Radiocommunications

Circuits résonants

Joël Redoutey - 2009

1
 Circuit résonant série
R L C

1 2

Z12 = R + jLω + 1/jCω

Z12 = R + (1- LCω2)/jCω

Z12 est minimale pour ω = ω0 tel que LCω

ω02 = 1

1
Z12(ω0) = R f0 =
2π LC
2
Coefficient de surtension Qs

Rs Ls Cs

1 2

LSω0
QS =
RS

1
ω0= 2 π f0 f0 =
2π LS CS
3
 Bande passante
Z12 = R + jLω + 1/jCω LCω02 = 1
Z12 = R + jLω + LCω02 /jCω = R + jL(ω - ω02/ω)

On se place à ω = ω0 + ∆ω proche de la résonance

Z12 = R + jL(ω0 + ∆ω - ω02/(ω0 + ∆ω))
Z12 = R + jL(ω0 + ∆ω − ω0 1 )
∆ω
1+
ω
0
si x petit 1/(1+x) ≈ 1- x Z12 ≈ R + jL[ω0 + ∆ω - ω0(1- ∆ω/ω0)]
Z12 ≈ R + 2jL∆ω = R(1 + 2j∆ωL/R)

 ω0 2∆ω 
Z12 = R1 + jL 
 R ω 0  4
 Bande passante à -3 dB
 ω0 2∆ω 
Z12 = R1 + jL 
 ω
R 0 

 2 ∆ω   2∆f 
Z12 = R1 + jQS  = R1 + jQS f 
 ω 0   0 

• A la résonance ∆f = 0 Z12 = R
 Q 2∆f  =1
• On se place à f = f0 + ∆f tel que  S f 
 0 
 Z12 = R√2 et la phase de Z12 est égale à 45°

B = 2∆f = f0/Qs est la bande passante à -3 dB du circuit résonant série

5
 Qs et bande passante

1
I
R

f0
B=
V
L

QS
C
2

6
 Circuit résonant parallèle
1
Y12 = G +1/jLω + jCω
R L C
1− jLC ω 2
Y12 = G +
jLω
2

Y12 est minimale pour ω = ω0 tel que LCω

ω02 = 1
Z12 est maximale à la résonance
1
Z12(ω0) = R f0 =
2π LC
7
Coefficient de surtension Qp

Rp Lp Cp

RP
QP = = RPCPω0
LPω0

1
ω0= 2 π f0 f0 =
2π LPCP
8
 Bande passante
Y12 = G +1/jLω + jCω LCω02 = 1
Y12 = G +jC(ω - ω02/ω)

On se place à ω = ω0 + ∆ω proche de la résonance

 
 
ω
Y12 = G + jC  ω0 + ∆ω − 0 
 ∆ω 
 1 +
 ω0 

si x petit 1/(1+x) ≈ 1- x Y12 ≈ G + j2C∆ω

 jCω0 2∆ω   2∆f 

Y12 = G1 +  = G1 + QP 
 G ω0   f0 
9
 Bande passante

 jCω0 2∆ω   2∆f 

Y12 = G1 +  = G1 + QP 
 G ω0   f0 

• A la résonance ∆f = 0 Y12 = G et Z12 = R

 2∆f 
• On se place à f = f0 + ∆f telle que  QP  = 1
 f0 

|Y12(ω)| = G√2 et donc |Z12(ω)| = R/√2

B = 2∆f = f0/QP est la bande passante à -3 dB du circuit résonant parallèle

10
 Qp et bande passante

1 I

Rp Lp Cp

f0
B=
QP 11
 Récapitulatif

Résonance série Résonance

parallèle
Condition de résonance ω02 = 1
LCω ω02 = 1
LCω
Impédance à la résonance ZS = RS ∠0° ZP = RP ∠0°
Facteur de surtension QS = LSω0/RS= 1/RSCS ω0 QP = RP/Lpω0 = RPCpω0
Bande passante à –3dB B = f0/QS B = f0/QP

12
 Réactance

ω02 = 1
A la résonance on a toujours LCω

ω0 = 1/C ω0 = X
C’est-à-dire Lω

X est la réactance

Une impédance complexe s’écrit Z = R + jX

Si X>0 la réactance est inductive
Si X<0 la réactance est capacitive

13
Facteur de qualité en charge QL

Rg

L C RL

Thévenin

Rg L C RL RP = Rg // RL

RP
QL = = RPC ω0
L ω0 14
 Exemple

Rg

Générateur: L C RL Charge:
F = 50 MHz RL=1000 Ω
Rg= 150Ω

• Calculer le circuit résonant pour Q=20 à 50 MHz

• Donner sa bande passante à -3 dB

15
 Correction
• Résistance parallèle équivalente:
RP = 150 . 1000/(150+1000) = 130Ω
• Réactance:
XP = RP/QP= 130/20 = 6,5Ω
• Valeur de l’inductance:
XP = Lω0 = 2πfL L= 6,5/314.106 = 20,7 nH
• Valeur de la capacité:
XP = 1/Cω0 C = 10-6/6,5.314 = 490 pF
• Bande passante:
B = f0/QP = 50.106/20 = 2,5MHz
16
 Amortissement
Les résistances de source et de charge amortissent
le circuit ce qui réduit le Q et élargit la bande passante

17
 Prise intermédiaire
Permet de réduire l’amortissement

C1

L L C
Rs Rs

C2

Prise intermédiaire capacitive Prise intermédiaire inductive

n = C1/(C1 + C2) n = n2 / n1 (auto transformateur)

La résistance RP ramenée en parallèle avec le circuit est divisée

par le carré du rapport de transformation n: RP=RS/n²
18
 Circuits couplés
M

C2 R2
Q1=Q2=Q R1 C1 L1 L2
f01 = f02

Affaiblissement relatif

Coefficient de couplage

M
K=
L1 L2

∆f relatif

19
Transformation série-parallèle
1
1

Rs
Zs = Rs + jXs Rp Xp Zp = Rp // jXp

Xs
2

  X 2  RS RP
RP = RS 1 +  S   XP =
  RS   XS
 

XS RP
QS = QP = Qs = Qp
RS XP
20
Transformation parallèle-série
1
1
Rs

Zp = Rp // jXp Rp Xp Zs = Rs + jXs
Xs

2 2

RP RS RP
RS = 2 XS =
R  XP
1+  P 
 XP 

XS RP
QS = QP = Qs = Qp
RS XP
21
 Couplage variable

Bobine d’accord émetteur marine 200W, 350 – 500 kHz , 1962

22