GUIA DE TRIGONOMETRÍA Ciclo V 15 Agosto 2020

Guía de matemáticas ciclo V
sábado 15 de agosto 2020

GUIA DE TRIGONOMETRÍA
Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es

aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.
π
- 360º = 2 π radianes (una vuelta completa) - Un ángulo recto mide radianes (un2
cuarto de vuelta)
- 180º = π radianes (media vuelta) - Como 180º = π rad, resulta que 1º =
π
180 rad
180
- Un ángulo de 1 radian tiene π = 57,29578 grados = 57º 17’ 45”
Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:
180 º π rad 180 º π rad

= =
xº y  ejemplo: 40º a rad 40 º y  y=
40 ºπ rad 4 π rad 2 π rad
= =
180 º 18 9
Ejercicios:
Transformar el ángulo de grados a rad:
1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º 5) 200º

6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º
Transformar el ángulo de rad a grados:
π π 17 π
rad rad rad
1) 5 2) 10 3) 3 π rad 4) 4
Aplicaciones de la medida en radianes
De la definición de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio

r y ángulo igual a α radianes es:
S=r· α , S: arco circunferência, r: radio y

α : ángulo en rad
Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario ( 2 πr =2 π ),

entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2π .
Ejemplo aplicación
Funciones trigonométricas
Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno (sen),
coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).
β
c
a
En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:
cateto opuesto cateto adyacente

sen α = hipotenusa cos α = hipotenusa
cateto opuesto cateto adyacente
tan α = cateto adyacente cot α = cateto opuesto
hipotenusa hipotenusa
sec α = cateto adyacente cosec α = cateto opuesto
Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen α y cos α para
poder calcular las otras funciones, veamos por qué:
sen α
tan α = cos α
cos α
cot α = sen α
1
sec α = cos α
1
cosec α = sen α
Aplica los contenidos de matemática común y calcula los valores de los ángulos de 30º, 45º y
60º
2 2
Demostrar que: sen α +cos α =1 , usa los valores de los ángulos anteriores y después
demuéstralo para cualquier valor del ángulo.
Ejemplo:
3
sen α=
1) Un ángulo agudo α tiene 5 . Halla las restantes razones trigonométricas de
este ángulo.
1º método: Usando triángulos 2º método: Usando las identidades básicas
Por teorema de Pitágoras
5 2 2
3buscamos el otro cateto del Por la identidad sen α +cos α =1
triángulo, es que es 4 tenemos que:
α 2 2
cos α =1−sen α
Ahora aplicamos las definiciones de las 2
3
funciones trigonométricas y encontramos:
2
cos α=1−
5 () 
3 9
sen α= cos 2 α=1−
5 25
c. ad . 4 16 4
cosα= = cos 2 α = cosα=
hip 5 25  5
c . op. 3 Luego, usando estos dos valores, del seno y
tan α= = coseno, calculamos todas las demás
c . ad . 4
funciones:
c. ad . 4 3
cot α= =
c. op . 3 sen α . 5 3
hip 5 tan α = = =
sec α= = cos α . 4 4
c .ad . 4 5
hip 5 así sucesivamente……
cosec α= =
c. op 3
Ejercicios:
cos β=
√7
1) Si 4 , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y
racionalizados.
2) Si cos β=0,2 , encuentra las otras funciones.
5
tan α=
3) Si 9 , encuentra las otras funciones.
Ángulos complementarios:
En el triángulo rectángulo siguiente:
sen β =sen(90 º−α )=cosα

cos β=cos(90 º−α )=sen α β
tan β=tan(90 º−α )=cot α
En estas relaciones, se cumplen con dos

β
ángulos que son complementarios, que
suman 90º, y se dicen que estas funciones
β=90 º−α
son cofunciones una de la otra.
Ejemplos de uso de las cofunciones:
1) Calcular sen 30º.

Sen 30º = sen (90º - 30º) =cos 60º = ½
2) Expresar los siguientes valores de funciones trigonométricas como el valor de la función de
un ángulo positivo menor que 45º.
a) sen 72º  sen 72º = sen (90º - 72º) = cos 18º
b) cos 46º  cos 46º = cos (90º - 46º) = sen 44º
Ejercicios:
1) Expresar el valor de la función trigonométrica en términos de un ángulo no mayor que
45º:
a) sen 60º b) cos 84º c) tan 49,8º d) sen 79,6º
2) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora.
a) α = 24º y c =16.
b) a = 32.46 y b = 25,78 B
c) α = 24º y a =16 β c
d) β = 71º , c = 44 a
e) a = 312,7 ; c = 809
f) b = 4.218 ; c = 6.759 β
β C A
g) = 81º12’ ; a = 43,6 b
3 4
. .
5
.
7
6 .
.
8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo

enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un
punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?
9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del
suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la
parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio
señalado.

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sábado 15 de agosto 2020

Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

180 º π rad 180 º π rad

Transformar el ángulo de grados a rad:

1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º 5) 200º

Transformar el ángulo de rad a grados:

Aplicaciones de la medida en radianes

De la definición de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio

S=r· α , S: arco circunferência, r: radio y

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario ( 2 πr =2 π ),

En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:

cateto opuesto cateto adyacente

sen β =sen(90 º−α )=cosα

En estas relaciones, se cumplen con dos

Ejemplos de uso de las cofunciones:

1) Calcular sen 30º.

8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo

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