9.

Funciones trigonométricas

1 Funciones seno y coseno

En este módulo nos ocuparemos de las funciones trigonométricas.
Durante todo el curso usaremos
principalmente la medición de
ángulos en radianes.
θ sen(θ) θ cos(θ)
Recuerden que π radiantes equi-
Son funciones donde la variable independiente θ se refiere a la medida de un ángulo θ (medido vale a 180◦ sexagesimales. La
en radianes); y los valores de las funciones, sen(θ) y cos(θ) se calculan con las coordenadas conversión del resto de los ángu-
del punto sobre la circunferencia unidad (la circunferencia de radio 1 centrada en el origen) los, de un sistema al otro, se hace
como se muestra en la Figura 1. por proporción directa.

x2 + y2 = 1 y
cos(θ) = x
π rad ≡ 180◦
sen(θ) = y  ◦
1 rad ≡ 180
π
π
y rad ≡ 1◦
θ radianes 180

r =1
x
x

Figura 1: Valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) acordes con la circunferencia unidad.

Las coordenadas del punto determinan los valores de las funciones trigonométricas. Las
gráficas de las funciones sen(θ) y cos(θ) se presentan en las Figuras 2 y 3 en el intervalo
[0, 2π].

y
√ 1
3
2 √
2
2
1
2

7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π
6 4 3 2 3 4 6 2π x
π π π π 2π 3π 5π π
6 4 3 2 3 4 6

− 12
√
2
√ − 2
3
−2
−1

Figura 2: Gráfica de la función sen(x) en el intervalo [0, 2π].

2 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

y
√ 1
3
2 √
2
2
1
2

2π 3π 5π 7π 5π 4π 3π
3 4 6 π 6 4 3 2 x
π π π π 5π 7π 11π 2π
6 4 3 2 3 4 6

− 12
√
2
√ − 2
3
− 2
−1

Figura 3: Gráfica de la función cos(x) en el intervalo [0, 2π].

Actividad 9.1Completen la tabla usando las Figuras 2 y 3 con los valores de las funciones
trigonométricas sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π. 

π π π π
θ 0 6 4 3 2
2π
3
3π
4
5π
6 π 7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
∫
sen(θ)
∫
cos(θ)

Tabla 1: Valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π.

La primera observación que hacemos en el estudio de las funciones trigonométricas se refiere

a que son funciones cuyos valores se repiten cada 2π (o sea, cada vuelta completa que da
el ángulo sobre la circunferencia unidad). El número 2π se llama período de las funciones
trigonométricas.

sen(θ + 2π) = sen(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ)

Las gráficas del intervalo [0, 2π] se copian a la derecha y a la izquierda para ocupar todo el eje
horizontal como se ve en la Figura 4.

sen(θ)
1
θ
−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π

Período 2π
cos(θ)

θ
−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π

Período 2π

Figura 4: Gráfica de las funciones sen(x) y cos(x) en todo R.

1 Funciones seno y coseno 3

Actividad 9.2Las funciones sen(θ) y cos(θ) pueden tomar valores positivos o negativos
según el cuadrante al que pertenezca el ángulo θ. Completen la Tabla 2.

Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

sen(θ) positiva
cos(θ) positiva

Tabla 2: Positividad y negatividad de las funciones sen(θ) y cos(θ).

Las funciones trigonométricas cumplen las siguientes propiedades.

Propiedad 1.1 — Propiedades de las funciones sen(θ) y cos(θ).

Por convención se escribe

cos2 (θ) = (cos(θ))2

Continuidad: Las funciones son continuas en todo R.
= cos(θ). cos(θ)
Identidad principal: sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1
que es diferente a
Los valores están acotados: −1 ≤ sen(θ) ≤ 1 − 1 ≤ cos(θ) ≤ 1 cos(θ 2 ) = cos(θ.θ)
Periodicidad: sen(θ + 2π) = sen(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ)

Simetrías: sen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ)

Suma y resta:

sen(θ 1 + θ 2 ) = sen(θ 1 ) cos(θ 2 ) + cos(θ 1 ) sen(θ 2 )

cos(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) − sen(θ 1 ) sen(θ 2 )
sen(θ 1 − θ 2 ) = sen(θ 1 ) cos(θ 2 ) − cos(θ 1 ) sen(θ 2 )
cos(θ 1 − θ 2 ) = cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) + sen(θ 1 ) sen(θ 2 )

Desplazamiento: sen(θ + π2 ) = cos(θ)

y
No desarrollaremos las demostraciones de estas propiedades pero haremos algunos comentarios
y comparaciones como guías.
sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1
En primer lugar, para ángulos en el primer cuadrante, la identidad principal se deduce del
teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo de la Figura 5 dado que la hipotenusa
sen(θ)

mide 1 unidad de longitud.

1

x
C En la Tabla 1 están los valores exactos de las funciones trigonométricas para varios cos(θ)
ángulos conocidos que se expresan como fracción del ángulo π (equivalente a 180◦ . Sin
embargo, no perdamos de vista que las funciones trigonométricas pueden calcularse en
cualquier número real obteniendo, en muchas oportunidades números irracionales que Figura 5: Identidad principal.
podremos aproximar según el contexto. La mayoría de las veces usamos la calculadora
para ello; aunque para hacerlo correctamente tenemos que configurarla correctamente
en modo radianes (RAD) o grados sexagesimales (DEG).
Por ejemplo,

cos(1) ≈ 0.540302 sen(−2) ≈ −0.909297

donde hemos tomado 1 y −2 como la medida de ángulos en radianes.

En cambio, si tomamos 1 y −2 como la medida de ángulos en grados sexagesimales
entonces obtendremos

cos(1) ≈ 0.9998 sen(−2) ≈ −0.0348

4 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

Respecto a las simetrías, en las Figuras 6 y 7 se presentan las relaciones los valores de las
funciones cos(θ) y sen(θ) entre ángulos opuestos,

cos(−θ) = cos(θ) sen(−θ) = − sen(θ)

y cos(θ)
cos(−θ) = cos(θ)

x
−θ θ
−θ

Figura 6: Relación de simetría cos(θ) = cos(−θ).

y sen(θ)
sen(θ) = −sen(−θ)

x −θ θ
θ
−θ

Figura 7: Relación de simetría sen(θ) = − sen(−θ).

Por último, en la Figura 8 se presenta la relación de desplazamiento que relaciona los valores
sen(θ + π2 ) y cos(θ).

π
θ+ 2
2)
π
sen(θ +

sen(θ)
θ
x θ
θ π
cos(θ) θ+ 2

cos(θ)

Figura 8: Relación entre los valores de la función sen(θ + π2 ) y cos(θ).

2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x) 5

2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x)

En todos los desarrollos anteriores utilizamos como variable independiente a θ porque
consideramos necesario diferenciar los diagramas con ejes coordenados x-y donde θ se
representa como el ángulo, y los diagramas con ejes coordenados θ- f (θ) donde se representaron
las relaciones funcionales.

 Definición 2.1 — Forma general de las funciones trigonométricas.

La forma general de las funciones trigonométricas es

f (x) = A sen(ω(x − φ)) + c g(x) = A cos(ω(x − φ)) + c (1)

en donde utilizamos a x como variable independiente.

Describiremos las constantes A, ω, φ y c presentes en la definición 1.

2.1 Amplitud A
Representa un cambio en los valores máximos y mínimos de las funciones. Para los casos

A sen(x) A cos(x)

los valores máximos y mínimos son A y −A.

Si A es positivo, la amplitud es A y se cumple que

−A ≤ A sen(ω(x − φ)) ≤ A − A ≤ A cos(ω(x − φ)) ≤ A

y
Si A es negativo, la amplitud es −A. La gráfica se refleja respecto al eje x. Ver Figura 10.

y y = 2 sen(x) y = sen(x)
2
y = sen(x) x
1
1
2 y= 1
2 sen(x) x
−π π 2π
y = −2 sen(x)

Figura 10: Reflejo respecto al eje x

en el caso de A < 0.
Figura 9: Gráficas de las funciones sen(x), 2 sen(x) y 21 sen(x).

2.2 Valor promedio c

Representa el promedio entre los valores máximos y mínimos que toma la función. En el caso y
más sencillo, las funciones f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen valores simétricos respecto a 3
la recta horizontal y = 0. El valor promedio es 0. Gráficamente, el valor de c representa una
traslación en sentido vertical en c unidades de la gráfica. Por ejemplo,
2
h(x) = cos(x) + 2
1
tiene un valor promedio c = 2; la gráfica de h(x) se obtiene trasladando la del cos(x) en 2
x
unidades hacia arriba y sus valores máximos y mínimos de la función son 3 y 1 respectivamente.
Ver Figura 11.
Figura 11: Gráfica cos(x) + 2.
6 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

2π
2.3 Período
ω
2π
El cociente (para ω , 0) determina el período de las funciones f (x) y g(x). O sea, los
ω
valores de f (x) y g(x) se repiten cada 2π
ω,

   
2π 2π
f (x) = f x + g(x) = g x +
ω ω

En términos gráficos el valor de ω hace que las ondas asociadas a las funciones trigonométricas
sen(x) y cos(x) están más comprimidas o más expandidas. En la Figura 12 se muestra como
ejemplo la onda correspondiente a la función sen(x) (en negro), la función sen(2x) (en magenta)
que está comprimida a la mitad, y la función sen( 12 x) (en azul) que está extendida al doble.

y
1

π 2π 3π 4π
y = sen( 12 x)
y = sen(2x) y = sen(x)

Figura 12: Gráficas de las funciones sen(2x), sen( 12 x) y sen(x).

Si el valor de ω es mayor a 1, entonces la gráfica de la función queda más comprimida. En

cambio, si el valor de ω es menor a 1, entonces la gráfica de la función queda más extendida.

2.4 Desplazamiento de la fase φ

El valor de φ produce un desplazamiento de la gráfica. Si φ es positivo el desplazamiento se

produce hacia la derecha. Si φ es negativo el desplazamiento se produce hacia la izquierda.

y
1

x
π π 2π
3

y = sen(x)

y = sen(x − π3 )

Figura 13: Gráfica de la función sen(x − π3 ) en [ π3 , 7π

3 ].

En la siguiente gráfica se representan los cuatro elementos mencionados: A, c, ω, φ.

2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x) 7

2π
Período ω
y
c+A

Amplitud A

c Valor promedio c

c−A

x
φ φ+ 2π
ω
Desplazamiento φ

Figura 14: Gráfica de la función f (x) = A sen (ω(x − φ)) + c. Caso A > 0.

 Ejemplo 2.1 — Una función trigonométrica usando amplitud, período y desplazamiento.

Determinaremos la amplitud, el período y el desplazamiento de la función

f (x) = 3
4 cos(2x + π2 )

y realizaremos su gráfica.
Para ello, re-escribimos la función en la forma general sacando factor común 2 en la
expresión 2x + π2 = 2(x + π4 ) para tener

f (x) = 3
cos 2(x + π4 ) = 3
cos 2(x − (− π4 )) .



4 4

2 = π y el desplazamiento
Por lo tanto, obtenemos que la amplitud es 34 , el período es 2π
de la fase es de π4 hacia la izquierda. La gráfica de la función se presenta en la Figura 15.

y
1
3
4

x
− π4 π
2
3π
4

Figura 15: Gráfica de la función f (x) = 34 cos(2x + π2 ).


8 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

Actividad 9.3 Realicen la gráfica de las siguientes funciones determinando sus elementos.

a) f (x) = sen(3x) b) g(x) = − cos(2x)

c) h(x) = cos(x − π4 ) d) m(x) = 2 sen(3x + π)



Actividad 9.4Determinen la forma general de las siguientes funciones que se presentan en

forma gráfica.

a) b) c)

d) e) f)


3 Función trigonométrica tan(x)

sen(x)
Otra función trigonométrica utilizada es la función tangente tan(x) = que, en la
cos(x)
circunferencia unidad, representa la ±longitud (+ o − según el cuadrante) del segmento
vertical como se muestra en la Figura 16.

y
tan(θ)

Figura 16: Circunferencia unidad.

Se diferencia principalmente de las funciones sen(x) y cos(x) porque su período es más corto
y porque su dominio ya no es todo el conjunto de números reales.
3 Función trigonométrica tan(x) 9

El dominio de la función tan(x) está determinado por todos los números reales que no anulan
el denominador. Por lo tanto debemos excluir a todos los x tales que

cos(x) = 0.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones de la forma π2 + kπ siendo k ∈ Z.

Por lo tanto el
Dom(tan(x)) = R − π2 + kπ : k ∈ Z .


En cuanto al período, se tiene que

sen(x + π) − sen(x) sen(x)
tan(x + π) = = = = tan(x).
cos(x + π) − cos(x) cos(x)
El intervalo principal donde se grafica la función tangente es (− π2 , π2 ). Dado que

lı́m sen(x) = 1
π
y lı́m cos(x) = 0
π
x→ 2 x→ 2

y
lı́m sen(x) = −1
π
y lı́m cos(x) = 0
π
x→− 2 x→− 2
π
se concluye que tan(x) tiene asíntotas verticales en las rectas x = 2 y x = − π2 . Y recordando
la Tabla 2 tenemos

lı́m tan(x) = +∞
π−
y lı́m tan(x) = −∞
x→ 2 π+
x→− 2

La gráfica de la función tan(x) en todo su dominio se presenta en la Figura 17.

tan(x)

x
π − π2 π π 3π 2π 5π 3π
2 2 2

Período π

Figura 17: Gráfica de la función tan(x) en todo su dominio.

10 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

Resolver ecuaciones o inecuaciones que involucren funciones trigonométricas tiene algunas

cosas a favor de sencillas y otras en contra. Veamos con varios ejemplos cómo proceder en
algunos primeros casos.

 Ejemplo 3.1 — Ecuación trigonométrica que no tiene solución.

Para resolver la ecuación
3 sen(x) + 4 = 10
podemos operar para encontrar una ecuación equivalente más sencilla:

3 sen(x) + 4 = 10
3 sen(x) = 6
sen(x) = 2

Teniendo en cuenta la propiedad de acotación de la función sen(x) podemos afirmar

que no existe solución. 

y=x  Ejemplo 3.2 — Ecuación que tiene solución pero no podemos encontrarla.
Resolver la ecuación
2 cos(x) = x
es equivalente a encontrar la intersección entre las gráficas de las funciones f (x) =
2 cos(x) y g(x) = x y para ello podemos ayudarnos con la Figura 18 donde hemos
marcado la solución. Sin embargo, en términos analíticos la ecuación
x 2 cos(x) = x

no puede reducirse a una forma más simple (no todas las ecuaciones matemática pueden
y = 2 cos(x) resolverse con métodos algebraicos; este es un ejemplo). Con lo que no podemos
determinar la solución de la ecuación en forma exacta. El Teorema de Bolzano nos
Figura 18: Gráficas de g(x) = x y permite asegurar la existencia de una solución en el intervalo [0, π2 ] porque la función
f (x) = 2 cos(x). h(x) = 2 cos(x) − x es continua en el intervalo y toma un valor positivo en x = 0 y un
valor negativo en x = π2 . Usando el procedimiento de la Actividad 6.12 del Módulo 6
podemos encontrar la solución de manera aproximada con 3 decimales x ≈ 1.029. 

 Ejemplo 3.3 — Ecuación con infinitas soluciones.

La propiedad de periodicidad de las funciones trigonométricas es causa de que en
muchas oportunidades las ecuaciones que nos toque resolver tengan infinitas soluciones
porque primero resolvemos la ecuación en el intervalo básico [0, 2π] y luego, sabiendo
que los valores de las funciones se repiten, podemos determinar todas las demás
soluciones. Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación
y = cos(x)
cos(x) = sen(x)
5π entonces nos focalizamos en el intervalo [0, 2π] donde, recordando las Figuras 3 y 2, y
4 x
π la Tabla 1, sabemos que los valores de
4
π 5π
x1 = y x2 =
4 4
y = sen(x) hacen que los valores de cos(x) y sen(x). Como las funciones sen(x) y cos(x) tienen el

Figura 19: Gráficas de sen(x) y

cos(x).
4 Derivadas de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 11

mismo período 2π entonces podemos afirmar que habrá infinitas soluciones de la forma

π (1 + 8k)π
x1 = + 2kπ = para k ∈ Z
4 4
e infinitas soluciones de la forma
5π (5 + 8k)π
x2 = + 2kπ = para k ∈ Z
4 4


y y = cos(x)

− 11π
4 − 3π
4
5π
4
13π
4
21π
4 x
π
− 7π
4 4
9π
4
17π
4

y = sen(x)

Figura 20: Intersecciones de las gráficas sen(x) y cos(x).

4 Derivadas de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x)

Teorema 4.1 — Derivadas de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Las funciones sen(x), cos(x)
y tan(x) son derivables en sus dominios; y
d
sen(x) = cos(x) para todo x ∈ R
dx
d
cos(x) = − sen(x) para todo x ∈ R
dx
d 1 π
tan(x) = para todo x , + kπ siendo k ∈ Z
dx cos2 (x) 2

A continuación hacemos un estudio para demostrar las derivadas anteriores utilizando la

definición y las Propiedades 1.1 (la propiedad de la suma y resta).
Comenzamos con la función f (x) = sen(x).

d sen(x) sen(x + ∆x) − sen(x)

= lı́m
dx ∆x→0 ∆x
sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x) − sen(x)
= lı́m
∆x→0 ∆x
 
sen(x) cos(∆x) − sen(x) cos(x) sen(∆x)
= lı́m +
∆x→0 ∆x ∆x
 
cos(∆x) − 1 sen(∆x)
= lı́m sen(x) + cos(x)
∆x→0 ∆x ∆x
cos(∆x) − 1 sen(∆x)
= lı́m sen(x) lı́m + lı́m cos(x) lı́m
∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x
Para que el último paso sea válido necesitamos saber que los cuatro límites involucrados existen
(porque propusimos aplicar las propiedades algebraicas del límite). Dos de estos límites son
sencillos de calcular:

lı́m sen(x) = sen(x) y lı́m cos(x) = cos(x)

∆x→0 ∆x→0
12 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

porque tanto el sen(x) como el cos(x) son constantes con respecto a ∆x.
El
sen(∆x)
lı́m
∆x→0 ∆x
no puede calcularse por evaluación. Encontraremos su valor utilizando un argumento geométrico.
y Supongamos, en primer lugar, que θ se encuentra entre 0 y π/2. La Figura 21 muestra un
D sector de un círculo con centro O, ángulo θ y radio 1 y dos triángulos (el tríangulo OBA y el
1
O AD). El valor del área de ese sector circular es mayor al valor del área del triángulo OBA y
B menor que el área del triángulo O AD.
θ
Área del triángulo OBA ≤ Área del sector circular AOB ≤ Área del triángulo O AD

x Calculamos las áreas mencionadas:

O C A
a) El triángulo más pequeño tiene una base que mide |O A| = 1 y una altura que mide
Figura 21: Comparación entre las 1 × sen(θ)
|CB| = sen(θ). Luego su área es .
tres áreas mencionadas en el desa- 2
θ
rrollo. b) El área de un sector circular de ángulo θ se calcula por proporción directa: .
2
c) La base del triángulo más grande también mide |O A| = 1 pero su altura mide | AD| =
sen(θ) 1 sen(θ)
tan(θ) = . Luego su área es .
cos(θ) 2 cos(θ)
Obtenemos
Respecto al inciso b), se calcu- sen(θ) θ 1 sen(θ)
la el área de un sector circular < < .
2 2 2 cos(θ)
de ángulo θ tomando proporción
directa: 2
Como sen(θ) > 0 para 0 < θ < π/2, si multiplicamos por a cada miembro de la
sen(θ)
Círculo completo de radio r: desigualdad tenemos que
θ 1
1< < ,
2π → π × r 2 sen(θ) cos(θ)
o, en forma equivalente (dado que son todos términos positivos),
Sector de ángulo θ:
sen(θ)
θ × π × r 2 θr 2 cos(θ) < < 1.
θ→ = θ
2π 2
Sabemos que lı́m 1 = 1 y que lı́m cos(θ) = 1. Ambos límites existen y son iguales.
θ→0 θ→0
Concluimos (usando el Teorema 4.2 del Sandwich que enunciamos a continuación) que
sen θ
lı́m = 1.
θ→0+ θ
y
f (x) Teorema 4.2 — Teorema del Sandwich. Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) cuando x es cercana a a
(excepto posiblemente en x = a) y

lı́m f (x) = lı́m h(x) = L

x→a x→a
L
g(x) entonces lı́m g(x) = L.
x→a

El Teorema del Sandwich, que a veces recibe el nombre de Teorema de Contracción o de

h(x) x
Compresión, se ilustra en la Figura 22. No lo demostraremos. Nos dice que si g(x) está atrapada
a entre f (x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces g es forzada a
tener el mismo límite L en a.
Figura 22: Teorema del Sandwich. Con un razonamiento muy similar para valores θ → 0− se obtiene que

sen θ sen(θ)
lı́m = lı́m− .
θ→0+ θ θ→0 θ
4 Derivadas de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 13

Luego,
sen(θ)
lı́m = 1.
θ→0 θ
El límite
cos(θ) − 1
lı́m
θ→0 θ
tampoco puede calcularse por evaluación. Lo haremos de la siguiente manera:

cos(θ) + 1 cos2 (θ) − 1

   
cos(θ) − 1 cos(θ) − 1
lı́m = lı́m . = lı́m
θ→0 θ θ→0 θ cos(θ) + 1 θ→0 θ (cos(θ) + 1)

− sen2 (θ) sen(θ) sen(θ)

= lı́m = − lı́m .
θ→0 θ (cos(θ) + 1) θ→0 θ cos(θ) + 1
| {z } | {z }
→1 →0
(ya lo calculamos) (se calcula por
evaluación)
 
0
= (−1). = 0.
1+1

Retomando el cálculo de la derivada que estábamos realizando,

cos(∆x) − 1 sen(∆x)
f 0(x) = lı́m sen(x) lı́m + lı́m cos(x) lı́m
∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x

= (sen(x)).0 + (cos(x)).1 = cos(x).

Hemos demostrado la fórmula para la derivada de la función seno:

0
sen(x) = cos(x) (para todo x ∈ R)

 Ejemplo 4.1 — Derivada de una función que involucra sen(x).

Calculamos la derivada de la función f (x) = x 2 sen(x) utilizando el Teorema 4.1 y la
regla del producto.
d 2 d 2 d
[x sen(x)] = (x ). sen(x) + x 2 (sen(x)) = 2x sen(x) + x 2 cos(x)
dx dx dx


Usando la propiedad de desplazamiento y de suma/resta de Propiedades 1.1 y la regla de la

cadena podemos calcular la derivada de la función cos(x). Dado que las funciones sen(x) y
x + π2 son derivables en todo R entonces cos(x) = sen(x + π2 ) es derivable en todo R y además

cos(x) = sen(x + π2 )

0
0

= cos(x + π2 ).1 = cos(x). cos( π2 ) − sen(x). sen( π2 )

= − sen(x)

La función g(x) = tan(x) también se puede derivar para x en su dominio usando la definición
de derivada, pero es más sencillo en este caso usar la regla del cociente para derivarla
aprovechando que ya conocemos la derivada de las funciones sen(x) y cos(x):
14 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

d d
(sen(x)) cos(x) − sen(x) dx (cos(x))
 
d d sen(x)
(tan(x)) = = dx
dx dx cos(x) (cos(x))2
cos(x) cos(x) − sen(x) (− sen(x))
=
(cos(x))2
cos2 (x) + sen2 (x) 1
= 2
=
(cos(x)) cos2 (x)

 Definición 4.1 — Funciones secante, cosecante y cotantente.

Tomando como base las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) se definen tres nuevas funciones
1 n π o
Secante: sec(x) = Dominio = x ∈ R : x , + kπ, k ∈ Z
cos(x) 2
1
Cosecante: cosec(x) = Dominio = {x ∈ R : x , kπ, k ∈ Z}
sen(x)
cos(x) n π o
Cotangente: cot(x) = Dominio = x ∈ R : x , + kπ, k ∈ Z
sen(x) 2

C Usando como referencia la definición de la función sec(x) podemos re-escribir la

derivada de la función tan(x) de la forma como muchas veces aparece en los libros

d
(tan(x)) = sec2 (x)
dx

Actividad 9.5 Hallen, usando las reglas de derivación, la derivada de las siguientes funciones:

a) g1 (x) = sec(x) b) g2 (x) = e x cos(x)

c) g3 (x) = x + cos(x) d) g4 (x) = sen(a + x 3 ), a ∈ R constante



Actividad 9.6 Indiquen para que valores de x la gráfica de las siguientes funciones tienen
una recta tangente horizontal.

a) f (x) = x + sen(x) b) g(x) = e x cos(x)



Actividad 9.7
a) ¿En qué intervalos es creciente f (x) = x − 2 sen(x)? Con 0 ≤ x ≤ 2π
b) ¿En qué intervalos es cóncava hacia abajo g(x) = 2x−2 tan(x)? Con −π/2 < x < π/2.


5 Límites que involucran funciones trigonométricas

Ya hemos estudiado y calculado los siguientes límites

sen(θ) cos(θ) − 1
lı́m =1 (2) lı́m =0 (3)
θ→0 θ θ→0 θ
5 Límites que involucran funciones trigonométricas 15

En esta sección calcularemos algunos límites que involucran algunas de las funciones
trigonométricas.

 Ejemplo 5.1 — Límite que involucra un cambio de variables u = 3x .

sen(3x)
Calculemos el lı́m .
x→0 x

sen(3x) sen(3x) 3 sen(3x) Para estar atentos y atentas

lı́m = lı́m = lı́m 3
x→0 x x→0 x 3 x→0 3x
sen(u) sen(u) sen(3x) , 3 sen(x)
= lı́m 3 = 3 lı́m = 3.1 = 3
u→0 u u→0 u
Realizamos la sustitución u = 3x observando que x → 0 ⇐⇒ u → 0 para re-escribir
el límite original como un límite de la forma 2 que ya sabemos cuanto vale. 

 Ejemplo 5.2 — Límite que no existe

  con comportamiento oscilatorio.
π
Investiguemos el lı́m sen .
x→0 x
 π  evaluando en x = 0 analizaremos el comporta-
Dado que no podemos calcular el límite
miento de la función f (x) = sen cerca de x = 0 (en x = 0 no está definida). Si
x
evaluamos la función en algunos valores pequeños de x, obtenemos

f (1) = sen(π) = 0 f (1/2) = sen(2 π) = 0

f (1/3) = sen(3 π) = 0 f (1/4) = sen(4 π) = 0

f (0.1) = sen(10 π) = 0 f (0.01) = sen(100 π) = 0 y
Por otro lado, si calculamos f (0.001) = f (0.00001) = 0. En base a eso alguien podría
π
estar tentado a pensar que el lı́m sen = 0 pero esa respuesta no es correcta.
x→0 x
Observemos que aunque f (1/n) = sen(n π) = 0 para todo n entero, también es cierto
que f ( n2 ) = ±1 para n entero impar. En la Figura 23 podemos ver la gráfica de la x
función. La línea entrecortada cerca del eje-y indica que los valores del sen(π/x)
oscilan infinitamente tomando valores entre −1 y 1 cuando x se acerca a 0. Como los
valores de f (x) no se aproximan a un número fijo cuando x se aproxima a 0 decimos
que
π
lı́m sen no existe.
x→0 x
  23: Gráfica de la función
Figura
π
sen en el intervalo (0, +∞).
x

 Ejemplo 5.3 — Límite para aplicar el Teorema

  del Sandwich.
1
Calculemos ahora el lı́m x sen .
x→0 x
Este límite tampoco puede calcularse por evaluación. Pero, a diferencia del Ejemplo 5.2
la función tiene un factor x delante
 
1
x . sen .
|{z} x
→0 | {z }
Varía entre -1 y 1
16 Capítulo 9. Funciones trigonométricas

 
1
De modo que los valores de x. sen se irán acercando a 0 si x → 0. Lo desarrolla-
x
remos usando el Teorema del Sandwich, multiplicando por x (positivo o negativo) a
todos los miembros de la desigualdad
 
1
−1 ≤ sen ≤1
x

obteniendo
   
1 1
−x ≤ x sen ≤, x −x ≥ x sen ≥ x
x x
| {z } | {z }
para x > 0 para x < 0
 
1
O sea que para x , 0, los valores de la función x sen se encuentran acotados por
x
arriba y por abajo por funciones que tienden a cero cuando x se acerca a cero,
 
1
f1 (x) ≤ x sen ≤ f2 (x)
y x

con lı́m f1 (x) = 0 y lı́m f2 (x) = 0. Por el Teorema del Sandwich aseguramos que
x→0 x→0
 
1
lı́m x sen = 0.
x→0 x
x
 
1
En la Figura 24 podemos ver la gráfica de la función f (x) = x sen . Tiene una
x
discontinuidad evitable en x = 0. Podemos definirla como f (0) = 0 para que resulte
una función continua en todo R.
 
 1
x sen si x , 0



x
f˜(x) =


 Gráfica de la función
Figura 24:
π
en el intervalo (0, +∞).

x sen 

0 si x = 0.
x




 Definición 5.1 — Límites oscilantes.

Los casos similares al presentado en el Ejemplo 5.2 se denominan límites oscilatorios y
corresponden a discontinuidades inevitables de las funciones.

Actividad 9.8 Calculen los siguientes límites.

cos(x) + 3 sen(7x) tan(x)

a) lı́m b) lı́m c) lı́m
x→0 tan(x) + 3 x→0 4x x→0 2x

x−π sen2 (3t)

d) lı́m e) lı́m
x→π sen(x − π) t→0 t2


 
2
Actividad 9.9 Prueben que el lı́m t 4 cos = 0. ¿Cómo corresponde re-definir la función
  t→0 t
2
g(t) = t 4 cos para que resulte continua en todo R? 
t
6 Funciones trigonométricas inversas 17

6 Funciones trigonométricas inversas

Definimos las siguientes funciones trigonométricas denominadas funciones trigonométricas
inversas usando el mismo mecanismo que se hizo al relacionar las funciones ln(x) y e x . y

 Definición 6.1 — Funciones trigonométricas inversas.

Se definen las siguientes funciones usando las siguientes equivalencias válidas en los
dominios indicados.
x
Función inversa Definición
arc sen(x) : [−1, 1] −→ [− π2 , π2 ] arc sen(x) = y ⇐⇒ sen(y) = x

Función inversa Definición

arc cos(x) : [−1, 1] −→ [0, π] arc cos(x) = y ⇐⇒ cos(y) = x
Figura 25: Gráfica de arc sen(x).

y
Función inversa Definición
arctan(x) : R −→ − π2 , π
arctan(x) = y tan(y) = x


2 ⇐⇒

La función arctan(x) es derivable en todo su dominio

d 1
arctan(x) = para x ∈ R
dx 1 + x2
Las funciones arc sen(x) y arc cos(x) no son derivables en todo su dominio. Se tiene que
d 1
arc sen(x) = √ para x ∈ (−1, 1)
dx 1 − x2 x
d −1
arc cos(x) = √ para x ∈ (−1, 1)
dx 1 − x2 Figura 26: Gráfica de arc cos(x).

y
π
2

− π2

Figura 27: Gráfica de arctan(x).

Puede verse que la función f (x) = arctan(x) tiene asíntotas horizontales en las rectas
π π
y= y=−
2 2
Por ejemplo,
π
arc sen(0) = 0 porque sen 0 = 0. arc cos(0) = 2 porque cos( π2 ) = 0.

π
arctan (1) = 4 porque tan( π4 ) = 1.