1.

Funciones Trigonométricas

Problema
En el año 2000 se inauguró en Londres una noria gigante, conocida como el London
Eye.

Esta enorme rueda, que se tranformó en

una de las principales atracciones turı́sti-
cas de Gran Bretaña, tiene 120 metros de
diámetro y alcanza una altura máxima de
135 metros. Cada una de sus 32 cápsulas
tiene una capacidad de alrededor de 25
pasajeros y demora unos 30 minutos en
completar una revolución.

Desde una determinada posición una persona la observa girar en el sentido horario a
velocidad angular constante. En ese momento un grupo de personas sube a una de
las cápsulas (el punto A del diagrama).

1. ¿Cuánto tiempo tardan en llegar a la posición B?

2. ¿A qué altura se encuentran, respecto del nivel del piso, cuando llegan a dicha
posición?

3. ¿Cuándo vuelven a estar por segunda vez a esa misma altura?¿Y por tercera
vez?

4. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que se encuentren a 126, 96 metros de altura?

5. Determinen una función h que calcule la altura de la cápsula, t minutos después

de pasar por A. tiempo

3O◦

B• •
A
Nivel del suelo

1
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

1.1. Sistema de medición en radianes

Hasta aquı́ hemos considerado todos los ángulos medidos en el sistema sexagesimal.
Existen otros sistemas posibles. Particularmente, el más apropiado para trabajar con fun-
ciones trigonométricas (o funciones circulares) en Cálculo, es el sistema de medición de
ángulos en radianes.

Definición
Consideremos un ángulo cualquiera α y la circunferencia de radio 1 que tiene como
centro al vértice de α. La medida en radianes de este ángulo es la longitud del arco
que subtiende.

π rad

1 α 1 rad 1 π/2 rad α

α 1

La conversión de un sistema al otro se basa en que la longitud del arco de circunferencia

es directamente proporcional al ángulo que subtiende.

Como un ángulo de un giro completo mide 360◦ y la longitud de la circunferencia de

radio 1 es de π unidades, se tiene que

180 ◦
360◦ = 2 π rad ⇒ 1 rad = ≈ 57, 3◦


π

Ejemplo 1.1 Expresen 45◦ en radianes.

Solución:
◦
Como 360◦ = 2 π rad ⇒ 1 rad = 180
π
, se tiene que
 π 
1◦ = rad
180
Por lo tanto,  π  π
45◦ = 45 · rad = rad
180 4

1.2. Funciones periódicas

Definición
Decimos que una función f es periódica con perı́odo T , si para toda x del dominio
de f se verifica que x + T también pertenece al dominio de f y además

f (x) = f (x + T )

2
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

Observación 1.1 Es inmediato que si f es una función periódica con perı́odo T , también
se verifica que es periódica con perı́odo kT con k ∈ Z, es decir todo múltiplo entero de un
perı́odo también es un perı́odo. De aquı́ en adelante consideraremos como el perı́odo de una
función al menor número positivo T que verifica la definición anterior.

Ejemplo 1.2 Las funciones seno y coseno son funciones periódicas con perı́odo T = 2π.

Ejemplo 1.3 La función tangente tiene perı́odo T = π.

sen x
En efecto, recordando que tg x = y las identidades
cos x
sen (x + π) = −sen x

cos (x + π) = − cos x
se tiene que
sen (x + π) −sen x sen x
tg (x + π) = = = = tg x
cos (x + π) − cos x cos x
para toda x en el dominio de la función tangente.

1.3. Las gráficas del Seno, Coseno y Tangente

Recordemos que en la circunferencia trigonométrica, el valor del seno de un ángulo,
medido en el sentido antihorario, está dado por la ordenada del punto que es extremo del
arco que subtiende dicho ángulo.

El siguiente diagrama muestra cómo puede construirse la gráfica de la función seno

trasladando sobre un sistema de ejes cartesianos las ordenadas asociadas a cada ángulo.
y
π
2π π
2
3 3 1
5π π
6 6
7π 4π 3π 5π 11π
π 6 3 2 3 6
π π π π 2π 5π
6 3 2 3 6
2π x
7π
6 f (x) =sen x
4π
3
3π
−1
2

La gráfica, conocida como sinusoide, puede extenderse a todo el eje positivo consideran-
do ángulos de más de un giro. Puede observarse que si hacemos esto, los valores del seno
van a repetirse con cada uno de estos giros. Por ello, esta función tiene un perı́odo igual a
2 π. Por otra parte, considerando negativos los ángulos medidos en el sentido de la agujas
del reloj, también podemos extender su dominio a los reales negativos.

3
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

3π
2

− 3π −π − π2 π π 2π 5π
2 2 2 x

−1 f (x) =sen x

De esta forma, su dominio es R y su imagen el intervalo [−1, 1]. Toma el valor cero en todo
los múltiplos enteros de π. Es decir, su conjunto de ceros es

C0 = {k π/k ∈ Z}

Teniendo en cuenta que  π

cos x = sen x +
2
la gráfica del coseno es simplemente un desplazamiento horizontal de la gráfica del seno (se
desplaza π/2 “hacia la izquierda”):
y

3π
2

− 3π −π − π2 π π 2π 5π
2 2 2 x

−1 f (x) = cos x

Por lo tanto, la función coseno también está definida en todo R y su imagen es el [−1, 1],
Corta al eje de abscisas en todos los múltiplos impares de π/2:
π
C0 = {(2k + 1) /k ∈ Z}
2
Para obtener el gráfico de la función tangente, vamos primero a determinar cuál es su
segmento representativo. Tracemos la recta tangente a la circunferencia en el punto (1, 0):

4
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

y Q = (x2 , y2 )
Los triángulos 4AOP y 4BOQ
son semejantes, por lo tanto las
1 razones entre lados homólogos es
P = (x1 , y1 ) la misma:

sen α AP QB sen α QB
= ⇒ =
OA OB cos α 1
O α A B
x tg α = QB = y2
−1 cos α 1
Luego, la tg α está dada por la
ordenada del punto de intersec-
ción entre el lado del ángulo que
−1 contiene a P y la recta tangente
a la circunferencia en el punto
B = (1, 0).

Seguiremos un procedimiento similar al que realizamos para determinar la gráfica del seno:

y
π
2π 2 π
3 3 1
5π
6
2π 5π 5π 11π
3 6 3 6
π π π π 7π 4π 2π
6 3 6 3 x
7π
6
f (x) =tg x
4π
3
3π
−1
2

Tal como señalamos anteriormente, la función tangente es una función de perı́odo T =

2 π. Tiene infinitas ası́ntotas verticales. Estas rectas pasan por todas las abscisas que son
múltiplos impares de π/2. Por otra parte, su ceros (que son los ceros de la función seno) se
encuentran en los múltiplos de π:

C0 = {k π/k ∈ Z}

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en las aplicaciones. Son fundamenta-
les para resolver problemas donde intervienen ondas electromagnéticas o sonoras, problemas
de vibraciones, resonancias, etc. Permiten modelar fenómenos cı́clicos o periódicos.

5
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

1.4. La función sinusoidal

Definición
Llamamos función sinusoidal o senoidal a toda función

f : R → R/f (x) = a sen (bx + c) (1.1)

donde a, b, c ∈ R y además a 6= 0 y b 6= 0.

Hemos visto que los valores que toma la función seno oscilan entre −1 y 1, su conjunto
imagen es Im(sen) = [−1, 1]. Si consideramos la función f (x) = a sen x, al multiplicar
todas las ordenadas por un valor a 6= 0, obtenemos todos los valores comprendidos entre
−a y a. Esto equivale a efectuar un cambio de escala en la gráfica de la función seno.

El siguiente diagrama muestra las gráficas de las funciones f (x) = 2sen x (en trazo
continuo) y g(x) = sen x (en lı́neas punteadas):
y

−4 −2 2 4 6 x

−1

El parámetro b de la función sinusoidal (1.1) influye sobre su perı́odo y se lo conoce como

pulsación de la misma. Puede probarse que
2π
T =
|b|

Cuando la pulsación es un número natural, nos dice cuántas ondas hay en un intervalo de
longitud 2π. En el siguiente gráfico tenemos las funciones f (x) = sen (2x) (en trazo conti-
nuo) y g(x) = sen x (en lı́neas punteadas). Puede observarse que por cada onda completa
de la gráfica de g hay dos ondas de f :

6
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

y
1

−4 −2 2 4 6 x

−1

El número c se conoce como fase inicial de (1.1).

Consideremos una función

f : R → R/f (x) = a sen (bx + c)

y, sin pérdida de generalidad, supongamos que a > 0. Para graficarla podemos proceder de
la siguiente forma:

1. Su amplitud, a, nos indica que la gráfica de f está acotada entre a y −a.

c
2. f (x) = 0 ⇔ bx + c = 0 ⇔ x = − . Este valor, que podemos denotarlo por xi nos
b
indica el “inicio”de una onda.
2π
3. Calculamos su perı́odo T = y determinamos el “final”de la onda: xf = xi + T (la
|b|
onda “termina”donde “comienza la siguiente”)
Estos cuatro números, a, −a, xi y xf , determinan un rectángulo que inscribe a la
onda.
xi + x f
4. En el punto medio entre xi y xf , esto es xme = la función vale 0. Y en los
2
puntos medios entre xi y xme , y entre xme y xf la función alcanza sus valores máximos
y mı́nimos. En general es recomendable verificar si alcanza un máximo o un mı́nimo
en el primero de estos puntos.

x
xi = − cb xme xf = x i + T

−a

7
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

5. Finalmente podemos graficar todas las ondas que necesitemos.

Ejemplo 1.4 Graficar la función f (x) = 2 sen 2x − π3 en el intervalo [−π, 3/2 π].

Solución
Sabemos que la onda oscila entre −2 y 2. Por otra parte,
π 7
xi = , T = π, y, por lo tanto, xf = π
6 6
xi + x f 1/6 π + 7/6 π 2
Además f vale 0 en x = = = π.
2 2 3
Consideramos también los puntos

π/6 + 2/3 π 5 2/3 π + 7/6π 11

x= = π y x= = π
2 12 2 12
Como f (5/12 π) = 2 sen(5/6 π − 1/3 π) = 2 sen(1/2 π) = 2, alcanza su máximo valor en
5/12 π y, por ende, el su mı́nimo valor en 11/12 π. Con esta información graficamos una
onda y luego hacemos todas las copias que se necesiten:

y y

2 2

x x
π
6
2
3
π 7
6
π − π3 π
6
2
3
π 7
6
π 2π

−2 −2

En el diagrama de la derecha hemos representado a f en el intervalo [−π/3, 2 π].

Ejemplo 1.5 Graficar la función f (x) = −2 cos x − π3 en el intervalo [−π, 2 π].

Solución
Vamos a escribir la función en términos del seno en lugar del coseno. Para ello nuevamente
utilizaremos que cos(x) = sen(x + π/2):
 π  π π  π
f (x) = −2 cos x − = −2 sen x − + = −2 sen x +
3 3 2 6
Podemos graficar una onda que oscila entre −2 y 2, su perı́odo T = 2 π, y que esté compren-
dida entre x1 = − π6 y xf = − π6 + 2 π = 11
6
π. El punto medio de estos valores es xme = 56 π.
Luego,    
 π 5 11
f − =f π =f π =0
6 6 6
Por último, en x = 31 π f toma el valor f (π/3) = −2, que es su mı́nimo valor.

8
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

Con toda esta información, graficamos una onda y luego extendemos la gráfica al inter-
valo solicitado:
y y

2 2

x x
− π6 π
3
5
6
π 11
6
π −π − π6 π
3
5
6
π 11
6
π

−2 −2

1.5. Inversas de las funciones trigonométricas

Como pudimos observar, las funciones trigonom’etricas no son inyectivas. En realidad,
ninguna función periódica es inyectiva. Justamente, el hecho de que f (x) = f (x + T ) para
todo x y un cierto T , nos muestra que existen puntos diferentes del dominio que tienen la
misma imagen y, por ende, f no puede ser inyectiva.

Sin embargo, podemos restringir el dominio de la funciones trigonométricas de forma

tal de que sean inyectivas. Estas restricciones no afectan la resoluci’on de problemas, ya que
por su periodicidad podemos siempre encontrar los valores que necesitemos en cualquier
intervalo de su dominio.

La función Arco Seno

Si definimos la función seno como

 
1 1
sen : − π, π → [−1, 1]
2 2

entonces es biyectiva y, por lo tanto, admite función inversa. Su inversa es la función arco
seno,  
1 1
arcsen : [−1, 1] → − π, π
2 2
Recordemos que la gráfica de una función y de su inversa son simétricas respecto de la
recta y = x. En la siguiente figura pueden ver su gráfica:

9
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

π f −1 (x) =arcsen(x)
2

f (x) =sen(x)

−1 1 x
0

− π2

La función Arco Coseno

De forma análoga, podemos definir la inversa de la función coseno, restringiendo su

dominio a un intervalo donde sea inyectiva. En este caso, el intervalo elegido es el [0, π]:

cos : [0, π] → [−1, 1]

entonces es biyectiva y, por lo tanto, admite función inversa. Su inversa es la función arco
coseno,
arccos : [−1, 1] → [0 π, ]
y

f −1 (x) =arccos(x) π

−1 1 π x
0

f (x) =cos(x)

La función Arco Tangente

Por último veremos la gráfica de la inversa de la función tangente. Vamos a definirla en

el intervalo (−π/2, π/2):  π π
tg : − , →R
2 2
Su inversa es la función arco tangente,
 π π
arctg : R → − ,
2 2
10
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

Las ası́ntotas verticales de la tangente se transforman, como consecuenca de la simetrı́a, en

ası́ntotas horizontales.

f (x) =tg(x)
y

π
2

−π/2 1 π/2 x
0
f −1 (x) =arctg(x)

− π2

Las rectas y = π/2 e y = −π/2 son ası́ntotas horizontales de la gráfica del arco tangente.

1.6. Ecuaciones trigonométricas

Una de las caracterı́sticas de las ecuaciones trigonométricas es que si tienen una solución
entonces tienen infinitas. Esto se debe a la periodicidad de las funciones circulares. En los
problemas geométricos el número de soluciones es finito ya que en general se reduce a
medidas de ángulos entre 0 y π radianes. En otros contextos puede interesarnos determinar
las soluciones en algún intervalo real y por último, de forma más general, encontrar todas
las soluciones de la ecuación. Para encontrar una solución haremos uso de las inversas de las
funciones circulares. Luego una vez encontrada una solución, vamos a utilizar las gráficas
de las funciones trigonométricas para determinar todas las que necesitemos (por supuesto,
existen otros caminos posibles).

Ejemplo 1.6 Determinar todas las soluciones de la ecuación

1
sen(3x) =
2
Solución:
En primer lugar,
1 1
sen(3x) = ⇔ 3x = arcsen
2 2
1
3x = π
6
1
x= π
18

11
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

Esta es una de las soluciones de la ecuación que queremos resolver.

Por otra parte, la gráfica de la función f (x) = sen(3x), es una onda que oscila entre
−1 y 1, y su perı́odo es T = 2/3 π. La recta y = 1/2 corta infinitas veces su gráfica. Las
abscisas de cada uno de estos puntos es una solución de la ecuación.

A continuación se muestra un gráfico de esta función, observen que en un perı́odo hay

dos soluciones, x0 = π/18 y x1 :
y

f (x) =sen(3x)
1
2
1
3
π
π 2
18 x1 3
π x

Para obtener x1 vamos a utilizar las simetrı́as de la gráfica de esta sinusoide: La distancia
π
de x1 a 13 pi es igual a la distancia de 18 al origen. Luego,
1 1 5
π − x1 = π ⇒ x1 = 18 π
3 18
A partir de estas dos soluciones, obtenemos las demás como consecuencia de la periodicidad
de la onda:
1
x = 18 π + 23 kπ, x = 18
5
π + 23 kπ con k ∈ Z

Ejemplo 1.7 Determinar todas las soluciones de la ecuación

sen(2x) = 2 cos2 x
en el intervalo [0, 2π].
Solución:
Recordemos que el sen(2x) = 2 sen x cos x. Por lo tanto,
sen(2x) = 2 cos2 x
2 sen x cos x = 2 cos2 x
sen x cos x = cos2 x
0 = cos2 x − sen x cos x
0 = cos x(cos x − sen x)
Como un producto es igual a 0 si alguno de sus factores es 0, tenemos que cos x = 0 o bien
cos x − sen x = 0.

Hemos visto que los ceros de la función coseno ocurren en los múltiplos impares de π2 .
En el intervalo [0, 2π] se encuentran x1 = 12 π y x2 = 32 π.

Por otra parte,

π
cos x − sen x = 0 ⇔ cos x = sen x ⇔ 1 = tg x ⇔ x3 =
4
12
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

1 1 5 3 2π x
4
π 2
π 4
π 2
π

f (x) =tg x

Como el perı́odo de la función tangente es T = π, la otra solución en el intervalo [0, 2π]

es x4 = 45 π. Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es:

S = 12 π, 32 π, 14 π, 45 π


Ejemplo 1.8 Determinen todas las soluciones de la siguiente ecuación:

2 sen2 x = 3 cos x
Solución:
Aplicando la identidad pitagórica, tenenos que
2 sen2 x = 3 cos x
2(1 − cos2 x) = 3 cos x
0 = 2 cos2 x + 3 cos x − 2
Sustituyendo z = cos x, resulta la ecuación cuadrática
2z 2 + 3z − 2 = 0
cuyas soluciones son z = 1/2 y z = −2.Es decir,
1
cos x = y cos x = −2
2
y
f (x) =cos(x)
1
2 1
2
π
x1 x2 π 3
π x
2

Con la calculadora obtenemos que x2 = 13 π y por simetrı́a, x1 = − 31 π. Como el perı́odo del

coseno es T = 2π, las soluciones de cos x = 1/2 son
x = − 13 π + 2kπ y x = 31 π + 2kπ con k ∈ Z
Como por otra parte la ecuación cos x = −2 no tiene solución pues el coseno oscila entre
−1 y 1, las anteriores son todas las soluciones del problema.

13
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

1.7. EJERCICIOS
1. Completen la siguiente tabla:

sent cos t sen(t + π) cos(t + π) sen(π − t) sen(2π − t) Menor valor

positivo de t

√
3 1
−
2 2

√ √
2 2
2 2

√
1 3
− −
2 2

−1

√
3 1
2 2

0 −1

2. Calcule sin utilizar calculadora:

 √ 
a) sen 2arccos 22

Rta. = ±1
b) tg(arctg3)
√
3
Rta.= − 2
en π2 ≤x≤ 3π
2

c) arcsen(arccos1)
π π
Rta. = 3en − 2
<x< 2

d ) cos arcsen − 12



√
Rta.= 2 en − π2 < x < π
2

e) sec(arctg(−1))

14
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

Rta.= 0 en 0 < x < π

3. Para cada una de las igualdades propuestas determine el conjunto de existencia y

establezca si es una identidad.
senx 1 + cos x
a) ) =
1 − cos x senx
1 − cos(2α) + sen(2α)
b) = tgα
1 + cos(2α) + sen(2α)
 π
cos π4 + x + sen x −


c) =0
4
tg(α + β) − tgβ
d) = tgα
1 + tg(α + β)tgβ
x
e) tg(arcsenx) = √
1 − x2
4. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones en [0, 2π)
√
a) 2 cos x + 3 = 0
 
5π 7π
S = ,
6 6
b) tg2 x − 1 = 0
 
π 3π 5π 7π
S= , , ,
4 4 4 4
√
c) (2 cos x + 1)(2senx − 2) = 0
 
π 2π 3π 4π
S= , , ,
4 3 4 3
d ) senx + cos x = 1
n πo
S = 0,
2
√
e) 1 − cos x = 3senx
 
2π
S = 0,
3
f ) cos(2x) − cos x = 0
 
2π 4π
S = 0, ,
3 3
π  π 
g) tg + x + tg −x =2
4 4
S = {0, π}
h) sen(2x) + cos(2x) + sen2 x = cos2 x
 
π 3π
S = 0, , π,
2 2
x
i ) sen + cos x2 = 1
2
15
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

S = {0, π}
j ) cos8 x − sen8 x = 0
 
π 3π 5π 7π
S= , , ,
4 4 4 4
5. La intensidad I de la corriente (en amperes) en un alambre de un circuito de corriente
alternada satisface: I = 30sen(100 π t) donde t es el tiempo medido en segundos.

a) ¿Cuál es el periodo?
1
Rta.: 50 seg
b) ¿Cuántos ciclos (periodos) hay en un segundo?
Rta.:50
c) ¿Cuál es la máxima intensidad en la corriente?
Rta.:30 amperes

6. Un objeto viaja por una vı́a circular, centrada en el origen, con una velocidad angular
constante. La coordenada y del objeto en función del tiempo ( t en segundos) está
dada por:  π
y = 2 cos πt −
12
¿En qué tiempo t el objeto cruza el eje x ? ¿ Existe un solo t?

Rta.:t = 7
12
+ k, k ∈ Z0+

7. Un generador eléctrico produce una corriente alterna de 50Hz (Hertz) dada por.
  
7
i(t) = 30 sen 100π t −
36

donde i(t) es la corriente medida en amperes, en t segundos. Halle el valor positivo

más pequeño de t para que la corriente sea de 15 amperes.

Rta.:∼
= 0, 196seg

8. Demuestren que si x = a cos α e y = b senα, entonces b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 .

9. Demuestren que para cualquier x ∈ R se cumplen las siguientes desigualdades:

a) 4 + 4senx − cos2 x ≥ 0
b) sen2 x + 4 cos x − 4 ≤ 0

10. Hallen el valor de k para que la recta de ecuacion 4x + ky = 5 tenga un ángulo de

inclinación de 34 π. Grafiquen para el valor de k hallado.

Rta.: k = 4

16
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

11. Si consideran
1 + 2k 2
cos β = y sec β =
6k − 1 4k − 5
¿Cuál es el valor de k para que se verifiquen las igualdades anteriores sabiendo que
β pertenece al primer cuadrante?

3
Rta.: k = 2

12. Encuentren los valores de γ ∈ [0, π] tales que:

cos π3 − γ √


= 3 cos γ
−tg(π − γ)
π
, 76 π

Rta.: 6

13. Calculen los valores de β ∈ [0, 2π] que verifiquen:

√  π
3tg(β − π) = 3 sec β sen β +
6
π
, 7π

Rta.: 6 6

14. Dadas las funciones:

f : R → R/f (x) = −x3 + 3x2 −√3x + 1
g : [0, 2π) → R/g(x) = cos x − 3senx

Determinen:
{x ∈ R/f (x) = 0} ∪ {x ∈ R/g(x) = 0}

Rta.: 1, π6 , 76 π


1 3
15. Sabiendo que x = e y = − son respectivamente las ecuaciones de la ası́ntota
2 2
vertical y de la ası́ntota horizontal al gráfico de
mx + 5
f : Df → If /f (x) =
nx − 1
y g : R → R/g(x) = senx, calculen (f −1 ◦ g) (π).

5
Rta.: 3

16. Determinen el conjunto solución de la ecuación:

√
21−cos x = 2, ∀x ∈ [0, 2π)
π
, 53 π

Rta.: 3

17
1 Funciones Trigonométricas Seminario Universitario-UTN FRBA

17. Dadas las siguientes funciones

π


f : R → R/f (x) = 3sen 2x + 3
g : R → R+ /g(x) = 3x
3−x
h : Dh → Ih /h(x) = 2+x
t : R → R/t(x) = x2 − x

Determinen:
3
a) las raı́ces reales de la ecuación g(x) + g(x)
−4=0
Rta.: x = 1, x = 0
b) La amplitud y el periodo de f .
Rta.: 3 y π
c) h−1 (0)
Rta.: 3
d ) (t ◦ f )(−π) (dar el valor exacto).
√
Rta.: − 32 3 + 27
4
√
18. Si se sabe que α + β < π2 , α > 0, β > 0, tg α = 2 y senβ = 13 , calculen el valor exacto
de:
sen(2α + β)

7
Rta.: 9

19. Dadas las funciones

f : Df → R/f (x) = 9log4 x + 27
g : [0, 2π) → R/g(x) = sen(2x) − cos x

Determinen:

x ∈ R/f (x) = 12 · 3log4 x ∪ {x ∈ [0, 2π)/g(x) = 0}



Rta.: 4, 16, π6 , π2 , 5π , 3π

6 2

18