réfléchie sr vérifie :
sr (L, t) = −rsi (L, t) où r est un coefficient compris entre 0 et 1
— Lorsqu’une onde incidente si arrive sur la poulie en x = 0, l’onde réfléchie s′r vérifie :
s′r (0, t) = −r′ s′i (0, t) où r′ est un coefficient compris entre 0 et 1
1. Exprimer l’onde s0 (x, t).
2. Exprimer l’onde s1 (x, t) qui apparaît par réflexion de l’onde s0 sur le point fixe, puis l’onde
s2 (x, t) qui apparaît par réflexion de s1 sur le vibreur, puis l’onde s3 (x, t) qui apparait par
réflexion de l’onde s2 sur le point fixe.
3. A quelle condition les ondes s0 et s2 sont-elles en phase en tout point ? Que constate-t-on
alors pour les ondes s1 et s2 ? La condition précédente est supposée réalisée dans la suite.
4. Justifier l’expression suivante de l’onde totale existant sur la corde :
s(x, t) = a0 (1+rr′ +(rr′ )2 +...+(rr′ )n +...) cos(ωt−kx)−ra0 (1+rr′ +(rr′ )2 +...+(rr′ )n +...) cos(ωt+kx)
5. En quels points de la corde l’amplitude de la vibration est-elle maximale ? Exprimer l’am-

∑
plitude maximale Amax en fonction de a0 ,r,r′ . on donne la formule : ∞ ′ n 1
n=0 (rr ) = 1−rr′
6. En quels points l’amplitude est-elle minimale ? Exprimer l’amplitude minimale Amin .
7. Expérimentalement on trouve Amin
a0 ≃ 1 et Amax
a0 ≃ 10. Déterminer r et r′ .
Éléments de réponse
Zc −Zr
Ex 1. 1. νn = n 2L c
2. c = 22 m.s−1 7. ρI = ir
ii = Zc +Zr
3. T = 0, 25 N ; µl = 5.10−4 kg.m−1 Ex 5. 2. Utiliser les conditions aux limites
∂ytot
Ex 2. 1. ∂x (0, t) = 0 8h
4. A2p+1 = (−1)p π2 (2p+1)2 ; Bn = 0
2. ytot (0, t) = 0
Ex 3. 1. J θ¨n = C(−2θn + θn−1 + θn+1 ) Ex 6. 1. s0 (x, t) = a0 cos(ωt − kx)
2. Equation de d’Alembert 2. s1 (L, t) = −rs0 (L, t) ; s1 (x, t) =
Ex 4. 1. L = λdx ; C = γdx ; R = rdx −ra0 cos(ωt + kx − 2kL)
2. ∂x = ri + λ ∂t ; ∂x = −γ ∂t
− ∂u ∂i ∂i ∂u 5. Ondes contrapropageantes sont en
5. Passer en complexe ; Zc = ωλ
= phase.
√ k L 1+r
λ xl,q = (2l + 1) 2q ; Amax = a0 1−rr ′
cλ = γ
6. Zc′ = −Zc 7. r = 9
11 ; r′ = 1
Lavoisier - PC 4

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Exercice 2 - Réﬂexion sur une corde tendue - ªª / HH

Exercice 3 - Échelle de perroquet - ªªª / HH

1. En appliquant la PFD au pendule n déterminer l’équation du mouvement vériﬁée par θn .

i(x, t) = I0 exp(j(ωt − kx)) + I0′ exp(j(ωt + kx))

Exercice 5 - Spectre d’une corde pincée - ªª / HHH

yn (x, t) = Cn sin(kn x) cos(ωn t + φn )

4. Déterminer les coeﬃcients An et Bn .

Exercice 6 - Amplitude réﬂéchie sur la corde de Melde - ªª / HHH

5. En quels points de la corde l’amplitude de la vibration est-elle maximale ? Exprimer l’am-

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